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第38講 四邊形（提高版）
四邊形
1、特征。
① 四邊形是由四條線段圍成的圖形。
② 任意四邊形的內角和是360度。
③ 只有一組對邊平行的四邊形叫梯形。
④ 兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，它容易變形。長方形、正方形是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長方形。
2、分類
① 長方形
A、特征：對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。
B、計算公式：c=2(a+b) s=ab
② 正方形
A、特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。
B、計算公式：c=4a s=a
③ 平行四邊形
A、特征：兩組對邊分別平行的四邊形；相對的邊平行且相等；對角相等；相鄰的兩個角的度數之和為180度；平行四邊形容易變形。
B、計算公式：s=ah
④ 梯形
A、特征：只有一組對邊平行的四邊形；中位線等于上下底和的一半；等腰梯形有一條對稱軸。
B、計算公式：s=(a+b)h/2=mh
一．選擇題（共8小題）
1．把一個平行四邊形任意分割成兩個梯形，這兩個梯形的　　一定相等。
A．周長 B．面積 C．上下兩底的和 D．高
2．點子圖中有一個圖形，下面的描述哪些是正確的？正確的選項是　　
①這是一個四邊形
②這是一個平行四邊形
③這是一個梯形
④這個圖形有兩條對稱軸
⑤這個圖形有一個直角
A．①③ B．①⑤ C．①②④ D．①③⑤
3．生活中，人們運用平行四邊形的　　生產電動大門。
A．穩定性 B．平衡性 C．易變形性
4．用下面的圖表示各圖形之間的關系，不正確的是　　
A． B．
C． D．
5．下列說法正確的是　　
A．一個平行四邊形拉成長方形后，它的周長、面積都不變
B．一個三角形最少有一個角是銳角
C．用同樣長的鐵絲圍成的長方形、正方形、三角形、和圓，正方形的面積最大
D．只有一組對邊平行的四邊形是梯形
6．過平行四邊形的一個頂點向對邊作高，可以作　　條高。
A．1 B．2 C．4 D．無數
7．如圖，點、、都在格點上，請在方格紙上找一點在格點上），使四邊形是梯形，這樣的點有　　個。
A．3 B．4 C．5 D．6
8．關于長方形和平行四邊形的共同特點，有如下一些說法：
①對邊平行；②對邊相等；③四個角的和是；④都是軸對稱圖形
以上說法正確的是　　
A．①②和③ B．①②和④ C．①③和④ D．②③和④
二．填空題（共8小題）
9．數學知識之間會有很多密切的關系。許多知識可以用如圖來表示。
例如：若是長方形，那么可以是 　　。
再如：若是 　　，那么可以是 　　。
10．平行四邊形的一邊長為，相鄰的另一邊比它的多，則這個平行四邊形的周長為　　．
11．如圖所示中，平行四邊形邊上的高是 　　厘米。
12．任意四邊形的內角和都是　 　度．
13．推拉伸縮門是由許多小平行四邊形組成，這種門應用了平行四邊形 　　的特性。
14．當梯形的上底逐漸縮短到一個點時，梯形就轉化成 　　形，當梯形的上底延長到與下底相等時，梯形就轉化成 　　形。
15．如圖所示，如果要求在圖內交叉點中再選一個點，若要使四邊形成為一個平行四邊形，那么點的選法共有 　　種，若要使四邊形成為一個梯形，那么點的選法共有 　　種。
16．一個長方形框架，拉動后變成一個平行四邊形（如圖），它的高比原來少了，你認為面積有變化嗎？請寫出你的想法：　　。
三．操作題（共3小題）
17．下面每個小方格都代表邊長為1厘米的小正方形，請畫出一個高為5厘米的平行四邊形。
18．在方格紙上分別畫出直角三角形、平行四邊形和梯形。
19．在如圖所示的方格紙中，畫一個底是5厘米，高是3厘米的平行四邊形；再畫一個等腰梯形，并標出它的上底、下底和高。（每個小方格表示邊長為1厘米的正方形）
四．解答題（共9小題）
20．按順序連接各點，畫出圍成
的圖形，圍成的圖形是 　　。
21．在方格紙上畫一畫。
（1）畫出上面梯形的一條高。
（2）再畫一個梯形，與原來的梯形正好拼成一個平行四邊形。
22．（1）圖1是平行四邊形的兩條邊，請將這個平行四邊形補充完整。
（2）在點子圖畫一個直角梯形，并用一條線段把這個梯形分成一個直角三角形和一個鈍角三角形。
23．如圖小方格的邊長是。
（1）找到點，與圖上點、、構成平行四邊形，并連接與；過點畫平行四邊形邊上的高，并標上垂足和垂直符號。
（2）如果將點向右平移 　　格，則四邊形就變成了直角梯形；如果將點向左平移 　　格，則四邊形就變成了等腰梯形。
24．若你把一個梯形兩腰的中點進行連接，得到的這條線段就是這個梯形的中位線．
（1）試畫出這個梯形的中位線．（用鉛筆和直尺作圖）
（2）量一量中位線的長度，再量一量這個梯形上底和下底的長度，你發現了什么？把你的發現寫在下面？
25．一個直角梯形中有一個角是，這個梯形的其它幾個角分別是多少度？
26．一個平行四邊形的周長是64米，其中一條邊是20厘米，平行四邊形另外三條邊分別是多少厘米？
27．根據要求畫圖：
（1）底是，高是的平行四邊形；
（2）底是，高是的三角形；
（3）上底是，下底是，高是的梯形．
28．平行四邊形的周長是56厘米，其中一條邊長是10厘米．平行四邊形另外三條邊分別是多少厘米？
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】平行四邊形的兩組對邊是平行的，它的高有無數條且都是相等的，所以無論怎樣分割成兩個梯形，它們的高都是相等的，由此可選出正確答案。
【解答】解：把一個平行四邊形任意分割成兩個梯形后，兩個梯形的高還等于原平行四邊形的高；由于平行四邊形有無數條高且都是相等的，所以兩個梯形的高是相等的。
答：這兩個梯形的 高總是相等的。
故選：。
【點評】把平行四邊形分成兩個梯形，這兩個梯形的高都是平行四邊形的高，長度相等。
2．【分析】由圖可知，這個圖形是一個四邊形，但兩組對邊都不平行，所以不是梯形也不是平行四邊形，這個圖形有一條對稱軸和一個直角，據此解答即可．
【解答】解：這是一個四邊形，不是梯形也不是平行四邊形，有一條對稱軸和一個直角．所以①⑤正確；
故選：。
【點評】此題考查了四邊形的特征、平行四邊形、梯形的判定方法和對稱軸條數的辨別方法．
3．【分析】根據平行四邊形的易變性進行解答即可。
【解答】解：生活中，人們運用平行四邊形的易變形性生產電動大門。
故選：。
【點評】此題考查了平行四邊形的易變性，結合題意分析解答即可。
4．【分析】等邊三角形是特殊的等腰三角形，它們都屬于三角形；
平行四邊形和梯形都是四邊形；
銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形都是三角形的一種；
正方形是特殊的長方形，它們都屬于平行四邊形。
據此解答。
【解答】解：所給圖示表示的關系，不正確的是。
故選：。
【點評】本題主要考查四邊形、三角形的分類。
5．【分析】平行四邊形拉成長方形后，周長不變，面積變大；一個三角形至少有2個銳角；周長相同的長方形、正方形、三角形和圓，圓的面積最大；只有一組對邊平行的四邊形是梯形。
【解答】解：一個平行四邊形拉成長方形后，它的周長不變、面積變大；
一個三角形最少有兩個角是銳角；
用同樣長的鐵絲圍成的長方形、正方形、三角形、和圓，圓的面積最大；
只有一組對邊平行的四邊形是梯形。
故選：。
【點評】本題考查了平行四邊形、三角形、梯形的特征。
6．【分析】根據平行四邊形高的含義：從平行四邊形一條邊上的一點到它的對邊引一條垂線，這一點和垂足之間的距離，即平行四邊形的高；每一個頂點所對的邊有兩條，所以平行四邊形的一個頂點可以向對邊作2條高（如下圖）；進而解答即可。
【解答】解：如圖，可以作2條高：
故選：。
【點評】此題應根據平行四邊形高的含義進行分析、解答。
7．【分析】根據梯形的特征，梯形中有兩邊平行，以為底，即與平行的底有3種情況，以為底，即與平行的也有2種情況，這樣一共有5種情況。
【解答】解：在給定的正方形點子圖上，找一點在格點上），使四邊形是一個梯形．那么符合條件的點的位置有5個。如圖：
故選：．
【點評】解答此題的關鍵是抓住梯形中上、下底平行，兩腰不平行這一特征，解題的關鍵是分別以為底、以為底找點。
8．【分析】長方形、平行四邊形都是由四條線段圍成的圖形，所以都是四邊形，任意一個四邊形的內角和都是，所以它們四個內角的和都是；兩組對邊分別平行并且相等的四邊形叫做平行四邊形，長方形是四個角為直角的平行四邊形，所以長方形和平行四邊形的對邊平行并且相等．據此進行判斷．
【解答】解；由分析知：長方形、平行四邊形都是四邊形，所以它們四個內角的和都是；
長方形是特殊的平行四邊形，所以具備平行四邊形的特征：對邊平行并且相等；
所以①、②、③都對，
故選：．
【點評】此題考查了長方形和平行四邊形的特征．
二．填空題（共8小題）
9．【分析】長方形是有1個角是直角的平行四邊形，正方形是鄰邊相等的長方形，即正方形是特殊的長方形，長方形的特殊的平行四邊形，由此解答即可。
【解答】解：例如：若是長方形，那么可以是平行四邊形。
再如：若是長方形，那么可以是正方形。
故答案為：平行四邊形，長方形，正方形。
【點評】明確長方形、正方形、平行四邊形的含義及特征，是解答此題的關鍵。
10．【分析】平行四邊形的周長就是圍成它的四條邊的和，要求這個平行四邊形的周長是多少厘米，先求出鄰邊的長度，即比9厘米的多厘米，先根據一個數乘分數的意義，用乘法求出9厘米的，然后加上1求出鄰邊的長，再用這條邊的長度加上鄰邊的和乘2即可．
【解答】解：（厘米）
（厘米）
答：這個平行四邊形的周長為．
故答案為：32．
【點評】此題主要考查平行四邊形的周長的意義和求法．
11．【分析】根據平行四邊形的高和底的意義：從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂線段是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底，解答此題。
【解答】解：如圖所示中，平行四邊形邊上的高是11厘米。
故答案為：11。
【點評】此題主要考查平行四邊形的底和高的對應關系的掌握情況。
12．【分析】根據三角形的內角和是180度，四邊形的內角和是360度；進行解答．
【解答】解：根據四邊形的特點可知：任意四邊形的內角和是360度；
故答案為：360．
【點評】此題考查了四邊形的特點．
13．【分析】根據平行四邊形具有不穩定性，解答此題即可。
【解答】解：推拉伸縮門是由許多小平行四邊形組成，這種門應用了平行四邊形具有不穩定性的特性。
故答案為：具有不穩定性。
【點評】熟練掌握平行四邊形的特性，是解答此題的關鍵。
14．【分析】此題應結合圖形進行分析、解答即可。
【解答】解：如圖當梯形的上底由點逐漸縮短到與點重合時，梯形就轉化成三角形，當梯形的上底增長到與下底相等時，梯形就轉化成平行四邊形。
故答案為：三角，平行四邊。
【點評】解答此題的關鍵是通過畫圖，進行分析，繼而得出結論。
15．【分析】若要使四邊形成為一個平行四邊形，可以在點左、右的3個長度的地方，那么點的選法共有2種；若要使四邊形成為一個梯形，那么點的選法共有4種，分別在點左、右1個、2個長度的地方。
【解答】解：如果要求在圖內交叉點中再選一個點，若要使四邊形成為一個平行四邊形，那么點的選法共有2種，若要使四邊形成為一個梯形，那么點的選法共有4種。
故答案為：2；4。
【點評】本題考查了平行四邊形及梯形的特征。
16．【分析】當長方形被拉成平行四邊形后，根據平行四邊形的面積底高，高變小了，所以面積就變小了。
【解答】解：長方形被拉成平行四邊形后，它的長和寬沒變，但是高變小了，根據平行四邊形的面積底高，所以面積就變小了。
故答案為：平行四邊形面積變小了，因為平行四邊形的面積底高，高變小了，所以面積變小了。
【點評】此題主要考查平行四邊形易變形的特征及面積公式的靈活應用。
三．操作題（共3小題）
17．【分析】平行四邊形對邊相等且平行，據此根據高的定義和長度畫圖即可。
【解答】解：如圖：
（畫法不唯一）
【點評】本題考查了平行四邊形的特征及畫法。
18．【分析】有一個角是直角的三角形是直角三角形；兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形，根據圖形的特點畫圖即可。
【解答】解：如圖：（畫法不唯一）
【點評】解答此題的關鍵一定清楚直角三角形、平行四邊形及梯形的特點。
19．【分析】根據平行四邊形的對邊平行且相等的性質，可畫一個底是4厘米、高是3厘米的平行四邊形即可；根據等腰梯形的定義，畫出等腰梯形即可。
【解答】解：
（答案不唯一）。
【點評】此題考查平行四邊形的特征、等腰梯形的特征。
四．解答題（共9小題）
20．【分析】先按要求畫圖，然后進行判斷即可。
【解答】解：按順序連接各點，畫出圍成的圖形，圍成的圖形是平行四邊形。
故答案為：平行四邊形。
【點評】此題考查了平行四邊形的特征。
21．【分析】（1）根據梯形高的意義，從梯形一底的任一點作另一底的垂線，這點與垂足間的距離叫做梯形的高，據此畫出梯形的高。
（2）根據梯形的面積推導公式知：兩個完全一樣的梯形可拼成一個平行四邊形，據此畫圖即可。
【解答】解：作圖如下：
【點評】此題考查的目的是理解掌握梯形、平行四邊形的特征，梯形高的畫法及應用。
22．【分析】（1）根據平行四邊形的對邊平行，畫出平行四邊形即可；
（2）先畫出直角梯形，再用一條線段把這個梯形分成一個直角三角形和一個鈍角三角形即可。
【解答】解：
【點評】熟練掌握平行四邊形、直角梯形、直角三角形、鈍角三角形的特征，是解答此題的關鍵。
23．【分析】（1）根據平行四邊形的對邊相等且平行，從點出發向左找到與邊相等的格子數即可畫出平行四邊形；根據平行四邊形的高的意義，從頂點作它對邊的垂線段，這條垂線段就叫高，據此畫出即可；
（2）有一個角是直角的梯形叫做直角梯形，兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形，據此特征解答。
【解答】解：（1）畫圖如下：
（2）如果將點右平移2格，則四邊形就變成了直角梯形；如果將點向左平移4格，則四邊形就變成了等腰梯形。
故答案為：2；4。
【點評】本題考查了平行四邊形、直角梯形和等腰梯形的特征，結合題意分析解答即可。
24．【分析】（1）先找到兩腰的中點，再連接即可求解；
（2）根據線段的測量方法量出中位線的長度，上底和下底的長度，再依此找到它們的規律即可求解．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）我的發現：梯形中位線上底和下底的和的一半．
【點評】考查了梯形的特征及分類，關鍵是熟悉梯形中位線上底和下底的和的一半．
25．【分析】根據直角梯形的性質可知梯形有兩個內角等于，由于一個直角梯形還有一個內角是，根據四邊形的內角和等于，列式計算即可。
【解答】解：
故答案為：，，。
【點評】考查了直角梯形的性質和四邊形的內角和，本題關鍵是掌握直角梯形有兩個內角等于。
26．【分析】平行四邊形的周長是相鄰兩條邊的長度和的2倍，則與長20厘米的邊相鄰的邊的長度是厘米。根據平行四邊形的兩組對邊平行且相等這一特征，求出另外兩條邊的長度是20厘米和厘米。
【解答】解：
（厘米）
答：平行四邊形另外三條邊分別是12厘米、20厘米、12厘米。
【點評】本題考查平行四邊形的特征和周長，關鍵是求出與20厘米長的邊相鄰的邊的長度。
27．【分析】根據平行四邊形、三角形、梯形的特征，結合題干中給出的數據，即可畫圖．
【解答】解：根據題干分析畫圖如下：
【點評】此題主要考查平行四邊形、三角形、梯形的畫法，此題答案不唯一，只要符合題意即可．
28．【分析】如圖所示，已知平行四邊形的周長，則根據平行四邊形的性質可知等于的周長，假設的長度為10厘米，則可算出的長度．根據平行四邊形的對邊相等的性質可得出每一條邊的長度．
【解答】解：厘米，
假設厘米，所以厘米，
由于平行四邊形的對邊相等則，
所以厘米，厘米．
答：平行四邊形另外三條邊分別是10厘米、18厘米、18厘米．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等．

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