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第39講 三角形（提高版）
1、特征：由三條線段圍成的圖形；內角和是180度；三角形具有穩定性；從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，一個三角形有三條高。
2、計算公式：s=ah/2
3、分類
① 按角分
A、銳角三角形 ：三個角都是銳角。
B、直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。
C、鈍角三角形：有一個角是鈍角。
② 按邊分
A、不等邊三角形：三條邊長度不相等。
B、等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。
C、等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是60度；有三條對稱軸。
4、特性
任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
具有最穩定的特性。
一．選擇題（共8小題）
1．在、、、四根小棒中，選取其中的3根小棒首尾相接成三角形，擺成的三角形，周長可能是　　。
A．20 B．26 C．29 D．32
2．我在研究三角形的內角和時，所得結果相對不太準確的方法是　　
A．測量 B．剪拼 C．推理
3．等邊三角形是　　
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形
4．一個三角形，其中有兩個角分別是和，第三個角是　　
A． B． C． D．
5．如圖，把三角形的邊延長到點。則　　
A． B． C．
6．關于三角形，下列說法正確的是　　
A．三角形按角分可以分成兩類
B．等邊三角形三個內角都是
C．一個三角形中最多能有兩個鈍角
D．直角三角形只有一條高
7．園藝工人要給花圃圍上籬笆，下面圍法中，　　圍法更牢固些。
A． B．
C． D．
8．有5根小棒，長度分別為3，3，4，6，6，用其中的3根做等腰三角形的邊，可以搭出　　種不同的等腰三角形。
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空題（共8小題）
9．在數學學習中，經常要用到三角板，你對它們肯定非常熟悉了。如圖是其中的一個。圖中是45度，是 　　度，這個三角板的面積是 　　平方厘米。
10．一個等腰三角形，它的頂角與一個底角的比是，那么它的頂角是 　　，底角是 　　。
11．如圖，在等腰三角形中，如果沿圖中的虛線將三角形剪成兩部分，如果那么　　度。
12．如圖，把三角形的邊延長到點，可以推理說明。你能看懂下面的推理過程嗎？在括號內寫出推理的依據。
推理過程：
因為（平角的度數是
　　
所以
所以　　
13．等腰三角形的一個角是另一個角的2倍，那么這個三角形的頂角的度數可能是 　　或 　　。
14．一個三角形三個內角度數比是，這個三角形按邊分是 　　三角形，按角分是 　　三角形。
15．一個等腰三角形，它的底角與頂角的比是，最大的角是 　　度。
16．直角三角形的一個銳角是，另一個銳角是 　　。直角三角形的兩條直角邊分別是5厘米和6厘米，它的面積是 　　平方厘米，與它等底等高的平行四邊形的面積是 　　平方厘米。
三．操作題（共4小題）
17．在點子圖上畫一個等腰三角形。
18．如圖，王叔叔用木條釘成了一個長方形的木框，請你想辦法給這個木框加固，使其不會變形。把你的想法畫在圖中。
19．在下面梯形中畫一條線段，把它分成一個平行四邊形和一個三角形，并畫出三角形的高。
20．畫出下面三角形底邊上的高。
四．解答題（共10小題）
21．用22根1厘米長的小棒擺成一個等腰三角形，有幾種不同的擺法？請列表說明。
22．已知，，，求的度數。
23．認識三角形后，豆豆和婷婷拿出學具袋中的4根小棒，想用其中的3根小棒圍一個等腰三角形。
（1）如果你是豆豆，你覺得可以選哪三根小棒？
（2）為什么這樣選？請說說你的理由。
24．在如圖的三角形中，已知，，你能求出和的度數嗎？想一想：，和有什么關系？
25．一個直角三角形中兩個銳角的度數比是，這兩個銳角分別是多少度？
26．我們知道，三角形的內角和是，一個平角也是，請你利用以上兩個結論完成題目：如圖，延長三角形的邊到點，請探究、、三者之間的關系，并說明理由。
27．（1）請在圖中選擇四個點，依次連接，圍成一個平行四邊形。
（2）選擇圖中的三個點，依次連接，能畫出 　　個等腰三角形。
（3）畫出其中一個等腰三角形，并畫出它向右平移3格后的圖形。
（4）若所畫等腰三角形一個頂點的位置用數對表示，則它平移后的位置用數對　　，　　表示。
28．如圖，把三角形的三條邊分別延長，會出現如、、這樣的角，我們稱之為三角形的外角。三角形的外角之和等于360度，即，請你有理有據地推理證明這個結論。
29．（1）過點畫出三角形邊的高．
（2）以邊為直徑，畫一個圓．
30．求出三角形各個角的度數．
（1）我有一個銳角是．求直角三角形的另一個銳角的度數．
（2）我是等腰三角形，有一個底角是求頂角的度數．
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，解答此題即可。
【解答】解：因為
所以、、不能圍成三角形，、、不能圍成三角形；
因為
所以、、不能圍成三角形；
因為
所以、、可以圍成三角形。
（厘米）
答：擺成的三角形周長可能是32厘米。
故選：。
【點評】熟練掌握三角形的三邊關系，是解答此題的關鍵。
2．【分析】在探究三角形的內角和的過程中，我們主要通過利用量角器量角的度數，在三角形的特征和分類等知識的基礎上進行探討三角形的內角和。三角形的內角和的理解，主要就是三角形一共有三個內角，其三個內角相加的和稱為三角形的內角和。我們可以通過量角的度數，剪和拼的方法來證實這個結論。據此選擇。
【解答】解：根據分析得，一般在研究三角形的內角和時，所得的結果相對比較準確的方法是測量和剪拼。所以相對不太準確的方法是推理。
故答案為：。
【點評】三角形的內角和這個知識點主要是利用不同的方法從量、折、剪、拼的活動實踐當中去證明三角形的內角和就是180度。
3．【分析】等邊三角形是每個角都是，是銳角，所以等邊三角形是銳角三角形。
【解答】解：等邊三角形是銳角三角形。
故選：。
【點評】本題考查等邊三角形的認識。
4．【分析】根據三角形內角和為，用減去兩個已知角的度數，即可求出第三個角是度數度。
【解答】解：
答：第三個角是。
故選：。
【點評】本題考查角度的計算。
5．【分析】根據三角形的內角和等于以及平角等于解答即可。
【解答】解：因為
所以
故選：。
【點評】本題考查了三角形內角和定理和平角是的應用。
6．【分析】此題考查了根據角對三角形分類的方法：三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；等邊三角形三個角都是60度的銳角；一個三角形最多有一個鈍角；任何一個三角形都有3條高。
【解答】解：三角形按角分銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形；原題說法錯誤；
等邊三角形三個內角都是，原題說法正確；
一個三角形中只能有一個鈍角，原題說法錯誤；
直角三角形有3條高，原題說法錯誤。
故選：。
【點評】本題考查了三角形的分類、等邊三角形的角的特征。
7．【分析】根據三角形具有穩定性的性質，即可選擇正確答案。
【解答】解：、和中，圍成的圖形為四邊形，而四邊形有容易變形的特點，中圍成的圖形為三角形，三角形具有穩定性，所以的圍法更牢固些。
故選：。
【點評】此題考查了三角形的穩定性，根據圖示分析解答即可。
8．【分析】根據三角形邊的特征，在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，逐一列舉出符合題意的情況進而得解。
【解答】解：根據三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊；可以組成的三角形有：
①、、
②、、
③、、
所以，搭出3種不同的等腰三角形。
故選：。
【點評】此題考查了三角形的特性中的三角形的三邊關系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數的和是否大于第三個數。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】根據三角形內角和定理及等腰三角形的性質，用減去，再減去，即可求出的度數；因為等腰直角三角形的兩腰相等，根據三角形的面積公式：，列式解答即可。
【解答】解：
（平方厘米）
答：是45度，這個三角板的面積是50平方厘米。
故答案為：45；50。
【點評】本題主要考查等腰直角三角形的性質，及三角形內角和定理和面積公式。
10．【分析】根據三角形的內角和等于和等腰三角形的兩個底角相等，解答此題即可。
【解答】解：
（度
（度
答：它的頂角是，底角是。
故答案為：108；36。
【點評】熟練掌握三角形的內角和知識和等腰三角形的性質，是解答此題的關鍵。
11．【分析】根據三角形的內角和等于和等腰三角形的兩個底角相等，解答此題即可。
【解答】解：
（度
（度
答：是。
故答案為：65。
【點評】熟練掌握三角形的內角和與等腰三角形的性質，是解答此題的關鍵。
12．【分析】（1）根據平角的含義，等于的角是平角，所以和組成平角；
（2）三角形的三個內角的和是180度，所以，又因為和組成一個平角，所以，沒變，所以．據此解答即可。
【解答】解：因為（平角的度數是
（三角形的內角和是
所以
所以（等量代換）。
故答案為：三角形的內角和是；等量代換。
【點評】解題關鍵是靈活運用三角形的內角和定理和平角的特征解答。
13．【分析】根據題意，等腰三角形的一個角是另一個角的2倍，可以設這個角的度數為度，然后根據三角形內角和是，列方程解答即可。
【解答】解：第一種情況：
設這個角的度數為度，另一個角的度數就是度。
第二種情況：
設這個角的度數為度，另一個角的度數就是度。
答：個三角形的頂角的度數可能是或。
故答案為：36；90。
【點評】本題考查了三角形內角和知識和等腰三角形特征知識，結合題意分析解答即可。
14．【分析】首先根據題意，把三角形的內角和看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用三角形的內角和乘這個三角形最大的角占的分率，求出這個三角形的最大角是多少；然后根據三角形的分類方法，判斷出這個三角形是什么三角形即可。
【解答】解：
所以這個三角形的最大角是是一個鈍角，因此按角分是鈍角三角形；
因為這個三角形中三個內角度數的比是，所以這個三角形按邊分是等腰三角形。
故答案為：等腰，鈍角。
【點評】此題主要考查了比的應用，分數乘法的意義的應用，以及三角形的分類方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是求出這個三角形的最大角是多少。
15．【分析】等腰三角形中，一個底角和頂角的度數比是，即三個角的比為，所以最大角為頂角，進而根據按比例分配知識求出頂角即可。
【解答】解：
所以頂角最大為：
答：最大的角是頂角是。
故答案為：120。
【點評】此題主要利用三角形的內角和與按比例分配知識來解決問題。
16．【分析】根據三角形的內角和定理，三角形的內角和等于，其中一個角是，另外兩個銳角的和是，用就是另一個銳角的度數；
直角三角形的面積是它兩條直角邊乘積的一半，與它等底等高的平行四邊形的面積是是三角形面積的2倍，據此解答。
【解答】解：根據三角形的內角和定理及直角三角形的意義，直角三角形兩銳角的度數之和是。
答：直角三角形的一個銳角是，另一個銳角是。
解：
（平方厘米）
（平方厘米）
答：它的面積是15平方厘米，與它等底等高的平行四邊形的面積是30平方厘米。
故答案為：55，15，30。
【點評】此題主要是考查三角形內角和定理，直角三角形的意義、角度的計算方法、三角形面積公式等，根據題意解答即可。
三．操作題（共4小題）
17．【分析】根據等腰三角形的定義，畫出有兩條邊相等的三角形即可。
【解答】解：
【點評】根據等腰三角形的定義，解答此題即可。
18．【分析】利用三角形的特性，因為三角形的穩定性很好，三角形越多，穩定性越好。將長方形構造為三角形，增強了它的穩定性即可。
【解答】解：根據分析得，可以斜著加一根木條，利用三角形的穩定性，可以使它更牢固。
如圖：
（答案不唯一）
【點評】此題的解題關鍵是靈活利用三角形的穩定性并運用在實際生活中。
19．【分析】把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形，因平行四邊形的兩組對邊都平行，梯形的一組對邊平行，所以要分成一個平行四邊形和一個三角形，就要用原來梯形一組平行的邊，作為平行四邊形的一組對邊，再過梯形的上底頂點作另一個腰的平行線，既可得到一個平行四邊形和一個三角形。
根據三角形高的意義，在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高，再根據過直線外一點畫已知條直線的垂線的方法，由此作圖即可。
【解答】解：如下圖，紅色線段為分割線，綠色線段為三角形的高。
（答案不唯一）
【點評】本題主要考查了學生根據平行四邊形、三角形、梯形的定義來對圖形進行分割的能力以及三角形高的意義和高的畫法。
20．【分析】過三角形指定底邊的對角頂點向指定底邊作垂線，頂點與垂足間的線段，就是三角形指定底邊上的高。
【解答】解：
【點評】本題是考查作三角形的高。注意作高通常用虛線，并標出垂足。
四．解答題（共10小題）
21．【分析】根據題意，三角形任意兩邊的之和必須大于第三邊，據此先把22平均分成2份，那么兩腰的和必須大于11厘米，據此推理解答即可。
【解答】解：如表：
，一共有5種擺法。
【點評】本題考查了三角形的三邊關系，兩邊之和必須大于大三邊，兩邊之差必須小于第三邊。
22．【分析】根據三角形的內角和等于180度，解答此題即可。
【解答】解：
答：
【點評】熟練掌握三角形的內角和定理，是解答此題的關鍵。
23．【分析】（1）根據等腰三角形的兩腰相等，解答此題；
（2）根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，解答此題。
【解答】解：（1）選2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒；
（2）因為
所以2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒能圍成等腰三角形。
【點評】熟練掌握等腰三角形的特征，和三角形的三邊關系，是解答此題的關鍵。
24．【分析】根據三角形的內角和等于和平角等于，解答此題即可。
【解答】解：
，所以。
答：等于，等于，。
【點評】熟練掌握三角形的內角和和平角的定義，是解答此題的關鍵。
25．【分析】根據三角形的內角和等于，可得一個直角三角形中兩個銳角的度數和是，把平均分成5份，再求出兩個銳角即可。
【解答】解：
答：這兩個銳角分別是、。
【點評】熟練掌握三角形的內角和知識，是解答此題的關鍵。
26．【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，三個內角的和是以及它的推論：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和，三角形的外角可以轉化成三角形的內角來考慮。
【解答】解：結合圖示可知，三角形的內角和是，所以。
一個平角是，所以。
綜上所述，所以，導出，即：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。
【點評】正確理解三角形的外角性質是解題的關鍵，可以結合圖形來考慮。
27．【分析】（1）結合題意，選擇、、、四個點連接即可畫出平行四邊形。
（2）根據等腰三角形的特點，選擇圖中的三個點，依次連接，能畫出三角形、三角形、三角形等3個等腰三角形。
（3）根據平移的方法，畫出其中一個等腰三角形，然后向右平移3格后畫出即可
（4）根據數對知識和用字母表示數的知識解答即可。
【解答】解：（1）選擇四個點，依次連接，圍成一個平行四邊形（如圖）。
（2）選擇圖中的三個點，依次連接，能畫出三角形、三角形、三角形等3個等腰三角形。
（3）畫出其中一個等腰三角形，畫出它向右平移3格后的圖形（如圖）。
（4）若所畫等腰三角形一個頂點的位置用數對表示，則它平移后的位置用數對表示。
故答案為：（2）3；（4），。
【點評】本題考查了平行四邊形、等腰三角形、平移及數對等知識，結合題意解答即可。
28．【分析】與成一個平角，即，同理，，，由此可求出，根據三角形內角和定理，，由此即可求出。
【解答】解：我的根據、理由如下：
因為，，，
所以
又因為
所以
。
【點評】解答此題的關鍵是平角的意義及三角形內角和定理。
29．【分析】（1）使用直尺和三角板，利用三角板的直角邊畫出過點的邊的高；
（2）以為直徑，以的中點為圓心，用圓規畫一個圓即可．
【解答】解：解答如圖：
【點評】此題考查作三角形的高、角的度量、畫圓，根據相關知識正確解答即可．
30．【分析】（1）直角三角形兩個銳角和為，即可得另一個銳角度數；
（2）等腰三角形的兩個底角相等，所以它的另一個底角也是，根據三角形的內角和是，即可求出這個三角形的頂角的度數．
【解答】解：（1）（度
答：另一個銳角的度數是55度；
（2）
答：它的頂角是．
【點評】此題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質以及三角形的內角和是的綜合應用．

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