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第40講 圓（提高版）
1、圓的認識。
圓是平面上的一種曲線圖形。
圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。
在同一個圓里，有無數條半徑，每條半徑的長度都相等。
通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。
同一個圓里有無數條直徑，所有的直徑都相等。同圓或等圓的直徑都相等
同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。
圓的大小由半徑決定。 圓有無數條對稱軸。
圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
2、圓的畫法
把圓規的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；
把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；
把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。
3、圓的周長
圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。
把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。
4、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。
5、計算公式：d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r
扇形
1、扇形的認識
一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。（半圓與直徑的組合也是扇形）。顯然， 它是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成。
圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。
頂點在圓心的角叫做圓心角。
在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。
扇形有一條對稱軸，是軸對稱圖形。
2、計算公式：s=n∏r /360
環形
⑴特征：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸。
⑵ 計算公式：s=∏(R -r ）
一．選擇題（共8小題）
1．車輪設計成圓形，是因為　　
A．圓有無數條對稱軸 B．同一圓內，
C．圓的周長是直徑的倍 D．同一圓內所有半徑都相等
2．下面各圓中的陰影部分，　　不是扇形。
A． B． C． D．
3．約二千年前，我國古代數學著作《周髀算經》中關于圓周長和直徑的關系就有“周三徑一”的說法。經過探究，我們發現一個圓的周長是它直徑的　　倍。
A． B．3 C．3.14 D．3.1415926
4．把圓分成若干等份，拼成近似的長方形后，周長增加了8分米，原來圓的面積是　　平方分米。
A．50.24 B．25.12 C．12.56
5．用如圖的方法可以測量沒有標出圓心的圓的直徑，這是因為　　
A．圓是軸對稱圖形
B．直徑長度是半徑的2倍
C．兩端都在圓上的線段中，直徑最長
D．圓心確定了，圓的中心位置就確定了
6．圓周率是圓的周長與直徑的比值，公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，公元480年左右，南北朝數學家祖沖之進一步得到圓周率小數點后7位的結果。如果如圖中線段表示一個圓的周長，那么這個圓的直徑可能是　　
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
7．下列說法正確的個數是　　
①圓的直徑是半徑的2倍
②一個半圓形的周長等于同等半徑圓周長的一半
③甲數比乙數大，乙數比甲數小
④等腰三角形的一個角是，這個三角形一定是等腰直角三角形．
⑤設，則的末尾有8個0．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
E．5個
8．下列說法正確的有　　個。
①圓周率是圓的周長與直徑的比。
②小明與小強高度的比是，小明比小強矮。
③3點15分，時針與分針的夾角為。
④一個三角形中的最小角是，這個三角形一定是銳角三角形。
⑤若數列：1、2、3、中，3和7的倍數共有189個，那么最大是441。
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二．填空題（共8小題）
9．邊長是的正方形中放置一個最大的圓，這個圓的半徑是 　　，直徑是 　　．
10．畫一個直徑是的圓，圓規兩腳間的距離是 　　。
11．用圓規畫一個直徑是6厘米的圓，圓規兩腳尖的距離是 　　厘米，這個圓的位置由 　　決定。
12．　　國的著名數學家 　　把圓周率精確到之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數的人，這一成就比國外大約要早1000年。
13．填一填．
半徑 4.5 　　
直徑 　　 26
14．在一個正方形里畫最大的圓，這個圓的直徑是正方形的　　．
15．把一個直徑是8厘米的圓分成若干等份，然后按照圖的樣子拼起來，拼成的圖形的周長是 　　厘米。
16．將一條線段的一個端點不動，另一個端點旋轉一周，其軌跡所形成的圖形是 　　；將一個半圓形沿著它的直徑旋轉一周，其軌跡所形成的圖形是 　　。
三．計算題（共1小題）
17．求直徑或半徑．
；；．
四．操作題（共3小題）
18．（1）請你畫出下面圓的圓心和直徑，并用字母標注出來。
（2）正方形的邊長為10厘米，求出這個圖形陰影部分的面積。
19．找出下面圓的圓心，用字母表示，并畫出它的半徑。
20．用圓和線段設計出一個有意義的圖形，并寫出所設計圖形的名稱。
五．解答題（共9小題）
21．圖中、是一個圓中的一條線段，你覺得這條線段是圓的一條半徑嗎？你準備如何來驗證，請用你喜歡的方式表示出你的驗證過程．（寫出兩種辦法可以得滿分）
22．如圖是一張圓形的鐵片，沒有標明圓心，你能找出它的直徑嗎？請你敘述或者畫出你的方法．
23．如圖這個圓的半徑是，現在以點為起點，向右滾動一周至點．請在直線上標出點的大概位置．（直線上每段長度為
24．畫一畫，填一填。（每個小正方形均表示1平方厘米）
（1）用數對表示的位置 　　。
（2）畫出把圖①繞點逆時針旋轉90度后的圖形。
（3）在點南偏東方向畫一個直徑4厘米的圓。
25．生活中喝水杯子的口面一般都設計成圓形，請你解釋這樣設計的道理。
26．如圖，鐘表半徑為，上方有一個小圓，半徑為，此時，小圓中的箭頭恰好朝向正上方，且大圓與小圓相切于12點處。若將小圓按順時針旋轉，當箭頭再次朝上時，此時的大圓與小圓相切于4點處，求大圓與小圓的半徑滿足怎樣的關系？
27．用下面的方法可以測量沒有標出圓心的圓的直徑，為什么呢？請說明理由。
28．有一個長方形的長是，寬是，在這個長方形中畫一個最大的半圓，這個半圓的直徑是多少？半徑是多少？
29．在一個圓中畫有一條線段，怎樣可以判斷這條線段是否是所在圓的半徑？（至少寫出兩種方法）
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】車輪設計成圓形目的是易滾動，是利用了同一個圓內半徑都相等的原理設計的。
【解答】解：車輪設計成圓形，是因為同一圓內所有半徑都相等。
故選：。
【點評】本題考查了圓在生活中的應用。
2．【分析】一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形，據此判斷。
【解答】解：不是扇形。
故選：。
【點評】本題考查了扇形的認識。
3．【分析】根據圓周率的含義：圓的周長和它直徑的比值，叫做圓周率；即圓的周長總是直徑的3倍多一些，進而解答即可。
【解答】解：我國古代著作中有“周三徑一”的記載，是說圓的周長約是直徑的倍。
故選：。
【點評】此題考查了圓周率的含義，根據題意解答即可。
4．【分析】根據圓面積公式的推導過程可知：把一個圓平均分成若干等份，拼成近似的長方形，這個長方形的長等于圓周長的一半，寬等于圓的半徑，又知把圓分成若干等份，拼成近似的長方形后，周長增加了8分米，由此可以求出半徑，再根據圓的面積公式：把數據代入公式解答。
【解答】解：
（平方分米）
答：原來圓的面積是5024平方分米。
故選：。
【點評】此題考查的目的是理解掌握圓面積公式的推導過程，以及圓面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
5．【分析】根據直徑的含義：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，在圓中直徑最長；由此解答即可。
【解答】解：圓是軸對稱圖形，與本題測量圓的直徑無關；
直徑長度是半徑的2倍，與本題測量圓的直徑無關；
兩端都在圓上的線段中，直徑最長，根據直徑的含義可知：直徑是圓內最長的線段，兩端都在圓上的線段中，直徑最長。故此本選項符合題意；
圓心確定了，圓的中心位置就確定了，與本題測量圓的直徑無關；
故選：。
【點評】此題考查了圓的認識與圓周率，明確直徑的含義，是解答此題的關鍵。
6．【分析】根據圓周率的含義：圓的周長和它直徑的比值，叫做圓周率，圓周率用表示，根據圓的周長直徑乘，即，直徑為，那么周長與直徑的比值即是。因為的近似值是3.14，所以圖中線段代表一個圓的周長的話，那么這個圓的直徑大約是周長的三分之一，據此解答即可。
【解答】解：根據圓的周長直徑乘，即，，，圖中線段代表一個圓的周長，則圓的直徑大約是周長的三分之一，根據圖示線段最適合。
故選：。
【點評】此題解答關鍵是明確大約等于3.14，周長大約是直徑的三倍。
7．【分析】根據題意，對各選項進行依次分析、進而得出結論．
【解答】解：①圓的直徑是半徑的2倍，說法錯誤，前提是：在同圓或等圓中；
②一個半圓形的周長等于同等半徑圓周長的一半，說法錯誤，半圓的周長多出了一條直徑；
③甲數比乙數大，假設乙數是3，則甲數是4，則乙數比甲數小，說法正確；
④等腰三角形的一個角是，此角若是底角，則另一個底角也是，則最大角是，這個三角形一定是等腰直角三角形；的角若是頂角，則一個底角就是，所以說法錯誤；
⑤設，在中間有5、10、15、20、25、30共6個數，
除了25兩個數含有2個因數5外，其它只有1個，所以一共有個，則的末尾有7個0，所以本選項說法錯誤；
故選：．
【點評】此題涉及的知識點較多，但都比較簡單，屬于基礎題，只要認真，容易完成，注意平時基礎知識的積累．
8．【分析】①根據圓的周長公式進行判斷；
②已知小明與小強高度的比是，把小明的高度看作5份，小強的高度看作6份；求小明比小強矮幾分之幾，先用減法求出小明比小強矮的份數，再除以小強的份數；
③找出3點（15分）時，時針與分針的位置，再結合角的分類進行判斷；
④三角形的內角和是，已知一個三角形中的最小角是，假設另一個角也是，求出第三個角的度數，再根據三角形按角的分類進行判斷；
⑤分別求出里3的倍數的個數，7的倍數的個數，以及3和7的最小公倍數的個數，然后用3的倍數的個數的倍數的個數和7的最小公倍數的個數，即是里3和7的倍數的總個數，據此判斷。
【解答】解：①根據可知，，所以圓周率是圓的周長與直徑的比，原題說法正確；
②
小明與小強高度的比是，小明比小強矮，原題說法正確；
③3點15分，時針指向3和4的中間，分針指向3，時針與分針的夾角小于，原題說法錯誤；
④一個三角形中的最小角是，假設另一個角也是，那么第三個角是：
這個三角形一定是銳角三角形，原題說法正確；
⑤3的倍數有：（個
7的倍數有：（個
3和7的最小公倍數：
21的倍數有：（個
3和7的倍數共有：（個
441后面還有442、443，都不會影響3和7的倍數共有189個，所以最大是443；原題說法錯誤。
綜上所述，正確的有①②④，共有3個。
故選：。
【點評】本題考查圓的周長公式、比的應用、鐘面上時針與分針所成的夾角、三角形的分類、倍數知識。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】在邊長是的正方形中放置一個最大的圓，圓的半徑是正方形邊長的一半，直徑就是正方形的邊長．
【解答】解：邊長是的正方形中放置一個最大的圓，這個圓的半徑是：
（米
直徑是10米．
故答案為：5，10．
【點評】本題根據是理解正方形中放置一個最大的圓，圓的半徑是正方形邊長的一半．
10．【分析】圓規兩腳間的距離即半徑，根據“”進行解答即可。
【解答】解：（厘米）
答：圓規兩腳間的距離為4厘米。
故答案為：4。
【點評】本題主要考查圓的認識，根據同圓或等圓中半徑和直徑之間的關系進行解答即可。
11．【分析】圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小，圓規兩腳間的距離是半徑的長度。
【解答】解：由分析可知，圓規兩腳間的距離是（厘米），即這個圓的半徑是3厘米；
用圓規畫圓，圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。所以畫一個直徑6厘米的圓，圓規兩腳間的距離是3厘米，這個圓的位置由圓心決定。
故答案為：3；圓心。
【點評】此題考查的是圓的特征，應注重基礎知識的理解和運用。
12．【分析】根據圓周率的含義：圓的周長和它直徑的比值叫做圓周率，用字母“”表示，是一個無限不循環小數，計算時一般取它的近似值3.14；我國古代數學家祖沖之是第一個把它精確到七位小數的人，據此解答。
【解答】解：我國的著名數學家祖沖之把圓周率精確到之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數的人，這一成就比國外大約要早1000年。
故答案為：我，祖沖之。
【點評】明確圓周率的含義是解答此題的關鍵。
13．【分析】根據同圓中直徑和半徑的關系：，，由此解答即可．
【解答】解：填表如下：
半徑 4.5 13
直徑 9 26
故答案為：13，9．
【點評】明確同圓中，圓的直徑和半徑的關系，是解答此題的關鍵．
14．【分析】在正方形里畫一個最大的圓，則圓的直徑就是正方形的邊長，畫圖即可容易看出．
【解答】解：如圖：
在一個正方形里畫最大的圓，這個圓的直徑是正方形的 邊長．
故答案為：邊長．
【點評】此題主要考查的是：在一個正方形內畫一個最大的圓，正方形的邊長即是這個圓的直徑．
15．【分析】由圓的面積推導過程可知：將圓拼成近似的長方形后，長方形的長就等于圓的周長的一半，寬就等于圓的半徑，從而再根據長方形的周長公式求解即可。
【解答】解：因為將圓拼成近似的長方形后，長方形的長就等于圓的周長的一半，寬就等于圓的半徑，
所以這個長方形的長是：
（厘米）
寬是：（厘米）
周長是：
（厘米）
答：拼成的圖形的周長是33.12厘米。
故答案為：33.12。
【點評】解答此題的主要依據是圓的面積推導過程，要注意計算準確。
16．【分析】一條線段的一個端點不動，另一個端點旋轉一周，根據點動成線的原理即可理解。
一個半圓面圍繞一條直徑為軸旋轉一周，根據面動成體的原理即可解。
【解答】解：將一條線段的一個端點不動，另一個端點旋轉一周，其軌跡所形成的圖形是圓；將一個半圓形沿著它的直徑旋轉一周，其軌跡所形成的圖形是球。
故答案為：圓，球。
【點評】本題考查了點、線、面、體，平面圖形旋轉可以得到立體圖形，體現了點動成線，面動成體的運動觀點。
三．計算題（共1小題）
17．【分析】根據題干，利用；即可計算完成．
【解答】解：
故答案為：，，．
【點評】此題考查了有關圓的公式的計算方法．
四．操作題（共3小題）
18．【分析】（1）圓心到圓上一點的距離都相等，直徑通過圓心且兩端都在圓上。據此畫出即可。
（2）圓的半徑直徑，先求出正方形面積邊長邊長，再減去圓的面積即可。
【解答】解：（1）作圖如下：
（2）
（平方厘米）
答：這個圖形陰影部分的面積是21.5平方厘米。
【點評】此題主要考查長方形、圓的面積公式的應用。
19．【分析】只要連接正方形的兩條對角線，正方形對角線的交點，即圓的圓心；再標出半徑即可解答。
【解答】解：
【點評】此題考查了找圓心的方法。
20．【分析】用三個大小不同的圓和三條線段可拼成一個小雞的圖形，其中的三條線段可表示小雞的嘴和兩條腿。
【解答】解：
【點評】此題考查了利用已知圖形拼組組合圖形的能力。
五．解答題（共9小題）
21．【分析】根據圓的半徑的定義去判斷，圓的半徑是從圓心到圓周上任意一點的線段．
【解答】解：圓的半徑是從圓心到圓周上任意一點的線段；
方法①：把圓規的兩腳放在線段的端點上，固定一端，看另一端旋轉是否與圓重合；
方法②：這條線段從圓心出發，另一端是否在圓周上．
【點評】此題主要考查的是圓的半徑的定義，注意兩個關鍵處“從圓心出發”和“另一端必須在圓周上”即可很容易判斷是否是圓的半徑．
22．【分析】根據圓是軸對稱圖形，對稱軸是過圓心的直線，因而可以采用折疊的方法確定圓心；
圓心在弦的垂直平分線上，可以作兩條線，這兩條弦的垂直平分線的交點就是圓的圓心；
利用三角形外接圓的圓心在三邊的垂直平分線的交點上的性質在圓上任意取三點，然后將這三點順次連接起來，作其中任意兩邊的垂直平分線，他們的交點就是圓心．
【解答】解：方法一：將圓進行一次對折，則折痕就是圓的直徑，另外折疊一次，得到另一條直徑，則兩直徑的交點就是圓心；
方法二：作圓的兩條不平行的弦，然后作兩條弦的中垂線，兩中垂線的交點就是圓的圓心．
方法三：在圓上任意取三點，然后將這三點順次連接起來，作其中、的垂直平分線，他們的交點就是圓心．
【點評】本題考查了圓心的確定方法，正確理解圓的軸對稱性是解決本題的關鍵．
23．【分析】以點為起點，向右滾動一周至點，滾動的就是圓的周長，圓的周長，求出周長約為厘米，直線上每段長度為，則6.28厘米接近于6.3厘米，就是把6厘米和7厘米之間平均分成10份，取其中的3份，據此標出即可．
【解答】解：（厘米）
作圖如下：
【點評】此題考查了圓的認識和周長的求法．
24．【分析】（1）用數對表示位置時，先表示第幾列，再表示第幾行；
（2）根據旋轉的意義，找出圖中三角形3個頂點，再畫出按逆時針方向旋轉90度后的形狀即可；
（3）按上北下南，左西右東的方向確定圓心的位置，再把圓規的兩腳開口調成2厘米，畫圓即可。
【解答】解：（1）用數對表示的位置。
（3）（厘米）
（2）和（3）如圖：
【點評】本題考查了旋轉、數對確定位置及圓的畫法。
25．【分析】連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑；在同一圓內，所有的半徑長度都相等，據此解答。
【解答】解：生活中喝水杯子的口面一般都設計成圓形，主要利用了同一圓內所有的半徑長度都相等的性質。杯蓋不會掉到杯子里面。
【點評】明確圓的特征，是解答此題的關鍵。
26．【分析】根據題意，再次朝上，觀察圖示可知，大圓走了4個刻度，小圓走了（個刻度，大圓走過的路程占圓周長的，小圓占，根據路程相等列出關系式即可。
【解答】解：由此圖示和分析可知：
答：大圓是小圓的2倍。
【點評】解答此題的關鍵是了解大圓走過刻度和小圓走過的刻度占圓周長的幾分之幾。
27．【分析】圓心確定圓的位置，半徑決定圓的大小，通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，如圖測量圓中的線段，其中最長的線段即為圓的直徑。
【解答】解：在同一個圓內有無數條直徑，直徑是圓中最長的線段，如圖所示，測量出圓中最長的線段就是圓的直徑。
【點評】本題解題的關鍵是明確直徑的含義。
28．【分析】根據長方形內最大的半圓的特點可得，這個最大的半圓的直徑是9分米，據此利用直徑與半徑的關系即可解答．
【解答】解：根據題干分析可得這個最大的半圓的直徑是9分米，
（分米）
答：這個半圓的直徑是9分米，半徑是4.5分米．
【點評】解答此題要明確長方形內的最大半圓一般是以長邊為直徑．
29．【分析】根據圓的半徑的定義去判斷，圓的半徑是從圓心到圓周上任意一點的線段．
【解答】解：圓的半徑是從圓心到圓周上任意一點的線段；
方法①：把圓規的兩腳放在線段的端點上，固定一端，看另一端旋轉是否與圓重合；
方法②：這條線段從圓心出發，另一端是否在圓周上．
方法③把圓形紙片沿著線段對折，再對折，如果圓的邊沿能夠完全重合，且展開后，觀察，如果點在兩條相互垂直的折痕的交點上，這條線段就為所在圓的半徑，否則不是所在圓的半徑．
【點評】此題主要考查的是圓的半徑的定義，注意兩個關鍵處“從圓心出發”和“另一端必須在圓周上”即可很容易判斷是否是圓的半徑．

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