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第41講 長方體和正方體（提高版）
長方體
1、特征
六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。
相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。
有8個頂點。
相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。
兩個面相交的邊叫做棱。
三條棱相交的點叫做頂點。
把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。
長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。
2、計算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh
正方體
1、特征
六個面都是正方形
六個面的面積相等
12條棱，棱長都相等
有8個頂點
正方體可以看作特殊的長方體
2、計算公式：S表=6a v=a
一．選擇題（共8小題）
1．一個長方體的棱長之和是144厘米，相交于一個頂點的三條棱的長度和是　　
A．24 B．36 C．72
2．一件長方體形狀的物品，長、寬、高，它可能是　　
A．微波爐 B．冰箱 C．1張復印紙 D．筆記本電腦
3．一個正方體的展開圖如圖，這個正方體中與數字4所在面相對應的面是數字　　所在的面。
A．3 B．5 C．1
4．下面說法中，不正確的是　　
A．1既不是質數，也不是合數
B．一個數除以真分數，結果都大于原數
C．當時，和不相等
D．一個長方體最多有2個面是正方形
5．正方體木塊相對兩個面上的數字之和是7，這個木塊如圖放置后，按箭頭所示方向滾動，滾動到最后一格時，木塊朝上的數字是　　
A．4 B．5 C．6 D．無法確定
6．如圖是由若干個小正方形組成的圖形，去掉　　號小正方形后是軸對稱圖形。
A．① B．② C．③ D．④
7．如表是商品外包裝的部分信息，它最可能是　　
外形尺寸
凈重
A．微波爐 B．洗衣機 C．電冰箱 D．立式空調
8．某產品說明書上標注包裝尺寸為（毫米），它們分別表示這個長方體的長、寬、高。根據這些數據聯系生活，想象一下，它可能是　　
A．一部手機 B．一臺冰箱 C．一臺微波爐 D．一箱牛奶
二．填空題（共8小題）
9．用鐵絲焊接一個長、寬、高的長方體框架，至少需要鐵絲 　　。
10．笑笑家裝修完新居，剩4塊玻璃。兩塊長為，寬為；另外兩塊長為，寬為。爸爸想做一個長方體的玻璃魚缸（無蓋），還需要配一塊長 　　、寬 　　的玻璃。
11．如圖，在10個空白的正方形中選1個（把其余9個都剪掉），與分別寫有“祝學習進步”字樣的5個正方形折成一個正方體紙盒，共有　　種不同的選法。
12．2022年5月10日在人民大會堂舉行了“慶祝中國共產主義青年團成立100周年大會”，中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席習近平在會上發表重要講話強調，青春孕育無限希望，青年創造美好明天。下圖是一個正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對面上的字是“　　”。
13．如圖是一個正方體的表面展開圖，若在正方體的各個面均填上數，使得相對面兩數之和是10，則是 　　。
14．做一個長方體魚缸，用了如圖幾塊長方形玻璃。（單位：
這個魚缸的底是 　　號玻璃，魚缸深 　　。
15．一根長60厘米的鐵絲，正好可以圍成長8厘米，寬4厘米，高 　　厘米的長方體框架；如果可以正好圍成正方體框架，正方體框架的棱長是 　　厘米。
16．王叔叔用不銹鋼管焊制一種長方形框架。一條鋼管如果全部切割成這個長方形較長的邊，可以切割10條；如果全部切割成這個長方形較短的邊，可以切割15條。用一條這樣的鋼管，可以制作 　　個這樣的長方形框架。
三．操作題（共3小題）
17．在如圖添若干個正方形，使它成為一個正方體表面的展開圖，再求出這個正方體的體積和表面積。（每個正方形邊長為1厘米）
18．將1、2、3、4、5、6分別填在如圖中的每個方格內，使折成的正方體中相對的2個面的數之和相等。
19．要拼成一個長方體，從如圖中選出合適的6個面，在6個面中畫上斜線陰影。
四．解答題（共12小題）
20．如圖，用一根彩帶捆扎一個長方體禮品盒，接頭處的彩帶長。這根彩帶長多少厘米？
21．如圖是一張的方格紙，再保持每個方格完整的條件下將它剪成三部分，使每部分都可以沿某些格線折成一個沒有蓋的小方盒，應怎樣剪？請再圖中用線畫出來。
22．一個長方體的棱長之和是96厘米，長、寬、高的比是，這個長方體的體積是多少？
23．做一個長方體的木箱，它的所有棱長之和為112厘米，它的長、寬、高之比是．這個木箱的占地面積最大是多少平方厘米？
24．把下面這個展開圖折成一個長方體．
（1）如果面在底部，那么　　面在上面．
（2）如果面在前面，從左面看是面，那么　　面在上面．
（3）如果要求這個長方體的表面積和體積，至少要量出哪些邊的長度？
25．用長5厘米、寬3厘米的長方形硬紙做成一個棱長1厘米的小正方體有蓋，應如何剪？（接頭處忽略不計）在下面的圖中畫一畫，用陰影部分表示正方體的展開圖，至少給出兩種不同的方案．圖中每個小正方體的棱長表示1厘米．
26．下面兩個圖中五個相連的正方形可以折成一個無蓋的正方體紙盒，你能在原圖的基礎上，把他們設計成有蓋的正方體紙盒嗎？請把圖畫出來．
27．右面是一個長方體的展開圖，請同學們看圖列式計算它的體積和表面積．（單位：厘米）
28．如圖是一個正方體的展開圖，請你在3個空格中填上適當的數字，使得在原正方體中，兩個相對的面上的數字相加的和都是10．
29．小明生日那天，媽媽給他買了一個禮品，用彩帶捆扎這個禮品盒，打結用去彩帶20厘米，捆扎這個禮品盒至少用去彩帶多少厘米？
30．一個長方體的棱長總和是，長、寬、高的比是，它的寬是多少厘米？
31．右圖是一個長方體展開圖中的四個面，請你畫出其余兩個面，使它成為一個完整的展開圖，然后量出這個長方體的長、寬、高（一位小數），
（1）這個長方體的表面積是多少平方厘米？
（2）這個長方體的體積是多少立方厘米？
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】根據長方體的特征，長方體的12條棱中互相平行的一組4條棱的長度相等，長方體的棱長總和（長寬高），本題實質就是求（長寬高）的值，由此解答。
【解答】解：（厘米）
答：相交于一個頂點的三條棱的長度和是36厘米。
故選：。
【點評】此題主要考查長方體的特征和棱長總和的求法．關鍵是理解題意。
2．【分析】根據長方體的特征，長、寬、高決定長方體的大小，再根據生活經驗可知，長、寬、高的物體有可能是筆記本電腦。據此解答即可。
【解答】解：一件長方體形狀的物品，長、寬、高，它可能是筆記本電腦。
故選：。
【點評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征及應用，重點是考查學生的空間關鍵及想象能力。
3．【分析】根據正方體展開圖的11種特征，此圖為正方體展開圖的“”型，折成正方體后，數字1與4相對，2與6相對，3與5相對。
【解答】解：如圖：
這個正方體中與數字4所在面相對應的面是數字1所在的面。
故選：。
【點評】正方體展開圖分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，可自己動手操作一下并記住規律，能快速解答此類題。
4．【分析】根據質數與合數的定義可知：1既不是質數，也不是合數；
一個數除外）除以真分數，結果都大于原數；
把，代入求解，再比較即可判斷；
根據長方體的特征，它有12條棱，分為3組，互相平行的一組4條棱的長度相等；它的6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等。
【解答】解：根據質數和合數的定義可得：1既不是質數，也不是合數，所以本選項說法正確；
一個數除外）除以真分數，結果都大于原數，所以本選項說法不正確；
當時，，，和不相等，所以本選項說法正確；
根據長方體的特征可知：特殊情況一個長方體最多有2個面是正方形，其余的面都是長方形，所以本選項說法正確。
故選：。
【點評】本題主要考查了質數與合數、用字母表示數、真分數、長方體的特征及應用。
5．【分析】根據正方體木塊相對兩個面上的數字之和是7，即可分別求出1、2、3的對面數字，再根據箭頭所示方向滾動，即可確定每次滾動后，哪個數字朝上，哪個數字朝下。
【解答】解：由題意可知，數字1的對面是6，2的對面是5，3的對面是4
按箭頭指向滾動第一次，3朝下，4朝上；滾動第一次，3朝下，4朝上；2朝下，5朝上。
故選：。
【點評】關鍵根據題意弄清1、2、3對面數字分別是幾。此題可按圖親自操作一下。
6．【分析】根據軸對稱圖形的特征，去看④號圖形，剩余的5個正方形就是軸對稱圖形。
【解答】解：如圖：
故選：。
【點評】如果一個圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，折痕所在的直線叫做對稱軸。
7．【分析】根據長方體體積的意義，以及生活經驗可知，一個長502毫米，寬413毫米，高302毫米的物體，這個物體最有可能是微波爐。據此解答即可。
【解答】解：外形尺寸是：；凈重15.5千克的物體最有可能是微波爐。
故選：。
【點評】解答此題主要根據長方體的特征，以及生活經驗解決問題。
8．【分析】由題意可知712毫米是長方體的長，712毫米分米，667毫米是長方體的寬，667毫米分米，1888毫米是長方體的高，1888毫米分米，長7分米多，寬6分米多，高18分米米，高1米多接近2米，所以它可能是一臺冰箱，據此解答即可。
【解答】解：包裝尺寸為（毫米），可知長7分米多，寬6分米多，高18分米多，即高1米多接近2米，所以它可能是一臺冰箱。
故選：。
【點評】先把毫米化為分米，然后聯系生活實際，想象一下就可以得出結論。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】根據長方體的棱長總和（長寬高），把數據代入公式即可求出鐵絲的長度。
【解答】解：
答：至少需要鐵絲。
故答案為：60。
【點評】此題主要考查長方體的棱長總和公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
10．【分析】根據題意可知，要配上的這塊玻璃的長是5分米，寬是4分米，做成魚缸的長是5分米，寬是4分米，高是3分米。
【解答】解：兩塊長為，寬為；另外兩塊長為，寬為。爸爸想做一個長方體的玻璃魚缸（無蓋），還需要配一塊長、寬的玻璃。
故答案為：5；4。
【點評】本題考查了長方體的特征知識，結合題意分析解答即可。
11．【分析】正方體的展開圖共有11種，“型”的6種基本圖形，“型”的3種基本圖形，“型”的1種基本圖形，“型”的1種基本圖形；在正方體的展開圖中，不能出現“凹”字形和“田”字形，據此進行求解。
【解答】解：如圖所示，共有4種不同的選法：
故答案為：4。
【點評】本題考查的是正方體的展開圖，掌握正方體的展開圖的特點是解題的關鍵。
12．【分析】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“”，漢字“青”與“望”相對，“春”與“育”相對，“孕”與“希”相對。
【解答】解：如圖：
是一個正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對面上的字是“青”。
故答案為：青。
【點評】正方體展開圖分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，可自己動手操作一下并記住規律，能快速解答此類題。
13．【分析】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“”型，折成正方體后，字母與數字4相對，與2相對，與1相對，再根據對面兩數之和是10，即可求得是幾。
【解答】解：如圖：
折成正方體后，與2相對
答：是8。
故答案為：8。
【點評】正方體展開圖分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，可自己動手操作一下并記住規律，能快速解答此類題。
14．【分析】根據長方體的特征，長方體有6個面，相對的面面積相等，因為魚缸無蓋，通過觀察圖形可知，用①號玻璃做底面，這個魚缸的長是6分米，寬是3厘米，高是4分米。據此解答。
【解答】解：這個魚缸的底是①號玻璃，這個魚缸的長是6分米，寬是3厘米，高是4分米，所以魚缸的深4分米。
故答案為：①，4。
【點評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征及應用。
15．【分析】根據長方體的特征，12條棱分為互相平行的3組，每組4條棱的長度相等，用棱長總和除以4減去長和寬即可求出它的高；根據正方體的特征，12條棱的長度都相等，根據正方體的棱長總和棱長，用棱長總和除以12即可求出正方體的棱長。
【解答】解：
（厘米）
（厘米）
答：可以圍成長8厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體框架；正方體框架的棱長是5厘米。
故答案為：3，5。
【點評】此題考查的目的是理解掌握長方體、正方體的特征，以及它們的棱長總和公式的靈活運用。
16．【分析】可以設長方形的長為，寬為，由題意可得長和寬的關系，根據長方形的周長（長寬），列關系式求解即可。
【解答】解：設長方形的長為，寬為，
則
答：可以制作3個這樣的長方形框架。
故答案為：3。
【點評】本題主要考查長方形的特征及周長公式的應用，關鍵是明確長和寬的關系。
三．操作題（共3小題）
17．【分析】根據正方體展開圖的11種形式，結合所給圖示的特點作圖；利用正方體體積和表面積的計算方法計算。
【解答】解：如圖：
（畫法不唯一）
（立方厘米）
（平方厘米）
答：這個正方體的體積是1立方厘米，表面積是6平方厘米。
【點評】本題主要考查正方體展開圖的特征及正方體表面積和體積的計算。
18．【分析】1、2、3、4、5、6這6個數字，如果分成三組，每組兩數之和相等，只有，即1與6相對，2與5相對，3與4相對。根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方展開圖的“”型，折成正方體后，第一行與第三行的兩個正方形相對，中間一行的第一個與第三個正方形相對，第二個與第四個正方形相對。據此可將1、2、3、4、5、6分別填在如圖中的每個方格內，使折成的正方體中相對的2個面的數之和相等。
【解答】解：
（填法不唯一）。
【點評】弄清此圖折成正方體后，哪些面相對，1、2、3、4、5、6這6個數字中哪兩個數字相加和相等是關鍵。
19．【分析】根據長方體的特征：長方體的四條長相等，四條寬相等，四條高相等；據此求解即可。
【解答】解：如圖：用①③⑤⑥⑧可組成一個長為、寬為、高為的長方體。
【點評】本題主要考查了長方體的特征及靈活運用。
四．解答題（共12小題）
20．【分析】根據圖形可知：所需彩帶的長度等于長方體的兩條長、兩條寬、4條高的長度和，再加上接頭處的25厘米，根據長方體的長、寬、高的數值，代入進行計算即可解答。
【解答】解：
（厘米）
答：這根彩帶長245厘米。
【點評】本題考查長方體的特征，關鍵是能確定有幾條長、幾條寬、幾條高。
21．【分析】根據正方體的表面展開圖的判斷方法即可解答。
【解答】解：
【點評】此題考查了正方體的展開圖。
22．【分析】根據長方體的棱長總和公式：長方體的棱長總和（長寬高），用棱長總和除以4求出長、寬、高的和，再利用按比例分配的方法，分別求出長、寬、高；再利用長方體的體積公式計算即可．
【解答】解：長、寬、高的和：（厘米），
（份，
長：（厘米），
寬：（厘米），
高：（厘米），
體積：（立方厘米）；
答：這個長方體的體積是480立方厘米．
【點評】此題考查了長方體的棱長總和與長方體的體積公式的綜合應用．
23．【分析】先根據所有棱長之和為112厘米，即長、寬、高之比是求出長方體的木箱的長、寬、高．再將乘積最大的面：長12厘米，寬10厘米的一面放在地面上，可使長方體木箱占地面的面積最大．
【解答】解：（厘米），
，
（厘米），
（厘米），
（厘米），
（平方厘米）．
答：這個木箱的占地面積最大是120平方厘米．
【點評】考查了長方體的特征和長方形的面積，本題關鍵是根據比求出長方體的木箱的長、寬、高．再由長、寬、高的長度找到占地面面積最大的是長12厘米，寬10厘米的一面．
24．【分析】根據長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等．
（1）如果面在底部，那么面在上面．
（2）如果面在前面，從左面看是面，那么面在上面．
（3）如果要求這個長方體的表面積和體積，至少要量出的長、寬和的寬（長方體的高）邊的長度．據此解答．
【解答】解：（1）如果面在底部，那么面在上面．
（2）如果面在前面，從左面看是面，那么面在上面．
（3）如果要求這個長方體的表面積和體積，至少要量出的長、寬和的寬（長方體的高）邊的長度．
故答案為：；．
【點評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征及應用．
25．【分析】每個正方形邊長為1厘米，方法很多，只要是豎排不超過3個正方形，橫為4個就可以了．
【解答】解：如圖：
【點評】此題考查的是正方體的展開圖，只要明確正方體有6個面，通過對展開圖的分析，即可得出答案．
26．【分析】根據正方體展開圖的11種特征，在這兩個圖的下面、上面分別再添上一個正方形（要與原正方形中的其中一個對齊），即可成為正方體展開圖的“”型，即能折疊成有蓋的正方體紙盒．
【解答】解：如圖，
【點評】正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“”結構，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“”結構，即每一行放2個正方形，此種結構只有一種展開圖；第三種：“”結構，即每一行放3個正方形，只有一種展開圖；第四種：“”結構，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形．
27．【分析】根據長方體的展開圖，可以求出長方體的寬是：（厘米），然后根據長方體的體積公式和表面積公式即可解答．
【解答】解：長方體的寬是：（厘米），
長方體的體積：，
，
（立方厘米）；
長方體的表面積：，
，
，
（平方厘米）；
答：長方體的體積是105立方厘米；表面積是142平方厘米．
【點評】本題關鍵是求出長方體的寬，這就需要學生有一定的空間想象能力，知道哪兩個面是相對的面．
28．【分析】首先這是正方體展開圖中最基本的一種類型，首先找出2的相對面是同行的第三個，3的相對面必須隔一個列，只能是第一行的第二個，最后一個是4的相對面，再按要求得出答案．
【解答】解：答案如圖，
【點評】此題考查正方圖展開圖的特點：相對的兩個面在同行中間隔一個，異行中間隔1列，容易找出同行相對面，進一步分析得出異行相對面，得出結論．
29．【分析】根據題意和圖形可知，所需彩帶的長度等于2條長棱，2條寬棱，4條高棱，再加上打結處用的20厘米．由此列式解答即可．
【解答】解：
（厘米）；
答：扎這個禮品盒至少用去彩帶102厘米．
【點評】此題屬于長方體的棱長總和的實際應用，解答關鍵是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的長度和，還要記得加上打結所用的彩帶的長度．
30．【分析】根據長方體的棱長總和（長寬高），已知一個長方體的棱長總和是，用棱長總和除以4求出長、寬、高的和；又知長、寬、高的比是，那么寬占長、寬、高和的，根據一個數乘分數的意義，用乘法解答．
【解答】解：，
，
（厘米）；
答：它的寬是12厘米．
【點評】此題考查的目的是掌握長方體的特征，根據長方體的棱長總和公式解決問題．
31．【分析】依據長方體的特征，即相對的面面積相等，從而可以作出符合要求的圖．量出這個長方體的長是2.5厘米、寬2厘米、高0.5厘米，分別代入長方體的體積和長方體的表面積，即可分別求出其體積和表面積．
【解答】解：如圖所示，即為所要求的作圖：
這個長方體的長是2.5厘米、寬2厘米、高0.5厘米，
（1）表面積：
，
，
（平方厘米）；
答：這個長方體的表面積是14.5平方厘米；
（2）體積：（立方厘米），
答：這個長方體的體積是2.5立方厘米．
【點評】此題主要考查長方體的特征及長方體展開圖的特點，以及長方體的體積和表面積的計算方法．

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