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第42講 圓柱與圓錐（提高版）
圓柱
1、圓柱的認識
圓柱的上下兩個面叫做底面。
圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。
圓柱兩個底面之間的距離叫做高 。
進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。
2、計算公式：s側(cè)=ch s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3
圓錐
1、圓錐的認識
圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。
從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。
測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。
把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。
2、計算公式：v= sh/3
一．選擇題（共8小題）
1．下列是圓柱表面展開圖的是　　
A． B．
C． D．
2．以下能準確測量圓錐高的方法是　　
A． B．
C． D．
3．有一個圓柱形紙筒，將它的側(cè)面沿高剪開，展開后的平面圖形　　
A．可能是圓形 B．可能是梯形 C．可能是三角形 D．可能是長方形
4．把底面半徑是3厘米的圓柱的側(cè)面，沿著一條高展開后是一個正方形，這個圓柱的高是　　厘米。
A．3 B．6 C．18.84
5．一個半徑是3厘米、高是12厘米的圓柱形物品，想一想它最有可能是　　
A．牙簽筒 B．鉛筆 C．水杯 D．膠棒
6．手工課上同學(xué)們小組合作制作筆筒。小亮準備了一張長方形的硬紙板作為筆筒的側(cè)面（如圖），請聯(lián)系生活實際思考：下面最適合作為這個筆筒底面的是　　（接頭處忽略不計）
A． B．
C．
7．制作一個無蓋的圓柱形水桶，有以下幾種鐵皮可供搭配，應(yīng)選擇　　
A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
8．一個圓柱形蛋糕盒，底面半徑是15厘米，高是20厘米。用彩帶捆扎這個蛋糕盒（如圖），打結(jié)處大約用15厘米，至少需要　　厘米彩帶。
A．155 B．200 C．215
二．填空題（共8小題）
9．周末，彤彤幫忙做家務(wù)。她把8個同樣的圓柱形玻璃杯（如圖按圖2所示的方式緊密地放人紙盒中。這個紙盒的長是 　　，寬是 　　，高是 　　。
10．一種圓柱形的鐵皮罐頭，把它拆開后通常是兩個 　　形和一個 　　形或正方形。
11．如圖是一個蛋糕盒，盒子上扎了一根漂亮的絲帶，已知蛋糕底面周長是，高是，接頭處用去了，這根絲帶長 　　。
12．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，它的高是，這個圓柱的底面圓的周長是 　　，底面圓的半徑是 　　。
13．一個底面半徑是的圓柱，側(cè)面沿高展開后剛好是個正方形，這個圓柱的側(cè)面積是 　　。
14．如圖，是一個直角三角形，如果以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形是 　　，這時它的底周長是 　　厘米。
15．一個圓錐，底面半徑是4厘米，高是12厘米，從圓錐的頂點沿高將它切成相同的兩半后，表面積比原來圓錐的表面積增加了 　　平方厘米。
16．將一個棱長是的正方體容器裝滿水后，如果倒入一個底面積是的圓柱形容器正好裝滿，這個圓柱的高是 　　，如果倒入底面積是的圓錐形容器，正好裝滿，這個圓錐形的高是 　　。
三．操作題（共2小題）
17．按要求畫一畫。
畫出半徑和高都是的圓柱體的表面展開圖。作圖要求在圖中標注上相關(guān)數(shù)據(jù)。
18．在方格紙上畫出圓柱的展開圖（每個方格邊長，并在右邊空白處算出這個圓柱的表面積。
四．解答題（共12小題）
19．如圖中圓柱的底面周長是，高是，現(xiàn)用包裝繩包扎，至少需要多長的包裝繩？（接頭處需
20．小麗想準確量出圓錐的高，請你結(jié)合自己的經(jīng)驗說說自己的測量方法。（可以寫出來，也可以畫出來）
21．如圖是一個圓柱。按要求畫一畫，算一算。
（1）在方格紙上畫出這個圓柱的展開圖。（側(cè)面沿高剪開）
（2）請列式計算出這個圓柱的表面積。
22．制作一個無蓋的圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可供搭配選擇。
（1）你選擇的材料是 　　號和 　　號（填序號）
（2）用你選擇的材料制作水桶，一共用了多少平方分米的鐵皮？
23．已知用一張面積為若干平方厘米的正方形鐵皮卷成一個圓柱體，圓柱體底面積為100平方厘米．求圍成的圓柱的側(cè)面積？
24．用塑料繩捆扎一個圓柱形的蛋糕盒（如圖，單位：厘米），打結(jié)處正好是底面圓心，打結(jié)用去繩長25厘米．扎這個盒子至少用去塑料繩多少厘米？在它的整個側(cè)面貼上商標和說明，這部分的面積是多少平方厘米？
25．選擇以下哪些材料（左邊），與（右邊）長方形可以制作成圓柱形的盒子．
（1）可以選擇　　號制作圓柱形盒子．
（2）選擇其中的一種制作方法，算出這個圓柱形盒子的體積是多少立方厘米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）
26．如圖是一種圓柱形紙杯的展開圖，一壺2.2升的開水，約可以給這種杯子倒幾杯？的值取3計算）
27．如圖．一個直角三角形的兩條直角邊分別為4厘米和3厘米．
（1）以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周后能形成兩個大小不相等的　 　體．
（2）其中較大的體積是多少立方厘米？
28．在正方形鐵皮上剪下一個圓和一個扇形，恰好圍成一個圓錐模型（如圖）。如果扇形的半徑為8厘米，那么，做這個圓錐模型至少需要多少平方厘米的鐵皮？（寫出主要過程）
29．一根圓柱形鋼材，長75厘米，橫截面直徑是2厘米，如果這種鋼材每立方厘米重7.8克，這根鋼材大約重多少克？（得數(shù)保留整數(shù)）
30．畫出一個底面直徑為2厘米、高3厘米的圓柱體（側(cè)面沿高）展開圖，并標出相關(guān)數(shù)據(jù)．（每個小正方形的邊長是1厘米；
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】根據(jù)圓柱體的特點：圓柱由兩個完全一樣的底面（圓形）和側(cè)面組成，即可選出正確答案。
【解答】解：下列是圓柱表面展開圖的是。
故選：。
【點評】此題是圓柱體展開圖特點的應(yīng)用。
2．【分析】根據(jù)圓錐高的定義，從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高。因此，在測量圓錐高的時候，要準備兩把直尺（或一把直尺、一個三角板），測量圓錐的高把一把直尺靠近圓錐的底面豎起來，另一把直尺（或三角板）放在圓錐的頂點處且與豎放的直尺垂直。據(jù)此解答即可。
【解答】解：根據(jù)圓錐高的定義和測量圓錐高的方法可知，圖正確的測量圓錐高的方法。
故選：。
【點評】此題考查的目的是理解掌握圓錐的特征、圓錐高的意義，理解掌握測量圓錐高的方法及應(yīng)用。
3．【分析】任何圓柱的側(cè)面展開后是一個長方形或正方形，若是長方形，則它的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高；若是正方形，則長與寬相等，即圓柱的底面周長與高相等，據(jù)此解答。
【解答】解：有一個圓柱形紙筒，將它的側(cè)面沿高剪開，展開后的平面圖形可能是長方形。
故選：。
【點評】此題主要考查圓柱的側(cè)面展開圖與圓柱之間的關(guān)系。
4．【分析】“一個圓柱的側(cè)面展開是一個正方形，”知道圓柱的底面周長與圓柱的高相等，根據(jù)底面半徑是3厘米，根據(jù)底面周長，代入數(shù)字計算即可。
【解答】解：
（厘米）
答：圓柱的高是18.84厘米。
故選：。
【點評】此題考查圓柱的側(cè)面展開圖，圓柱的底面周長等于圓柱的高等于正方形的邊長。
5．【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗判斷解答，一個一個半徑是3厘米、高是12厘米的圓柱形物品可能是牙簽筒。
【解答】解：一個半徑是3厘米、高是12厘米的圓柱形物品是牙簽筒。
故選：。
【點評】本題考查了圓柱的特征及應(yīng)用。
6．【分析】分兩種情況：（1）當(dāng)圓柱形筆筒以為高時，圓柱的底面周長是，用周長除以3.14，再除以2，求出底面圓的半徑；
（2）當(dāng)圓柱形筆筒以為高時，圓柱的底面周長是，用周長除以3.14，再除以2，求出底面圓的半徑。
根據(jù)生活實際，底面周長12.56，圓柱形筆筒以為高時，筆筒過高，不符合生活實際，據(jù)此只能以為高。
【解答】解：（1）
答：最適合作為這個筆筒底面的是半徑為的圓形紙片。
故選：。
【點評】明確解決此題要分情況討論以及根據(jù)圓的周長求出圓的半徑的方法是解題的關(guān)鍵。
7．【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面的長等于底面的周長，算出③、④兩種底面的周長就是所需要的側(cè)面的長，據(jù)此可以判斷。
【解答】解：（分米）
所以③與②可以搭配。
（分米）
所以沒有與④相匹配的。
故選：。
【點評】此題考查了圓柱的側(cè)面的長與底面周長之間的關(guān)系，關(guān)鍵是圓柱側(cè)面的長等于底面的周長。
8．【分析】彩帶的長為4條直徑加上4條高和打結(jié)處用去的彩帶長，據(jù)此即可求解。
【解答】解：
（厘米）
答：至少需要215厘米彩帶。
故選：。
【點評】此題主要考查圓柱的特征。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】根據(jù)圖示，長方體紙盒的長是圓柱底面的4個直徑的長度；長方體的寬是2個直徑的長度，高就是圓柱玻璃杯的高度，據(jù)此解答。
【解答】解：（厘米）
（厘米）
答：這個紙盒的長是，寬是，高是。
故答案為：24，12，10。
【點評】本題考查了圓柱及長方體的特征。
10．【分析】圍成圓柱的側(cè)面的是一個圓筒，沿高線剪開，會得到長方形或正方形，兩個底為圓形，據(jù)此解答即可。
【解答】解：一種圓柱形的鐵皮罐頭，把它拆開后通常是兩個圓形和一個長方形或正方形。
故答案為：圓；長方。
【點評】本題考查圓柱的展開圖，理解一個圓柱是有兩個底和一個側(cè)面組成。
11．【分析】根據(jù)圖示，這條絲帶的長度是8條直徑加8條高的長度和接頭處的長度；首先根據(jù)圓柱的底面周長求出底面直徑即可解答。
【解答】解：（厘米）
（厘米）
故答案為：414。
【點評】本題考查圓柱的知識在生活中的應(yīng)用。
12．【分析】因為圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，所以圓柱的高等于底面周長，由此根據(jù)圓的周長公式，知道，即可求出半徑。
【解答】解：這個圓柱的高是，那么圓柱的底面周長是6.28厘米。
底面半徑是：（厘米）
答：圓柱的底面周長是6.28厘米，底面半徑是1厘米。
故答案為：6.28，1。
【點評】解答此題的關(guān)鍵是知道圓柱的側(cè)面展開圖正方形與圓柱的關(guān)系，由此再靈活利用相應(yīng)的公式解決問題。
13．【分析】因為該圓柱的側(cè)面展開后是正方形，根據(jù)“圓柱的側(cè)面展開后是一個長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，長方形的寬等于圓柱的高”可知：該圓柱的底面周長和高相等，因為圓柱的底面是圓形，所以求出圓柱的底面周長，即圓柱的高。
【解答】解：（厘米）
（平方厘米）
答：這個圓柱的側(cè)面積是985.96平方厘米。
故答案為：985.96。
【點評】此題考查的目的是理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征及應(yīng)用，圓的周長公式的應(yīng)用。
14．【分析】通過觀察圖形可知，以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個底面半徑是8厘米，高是6厘米的圓錐，根據(jù)圓的周長公式，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【解答】解：（厘米）
答：所得立體圖形是圓錐，這時它的底周長是50.24厘米。
故答案為：圓錐，50.24。
【點評】此題主要考查圓錐知識的靈活運用，關(guān)鍵是熟記圓錐的特征知識。
15．【分析】從圓錐的頂點沿著高把他切成兩半后，表面積比原來圓錐的表面積增加了2個以圓錐的底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積，由此利用圓錐的底面周長18.84厘米求出它的底面直徑即可解決問題。
【解答】解：切割后表面積增加了：
（平方厘米）
答：表面積之和比原來圓錐表面積增加96平方厘米。
故答案為：96。
【點評】抓住圓錐的切割特點，得出增加部分的面積是2個以底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積是解決此類問題的關(guān)鍵。
16．【分析】先根據(jù)正方體的容積（體積）公式：，求出水的體積，根據(jù)圓柱的體積公式，利用即可；再根據(jù)圓錐的體積公式：，那么，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【解答】解：（立方分米）
（分米）
（分米）
答：這個圓柱的高是，如果倒入底面積是的圓錐形容器，正好裝滿，這個圓錐形的高是。
故答案為：8，24。
【點評】此題主要考查正方體的容積（體積）公式、圓柱的體積公式及圓錐的體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。
三．操作題（共2小題）
17．【分析】沿圓柱的高展開，得到一個長方形，長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的高，由此根據(jù)圓的周長公式，求出圓柱的底面周長，即長方形的長；圓柱的上下兩個面都是半徑為1厘米的圓，進而畫出即可。
【解答】解：（1）長方形的長是：（厘米）
【點評】解答此題的關(guān)鍵是，知道圓柱的展開圖與圓柱的關(guān)系，并求出展開圖相應(yīng)的邊長，即可做出圖。
18．【分析】根據(jù)圓柱的特征，圓柱的上下底面是完全相同的兩個圓，側(cè)面是一個曲面，側(cè)面沿高展開是一個長方形。據(jù)此畫出圓柱的展開圖，再根據(jù)圓柱的表面積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【解答】解：作圖如下：
（平方厘米）
答：這個圓柱的表面積是25.12平方厘米。
【點評】此題考查的目的是理解掌握圓柱展開圖的特征，圓柱的表面積公式及應(yīng)用。
四．解答題（共12小題）
19．【分析】根據(jù)題意和圖形可知，所需彩帶的長度等于4條高，4條直徑，再加打結(jié)處用的15厘米，由此列式解答。
【解答】解：15分米厘米
底面直徑：
（厘米）
（厘米）
答：至少需要647厘米的包裝繩。
【點評】此題屬于圓柱體知識的實際應(yīng)用，解答關(guān)鍵是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些數(shù)據(jù)的長度和。
20．【分析】根據(jù)測量圓錐高的方法進行解答即可。
【解答】解：測量圓錐高的方法：
①先把圓錐的底面放平；
②用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面；
③豎直地量出平板和底面之間的距離，就是圓錐的高。
【點評】此題考查了測量圓錐高的方法，應(yīng)注意平時基礎(chǔ)知識的積累。
21．【分析】圓柱的側(cè)面沿高剪開的展開圖是一個長方形，這個長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高，利用求出長方形的長，長方形的寬是3厘米；圓柱的表面積側(cè)面積兩個底面積，用字母表示：。據(jù)此解答。
【解答】解：（1）（厘米）
長方形的長是6.28厘米，寬是3厘米。
如圖：
（2）
（平方厘米）
答：圓柱的表面積是25.12平方厘米。
【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面展開圖及表面積的應(yīng)用。
22．【分析】（1）根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖的特征，圓柱的側(cè)面沿高展開是一個長方形。這個長方形的長等于圓柱的底面周長，長方形的寬等于圓柱的高，根據(jù)圓的周長公式：，或，把數(shù)據(jù)代入公式求出兩個圓的周長，然后與兩個長方形的長進行比較即可。
（2）根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：，圓的面積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【解答】解：（1）（分米）
（分米）
所以我選擇的材料是②號和③號。
（2）
（平方分米）
答：一共用了75.36平方分米的鐵皮。
故答案為：②、③。
【點評】此題考查的目的是理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征及應(yīng)用，圓的周長公式、圓柱的側(cè)面積公式、圓的面積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。
23．【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖的特點可得，圍成圓柱底面的周長正方形的邊長，設(shè)這個圓柱的底面半徑為，則這個正方形的邊長就是，所以圍成的圓柱的側(cè)面積即這個正方形的面積；因為圓柱底面積為100平方厘米，根據(jù)圓的面積公式可得：，把它代入側(cè)面積公式中即可求得這個圓柱的側(cè)面積．
【解答】解：設(shè)這個圓柱的底面半徑為，則
所以
圍成的圓柱的側(cè)面積即這個正方形的面積：
（平方厘米）
答：圍成的圓柱的側(cè)面積是1256平方厘米．
【點評】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圓柱體的底面積是100平方厘米，求出，然后代入圓柱的側(cè)面積公式中即可求得這個圓柱的側(cè)面積．
24．【分析】（1）要求扎這個盒子至少用去塑料繩多少厘米，就是求8條直徑、8條高和打結(jié)用去的繩長的總和；
（2）求商標的面積是多少平方厘米，就是求圓柱形蛋糕盒的側(cè)面積，根據(jù)“圓柱的側(cè)面積”解答即可．
【解答】解：（1），
，
（厘米），
面積：，
，
（平方厘米）；
答：扎這個盒子至少用去塑料繩545厘米，在它的整個側(cè)面貼上商標和說明，這部分的面積是2355平方厘米．
【點評】解答此題用到的知識點：①圓柱的側(cè)面積的計算方法；②圓柱的特征．
25．【分析】（1）由圓柱的側(cè)面展開圖的特點可知：圓柱的側(cè)面展開后，是一個長方形，長方形的長等于底面周長，寬等于圓柱的高，據(jù)此即可計算長方形的長與圓形的底面周長，若相等，則可以選擇，否則不能選擇；
（2）求盒子的體積可以利用圓柱的體積公式，即圓柱的體積底面積高，將數(shù)據(jù)分別代入公式即可求其體積．
【解答】解：（1）因為①號的周長是：（厘米），
等于右邊材料的寬，所以可以選①號和長方形搭配；
又因為③號的周長是：（厘米），
則等于右邊材料的長，
所以也可以選擇③號和長方形搭配；
（2）選擇③號制作的盒子的體積是：
，
，
，
（立方厘米）
（立方厘米）；
答：可以選擇①或③號制作圓柱形盒子；選擇③號制作的盒子的體積大約是78.9立方厘米．
故答案為：①或③．
【點評】解答此題的關(guān)鍵是明白：長方形的長或?qū)捙c圓形的底面周長，若相等，則可以選擇，否則不能選擇．
26．【分析】根據(jù)題意，可根據(jù)圓柱的體積公式底面積高計算出這個紙杯的容積，然后再用2.2升的水除以杯子的容積即可得到可用倒的杯數(shù)，列式解答即可得到答案．
【解答】解：紙杯的底面半徑為：（厘米），
紙杯的容積為：
，
（立方厘米），
216立方厘米立方分米升，
（杯；
答：約可以給這種杯子倒10杯水．
【點評】解答此題的關(guān)鍵是利用圓柱的體積公式確定紙杯的容積，然后再用一壺水的體積除以杯子的容積即可．
27．【分析】（1）根據(jù)圓錐的定義，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．該直角邊叫圓錐的軸（也就是圓錐的高）．另一條直角邊是呀錐的底面半徑．
（2）根據(jù)圓柱的體積公式：，以3厘米長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓錐的體積較大．由此解答．
【解答】解：（1）以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周后能形成兩個大小不相等的圓錐體．
（2），
，
（立方厘米）；
答：（1）形成兩個大小不相等的圓錐體，（2）其中較大的體積是50.24立方厘米．
故答案為：圓錐．
【點評】此題主要考查圓錐的特征和體積的計算，根據(jù)體積公式解答．
28．【分析】首先設(shè)圓的半徑為，求出半徑為的圓的面積，然后用扇形的面積加上圓的面積即可求得圓錐的表面積。
【解答】解：設(shè)圓的半徑為，
因為扇形的弧長等于圓錐底面周長，
所以
圓錐的表面積：
（平方厘米）
答：做這個圓錐模型至少需要62.8平方厘米的鐵皮。
【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長；本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解。
29．【分析】首先根據(jù)圓柱的體積公式算出這根圓柱形鋼材的體積；又知道每立方厘米鋼材的重量，進一步列式解答即可．
【解答】解：
（立方厘米）
（克
克
答：這根鋼材大約重1837克．
【點評】考查了關(guān)于圓柱的應(yīng)用題，解答此題的關(guān)鍵是掌握圓柱的體積計算公式．
30．【分析】由圓柱的側(cè)面展開圖的特點可知：圓柱的側(cè)面展開后是一個長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高，圓柱的底面直徑和高已知，求出底面周長，于是可以畫出其側(cè)面展開圖．
【解答】解：如圖所示，即為所要求畫的圓柱的側(cè)面展開圖：
（厘米），
【點評】解答此題的關(guān)鍵是明白：圓柱的側(cè)面展開后是一個長方形，這個長方形的長就是圓柱的底面周長，寬就是圓柱的高．

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