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高考數(shù)學(xué)回歸課本 100 個(gè)問題（一）
1．區(qū)分集合中元素的形式：如：{x | y = lg x}—函數(shù)的定義域；{y | y = lg x}—函數(shù)的值域；
{(x, y) | y = lg x}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集。
2．在應(yīng)用條件 A∪B＝Ｂ A∩B＝Ａ Ａ Ｂ時(shí)，易忽略Ａ是空集Φ的情況．
n n
3，含n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2 ,真子集個(gè)數(shù)為2－1;如滿足{1,2} M {1,2,3,4,5}集合M有______
個(gè)。 （答：7）
4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=
5、A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA A∩CUB= CUA∪B=U
6、注意命題 p q的否定與它的否命題的區(qū)別: 命題 p q的否定是 p q；否命題是 p q；
命題“p或 q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且 q”的否定是“┐P或┐Q”
7、指數(shù)式、對數(shù)式：
m m
a n n am a n 1 0， m ，， a 1， loga1 0， loga a 1， lg 2 lg5 1， loge x ln x，
a n
ab N log N b(a 0,a 1,N 0) a loga Na ， N 。
8、二次函數(shù)
2 2
①三種形式:一般式 f(x)=ax +bx+c(軸-b/2a,a≠0,頂點(diǎn) );頂點(diǎn) f(x)=a(x-h) +k;零點(diǎn)式
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(軸 );b=0 偶函數(shù);
1
③區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系; 如：若函數(shù) y x 2 2x 4的
2
定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝ （答：2）
④實(shí)根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號;
c c
9、反比例函數(shù): y (x 0) 平移 y a (中心為(b,a))
x x b
a
10、對勾函數(shù) y x 是奇函數(shù), a 0時(shí),在區(qū)間( ，0),(0， )上為增函數(shù) a 0時(shí),在(0，a ],[ a ,0)遞減
x
在( ， a ],[ a , )遞增
11．求反函數(shù)時(shí)，易忽略求反函數(shù)的定義域．
1
12．函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個(gè)有用的結(jié)論： f (b) a f (a) b
13 求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，易錯(cuò)誤地在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號“∪”和“或”；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等
式表示．
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14、奇偶性：f(x)是偶函數(shù) f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數(shù) f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數(shù)過
原點(diǎn)(f(0)=0);定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分的條件。
15、周期性。
①若 y f (x) 圖像有兩條對稱軸 x a, x b(a b) ，則 y f (x) 必是周期函數(shù)，且一周期為
T 2 | a b |；
（2）函數(shù) f (x) 滿足 f x f a x (a 0) ，則 f (x) 是周期為 a的周期函數(shù)”：①函數(shù) f (x) 滿足
f x f a x ，則 f (x) 1是周期為 2a的周期函數(shù)；②若 f (x a) (a 0) 恒成立，則T 2a；
f (x)
f (x a) 1③若 (a 0) 恒成立，則T 2a .
f (x)
16、函數(shù)的對稱性。①滿足條件 f x a f b x a b的函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x 對稱。（2）證明函
2
數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）反比例函
c c
數(shù): y (x 0) 平移 y a (中心為(b,a))
x x b
17.反函數(shù):①函數(shù)存在反函數(shù)的條件一一映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)③周期函數(shù)、定義
域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)無反函數(shù)④互為反函數(shù)的兩函數(shù)具相同單調(diào)性⑤f(x)定義域?yàn)?A,值域?yàn)?B,則
-1 -1
f[f (x)]=x(x∈B),f [f(x)]=x(x∈A).⑥原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域,原函數(shù)值域是反函數(shù)的定義域。
題型方法總結(jié)
18Ⅰ判定相同函數(shù):定義域相同且對應(yīng)法則相同
19Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：
2
（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式： f (x) ax bx c；
2
頂點(diǎn)式： f (x) a(x m) n ；零點(diǎn)式： f (x) a(x x1)(x x2) ）。如已知 f (x) 為二次函數(shù)，且
f (x 2) f ( x 2) ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長為 2 2 ,求 f (x) 的解析式 。（答：
f (x) 1 x2 2x 1）
2
（2）代換（配湊）法――已知形如 f (g(x)) 2的表達(dá)式，求 f (x) 的表達(dá)式。如（1）已知 f (1 cos x) sin x,
2
求 f x 2 1 1的解析式（答： f (x ) x4 2x2 , x [ 2, 2] ）；（2）若 f (x ) x 2 ，則函數(shù)
x x 2
f (x 1) 2=_____（答： x 2x 3 ）；（3）若函數(shù) f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x (0, ) 時(shí)，
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f (x) x(1 3 x ) ，那么當(dāng) x ( ,0) 時(shí)， f (x) =________（答： x(1 3 x ) ）. 這里需值得注意的是所
求解析式的定義域的等價(jià)性，即 f (x) 的定義域應(yīng)是 g(x) 的值域。
（3）方程的思想――對已知等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于 f (x) 及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知
f (x) 2 f ( x) 3x 2 ，求 f (x) 的解析式（答： f (x) 3x 2 ）；（2）已知 f (x) 是奇函數(shù)， g(x) 是
3
偶函數(shù)，且 f (x) + g(x) 1= ,則 f (x) x= （答：
x 1 x2
）。
1
20 求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母 ;偶次根式被開方數(shù) ;對數(shù)真數(shù) ，底數(shù) ;零指數(shù)冪的底數(shù) );
實(shí)際問題有意義;若 f(x)定義域?yàn)閇a,b],復(fù)合函數(shù) f[g(x)]定義域由 a≤g(x)≤b 解出；若 f[g(x)]定義域
為[a,b],則 f(x)定義域相當(dāng)于 x∈[a,b]時(shí) g(x)的值域；
如：若函數(shù) y f (x) 1 的定義域?yàn)? ,2 ，則 f (log2 x) 的定義域?yàn)開_________（答： x | 2 x 4 ）； 2
（2）若函數(shù) f (x2 1)的定義域?yàn)閇 2,1) ，則函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)開_______（答：[1,5]）．
21 求值域:
2
①配方法：如：求函數(shù) y x 2x 5, x [ 1,2] 的值域（答：[4,8]）；
3x x x
②逆求法（反求法）：如： y x 通過反解，用 y 來表示3 ，再由3 的取值范圍，通過解不等式，1 3
得出 y 的取值范圍（答：（0,1））；
③換元法：
如（1） y 2sin2 x 17 3cos x 1的值域?yàn)開____（答：[ 4, ]）；
8
（2） y 2x 1 x 1 的值域?yàn)開____（答： 3, ）（令 x 1 t， t 0。運(yùn)用換元法時(shí)，
要特別要注意新元 t的范圍）；
④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
y 2sin 1 3如： 的值域（答： ( , ]）；
1 cos 2
⑤不等式法――利用基本不等式 a b 2 ab (a,b R ) 求函數(shù)的最值。如設(shè) x,a1,a2 , y成等差數(shù)列，
x,b ,b , y (a1 a )
2
1 2 成等比數(shù)列，則
2 的取值范圍是____________.（答： ( ,0] [4, ) ）。
b1b2
1
⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。如求 y x (1 x 9) ，
x
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y sin2 x 9 y 2 x 2 log 5 x (0, 80 11 2 ， 3 的值域?yàn)開_____（答： )、[ ,9]、 0, ）；1 sin x 9 2
⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。如（1）已知點(diǎn) P(x, y) 在圓
x2 y2 y 1 上，求 及 y 2x 3 3的取值范圍（答： [ , ] 、 [ 5, 5] ）；（2）求函數(shù)
x 2 3 3
y (x 2)2 (x 8)2 的值域（答：[10, ) ）；
y x 1 , 1 y x 2 1⑧判別式法：如（1）求 2 的值域（答： ）；（2）求函數(shù) 的值域（答：[0, ]）1 x 2 2 x 3 2
x2 x 1
如求 y 的值域（答： ( , 3] [1, ) ）
x 1
⑨導(dǎo)數(shù)法;分離參數(shù)法;―如求函數(shù) f (x) 2x3 4x 2 40x ， x [ 3,3]的最小值。（答：－48）
3 2x x 2 x 3
用 2 種方法求下列函數(shù)的值域：① y (x [ 1,1])②（ y , x ( ,0)；③
3 2x x
y x
2 x 3
, x ( ,0)
x 1
22 解應(yīng)用題:審題(理順數(shù)量關(guān)系)、建模、求模、驗(yàn)證
23 恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.
a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 a≤[f(x)]min; ⑦任意定義在 R 上函數(shù) f（x）都可以唯一
地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。即 f（x）＝ g ( x )＋ h ( x )
其中 g（x）＝ f（ x）＋ f（－ x）是偶函數(shù)，h（x）＝ f（ x）－ f（－ x）是奇函數(shù)
2 2
24 利用一些方法（如賦值法（令 x＝0 或 1，求出 f (0)或 f (1)、令 y x或 y x等）、遞推法、反證法
等）進(jìn)行邏輯探究。如
y
（1）若 x R， f (x) 滿足 f (x y) f (x)
f (y) ，則 f (x) 的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；
O 1
（2）若 x R， f (x) 滿足 f (xy) f (x) f (y) ，則 f (x) 的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；
（3）已知 f (x) 是定義在 ( 3,3) 上的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x 3 時(shí)， f (x) 的圖像如右圖所示，那么不等式
f (x) cos x 0 ( , 1) (0,1) ( 的解集是_____________（答： ,3)）；
2 2
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（4）設(shè) f (x) x的定義域?yàn)?R ，對任意 x, y R ，都有 f ( ) f (x) f (y) ，且 x 1時(shí)， f (x) 0，又
y
f (1) 1，①求證 f (x) 為減函數(shù)；②解不等式 f (x) f (5 x) 2 .（答： 0,1 4,5 ）．
2
/ /
25、導(dǎo)數(shù)幾何物理意義:k=f (x0)表示曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x0,f(x0))處切線的斜率。V＝s (t)表示 t時(shí)刻即時(shí)
速度,a=v′(t)表示 t 時(shí)刻加速度。
導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，極值最值的方法和步驟。
S (n 1)
26、an={
1 注意驗(yàn)證 a1是否包含在 an 的公式中。
S *n Sn 1(n 2,n N )
27、 ｛an｝等差 an an 1 d (常數(shù)) 2an an 1 an 1(n 2,n N *中項(xiàng))
an an b(一次) sn An
2 Bn(常數(shù)項(xiàng)為0的二次);a,b, A,B
a 2n an-1 an 1(n 2,n N) a｛a nn}等比 q(定);
an 0 an 1
an a1 q
n 1 sn m m q
n ;m
28、首項(xiàng)正的遞減(或首項(xiàng)負(fù)的遞增)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式
an 0 an 0
(或 ) ,或用二次函數(shù)處理;(等比前 n 項(xiàng)積 )，由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？
an 1 0 an 1 0
n(n 1) n(n 1) n(a a )
29、等差數(shù)列中 an=a1+(n-1)d;S
1 n
n= na1 d = na2 n
d =
2 2
n-1 a1(1 q
n ) a1 a q等比數(shù)列中 an= a1 q ;當(dāng) q=1,Sn=na1 當(dāng) q≠1,S nn= =1 q 1 q
a a
30. 常用性質(zhì)：等差數(shù)列中, an=am+ (n－m)d, d m n ;當(dāng) m+n=p+q,am+an=ap+aq；
m n
n-m
等比數(shù)列中，an=amq ; 當(dāng) m+n=p+q ，aman=apaq；
31. 等差數(shù)列{an}的任意連續(xù) m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。
等比數(shù)列{an}的任意連續(xù) m項(xiàng)的和且不為零時(shí)構(gòu)成的數(shù)列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。
如：公比為-1 時(shí)， S4 、 S8 - S4 、 S12 - S8 、…不成等比數(shù)列
32 求和常法:公式、分組、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、倒序相加.關(guān)鍵找通項(xiàng)結(jié)構(gòu).
33 求通項(xiàng)常法:
S1 (n 1)a n
s a S S (n 2)（1）已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 n ,求通項(xiàng) n ，可利用公式: n n 1
（2）先猜后證
（3）遞推式為 a n＋1 ＝ a n ＋f(n) (采用累加法)； a n＋1 ＝ a n ×f(n) (采用累積法)（4）構(gòu)造法形如
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an kan 1 b、 a
n
n kan 1 b （ k ,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列
如①已知 a1 1,an 3an 1 2 ，求 an
（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當(dāng)注意以下 3 個(gè)公式的合理運(yùn)用
a
a ＝（a －a ）+(a －a )+……＋（a －a）＋a ； a＝ n
a n－1 a 2
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1 n aa n－1 a
1
n－2 a1
a
（6）倒數(shù)法形如 a n 1n 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan 1 b
a 1
如①已知 a1 1,a n 1n ，求 a （答： a ）；3an 1 1
n n 3n 2
②已知數(shù)列滿足 a1=1， an 1 an ana
1
n 1 ，求 an （答： an 2 ）n
34 、 常 見 和 ： 1 2 3 n 12 n(n 1) ， 1
2 22 n2 16 n(n 1)(2n 1) ，
13 23 33 n3 [n(n 1)]22
35、終邊相同(β=2kπ+α); 弧長公式： l | | R，扇形面積公式： S 12 lR
1
2 | | R
2
，1 弧度
(1rad) 57.3 .
36、函數(shù) y= Asin( x ) b（ 0, A 0 ）
①五點(diǎn)法作圖;
2
②振幅 相位 初相 周期 T= ,頻率 φ=kπ時(shí)奇函數(shù);φ=kπ+ 時(shí)偶函數(shù).
2
③對稱軸處 y 取最值,對稱中心處值為 0;余弦正切可類比.
④變換:φ正左移負(fù)右移；b正上移負(fù)下移;
1
| | 橫坐標(biāo)伸縮到原來的 倍y sin x 左 或 右平 移 y sin(x ) y sin( x )
1
橫坐標(biāo)伸縮到原來的 倍 左或右平移 | |
y sin x y sin x y sin( x )
縱 坐 標(biāo)伸 縮到 原來 的A 倍 y Asin( x ) 上 或 下平 移 |b| y Asin( x ) b
a b c b2 c2 a2
37、正弦定理:2R= = = ;余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A , cosA ;
sin A sin B sinC 2bc
38、內(nèi)切圓半徑 r= 2S ABC S 1 1 absinC bcsinA 1 casinB
a b c 2 2 2
39、誘導(dǎo)公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視 為銳角)
40、重要公式： sin2 1 cos2 ； cos2 1 cos2 ．；
2 2
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tan 1 cos sin 1 cos ; 1 sin (cos sin )2 cos sin
2 1 cos 1 cos sin 2 2 2 2
41 巧變角：如 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ，
2 2 ， 2 等）2 2
42、輔助角公式中輔助角的確定： asin x bcos x a2 b2 sin x b(其中 tan )
a
43、 a b a b a b ,
44、向量 b 在 a a b方向上的投影︱b︱cos ＝
a

45、 e1 和 e2 是平面一組基底,則該平面任一向量 a 1 e1 2 e2 ( 1, 2 唯一)

特別：. OP＝ 1OA 2OB則 1 2 1是三點(diǎn) P、A、B共線的充要條件
1 46、在 ABC中， PG 3 (PA PB PC) G為 ABC的重心，

特別地 PA PB PC 0 P為 ABC的重心；

47、 PA PB PB PC PC PA P為 ABC的垂心；

48、向量 ( A B A C )( 0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是 BAC的角平分線所在直線)；
| AB | | AC |

| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P ABC的內(nèi)心；
49、兩個(gè)不等式相乘時(shí),必須注意同向同正時(shí)才能相乘,即同向同正可乘；同時(shí)要注意“同號可倒”
1 1 1 1
即ａ＞ｂ＞ｏ ，ａ＜ｂ＜ｏ ．
a b a b
f (x)
50 分式不等式 > a, (a 0) 的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分、零點(diǎn)分段）
g(x)
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高考數(shù)學(xué)回歸課本 100 個(gè)問題（二）
51、常用不等式：若 a,b 0，
a2 b2（1） a b2 2 ab
2
1 1 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號） ；
a b
（2）a、b、c R， a2 b2 c2 ab bc ca（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)，取等號）；
a b 0,m 0 b b m（3）若 ，則 （糖水的濃度問題）。
a a m
52、①一正二定三相等；
②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方；
y 9 1 4x (x )
53、如：①函數(shù) 2 4x 2 的最小值 。（答：8）
②若若 x 2y 1 x y，則 2 4 的最小值是______（答：2 2）；
1 1
③正數(shù) x, y滿足 x 2y 1，則 的最小值為______（答：3 2 2 ）；
x y
54、 a b a b a b (何時(shí)取等？)；|a|≥a；|a|≥－a
55、不等式證明之放縮法
Ⅰ、 k 1 k 1 1 ；
k 1 k 2 k
1 1 1 1 1 1 1 1
Ⅱ、 2 ； 2 （程度大）k k(k 1) k 1 k k k(k 1) k k 1
1 1 1 1 1 1
Ⅲ、 2 2 ( ) ； （程度小）k k 1 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1
56、不等式證明之換元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：
x 2 y 2已知 a 2，可設(shè) x a cos , y a sin ；
已知 x 2 y 2 1，可設(shè) x r cos , y r sin (0 r 1)；
x 2 y 2
已知 2 2 1，可設(shè) x a cos , y bsin ；a b
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x 2 y 2
已知 2 2 1，可設(shè) x a sec , y b tan ；a b
57、解絕對值不等式:
①幾何法(圖像法)
②定義法(零點(diǎn)分段法);
③兩邊平方
④公式法：|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)orf(x)<-g(x)
|f(x)|60. 位置和符號
①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法
②直線與平面: a∥α、a∩α=A (a α) 、a α③平面與平面:α∥β、α∩β=a
61. 常用定理:
a //b
b a // // a ①線面平行 ; a // ; a //
a a a
a// //
②線線平行: a a a//b ; a //b; a ;
a // b
a//b c // b
b

b
a // c
b


a ,b
a //
③面面平行: a b O // ; // ; // a //
a // ,b //
PO
0
62、④線線垂直: a a b ;所成角 90 ； b a a PA
(三垂線);逆定理
a AO
a ,b
⑤線面垂直: // a //b a b O l ; l a ; a
a ;
a
b
l a,l b a ,a l


0 a a //
⑥面面垂直：二面角 90 ; ; a a
62. 求空間角之異面直線所成角 的求法：
(0, （1）范圍： ]；
2
（2）求法：平移以及補(bǔ)形法、向量法。

63、求空間角之直線和平面所成的角：（1）范圍[0 ,90 ]；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。：
（3）求法：作垂線找射影或求點(diǎn)線距離 （向量法）
64 求空間角之二面角：二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法： S射＝S原 cos 、轉(zhuǎn)化
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為法向量的夾角。
65. 空間距離:
①異面直線間距離:找公垂線;

PA n
②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點(diǎn)到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法 h .
n
③點(diǎn)到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;
66. 從點(diǎn) O引射線 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則 A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分線上;若 A 到 OB 與 OC 距
離相等,則 A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分線上；
67. 常用轉(zhuǎn)化思想:
①構(gòu)造四邊形、三角形把問題化為平面問題
②將空間圖展開為平面圖
③割補(bǔ)法
④等體積轉(zhuǎn)化
⑤線線平行 線面平行 面面平行
⑥線線垂直 線面垂直 面面垂直
⑦有中點(diǎn)等特殊點(diǎn)線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.
69.類比結(jié)論：三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面內(nèi)射影為AO,AC在平面內(nèi),設(shè)∠CAO=α,∠BAC=β,
則 cosβ=cosθcosα;長方體:對角線長 l a2 b2 c2 ;若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成角分
2 2 2 2
別為α,β,γ,則有 cos α+cos β+cos γ=1;體對角線與過同頂點(diǎn)的三側(cè)面所成角分別為α,β,γ,則 cos
2 2
α+cos β+cos γ=2;正方體和長方體外接球直徑=體對角線長;
70、求直線方程時(shí)要防止由于零截距和無斜率造成丟解。
71、直線 Ax+By+C=0 的方向向量為 a =(A,-B)
72、兩直線平行和垂直的判定
k k k k
73、l1到 l2的角 tanθ= 2 1 ;夾角 tanθ=| 2 1 |;點(diǎn)線距 d=
| Ax0 By0 C | ;
1 k2k1 1 k2k1 A2 B2
2 2 2 2 2 2 2
74、圓:標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a) +(y－b) =r ;一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)
x a r cos
參數(shù)方程: ;直徑式方程(x-x1)(x-xy b rsin 2
)+(y-y1)(y-y2)=0

2 2 2 2
75、把兩圓 x +y +D1x+E1y+C1=0 與 x +y +D2x+E2y+C2=0 方程相減即得相交弦所在直線方:
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;
推廣:橢圓、雙曲線、拋物線 過曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點(diǎn)的曲線系方程為: f1(x,y)+λf2(x,y)=0
76、圓上動(dòng)點(diǎn)到某條直線(或某點(diǎn))的距離的最大、最小值的求法(過圓心)
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2 2 2 2
77、過圓 x +y =r 上點(diǎn) P(x0,y0)的切線為:x0x+y0y=r ;
2 2 2 2
過圓 x +y =r 外點(diǎn) P(x0,y0)作切線后切點(diǎn)弦方程:x0x+y0y=r ;
過圓外點(diǎn)作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.
x 2 y2 x a cos
78、橢圓①方程 2 2 1(a>b>0);參數(shù)方程a b y bsin
| PF |
②定義: =e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2cd相應(yīng)
c 1 b
2
2 2 2
③e= ,a =b +c
a a2
④長軸長為 2a，短軸長為 2b
⑤焦半徑左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦點(diǎn)弦 AB 2a e(xA xB ) ,右焦點(diǎn)弦 AB 2a e(xA xB )
a 2 2b2 b2⑥準(zhǔn)線 x= 、通徑(最短焦點(diǎn)弦) ,焦準(zhǔn)距 p=
c a c
⑦焦點(diǎn)三角形問題常要結(jié)合正余弦定義和橢圓定義。
79、雙曲線
x2 y2
①方程
a2
2 1(a,b>0)b
| PF |
②定義: =e>1; ||PF1|-|PF2||=2a<2cd相應(yīng)
c b21 2 2 2③e= ,c =a +b
a a 2
④四點(diǎn)坐標(biāo)？x,y 范圍 實(shí)虛軸、漸進(jìn)線交點(diǎn)為中心
⑤焦半徑、焦點(diǎn)弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點(diǎn)不同);到焦點(diǎn)距離常化為到準(zhǔn)線距離
a 2 2b2 b 2
⑥準(zhǔn)線 x= 、通徑(最短焦點(diǎn)弦) ,焦準(zhǔn)距 p=
c a c
80、拋物線
2
①方程 y =2px ②定義:|PF|=d 準(zhǔn)
p p
③頂點(diǎn)為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線垂線段中點(diǎn);x,y 范圍 軸？焦點(diǎn) F( ,0),準(zhǔn)線 x=- ,
2 2
AF x p
2
④焦半徑 A ;焦點(diǎn)弦 AB ＝x1+x2+p;y1y2=－p
2,x1x2=
p 其中 A(x1,y1)、B(x2,y2)2 4
⑤通徑 2p,焦準(zhǔn)距 p;
81、求最優(yōu)解注意： ①目標(biāo)函數(shù)值≠截距 ②目標(biāo)函數(shù)斜率與區(qū)域邊界斜率的關(guān)系.
82.對稱
①點(diǎn)(ａ,ｂ)關(guān)于ｘ軸、ｙ軸、原點(diǎn)、直線 y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m 的對稱點(diǎn)分別是(ａ,-ｂ),
(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)
②點(diǎn)(ａ,ｂ)關(guān)于直線 Ax+By+C=0 對稱點(diǎn)用斜率互為負(fù)倒數(shù)和中點(diǎn)在軸上解
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83、曲線 f(x,y)=0 關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱曲線為 f(2a-x,2b-y)=0;關(guān)于 y=x 對稱曲線為 f(y,x)=0;
關(guān)于軸 x=a 對稱曲線方程為 f(2a-x,y)=0;
關(guān)于軸 y=a 對稱曲線方程為:f(x,2a-y)=0;可用于折疊(反射)問題.
84、相交弦問題
①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達(dá)定理、弦長公式;注意二次項(xiàng)系數(shù)為 0 的
討論;注意對參數(shù)分類討論和數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想的運(yùn)用;注意焦點(diǎn)弦可用焦半徑公式,其它用弦長公

式 AB 1 k2 x x (1 k2 ) x

2 1 1
1
y y (1 1 ) y
| a x | k2
2 1 k 2 | a y |
2 2
②涉及弦中點(diǎn)與斜率問題常用“點(diǎn)差法”.如: 曲線 x y 1(a,b>0)上 A(x1,y1)、B(x2,y2)中點(diǎn)為 M(x2 2 0,y0),a b
2 2
則 KABKOM=
b
;對拋物線 y =2px(p≠0)有 K
2p
2 AB
＝
a y1 y2
85、軌跡方程:直接法(建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、定范圍)、定義法、幾何法、代入法(動(dòng)點(diǎn) P(x,y)依賴
于動(dòng)點(diǎn) Q(x1,y1)而變化,Q(x1,y1)在已知曲線上,用 x、y 表示 x1、y1,再將 x1、y1代入已知曲線即得所求方程)、
參數(shù)法、交軌法等.
2 2
86、運(yùn)用假設(shè)技巧以簡化計(jì)算.如:中心在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓(雙曲線)方程可設(shè)為 Ax +Bx ＝1;共
2 2
漸進(jìn)線 y b x y
2
2 y
x的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 ( 為參數(shù), ≠0);拋物線 y =2px 上點(diǎn)可設(shè)為( 0 ,y0);直
a a 2 b2 2p
線的另一種假設(shè)為 x=my+a;解焦點(diǎn)三角形常用正余弦定理及圓錐曲線定義.
87、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：

（1） 給出直線的方向向量u 1,k 或u m,n ；
（2）給出OA OB與 AB 相交,等于已知OA OB過 AB 的中點(diǎn);

（3）給出 PM PN 0 ,等于已知 P是MN 的中點(diǎn);
（4）給出 AP AQ BP BQ ,等于已知 A,B與 PQ的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;

（5） 給出以下情形之一：① AB // AC ；②存在實(shí)數(shù) ,使AB AC ；③若存在實(shí)數(shù)

, ,且 1,使OC OA OB ,等于已知 A,B,C三點(diǎn)共線.
OP OA OB（6） 給出 ，等于已知 P是 AB的定比分點(diǎn)， 為定比，即 AP PB
1
（7） 給出MA MB 0 ,等于已知MA MB ,即 AMB 是直角,給出MA MB m 0 ,等于已知
AMB 是鈍角, 給出MA MB m 0 ,等于已知 AMB 是銳角,
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MA MB
（8）給出 MP ,等于已知MP是 AMB 的平分線/
MA MB

（9）在平行四邊形 ABCD中，給出 (AB AD) (AB AD) 0，等于已知 ABCD是菱形;

（10） 在平行四邊形 ABCD中，給出 | AB AD | | AB AD |，等于已知 ABCD是矩形;
2 2 2
（11）在 ABC中，給出OA OB OC ，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圓的圓心，
三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；
（12） 在 ABC中，給出OA OB OC 0，等于已知O是 ABC的重心（三角形的重心是三角
形三條中線的交點(diǎn)）；
（13）在 ABC中，給出OA OB OB OC OC OA，等于已知O是 ABC的垂心（三角形的
垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；

（14）在 ABC中，給出OP OA ( AB AC ) ( R )等于已知 AP通過 ABC的內(nèi)心；
| AB | | AC |
（15）在 ABC中，給出 a OA b OB c OC 0,等于已知O是 ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓
的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；
1
（16） 在 ABC中，給出 AD AB AC ,等于已知 AD是 ABC中 BC邊的中線;2
88、計(jì)數(shù)原理：分類相加；分步相乘；有序排列，無序組合
Am n! *89、排列數(shù)公式: n =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (n m)! (m≤n,m、n∈N ),
n m m 1 m m m 1
0!=1; An =n!; n.n!=(n+1)!-n!; An nAn 1 ; An 1 An mAn
m
90、組合數(shù)公式：Cm An n (n 1) (n m 1)
n! 0
= m!(n m )! （m≤n）, Cn 1;Cm Cn m r r 1 rn m! m (m 1) (m 2) 3 2 1 n n
;Cn Cn Cn 1 ;

91、主要解題方法：①優(yōu)先法②捆綁法③插空法④間接扣除法⑤隔板法⑥先選后排,先分再排(注意等
分分組問題)
92、二項(xiàng)式定理 (a b) n C 0a n C 1n na
n 1b C 2a n 2b 2 C ra n rn n b
r C nn b
n
n 1 2 2 r r n n
特別地：(1+x) =1+Cn x+Cn x +…+Cn x +…+Cn x
r n－r r
93、二項(xiàng)展開式通項(xiàng): Tr+1= Cn a b ;
作用：處理與指定項(xiàng)、特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等有關(guān)問題。要注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)；
94、二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì):
m n－m
①對稱性: 與首末兩端等距的二項(xiàng)式系數(shù)相等.Cn =Cn
②中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大:n 為偶數(shù),中間一項(xiàng);若 n為奇數(shù),中間兩項(xiàng)(哪項(xiàng) )
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③二項(xiàng)式系數(shù)和C0n C
1 C2n n C
n
n 2
n;C0n C
2
n C
1
n C
3
n 2
n 1;
n
95、f(x)=(ax+b) 展開各項(xiàng)系數(shù)和為 f(1);
1 1
奇次項(xiàng)系數(shù)和為 [ f (1) f ( 1)] ; 偶次項(xiàng)系數(shù)和為 [ f (1) f ( 1)];
2 2
(ax by)n展開各項(xiàng)系數(shù)和,令 x y 1可得.
96、隨機(jī)事件 A的概率0 P(A) 1，其中當(dāng) P(A) 1時(shí)稱為必然事件；
當(dāng) P(A) 0時(shí)稱為不可能事件 P(A)=0；
等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n 互斥事件(不可能同時(shí)發(fā)生的):P(A+B)=P(A)+P(B) 獨(dú)立事
k k n-k
件(事件 A、B 的發(fā)生互不影響):P(A B)＝P(A)·P(B) 獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)：:Pn(K)=Cn p (1-p) 為 A 在 n
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生 k次的概率。
97、總體、個(gè)體、樣本、樣本容量;抽樣方法:①簡單隨機(jī)抽樣(包括隨機(jī)數(shù)表法,抽簽法)②分層抽樣(用于
n
個(gè)體有明顯差異時(shí)). 共同點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等 。
N
n
98、【文科】總體分布的估計(jì)樣本平均數(shù)： x 1 (x x x 1 1 2 3 xn ) xn n ii 1
1 1 n2 2 2 2 2 1 22 2 2 2
樣本方差： s [(x1 x) (x2 x) (x n x) ] (xi x) ；＝ (x1 +x2 + x3 +…+xn －n x )n n i 1 n
方差和標(biāo)準(zhǔn)差用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。
2
提醒：若 x1, x2 , , xn 的平均數(shù)為 x，方差為 s ，則 ax1 b,ax2 b, ,axn b 的平均數(shù)為 ax b，方差
為 a2s2 。
【理科】(1)、離散型隨機(jī)變量的分布列:
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ① pi 0(i 1,2,…)； ②P1+P2+…=1
(2)數(shù)學(xué)期望: 則稱 E x1 p1 x2 p2 … xn pn … 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．
期望的一個(gè)性質(zhì): E(a b) aE b
(3)方差: D ＝ (x1 E )
2 p1＋ (x2 E )
2 p2＋…＋ (xn E )
2 pn ＋…．
衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量方差越大數(shù)據(jù)波動(dòng)越大
(4)方差的性質(zhì)： D(a b) a2D ；D E( 2 ) (E )2
二項(xiàng)分布:ξ～B(n，p k)，并記Cn p
kq n k＝b(k；n，p)．
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2
99. 正態(tài)總體 N(μ，σ )的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體 N(0，1)的概率密度函數(shù)為
； ．
n
100. 如下兩個(gè)極限的條件易記混： limq 0成立的條件為 | q | 1；
n
lim S a 1n 成立的條件為0 | q | 1．
n 1 q

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