資源簡介

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專題 01 三角函數(shù)與三角恒等變換
【命題規(guī)律】
高考對三角恒等變換、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，往往在通過小題考查的同時，在大題中
將三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合考查.具體的，先利用三角公式將三角函數(shù)式
化簡，然后進(jìn)一步研究三角函數(shù)的性質(zhì).其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周
期性、對稱性以及圖象變換是主要考查對象，難度以中檔為主. 主要考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想
象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等核心素養(yǎng).在解題過程中,要注意三角恒等變換公式的多樣性和靈
活性,注意題目中隱含的各種限制條件,選擇合理的解決方法,靈活地實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.
【知識技能方法】
1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中 k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x | x k

,k Z}
2
值域 [ 1,1] R R
周期性 2 2
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
(k ,0) (k ,0) (k 對稱中心 ,0)
2 2

對稱軸方程 x k x k 無
2
2．三角函數(shù)的周期性
2
(1)函數(shù) y Asin( x )的最小正周期T ．應(yīng)特別注意函數(shù) y | Asin( x ) |的
| |
周期為T

，函數(shù) y
2
| Asin( x ) b |(b 0 )的最小正周期T ．| | | |
2
(2)函數(shù) y Acos( x )的最小正周期T ．應(yīng)特別注意函數(shù) y | Acos( x ) |
| |
2
的周期為T ．函數(shù) y | Acos( x ) b |(b 0 )的最小正周期均為T ．| | | |
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(3)函數(shù) y A tan( x )的最小正周期T ．應(yīng)特別注意函數(shù) y | A tan( x ) | |
| |

的周期為T ，函數(shù) y | A tan( x ) b |(b 0 ) 的最小正周期均為T ．| | | |
3．三角函數(shù)的奇偶性
(1)函數(shù) y Asin( x )是奇函數(shù) k ( k Z )，是偶函數(shù) k ( k Z )；
2
(2)函數(shù) y Acos( x ) 是奇函數(shù) k ( k Z )，是偶函數(shù) k ( k Z )；
2
(3)函數(shù) y A tan( x )是奇函數(shù) k ( k Z )．
4．三角函數(shù)的對稱性
(1)函數(shù) y Asin( x ) 的圖象的對稱軸由 x k ( k Z )解得，對稱中心的
2
橫坐標(biāo)由 x k ( k Z )解得；
(2)函數(shù) y Acos( x )的圖象的對稱軸由 x k ( k Z )解得，對稱中心的橫坐
標(biāo)由 x k ( k Z )解得；
2
(3)函數(shù) y A tan( x ) x k 的圖象的對稱中心由 k Z )解得．
2
5．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
tan( ) tan tan
T 1 tan tan (α－β)
變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)
tan( ) tan tan ；
T 1 tan tan (α＋β)
變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)
b
6．輔助角公式：a sin x bcos x a 2 b 2 sin(x ) ，（其中 tan ）；a
7．二倍角公式
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sin 2x＝2sinxcosx；
S2α 變形：1＋sin 2x＝(sinx＋cosx)
2，
2
1－sin 2x＝(sinx－cosx)
2 2 2 2
cos 2x＝cos x－sin x＝2cos x－1＝1－2sin x；
C2α sin2 x 1 cos2x cos2 x 1 cos2x
變形-降冪公式： 2 2
T2α tan 2x
2 tanx

1 tan 2 x
8.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
2 2
(1)平方關(guān)系： sin ＋cos ＝1( R)．
sin
(2)商數(shù)關(guān)系： tan = ( k , k Z ) .
cos 2
9.應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡求值的常見問題及注意事項
(1)已知角求值問題．關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值
求解．轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應(yīng)用．
(2)對給定的式子進(jìn)行化簡或求值問題．要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給
定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函
數(shù)名出錯．
10.“ sin cos ，sin ·cos ”關(guān)系的應(yīng)用
(sin cos )2 1 2sin ·cos sin ·cos (sin cos )
2 1
＝ ， ，
2
sin ·cos 1 (sin cos )
2
.
2
因此在解題中已知 1個可求另外 2個．
11.解決三角函數(shù)綜合問題的一般步驟
第一步：將 f (x)化為 a sin x bcos x的形式．
2 2 a b
第二步：構(gòu)造 f (x) a b ( sin x cos x) .
a2 b2 a2 b2
第三步：和角公式逆用，得 f (x) a2 b2 sin( x ) (其中φ為輔助角)．
f (x) a2 b2第四步：利用 sin( x ) 研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范．
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專題 02 解三角形
【命題規(guī)律】
高考對正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考
查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查正弦定理、余弦定理以及解三角形問題，主要
考查：1．邊和角的計算．2．三角形形狀的判斷．3．周長、面積的計算．4．有關(guān)的最值、
范圍問題.5.平面幾何（三角形中線）問題．由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實際問題結(jié)合起來進(jìn)
行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視，在新高考中很多題目開始以開放性題型命.
由于 2019 版 A 版教材將正弦定理、余弦定理列入平面向量的應(yīng)用，與平面向量的結(jié)合考查
大概率上升.無論怎樣都離不開與三角恒等變換的結(jié)合.預(yù)測試題難度控制在中等或中等以上，
主要考查靈活運用公式求解計算能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想．
【知識技能方法】
1、正弦定理及其變形
（1）a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC (邊化角公式）
a
（2）sin A ,sin B b ,sinC c (角化邊公式）
2R 2R 2R
（3）a :b : c sin A : sin B : sinC
2、余弦定理及其推論
b2 2cos A c a
2

a2 b2 c2 2bc cosA 2bc
2 2
b2 a2 c2 2ac cosB cos B a c b
2

2ac
c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 c2cosC
2ab
3、常用的三角形面積公式
1
（1） S ABC 底 高；2
S 1 absinC 1 bcsin A 1（2） ABC casin B（兩邊夾一角）；2 2 2
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4、基本不等式
① ab a b
2
a2② b2 2ab
5、向量化(三角形中線問題）

如圖在 ABC中，D為CB的中點， 2AD AC AB (此秘籍在解決三角形中線問題時，
高效便捷）
6．仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如
圖①)．
7．方位角
從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 B點的方位角為α(如圖②)．
8．方向角：相對于某一正方向的水平角．
(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．
(3)南偏西等其他方向角類似．
9．在△ABC 中，常有以下結(jié)論：
（1）∠A＋∠B＋∠C＝ .
（2）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.
A B 1 C
（3）sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin ＝cos ；
2 2 2
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A B C
cos ＝sin .
2 2
（4）三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
10．解三角形的基本元素的計算
(1)已知三邊 a，b，c.
運用余弦定理可求三角 A，B，C.
(2)已知兩邊 a，b 及夾角 C.
運用余弦定理可求第三邊 c.
(3)已知兩邊 a，b 及一邊對角 A.
bsin A
先用正弦定理，求 sinB，sinB＝ .
a
①A 為銳角時，若 a解.
②A 為直角或鈍角時，若 a≤b，無解；若 a>b，一解.
(4)已知一邊 a 及兩角 A，B(或 B，C)用正弦定理，先求出一邊，后求另一邊.
11.判斷三角形形狀的兩種思路
（1）化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.
（2）化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用
A＋B＋C＝π這個結(jié)論.
12.三角形面積公式的應(yīng)用原則
（1）對于三角形面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.
（2）與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.
13.利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟
（1）分析——理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.
（2）建模——根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，
建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.
（3）求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.
（4）檢驗——檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.
14.解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：
(1)利用三角恒等變形化簡三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形.
(2)解三角形與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
15.平面幾何中解三角形問題的求解思路
（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理
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求解.
（2）尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
提醒：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊
形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題.
16.解三角形問題中，求解某個量(式子)的取值范圍是命題的熱點，其主要解決思路是：
要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作
為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍
限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避
免結(jié)果的范圍過大.
（1）求角的三角函數(shù)值的最值：關(guān)鍵是熟練地運用余弦定理、兩角差的正余弦公式以及輔
助角公式.
（2）求邊的最值：邊的最值一般通過三角形中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，
再結(jié)合角的范圍求解.有時也可利用均值不等式求解.
（3）利用三角函數(shù)的有關(guān)公式，結(jié)合三角形的面積公式及正、余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為邊
或角的關(guān)系，利用函數(shù)或不等式是一種解決此類問題的常規(guī)方法.
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專題 03 數(shù)列之通項問題
【命題規(guī)律】
數(shù)列問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1．等差等比數(shù)列的證明．2．?dāng)?shù)列求通項．3．?dāng)?shù)
列求和．4．?dāng)?shù)列不等式問題.5.與概率、導(dǎo)數(shù)結(jié)合問題．在新高考中開放性題型命題值得關(guān)
注．
【知識技能方法】
S1，n 1
1、an
Sn Sn 1,n 2
說明：此公式考點為兩個方向：方向一，an Sn Sn 1(n 2)即在求通項問題中，用 an 替
換題目中的 Sn Sn 1；此考點為主要考點；方向二：Sn Sn 1 an (n 2)，即在求通項問
題中，用 Sn Sn 1替換題目中的 an ，此法和方向一剛好是反方向的；此考點出現(xiàn)頻率較少。
2.累加法（疊加法）
若數(shù)列 an 滿足 an 1 an f (n) (n N *)，則稱數(shù)列 an 為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列 an
的通項時，利用恒等式
an a1 (a2 a1) (a3 a2 ) (an an 1) a1 f (1) f (2) f (3) f (n 1) (n 2)
求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
a2 a1 f (1)
a3 a2 f (2)
a4 a3 f (3)

an an 1 f (n 1)
將上述n 1個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
(a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) (a n a n 1) = f (1) f (2) f (3) f (n 1)
整理得：an a1= f (1) f (2) f (3) f (n 1)
3. 累乘法（疊乘法）
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a an 1若數(shù)列 n 滿足 f (n) (n N *)a ，則稱數(shù)列 an 為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列 an 的n
a2 a3 a4 an
通項時，利用 an a1 a1 f (1) f (2) f (3) f (n 1) (n 2)a1 a2 a a
求通項
3 n 1
公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
a2 f (1)
a1
a3 f (2)
a2
a4 f (3)
a3

an f (n 1)
an 1
將上述n 1個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
a2 a 3 a 4 a n f (1) f (2) f (3) f (n 1)
a 1 a2 a3 an 1
an
整理得： f (1) f (2) f (3) f (n 1)a1
4.構(gòu)造法
類型 1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如 an 1 kan p（ k, p為常數(shù)， kp 0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為
an 1 m k(an m)
p
（其中：m ），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列 an m ，先求出 an m k 1
的通項，從而求出數(shù)列 an 的通項公式。
類型 2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列
n 1 * n 1 a a（1）形如 an 1 qan p q (n N )
n 1 n
，可通過兩邊同除 q ，將它轉(zhuǎn)化為 qn
p
1 qn ，從
an a n

而構(gòu)造數(shù)列 n 為等差數(shù)列，先求出 n 的通項，便可求得 an 的通項公式。 q q
2 1 1（ ）形如 an an 1 kan 1an (k 0)，的數(shù)列，可通過兩邊同除以 an 1an，變形為 kan 1 an
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1 1
的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列 ，先求出 的通項，便可求得 an 的通項公式
an an
5.用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列
qan
類型 1：形如 an 1 （ p,qpa q 為常數(shù)，
pq 0）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為
n
1 1 p 1 1 p
1 1
a ，即：
，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列 ，先求出 的通項，
n 1 an q an 1 an q an an
即可求得 an .
kan
類型 2：形如 an 1 （ p,qpa q 為常數(shù)，
p 0， q 0， k 0）的數(shù)列，通過兩邊取
n
1 q 1 p 1 q p
“倒”，變形為 b a k a k ，可通過換元： n a ，化簡為：bn 1 bn （此n 1 n n k k
類型符合專題四類型 1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如 an 1 kan p（ k, p為常
p
數(shù)，kp 0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為 an 1 m k(an m)（其中：m ），k 1
由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列 an m ，先求出 an m 的通項，從而求出數(shù)列 an 的通項公式。）
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專題 04 數(shù)列之綜合問題
【命題規(guī)律】
數(shù)列問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1．等差等比數(shù)列的證明．2．?dāng)?shù)列求通項．3．?dāng)?shù)
列求和．4．?dāng)?shù)列不等式問題.5.與概率、導(dǎo)數(shù)結(jié)合問題．在新高考中開放性題型命題值得關(guān)
注．
【知識技能方法】
（一）求和公式
n S n(a1 an ) na n(n 1)1. 等差數(shù)列的前 和的求和公式： n d .2 1 2
2．等比數(shù)列前 n項和公式
一般地，設(shè)等比數(shù)列 a1,a2 ,a3 , ,an , 的前 n項和是 S n a1 a2 a3 an ，當(dāng) q 1
S a1(1 q
n ) a
時， 或 S 1 anqn n ；當(dāng) q 1時， S na （錯位相減法）.1 q 1 q n 1
3. 數(shù)列前 n項和
①重要公式：
n
（1） k 1 2 3 n n(n 1)
k 1 2
n
（2） (2k 1) 1 3 5 2n 1 n 2
k 1
n 2
k 3 13 23 n3
1
（3） n(n 1)
k 1 2
n
（4） k 2 12 22 32 1 n 2 n(n 1)(2n 1)
k 1 6
②等差數(shù)列中， Sm n Sm Sn mnd ；
③等比數(shù)列中， Sm n Sn q
nSm Sm q
mSn .
（二）常見數(shù)列求和問題
1.倒序相加法，即如果一個數(shù)列的前n項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則
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可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項和（滿足 am an m A（A為常數(shù)）的數(shù)列）.
2.分組求和法，如果一個數(shù)列可寫成 cn an bn 的形式，而數(shù)列 an ， bn 是等差數(shù)列或
等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
3．裂項相消法
(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。
(2)常見的裂項技巧
1 1 (1 1類型① )
n(n k) k n n k
k 1, 1 1 1 ;k 1, 1 1 1特別注意
n(n 1) n n 1 n(n 1) n 1 n
1 1
類型② ( n k n )
n k n k
1 1 1 1 1
類型③ ( )（尤其要注意不能丟前邊的 ）
4n 2 1 2 2n 1 2n 1 2
1 1 1 1
理論上來講像形如 ( )(其中p q)都可以裂項的
pq q p p q
1 1 1 1
像 ( )也是這種類型
(An B)(An C) C B An B An C
1 1 1 1
類型④ ( )
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
2n 1 1
類型⑤
(2n 1 k)(2n

k) 2n k 2n 1 k
4．錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積
構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求.q倍錯位相減法：若數(shù)列 cn 的通項公
式 cn an bn，其中 an 、 bn 中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在
已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，
轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫 q倍錯位相減法．
易錯提醒：
（1）錯位相減過程中最后一項是“－”，易錯為把原來的“＋”抄下來；
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（2）錯位相減后，其中一部分構(gòu)成新的等比數(shù)列，應(yīng)避免等比數(shù)列項數(shù)數(shù)錯或漏掉其余的
項；
5.奇數(shù)項、偶數(shù)項討論法.
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專題 05 立體幾何之線面角問題
【命題規(guī)律】
利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空
間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運算能力和分析解決問題的能力命制試題，以多面體
為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向．空間的角與距離的計算（特別
是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體
幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計算解決立體幾何問
題．距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計算中加以考查．此類問題往往屬于“證算并重”
題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用
空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.
【知識技能方法】
（一）直線與平面所成的角
1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫
做斜線在平面內(nèi)的射影.
注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.
如圖，直線 l是平面 的一條斜線，斜足為M ，斜線上一點 A在平面 上的射影為O，則
直線MO是斜線 l在平面 上的射影.
2、直線和平面所成角：（有三種情況）
（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角.由定義

可知：斜線與平面所成角的范圍為 0, ；
2

（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為 ；
2
（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時，它們的所成角為 0.

結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為 0, . 2
3、向量法
(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其
補(bǔ)角)；
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(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其
補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.

（3）設(shè)直線 l 的方向向量為a，平面 的一個法向量為n，直線 l與平面 所成的角為 ，

則 cos a,n a n ， sin | cos a,n |.
| a || n |
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專題 06 立體幾何之二面角問題
【命題規(guī)律】
利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空
間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運算能力和分析解決問題的能力命制試題，以多面體
為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向．空間的角與距離的計算（特別
是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體
幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計算解決立體幾何問
題．距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計算中加以考查．此類問題往往屬于“證算并重”
題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用
空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.
【知識技能方法】
1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點 P，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的
垂線 PA、 PB ,則 APB稱為二面角的平面角。
2、二面角的范圍： [0, ]
3、向量法求二面角平面角
（1）如圖①， AB，CD是二面角 l 的兩個面內(nèi)與棱 l 垂直的直線，則二面角的大

小 AB,CD ．

（2）如圖②③，n1 ，n2 分別是二面角 l 的兩個半平面 , 的法向量，則二面角的
大小 滿足：

cos n ,n n n

1 2 1 2 ；cos cos n1, n2 ，二面角的大小 n ,n| n || n | 1 2
(或
1 2
n1,n2 )．
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（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為
銳二面角還是鈍二面角）
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專題 07 解析幾何之“三定”問題
【命題規(guī)律】
縱觀近幾年的高考試題，考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查圓、橢圓、雙曲線
的方程及幾何性質(zhì)為主，離心率問題居多，難度在中等以下；大題則是對直線與圓錐曲線的
位置關(guān)系的考查，較多的考查直線與拋物線和橢圓的位置關(guān)系問題，橢圓出現(xiàn)的更多，近年
出現(xiàn)了直線與雙曲線位置關(guān)系或與圓綜合的題目，難度、位置比較穩(wěn)定；命題的主要特點有：
一是結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（軌跡方程），
進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的
位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲
線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究直線方程、斜率、弦長、圖形面積等，比如中點弦（弦中點）問
題、定點問題、定值問題、定直線問題、范圍與最值問題、探索性問題等；三是直線與圓錐
曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組
聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題.
【知識技能方法】
（一）常用的計算弦長的公式:
1.若直線 AB的方程設(shè)為 y kx m, A(x1, y1),B x2 , y2 ,則
AB 1 k 2 x x 1 k 2 x x 21 2 1 2 4x1x

2 1 k
2
a
2.若直線 AB的方程設(shè)為 x my t, A(x1, y1),B x2 , y2 , ,則
AB 1 m2 y y 1 m2 y y 21 2 1 2 4y y 1 m2

1 2 a
注:其中 a指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后,化簡得出的關(guān)于 x或 y的一元二
2
次方程的平方項系數(shù), 指的是該方程的判別式.通常用 AB 1 k 或
a
AB 1 m2 計算弦長較為簡便
a
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（二）中點弦問題與“點差法”
設(shè)直線與圓錐曲線交于 A,B兩點， AB中點為M ，這類與圓錐曲線的弦和弦中點有關(guān)
的問題，一般叫做中點弦問題，點差法是解決中點弦問題的重要方法.其解題的一般步驟
是：
（1）設(shè) A,B兩點的坐標(biāo)分別為 A x1, y1 、B x2 , y2 ；
（2）代入圓錐曲線的方程；
y y 1 y2 M y y
（3）將所得方程作差，結(jié)合中點公式 2 1 2
x x y
、斜率公式 kAB 等化簡，
M
1 2 x1 x2
2
得出結(jié)果.
（三）在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無
關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．對學(xué)生邏輯思維能力計算能力等要求很高,這些問題重點考
查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．
1.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：
① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
2.解題的一般步驟為:
（1）設(shè)出直線的方程 y kx b或 x my t、點的坐標(biāo);
（2）通過題干所給的已知條件,進(jìn)行正確的運算,將需要用到的所有中間結(jié)果(如弦長、距
離等)表示成直線方程中引入的變量，通過計算得出目標(biāo)變量為定值
3.常考題型：
①面積有關(guān)的定值問題；②與角度有關(guān)的定值問題；③與比值有關(guān)的定值問題；
④與參數(shù)有關(guān)的定值問題；⑤與斜率有關(guān)的定值問題
（四）證明動直線在一定的條件下過定點是解析幾何中的一類重要題型,這類問題解題一般
有兩種解法.
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方法 1：設(shè)直線，求解參數(shù)，一般的解題步驟為：
(1)設(shè)出直線的方程 y kx b或 x my t；
(2)通過題干所給的已知條件,進(jìn)行正確的運算,找到 k和b,m和 t的關(guān)系，或者解出b, t的值；
(3) 根據(jù)(2)中得出的結(jié)果,找出直線過的定點.
方法 2：求兩點，猜定點，證向量共線.一般的解題步驟為：
(1) 通過題干條件，求出直線上的兩個點 A,B的坐標(biāo)(含參)；
(2)取兩個具體的參數(shù)值，求出對應(yīng)的直線 AB，并求出它們的交點 P，該點即為直線過的
定點；
(3)證明 PA 與 PB共線，得出直線 AB過定點 P .
注：上面的兩個解法中，解法 2 的計算量通常要大一些，故一般首選解法 1.當(dāng)解法 1 失效或
處理起來較為復(fù)雜時再考慮解法 2.
（五）解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：
1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，
即確定題目中核心變量（通常為變量 ）；②利用條件找到 過定點的曲線 之間的關(guān)系，得到
關(guān)于 與 的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；
2、由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探
索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).
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專題 08 解析幾何之最值與范圍問題
【命題規(guī)律】
縱觀近幾年的高考試題，考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查圓、橢圓、雙曲線
的方程及幾何性質(zhì)為主，離心率問題居多，難度在中等以下；大題則是對直線與圓錐曲線的
位置關(guān)系的考查，較多的考查直線與拋物線和橢圓的位置關(guān)系問題，橢圓出現(xiàn)的更多，近年
出現(xiàn)了直線與雙曲線位置關(guān)系或與圓綜合的題目，難度、位置比較穩(wěn)定；命題的主要特點有：
一是結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（軌跡方程），
進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的
位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲
線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究直線方程、斜率、弦長、圖形面積等，比如中點弦（弦中點）問
題、定點問題、定值問題、定直線問題、范圍與最值問題、探索性問題等；三是直線與圓錐
曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組
聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題.
【知識技能方法】
1、解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．
(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量
關(guān)系．
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的
取值范圍．
2.求最值(范圍)問題解題的一般步驟是：
(1)設(shè)出直線的方程 y kx b或 x my t、點的坐標(biāo)；
(2)將直線的方程代入圓錐曲線中,計算弦長、點到直線的距離等中間量；
(3)將求范圍的目標(biāo)量表示成直線中引入的參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
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(4)運用函數(shù)、均值不等式等基本方法求出最值(范圍).
(5范圍問題:首選均值不等式，其次用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù).
3.均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R)
a b 2 ab(a,b R );ab (a b 2變式： ) (a,b R )
2
作用：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；
當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值
注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”
4.圓錐曲線問題常用到的均值不等式形式：
S 2t 2
（1） t 2

64 t 64 （注意分 t 0,t 0,t 0三種情況討論）
t
12k 2AB 2 12 12 3 3 3
（2） 9t 4 6k 2 1 9k 2 1 6 2 3 6
k 2
2 1
當(dāng)且僅當(dāng) 9k 2 時，等號成立k
2 2 2 2
3 2
25y 9x 25y 9x
（ ） PQ 34 25 02 9
0 34 2 25 0 0
9x 25y2 2
9 2 64
0 0 9x0 25y0
25y20 9x
2
當(dāng)且僅當(dāng) 25 2 9
0
2 時等號成立.9x0 25y0
S 1 12 3m2
m 1 1 1 1 m2 m2 8
（4） m2( m2 8) 2
2 2 3 2 2 2 2 2
當(dāng)且僅當(dāng)m2 m2 8時，等號成立
(5)
2k 2 m2 1 m2
2 2 1 1
2 2k m1 1 2m1 (2k
2 m2 1)m2
S 2 2 1 k 4 2 1 12 2 4 2
2 2 2
1 2k 1 k 2 1 2k 1 2k
2
當(dāng)且僅當(dāng) 2k 2 1 2m21 時等號成立.
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專題 09 解析幾何之探索性問題
【命題規(guī)律】
縱觀近幾年的高考試題，考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查圓、橢圓、雙曲線
的方程及幾何性質(zhì)為主，離心率問題居多，難度在中等以下；大題則是對直線與圓錐曲線的
位置關(guān)系的考查，較多的考查直線與拋物線和橢圓的位置關(guān)系問題，橢圓出現(xiàn)的更多，近年
出現(xiàn)了直線與雙曲線位置關(guān)系或與圓綜合的題目，難度、位置比較穩(wěn)定；命題的主要特點有：
一是結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（軌跡方程），
進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的
位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲
線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究直線方程、斜率、弦長、圖形面積等，比如中點弦（弦中點）問
題、定點問題、定值問題、定直線問題、范圍與最值問題、探索性問題等；三是直線與圓錐
曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組
聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題.
【知識技能方法】
（一）探索、存在性問題
1．存在性問題的解法：
2．先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論，
若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或
參數(shù))不存在．要注意的是：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推
導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題
很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.
3.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：
① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
4.解題的一般步驟為:
（1）設(shè)出直線的方程 y kx b或 x my t、點的坐標(biāo);
（2）通過題干所給的已知條件,進(jìn)行正確的運算,將需要用到的所有中間結(jié)果(如弦長、距
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離等)表示成直線方程中引入的變量，通過計算得出目標(biāo)變量為定值
（二）三點共線問題
1.處理方法一般來說有三個：①斜率相等；②向量共線；③先由其中兩點確定直線方程，證
明其過第三點.
2.證明三點共線問題的解題步驟：
（1）求出要證明共線的三點的坐標(biāo)；（如果已給出，則無需這一步）
（2）運用斜率相等或向量共線來證明三點共線，或先由其中兩點確定直線方程，證明其過
第三點
特別提醒：三點共線問題的兩個處理方法中，向量共線往往更方便，因為無需考慮斜率不存
在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等。
（三）求軌跡方程的方法：
1.定義法：
如果動點 P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，
則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。
2.直譯法：
如果動點 P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點 P滿足的等量
關(guān)系易于建立，則可以先表示出點 P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點 P的坐標(biāo) (x, y)表
示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。
3.參數(shù)法：
如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點 P運動的某個幾何量 t，以此量作
為參變數(shù)，分別建立 P點坐標(biāo) x, y與該參數(shù) t的函數(shù)關(guān)系 x f (t)，
y g(t)，進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程 F (x, y) 0 .
4.代入法（相關(guān)點法）：
如果動點 P的運動是由另外某一點 P 的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)
滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出 P(x, y)，用 (x, y)表示出相關(guān)點 P 的坐標(biāo)，然后把 P
的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點 P的軌跡方程。
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5.點差法：
圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點
A(x1, y1),B(x2 , y2 ) x x的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得 1 2 ，
y1 y2 x1 x2 y1 y2 AB 2x x x， ， 等關(guān)系式，由于弦 的中點 P(x, y)的坐標(biāo)滿足 1 2 ，
y2 y1
2y y1 y2 且直線 AB的斜率為 x2 x1 ，由此可求得弦 AB中點的軌跡方程.
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專題 10 導(dǎo)數(shù)之恒成立問題
【命題規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函
數(shù)的零點等．解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨
勢；以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、
函數(shù)的圖象等相結(jié)合，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢．其中涉及不等式恒成立問題是常見類型題目
之一.
【知識技能方法】
1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù) f (x)， f '(x)在 (a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0.
f '(x) 0 f (x)在 (a,b)上為增函數(shù)．
f '(x) 0 f (x)在 (a,b)上為減函數(shù)．
2．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù) y＝f(x)在點 x＝a 的函數(shù)值 f(a)比它在點 x＝a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，
而且在點 x＝a 附近的左側(cè) f′(x)＜0，右側(cè) f′(x)＞0，則點 a叫做函數(shù) y＝f(x)的極小值
點，f(a)叫做函數(shù) y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù) y＝f(x)在點 x＝b 的函數(shù)值 f(b)比它在點 x＝b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)
＝0，而且在點 x＝b附近的左側(cè) f′(x)＞0，右側(cè) f′(x)＜0，則點 b 叫做函數(shù) y＝f(x)的
極大值點，f(b)叫做函數(shù) y＝f(x)的極大值．
極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．
3．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù) f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù) f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函
數(shù) f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
4、與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題
不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是
高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助
圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理．
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恒成立 f (x)min a
f (x) a ： 有解 f (x)max a

無解 f (x)max a
5.分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以
根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，只要
研究變量表達(dá)式的最值就可以解決問題．有時需要構(gòu)造新函數(shù)，通過借助導(dǎo)函數(shù)，求出新構(gòu)
造函數(shù)的最大（小）值；往往涉及到二階導(dǎo)數(shù).
（1）一般地，若不等式 a≥f(x)恒成立，a的取值范圍是 a≥[f(x)]max；若不等式 a≤f(x)恒成立，
則 a的取值范圍是 a≤[f(x)]min．
（2）含參數(shù)的不等式 f (x) g(x)恒成立、有解、無解的處理方法：① y f (x) 的圖象和
y g(x)圖象特點考考慮；②構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造 F (x) f (x) g(x)，轉(zhuǎn)化為F (x)的
最值處理；③參變分離法，將不等式等價變形為 a h(x)，或 a h(x) ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函
數(shù) h(x) 的最值.
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專題 11 導(dǎo)數(shù)之零點問題
【命題規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函
數(shù)的零點等．解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨
勢；以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、
函數(shù)的圖象等相結(jié)合，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢．其中涉及函數(shù)零點問題是常見類型題目之一，
主要有零點的確定、零點所在區(qū)間的判斷、零點個數(shù)的判斷、根據(jù)零點的存在或零點個數(shù)確
定參數(shù)（參數(shù)的范圍）、根據(jù)零點情況證明不等式等.
【知識技能方法】
1．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法
(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思
想分析問題（畫草圖時注意有時候需使用極限）．
(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函
數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．
2.利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法
(1)分離參數(shù)(a g(x) )后，將原問題轉(zhuǎn)化為 y g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線
y a與 y g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；
(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
3.零點個數(shù)問題
討論函數(shù)零點的個數(shù)，可先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步討論函數(shù)的取值情
況，根據(jù)零
點存在定理判斷（證明）零點的存在性，確定函數(shù)零點的個數(shù).
4.隱零點問題
“隱零點”問題：求解導(dǎo)數(shù)壓軸題時，如果題干中未提及零點或零點不明確，依據(jù)有關(guān)理論
（如函數(shù)零
點的存在性定理）或函數(shù)的圖象，能夠判斷出零點確實存在，但是無法直接求出，不妨稱之
為隱性零點. 我們一般可對零點“設(shè)而不求”，通過一種整體的代換和過渡，再結(jié)合其他條
件，從而最終解決問題．我
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們稱這類問題為“隱零點”問題．處理此類問題的策略可考慮“函數(shù)零點存在定理”、“構(gòu)造
函數(shù)”、利用
“函數(shù)方程思想”轉(zhuǎn)化等。
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專題 12 導(dǎo)數(shù)之不等式問題
【命題規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函
數(shù)的零點等．解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨
勢；以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、
函數(shù)的圖象等相結(jié)合，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢．其中涉及不等式的證明問題是常見類型題目
之一，主要有函數(shù)值或函數(shù)之間、零點之間、極值點之間、參數(shù)之間等不等式證明問題.另
外還有類型如：不等式恒成立求參數(shù)（參數(shù)范圍）、不等式有實數(shù)解，求參數(shù)的取值范圍等
【知識技能方法】
一、不等式的證明
對策 1：移項作差構(gòu)造法
待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)
研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證.
對策 2：特征分析法
這種方法往往要在前面問題中證明出某個不等式，在后續(xù)的問題中應(yīng)用前面的結(jié)論，呈現(xiàn)出
層層遞進(jìn)的特點.
對策 3：隔離分析法
若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳
遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).
對策 4：破解含雙參不等式的證明的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足
的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判
斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參
不等式，即可證得結(jié)果.
二、不等式恒成立問題
不等式恒成立問題的求解策略
1．已知不等式 f(x，λ)≥0(λ為實參數(shù))對任意的 x∈D恒成立，求參數(shù)λ的取值范圍.利
用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運用分離參數(shù)法.
2．如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒
成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(a>0，Δ<0 或 a<0，Δ<0)求解.
三、x x與 e ，lnx 組合的函數(shù)問題
1.分離參數(shù)
x
2.分離 e ，lnx
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若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個都便于求導(dǎo)的函數(shù)，從
而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).
x
3. 借助 e ≥x＋1 和 lnx≤x－1 進(jìn)行放縮
x
利用 e≥x＋1，lnx≤x－1 可將超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，有效地降低了試題的難度.
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專題 13 隨機(jī)變量的分布列
【命題規(guī)律】
1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點題型，前幾年以解答題為主，常與排列、組
合、概率等知識綜合命題．最近幾年考查取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念及
其性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差的性質(zhì)及計算，以小題為主．
2．解答題主要有一下幾種可能，一是獨立考查獨立事件的概率及分布列、數(shù)學(xué)期望，二是
獨立考查超幾何分布、二項分布及數(shù)學(xué)期望，三是將幾種分布與離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
結(jié)合命題，四是概率與統(tǒng)計問題綜合考查，五是考查簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，在
解決簡單的實際問題中的應(yīng)用，近兩年與數(shù)列或?qū)?shù)相結(jié)合，題目的難度較大.
【知識技能方法】
一. 離散型隨機(jī)變量及其分布列
1．離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)隨機(jī)變量
如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用
字母 X，Y，ξ，η等表示．
(2)離散型隨機(jī)變量
對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．
隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若 是隨機(jī)變量， a b，其中 a,b是常數(shù)，則 也是隨機(jī)變
量.
2. 分布列的兩個性質(zhì)
① pi 0， i 1,2, ,n；② p1 p2 pn 1 .
3．分布列性質(zhì)的兩個作用
(1)利用分布列中各事件概率之和為 1可求參數(shù)的值．
(2)隨機(jī)變量ξ所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率．
二. 常見離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)兩點分布：
若隨機(jī)變量 X 服從兩點分布，即其分布列為
X 0 1
P 1 p p
其中0 p 1，則稱離散型隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p的兩點分布．其中 p P X 1 稱
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為成功概率．
(2)超幾何分布：
在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有 X 件次品，則事件{ X k }發(fā)生的
C k C n k
概率為 P X k M N M ， k 0,1, 2, ,m，其中m minn M ,n ，且CN
n N ,M N ,n,M ,N N ，稱分布列為超幾何分布列.
X 0 1 … m
C 0 C n 0 C1 n 1 mM N M MCN M CMC
n m
P N M
C n n
… n
N CN CN
（3）必備技能：
超幾何分布描述的是不放回抽樣（與兩類不同元素的抽取問題的概率計算）問題，其實質(zhì)是
古典概型，主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型．解題的關(guān)鍵如下：
①定型：根據(jù)已知建立相應(yīng)的概率模型，并確定離散型隨機(jī)變量服從的分布的類型，特別要
區(qū)分超幾何分布與二項分布．
②定參：確定超幾何分布中的三個參數(shù) N，M，n.即確定試驗中包含的元素的個數(shù)、特殊元
素的個數(shù)及要抽取的元素個數(shù)．
③列表：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對應(yīng)的概率列出分布列．
④求值：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)值求值．
(4)設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 可能取得值為 x1， x2 ，…， xi ，… xn， X 取每一個值 xi
( i 1,2, ,n )的概率為 P X xi pi，則稱表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
為隨機(jī)變量 X的概率分布列，簡稱 X的分布列．有時為了表達(dá)簡單，也用等式 P X xi pi，
i 1,2, ,n表示 X 的分布列．
三. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1．均值
若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
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P p1 p2 … pi … pn
稱 E X x1p1 x2 p2 xi pi xn pn為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了
離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．．
若Y aX b，其中 a,b為常數(shù)，則Y 也是隨機(jī)變量，且 E aX b aE X b .
若 X 服從兩點分布，則 E X p；
2.方差
若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則 xi E X
2
描述了 xi ( i 1,2, ,n )相對于均值 E X 的偏離程度，而
n
D X 2xi E X pi 為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量 X 與其均值
i 1
E X 的平均偏離程度．稱D X 為隨機(jī)變量 X 的方差，其算術(shù)平方根 D X 為隨機(jī)變
量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差．
若Y aX b，其中 a,b為常數(shù)，則Y 也是隨機(jī)變量，且D aX b a2D X ．
若 X 服從兩點分布，則D X p 1 p ．
3. 六條性質(zhì)
(1) E C C (C為常數(shù))
(2) E aX b aE X b ( a,b為常數(shù))
(3) E X1 X 2 E X1 E X 2
(4)如果 X1, X 2 相互獨立，則 E X1 X 2 E X1 E X 2
(5) D X E X 2 2E X
D aX b a2(6) D X
四. 條件概率
條件概率及其性質(zhì)
(1)對于任何兩個事件 A和 B，在已知事件 A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件
p AB
概率，用符號 p B / A 來表示，其公式為 p B / A .
P A
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n AB 在古典概型中，若用 n A 表示事件 A中基本事件的個數(shù)，則 p B / A .
n A
(2)條件概率具有的性質(zhì)：
①0 p B / A 1；
② 如果 B和C是兩互斥事件，則 p B C / A p B / A p C / A ．
二. 相互獨立事件同時發(fā)生的概率
(1)對于事件 A、 B，若 A的發(fā)生與 B的發(fā)生互不影響，則稱 A、 B是相互獨立事件．
(2)若 A與B相互獨立，則 p B / A p B ，
p AB p B / A P A P A P B ．
(3)若 A與B相互獨立，則 A與 B，A與 B，A與 B也都相互獨立．
(4)若 p AB P A P B ，則 A與B相互獨立．
（5）必備方法：求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：
①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
五. 獨立重復(fù)試驗的概率
1．n 次獨立重復(fù)試驗
(1)定義
一般地，在相同條件下重復(fù)地做 n次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，稱為 n次獨立重復(fù)試
驗．
(2)公式
一般地，在 n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為 X，在每次試驗中事件 A發(fā)生的
概率為 p －，那么在 n次獨立重復(fù)試驗中，事件 A恰好發(fā)生 k次的概率為 Pn(k)＝Cnkpk(1－p)n k，
(k＝0,1,2，…，n)．
六. 二項分布
1.若將事件 A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為 X，發(fā)生的概率為 P，不發(fā)生的概率 q＝1－p，那么在 n次獨
立重復(fù)試驗中，事件 A恰好發(fā)生 k次的概率是 P(X＝k)＝Cnkpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到 X的分布列
X 0 1 … k … n
P Cn0p0qn C1np1qn－1 －… Cknpkqn k … Cnnpnq0
由于表中第二行恰好是二項式展開式
(q＋p)n＝Cn0p0qn C1p1qn－1 Ckpkqn－＋ n ＋…＋ n k＋…＋Cnnpnq0各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機(jī)
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變量 X服從參數(shù)為 n，p的二項分布，記作 X～B(n，p)．
2.二項分布的期望、方差：
若 X B n, p ，則 E X np .
若 X B n, p ，則D X np 1 p ．
3.必備方法：
二項分布的實際應(yīng)用問題，主要是指與獨立重復(fù)試驗中的概率計算和離散型隨機(jī)變量的分布
列、期望及方差的求解等有關(guān)的問題．解題的關(guān)鍵如下：
①定型，“獨立”“重復(fù)”是二項分布的基本特征，“每次試驗事件發(fā)生的概率都相等”是二
項分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項分布，要看在一次試驗中是否只有兩種試驗
結(jié)果，且兩種試驗結(jié)果發(fā)生的概率分別為 p,1－p，還要看是否為 n次獨立重復(fù)試驗，隨機(jī)變
量是否為某事件在這 n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)．
②定參，確定二項分布中的兩個參數(shù) n和 p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率．
③列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對應(yīng)的概率，列出分布列．
④求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
七. 正態(tài)分布
1．正態(tài)曲線及其性質(zhì)
(1)正態(tài)曲線：
φ 1 x－μ
2
函數(shù) μ，σ(x)＝ e－ ，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ，σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)
2πσ 2σ2
的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：
①曲線位于 x軸上方，與 x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x＝μ對稱；
x μ 1③曲線在 ＝ 處達(dá)到峰值 ；
2πσ
④曲線與 x軸之間的面積為 1；
⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿 x軸平移，如圖甲所示；
⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小．曲
線越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：
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甲 乙
2．正態(tài)分布
正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作 N(μ，σ2)．如果隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分
布，則記為 X～N(μ，σ2)．
3．正態(tài)總體三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ4．3σ原則
通常服從正態(tài)分布 N(μ，σ2)的隨機(jī)變量 X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值．
八. 利用均值、方差進(jìn)行決策的方略
隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，
它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先
比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
(1)當(dāng)均值不同時，兩個隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大．則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散
程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策．
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專題 14 統(tǒng)計案例
【命題規(guī)律】
1.命題的考查重點有：
（1）統(tǒng)計圖表；
（2）頻率分布圖、表及其應(yīng)用；
（3）回歸分析；
（4）獨立性檢驗的應(yīng)用
2.從命題類型看，小題多獨立考查統(tǒng)計圖表的辨識，考查平均數(shù)、方差等數(shù)字特征的概念或
簡單計算；大題有以下類型，一是獨立考查回歸分析的應(yīng)用、獨立性檢驗的應(yīng)用，二是將二
者綜合考查，三是將回歸分析的應(yīng)用、獨立性檢驗的應(yīng)用之一與隨機(jī)變量的分布列綜合考查.
【知識技能方法】
一.變量間的相關(guān)關(guān)系
(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不
同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系． 體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系.
(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正
相關(guān)；點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．
二．兩個變量的線性相關(guān)
1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩
個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．
2.回歸方程為y＝bx＋a，其中
n n
xi x yi y xi yi nxy
b i 1 i 1n n ， a y b x
x x 2 x 2 nx 2i i
i 1 i 1
3.求最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小，
這一方法叫做最小二乘法．
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4.相關(guān)系數(shù)：
當(dāng) r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；
當(dāng) r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)．
r的絕對值越接近于 1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于 0，表明兩個
變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于 0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．
5.技能方法
（1）求線性回歸方程
①利用公式，求出回歸系數(shù)b，a.
②待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)．
（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．
（3）利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b.
（2）模型擬合效果的判斷
①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．
②相關(guān)指數(shù) R2越大，模型的擬合效果越好．
③回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于 1時，兩變量的線性相關(guān)性
越強(qiáng)．
三．獨立性檢驗
1.2×2列聯(lián)表
設(shè) X，Y為兩個變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)
如下：
y1 y2 總計
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
2.獨立性檢驗
K2 n(ad bc)
2
利用隨機(jī)變量 K2(也可表示為χ2)的觀測值 (其中 n＝a＋b
(a b)(c d)(a c)(b d)
＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．
獨立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷．
3.技能方法
（1）比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法
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①通過計算 K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
②通過計算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
（2）獨立性檢驗的一般步驟
①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成 2×2 列聯(lián)表．
2
②根據(jù)公式 K2 n ad－bc ＝ ，計算 K2的觀測值 k.
a＋b a＋c b＋d c＋d
③比較觀測值 k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷．
【常用結(jié)論】
^ ^
1．求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a，b，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點( x ， y )．
2．根據(jù) K2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若 K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把
握越大．
^
3．根據(jù)回歸方程計算的y值，僅是一個預(yù)報值，不是真實發(fā)生的值．

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