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2014年中考數學分類匯編——與函數有關的選擇題壓軸題
2014年與函數有關的選擇題壓軸題，考點涉及：一次函數性質；反比例函數性質，反比例函數比例系數k的幾何意義及不等式的性質，；曲線上點的坐標與方程的關系；二次函數的性質，二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數與不等式；相似三角形的判定和性質；軸對稱的性質.數學思想涉及：數形結合；化歸；方程.現選取部分省市的2014年中考題展示，以饗讀者.
【題1】（2014?濟寧第8題）“如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根．”請根據你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是（　　）
　
A．
m＜a＜b＜n
B．
a＜m＜n＜b
C．
a＜m＜b＜n
D．
m＜a＜n＜b
【考點】：
拋物線與x軸的交點．
【分析】：
依題意畫出函數y=（x﹣a）（x﹣b）圖象草圖，根據二次函數的增減性求解．
【解答】：
解：依題意，畫出函數y=（x﹣a）（x﹣b）的圖象，如圖所示．
函數圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b（a＜b）．
方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0轉化為（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的兩根是拋物線y=（x﹣a）（x﹣b）與直線y=1的兩個交點．
由m＜n，可知對稱軸左側交點橫坐標為m，右側為n．
由拋物線開口向上，則在對稱軸左側，y隨x增大而減少，則有m＜a；在對稱軸右側，y隨x增大而增大，則有b＜n．
綜上所述，可知m＜a＜b＜n．
故選A．
【點評】：
本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，考查了數形結合的數學思想．解題時，畫出函數草圖，由函數圖象直觀形象地得出結論，避免了繁瑣復雜的計算．
【題2】（2014年山東泰安第20題）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）中的x與y的部分對應值如下表：
X
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列結論：
（1）ac＜0；
（2）當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根；
（4）當﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正確的個數為（　　）
　 A．4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個
【分析】：根據表格數據求出二次函數的對稱軸為直線x=1.5，然后根據二次函數的性質對各小題分析判斷即可得解．
【解答】：由圖表中數據可得出：x=1時，y=5值最大，所以二次函數y=ax2+bx+c開口向下，a＜0；又x=0時，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正確；
∵二次函數y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x==1.5，∴當x＞1.5時，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯誤；
∵x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根，故（3）正確；
∵x=﹣1時，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1時，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3時，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函數有最大值，∴當﹣1＜x＜3時，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正確．
故選B．
【點評】：本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數與不等式，有一定難度．熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．
【題3】（2014年山東煙臺第11題）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x=2，下列結論：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④當x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大．
其中正確的結論有（　　）
　 A．1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
【分析】：根據拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，則有4a+b=0；觀察函數圖象得到當x=﹣3時，函數值小于0，則9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1時，y=0，則a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根據拋物線開口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于對稱軸為直線x=2，根據二次函數的性質得到當x＞2時，y隨x的增大而減小．
【解答】：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正確；
∵當x=﹣3時，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②錯誤；
∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正確；
∵對稱軸為直線x=2，
∴當﹣1＜x＜2時，y的值隨x值的增大而增大，當x＞2時，y隨x的增大而減小，所以④錯誤．故選B．
【點評】：本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
【題4】（2014?威海第11題）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列說法：
①c=0；②該拋物線的對稱軸是直線x=﹣1；③當x=1時，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正確的個數是（ ）

　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

【考點】：
二次函數圖象與系數的關系．
【分析】：
由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【解答】：
解：拋物線與y軸交于原點，c=0，故①正確；
該拋物線的對稱軸是：，直線x=﹣1，故②正確；
當x=1時，y=2a+b+c，
∵對稱軸是直線x=﹣1，
∴，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③錯誤；
x=m對應的函數值為y=am2+bm+c，
x=﹣1對應的函數值為y=a﹣b+c，又x=﹣1時函數取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正確．
故選：C．
【點評】：
本題考查了二次函數圖象與系數的關系．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定．
【題5】（2014?寧波第12題）已知點A（a﹣2b，2﹣4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為（ ）
　
A．
（﹣3，7）
B．
（﹣1，7）
C．
（﹣4，10）
D．
（0，10）
【考點】：
二次函數圖象上點的坐標特征；坐標與圖形變化-對稱．
【分析】：
把點A坐標代入二次函數解析式并利用完全平方公式整理，然后根據非負數的性質列式求出a、b，再求出點A的坐標，然后求出拋物線的對稱軸，再根據對稱性求解即可．
【解答】：
解：∵點A（a﹣2b，2﹣4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，
∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，
（a+2）2+4（b﹣1）2=0，
∴a+2=0，b﹣1=0，
解得a=﹣2，b=1，
∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，
2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，
∴點A的坐標為（﹣4，10），
∵對稱軸為直線x=﹣=﹣2，
∴點A關于對稱軸的對稱點的坐標為（0，10）．
故選D．
【點評】：
本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的對稱性，坐標與圖形的變化﹣對稱，把點的坐標代入拋物線解析式并整理成非負數的形式是解題的關鍵．
【題6】（2014?溫州第10題）如圖，矩形ABCD的頂點A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對角線的交點與原點O重合．在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，若矩形ABCD的周長始終保持不變，則經過動點A的反比例函數y=（k≠0）中k的值的變化情況是（　　）
　
A．
一直增大
B．
一直減小
C．
先增大后減小
D．
先減小后增大
【考點】：
反比例函數圖象上點的坐標特征；矩形的性質．
【分析】：
設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長始終保持不變，則a+b為定值．根據矩形對角線的交點與原點O重合及反比例函數比例系數k的幾何意義可知k=AB?AD=ab，再根據a+b一定時，當a=b時，ab最大可知在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小．
【解答】：
解：設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b．
∵矩形ABCD的周長始終保持不變，
∴2（2a+2b）=4（a+b）為定值，
∴a+b為定值．
∵矩形對角線的交點與原點O重合
∴k=AB?AD=ab，
又∵a+b為定值時，當a=b時，ab最大，
∴在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小．
故選C．
【點評】：
本題考查了矩形的性質，反比例函數比例系數k的幾何意義及不等式的性質，有一定難度．根據題意得出k=AB?AD=ab是解題的關鍵．
【題7】（2014年山東泰安第17題）已知函數y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的圖象如圖所示，則一次函數y=mx+n與反比例函數y=的圖象可能是（　　）
　A．B CD．
【分析】： 根據二次函數圖象判斷出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根據一次函數與反比例函數圖象的性質判斷即可．
【解答】：由圖可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，
所以，一次函數y=mx+n經過第二四象限，且與y軸相交于點（0，1），
反比例函數y=的圖象位于第二四象限，
縱觀各選項，只有C選項圖形符合．故選C．
【點評】：本題考查了二次函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象，觀察二次函數圖象判斷出m、n的取值是解題的關鍵．
【題8】（2014.福州第10題）如圖，已知直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，與雙曲線交于E，F兩點. 若AB=2EF，則k的值是【 】
[來
A． B．1 C． D．
【考點】：1.反比例函數與一次函數交點問題；2.曲線上點的坐標與方程的關系；3.相似三角形的判定和性質；4.軸對稱的性質.
【題9】（2014. 瀘州第12題）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（3，a）（a＞3），半徑為3，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是（　　）
　
A．
4
B．
C．
D．
【解答】：
解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，如圖，
∵⊙P的圓心坐標是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D點坐標為（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴△PED也為等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故選B．
【點評】：
本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質．

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