資源簡介

注重數學的整體性，提高系統思維水平
人民教育出版社 章建躍
本冊教科書包括反比例函數、相似、銳角三角形和投影與視圖，是全套書的“收官”之作，具有綜合性特點。“反比例函數”從具有反比例關系的實例出發，從函數的角度加以刻畫，引導學生認識反比例函數；利用已有的函數研究經驗展開反比例函數的圖像與性質的研究；最后建立反比例函數模型解決實際問題。“相似”先由生活實例認識相似圖形，再重點研究相似三角形的判定、性質及其實際應用，最后研究特殊的相似即位似的特征，本章強調從特殊（全等）到一般（相似）的方法，引導學生利用全等三角形的學習經驗提出相似三角形的問題和方法，使“四基”、“四能”等得到落實。“銳角三角函數”從解決實際問題和數學發展需要提出“解直角三角形”的問題，引導學生從特殊到一般地學習銳角三角函數的概念；采取“從定性到定量”的思路，從直角三角形全等的判定得到解直角三角形的條件，并用銳角三角函數、勾股定理等知識解決問題，本章注重數學知識之間、數學與現實之間的聯系．“投影與視圖”從生活實例出發，研究中心投影和平行投影，并重點研究正投影的性質；進一步認識三視圖以及簡單幾何體三視圖的畫法，本章注重利用基本幾何體的三視圖、立體圖形和三視圖的雙向轉化等，增強學生的空間觀念．
本書供九年級下學期使用，全書約需44課時，具體分配如下：
第26章 反比例函數 約8課時
第27章 相似 約14課時
第28章 銳角三角函數 約12課時
第29章 投影與視圖 約10課時
一、本書的主要內容
本書的最大特點是內容的綜合性，特別是要綜合運用已學數學知識與方法研究數學新對象、分析和解決新問題，并開展應用數學知識解決實際問題的實踐。
1．反比例函數
與已學函數知識一樣，反比例函數的主要學習內容是概念、圖象與性質、簡單實際應用。
在一個變化過程中有兩種相關聯的量（用x，y表示），其中一種量隨另一種量的變化而變化，而且這兩種量中相對應的兩個數的積是定值（用k表示），這兩種量叫做成反比例的量，它們的關系叫做成反比例關系，用數學式子表示就是xy=k（定值）。如果用函數的觀點看待這樣的變化過程，用函數的方法描述反比例關系，那么就得到反比例函數的概念：形如（k為常數，k≠0）的函數叫做反比例函數（注意：“函數是描述客觀世界變化規律的數學模型”，這里的“變化規律”就是“變量y隨變量x的變化而變化，且它們的積xy保持不變”）。
本章分兩節。第一節是反比例函數的概念、圖象和性質。本節先從生活現實和數學中具有反比例關系的問題出發，抽象出描述反比例變化規律的數學模型——反比例函數，使學生體會反比例函數的意義；再畫出圖象，并根據圖象和函數解析式探索其性質。第二節安排了四個不同背景的實際問題，用反比例函數解決簡單實際問題，進一步加深對反比例函數的認識。
本章之前，學生已學習了反比例關系，函數、自變量、函數值等概念，函數的三種表示形式，函數圖像的有關概念，并研究了正比例函數、一次函數和二次函數等函數模型，因此具備了一定的函數研究經驗，知道函數的主要研究內容、思路和方法。本章的學習，就是運用這些經驗對一個新函數展開研究。因此，本章的重點是：結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式；能畫出反比例函數的圖像，根據圖像和表達式 y =(k≠0)探索并理解k＞0或k＜0時，圖像的變化情況；能用反比例函數解決簡單實際問題。由于反比例函數的自變量不能為0，由此帶來圖像變化情況的復雜性，這是本章學習的主要難點；另外，反比例關系和函數概念都是不易理解的知識，由此會導致學生對反比例函數概念的理解困難。
2．相似
義務教育階段的幾何內容，包括圖形的認識、圖形的測量、圖形的運動或變化、圖形的性質和證明以及圖形的位置等。本書中，圖形的相似是“圖形的變化”的主要內容，研究的主題是圖形形狀之間的關系，而圖形的位似還涉及圖形的位置關系，因此也是“圖形的認識”的深化；投影與視圖則是在三維圖形與二維圖形的轉化中，體現出“圖形的變化”。
從“變換”的觀點看，通過軸對稱、旋轉或平移變換，改變了圖形的位置但不改變圖形的形狀和大小；“相似變換”是另一種圖形變換，它改變了圖形的位置和大小，圖形的形狀則保持不變（本質是改變兩點間距離的大小，不改變角的大小，因此相似變換也叫“保角變換”）。
三角形的相似是“圖形的相似”的核心內容。“相似三角形”與“全等三角形”是一般與特殊的關系（兩個相似三角形的相似比k=1時，這兩個三角形全等）。所以，教科書推廣全等三角形的研究思路，安排相似三角形的內容，引導學生探索相似三角形的判定和性質及在實際中的應用．此外，位似圖形作為一種具有特殊位置關系的相似圖形，可以用來放大或縮小圖形，教科書把它安排在后面，并在直角坐標系中進行研究，用坐標之間的關系表示位似，滲透用代數方法研究幾何變換的思想。相似三角形是銳角三角函數的基礎，對建筑設計、測量、制圖等也有重要價值．
“相似”一章共有三節內容．第1節主要介紹相似圖形、相似多邊形的概念，并給出了相似多邊形的性質；第2節主要研究相似三角形的判定和性質，以及相似三角形在測量中的應用；第3節研究了一種特殊的相似圖形——位似圖形及其應用，并用直角坐標系中的坐標關系表示．其結構是：
“圖形的相似”一節，教科書通過生活實例，在學生感受相似圖形的基礎上，給出相似圖形的概念，再特殊化給出了相似多邊形概念，并從定義出發給出了相似多邊形對應角相等、對應邊成比例的性質．
與研究其他幾何對象的過程一樣，“相似三角形”也按照“定義——判定——性質——應用”的順序展開。因為三角形是特殊的多邊形，所以教科書根據相似多邊形的概念，直接給出相似三角形的概念。這一概念不僅給出了判定兩個三角形相似的方法，而且其逆命題就是相似三角形的性質。通過類比全等三角形的判定，教科書提出了尋找判定兩個三角形相似的簡單方法的任務。由于研究相似三角形的判定要以有關比例知識為基礎，并涉及不可公度性，為了降低難度，《課程標準（2011年版）》把“平行線分線段成比例定理”作為基本事實。教科書先讓學生通過度量確認這一基本事實，然后將它應用到三角形中，并進一步證明了“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”（通常稱為“預備定理”），再利用“預備定理”證明相似三角形的判定定理．這樣做，降低了難度但保持了相似三角形的主干內容，體現了公理化思想。為了引導學生獨立思考，發現和提出“相似三角形的性質”，教科書先通過“思考”欄目，給出相似三角形性質的探究方向，然后通過“探究”欄目引導學生探究并證明相似三角形性質．接著，教科書安排了相似三角形在實際中的典型應用題．
在“位似”一節，教科書借助日常生活實例給出了位似圖形的概念；然后從定義出發，通過舉例，介紹了利用位似將一個圖形放大或縮小的方法；接著安排了“探究”，讓學生在直角坐標系中探索并得出：將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點，有一條邊在橫坐標軸上）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形位似，并給出了直角坐標系中以原點為位似中心的兩個位似圖形的對應點坐標之間的關系（實際上是圖形的位似變換公式）。
本章的重點是在了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段等基本概念的基礎上，認識圖形的相似，了解相似多邊形的概念；用“基本事實”證明“預備定理”，在此基礎上探索并證明相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性質定理；了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小；會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。其中，相似三角形的判定和性質是重中之重．相似三角形判定定理的證明是本章的主要難點．此外，綜合應用已學平面幾何知識發現和解決“相似”（特別是相似三角形）中的問題，也是本章的一個難點．
3．銳角三角函數
在幾何學的研究中，三角形是最簡單而基本的封閉圖形，它是平面幾何的研究主角，原因是空間的大部分基本性質都已經在三角形的幾何性質中得到充分體現。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最為基本的。下面我們對此作一簡單分析，這些觀點主要來自項武義。
我們知道，定性平面幾何研究的主題是“全等形”和“平行性”。本質上，前者是平面對于任一直線的反射對稱性的具體反映，而后者則是三角形的內角和為180°所表達的“平直性”。等腰三角形所具有的軸對稱性能具體地反映平面的反射對稱性，所以它們是研究平面幾何對稱性的種種表現與推論的基本工具。這樣，認識等腰三角形的性質是定性平面幾何的首要任務。
在定性地討論幾何中的“等”與“不等”時可以完全不用平行性，但在定量的平面幾何中，我們要對不等長的兩條線段、不同大小的兩個角區或不同大小的兩個區域，賦予兩者之間定量的比值去度量兩者之間的差異。這時，平行性扮演著舉足輕重的“角色”，其作用是大大簡化了定量幾何的基礎理論和基本公式。由此得到的是簡樸好用的矩形面積公式、勾股定理和相似三角形定理（三角形內角和不是180°的幾何叫非歐幾何，而非歐幾何中與此相應的公式、定理不是沒有就是復雜得多）。在定量平面幾何的定理中，三角形的面積公式、相似三角形定理和勾股定理是最基本的，而三角學就是以這三個定理為基礎，討論三角形的各種幾何量（三邊長、三個內角的度數、面積、高、外徑和內徑等）之間的函數關系，銳角三角函數則是討論直角三角形各種幾何量之間的函數關系，它為討論一般三角形奠定了基礎。因此，研究直角三角形的種種性質對定量平面幾何有奠基作用。
本章就是在研究勾股定理、相似三角形的基礎上，進一步討論直角三角形的邊角之間的關系，主要內容是正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念，并綜合運用這些知識解直角三角形．
具體而言，教科書以“比薩斜塔糾偏問題”引入，并提出問題：“對于直角三角形，我們已經知道三邊之間、兩個銳角之間的關系，它的邊角之間有什么關系呢？”，然后研究銳角的正弦，并在此基礎上給出銳角的余弦、正切．在研究銳角的正弦時，教科書安排了一個從特殊到一般的過程，先利用“直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”，得到30°角所對的邊與斜邊的比值；再利用等腰直角三角形的性質和勾股定理，探究直角三角形中，45°角所對的邊與斜邊的比值；然后進入一般情況的討論：相似直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比，隨著這個銳角的變化而變化，隨著它的確定而唯一確定，把Rt△ABC中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。接著，自然而方便地得到：相似三角形的邊與邊的比值，隨銳角大小的變化而變化，隨銳角大小的確定而唯一確定，由此給出銳角三角函數的定義。
“解直角三角形”一節，教科書通過“探究”欄目，引導學生梳理直角三角形中邊角之間的關系（勾股定理、銳角互余、銳角三角函數），思考“知道五個元素中的幾個，就可以求其余元素”，再給出解直角三角形的條件，并通過例題示范，最后安排實際應用題．
本章的重點是利用相似直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA）；能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。
利用相似直角三角形探索和認識銳角三角函數，從“兩個直角三角形的對應邊之比值相等”到“一個直角三角形的邊長改變，但邊與邊的比值不變”，再聯系函數概念，把直角三角形的“邊與邊的比值”與“銳角”聯系起來，進而得到“比值隨銳角的改變而改變，隨銳角的確定而唯一確定”，涉及的知識多，需要看問題的角度和觀點的靈活變化，并且要用完全陌生的符號sinA，cosA和tanA表示，對學生具有很大的挑戰性．因此，銳角三角函數概念的建構過程是本章主要難點．同樣的，解直角三角形需要在全面掌握直角三角形邊角關系的基礎上，根據問題的具體條件選擇適當的方法求解，其綜合性較強，解決實際問題要有模型思想，這些都會帶來一定的學習困難．
4．投影與視圖
日常生活中，中心投影、平行投影的事例隨處可見，因此數學中與投影相關的概念都與現實生活緊密相關。平行投影是三視圖的學習基礎。投影與視圖涉及立體圖形與平面圖形之間的轉化，需要利用直觀感知、動手操作等學習方式，是培養空間觀念的好載體。因此，本章按“投影——三視圖——課題學習（制作立體模型）”的順序展開。
“投影”的內容按照從一般到特殊的線索展開，重點討論了正投影問題。教科書先從學生身邊的實例出發，引出投影的概念、分類（平行投影、中心投影）；接著，通過“思考”，引導學生比較和認識中心投影與平行投影的投影線的區別，以及平行投影中“斜投影”與“正投影”的區別，進而給出正投影的概念；再通過“探究”，引導學生借助生活經驗，討論正投影中基本而重要的線段、正方形的投影問題：
線段與投影面的位置關系（有且只有平行、傾斜和垂直三種），不同位置關系下線段的正投影的形狀、線段與其正投影的大小關系；
正方形與投影面的位置關系（有且只有平行、傾斜和垂直三種），不同位置關系下正方形的正投影的形狀、正方形與其正投影的大小關系；
在此基礎上，歸納出正投影的基本性質。最后，以正方體的正投影為例，舉例說明這些性質在畫立體圖形的正投影時的應用。
概括本節內容，其編寫思路是：從生活實例中抽象出投影的概念——投影的分類（以投影線的位置關系為分類標準）——特殊的投影（正投影的概念和性質）。考慮到與初中生認知水平相適應的問題，在正投影性質的討論中，一是關注了簡單但基本而重要的問題，即線段、正方形的正投影（其實就是線、面的正投影問題的代表）；二是根據線、面與投影面的不同位置關系討論它們之間的形狀、大小關系（要素之間的相互關系就是性質）。
“三視圖”一節包括三視圖的概念、畫立體圖形（實物）的三視圖、由三視圖想象立體圖形（實物）以及利用三視圖知識解決度量問題。這里的立體圖形限制在直棱柱、圓柱、圓錐、球或它們的組合。本節是“投影”知識的應用，教科書先借助生活實例介紹視圖的概念，這里“從某一方向看”相當于“某一方向的平行投影線”，因此看到的平面圖形是物體在這個方向光線下的正投影。接著，教科書重點介紹了三視圖，直接指出三視圖的投影面是三個互相垂直的平面，介紹三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規定，然后通過5個例題，引導學生畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的三視圖，判斷簡單物體的視圖，根據視圖描述簡單幾何體等。
教科書安排的“課題學習 制作立體模型”，其目的是讓學生“通過由三視圖制作立體模型的實踐活動，體驗平面圖形向立體圖形轉化的過程，體會用三視圖表示立體圖形的作用，進一步感受立體圖形與平面圖形之間的聯系。”實際上，從三維目標看，制作立體模型的過程，不僅是鞏固已學的相關知識，而且也是培養空間觀念、感受數學與生活的聯系、體會數學的應用價值的過程。
關于“視圖”，學生在前面兩個學段都已經接觸過。第一學段要求“能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體”，第二學段要求“能辨認從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖”，第三學段要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據視圖描述簡單的幾何體”。《課程標準（2011年版）》提出的要求具有層次性，體現了從整體到局部的研究過程，也與學生的認知特點相符合，是一個循序漸進、螺旋上升、不斷精細化的過程。因此，本章的重點，一是投影的概念、正投影的性質及其研究方法，二是簡單幾何體三視圖的畫法，以及簡單幾何體（實物）的視圖與幾何體（實物）的相互轉化，其核心是發展學生的空間觀念。
二、編寫時考慮的主要問題
1.注重數學的整體性
整體是事物的一種真實存在形式。數學也是一個整體，數學中的整體性既體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系上，也體現在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上。但學生的學習是循序漸進、逐步深入的，概念要一個個地學，知識要一點點地教。所以，如何處理好這種矛盾是編寫教材時思考的核心問題。鑒于本書的內容特點，這個問題尤其需要重點考慮。
為了培養學生對數學內部聯系性的認識，教科書加強了相關內容的溝通，并采取切實措施予以落實。例如，在章引言中通過類比與聯系，構建全章的研究框架和整體思路，使學生感受將學的知識與已學知識的聯系。“反比例函數”引言中“與研究……類似，我們將在……定義的基礎上，研究……圖像和性質，并……解決實際問題”，“相似”引言中“類似的，兩個形狀相同、大小不同的三角形，它們的邊和角有什么關系？對應線段和面積有什么關系？如何判斷……”，這些都是在同一部分內容中，采取以舊引新的方法引出學習內容，并在思想方法的一致性上給予明確提示。而在具體內容的展開中，則注意了兩方面問題：一是引導學生用已有知識解決問題，例如“反比例函數圖像和性質”討論的問題、過程和方法與正比例函數等是一致的；二是注意用新的眼光看已有知識，例如把全等看成相似的特例，從邊與邊的比的角度看“直角三角形中，30°的角所對的邊是斜邊的一半”等等。
2.強調知識的邏輯連貫性
數學教學要使學生學會“數學地認識問題和解決問題”，其含義是數學有其認識和解決問題的“基本套路”，我們要努力讓學生學會這一“套路”。具體而言，對一個數學新對象的研究，一般是按“背景—定義—表示—分類—（代數）運算、（幾何）性質—聯系和應用”的線索展開。本書各章內容的編寫也不例外。
例如，反比例函數一章，教科書先安排“思考”，讓學生判斷幾個實際問題中的變量之間的函數關系，然后抽象出反比例函數的定義和表達式（表示）；再分k＞0和k＜0討論函數的圖像和性質；再應用反比例函數的性質解決問題，這些問題不僅有數學內部的，也有生活實際的，還有物理、化學等相關學科的。
再如，“投影和視圖”中，教科書以生活中無處不在的“如影隨形”的現象為背景，引入投影的概念，然后把投影分為平行投影和中心投影兩類，又把平行投影進行再分類，接著研究正投影的性質（投影的形狀、大小），再應用投影的性質解決三視圖問題。這個過程也是按上述“基本套路”展開的。
3．加強數學學習理論的指導
在本套教材的總體指導思想中，提出使教材“利學利教”。這就要求我們以學生的數學認知規律為依據編寫教材。例如，數學學習論指出，數學概念的學習一般要經歷如下過程：
概念的引入——借助具體事例，從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要引入概念；
概念屬性的歸納——對典型豐富的具體例證進行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征；
概念的明確與表示——下定義，給出準確的數學語言描述（文字的、符號的）；
概念的辨析——以實例為載體分析概念關鍵詞的意義（恰當使用反例）；
概念的鞏固應用——用概念解決簡單問題，形成用概念作判斷的具體步驟；
概念的“精致”——通過概念的綜合應用，建立與相關概念的聯系，將概念納入概念系統。
“銳角三角函數”的編寫就體現了這一過程：
概念的引入 從實際需要看（如比薩斜塔的傾斜問題）；從數學內部看（已經研究直角三角形邊與邊、角與角的關系，邊與角有什么確定的關系）。
概念屬性的歸納 例證1 從最熟悉的開始，由“直角三角形中，30°角所對的邊總是斜邊的一半”，得到30°角所對的邊與斜邊的比值是。
思考：由這個結論能解決什么問題？——直角三角形有一個銳角為30°，則已知一邊可求其余邊。
例證2 等腰直角三角形中，銳角A的對邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問題？
歸納：任意給定銳角A，∠A的對邊與斜邊的比值是否為一個確定的值？
概念的明確與表示 下定義，用符號表示。
概念定義的辨析 （1）Rt△ABC中，給定銳角A，當△ABC的大小變化時，∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角A都有唯一確定的比值與之對應，這個比值叫做∠A的正弦；（2）符號sinA的理解——一個由A唯一確定的數（比值），例如sin30°=；等。
概念的鞏固應用 已知直角三角形的邊求正弦值等。
概念的精致 解直角三角形。
4．加強數學思考方法的指導
數學有自己的思考方法，而且這種方法具有一般意義。學生在數學學習中培養起來的思維方式和邏輯思維能力，能在解決各種問題中發揮作用。所以，教科書注重以數學內容為載體，把思考方法的指導融入其中。例如，在“三角函數”中，先在章引言中引導學生思考，對三角形已研究過什么，還可以研究什么，這是讓學生體會“如何提出有研究價值的問題”；具體研究中，注重“從定性到定量的思考方法”，這是數學的普遍方法，其實也是解決其他問題的常用方法；對于一個抽象問題，強調從特殊問題入手，而且從最熟悉的情景開始（含30°銳角的直角三角形），這種從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法具有普遍意義；對一個熟悉的問題，從另一個角度看，對舊問題作新解釋，往往能開辟一片新天地，這是數學發展的基本思路之一；使學生經歷概念形成的完整過程中，體會數學思考的基本方法；等等。
這里還想談談教科書對如何研究數學性質的思考。什么叫“性質”？一般地，性質是指事物所具有的本質，即事物內部穩定的聯系。問題是，這里的“事物內部”指什么？“穩定的聯系”是怎么表現的？到底怎樣才能發現這種“聯系”？教科書應該在這些問題上給出指導。對于三角形而言，“內部”可以是三角形的組成要素（三個角、三條邊），也可以是“相關要素”（外角、高、中線、角平分線等），還可以是與度量相關的要素（周長、面積、高線的長等）；而“穩定的聯系”是指三角形要素、相關要素之間確定的關系（不隨三角形的變化而變化）。例如，“三角形內角和定理”、“兩邊之和大于第三邊”、“大角對大邊”等，以及“外角等于不相鄰兩內角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等性質都體現了三角形的要素、相關要素之間確定的關系。如果要研究兩個幾何事物在某種關系下具有什么性質，則可以探索由這種關系所決定的兩個幾何事物的對應要素之間確定的關系。例如，兩個三角形有相似關系，相似比為k，探究兩個三角形的要素和相關要素與相似比k有沒有確定的關系，就是在探索相似三角形的性質。教科書正是從這樣的思路出發，先在“思考”欄目中引導學生思考相似三角形性質指什么？然后再展開研究。這樣的安排，把“相似三角形的幾何量與相似比之間是否形成確定的關系”作為思考的切入點，再通過作圖、觀察、類比、聯想、猜想等，發現規律、得出猜想，然后通過推理、論證而得到相似三角形的性質。這個過程與人類發現和組織幾何知識的原始過程有一定的相似性。這樣編寫教材，加強了研究方法的指導，不僅使學生獲得了系統性知識，而且學會探究的方法，數學思維能力的培養也就自然地貫穿其中了。
三、教學建議
上面的介紹其實已包含教學建議的成分。如果教師能從中得到啟發，以本書的數學內容為載體，在“理解數學，理解學生，理解教學”上下一番功夫，那么達成本書的教學目標就有了保證。前面幾冊教科書介紹中已反復提及的建議，例如把握教學要求、加強過程性、落實“四基”“四能”、注意使用信息技術等，同樣適用于本冊，這里不再重復。下面根據本冊教科書的主要特點談兩點教學建議。
1．加強系統思維的培養
數學是一個系統，理解和掌握數學知識需要系統思維。系統思維就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。系統思維能極大地簡化人們對事物的認知，并提高研究的質量和效率。系統思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統思維是邏輯抽象能力強的集中表現。
中學數學中，數、式及其運算，方程、不等式與函數，平面幾何，概率與統計等等，都是一個系統。每一個數學概念都可以看成一個小系統。運用系統思維方式研究數學對象，以三角形為例，可以按如下過程展開：
（1）定義“三角形”，明確它的構成要素；
（2）用符號表示三角形及其構成要素，并以要素為標準對三角形進行分類；
（3）研究基本性質，即研究要素之間的關系，得到“三角形兩邊之和大于第三邊”，“三角形內角和等于180°”，“三角形內，大角對大邊，等角對等邊”等；
（4）研究“相關要素及其關系”，如“三角形的外角等于不相鄰兩內角之和”，“三角形三條中線（高、角平分線）交于一點”等；
（5）三角形的全等（反映空間的對稱性，“相等”是重要的數學關系，也可以看成“確定一個三角形的條件”）；
（6）特殊三角形的性質與判定（等腰三角形、直角三角形）；
（7）三角形的變換（如相似三角形等）；
（8）直角三角形的邊角關系（銳角三角函數），解直角三角形。
概括起來就是：
定義——表示——分類（以要素為標準）——性質（要素、相關要素的相互關系）——特例（性質和判定）——聯系（應用）；
定性研究（相等、不等、對稱性等）——定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。
本書研究的“相似”，作為“小系統”，其研究過程是：相似圖形——相似多邊形——相似三角形——位似。這是一個不斷特殊化的過程。而對“相似三角形”的研究，又重復了上述過程：定義——判定與性質——應用。
值得指出，上述過程具有普適性，既適用于三角形的研究，也適用于其他數學對象的研究，因此體現了系統思維方式的結構性。數學教學中，只要緊緊抓住這一結構，再通過橫向或縱向的類比與聯系，引導學生去認識和把握具體數學對象的要素和功能的關系，就能使他們建立起研究數學對象的結構，并形成完整的認識。
總之，培養系統思維，是為了使學生養成全面思考問題的習慣，避免“見木不見林”，并掌握具有普遍意義的思想方法，進而使他們在面對數學問題時，能把解決問題的目標、實現目標的過程、解決過程的優化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”就能落在實處。
2．加強發現和提出問題能力的培養
眾所周知，問題意識、提問能力很重要，這是創新的基礎。教育的根本目的是使學生成為善于發現和提出問題、分析和解決問題的人才，但目前的課堂教學中，培養發現和提出問題能力的措施還不夠得力。
如何才能讓學生學會發現和提出問題呢？我們認為，答案還是在數學內部，特別是要從知識所蘊含的思想方法中尋找靈感，這才是根本性的。我們知道，提問有不同的層次。有憑一時興趣的“即興提問”，完全不懂，瞎問；有具備一定的知識基礎，從知識的發生發展過程中自然而然地提出問題；更進一步地，在對一個問題深入思考后產生困惑而提出的問題。有含金量的問題，需要一般觀念的引領，需要數學思想方法的指導，還需要有效的思維策略作支撐。
例如，學生在“兩個三角形相似，它們的要素、相關要素與相似比k的確定的關系就是性質”的引導下，就能獨立地發現相似三角形的性質。
從研究對象的基本關系出發，分析其表現形式，也是發現和提出問題的基本途徑。例如研究正投影的性質，首先明確目標是“物體與其投影之間的形狀、大小關系”，然后分析物體與投影面之間所有可能的位置關系，就可以發現性質。當然，以簡單而典型的線段和正方形正投影為出發點，奠定畫基本幾何體三視圖的基礎，也體現了數學研究的一種基本觀念。
加強知識的聯系性，用新眼光看“舊問題”，又是發現和提出問題的一種途徑。例如銳角三角函數中，“對直角三角形的邊角關系，已經研究了什么，還可以研究什么”，“如何看直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半”，從“相似三角形的性質”到“直角三角形中兩邊之比值與銳角的對應關系”，從“全等直角三角形的判定”到“什么條件下直角三角形可解”等等，都是“從聯系性中發現和提出問題”的體現。
總之，數學的特點之一是邏輯的嚴謹性，它的概念、原理、法則、公式、性質等的發現，都有其內在的邏輯必然性。以數學知識發生發展過程的內在邏輯為基礎，在一定的宏觀思想指導下，經過深思熟慮，學生就一定能發現和提出有意義的、高質量的好問題。

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