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2014年中考數(shù)學(xué)分類匯編——與特殊四邊形有關(guān)的填空壓軸題
2014年與特殊四邊形（正多邊形）有關(guān)的填空壓軸題，題目展示涉及：折疊問題；旋轉(zhuǎn)問題；三角形全等問題；平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}；動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題.知識(shí)點(diǎn)涉及：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定和性質(zhì)；解直角三角形，勾股定理，正多邊形性質(zhì)；銳角三角函數(shù).數(shù)學(xué)思想涉及：分類討論；數(shù)形結(jié)合；方程思想. 現(xiàn)選取部分省市的2014年中考題展示，以饗讀者.
【題1】(2014.年河南省第題)如圖矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為　　．
【考點(diǎn)】： 翻折變換（折疊問題）．
【分析】： 連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE．
【解答】： 解：如圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P，
∵點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上，
∴MD′=PD′，
設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x，
∴AM=AB﹣BM=7﹣x，
又折疊圖形可得AD=AD′=5，
∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在RT△END′中，設(shè)ED′=a，
①當(dāng)MD′=3時(shí)，D′E=5﹣3=2，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a，
∴a2=22+（4﹣a）2，
解得a=，即DE=，
②當(dāng)MD′=4時(shí)，D′E=5﹣4=1，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a，
∴a2=12+（3﹣a）2，
解得a=，即DE=．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】： 本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對(duì)應(yīng)相等的．
　 【題2】(2014年四川省綿陽(yáng)市第17題)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為　　．
【考點(diǎn)】： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．
【分析】： 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EAF′=45°，進(jìn)而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形邊長(zhǎng)即可．
【解答】： 解：將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF′位置，
由題意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周長(zhǎng)為4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△FAE≌△EAF′是解題關(guān)鍵．
【題3】 (2014年湖北隨州第16題)如圖1，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P、EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
②當(dāng)x=時(shí)，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是；
④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變．
其中正確的是　　（寫出所有正確判斷的序號(hào)）．
【考點(diǎn)】： 翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì)．
【分析】： （1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，即點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，從而得出結(jié)論．
（3）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最大值．
（4）六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．
【解答】： 解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，
∴當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
故①結(jié)論正確，
（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=，
∴BE=2﹣=，
∴=，即=，
∴EF=AC，
同理，GH=AC，
∴EF+GH=AC，
故②結(jié)論錯(cuò)誤，
（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．
∵AE=x，
∴六邊形AEFCHG面積=22﹣BE?BF﹣GD?HD=4﹣×（2﹣x）?（2﹣x）﹣x?x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，
故③結(jié)論錯(cuò)誤，
（4）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，
∵EF+GH=AC，
六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2
故六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變，
故④結(jié)論正確．
故答案為：①④．
【點(diǎn)評(píng)】： 考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．
【題4】（2014江西第13題）如圖，是將菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°后形成的圖形。若，AB=2，則圖中陰影部分的面積為______.
　　　　　　　　　　
【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【分析】 連接AC、BD，AO、BO，AC與BD交于點(diǎn)E，求出菱形對(duì)角線AC長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AO⊥CO。在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理求出AO=CO=，從而求出Rt△AOC的面積，再減去△ACD的面積得陰影部分AOCD面積，一共有四個(gè)這樣的面積，乘以4即得解。
【解答】
解：連接BD、AC，相交于點(diǎn)E，連接AO、CO。
∵因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
∴AC ⊥BD，AB＝AD＝2。
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，BD＝AB＝2，
∴∠BAE＝∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴AC＝2。
∵菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，
∴∠AOC＝×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO
在Rt△AOC中，AO=CO=。
∵S△AOC=AO·CO=××=3，S△ADC=AC·DE＝×2×1＝,
∴S陰影＝S△AOC －S△ADC=4×（3－）＝12－4
所以圖中陰影部分的面積為12－4。
【題5】 (2014年河南省第14題)如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為，則圖中陰影部分的面積為　　．
【考點(diǎn)】： 菱形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【分析】： 連接BD′，過D′作D′H⊥AB，則陰影部分的面積可分為3部分，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式以及扇形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】： 解：連接BD′，過D′作D′H⊥AB，
∵在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，
∴D′H=，
∴S△ABD′=1×=，
∴圖中陰影部分的面積為+﹣，
故答案為：+﹣．
【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．
　 【題6】（2014?泰州第16題）如圖，正方向ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AE，則AP等于　　cm．
【考點(diǎn)】:
全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形
【專題】：
分類討論．
【分析】：
根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再利用對(duì)稱性確定出AP′的長(zhǎng)即可．
【解答】：
解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°=，即DE=cm，
根據(jù)勾股定理得：AE==2cm，
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，
∴AP===2cm；
由對(duì)稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
綜上，AP等于1cm或2cm．
故答案為：1或2．
【點(diǎn)評(píng)】：
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【題7】 (2014年重慶市第18題)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為　　．
【考點(diǎn)】： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．
【分析】： 在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長(zhǎng)，即可求得OF的長(zhǎng)．
【解答】： 解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中
∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE===2，
∵BC2=BF?BE，
則62=BF，解得：BF=，
∴EF=BE﹣BF=，
∵CF2=BF?EF，
∴CF=，
∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=，
在等腰直角△OGF中
OF2=GF2，
∴OF=．
【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用．
【題8】 (2014年寧夏第15題)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，且AE∥CD，則四邊形ABCD的面積為　　．
【考點(diǎn)】： 平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】： 根據(jù)題意可以判定△ABE是等邊三角形，求得該三角形的高即為等腰梯形ABCD的高．所以利用梯形的面積公式進(jìn)行解答．
【解答】： 解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠C，
∵AD∥BC，AB=CD=2，
∴四邊形是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠B=60°，
∴AF=AB?sin60°=2×=，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD=EC=BC﹣BE=5﹣2=3，
∴梯形的面積=（AD+BC）×AF=×（3+5）×=4．
【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等．
【題9】（2014?寧波第11題）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是　　．

　

【考點(diǎn)】：
直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】：
連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
【解答】：
解：如圖，連接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=3，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF===2，
∵H是AF的中點(diǎn)，
∴CH=AF=×2=．
【點(diǎn)評(píng)】：
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【題10】（2014?武漢第16題）如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為__________．


【考點(diǎn)】：
全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形
【分析】：
根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．
【解答】：
解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，
∴BD=CD′=，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】：
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵．
【題11】（2014?蘇州第17題）如圖，在矩形ABCD中，=，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊AD于點(diǎn)E．若AE?ED=，則矩形ABCD的面積為　　．
【考點(diǎn)】：
矩形的性質(zhì)；勾股定理．
【分析】：
連接BE，設(shè)AB=3x，BC=5x，根據(jù)勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．
【解答】：
解：如圖，連接BE，則BE=BC．
設(shè)AB=3x，BC=5x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，
由勾股定理得：AE=4x，
則DE=5x﹣4x=x，
∵AE?ED=，
∴4x?x=，
解得：x=（負(fù)數(shù)舍去），
則AB=3x=，BC=5x=，
∴矩形ABCD的面積是AB×BC=×=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】：
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出x的值，題目比較好，難度適中．
【題129】（2014?棗莊第18題）圖①所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為____________cm．


【考點(diǎn)】：
平面展開-最短路徑問題；截一個(gè)幾何體
【分析】：
要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．
【解答】：
解：如圖所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，
在Rt△BCD中，CD==6cm，
∴BE=CD=3cm，
在Rt△ACE中，AE==3cm，
∴從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm．
故答案為：（3+3）．
【點(diǎn)評(píng)】：
考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題．
【題13】 (2014年江蘇徐州第18題)如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)P沿邊DA從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q沿邊AB、BC從點(diǎn)A開始向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q同時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P出發(fā)xs時(shí)，△PAQ的面積為ycm2，y與x的函數(shù)圖象如圖②，則線段EF所在的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為　 　．
【考點(diǎn)】：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．
【分析】：根據(jù)從圖②可以看出當(dāng)Q點(diǎn)到B點(diǎn)時(shí)的面積為9，求出正方形的邊長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式得出EF所在的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】：解：∵點(diǎn)P沿邊DA從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿邊AB、BC從點(diǎn)A開始向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
∴當(dāng)P點(diǎn)到AD的中點(diǎn)時(shí)，Q到B點(diǎn)，
從圖②可以看出當(dāng)Q點(diǎn)到B點(diǎn)時(shí)的面積為9，
∴9=×（AD）?AB，
∵AD=AB，
∴AD=6，即正方形的邊長(zhǎng)為6，
當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，AP=6﹣x，△APQ的高為AB，
∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18．
故答案為：y=﹣3x+18．
【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是求出正方形的邊長(zhǎng)．

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