資源簡介

(共65張PPT)
力的合成與分解
第
3
講
目標
要求
1.會應用平行四邊形定則及三角形定則求合力.2.能利用效果分解法和正交分解法計算分力.3.知道“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”的區別.
內容索引
考點一　共點力的合成
考點二　力的分解的兩種常用方法
考點三　“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”
課時精練
考點一
共點力的合成
1.合力與分力
(1)定義：如果一個力單獨作用的效果跟某幾個力共同作用的效果相同，這個力叫作那幾個力的 ，那幾個力叫作這個力的 .
(2)關系：合力與分力是 關系.
梳理
必備知識
分力
合力
等效替代
2.力的合成
(1)定義：求幾個力的 的過程.
(2)運算法則
①平行四邊形定則：求兩個互成角度的分力的合力，可以用表示這兩個力的有向線段為 作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的 就表示合力的大小和方向.如圖甲所示，F1、F2為分力，F為合力.
②三角形定則：把兩個矢量的首尾順次連接起來，第一個矢量的起點到第二個矢量的終點的 為合矢量.如圖乙所示，F1、F2為分力，F為合力.
合力
鄰邊
對角線
有向線段
1.合力和分力可以同時作用在一個物體上.(　　)
2.兩個力的合力一定比其分力大.(　　)
3.當一個分力增大時，合力一定增大.(　　)
×
×
×
1.求合力的方法
提升
關鍵能力
作圖法 作出力的圖示，結合平行四邊形定則，用刻度尺量出表示合力的線段的長度，再結合標度算出合力大小.
計算法 根據平行四邊形定則作出力的示意圖，然后利用勾股定理、三角函數、正弦定理等求出合力.
2.合力范圍的確定
(1)兩個共點力的合力大小的范圍：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①兩個力的大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小.
②當兩個力反向時，合力最小，為|F1－F2|；當兩個力同向時，合力最大，為F1＋F2.
(2)三個共點力的合力大小的范圍
①最大值：三個力同向時，其合力最大，為Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：如果一個力的大小處于另外兩個力的合力大小范圍內，則其合力的最小值為零，即Fmin＝0；如果不處于，則合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1為三個力中最大的力).
例1　(多選)兩個共點力F1、F2大小不同，夾角為α(0<α<π)，它們的合力大小為F，則
A.F1、F2同時增加10 N，F也增加10 N
B.F1、F2同時增大一倍，F也增大一倍
C.F1增加10 N，F2減少10 N，F一定不變
D.若F1、F2都增大，但F不一定增大
考向1　合力大小的范圍
√
√
F1、F2同時增加10 N，根據平行四邊形定則合成之后，合力的大小增加不一定是10 N，故A錯誤；
根據平行四邊形定則，F1、F2同時增大一倍，F也增大一倍，故B正確；
F1增加10 N，F2減少10 N，F可能變大或變小，也可能不變，故C錯誤；
若F1、F2都增大，根據平行四邊形定則可知F不一定增大，故D正確.
例2　一物體受到三個共面共點力F1、F2、F3的作用，三力的矢量關系如圖所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不確定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向與F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向與F3同向
D.由題給條件無法求合力大小
考向2　作圖法求合力
√
先以力F1和F2為鄰邊作平行四邊形，其合力與F3共線，大小F12＝2F3，如圖所示，F12再與第三個力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故選B.
例3　射箭是奧運會上一個觀賞性很強的運動項目，中國隊有較強的實力.如圖甲所示，射箭時，剛釋放的瞬間若弓弦的拉力為100 N，對箭產生的作用力為120 N，其弓弦的拉力如圖乙中F1和F2所示，對箭產生的作用力如圖乙中F所示，則弓弦的夾角α應為
(cos 53°＝0.6)
A.53° B.127°
C.143° D.106°
考向3　解析法求合力
√
考點二
力的分解的兩種常用方法
1.力的分解是力的合成的逆運算，遵循的法則： 定則或____
定則.
2.分解方法
(1)按力產生的 分解；
梳理
必備知識
平行四邊形
三角
形
效果
(2)正交分解.
如圖，將結點O的受力進行分解.
1.合力與它的分力的作用對象為同一個物體.(　　)
2.在進行力的合成與分解時，都能應用平行四邊形定則或三角形定則.(　　)
3.2 N的力能夠分解成6 N和3 N的兩個分力.(　　)
√
×
√
1.力的效果分解法
(1)根據力的實際作用效果確定兩個實際分力的方向.
(2)再根據兩個分力方向畫出平行四邊形.
(3)最后由幾何知識求出兩個分力的大小和方向.
提升
關鍵能力
2.力的正交分解法
(1)建立坐標軸的原則：在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力分布在坐標軸上)；在動力學中，往往以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標系.
(2)多個力求合力的方法：把各力向相互垂直的x軸、y軸分解.
x軸上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y軸上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
例4　(多選)(2018·天津卷·7)明朝謝肇淛的《五雜組》中記載：“明姑蘇虎丘寺塔傾側，議欲正之，非萬緡不可.一游僧見之曰：無煩也，我能正之.”游僧每天將木楔從塔身傾斜一側的磚縫間敲進去，經月余扶正了塔身.假設所用的木楔為等腰三角形，木楔的頂角為θ，現在木楔背上加一力F，方向如圖所示，木楔兩側產生推力FN，則
A.若F一定，θ大時FN大
B.若F一定，θ小時FN大
C.若θ一定，F大時FN大
D.若θ一定，F小時FN大
考向1　按照力的效果分解力
√
√
所以當F一定時，θ越小，FN越大；當θ一定時，F越大，FN越大，故選項B、C正確，A、D錯誤.
例5　(多選)(2023·浙江杭州市模擬)如圖所示，一旅客用力F拉著質量為m的行李箱沿水平方向做勻速直線運動.已知拉力F與水平方向的夾角為θ1，行李箱與水平方向的夾角為θ2，重力加速度為g，則行李箱受到地面的支持力FN和地面對行李箱的摩擦力Ff的大小分別為
A.FN＝mg－Fsin θ1
B.FN＝mg－Fsin θ2
C.Ff＝Fcos θ1
D.Ff＝Fcos θ2
考向2　力的正交分解法
√
√
以行李箱為研究對象，由物體的平衡條件，豎直方向上有FN＋Fsin θ1－mg＝0，所以行李箱受到地面的支持力為FN＝mg－Fsin θ1，選項A正確，B錯誤；
水平方向上有Ff－Fcos θ1＝0，所以地面對行李箱的摩擦力Ff＝Fcos θ1，選項C正確，D錯誤.
例6　(2022·遼寧卷·4)如圖所示，蜘蛛用蛛絲將其自身懸掛在水管上，并處于靜止狀態.蛛絲OM、ON與豎直方向夾角分別為α、β(α>β).用F1、F2分別表示OM、ON的拉力，則
A.F1的豎直分力大于F2的豎直分力
B.F1的豎直分力等于F2的豎直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
√
對結點O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，選項C錯誤，D正確；
考點三
“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”
1.活結：當繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，繩上的力是相等的，即滑輪只改變力的方向，不改變力的大小，如圖甲，滑輪B兩側繩的拉力大小相等.
2.死結：若結點不是滑輪，而是固定點時，稱為“死結”結點，則兩側繩上的彈力大小不一定相等，如圖乙，結點B兩側繩的拉力大小不相等.
3.動桿：若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿平衡時，桿所受到的彈力方向一定沿著桿，否則桿會轉動.如圖乙所示，若C為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，彈力方向始終沿桿的方向.
4.定桿：若輕桿被固定，不發生轉動，則桿受到的彈力方向不一定沿桿的方向，如圖甲所示.
例7　如圖，A、B兩物體通過兩個質量不計的光滑滑輪懸掛起來，處于靜止狀態.現將繩子一端從P點緩慢移到Q點，系統仍然平衡，以下說法正確的是
A.夾角θ將變小
B.夾角θ將變大
C.物體B位置將變高
D.繩子張力將增大
√
考向1　細繩上“死結”與“活結”模型
因為繩子張力始終與物體B的重力平衡，所以繩子張力不變，因為物體A的重力不變，所以繩子與水平方向的夾角不變，因為繩子一端從P點緩慢移到Q點，所以物體A會下落，物體B位置會升高，故選C.
例8　如圖所示，一光滑小球與一過球心的輕桿連接，置于一斜面上靜止，輕桿通過光滑鉸鏈與豎直墻壁連接，已知小球所受重力為G，斜面與水平地面間的夾角為60°，輕桿與豎直墻壁間的夾角也為60°，則輕桿和斜面受到小球的作用力大小分別為
考向2　“動桿”與“定桿”模型
√
對小球受力分析，桿對小球的彈力F方向沿桿斜向上與水平方向成30°角，斜面對球的彈力FN方向垂直于斜面斜向上與水平方向成
30°角，重力方向豎直向下，如圖所示，由幾何關系可知三力互成120°角，根據平衡條件知，三力可以構成一首尾相連的等邊三角形，則FN＝F＝G，根據牛頓第三定律可知，斜面和輕桿受到小球的作用力大小均為G，選項A正確.
四
課時精練
1.三個共點力大小分別是F1、F2、F3，關于它們合力F的大小，下列說法正確的是
A.F大小的取值范圍一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B.F至少比F1、F2、F3中的某一個力大
C.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要適當調整它們之間的夾角，一定能使合
力為零
D.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要適當調整它們之間的夾角，一定能使合
力為零
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基礎落實練
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三個大小分別是F1、F2、F3的共點力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有當某一個力的大小在另外兩個力的合力范圍內時，這三個力的合力才可能為零，選項A錯誤；
合力可能比三個力都大，也可能比三個力都小，選項B錯誤；
合力能夠為零的條件是三個力的矢量箭頭能組成首尾相接的三角形，任意兩個力的和必須大于第三個力，選項D錯誤，C正確.
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2.用兩根等長輕繩將木板掛在豎直木樁上等高的兩點，制成一簡易秋千.某次維修時將兩輕繩各剪去一小段，但仍保持兩繩等長且懸點不變.木板靜止時，F1表示木板所受合力的大小，F2表示單根輕繩對木板拉力的大小，則維修后
A.F1不變，F2變大
B.F1不變，F2變小
C.F1變大，F2變大
D.F1變小，F2變小
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由于木板始終處于靜止狀態，因此維修前、后合力F1都是零，保持不變，兩輕繩各剪去一段后，長度變短，懸掛木板時，輕繩與豎直方向的夾角變大，根據力的合成知，合力不變，兩分力夾角變大時，兩分力變大，故A正確，B、C、D錯誤.
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3.(多選)(2023·浙南名校聯盟一模)為使艦載機在幾秒內迅速停在航母上，需要利用阻攔索將艦載機攔停(如圖甲)，此過程可簡化為如圖乙所示模型，設航母甲板為一平面，阻攔索兩端固定，并始終與航母甲板平行.艦載機從正中央鉤住阻攔索，實現減速.阻攔索為彈性裝置，剛剛接觸阻攔索就處于繃緊狀態，下列說法正確的是
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A.艦載機落在航母上鉤住阻攔索時，只受重力、阻攔索的彈力和航母甲
板的摩擦力三個力作用
B.艦載機鉤住阻攔索繼續向前運動的過程中，阻攔索對飛機的彈力在變大
C.當阻攔索被拉至夾角為120°時，設阻攔索的張力為F，則阻攔索對艦
載機的彈力大小為F
D.艦載機鉤住阻攔索繼續向前運動的過程中，艦載機所受摩擦力一直在
變大
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艦載機受重力、阻攔索的彈力、航母施加的摩擦力與支持力四個力作用，故A錯誤；
阻攔索的長度變長，張力變大，對飛機作用的是阻攔索上兩個分力的合力，夾角變小，合力變大，故B正確；
如圖，阻攔索的張力夾角為120°時，F合＝F，故C正確；
由滑動摩擦力F滑＝μFN＝μmg，故艦載機所受摩擦力不變，故D錯誤.
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4.(2023·江蘇鎮江市高三檢測)如圖所示一個“Y”形彈弓，兩相同的橡皮條一端固定在彈弓上，另一端連接輕質裹片.若橡皮條的彈力與形變量的關系滿足胡克定律，且勁度系數為k，發射彈丸時每
根橡皮條的伸長量為L，橡皮條之間夾角為60°，則發
射瞬間裹片對彈丸的作用力大小為
A. B.
C.kL D.2kL
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每根橡皮條產生的彈力大小為F＝kL，夾角為60°，則合力大小為F合＝2Fcos 30°＝ ，故選A.
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5.如圖所示，有5個力作用于同一點O，表示這5個力的有向線段恰好構成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線，已知
F1＝10 N，則這5個力的合力大小為
A.50 N B.30 N
C.20 N D.10 N
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利用三角形定則可知，F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，所以這5個力的合力大小為3F1＝30 N，故選B.
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6.(2023·山西呂梁市模擬)如圖所示，四根等長的細繩一端分別系于水桶上關于桶面圓心對稱的兩點，另一端被兩人用同樣大小的力F1、F2提起，使桶在空中處于靜止狀態，其中F1、F2與細繩之間的夾角均為θ，相鄰兩細繩之間的夾角均為α，不計繩的質量，下列說法正確的是
A.保持θ角不變，逐漸緩慢增大α角，則桶所受合
力逐漸增大
B.保持θ角不變，逐漸緩慢增大α角，則細繩上的拉
力逐漸增大
C.若僅使細繩變長，則細繩上的拉力變大
D.若僅使細繩變長，則F1變大
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保持θ角不變，逐漸增大α角，由于桶的重力不變，則F1、F2會變大，由F1＝2FTcos θ可知，繩上的拉力逐漸增大，但桶處于平衡狀態，所受合力為零，選項A錯誤，B正確；
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保持α角不變，則F1、F2大小不變，若僅使繩變長，則θ角變小，由F1＝2FTcos θ可知，繩上的拉力變小，選項C、D錯誤.
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7.(2023·浙江嘉興市模擬)如圖所示，某物體同時受到共面的三個共點力作用，坐標紙小方格邊長的長度對應1 N大小的力.甲、乙、丙、丁四種情況中，關于三共點力的合力大小，
下列說法正確的是
A.甲圖最小
B.乙圖為8 N
C.丙圖為5 N
D.丁圖為1 N
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8.如圖所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點，系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環.現將木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度，則關于輕繩對M、N兩點的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是
A.F1和F2都變大 B.F1變大，F2變小
C.F1和F2都變小 D.F1變小，F2變大
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由于是一根不可伸長的柔軟輕繩，所以繩子的拉力大小相等.木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環的合力大小始終等于小金屬環的重力大小，所以繩子上的拉力變小，選項C正確，A、B、D錯誤.
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9.有一種多功能“人”字形折疊梯，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某相對的位置用一輕繩系住，如圖所示，可以通過調節繩子的長度來改變兩梯的夾角θ.一質量為m的人站在梯子頂部，若梯子的質量及梯子與水平地面間的摩擦不計，整個裝置處于靜止狀態，則
A.θ角越大，梯子對水平地面的作用力越大
B.θ角越大，梯子對水平地面的作用力越小
C.θ角越大，繩子的拉力越大
D.θ角越大，人對梯子的壓力越大
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能力綜合練
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對人和梯子整體進行分析，有mg＝FN，根據牛頓第三定律可知，梯子對水平地面的作用力與水平地面對梯子的支持力等大，與θ角無關，故A、B錯誤；
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對人受力分析，梯子對人的支持力大小等于人的重力，梯子對人的支持力與人對梯子的壓力是相互作用力，大小與θ角無關，故D錯誤.
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10.如圖所示，用兩根能承受的最大拉力相等、長度不等的細繩AO、BO(AO>BO)懸掛一個中空鐵球，當向球內不斷注入鐵砂時，則
A.繩AO先被拉斷
B.繩BO先被拉斷
C.繩AO、BO同時被拉斷
D.條件不足，無法判斷
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依據力的作用效果將鐵球對結點O的拉力分解如圖所示.據圖可知FB>FA，又因為兩繩承受的最大拉力相等，故當向球內不斷注入鐵砂時，BO繩先斷，選項B正確.
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11.(2023·福建省福州第一中學高三月考)如圖為一小型起重機，A、B為光滑輕質滑輪，C為電動機.物體P和A、B、C之間用不可伸長的輕質細繩連接，滑輪A的軸固定在水平伸縮桿上并可以水平移動，滑輪B固定在豎直伸縮桿上并可以豎直移動.當物體P靜止時
A.滑輪A的軸所受壓力可能沿水平方向
B.滑輪A的軸所受壓力一定大于物體P的重力
C.當只將滑輪A向右移動時，A的軸所受壓力變大
D.當只將滑輪B向上移動時，A的軸所受壓力變大
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滑輪A的軸所受壓力為BA方向的拉力和物體P重力的合力，BA方向的拉力與物體P的重力大小相等，設兩力方向的夾角為θ，其變化范圍為90°<θ<180°，根據力的合成法則可知，滑輪
A的軸所受壓力不可能沿水平方向，θ的大小不確定，滑輪A的軸所受壓力可能大于物體P的重力，也可能小于或等于物體P的重力，故A、B錯誤；
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當只將滑輪A向右移動時，θ變小，兩繩的合力變大，A的軸所受壓力變大，故C正確；
當只將滑輪B向上移動時，θ變大，兩繩的合力變小，A的軸所受壓力變小，故D錯誤.
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12.如圖所示是擴張機的原理示意圖，A、B為活動鉸鏈，C為固定鉸鏈，在A處作用一水平力F，B就以比F大得多的壓力向上頂物體D，已知圖中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，B與左側豎直墻壁接觸，接觸面光滑，鉸鏈和桿受到的重力不計，求：
(1)擴張機AB桿的彈力大小(用含α的三角函數表示)；
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(2)D受到向上頂的力的大小.
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答案　2 000 N
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13.一重為G的圓柱體工件放在V形槽中，槽頂角α＝60°，槽的兩側面與水平方向的夾角相等，槽與工件接觸處的動摩擦因數處處相同，大小為μ＝0.25，則：
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素養提升練
(1)要沿圓柱體的軸線方向(如圖甲所示)水平地把工件從槽中拉出來，人至少要施加多大的拉力？
答案　0.5G　
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分析圓柱體工件的受力可知，沿軸線方向受到拉力F和兩個側面對圓柱體工件的滑動摩擦力，由題給條件
知F＝Ff，將工件的重力進行分解，如圖所示，由平衡條件可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1＋μF2得F＝0.5G.
13
(2)現把整個裝置傾斜，使圓柱體的軸線與水平方向成37°角，如圖乙所示，且保證工件對V形槽兩側面的壓力大小相等，發現工件能自動沿槽下滑，求此時工件所受槽的摩擦力大小.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
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答案　0.4G
把整個裝置傾斜，則重力沿壓緊兩側的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcos 37°＝0.8G，此時工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G.
13第3講　力的合成與分解
目標要求　1.會應用平行四邊形定則及三角形定則求合力.2.能利用效果分解法和正交分解法計算分力.3.知道“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”的區別．
考點一　共點力的合成
1．合力與分力
(1)定義：如果一個力單獨作用的效果跟某幾個力共同作用的效果相同，這個力叫作那幾個力的合力，那幾個力叫作這個力的分力．
(2)關系：合力與分力是等效替代關系．
2．力的合成
(1)定義：求幾個力的合力的過程．
(2)運算法則
①平行四邊形定則：求兩個互成角度的分力的合力，可以用表示這兩個力的有向線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就表示合力的大小和方向．如圖甲所示，F1、F2為分力，F為合力．
②三角形定則：把兩個矢量的首尾順次連接起來，第一個矢量的起點到第二個矢量的終點的有向線段為合矢量．如圖乙所示，F1、F2為分力，F為合力．
1．合力和分力可以同時作用在一個物體上．(　×　)
2．兩個力的合力一定比其分力大．(　×　)
3．當一個分力增大時，合力一定增大．(　×　)
1．求合力的方法
作圖法 作出力的圖示，結合平行四邊形定則，用刻度尺量出表示合力的線段的長度，再結合標度算出合力大小．
計算法 根據平行四邊形定則作出力的示意圖，然后利用勾股定理、三角函數、正弦定理等求出合力.
2.合力范圍的確定
(1)兩個共點力的合力大小的范圍：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①兩個力的大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小．
②當兩個力反向時，合力最小，為|F1－F2|；當兩個力同向時，合力最大，為F1＋F2.
(2)三個共點力的合力大小的范圍
①最大值：三個力同向時，其合力最大，為Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：如果一個力的大小處于另外兩個力的合力大小范圍內，則其合力的最小值為零，即Fmin＝0；如果不處于，則合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1為三個力中最大的力)．
考向1　合力大小的范圍
例1　(多選)兩個共點力F1、F2大小不同，夾角為α(0<α<π)，它們的合力大小為F，則(　　)
A．F1、F2同時增加10 N，F也增加10 N
B．F1、F2同時增大一倍，F也增大一倍
C．F1增加10 N，F2減少10 N，F一定不變
D．若F1、F2都增大，但F不一定增大
答案　BD
解析　F1、F2同時增加10 N，根據平行四邊形定則合成之后，合力的大小增加不一定是10 N，故A錯誤；根據平行四邊形定則，F1、F2同時增大一倍，F也增大一倍，故B正確；F1增加10 N，F2減少10 N，F可能變大或變小，也可能不變，故C錯誤；若F1、F2都增大，根據平行四邊形定則可知F不一定增大，故D正確．
考向2　作圖法求合力
例2　一物體受到三個共面共點力F1、F2、F3的作用，三力的矢量關系如圖所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是(　　)
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不確定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向與F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向與F3同向
D．由題給條件無法求合力大小
答案　B
解析　先以力F1和F2為鄰邊作平行四邊形，其合力與F3共線，大小F12＝2F3，如圖所示，F12再與第三個力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故選B.
考向3　解析法求合力
例3　射箭是奧運會上一個觀賞性很強的運動項目，中國隊有較強的實力．如圖甲所示，射箭時，剛釋放的瞬間若弓弦的拉力為100 N，對箭產生的作用力為120 N，其弓弦的拉力如圖乙中F1和F2所示，對箭產生的作用力如圖乙中F所示，則弓弦的夾角α應為(cos 53°＝0.6)(　　)
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案　D
解析　弓弦拉力的合成如圖所示，由于F1＝F2，由幾何關系得2F1cos ＝F，有cos ＝＝＝0.6，所以＝53°，即α＝106°，故D正確．
考點二　力的分解的兩種常用方法
1．力的分解是力的合成的逆運算，遵循的法則：平行四邊形定則或三角形定則．
2．分解方法
(1)按力產生的效果分解；
(2)正交分解．
如圖，將結點O的受力進行分解．
1．合力與它的分力的作用對象為同一個物體．(　√　)
2．在進行力的合成與分解時，都能應用平行四邊形定則或三角形定則．(　√　)
3．2 N的力能夠分解成6 N和3 N的兩個分力．(　×　)
1．力的效果分解法
(1)根據力的實際作用效果確定兩個實際分力的方向．
(2)再根據兩個分力方向畫出平行四邊形．
(3)最后由幾何知識求出兩個分力的大小和方向．
2．力的正交分解法
(1)建立坐標軸的原則：在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力分布在坐標軸上)；在動力學中，往往以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標系．
(2)多個力求合力的方法：把各力向相互垂直的x軸、y軸分解．
x軸上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y軸上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
若合力方向與x軸夾角為θ，則tan θ＝.
考向1　按照力的效果分解力
例4　(多選)(2018·天津卷·7)明朝謝肇淛的《五雜組》中記載：“明姑蘇虎丘寺塔傾側，議欲正之，非萬緡不可．一游僧見之曰：無煩也，我能正之．”游僧每天將木楔從塔身傾斜一側的磚縫間敲進去，經月余扶正了塔身．假設所用的木楔為等腰三角形，木楔的頂角為θ，現在木楔背上加一力F，方向如圖所示，木楔兩側產生推力FN，則(　　)
A．若F一定，θ大時FN大
B．若F一定，θ小時FN大
C．若θ一定，F大時FN大
D．若θ一定，F小時FN大
答案　BC
解析　根據力F的作用效果將F分解為垂直于木楔兩側的力FN，如圖所示，則＝sin ，故FN＝，
所以當F一定時，θ越小，FN越大；當θ一定時，F越大，FN越大，故選項B、C正確，A、D錯誤．
考向2　力的正交分解法
例5　(多選)(2023·浙江杭州市模擬)如圖所示，一旅客用力F拉著質量為m的行李箱沿水平方向做勻速直線運動．已知拉力F與水平方向的夾角為θ1，行李箱與水平方向的夾角為θ2，重力加速度為g，則行李箱受到地面的支持力FN和地面對行李箱的摩擦力Ff的大小分別為(　　)
A．FN＝mg－Fsin θ1 B．FN＝mg－Fsin θ2
C．Ff＝Fcos θ1 D．Ff＝Fcos θ2
答案　AC
解析　以行李箱為研究對象，由物體的平衡條件，豎直方向上有FN＋Fsin θ1－mg＝0，所以行李箱受到地面的支持力為FN＝mg－Fsin θ1，選項A正確，B錯誤；水平方向上有Ff－Fcos θ1＝0，所以地面對行李箱的摩擦力Ff＝Fcos θ1，選項C正確，D錯誤．
例6　(2022·遼寧卷·4)如圖所示，蜘蛛用蛛絲將其自身懸掛在水管上，并處于靜止狀態．蛛絲OM、ON與豎直方向夾角分別為α、β(α>β)．用F1、F2分別表示OM、ON的拉力，則(　　)
A．F1的豎直分力大于F2的豎直分力
B．F1的豎直分力等于F2的豎直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
答案　D
解析　對結點O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，選項C錯誤，D正確；F1y＝，F2y＝，因為α>β，故F1y考點三　“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”
1．活結：當繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，繩上的力是相等的，即滑輪只改變力的方向，不改變力的大小，如圖甲，滑輪B兩側繩的拉力大小相等．
2．死結：若結點不是滑輪，而是固定點時，稱為“死結”結點，則兩側繩上的彈力大小不一定相等，如圖乙，結點B兩側繩的拉力大小不相等．
3．動桿：若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿平衡時，桿所受到的彈力方向一定沿著桿，否則桿會轉動．如圖乙所示，若C為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，彈力方向始終沿桿的方向．
4．定桿：若輕桿被固定，不發生轉動，則桿受到的彈力方向不一定沿桿的方向，如圖甲所示．
考向1　細繩上“死結”與“活結”模型
例7　如圖，A、B兩物體通過兩個質量不計的光滑滑輪懸掛起來，處于靜止狀態．現將繩子一端從P點緩慢移到Q點，系統仍然平衡，以下說法正確的是(　　)
A．夾角θ將變小
B．夾角θ將變大
C．物體B位置將變高
D．繩子張力將增大
答案　C
解析　因為繩子張力始終與物體B的重力平衡，所以繩子張力不變，因為物體A的重力不變，所以繩子與水平方向的夾角不變，因為繩子一端從P點緩慢移到Q點，所以物體A會下落，物體B位置會升高，故選C.
考向2　“動桿”與“定桿”模型
例8　如圖所示，一光滑小球與一過球心的輕桿連接，置于一斜面上靜止，輕桿通過光滑鉸鏈與豎直墻壁連接，已知小球所受重力為G，斜面與水平地面間的夾角為60°，輕桿與豎直墻壁間的夾角也為60°，則輕桿和斜面受到小球的作用力大小分別為(　　)
A．G和G B.G和G
C.G和G D.G和2G
答案　A
解析　對小球受力分析，桿對小球的彈力F方向沿桿斜向上與水平方向成30°角，斜面對球的彈力FN方向垂直于斜面斜向上與水平方向成30°角，重力方向豎直向下，如圖所示，由幾何關系可知三力互成120°角，根據平衡條件知，三力可以構成一首尾相連的等邊三角形，則FN＝F＝G，根據牛頓第三定律可知，斜面和輕桿受到小球的作用力大小均為G，選項A正確．
課時精練
1．三個共點力大小分別是F1、F2、F3，關于它們合力F的大小，下列說法正確的是(　　)
A．F大小的取值范圍一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一個力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要適當調整它們之間的夾角，一定能使合力為零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要適當調整它們之間的夾角，一定能使合力為零
答案　C
解析　三個大小分別是F1、F2、F3的共點力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有當某一個力的大小在另外兩個力的合力范圍內時，這三個力的合力才可能為零，選項A錯誤；合力可能比三個力都大，也可能比三個力都小，選項B錯誤；合力能夠為零的條件是三個力的矢量箭頭能組成首尾相接的三角形，任意兩個力的和必須大于第三個力，選項D錯誤，C正確．
2.用兩根等長輕繩將木板掛在豎直木樁上等高的兩點，制成一簡易秋千．某次維修時將兩輕繩各剪去一小段，但仍保持兩繩等長且懸點不變．木板靜止時，F1表示木板所受合力的大小，F2表示單根輕繩對木板拉力的大小，則維修后(　　)
A．F1不變，F2變大 B．F1不變，F2變小
C．F1變大，F2變大 D．F1變小，F2變小
答案　A
解析　由于木板始終處于靜止狀態，因此維修前、后合力F1都是零，保持不變，兩輕繩各剪去一段后，長度變短，懸掛木板時，輕繩與豎直方向的夾角變大，根據力的合成知，合力不變，兩分力夾角變大時，兩分力變大，故A正確，B、C、D錯誤．
3．(多選)(2023·浙南名校聯盟一模)為使艦載機在幾秒內迅速停在航母上，需要利用阻攔索將艦載機攔停(如圖甲)，此過程可簡化為如圖乙所示模型，設航母甲板為一平面，阻攔索兩端固定，并始終與航母甲板平行．艦載機從正中央鉤住阻攔索，實現減速．阻攔索為彈性裝置，剛剛接觸阻攔索就處于繃緊狀態，下列說法正確的是(　　)
A．艦載機落在航母上鉤住阻攔索時，只受重力、阻攔索的彈力和航母甲板的摩擦力三個力作用
B．艦載機鉤住阻攔索繼續向前運動的過程中，阻攔索對飛機的彈力在變大
C．當阻攔索被拉至夾角為120°時，設阻攔索的張力為F，則阻攔索對艦載機的彈力大小為F
D．艦載機鉤住阻攔索繼續向前運動的過程中，艦載機所受摩擦力一直在變大
答案　BC
解析　艦載機受重力、阻攔索的彈力、航母施加的摩擦力與支持力四個力作用，故A錯誤；阻攔索的長度變長，張力變大，對飛機作用的是阻攔索上兩個分力的合力，夾角變小，合力變大，故B正確；如圖，阻攔索的張力夾角為120°時，F合＝F，故C正確；由滑動摩擦力F滑＝μFN＝μmg，故艦載機所受摩擦力不變，故D錯誤．
4.(2023·江蘇鎮江市高三檢測)如圖所示一個“Y”形彈弓，兩相同的橡皮條一端固定在彈弓上，另一端連接輕質裹片．若橡皮條的彈力與形變量的關系滿足胡克定律，且勁度系數為k，發射彈丸時每根橡皮條的伸長量為L，橡皮條之間夾角為60°，則發射瞬間裹片對彈丸的作用力大小為(　　)
A.kL B．2kL
C．kL D．2kL
答案　A
解析　每根橡皮條產生的彈力大小為F＝kL，夾角為60°，則合力大小為F合＝2Fcos 30°＝kL，故選A.
5.如圖所示，有5個力作用于同一點O，表示這5個力的有向線段恰好構成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線，已知F1＝10 N，則這5個力的合力大小為(　　)
A．50 N B．30 N
C．20 N D．10 N
答案　B
解析　利用三角形定則可知，F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，所以這5個力的合力大小為3F1＝30 N，故選B.
6.(2023·山西呂梁市模擬)如圖所示，四根等長的細繩一端分別系于水桶上關于桶面圓心對稱的兩點，另一端被兩人用同樣大小的力F1、F2提起，使桶在空中處于靜止狀態，其中F1、F2與細繩之間的夾角均為θ，相鄰兩細繩之間的夾角均為α，不計繩的質量，下列說法正確的是(　　)
A．保持θ角不變，逐漸緩慢增大α角，則桶所受合力逐漸增大
B．保持θ角不變，逐漸緩慢增大α角，則細繩上的拉力逐漸增大
C．若僅使細繩變長，則細繩上的拉力變大
D．若僅使細繩變長，則F1變大
答案　B
解析　保持θ角不變，逐漸增大α角，由于桶的重力不變，則F1、F2會變大，由F1＝2FTcos θ可知，繩上的拉力逐漸增大，但桶處于平衡狀態，所受合力為零，選項A錯誤，B正確；保持α角不變，則F1、F2大小不變，若僅使繩變長，則θ角變小，由F1＝2FTcos θ可知，繩上的拉力變小，選項C、D錯誤．
7．(2023·浙江嘉興市模擬)如圖所示，某物體同時受到共面的三個共點力作用，坐標紙小方格邊長的長度對應1 N大小的力．甲、乙、丙、丁四種情況中，關于三共點力的合力大小，下列說法正確的是(　　)
A．甲圖最小 B．乙圖為8 N
C．丙圖為5 N D．丁圖為1 N
答案　D
解析　由題圖可知，F甲＝2 N，方向豎直向上；F乙＝ N，方向斜向右下；F丙＝ N，方向斜向左上；F丁＝1 N，方向豎直向上；則丁圖的合力最小，為1 N，故選D.
8.如圖所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點，系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環．現將木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度，則關于輕繩對M、N兩點的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是(　　)
A．F1和F2都變大 B．F1變大，F2變小
C．F1和F2都變小 D．F1變小，F2變大
答案　C
解析　由于是一根不可伸長的柔軟輕繩，所以繩子的拉力大小相等．木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環的合力大小始終等于小金屬環的重力大小，所以繩子上的拉力變小，選項C正確，A、B、D錯誤．
9.有一種多功能“人”字形折疊梯，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某相對的位置用一輕繩系住，如圖所示，可以通過調節繩子的長度來改變兩梯的夾角θ.一質量為m的人站在梯子頂部，若梯子的質量及梯子與水平地面間的摩擦不計，整個裝置處于靜止狀態，則(　　)
A．θ角越大，梯子對水平地面的作用力越大
B．θ角越大，梯子對水平地面的作用力越小
C．θ角越大，繩子的拉力越大
D．θ角越大，人對梯子的壓力越大
答案　C
解析　對人和梯子整體進行分析，有mg＝FN，根據牛頓第三定律可知，梯子對水平地面的作用力與水平地面對梯子的支持力等大，與θ角無關，故A、B錯誤；對一側的梯子受力分析，受到人的沿梯子向下的作用力，地面的豎直向上的支持力(不變)，繩子的水平方向的拉力，如圖，FT＝FNtan ，F人＝，可知θ角越大，繩子的拉力越大，故C正確；對人受力分析，梯子對人的支持力大小等于人的重力，梯子對人的支持力與人對梯子的壓力是相互作用力，大小與θ角無關，故D錯誤．
10.如圖所示，用兩根能承受的最大拉力相等、長度不等的細繩AO、BO(AO>BO)懸掛一個中空鐵球，當向球內不斷注入鐵砂時，則(　　)
A．繩AO先被拉斷
B．繩BO先被拉斷
C．繩AO、BO同時被拉斷
D．條件不足，無法判斷
答案　B
解析　依據力的作用效果將鐵球對結點O的拉力分解如圖所示．據圖可知FB>FA，又因為兩繩承受的最大拉力相等，故當向球內不斷注入鐵砂時，BO繩先斷，選項B正確．
11.(2023·福建省福州第一中學高三月考)如圖為一小型起重機，A、B為光滑輕質滑輪，C為電動機．物體P和A、B、C之間用不可伸長的輕質細繩連接，滑輪A的軸固定在水平伸縮桿上并可以水平移動，滑輪B固定在豎直伸縮桿上并可以豎直移動．當物體P靜止時(　　)
A．滑輪A的軸所受壓力可能沿水平方向
B．滑輪A的軸所受壓力一定大于物體P的重力
C．當只將滑輪A向右移動時，A的軸所受壓力變大
D．當只將滑輪B向上移動時，A的軸所受壓力變大
答案　C
解析　滑輪A的軸所受壓力為BA方向的拉力和物體P重力的合力，BA方向的拉力與物體P的重力大小相等，設兩力方向的夾角為θ，其變化范圍為90°<θ<180°，根據力的合成法則可知，滑輪A的軸所受壓力不可能沿水平方向，θ的大小不確定，滑輪A的軸所受壓力可能大于物體P的重力，也可能小于或等于物體P的重力，故A、B錯誤；當只將滑輪A向右移動時，θ變小，兩繩的合力變大，A的軸所受壓力變大，故C正確；當只將滑輪B向上移動時，θ變大，兩繩的合力變小，A的軸所受壓力變小，故D錯誤．
12.如圖所示是擴張機的原理示意圖，A、B為活動鉸鏈，C為固定鉸鏈，在A處作用一水平力F，B就以比F大得多的壓力向上頂物體D，已知圖中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，B與左側豎直墻壁接觸，接觸面光滑，鉸鏈和桿受到的重力不計，求：
(1)擴張機AB桿的彈力大小(用含α的三角函數表示)；
(2)D受到向上頂的力的大小．
答案　(1) N　(2)2 000 N
解析　(1)將力F按作用效果沿AB和AC兩個方向進行分解，如圖甲所示，且F1＝F2，則有2F1cos α＝F，則擴張機AB桿的彈力大小為F1＝＝ N
(2)再將F1按作用效果分解為FN和FN′，如圖乙所示，則有FN＝F1sin α，聯立得FN＝，根據幾何知識可知tan α＝＝10，則FN＝5F＝2 000 N.
13．一重為G的圓柱體工件放在V形槽中，槽頂角α＝60°，槽的兩側面與水平方向的夾角相等，槽與工件接觸處的動摩擦因數處處相同，大小為μ＝0.25，則：
(1)要沿圓柱體的軸線方向(如圖甲所示)水平地把工件從槽中拉出來，人至少要施加多大的拉力？
(2)現把整個裝置傾斜，使圓柱體的軸線與水平方向成37°角，如圖乙所示，且保證工件對V形槽兩側面的壓力大小相等，發現工件能自動沿槽下滑，求此時工件所受槽的摩擦力大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　(1)0.5G　(2)0.4G
解析　(1)分析圓柱體工件的受力可知，沿軸線方向受到拉力F和兩個側面對圓柱體工件的滑動摩擦力，由題給條件
知F＝Ff，將工件的重力進行分解，如圖所示，由平衡條件可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1＋μF2得F＝0.5G.
(2)把整個裝置傾斜，則重力沿壓緊兩側的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcos 37°＝0.8G，此時工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G.

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