資源簡介

(共76張PPT)
功、功率　機車啟動問題
第
1
講
目標
要求
1.理解功的概念，會判斷某個力做功的正、負，會計算功的大小.2.理解功率的概念，并會對功率進行分析和計算.3.會分析、解決機車啟動的兩類問題.
內容索引
考點一　恒力做功的分析和計算
考點二　變力做功的分析和計算
考點三　功率的分析和計算
考點四　機車啟動問題
課時精練
考點一
恒力做功的分析和計算
梳理
必備知識
1.做功的兩個要素
(1)作用在物體上的 .
(2)物體在 上發(fā)生位移.
2.公式W＝Flcos α
(1)α是力與 方向之間的夾角，l為物體的位移.
(2)該公式只適用于 做功.
力
力的方向
位移
恒力
3.功的正負
(1)當0≤α＜ 時，W＞0，力對物體做 .
(2)當α＝ 時，W＝0，力對物體 .
(3)當 ＜α≤π時，W＜0，力對物體做 ，或者說物體 這個力做功.
正功
不做功
負功
克服
1.只要物體受力的同時又發(fā)生了位移，則一定有力對物體做功.(　　)
2一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動.(　　)
3.作用力做正功時，反作用力一定做負功.(　　)
4.力對物體做功的正負是由力和位移間的夾角大小決定的.(　　)
√
×
×
√
1.是否做功及做功正負的判斷
(1)根據(jù)力與位移的方向的夾角判斷；
(2)根據(jù)力與瞬時速度方向的夾角α判斷：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做負功.
提升
關鍵能力
2.計算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α計算.
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功.
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功.
方法三：利用動能定理W合＝Ek2－Ek1.
例1　(2023·上海市模擬)如圖，一磁鐵吸附在鐵板AB的下方.現(xiàn)保持鐵板與水平面間的夾角θ不變，緩慢推動B端，使AB與磁鐵一起水平向左勻速移動，則
A.合外力對磁鐵做正功
B.AB對磁鐵的作用力不做功
C.AB對磁鐵的彈力不做功
D.AB對磁鐵的摩擦力不做功
√
由于磁鐵做勻速運動，磁鐵所受合外力為零，合外力對磁鐵不做功，故A錯誤；
磁鐵受重力和AB對它的作用力而做勻速運
動，根據(jù)平衡條件可知，AB對磁鐵的作用力大小等于重力，方向豎直向上，與磁鐵的運動方向相互垂直，故AB對磁鐵的作用力不做功，故B正確；
AB對磁鐵的彈力垂直接觸面，與磁鐵的運動方向不垂直，故彈力一定做功，故C錯誤；
AB對磁鐵的摩擦力沿接觸面，與磁鐵運動方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D錯誤.
例2　如圖所示，升降機內斜面的傾角θ＝30°，質量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5 m/s的速度勻速上升4 s的過程中.g取10 m/s2，求：
(1)斜面對物體的支持力所做的功；
答案　300 J
物體置于升降機內隨升降機一起勻速運動過程中，處于受力平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示
由平衡條件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，F(xiàn)fsin θ＋
FNcos θ－G＝0
代入數(shù)據(jù)得Ff＝10 N，F(xiàn)N＝
x＝vt＝20 m
斜面對物體的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功；
答案　100 J
斜面對物體的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物體重力所做的功；
答案?。?00 J
物體重力做的功WG＝－Gx＝－400 J
(4)合外力對物體所做的功.
答案　0
合外力對物體做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0.
考點二
變力做功的分析和計算
求變力做功的五種方法
方法 舉例
微元法
質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效轉換法
圖像法
平均值法
應用動能定理 用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，
則有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例3　聶海勝利用太空跑臺——動感單車鍛煉，如圖所示.假設聶海勝鍛煉15分鐘克服動感單車阻力而消耗的能量約為900 kJ.假設動感單車的阻力主要來源于距車軸30 cm的阻尼裝置(可視為質點)，聶海
勝每分鐘蹬車90圈，則阻尼裝置對車輪的阻力大小約為
A.180 N B.350 N
C.580 N D.780 N
考向1　微元法計算變力做功
√
設平均阻力大小為Ff，則有Ff×15×90×2πr (J)＝900 kJ，解得Ff≈354 N，故選B.
例4　(2023·河南洛陽市第一中學高三檢測)質量為2 kg的物體靜止在光滑的水平面上，從某時刻起，對物體施加一方向不變的水平拉力F，該拉力與物體的位移x的關系圖像如圖所示，則物體在x＝
7 m處時的速度大小為
A. B.
C.5 m/s D.4 m/s
考向2　圖像法計算變力做功
√
考點三
功率的分析和計算
梳理
必備知識
1.定義：功與完成這些功所用 之比.
2.物理意義：描述力對物體做功的 .
3.公式：
(1)P＝ P描述時間t內力對物體做功的 .
(2)P＝Fv
①v為平均速度，則P為 功率.
②v為瞬時速度，則P為 功率.
③當力F和速度v不在同一直線上時，可以將力F分解或者將速度v分解.
時間
快慢
快慢
平均
瞬時
1.由P＝ 知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率.(　　)
2.由P＝Fv既能求某一時刻的瞬時功率，也可以求平均功率.(　　)
3.當F為恒力時，v增大，F(xiàn)的功率一定增大.(　　)
√
×
×
1.平均功率的計算方法
提升
關鍵能力
2.瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度.F可為恒力，也可為變力，α為F與v的夾角，α可以不變，也可以變化.
(2)公式P＝Fvcos α中，F(xiàn)cos α可認為是力F在速度v方向上的分力，vcos α可認為是速度v在力F方向上的分速度.
例5　如圖所示，質量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前2 s內重力的平均功率和2 s末重力的瞬時功率分別為
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
√
木塊所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
所以重力在前2 s內做的功為
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
木塊在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬時功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，
故選項B正確.
例6　一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1 m/s，從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間t的變化規(guī)律分別如圖甲、乙所示，則以下說法正確的是
A.第1 s內，F(xiàn)對滑塊做的功為3 J
B.第2 s內，F(xiàn)對滑塊做功的平均功率為4 W
C.第3 s末，F(xiàn)對滑塊做功的瞬時功率為1 W
D.前3 s內，F(xiàn)對滑塊做的總功為零
√
由題圖可知，第1 s內，滑塊位移為1 m，F(xiàn)對滑塊做的功為2 J，A錯誤；
第2 s內，滑塊位移為1.5 m，F(xiàn)對滑塊做的功為4.5 J，平均功率為4.5 W，B錯誤；
第3 s內，滑塊位移為1.5 m，F(xiàn)對滑塊做的功為1.5 J，第3 s末，F(xiàn)對滑塊做功的瞬時功率P＝Fv＝1 W，C正確；
前3 s內，F(xiàn)對滑塊做的總功為8 J，D錯誤.
例7　如圖所示是具有登高平臺的消防車，具有一定質量的伸縮臂能夠在5 min內使承載4人的登高平臺(人連同平臺的總質量為400 kg)上升60 m到達滅火位置.此后，在登高平臺上的消防員用水炮滅火，已知水炮的出水量為3 m3/min，水離開炮口時的速率為20 m/s，水的密度為ρ＝1×103 kg/m3，取g＝10 m/s2，則用于
A.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為1×104 W
B.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為4×104 W
C.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為2.4×106 W
D.伸縮臂抬升登高平臺的發(fā)動機輸出功率為800 W
√
水炮發(fā)動機的作用是把水從地面運到水炮處，再由水炮發(fā)射出去，因此發(fā)動機做的功轉化為水發(fā)射時的動能和重力勢能，所以輸出功率P
考點四
機車啟動問題
1.兩種啟動方式
梳理
必備知識
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖像和 v－t圖像

OA段 過程分析
運動性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，持續(xù)時間t0＝
AB段 過程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝
運動性質 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段
2.三個重要關系式
(3)機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小和時間.
例8　(多選)一輛汽車在水平路面上勻速直線行駛，阻力恒定為Ff，t1時刻駛入一段阻力為 的路段繼續(xù)行駛.t2時刻駛出這段路，阻力恢復為Ff.行駛中汽車功率恒定，則汽車的速度v及牽引力F隨時間t的變化圖像可能是
√
√
0～t1時間內，汽車做勻速運動，F(xiàn)＝Ff.t1～t2時間內，P＝Fv，隨著v的增大，F(xiàn)減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動；t2時刻，F(xiàn)例9　(2022·浙江6月選考·13)小明用額定功率為1 200 W、最大拉力為300 N的提升裝置，把靜置于地面的質量為20 kg的重物豎直提升到高為85.2 m的平臺，先加速再勻速，最后做加速度大小不超過5 m/s2的勻減速運動，到達平臺速度剛好為零，g取10 m/s2，則提升重物的最短時間為
A.13.2 s B.14.2 s
C.15.5 s D.17.0 s
√
此過程所用時間和上升高度分別為
重物以最大速度做勻速運動時，有
設重物從結束勻加速運動到開始做勻減速運動所用時間為t2，該過程根據(jù)動能定理可得
又有h2＝85.2 m－1.6 m－3.6 m＝80 m
聯(lián)立解得t2＝13.5 s，故提升重物的最短時間為tmin＝t1＋t2＋t3＝0.8 s＋13.5 s＋1.2 s＝15.5 s，C正確，A、B、D錯誤.
五
課時精練
1.(2023·廣東惠州一中月考)圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止.下列關于做功的判斷中正確的是
A.圖甲中支持力對人做正功
B.圖甲中摩擦力對人做負功
C.圖乙中支持力對人做正功
D.圖乙中摩擦力對人做負功
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基礎落實練
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題圖甲中，人勻速上樓，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，與速度方向的夾角為銳角，則支持力做正功，故A正確，B錯誤；
題圖乙中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤.
2.水平恒力F兩次作用在同一靜止物體上，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，兩次力F做的功和平均功率的大小關系是
A.W1＝W2，P1>P2 B.W1>W2，P1＝P2
C.W1>W2，P1>P2 D.W1＝W2，P1＝P2
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根據(jù)功的定義，兩次水平恒力F做的功相等，即W1＝W2；第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同樣大小的力F，第一次的加速度較大，由x＝ 可知，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次需要的時間較短，根據(jù)功率的定義，可知第一次的平均功率較大，即P1>P2，選項A正確.
3.(2021·山東卷·3)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連.木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個完整的圓周運動.在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為
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4.(多選)如圖所示，豎直平面內有一半圓槽，A、C等高，B為半圓槽最低點，小球(可視為質點)從A點正上方O點由靜止釋放，從A點切入圓槽，剛好能運動至C點.設球在AB段和BC段運動過程中，運動時間分別為t1、t2，克服摩擦力做的功分別為W1、W2，則
A.t1>t2
B.t1C.W1>W2
D.W11
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AB段比BC段的速率大，支持力大，摩擦力大，克服摩擦力做的功多，故C正確，D錯誤.
小球從A點正上方O點由靜止釋放，做自由落體運動，從A點切入圓槽，剛好能運動至C點.從B到C速率越來越小，AB段平均速率大于BC段平均速率，兩段路程相等，所以球在AB段和BC段運動過程中所用的運動時間有t1＜t2，故A錯誤，B正確；
5.風力發(fā)電是一種環(huán)保的電能獲取方式.某風力發(fā)電機的葉片轉動形成的圓面積為S，某時間內風的速度大小為v，風向恰好與此圓面垂直；此時空氣的密度為ρ，該風力發(fā)電機將空氣動能轉化為電能的效率為η，則風力發(fā)電機發(fā)電的功率為
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6.如圖所示，質量為60 kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒.已知重心在c點，其垂線與腳、兩手連線中點間的距離Oa、Ob分別為0.9 m和0.6 m.若她在1 min內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m，重力加速度g取10 m/s2，則克服重力做的功和相應的功率約為
A.430 J,7 W
B.4 300 J,70 W
C.720 J,12 W
D.7 200 J,120 W
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7.(多選)(2022·廣東卷·9)如圖所示，載有防疫物資的無人駕駛小車，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛.已知小車總質量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力.下列說法正確的有
A.從M到N，小車牽引力大小為40 N
B.從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C.從P到Q，小車重力勢能增加1×104 J
D.從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
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能力綜合練
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依題意，小車從M到N，因勻速行駛，小車所受的摩擦力大小為Ff1＝F＝40 N，則摩擦力做功為W1＝－40×20 J＝－800 J，則小車克服摩擦力做功為800 J，故B正確；
依題意，從P到Q，重力勢能增加量為ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C錯誤；
小車從M到N，依題意有P1＝Fv1＝200 W，代入數(shù)據(jù)解得F＝40 N，故A正確；
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依題意，小車從P到Q，摩擦力大小為Ff2，有Ff2＋mgsin 30°＝ 摩擦力做功為W2＝－Ff2·PQ，聯(lián)立解得W2＝－700 J，則小車克服摩擦力做功為700 J，故D正確.
8.(2023·浙江溫州市一模)2021年10月25日，如圖甲所示的全球最大“上回轉塔機”成功首發(fā)下線，又樹立了一面“中國高端制造”的新旗幟.若該起重機某次從t＝0時刻由靜止開始向上提升質量為m的物體，其a－t圖像如圖乙所示，t1時達到額定功率，t1～t2時間內起重機保持額定功率運動，重力加速度為g，不計其他阻力，下列說法正確的是
A.0～t1時間內物體處于失重狀態(tài)
B.t1～t2時間內物體做減速運動
C.0～t1時間內重力對物體做功為－ m(a0t1)2
D.t1～t2時間內起重機額定功率為(mg＋ma0)a0t1
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0～t1時間內物體向上做勻加速直線運動，因此物體處于超重狀態(tài)，故A錯誤；
由a－t圖像可知t1～t2時間內物體的加速度為正，做加速度減小的加速運動，故B錯誤；
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t1時刻物體所受到的牽引力為F，由牛頓第二定律有F－mg＝ma0，解得F＝mg＋ma0，t1時刻物體的速度為v＝a0t1，起重機額定功率為P＝Fv＝(mg＋ma0)a0t1，故D正確.
9.(2021·湖南卷·3)“復興號”動車組用多節(jié)車廂提供動力，從而達到提速的目的.總質量為m的動車組在平直的軌道上行駛.該動車組有四節(jié)動力車廂，每節(jié)車廂發(fā)動機的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻＝kv，k為常量)，動車組能達到的最大速度為vm.下列說法正確的是
A.動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B.若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C.若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為
D.若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到
最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為 mvm2－Pt
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對動車組由牛頓第二定律有F牽－F阻＝ma，
動車組勻加速啟動，即加速度a恒定，但F阻＝kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨阻力增大而增大，故A錯誤；
若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則總功率為4P，由牛頓第二定律有 －kv＝ma，故可知加速啟動的過程，牽引力減小，阻力增大，則加速度逐漸減小，故B錯誤；
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若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到最大速度vm，
可得動車組克服阻力做的功為
10.一輛汽車由靜止開始沿平直公路行駛，汽車所受牽引力F隨時間t變化關系圖線如圖所示.若汽車的質量為1.2×103 kg，阻力恒定，汽車的最大功率恒定，則以下說法正確的是
A.汽車的最大功率為5×104 W
B.汽車勻加速運動階段的加速度為
C.汽車先做勻加速運動，然后再做勻速直線運動
D.汽車從靜止開始運動12 s內的位移是60 m
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由題圖可知，汽車在前4 s內的牽引力不變，汽車做勻加速直線運動，4～12 s內汽車的牽引力逐漸減小，則車的加速度逐漸減小，汽車做加
速度減小的加速運動，直到車的速度達到最大值，以后做勻速直線運動，可知在4 s末汽車的功率達到最大值；汽車的速度達到最大值后牽引力等于阻力，所以阻力Ff＝2×103 N，前4 s內汽車的牽引力為F＝5×103 N，由牛頓第二定律F－Ff＝ma可得a＝2.5 m/s2,4 s末汽車的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽車的最大功率P＝Fv1＝5×103×10 W＝5×104 W，A正確，B、C錯誤；
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11.質量為1.0×103 kg的汽車，沿傾角為30°的斜坡由靜止開始向上運動，汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2 000 N，汽車發(fā)動機的額定輸出功率為5.6×104 W，開始時以a＝1 m/s2的加速度做勻加速運動(g取10 m/s2).求：
(1)汽車做勻加速運動的時間；
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答案　7 s　
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由牛頓第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
設勻加速過程的末速度為v，則有P＝Fv
v＝at1，解得t1＝7 s.
(2)汽車所能達到的最大速率；
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答案　8 m/s
當達到最大速度vm時，加速度為零，
有Fm＝mgsin 30°＋Ff
則有P＝Fmvm＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)若斜坡長143.5 m，且認為汽車到達坡頂之前已達到最大速率，汽車從坡底到坡頂所需時間.
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答案　22 s
又有x＝x1＋x2，解得t2≈15 s
故汽車運動的總時間為t＝t1＋t2＝22 s.
12.一輛玩具賽車在水平直線跑道上由靜止開始以10 kW的恒定功率加速前進，賽車瞬時速度的倒數(shù) 和瞬時加速度a的關系如圖所示，已知賽車在跑道上所受到的阻力恒定，賽車到達終點前已達到最大速度.下列說法中正確的是
A.賽車做加速度逐漸增大的加速直線運動
B.賽車的質量為20 kg
C.賽車所受阻力大小為500 N
D.賽車速度大小為5 m/s時，加速度大小為50 m/s2
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素養(yǎng)提升練
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12考情分析 功和功率 2022·廣東卷·T9　2021·山東卷·T3　2021·浙江1月選考·T11 2021·北京卷·T8
機車啟動問題 2021·湖南卷·T3　2020·天津卷·T8
動能定理及其應用 2022·江蘇卷·T8　2021·河北卷·T6　2020·江蘇卷·T4
機械能守恒定律 2020·山東卷·T11
實驗：驗證機械能守恒定律 2022·河北卷·T11　2022·湖北卷·T12　2021·浙江6月選考·T17
含功和能的綜合題 2022·廣東卷·T13　2022·江蘇卷·T10　2022·河北卷·T9
試題情境 生活實踐類 體育運動中功和功率問題，風力發(fā)電功率計算，蹦極運動、過山車等能量問題， 汽車啟動問題，生活、生產中能量守恒定律的應用
學習探究類 變力做功的計算，機車啟動問題，單物體機械能守恒，用繩、桿連接的系統(tǒng)機械能守恒問題，含彈簧系統(tǒng)機械能守恒問題，傳送帶、板塊模型的能量問題
第1講　功、功率　機車啟動問題
目標要求　1.理解功的概念，會判斷某個力做功的正、負，會計算功的大小.2.理解功率的概念，并會對功率進行分析和計算.3.會分析、解決機車啟動的兩類問題．
考點一　恒力做功的分析和計算
1．做功的兩個要素
(1)作用在物體上的力．
(2)物體在力的方向上發(fā)生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力與位移方向之間的夾角，l為物體的位移．
(2)該公式只適用于恒力做功．
3．功的正負
(1)當0≤α＜時，W＞0，力對物體做正功．
(2)當α＝時，W＝0，力對物體不做功．
(3)當＜α≤π時，W＜0，力對物體做負功，或者說物體克服這個力做功．
1．只要物體受力的同時又發(fā)生了位移，則一定有力對物體做功．(　×　)
2一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動．(　√　)
3．作用力做正功時，反作用力一定做負功．(　×　)
4．力對物體做功的正負是由力和位移間的夾角大小決定的．(　√　)
1．是否做功及做功正負的判斷
(1)根據(jù)力與位移的方向的夾角判斷；
(2)根據(jù)力與瞬時速度方向的夾角α判斷：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做負功．
2．計算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α計算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用動能定理W合＝Ek2－Ek1.
例1　(2023·上海市模擬)如圖，一磁鐵吸附在鐵板AB的下方．現(xiàn)保持鐵板與水平面間的夾角θ不變，緩慢推動B端，使AB與磁鐵一起水平向左勻速移動，則 (　　)
A．合外力對磁鐵做正功
B．AB對磁鐵的作用力不做功
C．AB對磁鐵的彈力不做功
D．AB對磁鐵的摩擦力不做功
答案　B
解析　由于磁鐵做勻速運動，磁鐵所受合外力為零，合外力對磁鐵不做功，故A錯誤；磁鐵受重力和AB對它的作用力而做勻速運動，根據(jù)平衡條件可知，AB對磁鐵的作用力大小等于重力，方向豎直向上，與磁鐵的運動方向相互垂直，故AB對磁鐵的作用力不做功，故B正確；AB對磁鐵的彈力垂直接觸面，與磁鐵的運動方向不垂直，故彈力一定做功，故C錯誤；AB對磁鐵的摩擦力沿接觸面，與磁鐵運動方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D錯誤．
例2　如圖所示，升降機內斜面的傾角θ＝30°，質量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5 m/s的速度勻速上升4 s的過程中．g取10 m/s2，求：
(1)斜面對物體的支持力所做的功；
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功；
(3)物體重力所做的功；
(4)合外力對物體所做的功．
答案　(1)300 J　(2)100 J　(3)－400 J　(4)0
解析　物體置于升降機內隨升降機一起勻速運動過程中，處于受力平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示
由平衡條件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，F(xiàn)fsin θ＋FNcos θ－G＝0
代入數(shù)據(jù)得Ff＝10 N，F(xiàn)N＝10 N
x＝vt＝20 m
(1)斜面對物體的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物體重力做的功WG＝－Gx＝－400 J
(4)合外力對物體做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0.
考點二　變力做功的分析和計算
求變力做功的五種方法
方法 舉例
微元法 　質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效轉換法 　恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做功W＝F·(－)
圖像法 　一水平拉力拉著一物體在水平面上運動的位移為x0，F(xiàn)－x圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝x0
平均值法 　當力與位移為線性關系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得出彈簧彈性勢能表達式為Ep＝k(Δx)2
應用動 能定理 　用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，則有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向1　微元法計算變力做功
例3　聶海勝利用太空跑臺——動感單車鍛煉，如圖所示．假設聶海勝鍛煉15分鐘克服動感單車阻力而消耗的能量約為900 kJ.假設動感單車的阻力主要來源于距車軸30 cm的阻尼裝置(可視為質點)，聶海勝每分鐘蹬車90圈，則阻尼裝置對車輪的阻力大小約為(　　)
A．180 N B．350 N
C．580 N D．780 N
答案　B
解析　設平均阻力大小為Ff，則有Ff×15×90×2πr (J)＝900 kJ，解得Ff≈354 N，故選B.
考向2　圖像法計算變力做功
例4　(2023·河南洛陽市第一中學高三檢測)質量為2 kg的物體靜止在光滑的水平面上，從某時刻起，對物體施加一方向不變的水平拉力F，該拉力與物體的位移x的關系圖像如圖所示，則物體在x＝7 m處時的速度大小為(　　)
A．2 m/s B．2 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
答案　A
解析　根據(jù)F－x圖像的面積表示功， 則物體從0運動到7 m過程拉力做的功為W＝3×4 J＋×4 J＝40 J，由動能定理得W＝mv2－0，解得v＝2 m/s，故選A.
考點三　功率的分析和計算
1．定義：功與完成這些功所用時間之比．
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述時間t內力對物體做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v為平均速度，則P為平均功率．
②v為瞬時速度，則P為瞬時功率．
③當力F和速度v不在同一直線上時，可以將力F分解或者將速度v分解．
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率．(　×　)
2．由P＝Fv既能求某一時刻的瞬時功率，也可以求平均功率．(　√　)
3．當F為恒力時，v增大，F(xiàn)的功率一定增大．(　×　)
1．平均功率的計算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中為物體運動的平均速度，F(xiàn)為恒力，F(xiàn)與的夾角α不變．
2．瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度．F可為恒力，也可為變力，α為F與v的夾角，α可以不變，也可以變化．
(2)公式P＝Fvcos α中，F(xiàn)cos α可認為是力F在速度v方向上的分力，vcos α可認為是速度v在力F方向上的分速度．
例5　如圖所示，質量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前2 s內重力的平均功率和2 s末重力的瞬時功率分別為(　　)
A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
答案　B
解析　木塊所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木塊的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s內木塊的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s內做的功為
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s內的平均功率＝＝24 W
木塊在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬時功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，
故選項B正確．
例6　一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1 m/s，從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間t的變化規(guī)律分別如圖甲、乙所示，則以下說法正確的是(　　)
A．第1 s內，F(xiàn)對滑塊做的功為3 J
B．第2 s內，F(xiàn)對滑塊做功的平均功率為4 W
C．第3 s末，F(xiàn)對滑塊做功的瞬時功率為1 W
D．前3 s內，F(xiàn)對滑塊做的總功為零
答案　C
解析　由題圖可知，第1 s內，滑塊位移為1 m，F(xiàn)對滑塊做的功為2 J，A錯誤；第2 s內，滑塊位移為1.5 m，F(xiàn)對滑塊做的功為4.5 J，平均功率為4.5 W，B錯誤；第3 s內，滑塊位移為1.5 m，F(xiàn)對滑塊做的功為1.5 J，第3 s末，F(xiàn)對滑塊做功的瞬時功率P＝Fv＝1 W，C正確；前3 s內，F(xiàn)對滑塊做的總功為8 J，D錯誤．
例7　如圖所示是具有登高平臺的消防車，具有一定質量的伸縮臂能夠在5 min內使承載
4人的登高平臺(人連同平臺的總質量為400 kg)上升60 m到達滅火位置．此后，在登高平臺上的消防員用水炮滅火，已知水炮的出水量為3 m3/min，水離開炮口時的速率為20 m/s，水的密度為ρ＝1×103 kg/m3，取g＝10 m/s2，則用于(　　)
A．水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為1×104 W
B．水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為4×104 W
C．水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為2.4×106 W
D．伸縮臂抬升登高平臺的發(fā)動機輸出功率為800 W
答案　B
解析　水炮發(fā)動機的作用是把水從地面運到水炮處，再由水炮發(fā)射出去，因此發(fā)動機做的功轉化為水發(fā)射時的動能和重力勢能，所以輸出功率P＝＝，水炮每秒射出水的質量m＝1×103× kg＝50 kg，代入得P＝4×104 W，選項B正確，A、C錯誤；伸縮臂的發(fā)動機做功把人、平臺和伸縮臂本身抬高了60 m，伸縮臂本身有一定的質量，伸縮臂自身的重力勢能也增加，所以伸縮臂發(fā)動機的功率大于P1＝＝ W＝800 W，選項D錯誤．
考點四　機車啟動問題
1．兩種啟動方式
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖像和 v－t圖像
OA段 過程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變P＝Fv↑直到P＝P額＝Fv1
運動性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，持續(xù)時間t0＝
AB段 過程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動性質 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 F＝F阻 a＝0 以vm＝做勻速直線運動
2.三個重要關系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝.
(2)機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結束時，功率最大，但速度不是最大，v＝(3)機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小和時間．
例8　(多選)一輛汽車在水平路面上勻速直線行駛，阻力恒定為Ff，t1時刻駛入一段阻力為的路段繼續(xù)行駛．t2時刻駛出這段路，阻力恢復為Ff.行駛中汽車功率恒定，則汽車的速度v及牽引力F隨時間t的變化圖像可能是(　　)
答案　AC
解析　0～t1時間內，汽車做勻速運動，F(xiàn)＝Ff.t1～t2時間內，P＝Fv，隨著v的增大，F(xiàn)減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動；t2時刻，F(xiàn)例9　(2022·浙江6月選考·13)小明用額定功率為1 200 W、最大拉力為300 N的提升裝置，把靜置于地面的質量為20 kg的重物豎直提升到高為85.2 m的平臺，先加速再勻速，最后做加速度大小不超過5 m/s2的勻減速運動，到達平臺速度剛好為零，g取10 m/s2，則提升重物的最短時間為(　　)
A．13.2 s B．14.2 s
C．15.5 s D．17.0 s
答案　C
解析　為了以最短時間提升重物，一開始先以最大拉力拉重物做勻加速運動，當功率達到額定功率時，保持功率不變直到重物達到最大速度，接著做勻速運動，最后以最大加速度做勻減速運動，到達平臺時速度剛好為零．重物在第一階段勻加速上升的過程中，根據(jù)牛頓第二定律可得a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
當功率達到額定功率時，設重物的速度為v1，則有v1＝＝ m/s＝4 m/s
此過程所用時間和上升高度分別為
t1＝＝ s＝0.8 s
h1＝＝ m＝1.6 m
重物以最大速度做勻速運動時，有
vm＝＝＝ m/s＝6 m/s
重物最后以最大加速度做勻減速運動的時間和上升高度分別為t3＝＝ s＝1.2 s
h3＝＝ m＝3.6 m
設重物從結束勻加速運動到開始做勻減速運動所用時間為t2，該過程根據(jù)動能定理可得
P額t2－mgh2＝mvm2－mv12
又有h2＝85.2 m－1.6 m－3.6 m＝80 m
聯(lián)立解得t2＝13.5 s，故提升重物的最短時間為tmin＝t1＋t2＋t3＝0.8 s＋13.5 s＋1.2 s＝15.5 s，C正確，A、B、D錯誤．
課時精練
1．(2023·廣東惠州一中月考)圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止．下列關于做功的判斷中正確的是(　　)
A．圖甲中支持力對人做正功
B．圖甲中摩擦力對人做負功
C．圖乙中支持力對人做正功
D．圖乙中摩擦力對人做負功
答案　A
解析　題圖甲中，人勻速上樓，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，與速度方向的夾角為銳角，則支持力做正功，故A正確，B錯誤；題圖乙中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤．
2．水平恒力F兩次作用在同一靜止物體上，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，兩次力F做的功和平均功率的大小關系是(　　)
A．W1＝W2，P1>P2 B．W1>W2，P1＝P2
C．W1>W2，P1>P2 D．W1＝W2，P1＝P2
答案　A
解析　根據(jù)功的定義，兩次水平恒力F做的功相等，即W1＝W2；第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同樣大小的力F，第一次的加速度較大，由x＝at2可知，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次需要的時間較短，根據(jù)功率的定義，可知第一次的平均功率較大，即P1>P2，選項A正確．
3.(2021·山東卷·3)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連．木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個完整的圓周運動．在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　在運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關，根據(jù)動能定理－Ff·2πL＝0－mv02，可得摩擦力的大小Ff＝，故選B.
4.(多選)如圖所示，豎直平面內有一半圓槽，A、C等高，B為半圓槽最低點，小球(可視為質點)從A點正上方O點由靜止釋放，從A點切入圓槽，剛好能運動至C點．設球在AB段和BC段運動過程中，運動時間分別為t1、t2，克服摩擦力做的功分別為W1、W2，則(　　)
A．t1>t2 B．t1C．W1>W2 D．W1答案　BC
解析　小球從A點正上方O點由靜止釋放，做自由落體運動，從A點切入圓槽，剛好能運動至C點．從B到C速率越來越小，AB段平均速率大于BC段平均速率，兩段路程相等，所以球在AB段和BC段運動過程中所用的運動時間有t1＜t2，故A錯誤，B正確；AB段比BC段的速率大，支持力大，摩擦力大，克服摩擦力做的功多，故C正確，D錯誤．
5．風力發(fā)電是一種環(huán)保的電能獲取方式．某風力發(fā)電機的葉片轉動形成的圓面積為S，某時間內風的速度大小為v，風向恰好與此圓面垂直；此時空氣的密度為ρ，該風力發(fā)電機將空氣動能轉化為電能的效率為η，則風力發(fā)電機發(fā)電的功率為(　　)
A．ηρSv2 B.ηρSv2
C．ηρSv3 D.ηρSv3
答案　D
解析　時間t內，撞擊到風力發(fā)電機葉片上的空氣的動能為Ek＝mv2＝ρvtSv2，故風力發(fā)電機的功率為P＝＝＝ηρSv3，故D正確．
6.如圖所示，質量為60 kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒．已知重心在c點，其垂線與腳、兩手連線中點間的距離Oa、Ob分別為0.9 m和0.6 m．若她在1 min內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m，重力加速度g取10 m/s2，則克服重力做的功和相應的功率約為(　　)
A．430 J,7 W B．4 300 J,70 W
C．720 J,12 W D．7 200 J,120 W
答案　B
解析　設每次做俯臥撐運動過程中，運動員重心變化的高度為h，由幾何關系可得＝，即h＝0.24 m，在一次俯臥撐運動過程中，運動員克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以1 min內克服重力做的總功為W總＝30W＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故選B.
7．(多選)(2022·廣東卷·9)如圖所示，載有防疫物資的無人駕駛小車，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛．已知小車總質量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力．下列說法正確的有(　　)
A．從M到N，小車牽引力大小為40 N
B．從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C．從P到Q，小車重力勢能增加1×104 J
D．從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
答案　ABD
解析　小車從M到N，依題意有P1＝Fv1＝200 W，代入數(shù)據(jù)解得F＝40 N，故A正確；依題意，小車從M到N，因勻速行駛，小車所受的摩擦力大小為Ff1＝F＝40 N，則摩擦力做功為W1＝－40×20 J＝－800 J，則小車克服摩擦力做功為800 J，故B正確；依題意，從P到Q，重力勢能增加量為ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C錯誤；依題意，小車從P到Q，摩擦力大小為Ff2，有Ff2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功為W2＝－Ff2·PQ，聯(lián)立解得W2＝－700 J，則小車克服摩擦力做功為700 J，故D正確．
8．(2023·浙江溫州市一模)2021年10月25日，如圖甲所示的全球最大“上回轉塔機”成功首發(fā)下線，又樹立了一面“中國高端制造”的新旗幟．若該起重機某次從t＝0時刻由靜止開始向上提升質量為m的物體，其a－t圖像如圖乙所示，t1時達到額定功率，t1～t2時間內起重機保持額定功率運動，重力加速度為g，不計其他阻力，下列說法正確的是(　　)
A．0～t1時間內物體處于失重狀態(tài)
B．t1～t2時間內物體做減速運動
C．0～t1時間內重力對物體做功為－m(a0t1)2
D．t1～t2時間內起重機額定功率為(mg＋ma0)a0t1
答案　D
解析　0～t1時間內物體向上做勻加速直線運動，因此物體處于超重狀態(tài)，故A錯誤；由a－t圖像可知t1～t2時間內物體的加速度為正，做加速度減小的加速運動，故B錯誤；0～t1時間內物體的位移為x1＝a0t12，重力對物體做功W＝－mgx1＝－mga0t12，故C錯誤；t1時刻物體所受到的牽引力為F，由牛頓第二定律有F－mg＝ma0，解得F＝mg＋ma0，t1時刻物體的速度為v＝a0t1，起重機額定功率為P＝Fv＝(mg＋ma0)a0t1，故D正確．
9．(2021·湖南卷·3)“復興號”動車組用多節(jié)車廂提供動力，從而達到提速的目的．總質量為m的動車組在平直的軌道上行駛．該動車組有四節(jié)動力車廂，每節(jié)車廂發(fā)動機的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻＝kv，k為常量)，動車組能達到的最大速度為vm.下列說法正確的是(　　)
A．動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C．若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為vm
D．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為mvm2－Pt
答案　C
解析　對動車組由牛頓第二定律有F牽－F阻＝ma，
動車組勻加速啟動，即加速度a恒定，但F阻＝kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨阻力增大而增大，故A錯誤；
若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則總功率為4P，由牛頓第二定律有－kv＝ma，故可知加速啟動的過程，牽引力減小，阻力增大，則加速度逐漸減小，故B錯誤；
若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，動車組勻速行駛時加速度為零，有＝kv，
而以額定功率勻速行駛時，有＝kvm，
聯(lián)立解得v＝vm，故C正確；
若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到最大速度vm，
由動能定理可知4Pt－W克阻＝mvm2－0，
可得動車組克服阻力做的功為
W克阻＝4Pt－mvm2，故D錯誤．
10.一輛汽車由靜止開始沿平直公路行駛，汽車所受牽引力F隨時間t變化關系圖線如圖所示．若汽車的質量為1.2×103 kg，阻力恒定，汽車的最大功率恒定，則以下說法正確的是(　　)
A．汽車的最大功率為5×104 W
B．汽車勻加速運動階段的加速度為 m/s2
C．汽車先做勻加速運動，然后再做勻速直線運動
D．汽車從靜止開始運動12 s內的位移是60 m
答案　A
解析　由題圖可知，汽車在前4 s內的牽引力不變，汽車做勻加速直線運動，4～12 s內汽車的牽引力逐漸減小，則車的加速度逐漸減小，汽車做加速度減小的加速運動，直到車的速度達到最大值，以后做勻速直線運動，可知在4 s末汽車的功率達到最大值；汽車的速度達到最大值后牽引力等于阻力，所以阻力Ff＝2×103 N，前4 s內汽車的牽引力為F＝5×103 N，由牛頓第二定律F－Ff＝ma可得a＝2.5 m/s2,4 s末汽車的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽車的最大功率P＝Fv1＝5×103×10 W＝5×104 W，A正確，B、C錯誤；汽車在前4 s內的位移x1＝at12＝×2.5×42 m＝20 m，汽車的最大速度為vm＝＝ m/s＝25 m/s，汽車在4～12 s內的位移設為x2，根據(jù)動能定理可得Pt－Ffx2＝mvm2－mv12，代入數(shù)據(jù)可得x2＝42.5 m，所以汽車的總位移x＝x1＋x2＝20 m＋42.5 m＝62.5 m，D錯誤．
11．質量為1.0×103 kg的汽車，沿傾角為30°的斜坡由靜止開始向上運動，汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2 000 N，汽車發(fā)動機的額定輸出功率為5.6×104 W，開始時以a＝1 m/s2的加速度做勻加速運動(g取10 m/s2)．求：
(1)汽車做勻加速運動的時間；
(2)汽車所能達到的最大速率；
(3)若斜坡長143.5 m，且認為汽車到達坡頂之前已達到最大速率，汽車從坡底到坡頂所需時間．
答案　(1)7 s　(2)8 m/s　(3)22 s
解析　(1)由牛頓第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
設勻加速過程的末速度為v，則有P＝Fv
v＝at1，解得t1＝7 s.
(2)當達到最大速度vm時，加速度為零，
有Fm＝mgsin 30°＋Ff
則有P＝Fmvm＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)汽車勻加速運動的位移x1＝at12，在后一階段對汽車由動能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝mvm2－mv2
又有x＝x1＋x2，解得t2≈15 s
故汽車運動的總時間為t＝t1＋t2＝22 s.
12.一輛玩具賽車在水平直線跑道上由靜止開始以10 kW的恒定功率加速前進，賽車瞬時速度的倒數(shù)和瞬時加速度a的關系如圖所示，已知賽車在跑道上所受到的阻力恒定，賽車到達終點前已達到最大速度．下列說法中正確的是(　　)
A．賽車做加速度逐漸增大的加速直線運動
B．賽車的質量為20 kg
C．賽車所受阻力大小為500 N
D．賽車速度大小為5 m/s時，加速度大小為50 m/s2
答案　C
解析　由牛頓第二定律有－Ff＝ma，可知賽車做加速度逐漸減小的加速直線運動，將公式整理得＝a＋，可見－a圖像的斜率恒定為，與縱軸的截距為，可得＝0.05 s/m，＝ s3/m2，解得m＝25 kg，F(xiàn)f＝500 N，將v＝5 m/s代入公式，解得a＝60 m/s2，故C正確，A、B、D錯誤．

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