資源簡介

(共71張PPT)
曲線運動　運動的合成與分解
第
1
講
目標
要求
1.理解物體做曲線運動的條件，掌握曲線運動的特點.2.會用運動的合成與分解處理小船渡河、關聯速度等問題.3.理解運動的合成與分解是處理曲線運動的一種重要思想方法.
內容索引
考點一　曲線運動的條件和特征
考點二　運動的合成與分解
考點三　小船渡河模型
考點四　關聯速度問題
課時精練
考點一
曲線運動的條件和特征
1.速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的 .
2.曲線運動的性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運動一定是 運動.
a恒定： 運動；a變化：非勻變速曲線運動.
3.做曲線運動的條件：
梳理
必備知識
切線方向
變速
勻變速曲線
1.速度發生變化的運動，一定是曲線運動.(　　)
2.做曲線運動的物體受到的合力一定是變力.(　　)
3.做曲線運動的物體所受合外力的方向一定指向軌跡的凹側.(　　)
√
×
×
1.運動軌跡的判斷
(1)若物體所受合力方向與速度方向在同一直線上，則物體做直線運動.
(2)若物體所受合力方向與速度方向不在同一直線上，則物體做曲線運動.
2.曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
(1)速度方向與運動軌跡相切；
(2)合力方向指向曲線的“凹”側；
(3)運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間.
提升
關鍵能力
3.速率變化的判斷
例1　如圖，水平桌面上乒乓球沿直線AB勻速運動，一同學在桌邊用吹管欲將球吹進桌面上的球門(吹管對準球門中心)，AB垂直于BC.在B處對準C吹氣，未成功，下列情形可能成功的是
A.僅增大吹氣力度
B.將球門沿直線CB向B靠近
C.將吹管向A平移適當距離，垂直AB方向吹氣
D.將吹管繞B點順時針轉動90°，正對著A吹氣
√
原方案中，吹管吹氣只改變了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不變，所以單純地沿BC方向吹氣來施加力的作用不能使球落入球門中，僅增大吹氣力度，只能加快BC方向速度變化，不能使球進入球門，故A錯誤；
將球門C沿直線CB向B移動一小段距離，與原方案一樣，不能落入球門，故B錯誤；
將吹管向A平移適當距離，垂直AB方向吹氣，到達BC所在直線位置時乒乓球已經沿垂直AB方向運動了一段距離，可知球可能落入球門中，故C正確；
將吹管繞B點順時針轉動90°，正對著A吹氣，乒乓球只能做直線運動，不會進入球門，故D錯誤.
例2　(2023·浙江湖州市天略外國語學校模擬)2021年8月21日，中國人民解放軍火箭軍成功發射兩枚新型導彈.導彈軌跡通常都十分復雜，如圖是分析導彈工作時的軌跡示意圖，其中彈
頭的速度v與所受合外力F關系正確的是
A.圖中A點 B.圖中B點
C.圖中C點 D.圖中D點
√
彈頭的運動軌跡是曲線，因此合外力與速度關系應滿足曲線運動條件，合外力指向軌跡的凹側，速度方向沿軌跡的切線方向，故選D.
考點二
運動的合成與分解
1.基本概念
(1)運動的合成：已知 求合運動.
(2)運動的分解：已知 求分運動.
2.遵循的法則
位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循___________
______.
3.運動分解的原則
根據運動的 分解，也可采用正交分解法.
梳理
必備知識
分運動
合運動
平行四邊形
定則
實際效果
4.合運動與分運動的關系
(1)等時性：合運動和分運動經歷的 相等，即同時開始、同時進行、同時停止.
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動 ，不受其他分運動的影響.
(3)等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的 .
時間
獨立進行
效果
1.合運動的速度一定比分運動的速度大.(　　)
2.只要兩個分運動為直線運動，合運動一定是直線運動.(　　)
3.曲線運動一定不是勻變速運動.(　　)
×
×
×
1.運動性質的判斷
提升
關鍵能力
2.判斷兩個直線運動的合運動性質，關鍵看合初速度方向與合加速度方向是否共線.
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動 如果v合與a合共線，為勻變速直線運動
如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動
例3　跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當運動員從直升機上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風力的影響，下列說法中正確的是
A.風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完
成的動作越多
B.風力越大，運動員著地時的豎直速度越大，有
可能對運動員造成傷害
C.運動員下落時間與風力無關
D.運動員著地速度與風力無關
考向1　合運動與分運動的關系
√
運動員同時參與了兩個分運動，豎直方向向下落的運動和水平方向隨風飄的運動，兩個分運動同時發生，相互獨立，水平方向的風力大小不影響豎直方向的運動，即落地時間和豎直方向的速度不變，故A、B錯誤，C正確；
水平風力越大，水平方向的速度越大，則落地時的合速度越大，故D錯誤.
例4　(2023·浙江省百校聯考)質量為1 kg的質點在一平面內做曲線運動，相互垂直的y、x方向上的速度隨時間變化的圖像分別如圖甲、乙所示.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列說法正確的是
A.質點的初速度大小為5 m/s
B.質點所受的合力大小為1.5 N
C.2 s末質點速度大小為7 m/s
D.2 s末質點速度與y方向成37°角
√
考向2　兩互成角度運動的合運動性質的判斷
由題圖可知，y方向初速度為零，x方向初速度為4 m/s，則質點的初速度大小為4 m/s，A錯誤；
質點在x方向加速度為零，只有y方向有
考點三
小船渡河模型
渡河時間 (1)渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關，與水流速度無關； (2)船頭正對河岸時，渡河時間最短，tmin＝ (d為河寬)
兩類問題，三種情景
渡河位移 若v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d
若v船例5　有一條兩岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小為v1.一條小船在河上橫渡，已知船在靜水中的速度大小為v2，第一次過河時船頭始終指向與河岸垂直的方向，第二次過河時行駛路線與河岸垂直.若v1、v2均不變，試求第一次過河與第二次過河所用時間的比值為
考向1　渡河時間問題
√
例6　(多選)假設一只小船勻速橫渡一條河流，當船頭垂直對岸方向航行時，在出發后10 min到達對岸下游120 m處；若船頭保持與上游河岸成α角向上游航行，出發后12.5 min到達正對岸，兩次渡河時小船相對于靜水的速度大小相等.以下說法正確的是
A.水流的速度大小為0.2 m/s
B.船頭與河岸間的夾角α為60°
C.小船在靜水中的速度大小為0.6 m/s
D.河的寬度為200 m
考向2　最短位移渡河問題
√
√
當船頭保持與上游河岸成α角向上游航行時，如圖乙所示，有v2＝v1cos α，d＝v1sin α·t2，由圖甲可得d＝v1t1，聯立解得sin α＝
v1≈0.33 m/s，d＝200 m，故船頭與上游河岸間的夾角不是60°，選項B、C錯誤，D正確.
例7　如圖所示，水速為v，消防武警駕駛沖鋒舟，若采取沖鋒舟最小速度和最短時間兩種方案，沿與平直河岸成30°角的線路把被困群眾從A處送到對岸安全地B處，則兩種方案中沖鋒舟最小速度v1和最短時間的沖鋒舟速度v2之比為
考向3　渡河中最小速度問題
√
考點四
關聯速度問題
例8　如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，當汽車勻速向左運動時，物體M的受力和運動情況是
A.繩的拉力等于M所受的重力
B.繩的拉力大于M所受的重力
C.物體M向上做勻速運動
D.物體M向上做勻加速運動
√
汽車勻速向左運動，其速度可分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，沿繩子方向的分速度v′＝vcos θ，汽車在勻速向左運動的過程中，繩子與水平方向的夾角θ減小，
所以v′增大，即物體M向上做加速運動，又因為v′變化不均勻，所以不是勻加速運動，故選項C、D錯誤；
由于物體M向上做加速運動，由F－mg＝ma可知，繩子的拉力大于物體M所受的重力，故選項A錯誤，B正確.
例9　曲柄連桿結構是發動機實現工作循環、完成能量轉換的主要運動零件，如圖所示，連桿下端連接活塞Q，上端連接曲軸P.在工作過程中，活塞Q在汽缸內上下做直線運動，帶動曲軸繞圓心O旋轉，若P做線速度大小為v0的勻速圓周運動，則下列說法正確的是
A.當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度等于v0
B.當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度大于v0
C.當O、P、Q在同一直線時，活塞運動的速度等于v0
D.當O、P、Q在同一直線時，活塞運動的速度大于v0
√
當OP與OQ垂直時，設∠PQO＝θ，此時活塞的速度為v，將P的速度分解為沿連桿方向和垂直于連桿方向的速度；將活塞的速度v分解為沿連桿方向和垂直于連桿方向的速度，則此時v0cos θ＝vcos θ，即v＝v0，選項A正確，B錯誤；
當O、P、Q在同一直線時，P沿連桿方向的速度為零，則活塞運動的速度等于0，選項C、D錯誤.
1.題型特點
與繩(桿)相連的物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上.
2.明確合速度與分速度
合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v→平行四邊形對角線
規律總結
3.解題原則
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分速度，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解.常見的模型如圖所示.
規律總結
五
課時精練
1.關于曲線運動，下列敘述不正確的是
A.做曲線運動的物體一定是變速運動
B.做曲線運動的物體所受的合外力一定不為零
C.如果物體不受外力，由于慣性而持續的運動不可能是曲線運動
D.因曲線運動的速度在不斷變化，所以不可能是勻變速運動
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基礎落實練
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做曲線運動的物體，方向時刻在改變，則一定是變速運動，有可能是勻變速運動，故A正確，D錯誤；
做曲線運動的物體，運動狀態時刻在改變，物體所受合外力一定不為零，故B正確；
如果物體不受外力，根據牛頓第一定律可知，物體將保持靜止或做勻速直線運動，故C正確.
2.(2023·浙江溫州市模擬)如圖所示，甲圖是從高空拍攝的北京冬奧會鋼架雪車賽道的實景圖，乙圖是其示意圖.比賽時，運動員從起點沿賽道快速向終點滑去，先后經過A、P、B、C、D五點.運動員速度方向與經過P點的速度方向最接近的是
A.A點 B.B點
C.C點 D.D點
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根據曲線運動某點的速度方向沿著該點的切線方向，由題圖可知運動員速度方向與經過P點的速度方向最接近的是A點，A正確，B、C、D錯誤.
3.一輛汽車在水平公路上轉彎，沿曲線由M向N行駛，速度逐漸增大.圖中分別畫出了汽車轉彎時受到的合力F的四種方向，可能正確的是
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由題意可得，合力F指向曲線的凹側，由M向N行駛，速度逐漸增大，合力F需與速度成銳角，綜合來看，B可能正確.
4.(2023·重慶市南開中學月考)如圖所示，光滑水平面上的物體受五個沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做勻速直線運動，若撤去其中某個力(其他力不變)，則在以后的運動中，下列說法正確的是
A.若撤去的是F1，則物體將做圓周運動
B.若撤去的是F2，則經過一段時間后物體的速率可
能再次變為v0
C.若撤去的是F3，則經過一段時間后物體的速率可能再次變為v0
D.無論撤去這五個力中的哪一個，物體在相同時間內的速度改變量一定
都相同
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撤去F1后，其他力的合力方向與速度方向垂直，物體做勻變速曲線運動，不會做圓周運動，因為受到的是恒力，故A錯誤；
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撤去F2后，其他力的合力方向與F2的方向相反，則物體在水平方向先減速到零，再反向加速，而豎直方向一直在加速，所以經過一段時間后有可能在某時刻速率再次變為v0，故B正確；
撤去F3后，其他力的合力方向與速度方向成銳角，速度增大，則經過一段時間后，速率比v0大，故C錯誤；
因為這五個力不完全相同，撤去其中一個力后，其他四個力的合力也不完全相同，根據牛頓第二定律可知加速度也不完全相同，所以物體在相同時間內的速度改變量不一定都相同，故D錯誤.
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5.(2023·浙江臺州市模擬)冬季奧運會比賽中，單板大跳臺是一項緊張刺激的項目.2022年北京冬奧會期間，一觀眾用手機連拍功能拍攝運動員從起跳到落地的全過程，合成圖如圖所示.忽略空氣阻力，且手機連拍的時間間隔一定.下列說法正確的是
A.運動員在空中飛行過程是變加速曲線運動
B.裁判在針對運動員動作難度和技巧打分時，
可以將其視為質點
C.運動員在斜向上飛行到最高點的過程中，其動能全部轉化為重力勢能
D.運動員在空中飛行過程中，圖片中任意兩組相鄰位置的動量變化量大
小、方向均相同
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運動員在空中飛行過程只受重力作用，加速度恒定不變，所以是勻變速曲線運動，故A錯誤；
裁判在針對運動員動作難度和技巧打分時，運動員的體積和形狀不能忽略，不可以將其視為質點，故B錯誤；
運動員在斜向上飛行到最高點時，豎直方向速度變為0，水平方向速度不為零，所以其動能不為零，故C錯誤；
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運動員在空中飛行過程中，加速度恒定不變，根據Δp＝m·Δv＝mgt可知圖片中任意兩組相鄰位置的動量變化量大小、方向均相同，故D正確.
6.(2022·河北唐山市二模)如圖所示，套在光滑豎直桿上的物體A，通過輕質細繩與光滑水平面上的物體B相連接，A、B質量相同.現將A從與B等高處由靜止釋放，不計一切摩擦，重力加速度為g，當細繩與豎直桿間的夾角為θ＝60°時，A下落的高度為h，此時物體B的速度大小為
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7.(2023·湖北省模擬)有一個質量為4 kg的質點在xOy平面內運動，在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像分別如圖甲、乙所示.下列說法正確的是
A.質點做勻變速直線運動
B.質點所受的合外力為22 N
C.2 s時質點的速度大小為6 m/s
D.零時刻質點的速度大小為5 m/s
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由題圖可知，質點在x軸方向上做勻加速直線運動，在y軸方向上做勻速直線運動，合力的方向沿x軸
方向.在x軸方向上的初速度大小為3 m/s，在y軸方向上的速度大小為4 m/s，則初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x軸方向，所以質點做勻變速曲線運動，故A錯誤，D正確；
質點在x軸方向上的加速度為ax＝1.5 m/s2，y軸方向上的加速度為零，則合加速度為a＝1.5 m/s2，所以合外力為F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B錯誤；
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2 s末質點在x軸方向上的速度大小為vx＝6 m/s，在y軸方向上的速度大小為vy＝4 m/s，則合速度大小為v＝ m/s>6 m/s，故C錯誤.
8.(多選)(2023·廣東茂名市高三檢測)如圖所示，小船從河岸的O點沿虛線運動，勻速運動到河對岸的P點，河水的流速v水、船在靜水中的速度v靜與虛線的夾角分別為α、θ，河寬為L，且v靜、v水的大小不變，下列說法正確的是
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C.v水越小，渡河時間越短
D.當α＋θ＝90°時，渡河的時間最短
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9.(多選)(2023·福建龍巖市才溪中學月考)如圖所示，河的寬度為L，河水流速為u，甲、乙兩船均以在靜水中的速度v同時渡河.出發時兩船相距2L，甲、乙兩船頭均與岸邊成60°角，且乙船恰好能直達正對岸的A點.則下列判斷正確的是
A.甲船在A點右側靠岸
B.甲船在A點左側靠岸
C.甲、乙兩船到達對岸的時間相等
D.甲、乙兩船可能在未到達對岸前相遇
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能力綜合練
依題意，乙船恰好能直達正對岸的A點，根據速度合成與分解可知v＝2u，將甲、乙兩船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，
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10.如圖所示，一根長直輕桿AB在墻角沿豎直墻面和水平地面滑動.當AB桿和墻面的夾角為θ時，桿的A端沿墻面下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2.v1、v2的關系是
A.v1＝v2
B.v1＝v2cos θ
C.v1＝v2tan θ
D.v1＝v2sin θ
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將A端的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的速度，沿桿方向上的分速度v1∥＝v1cos θ，將B端的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的速度，沿桿方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2 ∥，所以v1＝v2tan θ，故選C.
11.圖甲為我國運動員參加冰壺比賽的場景.比賽中投壺手在投出冰壺時會帶有一定的旋轉(自旋)，擦冰手在冰壺運動的前方高速摩擦冰面(刷冰)，減小冰壺前方受到的摩擦力，可使冰壺做曲線運動.在圖乙所示的各圖中，圓表示冰壺，ω表示冰壺自旋的方向，v表示冰壺前進的方向，則在刷冰的過程中，冰壺的運動軌跡(虛線表示)可能正確的是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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由題意可知，擦冰手在冰壺運動的前方高速摩擦冰面(刷冰)，減小冰壺前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力幾乎不變，若冰壺按如圖的方向逆時針旋轉，則沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，則冰壺的運動軌跡將向左偏轉；同理若冰壺按順時針方向旋轉，冰壺運動軌跡向右偏轉，即①④正確，故選B.
12.(多選)(2019·全國卷Ⅱ·19)如圖(a)，在跳臺滑雪比賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態會影響其下落的速度和滑翔的距離.某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v－t圖像如圖(b)所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻.則
A.第二次滑翔過程中在豎直方向上的
位移比第一次的小
B.第二次滑翔過程中在水平方向上的
位移比第一次的大
C.第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大
D.豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大
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根據v－t圖線與t軸所圍圖形的面積表示位移，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的大，選項A錯誤；
從起跳到落到雪道上，第二次速度變化小，時間長，由a＝ 可知，第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的小，選項C錯誤；
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第二次滑翔過程中在豎直方向的位移比第一次的大，又運動員每次滑翔過程中豎直位移與水平位移的比值相同(等于傾斜雪道與水平面夾角的正切值)，故第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大，選項B正確；
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豎直方向上的速度大小為v1時，根據v－t圖線的斜率表示加速度可知，第二次滑翔過程中在豎直方向上的加速度比第一次的小，由牛頓第二定律有mg－Ff＝ma，可知豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大，選項D正確.
13.(2023·山西大同市模擬)如圖所示，在風洞實驗室中，從A點以水平速度v0向左拋出一個質量為m的小球(可視為質點)，小球拋出后所受空氣作用力沿水平方向，其大小為F，經過一段時間小球運動到A點正下方的B點處，重力加速度為g，在此過程中，求：
(1)小球離A、B所在直線的最遠距離；
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將小球的運動沿水平方向和豎直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
(2)A、B兩點間的距離；
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由對稱性知小球從A運動到B的總時間t＝2t1
(3)小球的最大速率vmax.
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小球運動到B點時速率最大，此時有vx＝v0考情分析 運動的合成與分解 2019·全國卷Ⅱ·T19
平拋運動 2022·廣東卷·T6　2022·北京卷·T17　2021·山東卷·T11　2021·山東卷·T16 2020·江蘇卷·T8　2020·浙江1月選考·T5
斜拋運動 2022·山東卷·T11　2021·浙江1月選考·T9　2020·山東卷·T16
圓周運動 2022·河北卷·T10　2022·遼寧卷·T13　2022·北京卷·T8 2021·浙江6月選考·T7　2020·浙江7月選考·T2
實驗：探究平拋運動的特點 2019·浙江4月選考·T17
試題情境 生活實踐類 生活中的拋體運動，自行車、汽車、火車轉彎等動力學及臨界問題，水流星，體育運動中的圓周運動問題
學習探究類 小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關的平拋運動，圓周運動的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內、豎直面內圓周運動的臨界問題，圓周運動中的輕繩、輕桿模型
第1講　曲線運動　運動的合成與分解
目標要求　1.理解物體做曲線運動的條件，掌握曲線運動的特點.2.會用運動的合成與分解處理小船渡河、關聯速度等問題.3.理解運動的合成與分解是處理曲線運動的一種重要思想方法．
考點一　曲線運動的條件和特征
1．速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向．
2．曲線運動的性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動．
a恒定：勻變速曲線運動；a變化：非勻變速曲線運動．
3．做曲線運動的條件：
1．速度發生變化的運動，一定是曲線運動．(　×　)
2．做曲線運動的物體受到的合力一定是變力．(　×　)
3．做曲線運動的物體所受合外力的方向一定指向軌跡的凹側．(　√　)
1．運動軌跡的判斷
(1)若物體所受合力方向與速度方向在同一直線上，則物體做直線運動．
(2)若物體所受合力方向與速度方向不在同一直線上，則物體做曲線運動．
2．曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
(1)速度方向與運動軌跡相切；
(2)合力方向指向曲線的“凹”側；
(3)運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間．
3．速率變化的判斷
例1　如圖，水平桌面上乒乓球沿直線AB勻速運動，一同學在桌邊用吹管欲將球吹進桌面上的球門(吹管對準球門中心)，AB垂直于BC.在B處對準C吹氣，未成功，下列情形可能成功的是(　　)
A．僅增大吹氣力度
B．將球門沿直線CB向B靠近
C．將吹管向A平移適當距離，垂直AB方向吹氣
D．將吹管繞B點順時針轉動90°，正對著A吹氣
答案　C
解析　原方案中，吹管吹氣只改變了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不變，所以單純地沿BC方向吹氣來施加力的作用不能使球落入球門中，僅增大吹氣力度，只能加快BC方向速度變化，不能使球進入球門，故A錯誤；將球門C沿直線CB向B移動一小段距離，與原方案一樣，不能落入球門，故B錯誤；將吹管向A平移適當距離，垂直AB方向吹氣，到達BC所在直線位置時乒乓球已經沿垂直AB方向運動了一段距離，可知球可能落入球門中，故C正確；將吹管繞B點順時針轉動90°，正對著A吹氣，乒乓球只能做直線運動，不會進入球門，故D錯誤．
例2　(2023·浙江湖州市天略外國語學校模擬)2021年8月21日，中國人民解放軍火箭軍成功發射兩枚新型導彈．導彈軌跡通常都十分復雜，如圖是分析導彈工作時的軌跡示意圖，其中彈頭的速度v與所受合外力F關系正確的是(　　)
A．圖中A點 B．圖中B點
C．圖中C點 D．圖中D點
答案　D
解析　彈頭的運動軌跡是曲線，因此合外力與速度關系應滿足曲線運動條件，合外力指向軌跡的凹側，速度方向沿軌跡的切線方向，故選D.
考點二　運動的合成與分解
1．基本概念
(1)運動的合成：已知分運動求合運動．
(2)運動的分解：已知合運動求分運動．
2．遵循的法則
位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則．
3．運動分解的原則
根據運動的實際效果分解，也可采用正交分解法．
4．合運動與分運動的關系
(1)等時性：合運動和分運動經歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時停止．
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他分運動的影響．
(3)等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果．
1．合運動的速度一定比分運動的速度大．(　×　)
2．只要兩個分運動為直線運動，合運動一定是直線運動．(　×　)
3．曲線運動一定不是勻變速運動．(　×　)
1．運動性質的判斷
加速度(或合外力)
加速度 或合外力 方向與速度方向
2．判斷兩個直線運動的合運動性質，關鍵看合初速度方向與合加速度方向是否共線．
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動 如果v合與a合共線，為勻變速直線運動
如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動
考向1　合運動與分運動的關系
例3　跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當運動員從直升機上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風力的影響，下列說法中正確的是(　　)
A．風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成的動作越多
B．風力越大，運動員著地時的豎直速度越大，有可能對運動員造成傷害
C．運動員下落時間與風力無關
D．運動員著地速度與風力無關
答案　C
解析　運動員同時參與了兩個分運動，豎直方向向下落的運動和水平方向隨風飄的運動，兩個分運動同時發生，相互獨立，水平方向的風力大小不影響豎直方向的運動，即落地時間和豎直方向的速度不變，故A、B錯誤，C正確；水平風力越大，水平方向的速度越大，則落地時的合速度越大，故D錯誤．
考向2　兩互成角度運動的合運動性質的判斷
例4　(2023·浙江省百校聯考)質量為1 kg的質點在一平面內做曲線運動，相互垂直的y、x方向上的速度隨時間變化的圖像分別如圖甲、乙所示．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列說法正確的是(　　)
A．質點的初速度大小為5 m/s
B．質點所受的合力大小為1.5 N
C．2 s末質點速度大小為7 m/s
D．2 s末質點速度與y方向成37°角
答案　B
解析　由題圖可知，y方向初速度為零，x方向初速度為4 m/s，則質點的初速度大小為4 m/s，A錯誤；質點在x方向加速度為零，只有y方向有加速度，由vy－t圖像的斜率表示質點的加速度，可知a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，則F＝ma＝1.5 N，B正確；2 s末vy＝3 m/s，vx＝4 m/s，則2 s末質點速度大小為v2＝ m/s＝5 m/s，C錯誤；設2 s末質點速度與y方向成θ角，則有tan θ＝，解得θ＝53°，D錯誤．
考點三　小船渡河模型
兩類問題，三種情景
渡河時間 (1)渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關，與水流速度無關； (2)船頭正對河岸時，渡河時間最短，tmin＝(d為河寬)
渡河位移 若v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d
若v船考向1　渡河時間問題
例5　有一條兩岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小為v1.一條小船在河上橫渡，已知船在靜水中的速度大小為v2，第一次過河時船頭始終指向與河岸垂直的方向，第二次過河時行駛路線與河岸垂直．若v1、v2均不變，試求第一次過河與第二次過河所用時間的比值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根據題意，設河寬為d，第一次過河時船頭始終指向與河岸垂直的方向，則渡河時間為t1＝，第二次過河時行駛路線與河岸垂直，此時船的合速度為v＝，渡河時間為t2＝，則第一次過河與第二次過河所用時間的比值為＝，故A、B、D錯誤，C正確．
考向2　最短位移渡河問題
例6　(多選)假設一只小船勻速橫渡一條河流，當船頭垂直對岸方向航行時，在出發后10 min到達對岸下游120 m處；若船頭保持與上游河岸成α角向上游航行，出發后12.5 min到達正對岸，兩次渡河時小船相對于靜水的速度大小相等．以下說法正確的是(　　)
A．水流的速度大小為0.2 m/s
B．船頭與河岸間的夾角α為60°
C．小船在靜水中的速度大小為0.6 m/s
D．河的寬度為200 m
答案　AD
解析　當船頭垂直對岸方向航行時，如圖甲所示，有x＝v2t1，解得水流的速度大小為v2＝＝ m/s＝0.2 m/s，選項A正確；當船頭保持與上游河岸成α角向上游航行時，如圖乙所示，有v2＝v1cos α，d＝v1sin α·t2，由圖甲可得d＝v1t1，聯立解得sin α＝，v1≈0.33 m/s，d＝200 m，故船頭與上游河岸間的夾角不是60°，選項B、C錯誤，D正確．
考向3　渡河中最小速度問題
例7　如圖所示，水速為v，消防武警駕駛沖鋒舟，若采取沖鋒舟最小速度和最短時間兩種方案，沿與平直河岸成30°角的線路把被困群眾從A處送到對岸安全地B處，則兩種方案中沖鋒舟最小速度v1和最短時間的沖鋒舟速度v2之比為(　　)
A．1∶2 B．1∶ C．2∶ D.∶2
答案　D
解析　設沖鋒舟以最小速度v1和最短時間的沖鋒舟速度v2分別從A運動到B，沖鋒舟最小速度v1垂直于AB連線，且v1＝vsin 30° ，最短時間的沖鋒舟速度v2垂直于平直河岸，且v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故選項D正確．
考點四　關聯速度問題
例8　如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，當汽車勻速向左運動時，物體M的受力和運動情況是(　　)
A．繩的拉力等于M所受的重力
B．繩的拉力大于M所受的重力
C．物體M向上做勻速運動
D．物體M向上做勻加速運動
答案　B
解析　汽車勻速向左運動，其速度可分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，沿繩子方向的分速度v′＝vcos θ，汽車在勻速向左運動的過程中，繩子與水平方向的夾角θ減小，所以v′增大，即物體M向上做加速運動，又因為v′變化不均勻，所以不是勻加速運動，故選項C、D錯誤；由于物體M向上做加速運動，由F－mg＝ma可知，繩子的拉力大于物體M所受的重力，故選項A錯誤，B正確．
例9　曲柄連桿結構是發動機實現工作循環、完成能量轉換的主要運動零件，如圖所示，連桿下端連接活塞Q，上端連接曲軸P.在工作過程中，活塞Q在汽缸內上下做直線運動，帶動曲軸繞圓心O旋轉，若P做線速度大小為v0的勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A．當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度等于v0
B．當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度大于v0
C．當O、P、Q在同一直線時，活塞運動的速度等于v0
D．當O、P、Q在同一直線時，活塞運動的速度大于v0
答案　A
解析　當OP與OQ垂直時，設∠PQO＝θ，此時活塞的速度為v，將P的速度分解為沿連桿方向和垂直于連桿方向的速度；將活塞的速度v分解為沿連桿方向和垂直于連桿方向的速度，則此時v0cos θ＝vcos θ，即v＝v0，選項A正確，B錯誤；當O、P、Q在同一直線時，P沿連桿方向的速度為零，則活塞運動的速度等于0，選項C、D錯誤．
1．題型特點
與繩(桿)相連的物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上．
2．明確合速度與分速度
合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v→平行四邊形對角線
3．解題原則
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分速度，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見的模型如圖所示．
課時精練
1．關于曲線運動，下列敘述不正確的是(　　)
A．做曲線運動的物體一定是變速運動
B．做曲線運動的物體所受的合外力一定不為零
C．如果物體不受外力，由于慣性而持續的運動不可能是曲線運動
D．因曲線運動的速度在不斷變化，所以不可能是勻變速運動
答案　D
解析　做曲線運動的物體，方向時刻在改變，則一定是變速運動，有可能是勻變速運動，故A正確，D錯誤；做曲線運動的物體，運動狀態時刻在改變，物體所受合外力一定不為零，故B正確；如果物體不受外力，根據牛頓第一定律可知，物體將保持靜止或做勻速直線運動，故C正確．
2．(2023·浙江溫州市模擬)如圖所示，甲圖是從高空拍攝的北京冬奧會鋼架雪車賽道的實景圖，乙圖是其示意圖．比賽時，運動員從起點沿賽道快速向終點滑去，先后經過A、P、B、C、D五點．運動員速度方向與經過P點的速度方向最接近的是(　　)
A．A點 B．B點
C．C點 D．D點
答案　A
解析　根據曲線運動某點的速度方向沿著該點的切線方向，由題圖可知運動員速度方向與經過P點的速度方向最接近的是A點，A正確，B、C、D錯誤．
3．一輛汽車在水平公路上轉彎，沿曲線由M向N行駛，速度逐漸增大．圖中分別畫出了汽車轉彎時受到的合力F的四種方向，可能正確的是(　　)
答案　B
解析　由題意可得，合力F指向曲線的凹側，由M向N行駛，速度逐漸增大，合力F需與速度成銳角，綜合來看，B可能正確．
4.(2023·重慶市南開中學月考)如圖所示，光滑水平面上的物體受五個沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做勻速直線運動，若撤去其中某個力(其他力不變)，則在以后的運動中，下列說法正確的是(　　)
A．若撤去的是F1，則物體將做圓周運動
B．若撤去的是F2，則經過一段時間后物體的速率可能再次變為v0
C．若撤去的是F3，則經過一段時間后物體的速率可能再次變為v0
D．無論撤去這五個力中的哪一個，物體在相同時間內的速度改變量一定都相同
答案　B
解析　撤去F1后，其他力的合力方向與速度方向垂直，物體做勻變速曲線運動，不會做圓周運動，因為受到的是恒力，故A錯誤；撤去F2后，其他力的合力方向與F2的方向相反，則物體在水平方向先減速到零，再反向加速，而豎直方向一直在加速，所以經過一段時間后有可能在某時刻速率再次變為v0，故B正確；撤去F3后，其他力的合力方向與速度方向成銳角，速度增大，則經過一段時間后，速率比v0大，故C錯誤；因為這五個力不完全相同，撤去其中一個力后，其他四個力的合力也不完全相同，根據牛頓第二定律可知加速度也不完全相同，所以物體在相同時間內的速度改變量不一定都相同，故D錯誤．
5.(2023·浙江臺州市模擬)冬季奧運會比賽中，單板大跳臺是一項緊張刺激的項目.2022年北京冬奧會期間，一觀眾用手機連拍功能拍攝運動員從起跳到落地的全過程，合成圖如圖所示．忽略空氣阻力，且手機連拍的時間間隔一定．下列說法正確的是(　　)
A．運動員在空中飛行過程是變加速曲線運動
B．裁判在針對運動員動作難度和技巧打分時，可以將其視為質點
C．運動員在斜向上飛行到最高點的過程中，其動能全部轉化為重力勢能
D．運動員在空中飛行過程中，圖片中任意兩組相鄰位置的動量變化量大小、方向均相同
答案　D
解析　運動員在空中飛行過程只受重力作用，加速度恒定不變，所以是勻變速曲線運動，故A錯誤；裁判在針對運動員動作難度和技巧打分時，運動員的體積和形狀不能忽略，不可以將其視為質點，故B錯誤；運動員在斜向上飛行到最高點時，豎直方向速度變為0，水平方向速度不為零，所以其動能不為零，故C錯誤；運動員在空中飛行過程中，加速度恒定不變，根據Δp＝m·Δv＝mgt可知圖片中任意兩組相鄰位置的動量變化量大小、方向均相同，故D正確．
6.(2022·河北唐山市二模)如圖所示，套在光滑豎直桿上的物體A，通過輕質細繩與光滑水平面上的物體B相連接，A、B質量相同．現將A從與B等高處由靜止釋放，不計一切摩擦，重力加速度為g，當細繩與豎直桿間的夾角為θ＝60°時，A下落的高度為h，此時物體B的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設物體A下落高度為h時，物體A的速度大小為vA，物體B的速度大小為vB，此時有vA＝＝2vB，物體A、B組成的系統機械能守恒，則有mgh＝mvA2＋mvB2，聯立解得vB＝，故選A.
7．(2023·湖北省模擬)有一個質量為4 kg的質點在xOy平面內運動，在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像分別如圖甲、乙所示．下列說法正確的是(　　)
A．質點做勻變速直線運動
B．質點所受的合外力為22 N
C．2 s時質點的速度大小為6 m/s
D．零時刻質點的速度大小為5 m/s
答案　D
解析　由題圖可知，質點在x軸方向上做勻加速直線運動，在y軸方向上做勻速直線運動，合力的方向沿x軸方向．在x軸方向上的初速度大小為3 m/s，在y軸方向上的速度大小為
4 m/s，則初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x軸方向，所以質點做勻變速曲線運動，故A錯誤，D正確；質點在x軸方向上的加速度為ax＝1.5 m/s2，y軸方向上的加速度為零，則合加速度為a＝1.5 m/s2，所以合外力為F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B錯誤；2 s末質點在x軸方向上的速度大小為vx＝6 m/s，在y軸方向上的速度大小為vy＝4 m/s，則合速度大小為v＝ m/s>6 m/s，故C錯誤．
8.(多選)(2023·廣東茂名市高三檢測)如圖所示，小船從河岸的O點沿虛線運動，勻速運動到河對岸的P點，河水的流速v水、船在靜水中的速度v靜與虛線的夾角分別為α、θ，河寬為L，且v靜、v水的大小不變，下列說法正確的是(　　)
A．渡河時間t＝
B．渡河時間t＝
C．v水越小，渡河時間越短
D．當α＋θ＝90°時，渡河的時間最短
答案　BD
解析　根據速度的合成與分解及數學知識可知，渡河時間t＝，與v水無關，選項A、C錯誤，B正確；當α＋θ＝90°時，渡河時間最短，為tmin＝，選項D正確．
9.(多選)(2023·福建龍巖市才溪中學月考)如圖所示，河的寬度為L，河水流速為u，甲、乙兩船均以在靜水中的速度v同時渡河．出發時兩船相距2L，甲、乙兩船頭均與岸邊成60°角，且乙船恰好能直達正對岸的A點．則下列判斷正確的是(　　)
A．甲船在A點右側靠岸
B．甲船在A點左側靠岸
C．甲、乙兩船到達對岸的時間相等
D．甲、乙兩船可能在未到達對岸前相遇
答案　BC
解析　依題意，乙船恰好能直達正對岸的A點，根據速度合成與分解可知v＝2u，將甲、乙兩船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，根據分運動和合運動具有等時性，知甲、乙兩船到達對岸的時間相等，渡河的時間均為t＝，可得甲船沿河岸方向上的位移為x＝(u＋vcos 60°)t＝L<2L，即甲船在A點左側靠岸，顯然甲、乙兩船不可能在未到達對岸前相遇，故B、C正確，A、D錯誤．
10.如圖所示，一根長直輕桿AB在墻角沿豎直墻面和水平地面滑動．當AB桿和墻面的夾角為θ時，桿的A端沿墻面下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2.v1、v2的關系是(　　)
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
答案　C
解析　將A端的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的速度，沿桿方向上的分速度v1∥＝v1cos θ，將B端的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的速度，沿桿方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2 ∥，所以v1＝v2tan θ，故選C.
11.圖甲為我國運動員參加冰壺比賽的場景．比賽中投壺手在投出冰壺時會帶有一定的旋轉(自旋)，擦冰手在冰壺運動的前方高速摩擦冰面(刷冰)，減小冰壺前方受到的摩擦力，可使冰壺做曲線運動．在圖乙所示的各圖中，圓表示冰壺，ω表示冰壺自旋的方向，v表示冰壺前進的方向，則在刷冰的過程中，冰壺的運動軌跡(虛線表示)可能正確的是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　B
解析　由題意可知，擦冰手在冰壺運動的前方高速摩擦冰面(刷冰)，減小冰壺前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力幾乎不變，若冰壺按如圖的方向逆時針旋轉，則沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，則冰壺的運動軌跡將向左偏轉；同理若冰壺按順時針方向旋轉，冰壺運動軌跡向右偏轉，即①④正確，故選B.
12．(多選)(2019·全國卷Ⅱ·19)如圖(a)，在跳臺滑雪比賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態會影響其下落的速度和滑翔的距離．某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v－t圖像如圖(b)所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻．則(　　)
A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大
D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大
答案　BD
解析　根據v－t圖線與t軸所圍圖形的面積表示位移，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的大，選項A錯誤；從起跳到落到雪道上，第二次速度變化小，時間長，由a＝可知，第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的小，選項C錯誤；第二次滑翔過程中在豎直方向的位移比第一次的大，又運動員每次滑翔過程中豎直位移與水平位移的比值相同(等于傾斜雪道與水平面夾角的正切值)，故第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大，選項B正確；豎直方向上的速度大小為v1時，根據v－t圖線的斜率表示加速度可知，第二次滑翔過程中在豎直方向上的加速度比第一次的小，由牛頓第二定律有mg－Ff＝ma，可知豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大，選項D正確．
13.(2023·山西大同市模擬)如圖所示，在風洞實驗室中，從A點以水平速度v0向左拋出一個質量為m的小球(可視為質點)，小球拋出后所受空氣作用力沿水平方向，其大小為F，經過一段時間小球運動到A點正下方的B點處，重力加速度為g，在此過程中，求：
(1)小球離A、B所在直線的最遠距離；
(2)A、B兩點間的距離；
(3)小球的最大速率vmax.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)將小球的運動沿水平方向和豎直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
解得xmax＝.
(2)水平方向速度減小為零所需時間t1＝
由對稱性知小球從A運動到B的總時間t＝2t1
豎直方向上有y＝gt2＝.
(3)小球運動到B點時速率最大，此時有vx＝v0
vy＝gt，則vmax＝＝.

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