資源簡(jiǎn)介

目 錄
第一講 一元二次方程的定義及解法
第二講 一元二次方程的解法
第三講 一元二次方程的判別式
第四講 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
第五講 一元二次方程的應(yīng)用
第六講 全等三角形
第七講 平行四邊形（一）
第八講 平行四邊形（二）
第九講 梯形
第十講 中位線及其應(yīng)用
第十一講 如何做幾何證明題
第十二講 反比例函數(shù)
第十三講 反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)
第十四講 反比例函數(shù)的應(yīng)用
第十五講 反比例函數(shù)的練習(xí)
第一講：一元二次方程的概念及解法
＊一元二次方程的概念
1、一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長(zhǎng)為8m，寬為5m。如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18m2，那么花邊有多寬？

2、趣味數(shù)學(xué)：
先觀察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142
你還能找到其它的五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？
3、梯子移動(dòng)
如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？
　　　　　　　　
問(wèn)題①如果設(shè)花邊的寬為x米，那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為 米，寬為 米。根據(jù)題意，可得方程 。問(wèn)題②如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為 ， ， ， 。根據(jù)題意，可得方程 。問(wèn)題③由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻 m,如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻 m。根據(jù)題意，可得方程 。
探索新知
三個(gè)方程化簡(jiǎn)后，教師可引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程觀察這三個(gè)的特點(diǎn)，然后進(jìn)行匯總，歸納，學(xué)生容易漏掉二次項(xiàng)系數(shù)不為0的要點(diǎn)，教師可給予必要的引導(dǎo)。具體處理方法如下：
由上面三個(gè)問(wèn)題，我們可以得到三個(gè)方程：
（8－2x）(5－2x)=18 即2x2 － 13x ＋ 11 = 0
x2＋(x＋1) 2＋(x＋2) 2=(x＋3) 2＋(x＋4) 2
即x2 － 8x － 20＝0
(x＋6) 2＋72=10 2 即x2 ＋12 x－15 ＝0
觀察上述三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)？（提示：我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)了—元一次方程，同學(xué)們可以類比著它的要點(diǎn)，看看這些方程有什么特點(diǎn)。）
總結(jié)，尤其注意容易漏掉的二次項(xiàng)系數(shù)不為0的要點(diǎn)，給出一元二次方程的要點(diǎn)和定義：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。
（1）強(qiáng)調(diào)三個(gè)特征：整式方程；只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2且其系數(shù)不為0。
（2）幾種不同的表示形式：①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)
②ax2+bx=0 (a≠0,b≠0,c=0)
③ax2+c=0 (a≠0,b=0,c≠0)
④ax2=0 (a≠0,b=0,c=0)
(3)相關(guān)概念：一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c為常數(shù)，a不等于0)
一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別為：ax2、bx、c
二次項(xiàng)系數(shù)為：a 一次項(xiàng)系數(shù)為：b
鞏固應(yīng)用
1、判一判，下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3)2x2-1/3x-1=0 （4）y2/2=0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2 (6)ax2+bx+c=0
　2、把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：
方程
一般形式
二次項(xiàng)系數(shù)
一次項(xiàng)系數(shù)
常數(shù)項(xiàng)
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3、想一想：⑴關(guān)于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,當(dāng)k 　　時(shí)，是一元二次方程．
⑵當(dāng)m取何值時(shí)，方程(m-1)x∣m∣+I+2mx+3=0是關(guān)于x的一元二次方程？
拓展延伸
關(guān)于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,當(dāng)k 為何值時(shí)是一元二次方程．,當(dāng)k 為何值時(shí)，不是一元一次方程？
關(guān)于x的方程(a2+2a+2)x2+6x-3=0是一元二次方程嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因。
3、從前有一天，一個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)挘闯撸Q著比門框高２尺，另一個(gè)醉漢教他沿著門的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了．你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？請(qǐng)根據(jù)這一問(wèn)題列出方程
用配方法解一元二次方程
前面我們通過(guò)實(shí)例建立了一元二次方程，并通過(guò)觀察歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，大家回憶一下。
回答下列問(wèn)題：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。
（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―x2=0
估算地毯花邊的寬
地毯花邊的寬x(m)，滿足方程 (8―2x)(5―2x)=18
也就是：2x2―13x+11=0
你能求出x嗎？
（1）x可能小于0嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；x不可能小于0，因?yàn)閤表示地毯的寬度。
（2）x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流。
注意：當(dāng)相鄰兩個(gè)整數(shù)，一個(gè)使ax2+bx+c＞0 ，一個(gè)使ax2+bx+c＜0，則一元二次方程的解就介于這兩個(gè)數(shù)之間。認(rèn)真觀察代數(shù)式的特點(diǎn)和取值走向，才能很快找到這樣的兩個(gè)相鄰整數(shù)。
三、梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程
(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0（1）你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎？
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
（2）x的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x―15
-0.59
0.84
2.29
3.76
注意：（1）估算的精度不適過(guò)高。（2）計(jì)算時(shí)提倡使用計(jì)算器。
課堂練習(xí)
五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和，你能求出這五個(gè)整數(shù)分別是多少嗎?
總結(jié)：
本節(jié)課我們通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似計(jì)算的重要思想——“逼近”思想．當(dāng)相鄰兩個(gè)整數(shù)，一個(gè)使ax2+bx+c＞0 ，一個(gè)使ax2+bx+c＜0，則一元二次方程的解就介于這兩個(gè)數(shù)之間。認(rèn)真觀察代數(shù)式的特點(diǎn)和取值走向，才能很快找到這樣的兩個(gè)相鄰整數(shù)。
復(fù)習(xí)：1、如果一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)是 ，若一個(gè)數(shù)的平方等于7，則這個(gè)數(shù)是 。一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根，它們具有怎樣的關(guān)系？
2、用字母表示完全平方公式。
3、用估算法求方程的解？你喜歡這種方法嗎？為什么？你能設(shè)法求出其精確解嗎？
1、解下列方程：
（1）x2=4 （2）(x+3)2=9
2、利用公式計(jì)算：
（1）(x+6)2=0 （2）(x－)2 =0
3、解方程：（梯子滑動(dòng)問(wèn)題）
x2+12x－15=0
解析：解方程的基本思路（配方法）
如：x2+12x－15=0 轉(zhuǎn)化為
兩邊開平方，得

∴x1=―6 x2=――6(不合實(shí)際)
這種方法叫直接開平方法．
(x十m) ＝n(n0)．
因此，解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n 的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n≥0 時(shí)，兩邊開平方便可求出它的根。
3、配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ =(x+6)2
（2）x2―12x+ =(x― )2
（3）x2+8x+ =(x+ )2
從上可知：常數(shù)項(xiàng)配上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。
4、講解例題：
例1：解方程：x2+8x―9=0
配方法：通過(guò)配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二閃方程的方法稱為配方法。
三、課堂練習(xí)
1．解下列方程
(1) x一l0x十25＝7； (2) x十6x＝1.
（3）x2+4x+3=0 （4）x2―4x+2=0
四、例題講析：
例：解方程：3x2+8x―3=0
通過(guò)對(duì)例題的講解，繼續(xù)拓展規(guī)范配方法解一元二次方程的過(guò)程.讓學(xué)生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化成形式，特別強(qiáng)調(diào)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，所要添加常數(shù)項(xiàng)仍然為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，理解這樣做的原理，樹立解題的信心。另外，得到 后，在移項(xiàng)得到要注意符號(hào)問(wèn)題，這一步在計(jì)算過(guò)程中容易出錯(cuò)。
2、用配方法解一元二次方程的步驟：
（1）把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
（2）移項(xiàng)，方程的一邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，另一邊為常數(shù)項(xiàng)。
（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
（4）用直接開平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h（m）與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系：
h=15 t―5t2小球何時(shí)能達(dá)到10m高？
練習(xí)：
1、配方：
（1）x2―3x+ =(x― )2
（2）x2―5x+ =(x― )2
2、用配方法解一元二次方程的步驟是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0
思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，在生產(chǎn)生活中常遇到一些問(wèn)題，需要用一元二次方程來(lái)解答，請(qǐng)同學(xué)們將課本翻到54頁(yè)，閱讀課本，并思考：
出示思考題：
1、
如圖所示：
（1）設(shè)花園四周小路的寬度均為x m，可列怎樣的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？

（3）這兩個(gè)解都合要求嗎？為什么？

2、設(shè)花園四角的扇形半徑均為x m，可列怎樣的一元二次方程？

（2）一元二次方程的解是什么？
（3）合符條件的解是多少？
3、你還有其他設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)與同伴交流。
第二講：一元二次方程的解法
公式法解一元二次方程
一、復(fù)習(xí)
1、用配方法解一元二次方程的步驟有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18=0
二、新授：
1、推導(dǎo)求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
解：方程兩邊都作以a，得
移項(xiàng)，得：
配方，得：
即：
討論：

一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，它的根是 x=。注意：當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
判斷下列方程是否有解：
(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0
(5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0
公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、例題講析：
例：解方程：x2―7x―18=0
例：解方程：2x2+7x=4
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
對(duì)于一元二次方程（a≠0），當(dāng)時(shí)，根據(jù)求根公式，易得x1＋x2＝， x1·x2＝． 這就是一元二次方程的韋達(dá)定理。
利用韋達(dá)定理，不解方程求解下題：
已知=0，求x12+x22，x1/x2+x2/x1的值
小結(jié)：這節(jié)課我們探討了一元二次方程的另一種解法――公式法。
（1）求根公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是“配方”與“開平方”的綜合應(yīng)用。對(duì)于a0，知4a>0等條件在推導(dǎo)過(guò)程中的應(yīng)用，也要弄清其中的道理。
（2）應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫成一般形式，并寫出a、b、c的數(shù)值以及計(jì)算b－4ac的值。當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡(jiǎn)化求解過(guò)程
一、回顧交流
1、用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程應(yīng)先將方程化為一般形式。
3、選擇合適的方法解下列方程：
①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0
用兩種不同的方法解下列一元二次方程。
（1）5x-2x-1=0 （2）10(x+1) 2-25(x+1)+10=0
觀察比較：一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來(lái)的？
分析小穎、小明、小亮的解法：
小穎：用公式法解正確；
小明：兩邊約去x，是非同解變形，結(jié)果丟掉一根，錯(cuò)誤。
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”來(lái)求解，正確。
分解因式法解一元二次方程
利用分解因式來(lái)解一元二次方程的方法叫分解因式法。

如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一個(gè)成立”的意思，包括兩種情況，二者同時(shí)成立；二者有一個(gè)成立?！扒摇笔恰岸咄瑫r(shí)成立”的意思。
二、范例學(xué)習(xí)
例：解下列方程。
1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2)
想一想
你能用幾種方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0。
知識(shí)要點(diǎn)
★直接開平方法：對(duì)于形式如（n≥0）的方程，根據(jù)平方根的意義，即兩邊同時(shí)開平方，變形為，得到兩個(gè)一次方程，解一次方程得到未知數(shù)的值。
★配方法：把一元二次方程通過(guò)配成完全平方式的方法轉(zhuǎn)化為的形式，從而得到這個(gè)一元二次方程的根。步驟如下：(1)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；(2) 把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，(如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，給方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù))(3) 給方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方(4) 方程左邊是一個(gè)完全平方式，將方程變形為的形式在中，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。
★公式法：一元二次方程的求根公式：(b2-4ac≥0)，步驟如下：(1) 把方程化為一般形式，進(jìn)而確定a、b、c的值（注意符號(hào)）(2) 求出b2-4ac的值，（先判別方程是否有根）(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入求根公式，求出的值，最后寫出方程的根。
★分解因式法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)因式的乘積時(shí)，令每個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程，分別解之，得到的解就是原方程的解，這種解方程的方法稱為分解因式法。一般步驟如下：(1) 把方程整理使其右邊化為0；(2) 把方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積；(3) 令每個(gè)因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程；(4) 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。提示：分解因式法應(yīng)用面廣，它不僅可以解一元二次方程，對(duì)高次的求解更有獨(dú)到之處。
根的判別式：
b2-4ac=△，當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。即不解方程就可判斷方程解的情況。
根與系數(shù)的關(guān)系:由求根公式可知，，即不解方程可知方程的兩根之和與兩根之積，利用此可解決一些關(guān)于兩根之和、之積、兩根的倒數(shù)和、兩根平方和等一類的問(wèn)題。
☆利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)根，這些根雖然滿足所列的一元二次方程，但未必符合實(shí)際問(wèn)題，因此，解完一元二次方程，要按題意檢驗(yàn)這些根是不是符合實(shí)際問(wèn)題的解。
易錯(cuò)易混點(diǎn)
(1) 用配方法解一元二次方程時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)化1時(shí)易錯(cuò)；(2) 不能確定a、b、c的值，代入公式時(shí)，代入不準(zhǔn)確； (3) 方程兩邊同除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子。
用配方法解方程：2x2-4x-10=0
解方程：8x2+10x=3
用分解因式法解一元二次方程：
典型例題
當(dāng)x取___________時(shí)，x2-5x+7有最小值，最小值是_____________。
已知是方程2x2-x-7=0的兩根，則=___________。
已知一三角形的兩邊長(zhǎng)分別為1和2，第三邊的長(zhǎng)是方程2x2-5x+3=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為_____________。
已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)：。
已知a2-3a=1，b2-3b=1，并且a≠b，那么=___________。
一元二次方程x2-px+q=0的兩個(gè)根為3，-4，那么二次三項(xiàng)式x2-px+q可分解為（ ）A. (x-3)(x+4) B. (x+3)(x-4) C. (x-3)(x-4) D. (x+3)(x+4)
若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）A. k＞-1 B.k≥-1 C. k＞1 D. k≥0
用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?(1) ； (2) ；


(3) ; (4) x2-4x-6=0
按要求解下列方程：(1) x2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x2+10x=3 (用公式法解)

(3) 2(x-2)2=x2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解)
學(xué)習(xí)自評(píng)
方程4x2+5=0的根是（ ）A. B. C. D. 無(wú)實(shí)根
用配方法將方程變形得（ ）A. B. C. D.
已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程2x2-8x+7=0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（ ）A. B. 3 C. 6 D. 9
三角形的兩邊長(zhǎng)分別是8和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程x2-16x+60=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是（ ）A. 24 B. 24或 C. 48 D.
已知，則x+y的值為（ ）A. 3或5 B. 3或-5 C. -3或5 D. -3或-5
x2-_________+9=(x-______)2；x2-5x+6=(__________)(___________).
若x2+4x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值為___________。
把方程化成一般形式為__________________。
若a+b+c=0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0必有一根為___________。
完成下列配方過(guò)程：x2+2px+1=[ x2+2px+(_________)]+(________)=(x+______)2+(________).
已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足等式，則方程ax2+bx+c=0的根是_________。
若x1，x2是方程x2-3x-2=0的兩個(gè)根，則x1+x2=________，x1+x2=________，x12+x22=________，___________。
用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?(1) x2+2x=2； (2) 4x2-7x+2=0; (3) x2+3x-4=0
(5) 2x2-3x+=0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6)
(1)用配方法證明-10x2+7x-4的值恒小于0；(2) 由第(1)題，你能否得到啟發(fā)而寫出三個(gè)值恒大于0的二次三項(xiàng)式。
三角形兩邊長(zhǎng)分別是2和3，第三邊是方程的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)
在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為540m2，道路的寬為多少？
某電腦公司今年每個(gè)月的銷售量都比上個(gè)月增長(zhǎng)相同的百分?jǐn)?shù)，已知該公司今年4月份的電腦銷售量為500臺(tái)，6月份比5月份多售出120臺(tái)，求該公司今年銷售量的月增長(zhǎng)率是多少?
【知識(shí)梳理】
形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。
【例題精講】
【例1】選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋ɑA(chǔ)題）：
（1）x2 –2x=0 （2） x2 –9=0 （3）(1－3x)2＝1；
（4）（t－2）（t＋1）＝0 （5）x2＋8x＝2 （6）
（7） （8） （9） （10） （11） （12）
（13）x（x－6）＝2 （14）（2x＋1）2＝3（2x＋1） （15）
（16） （17） （18）

（19） （20）；

【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程（提高題）：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）。
【鞏固】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程：
（1）； （2）；
（3）。 （4）。
【例5】已知方程與有公共根。
（1）求的值；
（2）求二方程的所有公共根和所有相異根。
【鞏固】是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
第三講：一元二次方程的判別式
【知識(shí)梳理】
一、一元二次方程根的情況：令。
1、若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；
2、若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；
3、若，則方程無(wú)實(shí)根（不代表沒(méi)有解）。
二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；
2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；
3、通過(guò)判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；
4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題。
【例題精講】
【例1】已知方程；則①當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？
②當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？③當(dāng)取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？
【鞏固】1、已知關(guān)于的方程。
求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；
2、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍。
【拓展】關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)的值。
【例2】已知關(guān)于的方程。
（1）求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC的周長(zhǎng)。
【鞏固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，則___________。
2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為，已知，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形ABC的周長(zhǎng)。
【拓展】已知對(duì)于正數(shù)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：以長(zhǎng)的線段為邊能組成一個(gè)三角形。
【例3】設(shè)方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根。
【鞏固】已知關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________________。
【例4】設(shè)，證明在方程
中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。
第四講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【知識(shí)梳理】
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
設(shè)方程的兩個(gè)根，則。
韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
【例題精講】
【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。
（1）x2－2x＋1＝0； （2）x2－9x＋10＝0；
解：______， 解：______，
（3）2x2－9x＋5＝0； （4）4x2－7x＋1＝0；
解：______， 解：______，
（5）2x2－5x＝0； （6）x2－1＝0
解：______， 解：______，
【例2】設(shè)x1，x2是方程2x2+4x－3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）=_______； （2）x12x2+x1x22=_______； （3）=_______
（4）（x1+x2）2=_______； （5）（x1－x2）2=_______； （6）x13+x23=_______．

【例3】解答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，問(wèn)是否存在
的情況？
（2）已知：是關(guān)于的方程的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值。
【鞏固】
1、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則_____________。
2、已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_________。
【例4】已知關(guān)于的方程：。
（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根滿足，求的值及相應(yīng)的。
【鞏固】已知關(guān)于的方程。
（1）當(dāng)為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值。
【例4】CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是多少？
【鞏固】已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5。
（1）為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（2）為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長(zhǎng)。
第五講：一元二次方程的應(yīng)用
【知識(shí)梳理】
方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。
列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相同，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立二次方程模型解決問(wèn)題。
【例題精講】
【例1】要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng)m，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35m。
（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？
（2）題中墻的長(zhǎng)度m對(duì)題目的解起著怎樣的作用？
【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過(guò)多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問(wèn)題，還要保證一定的門票收入，因此博物館采用了漲浮門票的價(jià)格來(lái)控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬(wàn)元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價(jià)格應(yīng)是多少元？
【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？
【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn) A與B，若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比。
【例5】一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？
【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參加。
【鞏固】
1、在青島市開展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成（如圖所示），若設(shè)花園的BC邊長(zhǎng)為m，花園的面積為m2。
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）滿足條件的花園面積能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此時(shí)的值；若不能，說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？
2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？
3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問(wèn)河有多寬？
4、一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)100米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？
5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負(fù)一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？
第六講：全等三角形
一、選擇題
1. （2011安徽蕪湖，6，4分）如圖，已知中，， 是高和的交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為（ ）.
A． B． 4 C． D．
2. （2011山東威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，連接DE,DF,EF.則添加下列哪一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△BFD與△EDF全等（ ）．
A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
3. （2011浙江衢州，1,3分）如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
4. （2011江西，7，3分）如圖下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
5. （2011江蘇宿遷,7,3分）如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA
6. （2011江西南昌，7，3分）如圖下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
7. （2011上海，5，4分）下列命題中，真命題是（ ）．
(A)周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等； (B) 周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等；
(C)周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等； (D) 周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等．
8. （2011安徽蕪湖，6,4分）如圖，已知中，， 是高和的交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為（ ）.
A． B． 4 C． D．
二、填空題
1. （2011江西，16，3分）如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且∠DAB=30°。有以下四個(gè)結(jié)論：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O為BC的中點(diǎn)； ④AG：DE=：4，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（錯(cuò)填得0分，少填酌情給分）
2. （2011廣東湛江19,4分）如圖，點(diǎn)在同一直線上, ,,
（填“是”或“不是”） 的對(duì)頂角，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 （只需寫出一個(gè)）．
三、解答題
1. （2011廣東東莞，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求證：AE=CF.
2. （2011山東菏澤，15（2），6分）已知：如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線．求證：AB=DC


3. （2011浙江省，19，8分）如圖，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上．
(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求證：AB=AC；
(2) 分別將“BD=CE”記為①，“CD=BE” 記為②，“AB=AC”記為③．添加條件①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1，添加條件②、③以①為結(jié)論構(gòu)成命題2．命題1是命題2的 命題，命題2是 命題．（選擇“真”或“假”填入空格）．
4. （2011浙江臺(tái)州，19,8分）如圖，在□ABCD中，分別延長(zhǎng)BA，DC到點(diǎn)E，使得AE=AB，CH=CD，連接EH，分別交AD，BC于點(diǎn)F,G。求證：△AEF≌△CHG.
5. （2011四川重慶，19，6分）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求證：BC∥EF．
6. （2011江蘇連云港，20，6分）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn).不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？

7. （2011廣東汕頭，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求證：AE=CF.
8. （ 2011重慶江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.
(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數(shù).
9. （2011福建福州，17（1），8分）如圖6,于點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),且.
求證.
10．（2011四川內(nèi)江，18，9分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC．
試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．
11. （2011廣東省，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求證：AE=CF.
12. （2011湖北武漢市，19，6分）（本題滿分6分）如圖，D，E，分?別?是?AB，AC?上?的?點(diǎn)?，且AB=AC，AD=AE．求證∠B=∠C．
13. （2011湖南衡陽(yáng)，21，6分）如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B、C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE、CF，垂足分別為點(diǎn)E、F．求證：BE=CF．
14. (20011江蘇鎮(zhèn)江,22,5分)已知:如圖,在△ABC中,D為BC上的一點(diǎn),AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
求證:AB=AC
15. （2011湖北宜昌，18，7分）如圖，在平行四邊形ABCD 中，E為BC 中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)證明：∠DFA = ∠FAB；
(2)證明: △ABE≌△FCE.
（第18題圖）
第七講：平行四邊形
【知識(shí)梳理】
1、平行四邊形：
平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：
（1）平行四邊形對(duì)角相等；
（2）平行四邊形對(duì)邊相等；
（3）平行四邊形對(duì)角線互相平分。
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
（1）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（4）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2、特殊平行四邊形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形
（2）矩形的四個(gè)角都是直角；
（3）矩形的對(duì)角線相等。
（4）矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
（5）矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
二、菱形
（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四條邊都相等
（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
（4）菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（6）菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
三、正方形
（1）有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形
（2）性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角，四條邊相等
②對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角
（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形
②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
【例題精講】
【例1】填空題：
【鞏固】
1、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A.四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B.四條邊相等的四邊形是正方形
C.對(duì)角線相等的菱形是正方形 D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
2、如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形
3、下面結(jié)論中，正確的是（ ）
A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
4、如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，且，．下列四種說(shuō)法：
①四邊形是平行四邊形；
②如果，那么四邊形是矩形；
③如果平分，那么四邊形是菱形；
④如果且，那么四邊形是菱形.
其中，正確的有 .（只填寫序號(hào)）
【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn).
求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
【鞏固】已知，如圖9，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例3】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點(diǎn)E．
求證：四邊形AECD是菱形．
【例4】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．
【鞏固】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD．
（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四邊形OCED的面積．
【例5】如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.
（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）探究下列問(wèn)題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當(dāng)△ABC滿足_________________________條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；
②當(dāng)△ABC滿足_________________________條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；
③當(dāng)△ABC滿足_________________________條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在.
第八講：平行四邊形（二）
【知識(shí)梳理】
由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工具。
【例題精講】
【例1】四邊形四條邊的長(zhǎng)分別為，且滿足，則這個(gè)四邊形是（ ）
A.平行四邊形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形
C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形
【例2】如圖①，四邊形ABCD是正方形， 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.
(1) 求證：DE－BF ＝ EF．
(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由．
(3) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．
【鞏固】如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，.
（1）求∶的值；
（2）延長(zhǎng)交正方形外角平分線（如圖13－2），試判斷的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在圖2的邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例3】如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。
【例4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC。
【例5】如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。求證：AE＝CF。
【鞏固】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B，∠D的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F，交四邊形的對(duì)角線AC于點(diǎn)G、H。求證：AH＝CG。
第九講：梯 形
【知識(shí)梳理】
與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來(lái)研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。
一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。
通過(guò)作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問(wèn)題的基本思路，常用的輔助線的作法是：
平移腰：過(guò)一頂點(diǎn)作一腰的平行線；
平移對(duì)角線：過(guò)一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；
過(guò)底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。
熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：
【例題精講】
中位線概念：
(1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．
(2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．
三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。
梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。
【例題精講】
【例1】如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的長(zhǎng).
【例2】如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的長(zhǎng).
【例3】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，BD＝6cm. 求梯形ABCD的面積.
【例4】如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.
【鞏固】
1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng).
2、如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長(zhǎng).
3、如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長(zhǎng).
【例5】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點(diǎn)，且AE⊥BE.
求證：AD＋BC＝AB
【鞏固】如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點(diǎn)，且AD＋BC＝AB
求證：DE⊥AE。
【例6】如圖，在梯形ABCD 中，AD∥BC ， E、F 分別是AD 、BC 的中點(diǎn)，若∠B＋∠C＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ．
第十講：中位線及其應(yīng)用
【知識(shí)梳理】
1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。
2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。
3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。
4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來(lái)用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，
①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等
②經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊
③經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰
5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：
①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半
②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合
③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等
因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。
【例題精講】
【例1】已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，AE⊥CD于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明BD=2EF。
【鞏固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn).
求證：
【例2】已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)　　　　　　　　　　　　　　
　則①四邊形EFGH是__________形　　　　　　　　　　　　　　　
②當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是__________形　　　　　　　　　　　　　　　　　　
③當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是__________形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
④當(dāng)AC和BD__________時(shí)，四邊形EFGH是正方形。
【鞏固】如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。
（1）求證：四邊形MENF是菱形；
（2）若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。
【例3】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證：MN＝（AB－CD）
【鞏固】如圖，在四邊形ABCD中，AB＞CD，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)。
求證：EF＞
【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF＝，問(wèn)：四邊形ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【例4】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB=CD.BA、CD的延長(zhǎng)線交HG的延長(zhǎng)線于E、F。求證：∠BEH=∠CFH.
【例5】如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)。
【鞏固】已知：△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。求證：PM＝PN　
【例】如圖，平形四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE垂直于AB，OE垂直于CD，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：OE=OF。
第十一講：如何做幾何證明題
【知識(shí)梳理】
1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。
2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：
（1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；
（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；
（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。
3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。
【例題精講】
【專題一】證明線段相等或角相等
兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。
【例1】已知：如圖所示，中，。
求證：DE＝DF
【鞏固】如圖所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE。
求證：EC＝ED
【例2】已知：如圖所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。
求證：∠E＝∠F
【專題二】證明直線平行或垂直
在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。
【例3】如圖所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。
求證：KH∥BC
【例4】已知：如圖所示，AB＝AC，。
求證：FD⊥ED
【專題三】證明線段和的問(wèn)題
總結(jié)：證明線段的和、差、倍、分常用的證明策略：1，??長(zhǎng)截短：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可在長(zhǎng)線上截取一部分等于另兩條線段中的一條，然后再證明另一部分等于剩下的一條線段的長(zhǎng)。（角也亦然）2，??短延長(zhǎng)：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可先延長(zhǎng)較短的一條線段，得到兩條線段的和，然后再證明其與長(zhǎng)的線段相等。（角也這樣）3，??加倍法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，可加倍延長(zhǎng)線段，延長(zhǎng)后使之為其2倍，再證明與另一條線段相等。（角也這樣）4，??折半法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，也可取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證明其中之一與另一條線段相等。（角也可用）5，??代數(shù)運(yùn)算推理法：這種方法是利用代數(shù)運(yùn)算證明線段或角的和、差、倍、分。6，??相似三角形及比例線段法：利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證。
（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）
【例5】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠B＝60°，AB＝BC，
且∠DEC＝60°；
求證：BC＝AD＋AE
【鞏固】已知：如圖，在中，，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。
求證：AC＝AE＋CD
（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）
【例6】 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。
求證：EF＝BE＋DF
練習(xí)題1（短延長(zhǎng)）：如圖所示，在正方形ABCD中，P、Q分別為BC、CD上的點(diǎn)。
若PAQ=45°，求證：PB+DQ=PQ。
（2）若△PCQ的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，求證：PAQ=45°
題2（長(zhǎng)截短）：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分線AD交BC于D。求證：AC=AB+BD

第十二講：反比例函數(shù)
　一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課
　　1、回憶一下什么叫函數(shù)?
　　在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x，y.若給定其中一個(gè)變量x的值，y都有唯
一確定的值與它對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù).
　　例如，購(gòu)買單價(jià)是0.4元的鉛筆，總金額y(元)與鉛筆數(shù)n(個(gè))的關(guān)系是
y＝0.4n，這是一個(gè)正比例函數(shù)。
　　又如，等腰三角形的頂角的度數(shù)y與底角的度數(shù)x的關(guān)系為y=180-2x，y
是x的一次函數(shù)等。
　　　一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx+b其中k，b為常數(shù)且k≠0，正比例函數(shù)的表
達(dá)式為y＝kx，其中k為不為零的常數(shù),但是在現(xiàn)實(shí)生活中，并不是只有這兩種
類型的表達(dá)式，如從A地到B地的路程為1200 km，某人開車要從A地到B地，
汽車的速度v(km／h)和時(shí)間t(h)之間的關(guān)系式為vt＝1200，則t＝中，
t和v之間的關(guān)系式肯定不是正比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式，那么它們之間
的關(guān)系式究竟是什么關(guān)系式呢?
　　二、探索新知
　　1.下面實(shí)際問(wèn)題中的變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，若是函數(shù)關(guān)系，那么是
否為正比例或一次函數(shù)關(guān)系式？
問(wèn)題1：電流I，電阻R，電壓U之間滿足關(guān)系式U＝IR，當(dāng)U＝220 V時(shí).
(1)你能用含有R的代數(shù)式表示I嗎?
(2)利用寫出的關(guān)系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
　　當(dāng)R越來(lái)越大時(shí)，I怎樣變化?當(dāng)R越來(lái)越小呢?
(3)變量I是R的函數(shù)嗎?為什么?
（1）能用含有R的代數(shù)式表示I. 由IR=220，得I=.
(2)利用上面的關(guān)系式可知，從左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2.
　　從表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)電阻R越來(lái)越大時(shí)，電流I越來(lái)越小；當(dāng)R越來(lái)
越小時(shí)，I越來(lái)越大.
(3)變量I是R的函數(shù).
　　 由IR＝220得I＝.當(dāng)給定一個(gè)R的值時(shí)，相應(yīng)地就確定了一個(gè)I值，
因此I是R的函數(shù).
　　舞臺(tái)燈光為什么在很短的時(shí)間內(nèi)將陽(yáng)光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天，
或由黑夜變成白晝的?
　　根據(jù)I＝，當(dāng)R變大時(shí)，I變小，燈光較暗；當(dāng)R變小時(shí)，I變大，
燈光較亮.所以通過(guò)改變電阻R的大小來(lái)控制電流I的變化，就可以在很短的
時(shí)間內(nèi)將陽(yáng)光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天，或由黑夜變成白晝.
問(wèn)題2：京滬高速公路全長(zhǎng)約為1262 km，汽車沿京滬高速公路從上海駛往
北京，汽車行完全程所需的時(shí)間t(h)與行駛的平均速度v(km／h)之間有怎樣
的關(guān)系?變量t是v的函數(shù)嗎?為什么?
由路程等于速度乘以時(shí)間可知1262＝vt，則有t＝.當(dāng)給定一個(gè)v的
值時(shí)，相應(yīng)地就確定了一個(gè)t值，根據(jù)函數(shù)的定義可知t是v的函數(shù).
從上面的兩個(gè)例題得出關(guān)系式
I=和t=.它們是函數(shù)嗎?它們是正比例函數(shù)嗎?是一次函數(shù)嗎?能
否根據(jù)兩個(gè)例題歸納出這一類函數(shù)的表達(dá)式呢?
一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y＝ (k為常數(shù)，
k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。
從y＝中可知x作為分母，所以x不能為零.
反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：(1) (k為常數(shù)，k≠0) (2) (k≠0) (3) (k為定值，k≠0)
2.練習(xí)：（1）下列函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？若是，并指出K的值。
①y=-3/x ②y=-1/2x ③x=1/y ④xy=p
⑤y=4/x2 ⑥y=1/(x+1) ⑦y=x/3
（2） 如果y與x成反比例，z與y成正比例，則z與x成__________；
（3）函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是________。
三、做一做
1.一個(gè)矩形的面積為20，相鄰的兩條邊長(zhǎng)分別為xcm和ycm。那么變
量y是變量x的函數(shù)嗎？為什么？
2.某村有耕地346.2公頃，人數(shù)數(shù)量n逐年發(fā)生變化，那么該村人均占有耕
地面積m（公頃/人）是全村人口數(shù)n的函數(shù)嗎？為什么？
3.y是x的反比例函數(shù)，下表給出了x與y的一些值：
x
-2
-1
1
3
…
y
2
-1
……
（1）寫出這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式完成上
一、選擇題（10分×3=30分）
（1）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（ ）
A、y=2x+1 B、y=0.75x C、x:y=18 D、xy= -1
（2）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（ ）
A、y=5/x B、y=0.4/x C、y=x/2 D、xy=2
（3）如果y=（m+1）xm是反比例函數(shù)，那么m的值是（ ）
A、1 B、-1 C、±1 D、無(wú)解
二、填空。（45分，對(duì)一個(gè)答案計(jì)5分）21世紀(jì)教育網(wǎng)
（1）在函數(shù)①xy=π②y=5-x ③y= -2/x ④y=2a/x（a為常數(shù)，a≠0）中是反比例函數(shù)的有 （填序號(hào)），并分別寫出其K的值： 。
（2）已知y是x的反比例函數(shù)，完成下表
x
-3
-1
1
3
y
三、解答題。（15分×3=45分）
（1）菱形的面積一定時(shí)，菱形的兩條對(duì)角線m和n屬于反比例函數(shù)嗎？為什么？
（2）計(jì)劃修建鐵路1200km，那么鋪軌天數(shù)y是每日鋪軌量x（km/d）的反比例函數(shù)嗎？為什么？
（3）已知y+2與x-3成反比例，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=2時(shí)，y=？
第十三講:反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
一、復(fù)習(xí)引入
1.什么叫做反比例函數(shù)？3種形式的表達(dá)式？
2.一次函數(shù)的圖象是怎樣的呢？你能畫出y＝－2x-1的圖象嗎？
3.畫函數(shù)圖象的三個(gè)步驟是什么？
二、探求新知
1.例1.你能畫出的圖象嗎？
解：（1）列表
…
-8
-4
-3
-2
-1
…
1
2
3
4
8
...
…
-1
-2
-4
-8
…
8
4
2
1
…
注意：自變量的取值范圍x ≠ 0。在列表時(shí),自變量的值可以選取絕對(duì)值
相等而符號(hào)相反的一對(duì)一對(duì)的數(shù)值,這樣既可簡(jiǎn)化計(jì)算,又便于描點(diǎn)。
（2）描點(diǎn)

注意：描點(diǎn)時(shí)一定要養(yǎng)成按自變量從小到大的順序依次畫線, 從中體會(huì)函
數(shù)的增減性。
（3）連線
注意：連線時(shí)必須用光滑的曲線連接各點(diǎn)；曲線的發(fā)展趨勢(shì)只能靠近坐標(biāo)
軸,但不能和坐標(biāo)軸相交。
2. 畫出的圖象。學(xué)生動(dòng)手畫圖，相互觀摩。
3. 想一想
觀察和的圖象，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？
相同點(diǎn)：（1）圖象分別都是由兩支曲線組成.它們都不與坐標(biāo)軸相交；
（2）兩個(gè)函數(shù)圖象自身都是軸對(duì)稱圖形,它們各有兩條對(duì)稱軸；對(duì)稱軸分
別為y=x和y=-x;
（3）兩個(gè)函數(shù)圖象自身都是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。
不同點(diǎn): 兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi); 兩支曲線分
別位于第二、四象限內(nèi)。

反比例函數(shù) y = 有下列性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象y = 是由兩支曲
線組成的。
(1)　當(dāng) k>0 時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限，
(2)　當(dāng) k<0 時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限.
二、探究新知
1.觀察反比例函數(shù)的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征嗎？
表達(dá)式中的k都是大于零的.
（1）函數(shù)圖象分別位于哪幾個(gè)象限內(nèi)？
（2）在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著x值的增大，y的值是怎樣變化的？能說(shuō)明這是
為什么嗎？
（3）反比例函數(shù)的圖象可能與x軸相交嗎？可能與y軸相交嗎？為什么？
(1)函數(shù)圖象分別位于第一、三象限內(nèi).
(2)觀察函數(shù)y＝ 的圖象，在第一象限任取兩點(diǎn)A（x1,y1），B(x2,y2)，
分別向x軸,y軸作垂線，找到對(duì)應(yīng)的x1,x2,y1,y2,因?yàn)樵谧鴺?biāo)軸上能比較
出x1與x2,y1與y2的大小，所以就可判斷函數(shù)值的變化隨自變量的變化是如
何變化的.山圖可知x1＜x2,y2＜y1,所以在第一象限內(nèi)有y隨x的增大而減小.
（3）從關(guān)系式y(tǒng)＝中看,因?yàn)閤≠0，所以圖象與y軸不可能能有交點(diǎn)；
因?yàn)椴徽搙取任何實(shí)數(shù)，2是常數(shù)，y＝永遠(yuǎn)也不為0，所以圖象與x軸也不
可能有交點(diǎn).
　　總結(jié)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象分別位于第一、三象限內(nèi)，并且在每一個(gè)象限
內(nèi)，y隨x的增大而減小.
　　2.議一議
　　　考察當(dāng)k＝－2，－4，－6時(shí)，反比例函數(shù)的圖象，它們有哪些共
同特征？
　
　　(1)y=-，y=-，y=-中的k都小于0，它們的圖象都位于第二，四
象限，所以當(dāng)A<0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限內(nèi).
　　(2)在圖象y=-中，在第二象限內(nèi)任取兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，
y1>y2，所以可以得出當(dāng)自變量逐漸減小時(shí)，函數(shù)值也逐漸減小，即函數(shù)值y隨
自變量x的增大而增大.
(3)這些反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.
　　　性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨x
值的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大。
　　　3.想一想
　?。?）在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸
的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為；過(guò)點(diǎn)Q分別作x軸、y軸的平行
線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為，和有什么關(guān)系？為什么？
　?。?）將反比例函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與原來(lái)的圖象重合嗎？
　　設(shè)P(x1,y1)，過(guò)P點(diǎn)分別作x軸，y軸的平行線，
與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，
則S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜.
∵(x1,y1)在反比例函數(shù)y＝圖象上，
所以y1＝，即x1y1＝k.
∴S1＝｜k｜.
同理可知S2＝｜k｜， 所以S1＝S2
　　從上面的圖中可以看出，P、Q兩點(diǎn)在
同一支曲線上，如果P，Q分別在不同的曲線，情況又怎樣呢?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　?。?）將反比例函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,能與原來(lái)的圖形重合.即反比
例函數(shù)是中心對(duì)稱圖形.
　
　　四、課堂總結(jié)
　　1.反比例函數(shù)y＝的圖象，當(dāng)k0時(shí)，在第一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，
y的值隨，值的增大而減?。划?dāng)k增大而增大.
　 2.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，分別過(guò)P，Q作x軸、y軸的平行
線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2，則有S1＝S2.
　 3.將反比例函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,能與原來(lái)的圖形重合.即反比例
函數(shù)是中心對(duì)稱圖形.
　 4.反比例函數(shù)的圖象既不能與x軸相交也不能與y軸相交,但是當(dāng)x的值越來(lái)
越接近于0時(shí)，y的值將逐漸變得很大；反之，y的值將逐漸接近于0.因此，圖象
的兩個(gè)分支無(wú)限接近；軸和y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸和y軸相交.
第十四講：反比例函數(shù)的應(yīng)用
一、回顧交流、情境導(dǎo)入
反比例函數(shù)：當(dāng)k>0時(shí)，兩支曲線分別在 一 三，在每一象限內(nèi)，y的值
隨x的增大而減小 。當(dāng)k<0時(shí)，兩支曲線分別在二 四 ，在每一象限內(nèi)，y
的值隨x的增大而。
某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安
全、迅速通過(guò)這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨
時(shí)通道，從而順利完成了任務(wù)的情境。你能解釋他們這樣做的道理嗎？
(1)用含S的代數(shù)式表示P，P是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？
(2)當(dāng)木板面積為0.2 時(shí)，壓強(qiáng)是多少
(3)如果要求壓強(qiáng)不超過(guò)6000Pa，木板面積至少要多大
(4)在直角坐標(biāo)系中，作出相應(yīng)的函數(shù)圖象。
(5)請(qǐng)利用圖象對(duì)(2)和(3)作出直觀解釋，并與同伴進(jìn)行交流。
在（4）中，要啟發(fā)學(xué)生思考：為什么只需在第一象限作函數(shù)圖象？此外，
還要注意單位長(zhǎng)度所表示的數(shù)值。在（5）中，要留有充分時(shí)間讓學(xué)生交流，
領(lǐng)會(huì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義，體會(huì)數(shù)與形的統(tǒng)一。
二、探究新知
1.蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I（A）與電阻R（）之
間的函數(shù)關(guān)系如圖5-8所示：
探究：（1）蓄電池的電壓是多少？你能寫出這一函數(shù)的表達(dá)式嗎？
（2）完成下表（課本P142），并回答問(wèn)題，如果以此蓄電池為電源的用電器
限制電流不得超過(guò)10A，那么用電器的可變電阻應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
2.如圖5-9，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交
于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）
探究：（1）請(qǐng)你分別寫出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）你能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)嗎？你是怎樣求的？與同伴交流。
學(xué)生獨(dú)立思考，解答問(wèn)題，上講臺(tái)演示自己的解答。
三、隨堂練習(xí)
課本隨堂練習(xí)1
補(bǔ)充練習(xí)
《反比例函數(shù)的應(yīng)用》訓(xùn)練題
一、填空題（每空2分，共12分）
1．長(zhǎng)方形的面積為60cm2，如果它的長(zhǎng)是ycm，寬是xcm，那么y是x的 函數(shù)關(guān)系，y寫成x的關(guān)系式是 。
2．A、B兩地之間的高速公路長(zhǎng)為300km，一輛小汽車從A地去B地，假設(shè)在途中是勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為vkm/h，
到達(dá)時(shí)所用的時(shí)間是th，那么t是v的 函數(shù)，t可以寫成v的函數(shù)關(guān)系式是 。
3．如圖，根據(jù)圖中提供的信息，可以寫出正比例函數(shù)的關(guān)系式是 ；反比例函數(shù)關(guān)系式是 。
二、選擇題（5分×3＝15分）
1．三角形的面積為8cm2，這時(shí)底邊上的高y（cm）與底邊x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系用圖象來(lái)表示是 。

2．下列各問(wèn)題中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是
A：小明完成100m賽跑時(shí)，時(shí)間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關(guān)系。
B：菱形的面積為48cm2，它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為y（cm）與x（cm）的關(guān)系。
C：一個(gè)玻璃容器的體積為30L時(shí)，所盛液體的質(zhì)量m與所盛液體的密度之間的關(guān)系。
D：壓力為600N時(shí)，壓強(qiáng)p與受力面積S之間的關(guān)系。
3．如圖，A、B、C為反比例函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)，分別從A、B、C向x、y軸作垂線，構(gòu)成三個(gè)矩形，它們的面積分別是S1、S2、S3，則S1、S2、S3的大小關(guān)系是
A：S1＝S2＞S3 B：S1＜S2＜S3
C：S1＞S2＞S3 D：S1＝S2＝S3
（三）解答題（共21分）
1．（12分）如圖所示是某一蓄水池每小時(shí)的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系圖象。
（1）請(qǐng)你根據(jù)圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。
（2）寫出此函數(shù)的解析式
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小時(shí)的排水量應(yīng)該是多少？
（4）如果每小時(shí)排水量是5m3，那么水池中的水將要多長(zhǎng)時(shí)間排完？
2．（9分）如圖正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)交于點(diǎn)A，從A向x軸、y軸分別作垂線，所構(gòu)成的正方形的面積為4。
（1）分別求出正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式。
（2）求出正、反比例函數(shù)圖象的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)。
（3）求△ODC的面積。
第十五講：反比例函數(shù)的練習(xí)
一、例題講解
例1．在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)p（Pa）是它的
受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
(1) 求p與S之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2) 求當(dāng)S＝0.5 m2時(shí)物體承受的壓強(qiáng)p．
分析：本題意在考查反比例函數(shù)的意義．在實(shí)際問(wèn)題中
求函數(shù)的解析式時(shí)，要注意確定自變量的取值范圍．

例2．如圖，A為雙曲線上一點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥x軸，垂足為C，且S△AOC=2．
求該反比例函數(shù)解析式；
若點(diǎn)(-1,y1),(-3,y2)在雙曲線上，試比較y1、 y2的大小．
例3．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的
圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都是，求：（1）一
次函數(shù)的解析式；（2）△AOB的面積．


例4．如圖，A、B分別是x、y軸上的一點(diǎn)，且OA=OB=1，P是函數(shù)y=
(x>0)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，M、N分別為垂足，PM、
PN分別交AB于E、F．(1)證明AF·BE=1．
(2) 若平行于AB的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

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