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概率題錯解分類剖析—7大類型
概率問題題型較多，解法靈活，不少同學在解題過程中因概念不清、忽視條件、考慮不周等原因導致思維混亂，最終導致解題失誤.
類型一：“非等可能”與“等可能”的混淆
例1．擲兩枚骰子，求所得的點數之和為6的概率．
類型二：“互斥”與“對立”的混淆
例2．把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是
A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對立事件 D．以上均不對
類型三：“互斥”與“獨立”的混淆
例3．甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人各投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？
例4．某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第一聲時被接的概率為，響第二聲時被接的概率為，響第三聲時被接的概率為，響第四聲時被接的概率為 ，那么電話在響前4聲內被接的概率是多少
類型四：“條件概率P(B / A)”與“積事件的概率P(AB)” 的混淆
例5．袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．
類型五：“有序”與“無序”的混淆
例6．從10件產品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．
類型六:“等可能”與“N次獨立重復實驗恰有K次發生” 的混淆
例7．冰箱中放甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取一瓶甲或乙種飲料，取用時甲種或乙種飲料的概率相等.
（1）求甲種飲料飲用完畢，而乙種飲料還剩下3瓶的概率.
（2）求甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用瓶數至少多4瓶的概率
類型七:“可辯認”與“不可辨認”的混淆
例8．將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去（每個盒子容納球的個數不限），求事件A=“某指定的n個盒子中恰好各有一球的概率”．
概率題錯解分類剖析—7大類型
類型一：“非等可能”與“等可能”的混淆
例1．擲兩枚骰子，求所得的點數之和為6的概率．
錯解：擲兩枚骰子出現的點數之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為．
剖析：以上11種基本事件不是等可能的，如點數和2只有(1，1)，而點數之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數之和為6”的概率為．
類型二：“互斥”與“對立”的混淆
例2．把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是
A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對立事件 D．以上均不對
錯誤答案：A
剖析：本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別，這二者的聯系與區別主要體現以以下三個方面：
(1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；
(2)互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；
(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生．
事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發生，一個不發生，可能兩個都不發生，所以應選C．
類型三：“互斥”與“獨立”的混淆
例3．甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人各投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？
錯解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B．
∴．
分析：本題錯解的原因是把相互獨立的事件當成互斥事件來考慮．將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和．而題目的實際含義是在“甲恰好投中兩次”的同時“乙恰好投中兩次”，即兩人都恰好投中兩次為事件．
正確解答：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件，則．
例4．某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第一聲時被接的概率為，響第二聲時被接的概率為，響第三聲時被接的概率為，響第四聲時被接的概率為 ，那么電話在響前4聲內被接的概率是多少
錯解：分別記“電話響第一、二、三、四聲時被接”為事件4，且=，
=， = ， = ，則電話在響前4聲內被接的概率為
==×××=．
剖析：本題錯解的原因在于把互斥事件當成相互獨立同時發生的事件來考慮．根據實際生活中的經驗電話在響前4聲內，每一聲是否被接彼此互斥．所以，=+++==0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．
點評：以上兩例錯誤的原因都在于把兩事件互斥與兩事件相互獨立混同，互斥事件是指兩個事件不可能同時發生；兩事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關系，但所描繪的關系是根本不同．
類型四：“條件概率P(B / A)”與“積事件的概率P(AB)” 的混淆
例5．袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．
錯解：記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B,”第二次才取到黃球”為事件C,所以= =.
剖析：本題錯誤在于與的含義沒有弄清, 表示在樣本空間S中,A與B同時發生的概率；而表示在縮減的樣本空間中，作為條件的A已經發生的條件下事件B發生的概率．
正確答案：（C）= = =．
類型五：“有序”與“無序”的混淆
例6．從10件產品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．
錯解：因為第一次有10種取法，第二次有9種取法，第三次有8種以法，第四次有7種取法，由乘法原理可知從10件取4件共有10×9×8×7種取法，故任意取出4件含有10×9×8×7個基本事件．
設A=“取出的4件中恰有1件次品”，則A含有種取法
剖析：計算任意取出4件所含基本事件的個數是用排列的方法，即考慮了抽取的順序；而計算事件A所包含的基本事件個數時是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序．
正確解法一：（都用排列方法）
任意取出4件含有個基本事件，A包含個基本事件
正確解法二：（都用組合方法）
一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故S含有個基本事件，A包含有個基本事件．
類型六:“等可能”與“N次獨立重復實驗恰有K次發生” 的混淆
例7．冰箱中放甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取一瓶甲或乙種飲料，取用時甲種或乙種飲料的概率相等.
（1）求甲種飲料飲用完畢，而乙種飲料還剩下3瓶的概率.
（2）求甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用瓶數至少多4瓶的概率
錯解：（1）5瓶甲種飲料飲用完畢有種，乙種飲料還剩下3瓶即飲用2瓶有種方法，所以求甲種飲料飲用完畢，而乙種飲料還剩下3瓶共有種可能的結果，而從10瓶中選出7瓶共有種可能的結果．所以甲種飲料飲用完畢，而乙種飲料還剩下3瓶的概率為．
（2）甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用瓶數至少多4瓶包括3種情況
①甲被飲用5瓶，乙被飲用1瓶，有種；②甲被飲用5瓶，乙沒有被飲用有種；③甲被飲用4瓶，乙沒有被飲用，有．所以甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用瓶數至少多4瓶的概率為．
剖析：此法出錯的原因是把飲用A、B兩種飲料當作一次性取出，而每瓶被飲用的概率相等，所以用“等可能事件的概率”來解決．但實質上，每瓶飲料是一次次的取出飲用的，且A、B兩種飲料每次被飲用的概率都為，故應用“N次獨立重復實驗恰有K次發生的概率”來求．
正解：(1)設“飲用一次，飲用的是甲種飲料”為事件A，則.甲種飲料飲用完畢，而乙種飲料還剩下3瓶的概率即求7次獨立重復試驗中事件A發生5次的概率為．
(2) 甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用瓶數至少多4瓶包括上述3種情況，所求概率為：．
類型七:“可辯認”與“不可辨認”的混淆
例8．將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去（每個盒子容納球的個數不限），求事件A=“某指定的n個盒子中恰好各有一球的概率”．
錯解：將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中，所有可能的結果數為，而事件A含有n!種結果．
剖析：這種解法不全面，如果球是編號的（即可辨認的），則答案是對的；若球是不可辯認的，則答案完全錯了．因為球是不可辯認的，故只考慮盒子中球的個數，不考慮放的是哪幾個球．我們在此用符號“□”表示一個盒子，“○”表示球，先將盒子按號碼排列起來
1 2 3 4 5…N
這樣的N個盒子由N+1個“|”構成，然后把n個球任意放入N個盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號“|”和“○”共占有：N+1+n個位置，在這N+1+n個位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個位置上“|”和“O”可以任意次序排列．則N-1個“1”和n個“○”在中間的N+n-1個位置上的可以區別的所有可能結果數是，將n個不可辨認的球放入指定的n個盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個結果，從而
正解：分兩種情況：
（1）當球是可辯認的，則
（2）當球是不可辨認的，則．
本文總結了學生易犯的幾類錯誤，我們在教學的過程中，只要注意對這些錯誤作詳細的分析，可減少在這些方面出現的錯誤．

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