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函數(shù)零點問題—求解策略
函數(shù)的零點是高中新課標(biāo)中新增內(nèi)容，在教材中給出了具體的定義：“對于函數(shù),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點，這樣函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與X軸交點的橫坐標(biāo)，所以方程有實根函數(shù)的圖象與X軸有交點函數(shù)有零點”（必修1.P95.人教版）
對于函數(shù)零點問題，我們除了可應(yīng)用根的存在性定理直接求解外，還可利用“方程有實根函數(shù)的圖象與X軸有交點函數(shù)有零點” 題目進行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，得到各種不同的求解策略。茲總結(jié)如下：
一 、函數(shù)零點的存在性定理指出：“如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在,使得,這個c也是方程的根”。根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否有零點（或方程在某個區(qū)間上是否有根）時，一定要注意該定理是函數(shù)存在零點的充分不必要條件：如
例1、函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（ ）
（A）（0，1）； （B）（1，2）； （C） （2，e）； （D）（3，4）。
例2.函數(shù)在下列區(qū)間是否存在零點？（ ）
（A）（-3，-1）； （B）（-1，2）； （C） （2，3）； （D）（3，4）。
二 、求解有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)（或方程根的個數(shù)）問題
函數(shù)零點的存在性定理，它僅能判斷零點的存在性，不能求出零點的個數(shù)。對函數(shù)零點的個數(shù)問題，我們可以通過適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解。如：
對于求一個陌生函數(shù)的零點個數(shù)，若能把已知函數(shù)分解成兩個熟悉的函數(shù)，那么可利用構(gòu)造函數(shù)法化歸為求兩個熟悉函數(shù)圖象的交點個數(shù)求解,如：
例3.求零點的個數(shù)。
2.對于一元高次函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)圖象的特征，作出函數(shù)的圖象，確定圖象與X軸交點的情況求解。如：
例4.函數(shù)零點的個數(shù)為
例5、（例4變式題）試討論函數(shù)()零點的個數(shù)。
例6、已知，函數(shù)在區(qū)間（0，3）內(nèi)零點的個數(shù)為 。
三．求函數(shù)的具體零點或求方程的根。對于某些特殊類型的函數(shù)，可通過研究式子的特征，構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化求解。如：
例7、求函數(shù)的零點。
函數(shù)零點問題—求解策略
一 、函數(shù)零點的存在性定理指出：“如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在,使得,這個c也是方程的根”。根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否有零點（或方程在某個區(qū)間上是否有根）時，一定要注意該定理是函數(shù)存在零點的充分不必要條件：如
例1、函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（ ）
（A）（0，1）； （B）（1，2）； （C） （2，e）； （D）（3，4）。
分析：顯然函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是連續(xù)函數(shù)，且,，所以由根的存在性定理可知，函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（1，2），選B
例2.函數(shù)在下列區(qū)間是否存在零點？（ ）
（A）（-3，-1）； （B）（-1，2）； （C） （2，3）； （D）（3，4）。
分析：利用函數(shù)零點的存在性定理分析，函數(shù)在所給出的四個區(qū)間中都不滿足條件，但由函數(shù)的圖象可知它一定有零點。僅當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù)時，函數(shù)零點的存在性定理才是函數(shù)存在零點的充要條件。
二 、求解有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)（或方程根的個數(shù)）問題
函數(shù)零點的存在性定理，它僅能判斷零點的存在性，不能求出零點的個數(shù)。對函數(shù)零點的個數(shù)問題，我們可以通過適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解。如：
對于求一個陌生函數(shù)的零點個數(shù)，若能把已知函數(shù)分解成兩個熟悉的函數(shù)，那么可利用構(gòu)造函數(shù)法化歸為求兩個熟悉函數(shù)圖象的交點個數(shù)求解,如：
例3.求零點的個數(shù)。
分析：本題直接求解，無法下手，由函數(shù)的零點也是方程的根，即方程的解，但這個方程不是
熟悉的常規(guī)方程，由方程的解與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，可構(gòu)
造函數(shù)、,在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象，可得
出它們有三個交點，所以零點的個數(shù)有三個。
2對于一元高次函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)圖象的特征，作出函數(shù)的圖象，確定圖象與X軸交點的情況求解。如：
例4.函數(shù)零點的個數(shù)為
分析：，
令,得列出x,y/,y的對應(yīng)值表如下：
x 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
y 增函數(shù) 減函數(shù) 增函數(shù)
作出函數(shù)的草圖可知，函數(shù)的圖
象與X軸僅有一個交點，則僅有一個零點。
注意：本類型題的特點是找出函數(shù)的圖象與X軸交點，實質(zhì)上仍是求函數(shù)與函數(shù)交點的情況。若把換成，相當(dāng)在原題中引入?yún)?shù)a，得出一般情況下的解法，如：
例5、（例4變式題）試討論函數(shù)()零點的個數(shù)。
分析：方法1：直接模仿例4的解法，可得如下表格:
x 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
y 增函數(shù) 減函數(shù) 增函數(shù)
然后再結(jié)合函數(shù)的圖象與X軸的關(guān)系，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，由極大值、極小值與零的關(guān)系，討論圖象與X軸交點情況，得出如下結(jié)論：
當(dāng)即時有一個交點；當(dāng)即時有兩個交點；當(dāng)且即時有三個交點；當(dāng)即時有兩個交點；當(dāng)即時有一個交點.
方法2：通過構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化求解，利用例4的方法可得到函數(shù)的圖象，討論兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，
可得出結(jié)論：當(dāng)僅有一個零點；
當(dāng)有二個零點；當(dāng)有三個零點；
當(dāng)時有二個零點；當(dāng)僅有一個零點。
例6、已知，函數(shù)在區(qū)間（0，3）內(nèi)零點的個數(shù)為 。
分析：本題利用導(dǎo)數(shù)法可得出在區(qū)間（0，3）上是單調(diào)遞減函數(shù)，且,，由函數(shù)的圖象可知僅有一個零點。
三．求函數(shù)的具體零點或求方程的根。對于某些特殊類型的函數(shù)，可通過研究式子的特征，構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化求解。如：
例7、求函數(shù)的零點。
分析：考察的特點，直接求解難以入手，可轉(zhuǎn)化為求的解，根據(jù)式子特點構(gòu)造函數(shù)，顯然為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，由可化為，故利用函數(shù)的性質(zhì)可得，則，所以函數(shù)的零點為
綜上所述，對于函數(shù)的零點問題，我們除了要掌握利用函數(shù)的零點存在性定理判斷外，還要更好地懂得利用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化解題的策略，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

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