資源簡介

第1章 集合與常用邏輯用語
§1.1集合的概念
1.集合定義：把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.
集合三要素：確定性、互異性、無序性.
2.集合的相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等.
3.元素和集合的關(guān)系：屬于 (a∈A)和不屬于 (a A).
4.常見數(shù)集：自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N *或N+；整數(shù)集：Z；有理數(shù)集：Q；實數(shù)集R.
5.集合的表示方法：
(1)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“ ” 括起來表示集合的方法叫列舉法.
(2)描述法：設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P x 的元素 x所組成的集合表示為 x∈A P(x) ，這種
表示集合的方法稱為描述法.
§1.2集合間的基本關(guān)系
1.子集：對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作A B.
2.真子集：如果集合A B，但存在元素 x∈B，且 x A，則稱集合A是集合B的真子集.記作：集合A B(或B A).
3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.記作： .并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.
4.子集個數(shù)：如果集合A中含有n個元素，則集合A有 2n個子集，2n-1個真子集.
§1.3集合的基本運算
1.并集：由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合集合A是集合B與B的并集.記作：A∪B.即
A∪B= x x∈A,或 x∈B .
2.交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A是集合B與B的交集.記作：A∩B.即
A∩B= x x∈A,且 x∈B .
3.補集：對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作： UA,即
UA={x|x∈U,且 x U}.
§1.4充分條件與必要條件
1.命題：可以判斷真假的陳述句叫命題；
2.充分條件.必要條件與充要條件
如果“若 p，則 q”為真命題，是指由 p通過推理可以得出 q，我們就說由 p可以推出 q，記作 p q，并且說 p是 q的充分條件，q
是 p的必要條件；
如果“若 p，則 q”為假命題，那么由條件 p不能提出結(jié)論 q，記作 p q，我們就說 p不是 q的充分條件，q不是 p的必要條件；
如果“若 p，則 q”和它的逆命題“若 q，則 p”均是真命題，即既有 p q，又有 q p，就記作 p q
此時則 p是 q的充分條件，也是 q的必要條件，我們就說 p是 q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果 p q，那么 p與 q互為充要條件.
§1.5全稱量詞與存在量詞
1.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞與全稱量詞命題
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示.
含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.記為 x∈Μ，p(x).
(2)存在量詞與存在量詞命題
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示.
含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.記為 x∈Μ，p(x).
1
2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)全稱量詞命題 p： x∈Μ，p(x)，它的否定 p： x∈Μ， p(x).
(2)存在量詞命題 p： x∈Μ，p(x)，它的否定 p： x∈Μ， p(x).
2
第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
§2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1.作差法比較大小
a> b a- b> 0；
a< b a- b< 0；
a= b a- b= 0.
2.不等式的基本性質(zhì)
(1) (對稱性)a> b b> a
(2) (傳遞性)a> b，b> c a> c
(3) (可加性)a> b a+ c> b+ c
(4) (可乘性)a> b，c> 0 ac> bc；a> b，c< 0 ac< bc
(5) (同向可加性)a> b，c> d a+ c> b+ d
(6) (正數(shù)同向可乘性)a> b> 0，c> d> 0 ac> bd
(7) (正數(shù)乘方法則)a> b> 0 an> bn(n∈N ,且n> 1)
§2.2基本不等式
①重要不等式：a2+b2≥ 2ab a,b∈R ，(當且僅當 a= b時取 " = "號).
變形公式：2(a2+b2)≥ (a+ b)2 a,b∈R
a+ b
②基本不等式： 2 ≥ ab a,b∈R
+ ，(當且僅當 a= b時取到等號).
2
變形公式：a+ b≥ 2 ab a+ b；ab≤ 2 .
用基本不等式求最值時 (積定和最小，和定積最大)，要滿足條件:“一正.二定.三相等”.
§2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0
y= ax2+bx+ c a> 0 的圖象
ax2+bx+ c= 0(a> 0)的根 x1，x2(x1< x2) x
b
1= x2=- 2a 沒有實數(shù)根
ax2+bx+ c> 0(a> 0)的解集 x x< x1,或 x> x2 x x≠- b 2a R
ax2+bx+ c< 0(a> 0)的解集 x x1< x< x2
3
第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
§3.1函數(shù)的概念及其表示
1.設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，使對于集合A中的任意一個數(shù) x，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 f，在集合B中都有惟一確定的
數(shù) y和它對應(yīng)，那么就稱 f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y= f x ，x∈A.
2.函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域.對應(yīng)關(guān)系.值域.
3.區(qū)間：閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)間.
4.函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.
5.分段函數(shù)
§3.2.函數(shù)的基本性質(zhì)
§3.2.1單調(diào)性與最大 (小)值
1.函數(shù)單調(diào)性的定義：
設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I，區(qū)間D I，如果 x1、x2∈D，當 x1< x2時，都有：
f(x1)< f(x2)或 f(x1) - f(x2)< 0，就稱 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；
特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，就稱它是增函數(shù)；
f(x1)> f(x2)或 f(x1) - f(x2)> 0，就稱 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.
特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時，就稱它是減函數(shù)；
2.最大值、最小值：
設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I，
如果存在實數(shù)M滿足：(1) x∈ I，都有 f(x)≤M；(2) x0∈ I，使得 f(x0) =M，
我們就稱M是函數(shù) y= f(x)的最大值.
如果存在實數(shù)N滿足：(1) x∈ I，都有 f(x)≥N；(2) x0∈ I，使得 f(x0) =N，
我們就稱N是函數(shù) y= f(x)的最小值.
§3.2.2奇偶性
1.定義：設(shè)函數(shù)n的定義域為 I,如果 x∈ I，都有-x∈ I，
且 f -x = f x (或 f(-x) - f(x) = 0)，那么就稱函數(shù) f x 為偶函數(shù).
偶函數(shù)圖象關(guān)于 y軸對稱.
且若 f(-x) =-f(x) (或 f(-x) + f(x) = 0)，那么就稱函數(shù) f x 為奇函數(shù).
奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.
2.奇函數(shù)的性質(zhì)：
若奇函數(shù) f x 的定義域為 I,如果 0∈ I，則有 f(0) = 0.
3.奇偶性與單調(diào)性：
奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.
§3.3冪函數(shù)
1.冪函數(shù)的解析式：y= xα，x是自變量，α是常數(shù).
2.幾種冪函數(shù)的圖象：
4
3.冪函數(shù)的性質(zhì)：
（1）定點： 1,1 .
（2）單調(diào)性：
當 α> 0時，y= xα在 0,+∞ 上單調(diào)遞增；
當 α< 0時，y= xα在 0,+∞ 上單調(diào)遞減；
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第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
§4.1指數(shù)
§4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪
1.如果 xn= a，那么 x叫做 a的n次方根.其中n> 1，n∈N+.
2. n當n為奇數(shù)時， an= a；
當n n為偶數(shù)時， an= a .
3.規(guī)定：
m
(1)a n= n am(a> 0,m,n∈N *,n> 1)；
-m
(2)a n= 1 = 1m n (a> 0,m,n∈N
*,n> 1).
ama n
(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0.0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義.
4.運算性質(zhì)：
r
(1)aras= ar+s a> 0,r,s∈Q ； as = a
r-s
a
(2) ar s= ars a> 0,r,s∈Q ； ar s= as r= ars
(3) ab r= arbr a> 0,b> 0,r∈Q .
§4.1.2無理指數(shù)冪及其運算性質(zhì)
運算性質(zhì)：
r
(1)aras= ar+s a> 0,r,s∈R a ； s = a
r-s
a
(2) ar s= ars a> 0,r,s∈R ； ar s= as r= ars
(3) ab r= arbr a> 0,b> 0,r∈R .
§4.2指數(shù)函數(shù)
1.定義：函數(shù) y= ax a> 0,a≠ 1 叫做指數(shù)函數(shù)，定義域為R.
2.性質(zhì)：
a> 1 0< a< 1
圖
像
(1)定義域：R
(2)值域：(0,+∞)
性 (3)過定點 (0,1)，即 x= 0時，y= 1
質(zhì) (4)增函數(shù) (4)減函數(shù)
(5)x> 0，ax> 1； (5)x> 0，0< ax< 1；
x< 0，0< ax< 1 x< 0，ax> 1
§4.3.對數(shù)
1.定義：如果 ax=N a> 0,a≠ 1 ；
那么數(shù) x叫做以 a為底N的對數(shù)，記作：x= logaN，a叫對數(shù)的底數(shù)，N叫真數(shù).
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2.指數(shù)與對數(shù)間的關(guān)系：當 a> 0，a≠ 1時，ax=N x= logaN
3. log N對數(shù)恒等式：a a =N，logaaN=N .
4.兩個特殊對數(shù)：
(1)以 10為底的對叫做常用對數(shù)，并把 log10N記為 lgN；
(2)以無理數(shù) e= 2.71828 為底數(shù)的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把 logeN記為 lnN；
5.基本性質(zhì)：(1)loga1= 0；(2)logaa= 1；(3)負數(shù)和 0沒有對數(shù).
6.積、商、冪的對數(shù)運算法則：當 a> 0，a≠ 1，M> 0，N> 0時：
(1)loga MN = logaM + logaN；
(2)loga MN = logaM - logaN；
(3)log M na =nlogaM .
= log b5.換底公式：log cab a> 0,a≠ 1,c> 0,c≠ 1,b> 0 .logca
6.推論：(1)log m manb = n logab；(2)logab=
1
log a a> 0,a≠ 1,b> 0,b≠ 1 .b
§4.4.對數(shù)函數(shù)
1.定義：函數(shù) y= logax a> 0,a≠ 1 叫做對數(shù)函數(shù)，定義域是 0,+∞ .
2.性質(zhì)：
a> 1 0< a< 1
圖
像
(1)定義域：(0，+∞)
(2)值域：R
性 (3)過定點 (1，0)，即 x= 1時，y= 0
質(zhì) (4)在 (0，+∞)上是增函數(shù) (4)在 (0，+∞)上是減函數(shù)
(5)x> 1，logax> 0； (5)x> 1，logax< 0；
0< x< 1，logax< 0 0< x< 1，logax> 0
§4.5.函數(shù)的應(yīng)用
4.5.1函數(shù)的零點與方程的解
1.方程 f x = 0有實數(shù)解 函數(shù) y= f x 的圖象與 x軸有公共點 函數(shù) y= f x 有零點.
2.函數(shù)零點存在性定理：
如果函數(shù) y= f x 在區(qū)間 a,b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f a f b < 0，那么函數(shù) y= f x 在區(qū)間 a,b 內(nèi)
至少有一個零點，即存在 c∈ a,b ，使得 f c = 0，這個 c也就是方程 f x = 0的解.
3.用二分法求方程的近似解
對于在區(qū)間 a,b 上圖象連續(xù)不斷且 f a f b < 0的函數(shù) y= f x ，通過不斷地把它零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間
的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
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第5章 三角函數(shù)
§5.1.1.任意角
1.正角、負角、零角、象限角的概念.
正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；
負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；
零角：一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角。
2.旋轉(zhuǎn)與運算：
(1)角的加法：角 α的終邊旋轉(zhuǎn)角 β后所得的終邊對應(yīng)的角是 α+ β.
(2)角的減法：α- β= α+ -β 。
3.與角 α終邊相同的角的集合： β β= α+ k 360°,k∈ Z = β β= α+ 2kπ,k∈ Z .
§5.1.2.弧度制
1. 1弧度角：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做 1弧度的角.
2.弧度公式： α = lr (r為圓的半徑，弧長為 l的弧所對的圓心角為 α)。
3.弧長公式：l= α R.
4.角度與弧度換算：180° = π rad 1° = π180 rad；1 rad=
180
π °。
2
5. nπR 1 1扇形面積公式：S= 360 = 2 lR= 2 α R
2.(R為圓的半徑，扇形弧長為 l，圓心角為 α)
§5.2.1.三角函數(shù)的概念
1.三角函數(shù)定義 1：設(shè) α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P x,y ，則：
把點P的縱坐標 y叫做 α的正弦函數(shù)，記作 sinα.即 y= sinα；
把點P的橫坐標 x叫做 α的余弦函數(shù)，記作 cosα.即 x= cosα；
y y
把點P的縱坐標 y與橫坐標 x的比值 x 叫做 α的正切函數(shù)，記作 tanα.即 x = tanα x≠ 0 。
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：
正弦函數(shù)：y= sinx，x∈R
余弦函數(shù)：y= cosx，x∈R
正切函數(shù)：y= tanx，x≠ π2 + kπ k∈ Z
2.三角函數(shù)定義 2：設(shè)點P x,y (不與原點重合)為角 α終邊上任意一點，點P與原點的距離為：r= x2+y2，則：
y y
sinα= xr ，cosα= r ，tanα= x .
3.sinα、cosα、tanα在四個象限的符號:一全正，二正弦，三正切，四余弦.
§5.2.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
1.平方關(guān)系：sin2α+ cos2α= 1.
2. tanα= sinα商數(shù)關(guān)系： cosα .
§5.3.誘導(dǎo)公式
1.誘導(dǎo)公式一： 2.誘導(dǎo)公式二：
sin α+ 2kπ = sinα, sin π+ α = sinα,
cos α+ 2kπ = cosα, (其中：k∈ Z) cos π+ α = cosα,
tan α+ 2kπ = tanα. tan π+ α = tanα.
3.誘導(dǎo)公式三： 4.誘導(dǎo)公式四：
sin α = sinα, sin π α = sinα,
cos α = cosα, cos π α = cosα,
tan α = tanα. tan π α = tanα.
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5.誘導(dǎo)公式五： 6.誘導(dǎo)公式六：
sin π2 - α = cosα sin
π
2 + α = cosα
cos π2 - α = sinα cos
π
2 + α =-sinα
§5.4.正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.正弦.余弦函數(shù)圖象：
2.會用五點法作圖.
y= sinx在 x∈ [0,2π] (0,0) π上的五個關(guān)鍵點為： ， 2 ,1 ，(π,0)，
3π
2 ,-1 ，(2π,0).
y= cosx在 x∈ [0,2π] π 3π上的五個關(guān)鍵點為：(0,1)， 2 ,0 ，(π,-1)， 2 ,0 ，(2π,1).
3.周期函數(shù)定義：
函數(shù) f x 定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個 x∈D，都有 x+T∈D，且 f x+T = f x ，那么函數(shù) f x
就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.
最小正周期：如果周期函數(shù) f x 的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那這個最小正數(shù)叫 f x 的最小正周期.
4.正余弦函數(shù)的周期：
正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈ Z且 k≠ 0)都是它的周期，最小正周期是 2π；
余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈ Z且 k≠ 0)都是它的周期，最小正周期是 2π；
5.正切函數(shù)的圖象：
5.正弦.余弦.正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)：
y= sinx y= cosx y= tanx
圖像
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定義域 R R x x≠ π2 + kπ,k∈ Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
x= 2kπ+ π2 ,k∈ Z時，ymax= 1 x= 2kπ,k∈ Z時，ymax= 1
最值 無
x= 2kπ- π ,k∈ Z時，y =-1 x= 2kπ+ π,k∈ Z時，ymin=-12 min
周期性 T= 2π T= 2π T= π
奇偶性 奇 偶 奇
單調(diào)性 在

2kπ-
π π
2 ,2kπ+ 2 上單調(diào)遞增 在 [2kπ- π,2kπ]上單調(diào)遞增
π π
在每一個區(qū)間 kπ- 2 ,kπ+ 2
k∈ Z 2kπ+ π在 ,2kπ+
3π 上單調(diào)遞減 在 [2kπ,2kπ+ π]上單調(diào)遞減2 2 上單調(diào)遞增
π
對稱性 對稱軸方程：x= kπ+ 對稱軸方程：x= kπ 無對稱軸2
k∈ Z π kπ對稱中心 (kπ,0)，k∈ Z 對稱中心 kπ+ 對稱中心 ,0 ，k∈ Z2 ,0 ，k∈ Z 2
§5.5.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
1.兩角和與差的正弦：
S α+β ：sin α+ β = sinαcosβ+ cosαsinβ
S α-β ：sin α β = sinαcosβ cosαsinβ
2.兩角和與差的余弦：
C α+β ：cos α+ β = cosαcosβ sinαsinβ
C α-β ：cos α β = cosαcosβ+ sinαsinβ
3.兩角和與差的正切：
T α+β ：tan α+ =
tanα+ tanβ
β 1- tanαtanβ .
- = tanα- tanβT α-β ：tan α β 1+ tanαtanβ .
4.倍角公式
(1)sin2α= 2sinαcosα變形：sinαcosα= 12 sin2α.
(2)cos2α= cos2α sin2α= 2cos2α 1= 1 2sin2α.
cos2α+ sin2α= 1 2cos2α= 1+ cos2α
變形：降冪公式： cos2α- sin2α= cos2α 2sin2α= 1- cos2α
(3)tan2α= 2tanα .
1- tan2α
5.輔助角公式
y= asinx+ bcosx= a2+b2sin(x+ φ)
(其中 cosφ= a ，sinφ= b ，tanφ= b ).
a2+b2 a2+b2 a
y= asinx+ bcosx= a2+b2cos(x- θ)
(其中 cosθ= b sinθ= a， ，tanθ= a ).
a2+b2 a2+b2 b
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第6章 平面向量及其應(yīng)用
§6.1.平面向量的概念
1.平面向量的概念：
向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度 (或稱模)，記作 AB .

零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作 0.
單位向量：長度等于 1個單位的向量叫做單位向量.

平行 (共線) 向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (或共線向量).記作：a b.
規(guī)定：零向量與任意向量平行.
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§6.2.平面向量的運算
§6.2.1.向量的加法運算
1.向量加法的法則：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

AB+BC =AC OA+OB=OC
2. a

+ b ≤ a + b ( a 當且僅當 與 b方向方向相同時等號成立).
3.向量加法的運算律：

交換律：a+ b= b+ a結(jié)合律： a+ b + c= a+ b+ c
§6.2.2.向量的減法運算
1.相反向量：

與 a長度相等，方向相反的向量叫做 a的相反向量.記作-a.
2.向量減法的定義：

a 加上 b的相反向量，叫做 a 與 b的差.
3.向量減法的法則：三角形法則.

OA-OB=BA
§6.2.3.向量的數(shù)乘運算
1. 數(shù)乘的定義：實數(shù) λ與向量 a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作：λa，它的長度和方向規(guī)定如下：

⑴ λa = λ a ；

⑵當 λ> 0時, λa的方向與 a的方向相同；當 λ< 0時，λa的方向與 a 的方向相反.
2.運算律：

λ μa = λμ a ； λ+ μ a = λa + μa ；λ a + b = λa + λb
3.線性運算：向量的加.減.數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.
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4.平面向量共線定理：
a

向量 a≠ 0 與 b 共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù) λ，使 b= λa.
§6.2.4.向量的數(shù)量積
1.向量的夾角：
a

已知兩個非零向量 ，b，O 是平面上的任意一點，作OA= a，OB= b，則∠AOB= θ 0≤ θ≤ π 叫做向量 a 與 b的夾角.
2. a與 b垂直：
π
如果 a與 b的夾角是 2 ，則 a與 b垂直，記作 a⊥ b.
3.數(shù)量積：

已知兩個非零向量 a ，b，它們的夾角為 θ，我們把數(shù)量 a b cosθ叫做向量 a與 b的數(shù)量積 (或內(nèi)積)，記作 a b，即 a b=

a b cosθ.
4.投影向量：

向量 a在 b上的投影向量：在平面內(nèi)任取一點O，作OM = a，ON = b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向

量 a在向量 b上的投影向量．

b

設(shè)與 同方向的單位向量為 e，a與 b的夾角為 θ，則OM1= a cosθe .
5.數(shù)量積的性質(zhì)：
(1)a e = e a = a cosθ
(2)a⊥ b a b= 0
(3)a a = a 2 2或 a = a a = a

(4) a b ≤ a b
6.數(shù)量積的運算律：

(1)a b= b a

(2) λa b= λ a b = a λb

(3) a + b c = a c + b c
2 2 2 2 2
結(jié)論： a+ b = a +2a b+ b ， a+ b a - b = a -b .
§6.3平面向量基本定理及坐標表示
§6.3.1平面向量基本定理
平面向量基本定理：

如果 e1,

e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量 a，有且只有一對實數(shù) λ1,λ2，使 a= λ1e1+ λ2
, e2. e1 e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
§6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示
1.正交分解：
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.向量 a 的坐標表示：

在平面直角坐標系中，設(shè)與 x軸.y軸方向相同的兩個單位向量分別為 i，j，取 i , j 作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量
a

，由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù) x，y，使得 a= xi + y j，這樣平面內(nèi)的任一向量 a 都可由 x，y唯一確定,我

們把有序數(shù)對 x,y 叫做向量 a的坐標，記作 a= x,y ，其中 x叫做 a在 x軸上的坐標，y叫做 a在 y軸上的坐標，a= x,y
叫做向量 a 的坐標表示.
§6.3.3平面向量加.減運算的坐標表示

1.設(shè) a = x1,y1 ，b= x2,y2 ，則：
12

⑴ a + b= x1+x2,y1+y2 ，

⑵ a - b= x1-x2,y1-y2 ，
即：兩個向量和 (差)的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和 (差)

2.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB= x2-x1,y2-y1 .
§6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示
1. a = x,y λa 設(shè) ，則 = λx,λy .
2. a

設(shè) = x1,y1 ，b= x2,y2 ，則向量 a,b共線的充要條件是 x1y2-x2y1= 0.
§6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示

1.設(shè) a = x1,y1 ，b= x2,y2 ，則：

(1)a b= x1x2+y1y2
(2) a = x2 21+y1
(3)a⊥ b a b= 0 x1x2+y1y2= 0
a

( ) = b x x +y4 cosθ 1 2 1y2
a
=
b x2+y2 x21 1 2+y22

(5)設(shè)A x1,y1 ，B x2,y2 ，則： AB = x 2 22 x1 + y2 y1 .
6.4平面向量的應(yīng)用
2
cosA= b +c
2-a2 ,
a2= b2+c2 -2bccosA,
2bc
2 2 2
1.余弦定理： b2= a2+c2-2accosB, 推論： cosB= a +c -b ,c2 2 2 2ac= a +b -2abcosC.

2 2 2
cosC= a +b -c2ab .
2.正弦定理：
a = b c
sinA sinB
= = 2R.
sinC
(其中R為△ABC外接圓的半徑)
a= 2RsinA，b= 2RsinB，c= 2RsinC;
sinA= a sinB= b c2R， 2R，sinC= 2R ;
a:b:c= sinA:sinB:sinC.
13
第7章 復(fù)數(shù)
§7.1復(fù)數(shù)的概念
1.復(fù)數(shù)：形式如 z= a+ bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中 i叫虛數(shù)單位，i2=-1.
a叫復(fù)數(shù)的實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部.
2.復(fù)數(shù)的分類
復(fù)數(shù) z= a+ bi a,b∈R
實數(shù) (b= 0) 純虛數(shù) (a= 0,b≠ 0)虛數(shù) (b≠ 0) 非純虛數(shù) (a≠ 0,b≠ 0)
3．復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標系，其中 x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.
z= a+ bi 一 一 對 應(yīng)復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)的點 Z a,b

復(fù)數(shù) z= a+ bi 一 一 對 應(yīng) 平面向量OZ
4.復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模叫復(fù)數(shù) z= a+ bi a,b∈R 的模或絕對值，即 z = a+ bi = a2+b2.
5.共軛復(fù)數(shù)

當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)用 z表示，z= a- bi.
§7.2復(fù)數(shù)的四則運算
1．復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)加減法： a+ bi ± c+ di = a± c + b± d i；
(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義：
復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行：

OZ1,OZ2分別對應(yīng)復(fù)數(shù) a+ bi，c+ di，即OZ1= a,b ，OZ2= c,d ，

則OZ1+OZ2= a+ c,b+ d 對應(yīng)復(fù)數(shù) a+ c + (b+ d)i.
2.復(fù)數(shù)的乘、除運算
(1)復(fù)數(shù)的乘法： a+ bi c+ di = ac- bd + bc+ ad i；
a+ bi a+ bi c- di( ) = 2 ac+ bd復(fù)數(shù)的除法 + = +
bc- ad i.
c di c+ di c- di c2+d2 c2+d2
3.常見的運算規(guī)律
(1) z = z ；(2)z z= z 2= z 2= a2+b2；
14
第8章 立體幾何初步
§8.1基本立體圖形
空間幾何體的結(jié)構(gòu)：
(1)常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球.
(2)棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體
叫做棱柱.
直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.
斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.
平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體.
(3)棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐.
正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐.
正三棱錐：底面是正三角形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正三棱錐.
正四棱錐：底面是正方形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正四棱錐.
正四面體：四個全等正三角形所組成的幾何體.
(4)棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺.
(5)圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓柱.
軸：旋轉(zhuǎn)軸叫圓柱的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫圓柱的底面.
側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫圓柱的側(cè)面.
母線：平行于軸的邊都叫圓柱側(cè)面的母線.
(6)圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.
(7)圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺，
(8)球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫球體，簡稱球.半圓的圓
心叫球的球心.連結(jié)球心和球面上任意一點的線段叫球的半徑.連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑.
§8.2立體圖形的直觀圖
斜二測畫法：
(1)建立平面直角坐標系:在已知平面圖形中取互相垂直的 x軸和 y軸,兩軸相交于點O.
(2)畫出斜坐標系:在畫直觀圖的紙上 (平面上)畫出對應(yīng)的 x 軸和 y 軸,兩軸相交于點O ，且使∠x Oy = 45 或 135 ，它們確
定的平面表示水平面.
(3)畫對應(yīng)圖形:在已知圖形平行于 x軸的線段,在直觀圖中畫成平行于 x 軸，長度保持不變.在已知圖形平行于 y軸的線
段,在直觀圖中畫成平行于 y 軸,且長度為原來一半.
§8.3簡單幾何體的表面積與體積
(1)圓柱側(cè)面積；S側(cè)面= 2π r l(r是底面圓半徑，l是母線長)
(2)圓錐側(cè)面積：S側(cè)面= π r l(r是底面圓半徑，l是母線長)
(3)體積公式：
V柱體=S h
1
；V錐體= 3 S h；V
1
臺體= 3 h S
+ S S +S
(4)球的表面積和體積：
S球= 4πR
2 4，V = πR3球 3 .
§8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
§8.4.1平面
15
1.三個事實：
基本事實 1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
(即不共線的三點確定一個平面)
基本事實 2：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).
基本事實 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
2.三個推論：
推論 1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.
推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.
推論 3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.
§8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
1.空間中直線和直線的位置關(guān)系
異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.
相交直線共面直線
空間中直線和直線的位置關(guān)系： 平行直線異面直線
2.空間中直線和平面的位置關(guān)系
直線與平面相交直線在平面外
空間中直線和平面的位置關(guān)系： 直線與平面平行直線在平面內(nèi)
3.空間中平面和平面的位置關(guān)系
兩個平面平行
空間中平面和平面的位置關(guān)系： 兩個平面相交
§8.5空間直線、平面的平行
§8.5.1直線與直線平行
1.基本事實 4：平行與同一條直線的兩條直線平行.
2.定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.
§8.5.2直線與平面平行
1.線面平行判定定理 (線線平行 線面平行)：
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.
2.線面平行性質(zhì)定理 (線面平行 線線平行)：
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
§8.5.3平面與平面平行
1.面面平行判定定理 1(線面平行 面面平行)：
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
2.面面平行判定定理 2(線線平行 面面平行)：
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線平行，那么這兩個平面平行.
3.面面平行性質(zhì)定理 (面面平行 線線平行)：
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.
4.面面平行的定義推論 (面面平行 線面平行)：
如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行.
§8.6空間直線、平面的垂直
§8.6.1直線與直線垂直
1.異面直線所成的角定義：
已知兩異面直線 a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線 a a，b b，我們把直線 a ，b 所成的角叫做異面直線 a，b所成的角.
16
空間兩條直線所成角的取值范圍是 0 ,90 .
2.兩條異面直線互相垂直的定義：
如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直.
§8.6.2直線與平面垂直
1.直線與平面垂直的定義：
如果直線 l與平面 α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線 l與平面 α互相垂直.
2.線面垂直定義的推論 (線面垂直 線線垂直)：
如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.
3.點到平面的距離的定義：
過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條，過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平
面的垂線段.垂線段的長度叫這個點到平面的距離.
4.線面垂直判定定理 (線線垂直 線面垂直)：
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
5.線面垂直性質(zhì)定理：
(1)垂直于同一個平面的兩條直線平行.
(2)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于該平面.
6.直線和平面所成的角的定義：
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
直線和平面所成的角范圍是 0 ,90 .
7.直線到平面的距離的定義：
一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到平面的距離.
8.兩個平行平面間的距離的定義：
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，把它叫做兩個平行平面間的距離.
§8.6.3平面與平面垂直
1.二面角的定義：
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.
記作：例如二面角 α-AB- β或二面角 α- l- β或二面角P- l-Q.
2.二面角的平面角：
在二面角 α l β的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線AO⊥ l,BO⊥ l，則∠AOB為二面角 α l β的平面角.
二面角的范圍是 0 ,180 .
3．兩個平面互相垂直的定義：
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
4.面面垂直判定定理 (線面垂直 面面垂直)：
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
5.面面垂直性質(zhì)定理 (面面垂直 線面垂直)：
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
17
第9章 統(tǒng)計
§9.1隨機抽樣
1.抽樣調(diào)查
根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)
查.
樣本：從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.
樣本容量 (樣本量)：樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量.
2.簡單隨機抽樣
設(shè)一個總體含有N (N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取 n(l≤ n體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時
總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣，放回簡單隨機抽樣和
不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.
3.分層隨機抽樣
按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機
抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.
§9.2用樣本估計總體
1.總體取值規(guī)律的估計
頻率分布直方圖的畫法：
(1)求極差；(2)決定組距和組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；
(5) 頻率畫頻率分布直方圖：縱軸表示 ，小長方形面積=頻率.
組距
2.總體百分位數(shù)的估計
(1)第 p百分位數(shù)：它使得這組數(shù)據(jù)中至少 p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有 100- p %的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)第 p百分位數(shù)的計算步驟：
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
②計算 i=n× p%.
③若 i不是整數(shù)，而大于 i的比鄰整數(shù)為 j，則第 p百分位數(shù)為第 j項數(shù)據(jù)；若 i是整數(shù)，則第 p百分位數(shù)為第 i項與第 i+ 1項
數(shù)據(jù)的平均數(shù).
(3)四分位數(shù)：第 25、50、75百分位數(shù)稱為四分位數(shù)。
其中第 25百分位數(shù)也成為第一分位數(shù)或下四分位數(shù)，第 50百分位數(shù)相當于中位數(shù)，第 75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或
上四分位數(shù).
3.總體集中趨勢的估計：
平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.
對數(shù)值型數(shù)據(jù) (如身高、收入)集中趨勢的描述可以用平均數(shù)、中位數(shù)；
而對分類型數(shù)據(jù) (如校服規(guī)格、性別)集中趨勢的描述可以用眾數(shù).
4.總體離散程度的估計
方差與標準差：一組樣本數(shù)據(jù) x1,x2, ,xn
n n
1
方差：s2= n (xi x
)2；標準差：s= 1n (xi x
)2
i=1 i=1
18
第10章 概率
§10.1隨機事件與概率
§10.1.1有限樣本空間與隨機事件
1.隨機試驗：
對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.
2.有限樣本空間：
樣本點：隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，用ω表示.
樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，用Ω表示.
有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果，則稱樣本空間Ω= ω1,ω2, ,ωn 為有限樣本空間.
3.隨機事件
隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.
隨機事件：樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件.
基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.
事件A發(fā)生：在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.
必然事件：Ω
不可能事件：
必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形，這樣每個事件都是樣本空間的子集.
§10.1.2事件的關(guān)系和運算
1.事件B包含事件A：
若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，記作B A(或A B).
2.事件的相等：
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，則稱事件A和事件B相等.
3.并事件 (或和事件)：
事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為
事件A與事件B的并事件 (或和事件).記作A∪B(或A+B).
4.交事件 (或積事件)：
事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事
件B的交事件 (或積事件).記作A∩B(或AB).
5.互斥事件：
如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，即A∩B是一個不可能事件，即A∩B= ，則稱事件A與事件B互斥 (或互不相容).
6.對立事件：
如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么稱事件A與事件B互為

對立.事件A的對立事件記為A.
§10.1.3古典概型
1.概率：對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量 (數(shù)值)稱為事件的概率.事件A的概率用表示P A .
2.古典概型的特點：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
2.古典概型概率計算公式：
k
設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的 k個樣本點，則事件A發(fā)生的概率P(A) = n .
§10.1.4概率的基本性質(zhì)
19
性質(zhì) 1：對任意事件A，都有P A ≥ 0.
性質(zhì) 2：必然事件的概率為 1，不可能事件的概率為 0，即P Ω = 1,P = 0.
性質(zhì) 3：如果事件A與事件B互斥，那么P A∪B =P A +P B .
性質(zhì) 4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P A = 1-P B ,P B = 1-P A .
性質(zhì) 5：如果A B，那么P A ≤P B .
性質(zhì) 6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P A∪B =P A +P B -P A∩B .
§10.2事件的相互獨立性
1.相互獨立事件：對任意兩個事件A與B，如果P AB =P A P B 成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立.
注意：當三個事件A,B,C兩兩獨立時，P ABC =P A P B P C 一般不成立.

2.若事件A與事件B相互獨立，則A與B，A與B，A與B也相互獨立.
§10.3頻率與概率
頻率的穩(wěn)定性：
在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性，一般地，隨著試驗次數(shù) n的增大，頻率偏離概
率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率 fn A 會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P A .我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定
性，因此我們可以用頻率 fn A 估計概率P A .
20
第1章 空間向量與立體幾何
§1.1空間向量及其運算
1.空間向量基本概念
空間向量：在空間,我們把具有大小和方向的量叫作空間向量.

長度 (模) ：空間向量的大小叫作空間向量的長度或模，記為 a 或 AB .

零向量：長度為 0的向量叫作零向量，記為 0.
單位向量：模為 1的向量叫作單位向量.

相反向量：與向量 a長度相等而方向相反的向量，叫作 a的相反向量，記為-a.
共線向量 (平行向量)：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫作共線向量或平行
向量.規(guī)定：零向量與任意向量平行.
相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
2.空間向量的線性運算
空間向量的線性運算包括加法、減法和數(shù)乘,其定義、畫法、運算律等均與平面向量相同.
3.共線、共面向量基本定理
(1) 直線 l的方向向量：在直線 l上取非零向量 a，與向量 a平行的非零向量稱為直線 l的方向向量.
(2)共線向量基本定理：

對任意兩個空間向量 a= λb(b≠ 0)，a b的充要條件是存在實數(shù) λ，使 a= λb.
(3)共面向量：

如果表示向量 a的有向線段OA所在的直線OA與直線 l平行或重合,那么稱向量 a平行于直線 l.
如果直線OA平行于平面 α 或在平面 α內(nèi),那么稱向量 a平行于平面 α.
平行于同一個平面的向量,叫作共面向量.

(4) 共面向量基本定理:如果兩個向量 a,b , p a 不共線 那么向量 與向量 ,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 x,y ,

使 p= xa+ yb.
4.空間向量的數(shù)量積

(1)向量的夾角：已知兩個非零向量 a ,b,在空間任取一點O,作OA= a OB = b ∠AOB ， ，則 叫作向量 a,b的夾角，記作

a
,b .如果 a
,b = π 2 ,

那么向量 a,b 互相垂直,記作 a⊥ b.

(2) a ,b a

數(shù)量積定義：已知兩個非零向量 ，則 b cos< a ,b>叫作 a ,b 的數(shù)量積，記作 a b.

即 a b= a b cos< a ,b>.
(3)數(shù)量積的性質(zhì)：
a⊥ b a b= 0
a a = a a cos< a , 2a >= a .
(4)空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：
λa

b= λ a b
a b= b a (交換律):

a + b c = a c + b c (分配律).
2 2 2
推論： a+ b = a +2a b+ b 2 2，a+ b a- b = a - b .
(5)向量的投影向量：

a
b
向量 在向量 b上的投影向量 c c ： = a cos< a ,b>
b
21
向量 a 在平面 α內(nèi)的投影向量與向量 a的夾角就是向量 a所在直線與平面 α所成的角.
§1.2空間向量基本定理
1.空間向量基本定理
a,b,c 如果三個向量 不共面，那么對空間任意一個空間向量 p.存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x,y,z .使得

p = xa + yb+ zc .
2.基底與正交分解

(1)基底：如果三個向量 a ,b,c 不共面,那么我們把 a,b,c

叫作空間的一個基底，a
,b,c 都叫作基向量.
(2)正交分解:

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直.且長度都為 1.那么這個基底叫作單位正交基底，常用 i , j ,k 表示.把一個
空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫作把空間向量進行正交分解.
§1.3空間向量及其運算的坐標表示
1.空間直角坐標系

在空間選定點O和一個單位正交基底 i , j ,k .

以點O為原點，分別以 i , j ,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸.y軸、z軸,它們都叫作坐標軸.這

時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz,O叫作原點，i , j ,k都叫作坐標向量,通過每兩個坐標軸的平面叫作坐標平面.
空間直角坐標系通常使用的都是右手直角坐標系.
2.空間向量的坐標

在空間直角坐標系Oxyz中 i , j ,k為坐標向量.給定任一向量OA,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x,y,z ,使

OA= xa + yb+ zc .有序?qū)崝?shù)組 x,y,z 叫作向量OA在空間直角坐標系Oxyz中的坐標.記作OA= x,y,z . x,y,z 也叫
點A在空間直角坐標系中的坐標.記作A x,y,z .
3.空間向量運算的坐標表示

設(shè) a = x1,y1,z1 ,b= x2,y2,z2 ，則：
(1)a+ b= x1+x2,y1+y2,z1+z2 ，
(2)a

- b= x1-x2,y1-y2,z1-z2 ，
(3)λa = λx1,λy1,λz1 .
4.空間向量平行、垂直、模長、夾角的坐標表示

(1)a b a = λb x1= λx2,y1= λy2,z1= λz2，

(2)a ⊥ b a b= 0 x1x2+y1y2+z1z2= 0，
(3) a = 2a = x21+y21+z21，


( ) , = a
b = x1x2+y1y2+z1z4 cos a b 2 . a b x21+y2 2 2 2 21+z1 x2+y2+z2
5.空間兩點間的距離公式
設(shè)P 2 2 21 x1,y1,z1 ,P2 x2,y2,z2 ，則P1P2= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) .
§1.4空間向量的應(yīng)用
1.平面的法向量：直線 l⊥ α ，取直線 l的方向向量 a，稱 a為平面的法向量.
2.空間中直線、平面的平行
(1) 線線平行：若 u1,u2分別為直線 l1,l2的方向向量，則
l1

l2 u1 u2 λ∈R，使得u1= λu2.

(2) 線面平行：設(shè) u直線 l 的方向向量，n是平面 α的法向量，l α，則
l α u ⊥n u n = 0.
22
法 2 ：在平面 α內(nèi)取一個非零向量 a，若存在實數(shù) x，使得u= xa ，且 l α，則 l α.

法 3：在平面 α 內(nèi)取兩個不共線向量 a,b，若存在實數(shù) x,y，使得u= xa+ yb，且 l α，則 l α.
(3) 面面平行：設(shè)n1,n2分別是平面 α,β的法向量，則
α β n1 n2 λ∈R，使得n1= λn2.
3.空間中直線、平面的垂直
( 1)線線垂直：若 u1,u2分別為直線 l1,l2的方向向量，則 l1⊥ l2 u1⊥u2 u1 u2= 0.
(2) 線面垂直：設(shè) u直線 l的方向向量，n是平面 α的法向量，則 l⊥ α u n λ∈R，使得u= λn.
2 α a

法 ：在平面 內(nèi)取兩個不共線向量 ,b，若 a u= b u= 0.則 l⊥ α.
( ) 3 面面垂直：設(shè)n1,

n2分別是平面 α,β的法向量，則 α⊥ β n1⊥n2 n1 n2= 0.
4.用空間向量研究距離、夾角問題
(1)點到直線的距離：已知A,B是直線 l上任意兩點，P是 l外一點，PQ⊥ l，則點P到直線 l的距離為
2
PQ= AP 2- AQ 2= AP 2- AP AB AB .
(2)求點到平面的距離

已知平面 α的法向量為n，A是平面 α內(nèi)的任一點，P是平面 α外一點,過點P作則平面 α的垂線 l，交平面 α于點Q，則
點P到平面 α的距離為

n

PQ= AP
n
=
AP n
AP n
= n n
.

(3)直線與直線的夾角

若n1,n2分別為直線 l1,l2的方向向量，θ為直線 l1,l2的夾角，則
n n
cosθ= cos = 1 2 . n1 n2
(4)直線與平面的夾角

設(shè)n1是直線 l的方向向量，n2是平面 α的法向量，直線與平面的夾角為 θ.則
n n
sinθ= cos = . n1 n2
A
n
u
θ
B C
α
(5)平面與平面的夾角
平面與平面的夾角：兩個平面相交形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于 90°的二面角稱為這兩個平面的夾

角.若n1,n2分別為平面 α,β的法向量，θ為平面 α,β的夾角，則
n n
cosθ= cos = 1 2 . n1 n2
23
第2章 直線和圓的方程
§2.1直線的傾斜角與斜率
1.傾斜角與斜率：
傾斜角：當直線 l與 x軸相交時，以 x軸為基準，x軸正向和直線 l向上的方向之間所成的角 α叫直線的傾斜角，取值范圍為
0 ≤ α< 180 .
斜率：直線的傾斜角 α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用 k來表示.
k P (x ,y ) P (x ,y ) x ≠ x k= tanα= y2 y1斜率 公式：如果直線經(jīng)過兩點 1 1 1 ， 2 2 2 ， 1 2 ，則 x x .2 1
y
直線的方向向量：斜率為 k的直線的一個方向向量是 1,k ，若斜率為 k的直線的一個方向向量的坐標為 (x,y)，則 k= x .
2.兩條直線平行和垂直的判定
斜率分別為 k1，k2的兩條不重合的直線 l1,l2，有 l1 l2 k1= k2.
斜率分別為 k1，k2的兩條直線 l1,l2，有 l1⊥ l2 k1k2=-1.
§2.2直線的方程
1.直線方程：
(1)點斜式：y y0= k x x0 (不能表示斜率不存在的直線)
(2)斜截式：y= kx+ b(不能表示斜率不存在的直線，b是直線與 y軸的交點縱坐標 (即 y軸上的截距))
( y- y x- x3) 1兩點式：y -y =
1
2 1 x2-x
(x1≠ x2,y1≠ y2)
1
( y4) x截距式：a + = 1(a,b是直線在 x,y軸上的截距，且 a≠ 0,b≠ 0)b
(5)一般式：Ax+By+C= 0(A,B不同時為 0)
2.給定直線方程判斷直線的位置關(guān)系：
(一)對于直線 l1：y= k1x+ b1，l2：y= k2x+ b2有：
( k1)l //l 1= k21 2 ；b1≠ b2
(2)l1和 l2相交 k1≠ k2；
( k = k3)l 1 21和 l2重合 b1= ；b2
(4)l1 l2 k1k2=-1.
(二)對于直線 l:Ax+By+C= 0：
(1)與直線 l:Ax+By+C= 0垂直的一個向量為 A,B ，平行的一個向量為 B,-A .
( ) l :A x+B y+C = 02 對于直線 1 1 1 1 : + + = 有：l2 A2x B2y C2 0
Al l 1B2=A2B11 2 ；B1C2≠B2C1
l1和 l2相交 A1B2≠A2B1；
l1⊥ l2 A1A2+B1B2= 0.
§2.3直線的交點坐標與距離公式
(1)兩點間距離公式：
已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，則 P1P2 = x2 x1 2+ y 22 y1 .
(2)點到直線距離公式：
Ax +By +C
P(x 0 00,y0)到直線 l：Ax+By+C= 0的距離 d為：d= .
A2+B2
(3)兩平行線間的距離公式：
24
C C
+ + = + + = = 1 2 l1：Ax By C1 0與 l2：Ax By C2 0間的距離 d為：d .
A2+B2
§2.4圓與方程
1.圓的方程：
⑴標準方程： x- a 2+ y- b 2= r2(其中圓心為 (a,b)，半徑為 r.)
⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F= 0.(D2+E 2-4F> 0).
§2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1.直線Ax+By+C= 0與圓 (x a)2+ (y b)2= r2的位置關(guān)系：(d表示圓心到直線的距離)
d> r 相離 Δ< 0;
d= r 相切 Δ= 0;
d< r 相交 Δ> 0.
2.直線和圓相交弦長公式：l= 2 r2 d2(d表示圓心到直線的距離)
3.兩圓位置關(guān)系：d= O1O2
(1)外離：d>R+ r；
(2)外切：d=R+ r；
(3)相交：R r< d(4)內(nèi)切：d=R- r(R> r)；
(5)內(nèi)含：d r).
25
第3章 圓錐曲線的方程
§3.1橢圓
平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù) 2a(大于 |F1F2| = 2c)的點的軌跡叫橢圓，兩個定
定義
點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在 y軸上
圖形
2 y2x + = > > y
2 2
標準方程 2 2 1 a b 0 2 +
x
2 = 1 a> b> 0 a b a b
范圍 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
A1 -a,0 、A2 a,0 A1 0,-a 、A2 0,a
頂點
B1 0,-b 、B2 0,b B1 -b,0 、B2 b,0
軸長 長軸的長= 2a短軸的長= 2b
對稱性 關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
焦點 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦距 F1F2 = 2c
a,b,c關(guān)系 c2= a2-b2
2 2 2 2
離心率 e= c ca = 2 =
a -b
2 = 1-
b
2 (0< e< 1)a a a
θ
焦點三角形面積 S△MF = b2tan (θ=∠FMF )1F2 2 1 2
b2
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑： HH = a
A(x1,y1),B(x2,y2)， AB = (x2-x 2 2 2 11) + (y2-y1) = 1+ k |x1-x2| = 1+ k2 |y1-y2|弦長公式
(k≠ 0)
§3.2雙曲線
平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù) 2a(小于 |F1F2| = 2c)的點的軌跡叫雙曲
定義
線，兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在 y軸上
圖形
2 y2 y2x x2
標準方程 - = 1 a> 0,b> 0 - = 1 a> 0,b> 0
a2 b2 a2 b2
26
范圍 x≤-a或x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
頂點 A1 -a,0 、A2 a,0 A1 0,-a 、A2 0,a
軸長 實軸的長= 2a虛軸的長= 2b
對稱性 關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
焦點 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦距 F1F2 = 2c(c2= a2+b2)
a,b,c關(guān)系 c2= a2+b2
c 2 2 2 2
離心率 e= c a +b ba = 2 = 2 = 1+ 2 (e> 1)a a a
b
漸近線方程 y=± x y=± a xa b
焦點到漸近線
b
距離
焦點三角形面
S = b2cot θΔMFF 2 (θ=∠F1MF2)積 1 2
b2
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑： HH = a
§3.3拋物線
平面內(nèi)與一定點F和一條定直線 l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫拋物線的焦
定義
點，直線 l叫拋物線的準線.
圖形
y2= 2px y2=-2px x2= 2py x2=-2py
標準方程
p> 0 p> 0 p> 0 p> 0
頂點 0,0
離心率 e= 1
對稱軸 x軸 y軸
范圍 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
p
焦點 F 2 ,
p
0 F - 2 ,
p p
0 F 0, 2 F 0,- 2
p p p p
準線方程 x=- 2 x= 2 y=- 2 y= 2
通徑 過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑： HH = 2p
焦點弦長
AB = x1+x2+p
公式
參數(shù) p的幾
參數(shù) p表示焦點到準線的距離，p越大，開口越闊
何意義
27
第4章 數(shù)列
§4.1數(shù)列的概念
1.定義：我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.第一項叫首項，常用 a1表示.
2.通項公式：如果數(shù)列 an 的第 n項 an與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那這個式子叫做這個數(shù)列的通
項公式.
3.遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.
4.數(shù)列 an 的前 n項和：把數(shù)列 an 從第 1項起到第 n項止的各項之和，稱為數(shù)列 an 的前 n項和.記作 Sn，即 Sn= a1+a2
+...+an.
S1, n= 1
5.通項 an與Sn之間的關(guān)系：an= Sn-Sn-1, n≥ 2.
§4.2等差數(shù)列
1.等差數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這
個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用 d表示.
2.等差中項：有三個數(shù) a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，此時A叫做 a與 b的等差中項.可知 2A= a+
b.
3.等差數(shù)列的通項公式：an= a1+ (n- 1)d.
引申式：an= am+ (n-m)d，an-am= (n- ) =
an-am d，d mn-m
4.等差數(shù)列的前n項和公式：
n n- 1 n a +a
Sn=na1+

d= 1 n 2 2
5.等差數(shù)列常用性質(zhì)：
①若m+n= p+ q m,n,p,q∈N+ ，則 am+an= ap+aq；
②下標為等差數(shù)列的項 ak,ak+m,ak+2m, ，仍組成等差數(shù)列；
③數(shù)列 λan+b (λ,b為常數(shù))仍為等差數(shù)列；
④若 {an}、{bn}是等差數(shù)列，則 {kan}、{kan+pbn} (k、p是非零常數(shù))、{a *p+nq} (p,q∈N )， 也成等差數(shù)列.
⑤單調(diào)性： an 的公差為 d，則：
ⅰ)d> 0 an 為遞增數(shù)列；
ⅱ)d< 0 an 為遞減數(shù)列；
ⅲ)d= 0 an 為常數(shù)列；
⑥數(shù)列 {an}為等差數(shù)列 an= pn+ q(p,q是常數(shù))
⑦若等差數(shù)列 an 的前 項和 ，則 、 、 是等差數(shù)列.
§4.3等比數(shù)列
1.等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這
個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，常用 q來表示 (q≠ 0).
2.等比中項：若三數(shù) a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做 a與 b的等比中項.此時G2= ab.
3.通項公式：a = a qn-1n 1
引申式：a = a qn-m an m ， n n-ma = q .m
a1 1- qn= a -a q4. 1 n等比數(shù)列前n項和公式：Sn 1- q = 1- q q≠ 1
5.等比數(shù)列常用性質(zhì)：
①若m+n= p+ q m,n,p,q∈N+ ，則 am an= ap aq；
28
② ak,ak+m,ak+2m, 為等比數(shù)列，公比為 qk(下標成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)
③數(shù)列 λan (λ為不等于零的常數(shù))仍是公比為 q的等比數(shù)列；
對于正項等比數(shù)列 an ，則 lgan 是公差為 lgq的等差數(shù)列；
④若 an 是等比數(shù)列，則 can ， a 2n ，
1

r 1
a ， an (r∈ Z)是等比數(shù)列，公比依次是 q，q
2，q ，q
r.
n
⑤單調(diào)性：
a1> 0,q> 1或 a1< 0,0< q< 1 an 為遞增數(shù)列；a1> 0,0< q< 1或 a1< 0,q> 1 an 為遞減數(shù)列；
q= 1 an 為常數(shù)列；
q< 0 an 為擺動數(shù)列；
⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列.
⑦若等比數(shù)列 an 的前 項和 ，則 、 、 是等比數(shù)列.
29
第5章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義
Δy f x0+Δx - f x1. y= f x = 0 導(dǎo)數(shù)定義：對于函數(shù) ，把比值 叫做函數(shù) y= f x 從 x0到 x0+Δx的平均變化率，如果當Δx Δx
Δx→ Δy Δy0時，平均變化率 無限趨近于一個確定的值，即 有極限，則稱 y= f x 在 x= x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫Δx Δx
Δy f x +Δx=
- f x
做 y f x 在 x= x0處的導(dǎo)數(shù) (也稱瞬時變化率)，記作 f (x0)或 y ，即 f (x ) =lim =lim 0 0 .x=x 00 Δx→0 Δx Δx→0 Δx
2.函數(shù) y= f(x)在點 x0處的導(dǎo)數(shù) f (x0)的幾何意義：
(1)切線：在曲線上任取一點P x,f x ，如果當點P x,f x 沿著曲線 y= f(x)無限趨近于點P0 x0,f x0 時，割線P0P無
限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T稱為曲線 y= f(x)在點P0處的切線.
(2)f (x0)的幾何意義：f (x0)是曲線 y= f(x)在P(x0,f(x0))處的切線P0T的斜率.
3.導(dǎo)函數(shù)：當 x= x0時，f (x0)是一個唯一確定的數(shù)，這樣當 x變化時，y= f (x)就是 x的函數(shù)，我們稱它為 y= f(x)的導(dǎo)函
數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù).有時記作 y .
§5.2導(dǎo)數(shù)的運算
1.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
①C = 0； ② (xα) = αxα-1； ③ (sinx) = cosx； ④ (cosx) = sinx；
⑤ (ax) = axlna； ⑥ (ex) = ex； ⑦ (log x) = 1 1a xlna； ⑧ (lnx) = x
2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則
(1) f x ± g x = f (x) ± g (x).
(2) f x g x = f (x)g x ± f x g (x).特別地： cf x = cf (x).
f x
f (x)g x( ) = - f x g
(x)
3 g x ≠ 0 .
g x g x 2
3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
由函數(shù) y= f(u),u= g(x)復(fù)合而成的的函數(shù) y= f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) y= f(u),u= g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 y x= y u u x，即 y
對 x的導(dǎo)數(shù)等于 y對u的導(dǎo)數(shù)與u對 x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
§5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
(1)在某個區(qū)間 a,b 上，如果 f (x)> 0，則函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 a,b 上為單調(diào)遞增；
在某個區(qū)間 a,b 上，如果 f (x< 0，則函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 a,b 上為單調(diào)遞減.
(2)設(shè)函數(shù) y= f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，
若 f(x)為增函數(shù)，則 f (x)≥ 0( f (x)在 a,b 上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零)；
若 f(x)為減函數(shù)，則 f (x)≤ 0( f (x)在 a,b 上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零).
30
2.函數(shù)的極值
函數(shù) y= f(x)在點 x= a的函數(shù)值 f a 比它在點 x= a附近其他點的函數(shù)值都小，f (a) = 0,而且在點 x= a附近的左側(cè) f
x < 0,右側(cè) f (x)> 0，我們把 a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù) y= f(x)的極小值；
函數(shù) y= f(x)在點 x= b的函數(shù)值 f b 比它在點 x= b附近其他點的函數(shù)值都大，f (b) = 0,而且在點 x= b附近的左側(cè) f
x > 0,右側(cè) f (x)< 0，我們把 b叫做函數(shù)的極大值點，f b 叫做函數(shù) y= f(x)的極大值.
極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.
3.最大值、最小值：
設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I，
如果存在實數(shù)M滿足：(1) x∈ I，都有 f(x)≤M；(2) x0∈ I,使得 f(x0) =M，
我們就稱M是函數(shù) y= f(x)的最大值.
如果存在實數(shù)N滿足：(1) x∈ I，都有 f(x)≥N；(2) x0∈ I,使得 f(x0) =N，
我們就稱N是函數(shù) y= f(x)的最小值.
31
第6章 計數(shù)原理
§6.1分類加法與分步乘法計數(shù)原理
1.分類加法計數(shù)原理：
完成一件事有兩類不同方案，在第 1類方案中有m種不同的方法，在第 2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事情共
有N=m+n種不同的方法.
2.分步乘法計數(shù)原理：
完成一件事有兩個步驟，做第 1步有m種不同的方法，做第 2步有n種不同的方法，那么完成這件事情共有N=m×n種不
同的方法.
§6.2排列與組合
1.排列定義：從n個不同的元素中任取m m≤n 個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個
元素的一個排列.
全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列.
2.排列數(shù)：從n個不同的元素中任取m m≤n 個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排
列數(shù)，記作Amn .
3.排列數(shù)公式：
(1)Amn=n n- 1 n- 2 n-m+ 1 ；
(2)Ann=n!，規(guī)定 0!= 1.
Amn= n! ；
n-m !
4.組合定義：從n個不同的元素中取出m m≤n 個元素作為一組，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合.
5.組合數(shù)：從n個不同的元素中取出m m≤n 個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組
合數(shù)，記作Cmn .
6.組合數(shù)公式：
m n n- 1 n- 2 n-m+ 1 n
(1)Cmn =
An m m
m 或Cn = m! 或Cn =
n!
；
Am m! n-m !
(2)Cmn =Cn-m 0n ，規(guī)定Cn= 1；
(3)Cm mn+1=Cn +Cm-1n .
§6.3二項式定理
1.二項式定理
(1)二項式定理：
a+ b n=C0nan+C1 n-1na b+C2an-2b2+ +Ckan-kbkn n + +Cn nnb n∈N+ .
右邊的多項式叫做 a+ b n的二項展開式.
(2)二項展開式的通項：第 k+ 1項：Tk+1=Ckan-kbkn 0≤ k≤n,k∈N ,k∈N+ .
(3)二項式系數(shù)：Ckn
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)：
(1)若令 a= 1,b= x,則有： 1+ x n=C0xn+C1xn 1n n +C2 n 2nx + +Cnx0n ，
若令 x= 1，則有 1+ 1 n= 2n=C0n+C1n+C2n+ +Cnn.
奇數(shù)項二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)的和.即C0n+C2n+ =C1n+C3n+ = 2n-1.
(2)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cmn =Cn mn ；
(3)增減性與最大值：
當 k< n+ 1 n+ 12 時，二項式系數(shù)C
k
n的值逐漸增大，當 k> 2 時,C
k
n的值逐漸減小；
32
n
當n為偶數(shù)時，中間的一項C 2n 取得最大值；
n-1 n+1
當n為奇數(shù)時，中間的兩項C 2 和=C 2n n 相等，且同時取最大值.
33
第7章 隨機變量及其分布
§7.1條件概率與全概率公式
P(AB)
1.條件概率：設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P A > 0，稱P B A = ( ) 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概P A
率，簡稱條件概率.
2.乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P A > 0，則P AB =P A P B A .
3.全概率公式：設(shè)A1,A2, An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=Ω，且P Ai > 0，i= 1,2, ,n，則對任意的事
n
件B Ω,有P B = P Ai P B Ai .
i=1
§7.2離散型隨機變量及其分布列
1.隨機變量：對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X ω 與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量，可能取值為
有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量.隨機變量常用大寫英文字母表示，例X,Y,Z.
2.概率分布列：
(1)定義：設(shè)離散型隨機變量X可能取的不同值為 x1,x2, ,xn，我們稱X取每一個值 xi的概率：P X= xi = pi，i= 1,2, ,
n，為X的概率分布列，簡稱分布列.常用表格表示：
X
P
(2)性質(zhì)：① pi≥ 0，i= 1,2,3 n；② p1+p2+ +pn= 1.
3.兩點分布：
若X的分布列如表所示
X 0 1
P 1- p p
我們稱X服從兩點分布或 0- 1分布.
§7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征
1.離散型隨機變量的均值
(1)定義：若離散型隨機變量X的分布列如表所示
X
P
n
則稱則稱E X = x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn= xipi為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望 (簡稱期望).它反映了離
i=1
散型隨機變量取值的平均水平.
(2)性質(zhì)：E aX+ b = aE X + b.
2.離散型隨機變量的方差
(1)定義：若離散型隨機變量X的分布列為
X
P
n
則稱D(X) = (xi-E(X))2pi為離散型隨機變量X的方差，也記為Var X ，并稱 D(X)為隨機變量 的標準差.記為
i=1
σ X .它反映了離散型隨機變量取值的離散程度.
34
D X 越小，取值越集中;D X 越大，取值越分散.
(2)性質(zhì)：D(aX+ b) = a2D(X).
§7.4二項分布與超幾何分布
1.二項分布
我們只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努
利試驗，n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為 p 0< p< 1 ，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則A的分布列
為
P(X= k) =Ck k n-knp (1- p) ，k= 0,1,2, n.
隨機變量X的具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X B n,p .
2.超幾何分布
在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件 (不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為
k n-k
P X=
C C
k = M N-Mn (k= 0,1,2, ,m),CN
其中m=min M ,n ，n,M ,N∈N *，n≤N，M≤N，m=max 0,n-N+M ，r=min n,M .
如果隨機變量X的分布列具有上式形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
§7.5正態(tài)分布
1.正態(tài)分布定義：
- x-μ
2
1 2
若連續(xù)性隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為 f x = e 2σ ，x∈R，μ∈R，σ> 0，
σ 2π
則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為記作X N (μ,σ2).它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.
當 μ= 0,σ= 1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.
2.正態(tài)曲線的特點：
曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x= μ對稱；
1
曲線在 x= μ處達到峰值 ；
σ 2π
當 x 無限增大時，曲線無限接近 x軸；
當 σ較小時，峰值高，正態(tài)曲線瘦高，表示隨機變量X的分布比較集中；
當 σ較大時，峰值低，正態(tài)曲線矮胖；表示隨機變量X的分布比較分散.
3.正態(tài)分布的期望、方差
若X N (μ,σ2)，則E(x) =u，D x = σ2.
4.3σ原則
若X N (μ,σ2),P μ- 3σ≤X≤ μ+ 3σ ≈ 0.9973，由此看到一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間 μ- 3σ,μ+ 3σ 內(nèi)，
在此區(qū)間外的概率大約只有 0.0027，通常認為服從正態(tài)分布的隨機變量X只取 μ- 3σ,μ+ 3σ 中的值，這在統(tǒng)計學中稱為
3σ原則.
35
第8章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
§8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性
1.相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
2.相關(guān)關(guān)系分類：
正相關(guān)：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關(guān)；
負相關(guān)：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減小的趨勢，就稱這兩個變量負相關(guān).
3.線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，就稱這兩個變量線性相關(guān).
4.樣本相關(guān)系數(shù) r：
n n
xi-x y-y i xiyi-nx y
(1)r= i=1 = i=1n n n n
xi-x 2 y 2i-y x2i-nx 2 y2i-ny 2
i=1 i=1 i=1 i=1
(2)樣本相關(guān)系數(shù) r的數(shù)字特征：
當 r> 0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；
當 r< 0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)；
當 r 越接近 1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；
當 r 越接近 0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用
1.一元線性回歸模型：
Y= bx+ a+ e E(e) = 0,D(e) = σ2.
Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a為截距參數(shù)，b為斜率參數(shù)，e是Y與 bx+ a之間的隨機誤差.

2. 經(jīng)驗回歸方程 y= bx+ a：
(1)相關(guān)概念：
經(jīng)驗回歸直線：經(jīng)驗回歸方程也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.

最小二乘估計：求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的 b,a叫做 b,a的最小二乘估計.

殘差：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的 y稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為
殘差.
n n xi-x yi-y xiyi-nx
y
b= i=1 = i=1
( n n2) xi-x
2 x2i-nx 2
i=1 i=1
a = y - bx
(3)決定系數(shù)R2：
n
- yi yi 2
R2= 1- i=1n
yi-yi 2
i=1
R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；
R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差；
§8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗
1.分類變量：現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題，為了表
述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量.
2. 2×2列聯(lián)表：
36
Y
X 合計
Y= 0 Y= 1
X= 0 a b a+ b
X= 1 c d c+ d
合計 a+ c b+ d n= a+ b+ c+ d
3.獨立性檢驗：
(1)零假設(shè) (原假設(shè))H0：P Y= 1 X= 0 =P Y= 1 X= 1 ，即分類變量X和Y獨立.
(2)χ2獨立性檢驗：
2= n(ad- bc)
2
① χ (a+ b) (c+ d) (a+ c) (b+ d)
②臨界值：對于小概率值 α，可以找到相應(yīng)的正實數(shù) xα，使下面關(guān)系成立：P(χ2≥ xα) = α，我們稱 xα為 α的臨界值.
常用小概率值和相應(yīng)的臨界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
③基于小概率值 α的檢驗規(guī)則：
當 χ2≥ xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過 α.
當 χ2< xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立.
這種利用 χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為 χ2獨立性檢驗，簡稱獨立性檢驗.
37

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