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(共63張PPT)
專題強化二十六
目標
要求
1.理解理想氣體狀態方程并會應用解題.2.掌握“玻璃管液封模型”和“汽缸活塞類模型”的處理方法.3.會處理“變質量氣體模型”問題.
氣體實驗定律的綜合應用
內容索引
題型一　玻璃管液封模型
題型二　汽缸活塞類模型
題型三　變質量氣體模型
課時精練
題型一
玻璃管液封模型
1.氣體實驗定律及理想氣體狀態方程
2.玻璃管液封模型
求液柱封閉的氣體壓強時，一般以液柱為研究對象分析受力、列平衡方程求解，要注意：
(1)液體因重力產生的壓強為p＝ρgh(其中h為液體的豎直高度)；
(2)不要漏掉大氣壓強，同時又要平衡掉某些氣體產生的壓力；
(3)有時注意應用連通器原理——連通器內靜止的液體，同一液體在同一水平面上各處壓強相等；
(4)當液體為水銀時，可靈活應用壓強單位“cmHg”，使計算過程簡捷.
例1　如圖所示，一粗細均勻、長度為L＝1.0 m、導熱性能良好的細玻璃管豎直放置，下端封閉，上端開口.長度為d＝0.50 m的水銀柱將長度為L0＝0.50 m的空氣柱(可視為理想氣體)封閉在玻璃管底部，大氣壓強p0＝75 cmHg，管內空氣的初始溫度為t0＝27 ℃，熱力學溫度
與攝氏溫度之間的關系為T＝(t＋273) K.
考向1　單獨氣體
(1)若緩慢升高管內氣體的溫度，當溫度為T1時，管內水銀恰好有一半溢出，求T1的大小；
答案　360 K
開始時封閉氣體的壓強為p1＝p0＋pd＝125 cmHg，溫度為T0＝(t0＋273) K＝300 K，
當溫度為T1時，管內水銀恰好有一半溢出，
(2)若保持管內空氣溫度不變，緩慢傾斜玻璃管，當玻璃管與水平面間的夾角為θ時，管內水銀恰好有一半溢出，求sin θ的值.
當玻璃管與水平面間的夾角為θ時，管內水銀恰好有一半溢出，
例2　(2023·河北石家莊市模擬)如圖所示，豎直放置、導熱性能良好的U形玻璃管截面均勻，左端開口，右端封閉，左右管內用長度分別為h1＝5 cm、h2＝10 cm的水銀柱封閉兩段氣體a、b.氣體a的長度La＝15 cm，氣體b的長度Lb＝20 cm，最初環境溫度T1＝300 K時，兩水銀柱下表面齊平.現緩
考向2　關聯氣體
慢升高環境溫度，直至兩段水銀柱的上表面齊平.已知大氣壓強為75 cmHg，右側水銀柱未進入U形玻璃管的水平部分，兩段氣體均可視為理想氣體.求：
(1)兩段水銀柱的下表面齊平時氣體b的壓強；
答案　70 cmHg
設大氣壓強為p0，
對氣體a則有pa＝p0＋ρgh1
對氣體b則有pb＝pa－ρgh2
聯立兩式代入數據得pb＝70 cmHg.
(2)兩段水銀柱的上表面齊平時環境的溫度T2.
答案　327.3 K
升溫過程中氣體b發生等壓變化，則溫度升高，體積增大，設右側水銀柱下降x，變化前后對比如圖，氣體a體積Va＝(La－x＋h2－h1－x)S
緩慢升高環境溫度過程中氣體a也發生等壓變化，
題型二
汽缸活塞類模型
1.解題的一般思路
(1)確定研究對象
研究對象分兩類：①熱學研究對象(一定質量的理想氣體)；②力學研究對象(汽缸、活塞或某系統).
(2)分析物理過程
①對熱學研究對象分析清楚初、末狀態及狀態變化過程，依據氣體實驗定律列出方程.
②對力學研究對象要正確地進行受力分析，依據力學規律列出方程.
(3)挖掘題目的隱含條件，如幾何關系等，列出輔助方程.
(4)多個方程聯立求解.注意檢驗求解結果的合理性.
2.兩個或多個汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關聯的問題，解答時應分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規律，并寫出相應的方程，還要寫出各部分氣體之間壓強或體積的關系式，最后聯立求解.
例3　如圖所示，內壁光滑的薄壁圓柱形導熱汽缸開口朝下，汽缸高度為h，橫截面積為S.汽缸開口處有一厚度可忽略不計的活塞.缸內封閉了壓強為2p0的理想氣體.已知此時外部環境的熱力學溫度為T0，大氣壓強為p0，
活塞的質量為　　，g為重力加速度.
考向1　單獨氣體
(1)若把汽缸放置到熱力學溫度比外部環境低 　T0的冷庫中，穩定時活塞位置不變，求穩定時封閉氣體的壓強；
由題意知封閉氣體做等容變化，初態時熱力學溫度為T0，壓強為2p0，
(2)若把汽缸緩緩倒置，使開口朝上，環境溫度不變，求穩定時活塞到汽缸底部的距離.
封閉氣體初態壓強為2p0，體積V0＝Sh，
汽缸倒置后，設氣體壓強為p2，活塞到汽缸底部的距離為H，
則氣體體積V2＝SH，
根據平衡條件可知p0S＋mg＝p2S，解得p2＝3p0
體積均為SL0，各接觸面光滑.連桿的截面積忽略不計.現將整個裝置緩慢旋轉至豎直方向，穩定后，上部氣體的體積為原來的 ，設整個過程溫度保持不變，求：
例4　(2022·河北卷·15(2))水平放置的氣體阻尼器模型截面如圖所示，汽缸中間有一固定隔板，將汽缸內一定質量的某種理想氣體分為兩部分，“H”型連桿活塞的剛性連桿從隔板中央圓孔穿過，連桿與隔板之間密封良好.設汽缸內、外壓強均為大氣壓強p0.活塞面積為S，隔板兩側氣體
考向2　關聯氣體
(1)此時上、下部分氣體的壓強；
旋轉過程，上部分氣體發生等溫變化，
解得旋轉后上部分氣體壓強為p1＝2p0
(2)“H”型連桿活塞的質量(重力加速度大小為g).
對“H”型連桿活塞整體受力分析，活塞的重力mg豎直向下，上部分氣體對活塞的作用力豎直向上，下部分氣體對活塞的作用力豎直向下，大氣壓力上下部分抵消，根據平衡條件可知
p1S＝mg＋p2S
題型三
變質量氣體模型
1.充氣問題
選擇原有氣體和即將充入的氣體整體作為研究對象，就可把充氣過程中氣體質量變化問題轉化為定質量氣體問題.
2.抽氣問題
選擇每次抽氣過程中抽出的氣體和剩余氣體整體作為研究對象，抽氣過程可以看成質量不變的等溫膨脹過程.
3.灌氣分裝
把大容器中的剩余氣體和多個小容器中的氣體整體作為研究對象，可將變質量問題轉化為定質量問題.
4.漏氣問題
選容器內剩余氣體和漏出氣體整體作為研究對象，便可使漏氣過程中氣體質量變化問題轉化為定質量氣體問題.
例5　(2021·山東卷·4)血壓儀由加壓氣囊、臂帶、壓強計等構成，如圖所示.加壓氣囊可將外界空氣充入臂帶，壓強計示數為臂帶內氣體的壓強高于大氣壓強的數值，充氣前臂帶內氣體壓強為大氣壓強，體積為V；每次擠壓氣囊都能將60 cm3的外界空氣充入臂帶中，經5次充氣后，臂帶內氣體體積變為5V，壓強計示數為150 mmHg.已知大氣壓強等于750 mmHg，氣體溫度不變.忽略細管和壓強計內的氣體體積.則V等于
A.30 cm3 B.40 cm3
C.50 cm3 D.60 cm3
考向1　充氣、抽氣問題
√
根據玻意耳定律可知p0V＋5p0V0＝p1×5V
已知p0＝750 mmHg，V0＝60 cm3，
p1＝750 mmHg＋150 mmHg＝900 mmHg，
代入數據整理得V＝60 cm3，故選D.
例6　(2023·河北唐山市高三檢測)2021年11月8日，神舟十三號的三名宇航員在相互配合下圓滿完成從空間站到太空的出艙任務，宇航員出艙時，要穿出艙航天服，從太空艙進入到氣閘艙，示意圖如圖所示，關閉太空艙艙門，將氣閘艙中氣體緩慢抽出，壓強逐漸減小到真空，再打開氣閘艙艙門，從氣閘艙進入到艙外活動.已知氣閘艙中氣體的初始壓強為105 Pa，
溫度300 K，氣閘艙體積約為1.4 m3.為了安全起見，第一階段先將氣閘艙的壓強降至7×104 Pa，給航天員一個適應過程.在第一階段降壓過程中，求：
(1)若氣閘艙的溫度保持不變，要抽出105 Pa壓強下多少m3的氣體；
答案　0.42 m3
設氣閘艙內原有氣體的體積為V1，壓強為p，艙內壓強降低后氣體壓強為p′，原有氣體在此壓強下體積為V2，
由玻意耳定律可得pV1＝p′V2，
設抽掉的氣體占原來氣體的比率為k，
設抽掉氣閘艙原有的氣體體積ΔV＝kV1，聯立解得ΔV＝0.42 m3.
(2)若氣閘艙溫度變為290 K，氣閘艙內存留氣體與原來氣體在105 Pa壓強下的體積比.(結果保留兩位有效數字)
答案　0.72
溫度與壓強降低后，原有氣體在此壓強下體積為V3，
聯立解得n≈0.72.
例7　某市醫療物資緊缺，需要從北方調用大批大鋼瓶氧氣(如圖)，每個鋼瓶內體積為40 L，在北方時測得大鋼瓶內氧氣壓強為1.2×107 Pa，溫度為7 ℃，長途運輸到該市醫院檢測時測得大鋼瓶內氧氣壓強為1.26× 107 Pa.在醫院實際使用過程中，先用小鋼瓶(加抽氣機)緩慢分裝，然后供
考向2　灌氣分裝
病人使用，小鋼瓶體積為10 L，分裝后每個小鋼瓶內氧氣壓強為4×105 Pa，要求大鋼瓶內壓強降到2× 105 Pa時就停止分裝.不計運輸過程中和分裝過程中氧氣的泄漏，求：
(1)在該市檢測時大鋼瓶所處環境溫度為多少攝氏度；
答案　21 ℃
解得T2＝294 K，故t2＝21 ℃
(2)一個大鋼瓶可分裝多少小鋼瓶供病人使用.
答案　124
設大鋼瓶內氧氣由狀態p2、V2等溫變化為停止分裝時的狀態p3、V3，
則p2＝1.26×107 Pa，V2＝0.04 m3，p3＝2×105 Pa
根據p2V2＝p3V3
得V3＝2.52 m3
可用于分裝小鋼瓶的氧氣p4＝2×105 Pa，
V4＝(2.52－0.04) m3＝2.48 m3
分裝成小鋼瓶的氧氣p5＝4×105 Pa，V5＝nV
其中小鋼瓶體積為V＝0.01 m3
根據p4V4＝p5V5得n＝124
即一大鋼瓶氧氣可分裝124小鋼瓶.
四
課時精練
1.(2021·河北卷·15(2))某雙層玻璃保溫杯夾層中有少量空氣，溫度為27 ℃時，壓強為3.0×103 Pa.
(1)當夾層中空氣的溫度升至37 ℃，求此時夾層中空氣的壓強；
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答案　3.1×103 Pa
代入數據解得p2＝3.1×103 Pa
(2)當保溫杯外層出現裂隙，靜置足夠長時間，求夾層中增加的空氣質量與原有空氣質量的比值，設環境溫度為27 ℃，大氣壓強為1.0×105 Pa.
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當保溫杯外層出現裂隙后，靜置足夠長時間，則夾層中空氣壓強和大氣壓強相等，設夾層體積為V，以靜置后的所有空氣為研究對象有p0V＝p1V1
2.(2020·全國卷Ⅲ·33(2))如圖，兩側粗細均勻、橫截面積相等、高度均為H＝18 cm的U形管，左管上端封閉，右管上端開口.右管中有高h0＝ 4 cm的水銀柱，水銀柱上表面離管口的距離l＝12 cm.管底水平段的體積可忽略.環境溫度為T1＝283 K.大氣壓強p0＝76 cmHg.
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(1)現從右側端口緩慢注入水銀(與原水銀柱之間無氣隙)，恰好使水銀柱下端到達右管底部.此時水銀柱的高度為多少？
答案　見解析
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設密封氣體初始體積為V1，壓強為p1，左、右管的橫截面積均為S，密封氣體先經等溫壓縮過程體積變為V2，壓強變為p2，由玻意耳定律有
p1V1＝p2V2 ①
設注入水銀后水銀柱高度為h，水銀的密度為ρ，
根據題設條件有p1＝p0＋ρgh0 ②
p2＝p0＋ρgh ③
V1＝(2H－l－h0)S ④
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V2＝HS ⑤
聯立①②③④⑤式并代入題給數據得
h≈12.9 cm ⑥
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(2)再將左管中密封氣體緩慢加熱，使水銀柱上表面恰與右管口平齊，此時密封氣體的溫度為多少？
答案　見解析
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密封氣體再經等壓膨脹過程體積變為V3，溫度變為T2，由蓋—呂薩克定律有 ⑦
根據題設條件有V3＝(2H－h)S ⑧
聯立⑤⑥⑦⑧式并代入題給數據得
T2≈363 K.
3.豎直放置的一粗細均勻的U形細玻璃管中，兩邊分別灌有水銀，水平部分有質量一定的空氣柱(可視為理想氣體)，各部分長度如圖所示，單位為cm.現將管的右端封閉，從左管口緩慢倒入水銀，恰好使水平部分
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右端的水銀全部進入右管中.已知大氣壓強p0＝75 cmHg，環境溫度不變，左管足夠長.求：
(1)此時右管封閉氣體的壓強；
答案　90 cmHg
設玻璃管的橫截面積為S，對右管中的氣體，初態：p1＝75 cmHg，V1＝30 cm·S
末態：V2＝(30 cm－5 cm)·S
由玻意耳定律有p1V1＝p2V2
解得p2＝90 cmHg
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(2)左管中需要倒入水銀柱的長度.
答案　27 cm
對水平管中的空氣柱，
初態：p＝p0＋15 cmHg＝90 cmHg，V＝11 cm·S
末態：p′＝p2＋20 cmHg＝110 cmHg
根據玻意耳定律有pV＝p′V′
解得V′＝9 cm·S，則水平管中的空氣柱長度變為9 cm，此時原來左側豎直管中15 cm水銀柱已有7 cm進入到水平管中，所以左側管中倒入水銀柱的長度為110 cm－75 cm－(15－7) cm＝27 cm.
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4.(2022·全國甲卷·33(2))如圖，容積均為V0、缸壁可導熱的A、B兩汽缸放置在壓強為p0、溫度為T0的環境中；兩汽缸的底部通過細管連通，A汽缸的頂部通過開口C與外界相通；汽缸內的兩活塞將缸內氣體分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第Ⅱ、Ⅲ部分的體積分別為　 　　　.環境壓強保持不變，不計活塞的質量和體積，忽略摩擦.
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(1)將環境溫度緩慢升高，求B汽缸中的活塞剛到達汽缸底部時的溫度；
因兩活塞的質量不計，
則當環境溫度升高時，Ⅳ內的氣體壓強總等于大氣壓強，
則該氣體進行等壓變化，
則當B中的活塞剛到達汽缸底部時，
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(2)將環境溫度緩慢改變至2T0，然后用氣泵從開口C向汽缸內緩慢注入氣體，求A汽缸中的活塞到達汽缸底部后，B汽缸內第Ⅳ部分氣體的壓強.
設當A中的活塞到達汽缸底部時Ⅲ中氣體的壓強為p，
則此時Ⅳ內的氣體壓強也等于p，
設此時Ⅳ內的氣體的體積為V，
則Ⅱ、Ⅲ兩部分氣體的體積為(V0－V)，
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5.(2023·山東菏澤市模擬)實驗室有帶閥門的儲氣罐A、B，它們的大小、形狀不同，導熱性能良好，裝有同種氣體，在溫度為27 ℃時的壓強均為p0.為了測量兩儲氣罐的容積比k＝　.現用A罐通過細導氣管(容積不計)對B罐充氣(如圖所示)，充氣時A罐在27 ℃的室溫中，把B罐放在－23 ℃的環境中.充氣完畢穩定后，關閉閥門，撤去導氣管，測得B罐中的氣體在
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溫度為27 ℃時的壓強達到1.1p0.已知充氣過程中A罐中的氣體溫度始終不變，且各處氣密性良好.求：
(1)充氣完畢時A中的氣體壓強；
答案　0.917p0
對充氣結束后的B中氣體從－23 ℃到27 ℃的過程，
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其中T1＝300 K、T2＝250 K，解得p≈0.917p0，
充氣完畢時A中的氣體壓強與充氣結束后在－23 ℃環境中的B中氣體壓強相同，故為0.917p0.
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(2)容積比k.
答案　1.2
6.(2022·山東卷·15)某些魚類通過調節體內魚鰾的體積實現浮沉.如圖所示，魚鰾結構可簡化為通過閥門相連的A、B兩個密閉氣室，A室壁厚、可認為體積恒定，B室壁薄，體積可變；兩室內氣體視為理想氣體，可通過閥門進行交換.質量為M的魚靜止在水面下H處.B室內氣體體積為V，質量為m；設B室內氣體壓強與魚體外壓強相等、魚體積的變化與B室氣體體積的變化相等，魚的質量不變，魚鰾內氣體溫度不變.水的密度為ρ，重力加速度為g.大氣壓強為p0，求：
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(1)魚通過增加B室體積獲得大小為a的加速度，需從A室充入B室的氣體質量Δm；
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由題知開始時魚靜止在水面下H處，設此時魚的體積為V0，有Mg＝ρgV0
且此時B室內氣體體積為V，質量為m，則
m＝ρ氣V
魚通過增加B室體積獲得大小為a的加速度，則有ρg(V0＋ΔV)－Mg＝Ma
聯立解得需從A室充入B室的氣體質量
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(2)魚靜止于水面下H1處時，B室內氣體質量m1.
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開始魚靜止在水面下H處時，B室內氣體體積為V，質量為m，且此時B室內的壓強為p1＝ρgH＋p0
魚靜止于水面下H1處時，有p2＝ρgH1＋p0
此時體積也為V；
設該部分氣體在壓強為p1時，體積為V2，
由于魚鰾內氣體溫度不變，根據玻意耳定律有p2V＝p1V2
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6專題強化二十六　氣體實驗定律的綜合應用
目標要求　1.理解理想氣體狀態方程并會應用解題.2.掌握“玻璃管液封模型”和“汽缸活塞類模型”的處理方法.3.會處理“變質量氣體模型”問題．
題型一　玻璃管液封模型
1．氣體實驗定律及理想氣體狀態方程
理想氣體狀態方程：＝C
＝
2．玻璃管液封模型
求液柱封閉的氣體壓強時，一般以液柱為研究對象分析受力、列平衡方程求解，要注意：
(1)液體因重力產生的壓強為p＝ρgh(其中h為液體的豎直高度)；
(2)不要漏掉大氣壓強，同時又要平衡掉某些氣體產生的壓力；
(3)有時注意應用連通器原理——連通器內靜止的液體，同一液體在同一水平面上各處壓強相等；
(4)當液體為水銀時，可靈活應用壓強單位“cmHg”，使計算過程簡捷．
考向1　單獨氣體
例1　如圖所示，一粗細均勻、長度為L＝1.0 m、導熱性能良好的細玻璃管豎直放置，下端封閉，上端開口．長度為d＝0.50 m的水銀柱將長度為L0＝0.50 m的空氣柱(可視為理想氣體)封閉在玻璃管底部，大氣壓強p0＝75 cmHg，管內空氣的初始溫度為t0＝27 ℃，熱力學溫度與攝氏溫度之間的關系為T＝(t＋273) K.
(1)若緩慢升高管內氣體的溫度，當溫度為T1時，管內水銀恰好有一半溢出，求T1的大小；
(2)若保持管內空氣溫度不變，緩慢傾斜玻璃管，當玻璃管與水平面間的夾角為θ時，管內水銀恰好有一半溢出，求sin θ的值．
答案　(1)360 K　(2)
解析　(1)開始時封閉氣體的壓強為p1＝p0＋pd＝125 cmHg，溫度為T0＝(t0＋273) K＝300 K，當溫度為T1時，管內水銀恰好有一半溢出， 封閉氣體的壓強為p2＝p0＋pd＝100 cmHg，根據理想氣體狀態方程可得＝，解得T1＝360 K.
(2)當玻璃管與水平面間的夾角為θ時，管內水銀恰好有一半溢出，此時封閉氣體的壓強為p3＝p0＋pdsin θ，根據玻意耳定律有p3(L－)S＝p1L0S，解得sin θ＝.
考向2　關聯氣體
例2　(2023·河北石家莊市模擬)如圖所示，豎直放置、導熱性能良好的U形玻璃管截面均勻，左端開口，右端封閉，左右管內用長度分別為h1＝5 cm、h2＝10 cm的水銀柱封閉兩段氣體a、b.氣體a的長度La＝15 cm，氣體b的長度Lb＝20 cm，最初環境溫度T1＝300 K時，兩水銀柱下表面齊平．現緩慢升高環境溫度，直至兩段水銀柱的上表面齊平．已知大氣壓強為75 cmHg，右側水銀柱未進入U形玻璃管的水平部分，兩段氣體均可視為理想氣體．求：
(1)兩段水銀柱的下表面齊平時氣體b的壓強；
(2)兩段水銀柱的上表面齊平時環境的溫度T2.
答案　(1)70 cmHg　(2)327.3 K
解析　(1)設大氣壓強為p0，
對氣體a則有pa＝p0＋ρgh1
對氣體b則有pb＝pa－ρgh2
聯立兩式代入數據得pb＝70 cmHg.
(2)升溫過程中氣體b發生等壓變化，則溫度升高，體積增大，設右側水銀柱下降x，變化前后對比如圖，氣體a體積Va＝(La－x＋h2－h1－x)S
對氣體b，由蓋－呂薩克定律＝得＝
緩慢升高環境溫度過程中氣體a也發生等壓變化，由蓋－呂薩克定律得＝
聯立解得T2＝ K≈327.3 K.
題型二　汽缸活塞類模型
1．解題的一般思路
(1)確定研究對象
研究對象分兩類：①熱學研究對象(一定質量的理想氣體)；②力學研究對象(汽缸、活塞或某系統)．
(2)分析物理過程
①對熱學研究對象分析清楚初、末狀態及狀態變化過程，依據氣體實驗定律列出方程．
②對力學研究對象要正確地進行受力分析，依據力學規律列出方程．
(3)挖掘題目的隱含條件，如幾何關系等，列出輔助方程．
(4)多個方程聯立求解．注意檢驗求解結果的合理性．
2．兩個或多個汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關聯的問題，解答時應分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規律，并寫出相應的方程，還要寫出各部分氣體之間壓強或體積的關系式，最后聯立求解．
考向1　單獨氣體
例3　如圖所示，內壁光滑的薄壁圓柱形導熱汽缸開口朝下，汽缸高度為h，橫截面積為S.汽缸開口處有一厚度可忽略不計的活塞．缸內封閉了壓強為2p0的理想氣體．已知此時外部環境的熱力學溫度為T0，大氣壓強為p0，活塞的質量為，g為重力加速度．
(1)若把汽缸放置到熱力學溫度比外部環境低T0的冷庫中，穩定時活塞位置不變，求穩定時封閉氣體的壓強；
(2)若把汽缸緩緩倒置，使開口朝上，環境溫度不變，求穩定時活塞到汽缸底部的距離．
答案　(1)p0　(2)h
解析　(1)由題意知封閉氣體做等容變化，初態時熱力學溫度為T0，壓強為2p0，
末態時熱力學溫度為T1＝T0，壓強設為p1.
根據查理定律有＝，解得p1＝p0
(2)封閉氣體初態壓強為2p0，體積V0＝Sh，
汽缸倒置后，設氣體壓強為p2，活塞到汽缸底部的距離為H，
則氣體體積V2＝SH，根據平衡條件可知p0S＋mg＝p2S，解得p2＝3p0
根據玻意耳定律有2p0V0＝p2V2，解得H＝h
所以穩定時活塞到汽缸底部的距離為h.
考向2　關聯氣體
例4　(2022·河北卷·15(2))水平放置的氣體阻尼器模型截面如圖所示，汽缸中間有一固定隔板，將汽缸內一定質量的某種理想氣體分為兩部分，“H”型連桿活塞的剛性連桿從隔板中央圓孔穿過，連桿與隔板之間密封良好．設汽缸內、外壓強均為大氣壓強p0.活塞面積為S，隔板兩側氣體體積均為SL0，各接觸面光滑．連桿的截面積忽略不計．現將整個裝置緩慢旋轉至豎直方向，穩定后，上部氣體的體積為原來的，設整個過程溫度保持不變，求：
(1)此時上、下部分氣體的壓強；
(2)“H”型連桿活塞的質量(重力加速度大小為g)．
答案　(1)2p0　p0　(2)
解析　(1)旋轉過程，上部分氣體發生等溫變化，根據玻意耳定律可知p0·SL0＝p1·SL0
解得旋轉后上部分氣體壓強為p1＝2p0
旋轉過程，下部分氣體發生等溫變化，下部分氣體體積增大為SL0＋SL0＝SL0，則
p0·SL0＝p2·SL0
解得旋轉后下部分氣體壓強為p2＝p0
(2)對“H”型連桿活塞整體受力分析，活塞的重力mg豎直向下，上部分氣體對活塞的作用力豎直向上，下部分氣體對活塞的作用力豎直向下，大氣壓力上下部分抵消，根據平衡條件可知
p1S＝mg＋p2S
解得活塞的質量為m＝.
題型三　變質量氣體模型
1．充氣問題
選擇原有氣體和即將充入的氣體整體作為研究對象，就可把充氣過程中氣體質量變化問題轉化為定質量氣體問題．
2．抽氣問題
選擇每次抽氣過程中抽出的氣體和剩余氣體整體作為研究對象，抽氣過程可以看成質量不變的等溫膨脹過程．
3．灌氣分裝
把大容器中的剩余氣體和多個小容器中的氣體整體作為研究對象，可將變質量問題轉化為定質量問題．
4．漏氣問題
選容器內剩余氣體和漏出氣體整體作為研究對象，便可使漏氣過程中氣體質量變化問題轉化為定質量氣體問題．
考向1　充氣、抽氣問題
例5　(2021·山東卷·4)血壓儀由加壓氣囊、臂帶、壓強計等構成，如圖所示．加壓氣囊可將外界空氣充入臂帶，壓強計示數為臂帶內氣體的壓強高于大氣壓強的數值，充氣前臂帶內氣體壓強為大氣壓強，體積為V；每次擠壓氣囊都能將60 cm3的外界空氣充入臂帶中，經5次充氣后，臂帶內氣體體積變為5V，壓強計示數為150 mmHg.已知大氣壓強等于750 mmHg，氣體溫度不變．忽略細管和壓強計內的氣體體積．則V等于(　　)
A．30 cm3 B．40 cm3 C．50 cm3 D．60 cm3
答案　D
解析　根據玻意耳定律可知p0V＋5p0V0＝p1×5V
已知p0＝750 mmHg，V0＝60 cm3，
p1＝750 mmHg＋150 mmHg＝900 mmHg，
代入數據整理得V＝60 cm3，故選D.
例6　(2023·河北唐山市高三檢測)2021年11月8日，神舟十三號的三名宇航員在相互配合下圓滿完成從空間站到太空的出艙任務，宇航員出艙時，要穿出艙航天服，從太空艙進入到氣閘艙，示意圖如圖所示，關閉太空艙艙門，將氣閘艙中氣體緩慢抽出，壓強逐漸減小到真空，再打開氣閘艙艙門，從氣閘艙進入到艙外活動．已知氣閘艙中氣體的初始壓強為105 Pa，溫度300 K，氣閘艙體積約為1.4 m3.為了安全起見，第一階段先將氣閘艙的壓強降至7×104 Pa，給航天員一個適應過程．在第一階段降壓過程中，求：
(1)若氣閘艙的溫度保持不變，要抽出105 Pa壓強下多少m3的氣體；
(2)若氣閘艙溫度變為290 K，氣閘艙內存留氣體與原來氣體在105 Pa壓強下的體積比．(結果保留兩位有效數字)
答案　(1)0.42 m3　(2)0.72
解析　(1)設氣閘艙內原有氣體的體積為V1，壓強為p，艙內壓強降低后氣體壓強為p′，原有氣體在此壓強下體積為V2，由玻意耳定律可得pV1＝p′V2，設抽掉的氣體占原來氣體的比率為k，由數學關系可得k＝，設抽掉氣閘艙原有的氣體體積ΔV＝kV1，聯立解得ΔV＝0.42 m3.
(2)溫度與壓強降低后，原有氣體在此壓強下體積為V3，由理想氣體狀態方程可得＝，設氣閘艙內存留氣體與原氣體的體積比為n，n＝，聯立解得n≈0.72.
考向2　灌氣分裝
例7　某市醫療物資緊缺，需要從北方調用大批大鋼瓶氧氣(如圖)，每個鋼瓶內體積為40 L，在北方時測得大鋼瓶內氧氣壓強為1.2×107 Pa，溫度為7 ℃，長途運輸到該市醫院檢測時測得大鋼瓶內氧氣壓強為1.26×107 Pa.在醫院實際使用過程中，先用小鋼瓶(加抽氣機)緩慢分裝，然后供病人使用，小鋼瓶體積為10 L，分裝后每個小鋼瓶內氧氣壓強為4×105 Pa，要求大鋼瓶內壓強降到2×105 Pa時就停止分裝．不計運輸過程中和分裝過程中氧氣的泄漏，求：
(1)在該市檢測時大鋼瓶所處環境溫度為多少攝氏度；
(2)一個大鋼瓶可分裝多少小鋼瓶供病人使用．
答案　(1)21 ℃　(2)124
解析　(1)大鋼瓶的容積一定，從北方到該市對大鋼瓶內氣體，有＝
解得T2＝294 K，故t2＝21 ℃
(2)設大鋼瓶內氧氣由狀態p2、V2等溫變化為停止分裝時的狀態p3、V3，
則p2＝1.26×107 Pa，V2＝0.04 m3，p3＝2×105 Pa
根據p2V2＝p3V3
得V3＝2.52 m3
可用于分裝小鋼瓶的氧氣p4＝2×105 Pa，
V4＝(2.52－0.04) m3＝2.48 m3
分裝成小鋼瓶的氧氣p5＝4×105 Pa，V5＝nV
其中小鋼瓶體積為V＝0.01 m3
根據p4V4＝p5V5得n＝124
即一大鋼瓶氧氣可分裝124小鋼瓶．
課時精練
1．(2021·河北卷·15(2))某雙層玻璃保溫杯夾層中有少量空氣，溫度為27 ℃時，壓強為3.0×103 Pa.
(1)當夾層中空氣的溫度升至37 ℃，求此時夾層中空氣的壓強；
(2)當保溫杯外層出現裂隙，靜置足夠長時間，求夾層中增加的空氣質量與原有空氣質量的比值，設環境溫度為27 ℃，大氣壓強為1.0×105 Pa.
答案　(1)3.1×103 Pa　(2)
解析　(1)由題意可知夾層中的空氣發生等容變化，根據查理定律可得＝
代入數據解得p2＝3.1×103 Pa
(2)當保溫杯外層出現裂隙后，靜置足夠長時間，則夾層中空氣壓強和大氣壓強相等，設夾層體積為V，以靜置后的所有空氣為研究對象有p0V＝p1V1
解得V1＝V
則夾層中增加空氣的體積為ΔV＝V1－V＝V
所以夾層中增加的空氣質量與原有空氣質量之比為＝＝.
2．(2020·全國卷Ⅲ·33(2))如圖，兩側粗細均勻、橫截面積相等、高度均為H＝18 cm的U形管，左管上端封閉，右管上端開口．右管中有高h0＝ 4 cm的水銀柱，水銀柱上表面離管口的距離l＝12 cm.管底水平段的體積可忽略．環境溫度為T1＝283 K．大氣壓強p0＝76 cmHg.
(1)現從右側端口緩慢注入水銀(與原水銀柱之間無氣隙)，恰好使水銀柱下端到達右管底部．此時水銀柱的高度為多少？
(2)再將左管中密封氣體緩慢加熱，使水銀柱上表面恰與右管口平齊，此時密封氣體的溫度為多少？
答案　見解析
解析　(1)設密封氣體初始體積為V1，壓強為p1，左、右管的橫截面積均為S，密封氣體先經等溫壓縮過程體積變為V2，壓強變為p2，由玻意耳定律有
p1V1＝p2V2①
設注入水銀后水銀柱高度為h，水銀的密度為ρ，根據題設條件有p1＝p0＋ρgh0②
p2＝p0＋ρgh③
V1＝(2H－l－h0)S④
V2＝HS⑤
聯立①②③④⑤式并代入題給數據得
h≈12.9 cm⑥
(2)密封氣體再經等壓膨脹過程體積變為V3，溫度變為T2，由蓋—呂薩克定律有＝⑦
根據題設條件有V3＝(2H－h)S⑧
聯立⑤⑥⑦⑧式并代入題給數據得
T2≈363 K.
3.豎直放置的一粗細均勻的U形細玻璃管中，兩邊分別灌有水銀，水平部分有質量一定的空氣柱(可視為理想氣體)，各部分長度如圖所示，單位為cm.現將管的右端封閉，從左管口緩慢倒入水銀，恰好使水平部分右端的水銀全部進入右管中．已知大氣壓強p0＝75 cmHg，環境溫度不變，左管足夠長．求：
(1)此時右管封閉氣體的壓強；
(2)左管中需要倒入水銀柱的長度．
答案　(1)90 cmHg　(2)27 cm
解析　(1)設玻璃管的橫截面積為S，對右管中的氣體，初態：p1＝75 cmHg，V1＝30 cm·S
末態：V2＝(30 cm－5 cm)·S
由玻意耳定律有p1V1＝p2V2
解得p2＝90 cmHg
(2)對水平管中的空氣柱，
初態：p＝p0＋15 cmHg＝90 cmHg，V＝11 cm·S
末態：p′＝p2＋20 cmHg＝110 cmHg
根據玻意耳定律有pV＝p′V′
解得V′＝9 cm·S，則水平管中的空氣柱長度變為9 cm，此時原來左側豎直管中15 cm水銀柱已有7 cm進入到水平管中，所以左側管中倒入水銀柱的長度為110 cm－75 cm－(15－7) cm＝27 cm.
4.(2022·全國甲卷·33(2))如圖，容積均為V0、缸壁可導熱的A、B兩汽缸放置在壓強為p0、溫度為T0的環境中；兩汽缸的底部通過細管連通，A汽缸的頂部通過開口C與外界相通；汽缸內的兩活塞將缸內氣體分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第Ⅱ、Ⅲ部分的體積分別為V0和V0.環境壓強保持不變，不計活塞的質量和體積，忽略摩擦．
(1)將環境溫度緩慢升高，求B汽缸中的活塞剛到達汽缸底部時的溫度；
(2)將環境溫度緩慢改變至2T0，然后用氣泵從開口C向汽缸內緩慢注入氣體，求A汽缸中的活塞到達汽缸底部后，B汽缸內第Ⅳ部分氣體的壓強．
答案　(1)T0　(2)p0
解析　(1)因兩活塞的質量不計，則當環境溫度升高時，Ⅳ內的氣體壓強總等于大氣壓強，則該氣體進行等壓變化，則當B中的活塞剛到達汽缸底部時，對Ⅳ中氣體由蓋—呂薩克定律可得＝，解得T＝T0
(2)設當A中的活塞到達汽缸底部時Ⅲ中氣體的壓強為p，則此時Ⅳ內的氣體壓強也等于p，設此時Ⅳ內的氣體的體積為V，則Ⅱ、Ⅲ兩部分氣體的體積為(V0－V)，則對Ⅳ中氣體有＝，對Ⅱ、Ⅲ兩部分氣體有＝
聯立解得p＝p0.
5.(2023·山東菏澤市模擬)實驗室有帶閥門的儲氣罐A、B，它們的大小、形狀不同，導熱性能良好，裝有同種氣體，在溫度為27 ℃時的壓強均為p0.為了測量兩儲氣罐的容積比k＝.現用A罐通過細導氣管(容積不計)對B罐充氣(如圖所示)，充氣時A罐在27 ℃的室溫中，把B罐放在－23 ℃的環境中．充氣完畢穩定后，關閉閥門，撤去導氣管，測得B罐中的氣體在溫度為27 ℃時的壓強達到1.1p0.已知充氣過程中A罐中的氣體溫度始終不變，且各處氣密性良好．求：
(1)充氣完畢時A中的氣體壓強；
(2)容積比k.
答案　(1)0.917p0　(2)1.2
解析　(1)對充氣結束后的B中氣體從－23 ℃到27 ℃的過程，有＝，其中T1＝300 K、T2＝250 K，解得p≈0.917p0，充氣完畢時A中的氣體壓強與充氣結束后在－23 ℃環境中的B中氣體壓強相同，故為0.917p0.
(2)對A、B組成的整體，由p0VA＋p0VB＝pVA＋1.1p0VB，解得k＝≈1.2.
6.(2022·山東卷·15)某些魚類通過調節體內魚鰾的體積實現浮沉．如圖所示，魚鰾結構可簡化為通過閥門相連的A、B兩個密閉氣室，A室壁厚、可認為體積恒定，B室壁薄，體積可變；兩室內氣體視為理想氣體，可通過閥門進行交換．質量為M的魚靜止在水面下H處．B室內氣體體積為V，質量為m；設B室內氣體壓強與魚體外壓強相等、魚體積的變化與B室氣體體積的變化相等，魚的質量不變，魚鰾內氣體溫度不變．水的密度為ρ，重力加速度為g.大氣壓強為p0，求：
(1)魚通過增加B室體積獲得大小為a的加速度，需從A室充入B室的氣體質量Δm；
(2)魚靜止于水面下H1處時，B室內氣體質量m1.
答案　(1)　(2)m
解析　(1)由題知開始時魚靜止在水面下H處，設此時魚的體積為V0，有Mg＝ρgV0
且此時B室內氣體體積為V，質量為m，則
m＝ρ氣V
魚通過增加B室體積獲得大小為a的加速度，則有ρg(V0＋ΔV)－Mg＝Ma
聯立解得需從A室充入B室的氣體質量
Δm＝ρ氣ΔV＝
(2)開始魚靜止在水面下H處時，B室內氣體體積為V，質量為m，且此時B室內的壓強為
p1＝ρgH＋p0
魚靜止于水面下H1處時，有p2＝ρgH1＋p0
此時體積也為V；設該部分氣體在壓強為p1時，體積為V2，
由于魚鰾內氣體溫度不變，根據玻意耳定律有
p2V＝p1V2
解得V2＝V
則此時B室內氣體質量m1＝ρ氣V2＝m.

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