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微專題 新舊教材對比新增內容（答案）
例1.
答案.C
例2.將12個數據按從小到大排序：
13，13.5，13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.
由i＝12×25%＝3，得所給數據的第25百分位數是第3個數據與第4個數據的平均數即＝13.7；
由i＝12×50%＝6，得所給數據的第50百分位數是第6個數據與第7個數據的平均數，即＝14.7；
由i＝12×75%＝9，得所給數據的第75百分位數是第9個數據和第10個數據的平均數，即＝15.3.。
例3.答案.ABD。
例4.答案.由高中三個年級學生的總樣本平均數為4.1，
可得＝4.1，解得2＝4.
因為總樣本方差為3.14，
所以×[3.5＋(5－4.1)2]＋×[2＋(4－4.1)2]＋×[s＋(3－4.1)2]＝3.14，
解得s＝1.5.
例5.證明：（1）連接DB交AC于點O，連接PO．
因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點．
因為PB＝PD，所以PO⊥BD．
又因為AC，平面APC，且，
所以BD⊥平面APC．
又平面ABCD，所以，平面APC⊥平面ABCD．
解：（2）取AB中點M，連接DM交AC于點H，連接PH．
因為，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．
又因為PD⊥AB，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．
由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．
由ABCD是邊長為2的菱形，在△ABC中，，．
由AP⊥PC，在△APC中，
，所以．
（法一）以O為坐標原點，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，．
設平面PAB的法向量為，
所以，
令得．
設平面PBC的法向量為，
所以，
令得．
設平面PAB與平面PBC的夾角為．
所以，．
所以，平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為．
（法二）因為，，
所以，，所以PB⊥BC．
取PB中點N，過點N作NQ∥BC且交PC于點Q，連接AN，AQ．
因為△APB是等邊三角形，所以AN⊥PB．
又因為NQ∥BC，所以NQ⊥PB，所以∠ANQ為二面角C-PB-A的平面角．
在△APB中，．
在△BPC中，．
在△APC中，．
所以，，
所以，平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為．
例6.
例7.解：（1）由散點圖可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷兩個變量線性相關.
因為,所以 ,
所以 ,
所以這兩個變量正線性相關，且相關程度很強.
（2）(i)
，
要使取得最小值，當且僅當.
(ii) 由(i)知 ，
所以y關于x的經驗回歸方程，又，
所以當 時，則，
所以預測2024年移動物聯網連接數23.04億戶.
例8.答案.對A，由表可知y隨x增大而減少，可認為變量x，y線性負相關，且由相關系數|r|＝0.986可知相關性強，故A正確．
對B，價格平均＝＝10，銷售量＝＝8.
故回歸直線恒過定點，故8＝－3.2×10＋ ＝40，故B正確．
對C，當x＝8.5時，＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C正確．
對D，相應于點的殘差＝6－＝－0.4，故D錯誤．故選ABC．
例9.微專題 新舊教材對比新增內容
1.投影向量
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e與b是方向相同的單位向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|a|cos θ e.
提醒：設a，b是非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cos θ＝.
例1.
2．總體百分位數的估計
(1) 百分位數的定義
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟
第1步，按從小到大排列原始數據；
第2步，計算i＝n×p%；
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
(3)四分位數
①25%,50%,75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數．
②第25百分位數又稱第一四分位數或下四分位數；第75百分位數又稱第三四分位數或上四分位數．
提醒：一組數據的某些百分位數可能是同一個數．
例2．某車間12名工人一天生產某產品(單位：kg)的數量分別為13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4，則所給數據的第25,50,75百分位數分別是________．
例3.某校隨機抽取了100名學生測量體重，經統計，這些學生的體重數據（單位：kg）全部介于45至70之間，將數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（ ）
A. 頻率分布直方圖中a的值為0.07
B. 這100名學生中體重低于60kg的人數為60
C. 據此可以估計該校學生體重的第78百分位數約為62
D. 據此可以估計該校學生體重的平均數約為62.5
3.分層隨機抽樣的均值與方差
分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數為，樣本方差為s2.
以分兩層抽樣的情況為例，假設第一層有m個數，分別為x1，x2，…，xm，平均數為，方差為s；第二層有n個數，分別為y1，y2，…，yn，平均數為，方差為s，則＝xi，s＝(xi－)2，＝yi，s＝(yi－)2.
則①＝＋；
②s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
例4.為了解學生的課外閱讀情況，某校采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣對高中三個年級的學生進行平均每周課外閱讀時間(單位：小時)的調查，所得樣本數據如下：
年級 抽樣人數 樣本平均數 樣本方差
高一 40 5 3.5
高二 30 2 2
高三 30 3 s
已知高中三個年級學生的總樣本平均數為4.1，總樣本方差為3.14，則高二年級學生的樣本平均數2＝________，高三年級學生的樣本方差s＝________.
4.平面與平面的夾角
平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
例5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，且，底面ABCD是邊長為2的菱形，．
（1）證明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值．
4.條件概率
(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率．
提醒： P(B|A)與P(A|B)的意義不同，“|”后面的表示條件，一般情況下，二者不相等．
(2)性質：設P(B|A)>0，則
①P(Ω|A)＝1；
②任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1；
③如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
④設和B互為對立事件，則P(|A)＝1－P(B|A)．
5．概率的乘法公式
由條件概率的定義知，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)，我們稱該式為概率的乘法公式．
6．全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝P (Ai)P(B|Ai)，
我們稱上面的公式為全概率公式．
例6.為了拓展學生的知識面，提高學生對航空航天科技的興趣，培養學生良好的科學素養，某校組織學生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結果互不影響.
（1）求甲前3次答題得分之和為40分概率；
（2）記甲第i次答題所得分數的數學期望為.
①寫出與滿足的等量關系式（直接寫出結果，不必證明）：
②若，求i最小值.
*7．貝葉斯公式
(1)一般地，當0＜P(A)＜1且P(B)＞0時，有
P(A|B)＝
＝.
(2)定理2　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：
①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
則對Ω中的任意概率非零的事件B，B Ω，且P(B)＞0，有
P(Aj|B)＝＝.
提醒：貝葉斯公式充分體現了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之間的轉化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之間的內在聯系．
8．相關關系的刻畫
(1)散點圖：把每對成對樣本數據都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統計圖，叫做散點圖．
(2)樣本相關系數r的計算式
r＝＝.
(3)樣本相關系數r的性質
①樣本相關系數r的取值范圍為[－1,1]；
②若r>0時，成對樣本數據正相關；
③若r<0時，成對樣本數據負相關；
④樣本相關系數與相關程度
當|r|越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；
當|r|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．
提醒：當兩個變量的相關系數|r|＝1時，兩個變量呈函數關系．
9．一元線性回歸模型與最小二乘法
(1)一元線性回歸模型
稱為Y關于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數，b稱為斜率參數；e是Y與bx＋a之間的隨機誤差，如果e＝0，那么Y與x之間的關系就可以用一元線性函數模型來描述．
(2)最小二乘法
將＝x＋稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線，這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計，其中
＝＝ （有時公式未必給），＝－ .
提醒：經驗回歸方程一定過點(，)．
例7.移動物聯網廣泛應用于生產制造、公共服務、個人消費等領域．截至2022年底，我國移動物聯網連接數達18.45億戶，成為全球主要經濟體中首個實現“物超人”的國家．右圖是2018-2022年移動物聯網連接數W與年份代碼t的散點圖，其中年份2018-2022對應的t分別為1~5．
（1）根據散點圖推斷兩個變量是否線性相關．計算樣本相關系數（精確到0.01），并推斷它們的相關程度；
（2）(i)假設變量x與變量Y的n對觀測數據為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個變量滿足一元線性回歸模型 （隨機誤差）．請推導：當隨機誤差平方和Q＝取得最小值時，參數b的最小二乘估計．
(ii)令變量，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型利用(i)中結論求y關于x的經驗回歸方程，并預測2024年移動物聯網連接數．
附：樣本相關系數，，，，
10．刻畫回歸效果的方式
(1)殘差圖法
作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在以橫軸為對稱軸的水平的帶狀區域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高．
(2)殘差平方和法
殘差平方和為(yi－i)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好．
(3)利用R2刻畫擬合效果
R2＝1－，R2越大，模型的擬合效果越好，R2越小，模型的擬合效果越差．
例8.(多選)2021年3月15日，某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其價格進行調查，5家商場的售價x(元)和銷售量y(件)之間的一組數據如表所示：
價格x 9 9.5 10 10.5 11
銷售量y 11 10 8 6 5
按公式計算，y與x的經驗回歸方程是：＝－3.2x＋，相關系數|r|＝0.986，則下列說法正確的有(　　)
A．變量x，y線性負相關且相關性較強
B．＝40
C．當x＝8.5時，y的估計值為12.8
D．相應于點的殘差約為0.4
例9.互花米草是禾本科草本植物，其根系發達，具有極高的繁殖系數，對近海生態具有較大的危害.為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具體部署.某研究小組為了解甲、乙兩鎮的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本.已知甲鎮的樣本容量m＝12，樣本平均數＝18，樣本方差＝19;乙鎮的樣本容量n＝18，樣本平均數y＝36，樣本方差＝70.
（1）求由兩鎮樣本組成的總樣本的平均數及其方差S2;
（2）為營造“廣泛發動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮決定進行一次“互花米草除治大練兵“比賽，兩鎮各派一支代表隊參加，經抽簽確定第一場在甲鎮舉行.比賽規則:
每場比賽直至分出勝負為止，勝方得1分，負方得0分，下一場在負方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結束.
當比賽在甲鎮舉行時，甲鎮代表隊獲勝的概率為，當比賽在乙鎮舉行時，甲鎮代表隊獲勝的概率為假設每場比賽結果相互獨立.甲鎮代表隊的最終得分記為X，求E（X）.
參考數據:12×182＝3888，18×362＝23328，28.82＝829.44，12×10.82＝1399.68，18×7.22＝933.12.

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