資源簡(jiǎn)介

高 中 數(shù) 學(xué) 2 0 2 3 年 高 考
考前必知必會(huì) 100 條
高考臨近，除保持與平時(shí)大體一致的節(jié)奏外，適當(dāng)梳理一下知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)一下解題時(shí)的一些注
意事項(xiàng)，特別是對(duì)一些細(xì)節(jié)問(wèn)題加以關(guān)注，這可能使你的數(shù)學(xué)輕松多得 10—20 分．這絕對(duì)不是夸張，
因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)的遺漏、細(xì)節(jié)上的疏忽，在考試中都可能造成致命的錯(cuò)誤.下面這 100 條，絕大部分你是
知道甚至熟悉的，但大部分同學(xué)都會(huì)存在或多或少的缺失，一旦這種缺失在高考試卷中出現(xiàn)，除相
關(guān)題目無(wú)法得分外，還可能因心理上的壓力造成更大的損失！
耐心看到底，切莫因大部分已經(jīng)掌握而半途終止．因?yàn)榭荚噷?duì)知識(shí)的要求是：熟能生巧！不會(huì)
的現(xiàn)在學(xué)會(huì)不晚（考試前一天晚上看也有效果），已經(jīng)會(huì)的要熟練！考試時(shí)為什么速度慢做不完？為
什么會(huì)解的題做錯(cuò)了？為什么計(jì)算老出錯(cuò)？其中一個(gè)重要原因就是熟練程度不夠！當(dāng)然還有一些細(xì)
節(jié)上的問(wèn)題要解決，這種同學(xué)請(qǐng)仔細(xì)閱讀本文．
一、解題時(shí)應(yīng)隨時(shí)關(guān)注的通性問(wèn)題
****解題出錯(cuò)有規(guī)律，時(shí)刻注意下面的通性問(wèn)題，可有效避免錯(cuò)誤****
(1)在等式兩邊（或分式的分子和分母）同除以一個(gè)數(shù)時(shí)，要考慮：這個(gè)數(shù)可能為 0 嗎？
(2)在不等式的兩邊同乘以或同除以一個(gè)數(shù)時(shí)，要考慮：這個(gè)數(shù)是正的還是負(fù)的？
(3)在對(duì)等式或不等式兩邊同時(shí)開方時(shí)，要考慮：兩邊的數(shù)是正的還是負(fù)的？開方結(jié)果是正的還
是負(fù)的？
(4)在使用公式時(shí)，要考慮：公式適用于什么情況？有無(wú)附加條件？
(5)在使用定義或定理時(shí)，要考慮：是否具備了定義或定理的所有條件？哪些細(xì)節(jié)容易忽略？
(6)對(duì)計(jì)算得出的數(shù)據(jù)，要考慮：數(shù)據(jù)是否在合理的范圍之內(nèi)（如是否求出了負(fù)數(shù)的面積或距離，
求出的人數(shù)是否為小數(shù)或負(fù)數(shù)）？數(shù)據(jù)之間是否有矛盾？
(7)當(dāng)計(jì)算越來(lái)越繁瑣時(shí)，應(yīng)考慮：前面的計(jì)算是否有錯(cuò)誤？特別是在考試中，一般不會(huì)出現(xiàn)過(guò)
于復(fù)雜的計(jì)算，若越算越繁瑣，很可能是計(jì)算有誤或方法不當(dāng)（壓軸題除外）．
(8)在解方程時(shí)，要注意：分式方程（分母中有未知數(shù)）、無(wú)理方程（根號(hào)內(nèi)有未知數(shù)）、對(duì)數(shù)方
程（對(duì)數(shù)的底數(shù)或真數(shù)中有未知數(shù)）的解可能有增根，必須檢驗(yàn)．
注：涉及方程兩邊同時(shí)平方、同乘一個(gè)式子、去掉對(duì)數(shù)符號(hào)等變形都可能引起增根．如 x =1平
方后變成 x2 =1，產(chǎn)生增根 x = 1(增根不是根，應(yīng)舍掉).而方程兩邊同時(shí)開方、同除以一個(gè)式子等
變形可能引起失根．
1
二、需要關(guān)注的解題細(xì)節(jié)
***細(xì)節(jié)決定成敗，以下這些細(xì)節(jié)問(wèn)題你都掌握了嗎？***
(9)在涉及子集的問(wèn)題中，要注意：有無(wú)可能是空集？
(10)在求集合的交集、并集、補(bǔ)集時(shí)，要注意：區(qū)間是否包含端點(diǎn)？在求參數(shù)范圍的問(wèn)題中也
要注意同樣問(wèn)題．（在選擇題和填空題中，最終結(jié)果如果弄錯(cuò)區(qū)間端點(diǎn)，將得 0 分！）
(11)在涉及 ax2 + bx + c （函數(shù)、方程、不等式）的問(wèn)題中，要注意：條件中有沒有直接或間接
指出 a ≠ 0？在 a ≠ 0時(shí)，有無(wú)必要討論 a > 0和 a < 0 ？
(12)在涉及函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意：函數(shù)的定義域是什么（即定義域優(yōu)先原則）？
(13)在涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí)，要注意：底數(shù) a 大于 1 還是小 1？
(14)在計(jì)算 2n a2n (n∈N* ) 時(shí)，要注意：a 是非負(fù)的還是負(fù)的？
2 2
(15)在使用同角關(guān)系 sin α + cos α =1計(jì)算時(shí)，要注意：開方后是保留正值，還是保留負(fù)值，
還是兩個(gè)都保留？在使用誘導(dǎo)公式時(shí)，要注意：公式右端是正號(hào)還是負(fù)號(hào)？
(16)在計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)，要注意：是否需要討論角的范圍？是否需要討論函數(shù)值的符號(hào)？在
由兩個(gè)函數(shù)值相等判定角的關(guān)系時(shí)，要注意兩個(gè)角的關(guān)系是否是唯一的？如：由 0 < A, B < π且
sin A = sin B ，得出 A = B就是錯(cuò)誤的．
(17)在解一元二次不等式時(shí)，要注意：二次項(xiàng)系數(shù)是正的還是負(fù)的？是否已經(jīng)化成了標(biāo)準(zhǔn)形式？
2
（標(biāo)準(zhǔn)形式為： ax + bx + c > (≥,<,≤)0，其中 a > 0)
(18)在用均值不等式求最極值時(shí)，要注意：是否符合“一正二定三相等”？
(19)在使用直線方程時(shí)，要注意：各種形式的方程不能包含哪種情形？沒能包含的這種情形在
所解問(wèn)題中是否需要考慮？如：斜截式和點(diǎn)斜式不包含與 x 垂直的直線，兩點(diǎn)式不包含與任一坐標(biāo)
軸垂直的直線．
(20)在處理圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意：橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？ a,b,c 的關(guān)系有沒有
搞錯(cuò)？拋物線的開口朝哪個(gè)方向？
(21)在立體幾何中求各種角時(shí)，要注意：角的取值范圍是什么？特別是求二面角時(shí)，要注意：
求出的角是二面角還是其補(bǔ)角？
S1, n =1,
(22)在數(shù)列問(wèn)題中，公式 an = 中，一定不要忽略 n =1的情況，使用等比數(shù)列
Sn Sn 1, n >1
a1 (1 qn )
求和公式 Sn = 時(shí)，要注意 q ≠1，還要準(zhǔn)確判定項(xiàng)數(shù)． 1 q
(23)在平面向量問(wèn)題中，涉及夾角時(shí)，要注意向量的方向，搞清楚哪個(gè)才是向量的夾角．如

△ABC 中，∠ B 并不是向量 AB 和 BC 的夾角.
2
三、有關(guān)答題規(guī)范性
***被扣分不一定是答案不對(duì)，還可能是因?yàn)楦袷讲灰?guī)范***
(24)答案一定要化成最簡(jiǎn)結(jié)果.分?jǐn)?shù)或分式要約到最簡(jiǎn)，分母中不能有根號(hào)，根式要化到最簡(jiǎn)（如
8 要寫成 2 2 ），….
(25)函數(shù)的定義域、值域、不等式的解集、參數(shù)的取值范圍，一定要寫成集合的形式（區(qū)間也
是集合）.結(jié)果可以用不相交的集合的并集表示，但不允許寫成交集或補(bǔ)集．
(26)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間，多個(gè)單調(diào)增性相同的單調(diào)區(qū)間時(shí)，中間用逗號(hào)分開，嚴(yán)
禁寫成并集．
(27)直線方程的最終結(jié)果要寫成一般式，即 Ax + By +C = 0 的形式，不要寫成其他幾種形式．系
數(shù)中盡量不含分?jǐn)?shù)，有公因數(shù)時(shí)要約分．
(28)要注意一些約定俗成的習(xí)慣，以防止閱卷時(shí)誤判.如直線方程不要寫成 y 3x +1= 0（應(yīng)寫
成3x y 1= 0），多項(xiàng)式要按照次數(shù)從高到低的順序排列，單項(xiàng)式要按照先常數(shù)后字母的順序書寫，
常數(shù)要按照先有理數(shù)后無(wú)理數(shù)的順序書寫．
四、一些需要特別關(guān)注的知識(shí)點(diǎn)
***基礎(chǔ)知識(shí)不是萬(wàn)能的，但沒有基礎(chǔ)知識(shí)是萬(wàn)萬(wàn)不能的，查缺補(bǔ)漏保高分***
(29) 集合的三個(gè)特征
___________、___________、___________.
(30)子集的個(gè)數(shù)
n 個(gè)元素的集合共有______個(gè)子集.
(31)兩個(gè)的運(yùn)算與子集的關(guān)系
A B = A ________， A B = A ________ .
(32) 定義域的求法
g(x)
：________ 2n f (x)(n∈N*， )：________，f (x)0 ：________，log
f (x) f (x)
g(x) ：_____________，
tan x ：________.變量有實(shí)際意義時(shí)，要考慮自變量的實(shí)際意義.
(33) 函數(shù)的單調(diào)性
①設(shè)區(qū)間 D 是 f (x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間， x1, x2 ∈D 且 x1 < x2 ，則
f (x) 在區(qū)間 D 上是增函數(shù) _________________；
f (x) 在區(qū)間 D 上是減函數(shù) _________________.
②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣：同增異減.
3
(34)函數(shù)的奇偶性
如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有___________，那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù).
如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有___________，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù).
(35)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)
①奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域皆關(guān)于______對(duì)稱；
②奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于______對(duì)稱；
③若奇函數(shù) f (x) 在 x=0 處有定義，那么一定有 f (0) = ______.
④若 f (x) 是偶函數(shù)，則 f (x) = f ( x ) .
⑤在定義域的公共部分內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍是偶函數(shù)；兩個(gè)奇函
數(shù)的和、差仍是奇函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)；一個(gè)
奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)(均不恒為零)的和與差既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
⑥奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有
相反的單調(diào)性.
(36)函數(shù)的周期性
設(shè)函數(shù) f (x), x∈D ，如果存在非零常數(shù) T，對(duì)任何 x∈D ，都有____________，則稱函數(shù) f (x) 為
周期函數(shù)，T 稱為函數(shù) f (x) 的周期.
(37)周期函數(shù)的一些隱含條件
①若函數(shù) f (x)滿足 f (x + a) = f (x) (a ≠ 0)，則函數(shù)的周期為 2|a|.
②若函數(shù) f (x)滿足 f (x + a) k= (a ≠ 0,k ≠ 0) ，則函數(shù)的周期為 2|a|.
f (x)
③若函數(shù) f (x)滿足 f (x + a) = f (x + b)(a ≠ b) ，則函數(shù)的周期為 b a .
注意： (x + a) (x + b) = a b為常數(shù)，這是函數(shù)圖象具有周期性的重要特征.
④若 f (x)的圖象有兩條對(duì)稱 x = a和 x = b (a < b)，則其周期為 2(b a) .
⑤若 f (x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心 (a,0)和 (b,0)(a < b)，則其周期為 2(b a) .
⑥若 f (x)的圖象有對(duì)稱中心 (a,0)和對(duì)稱軸 x = b ，則其周期為 4 b a .
(38) 函數(shù)圖象的對(duì)稱性
①若函數(shù) y = f (x)的圖象關(guān)于直線 x = a對(duì)稱，則 f (x) = ________， f (a + x) = ________；
若 f (x + a) = f (b x)，則 f (x)的圖象關(guān)于直線__________對(duì)稱.
②若函數(shù) y = f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn) (m, n)對(duì)稱，則 f (x) = ________， f (m + x) = ________；
若 f (x + a) = m f (b x)，則 f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)______________對(duì)稱.
注意： (x + a) + (b x) = a + b為常數(shù)，這是函數(shù)圖象具有對(duì)稱性的重要特征.
(39)二次函數(shù)
4
①二次函數(shù)的解析式的三種形式
一般式：__________________；
頂點(diǎn)式：__________________；
零點(diǎn)式：__________________.
2
f (x) ax2 bx c a x b 4ac b
2
② = + + = + + (a ≠ 0) 的圖象是一條________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
2a 4a
____________，對(duì)稱軸方程為______，當(dāng) a > 0時(shí)開口向______， 當(dāng) a < 0 時(shí)開口向______
③ = b2 4ac > 0( = 0, < 0)時(shí)，拋物線與 x 軸有 2 個(gè)(1 個(gè)、無(wú))交點(diǎn).
④當(dāng) a > 0時(shí)，減區(qū)間是__________，增區(qū)間是__________.
當(dāng) a < 0 時(shí)，減區(qū)間是__________，增區(qū)間是__________.
⑤若 a > 0 ( a < 0 )，則當(dāng) x＝______時(shí)， f (x)取得最小(大)值為__________.
x
(40)指數(shù)函數(shù) f (x) = a
定義域：_________，值域：___________；
當(dāng) a >1時(shí)是_____函數(shù)，當(dāng)0 < a <1時(shí)是_____函數(shù)；
圖象過(guò)定點(diǎn)__________.
(41)對(duì)數(shù)函數(shù) f (x) = loga x
定義域：_________，值域：___________；
當(dāng) a >1時(shí)是_____函數(shù)，當(dāng)0 < a <1時(shí)是_____函數(shù)；
圖象過(guò)定點(diǎn)__________.
(42) 對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則
①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)； loga 1＝______； loga a = ______.
②運(yùn)算性質(zhì)： loga (MN ) = ______________； log
M
a = ______________； loga M
n = _________.
N
log N
③換底公式： log N = ma (a > 0,a ≠1,m > 0,m ≠1, N > 0) . logm a
(43) 函數(shù)和圖象變換
①左右平移： y = f (x)→ y = f (x ± a)(a > 0) .口訣：左加右減.
②上下平移： y = f (x)→ y = f (x) ± b (b > 0) .口訣：上加下減.
③對(duì)稱變換：y = f (x)的圖象與 y = f ( x)的圖象關(guān)于_______對(duì)稱，與 y = f (x)的圖象關(guān)于
________對(duì)稱，與 y = f ( x)的圖象關(guān)于________對(duì)稱.
④上下翻折： y = f (x) 的圖象可將 y = f (x)的圖象在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折上去.
⑤ y = f ( x )的圖象：先作出 y = f (x) (x≥0)的部分，再用其偶函數(shù)的性質(zhì)作出 x < 0 的部分.
⑥ y = Af (x)(A > 0)的圖象：將 y = f (x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)× A，橫坐標(biāo)不變而得到.
5
1
⑦ y = f (ax)(a > 0)的圖象：將 y = f (x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)× ，縱坐標(biāo)不變.
a
(44)零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間［a，b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有________，那么函數(shù)
y=f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)=0，這個(gè) c 也就是方程 f(x)=0 的根．
(45) 弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式
l=|α|r S= 1 lR = 1； αR2 .
2 2
(46) 三角函數(shù)值的符號(hào)口訣
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(47) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
平方關(guān)系：________________；商數(shù)關(guān)系：________________.
(48)誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.
sin(α + 2kπ) = ________， cos(α + 2kπ) = ______， tan(α + 2kπ) = _________ .
sin(π +α）= _______， cos(π +α）= ________， tan(π +α ) = _______.
sin(π α）= _______， cos(π α）= ________， tan(π α ) = _______.
sin( α）= _________， cos( α）= _________， tan( α ) = ________.
sin π +α

= __________， cos
π
2
+α
2
= ________.

sin π α = __________， cos
π
α

= _________.
2 2
(49) 函數(shù) y = Asin(ωx + ) 的圖象和性質(zhì) (A > 0,ω > 0)
周期為_______；最大值為_____，此時(shí) x ＝__________；最小值為_____，此時(shí) x ＝__________；
對(duì)稱軸方程為___________；對(duì)稱中心坐標(biāo)為____________；單調(diào)增區(qū)間為__________________，單
調(diào)減區(qū)間為__________________.
(50)兩角和與差的三角函數(shù)
sin(α ± β ) ＝_______________；
cos(α ± β )＝_______________；
tan(α ± β ) ＝_______________.
(51)二倍角公式
sin 2α ＝_______________；
cos 2α＝_____________＝______________＝______________；
tan 2α ＝__________.
(52)輔助角公式和降冪公式
6
y = asin x + bcos x = a2 + b2 sin(x ) a+ ，其中 cos = ， sin b= .
a2 + b2 a2 + b2
sin2α 1 cos 2α= ,cos2α 1+ cos 2α= （降冪公式）.
2 2
(53)正弦定理
____________________________________ (其中 R 為△ABC 外接圓的半徑).
適用情形：①已知任意兩個(gè)角與一邊；②已知兩邊與其中一邊的對(duì)角.
(54)余弦定理
a2 = b2 + c2 2bccos A，b2 = _____________________， c2 = _____________________.
適用情形：①已知三邊；②已知兩邊及其夾角；③已知兩邊及一邊的對(duì)角，求第三邊．
(55) 三角形面積公式
S 1
1 1 1
= absin C = ___________=____________＝ aha = bhb = ch . 2 2 2 2 c
(56)三角形中的幾個(gè)重要結(jié)論
A+B+C= π；
sin(A+B)=_________，cos(A+B)=_________， tan (A+ B) = ____________；
cos A + B = _________， sin A + B = __________，等.
2 2
(57)數(shù)列中 Sn與 an的關(guān)系
S1,n =1,an=
Sn Sn 1,n≥ 2.
注意：使用該公式時(shí)，一定不要忽略 n =1的情況.
(58)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式
an=________________；
Sn = __________＝_____________.
(59)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式
an=____________；
Sn = ____________，其中 q ______.
(60) 數(shù)列常用求和方法
①公式法：用于等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.
②錯(cuò)位相減法：若｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛anbn｝的前 n 項(xiàng)時(shí)，可在等
式兩邊同乘以數(shù)列｛bn｝的公比，再與原式相減.
③裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的每一項(xiàng)拆分成兩數(shù)之差，使之能正負(fù)抵消.
1 1 1 1
一個(gè)最常見裂項(xiàng)：若｛an｝是各項(xiàng)及公差都不為 0 的等差數(shù)列，則 =a a d
.
n n+1 a a

n n+1
7
n
一種特殊的裂項(xiàng)：若｛an｝的通項(xiàng)為 ( 1) f (n)的形式，則設(shè)法找一個(gè)函數(shù) g (n)，滿足
f (n) = g (n) + g (n +1) .
④分組求和法：將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱郑匦陆M合成若干組，使每組都可以求和.
⑤并項(xiàng)求和法：按規(guī)律將相鄰幾項(xiàng)并成一項(xiàng)，使合并后有規(guī)律易于求和.比如周期數(shù)列求和.
(61) 不等式的基本性質(zhì)
a>b，b>c a______c；
a>b a+c______b+c；
a>b，c>0 ac______bc；
a>b，c<0 ac______bc；
a>c，c>d a+c______b+d；
a>b>0，c>d>0 ac______bd；
a>b>0， n∈N,n≥ 2 an > bn , n a > n b.
(62) 一元二次不等式的解法
= b2 4ac > 0 = 0 < 0
ax2 + bx + c > 0 (a＞0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a＞0)的解集
口訣：大于零取兩邊，小于零取中間.（適用于Δ＞0， a >0）
(63) 基本不等式:
① a2 + b2 ≥ 2ab(a,b∈R) ；
ab a + b② ≤ (a≥0,b≥0) .
2
2 2 2
③變式： ab a + b a + b≤ ， ab≤ (a,b∈R) .
2 2
以上不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.
(64) 向量的線性運(yùn)算

①向量的分解： AB = AP + PB = PB PA，其中 P 為任意一點(diǎn).
1
②中點(diǎn)向量公式：若 P 為線段 AB 中點(diǎn)，O 為任意一點(diǎn)，則OP = (OA +OB) .
2
(65)兩個(gè)向量共線（平行）與垂直的條件
①向量形式
a∥b (a≠0) 存在唯一的實(shí)數(shù) λ，使得_____________；a⊥b _____________.
②坐標(biāo)形式
若a = (x1, y1 ) ,b = (x2 , y2 )，則 a∥b ________________； a⊥b ______________.
(66)向量的數(shù)量積
8
①a·b＝ a b cosθ ＝ x1x2 + y1 y2 ．
②模長(zhǎng)公式： a = a2 = x2 + y2 ，其中a = (x, y) .
a b x x + y y
③夾角公式： cosθ ＝ ＝ 1 2 1 2 .
a b x21 + y
2 x21 2 + y
2
2
(67)立體幾何中的面積和體積公式
①面積公式
S圓柱側(cè) = 2πrl ， S圓錐側(cè) = πrl ，
S = π(r + R)l ， S = 4πR2 ．
圓臺(tái)側(cè) 球
②體積公式
V = Sh 1， 柱體 V錐體 = Sh ， 3
V 1= (S + SS ′ + S ′) 4臺(tái)體 h， V球 = πR3 . 3 3
(68)球的一個(gè)重要圖形及數(shù)量關(guān)系
R2 = r 2 + d 2 .
注意：圖形中 Rt△OAO1是計(jì)算的關(guān)鍵圖形.
(69)線面平行和垂直、面面平行和垂直問(wèn)題解決技巧
在熟練掌握 4 個(gè)判定定理和 4 個(gè)性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，記住口訣：
由結(jié)論想判定，由條件想性質(zhì).
(70)求距離的常用方法
直接法、轉(zhuǎn)移法、等積法（面積或體積）、向量法.
(71)用空間向量證明或計(jì)算
①證明直線與直線平行或垂直：設(shè)兩條不同直線 l1，l2 的方向向量分別為 m，n，則
l1⊥l2 ____________；l1∥l2 ____________.
②證直線與平面平行或垂直：設(shè)直線 l 的方向向量為 m，平面 α的法向量為 n，則
l⊥α m∥n m＝λn；也可證m 與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量垂直.
l∥α m⊥n m·n＝0，也可證明m 與平面內(nèi)某個(gè)向量平行.
③證平面與平面平行或垂直：設(shè)兩個(gè)不同平面 α，β的法向量分別為 n1，n2，則
α⊥β ____________；α∥β ____________.
④計(jì)算夾角
直線與平面的夾角：設(shè)直線 l 的方向向量為 m，平面 α的法向量為 n，直線與平面的夾角為 θ，
sinθ cos m,n | m n |則 = = .
| m | | n |
9
m n
二面角：設(shè)兩平面法向量的夾角 θ，先由 cosθ = 求出 θ，則二面角的大小可能是 θ，
| m | | n |
也可能是 180°－θ，需結(jié)合圖形或其他條件確定.
(72) 直線方程
y y
①直線的斜率： k = tanα = 2 1 .
x2 x1
②直線方程的幾種形式
點(diǎn)斜式： y y0 = k (x x0 ) .
斜截式： y = kx + b 由.
y y
兩點(diǎn)式： 1
x x
= 1 .
y2 y1 x2 x1
一般式： Ax + By +C = 0 (A, B 不同時(shí)為 0).
③兩直線的位置關(guān)系：設(shè)直線 l1 : y = k1x + b1 ，直線 l2 : y = k2 x + b2 .
l1 與 l2 相交 _______， l1∥l2 _______， l1 與 l2 重合 ________，④ l1 ⊥ l2 _______.
注意：在處理直線平行和垂直問(wèn)題時(shí)，不要忽略斜率不存在的情形.
(73) 坐標(biāo)系中的距離公式
兩點(diǎn)間的距離公式：A (x1, y1) ，B (x2 , y2 )的距離為|AB|=_____________.
點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn) P (x0 , y0 ) 到直線 l : Ax + By +C = 0的距離為_______________.
(74)圓的方程
標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為C(a,b) ，半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________.
一般方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圓心為_________，半徑為__________，系數(shù)應(yīng)滿足的
條件_______________.
(75)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
①直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓 (x a)2 + (y b)2 = r2 (r > 0) 的圓心到直線 l : Ax + By +C = 0的距離為 d ，則
直線與圓相交 _________；
直線與圓相切 _________；
直線與圓相離 _________.
②圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩圓半徑分別為 r1, r2 ，圓心間的距離為 d ，則
d > r1 + r2 ________； d = r1 + r2 ________； d = r1 r2 ________；
r1 r2 < d < r1 + r2 兩圓________； 0 ≤ d < r1 r2 兩圓________.
(76)橢圓
①定義：平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2 ，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 滿足_________________時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡為橢圓.
10
②標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在 x 軸上：_________________，焦點(diǎn)在 y 軸上：_________________.
x2 y2
③性質(zhì)：對(duì)于橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0)，有 a b
范圍：________________，頂點(diǎn)坐標(biāo)：________________，對(duì)稱性：____________________，
離心率：____________，焦點(diǎn)坐標(biāo)：_______________，a,b,c 的關(guān)系：_______________.
(77)雙曲線
①定義：平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2 ，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 滿足________________時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡為雙曲線.
②標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在 x 軸上：_________________，焦點(diǎn)在 y 軸上：_________________.
x2 y2
③性質(zhì)：對(duì)于橢圓 2 2 =1(a,b > 0)，有 a b
范圍：________________，頂點(diǎn)坐標(biāo)：________________，對(duì)稱性：____________________，
離心率：____________，焦點(diǎn)坐標(biāo)：_______________，a,b,c 的關(guān)系：________________，
漸近線方程：__________________.
(78)拋物線
①定義：到一個(gè)定點(diǎn)與到一條定直線的距離________的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．
②標(biāo)準(zhǔn)方程：開口向右：________________；開口向右：________________；
開口向上：________________；開口向下：________________.
2
③性質(zhì)：對(duì)于拋物線 y = 2 px ( p > 0)，有
對(duì)稱軸方程：__________；焦點(diǎn)坐標(biāo)：________；準(zhǔn)線方程：____________；范圍：__________.
④焦半徑公式：設(shè) P(x，y)為拋物線 y2 = 2 px( p > 0) 上一點(diǎn)，F(xiàn) 為其焦點(diǎn)，則 | PF |= _________.
⑤焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：過(guò)拋物線 y2 = 2 px( p > 0) 焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)為 P(x1, y1) ，
Q(x2 , y2 ) ，則 | PQ |= __________， x1x2 = ________， y1 y2 = ______，通徑的長(zhǎng)度為_______.
注： x1x2 ， y1 y2 的值可利用通徑記憶，并可推廣到其他三種情況.
(79)古典概型
設(shè)基本事件的總數(shù)為 n，事件 A 包含的基本事件數(shù)為 m，則 P(A) = ____．
(80)抽樣方法
①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：適用范圍是總體容量較小，且沒有明顯的個(gè)體差異.
②分層抽樣：適用范圍是總體容量較大，且個(gè)體有明顯的層次.
比例分配分層抽樣的特點(diǎn)：按比例抽樣，各層抽取的數(shù)量占各層的比例相同，且等于樣本容量
與總體容量之比.
(81) 用樣本估計(jì)總體
①眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．若用頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)眾數(shù)，則可用最高矩形的中點(diǎn)表示．
②中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，則處于正中間的一個(gè)數(shù)叫做中位數(shù)．若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則
取中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù).用頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)中位數(shù)時(shí)，該數(shù)兩側(cè)面積相等.
11
③總體百分位數(shù)
一組數(shù)據(jù)的第 p 百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有 p% 的數(shù)據(jù)小于或等于這
個(gè)值，且至少有 (100 p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．計(jì)算步驟：
第 1 步，按 的順序排列原始數(shù)據(jù)；
第 2 步，計(jì)算 i＝ ；
第 3 步，若 i 不是整數(shù)，而大于 i 的比鄰整數(shù)為 j，則第 p 百分位數(shù)為第 項(xiàng)數(shù)據(jù)；若 i
是整數(shù)，則第 p 百分位數(shù)為第 i 項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的 ．
注：用頻率分布直方圖估計(jì)第 p 百分位數(shù)時(shí)，使得該數(shù)左側(cè)的面積為 p% ．
x + x + + x
④平均數(shù)： x1, x2 , , xn 的平均數(shù)為： x = 1 2 n . n
⑤標(biāo)準(zhǔn)差：x1, x2 , , x
1
n 的標(biāo)準(zhǔn)差為 s = [(x1 x)
2 + (x x)22 + + (xn x)
2 ，標(biāo)準(zhǔn)差的平方叫方
n
差，用 s2 表示．
注：標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差越大說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定.
頻率
⑥頻率分布直方圖：橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)，縱坐標(biāo)為 ，每個(gè)矩形的面積為該組數(shù)據(jù)的頻率，所
組距
有矩形面積之和為 1.
(82)變量間的相關(guān)關(guān)系
n n
∑(xi x)( yi y) ∑ xi yi nx y
回歸直線 y = bx + a ，其中b = i=1 n =
i=1
n ， a = bx y ．
( )2 2 2∑ xi x ∑ xi nx
i=1 i=1
(x , y)叫做回歸中心，回歸中心一定在回歸直線上.
(83) 獨(dú)立性檢驗(yàn)
假設(shè)有兩個(gè)分類變量 X 和 Y，它們的值域分別為{ x1, y1 }和{ x2 , y2 }，其 2×2 列聯(lián)表為：
y1 y2 總計(jì)
x1 a b a+b
x2 c d c+d
總計(jì) a+c b+d a+b+c+d
K 2 (a + b + c + d )(ad bc)
2
= ，利用 K 2 的大小可以確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
量有關(guān)系”，這種方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．
(84)條件概率與全概率公式
( ) P(AB)一 條件概率：設(shè) A，B 為兩個(gè)事件，且 P(A)＞0，稱 P(B | A)＝ 為在事件 A 發(fā)生的條件
P(A)
下，事件 B 發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．
(二)乘法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件 A 與 B，若 P(A)＞0，則 P(AB)＝P(A)P(B|A)．
12
(三)全概率公式
設(shè) A1, A2 , , An 是一組兩兩互斥的事件， A1 A2 An = ，且 P(Ai)＞0，i＝1，2，…，
n
n，則對(duì)任意的事件 B Ω，有 P(B) =∑P(Ai )P(B | Ai ) .
i=1
(85)離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
①分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量 ξ 可能取的值為 x1，x2，…，xn，且ξ取每個(gè)值 xi 的概率
P(ξ=xi)=pi(i=1，2，…，n)，則稱表格
ξ x1 x2 … xi … xn
p p1 p2 … pi … pn
為隨機(jī)變量ξ 的分布列.
性質(zhì)：(i)________________________；(ii) ________________________.
②期望：Eξ=_______________________，性質(zhì)：E(aξ+b)= ______________.
③方差：Dξ=________________________，性質(zhì)：D(aξ+b)=________________.
(86)二項(xiàng)分布
在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p ，發(fā)生的次數(shù)ξ 是一個(gè)隨機(jī)變量，
n k
其所有可能取的值為 0 1 2 3 n P(ξ=k) Ck pk， ， ， ，…， ，并且 ＝ n (1 p) (其中 k=0，1，2，…，n)，
即分布列為
ξ 0 1 … k … n
P C0n p
0 (1 p)n C1n p1 (1 p)
n 1
… Ckn p
k (1 p)n k … Ck pnn (1 p)
0
稱這樣的隨機(jī)變量ξ 服從二項(xiàng)分布，記作ξ ~ B(n, p) ．Eξ=________， Dξ = ________.
(87)超幾何分布
(1)如果隨機(jī)變量 X 的分布列為
k n k
P(X = k) C= M CN Mn ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r． CN
其中 n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么稱隨機(jī)變量 X
服從超幾何分布．
(2)如果隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布，那么 E (X ) = __________.
說(shuō)明：超幾何分布的數(shù)學(xué)模型是從包含 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取 n件，隨機(jī)
M
變量 X 為抽取的 n件中次品的件數(shù).而 = p 為次品率， E (x) = np .
N
(88)正態(tài)分布
( x )21 2
(1)函數(shù) f (x) = e 2σ （x∈R ，μ∈R，σ＞0 為參數(shù))稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象
σ 2π
13
為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線(如圖)．若隨
機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為 f(x)，則稱隨機(jī)變量 X
2
服從正態(tài)分布，記為 X ~ N ( ,σ ).當(dāng)μ＝0，σ ＝
1 時(shí)，稱隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．
(2)① P (a≤X≤b)為曲線 y = f (x)與 x 軸之
間，位于 x = a 和 x = b 之間區(qū)域的面積；
② P (X≤a)為曲線 y = f (x)與 x軸之間，位于 x = a 左側(cè)區(qū)域的面積；
③ P (X≥a)為曲線 y = f (x)與 x軸之間，位于 x = a 右側(cè)區(qū)域的面積.
(3)若 X~N(μ 2，σ ),則 E (X ) = ，D (X ) =σ 2 .
(4)正態(tài)曲線的特點(diǎn)
①曲線位于 x 軸上方，與 x 軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x＝μ對(duì)稱；
1
③曲線在 x＝μ處達(dá)到峰值 ；
σ 2π
④曲線與 x 軸之間的面積為 1．
5．3σ原則
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9554，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布 N(μ，σ2)的隨機(jī)變量只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的
值，并簡(jiǎn)稱之為 3σ原則．
(89)二項(xiàng)式定理
①定理： (a + b)n = _______________________________.
②通項(xiàng)公式：Tr+1 = ___________________，r=0，1，2，…，n．
③二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
對(duì)稱性：在展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ckn = C
n k
n ；
增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)
式系數(shù)最大；當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且為最大值；
C0 + C1 + C2 nn n n + + Cn = ______，
C0 + C2 + C4 +…＝C1 3 5n n n n + Cn + Cn +…＝_________．
(90)充要條件
①如果 p 成立時(shí)，q 一定成立，即 p q，則稱 p 是 q 的________條件 ；
②如果 q 成立時(shí)，p 一定成立，即 q p，則稱 p 是 q 的________條件 ；
③如果既有 p q，又有 q p，則 p 是 q 的________條件，簡(jiǎn)稱________條件 ．
提示：①在判定充要條件時(shí)，可簡(jiǎn)單理解為：“條件 結(jié)論”時(shí)為充分條件，“結(jié)論 條件”時(shí)
為必要條件.②在“A 的××條件是 B”這種句式中，A 是結(jié)論，B 是條件；在“A 是 B 的××條件”
14
這種句式中，A 是條件，B 是結(jié)論．
(91)含有一個(gè)量詞的命題的否定
全稱命題 p : x∈M , p(x) 的否定為 p : __________________．
特稱命題 p : x∈M , p(x)的否定為 p : __________________．
(92) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù) f′(x0 ) 就是函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)(x0，f(x0))處的______________.
(93) 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
①基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
C′＝__________(C 為常數(shù))； (xn )′= ________，n∈Q；
(sin x)′= ________； (cos x)′= ________；
(ex )′= ________； (ax )′= ________(a>0，且 a≠1)；
(ln x)′= ________； (loga x)′= ________(a>0，且 a≠1).
②運(yùn)算法則
法則 1 [u(x) ± v(x)]′= _______________.
法則 2 [u(x)v(x)]′= _________________.
3 u(x)
′
法則 v(x)
= .
___________________
法則 4 若 y = f (u),u = g(x) ，則 y′x = f ′(u) g′(x) .
(94)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
定理：設(shè)函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果 f′(x) > 0 ，則 f (x) 在 (a,b)內(nèi)為________；如
果 f ′(x) < 0 ，則 f (x) 在 (a,b)內(nèi)為________.
注意：以上條件是充分不必要條件，解題時(shí)常用 f′(x)≥0和 f ′(x)≤0 來(lái)求單調(diào)區(qū)間，但要注意
使 f′(x) = 0 的 x 只是一些孤立點(diǎn)而不是在某個(gè)區(qū)間上恒成立.
(95) 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
①定理：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，且在 x=x0∈(a，b)處取得極值，則必有 f′(x0 ) =0.
②用導(dǎo)數(shù)求極值的步驟：
△求導(dǎo)：求導(dǎo)數(shù) f ′(x)；
△求根：求方程 f′(x)＝0 的根；
△判斷：方程 f′(x)＝0 的根把函數(shù)定義域分成若干小區(qū)間.設(shè) x0 是其中一個(gè)根，則：如果在 x0 兩
側(cè) f ′(x)符號(hào)相同，則 f (x0 ) 不是極值；如果在 x0 的左側(cè) f ′(x) > 0 ，右側(cè) f ′(x) < 0 ，那么 f (x0 ) 是極
大值；如果在 x0 的左側(cè) f ′(x) < 0 ，右側(cè) f ′(x) > 0，那么 f (x0 ) 是極小值.
(96) 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值
設(shè)函數(shù) f (x) 在[a,b] 上連續(xù)，在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求 f (x) 在 [a,b]上最大值與最小值的步驟如下：
15
①求 f (x) 在 (a,b)內(nèi)的極值；
②求 f (a) 和 f (b) ；
③將 f (a) 和 f (b) 與所有極值比較，其中最大(小)的數(shù)就是 f (x) 在 [a,b] 上的最大(小)值.
(97)構(gòu)造函數(shù)的技巧
①直接構(gòu)造；②先變形，再構(gòu)造；③部分構(gòu)造；④多次構(gòu)造；⑤構(gòu)造多個(gè)函數(shù).
(98)用導(dǎo)數(shù)證明不等式
①利用單調(diào)性：若 f (x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)， x1 < x2 ，則 f (x1 ) < f (x2 ) .減函數(shù)類似.
②利用最值：設(shè) f (x)有最大值M ，最小值m ，則m≤f ( x)≤M .
(99)恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題
①恒成立問(wèn)題
f (x)≥k 恒成立 f (x) ≥k ； min
f (x)≤k 恒成立 f (x) ≤k . max
②存在性問(wèn)題
x∈D ，使得 f (x)≥k f (x) ≥k ； max
x∈D ，使得 f ( x)≤k f (x) ≤k . min
(100)雙函數(shù)中的恒成立和存在性問(wèn)題
x1 ∈D1, x2 ∈D2 ， f (x1 )≥g (x2 ) f (x) ≥g (x)min max ；
x1 ∈D1, x2 ∈D2 ， f (x1 )≥g (x2 ) f (x) ≥g (x) ； min min
x1 ∈D1, x2 ∈D2 ， f (x1 )≤g (x2 ) f (x) ≤g (x) . max max
16

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