資源簡介

2014年新課標2數學試卷點評
從總體情況看，今年新課標2的文理科數學試卷整體結構沒有變化，依然是延續傳統的12道選擇，四道填空，六道解答題，分值也保持不變，知識點的分布與覆蓋上保持相對穩定，難度上略比2013年略難一些，體現了注重考查考生實際應用能力的指導思想。堅持對基礎知識，數學思想方法進行考查。多視角，多層次地考查考生對數學基礎知識，數學思想與方法的掌握和理解，著重考生的數學思維能力和素養。試卷對知識的考查全面且重點突出，特別對空間想象能力，推理論證能力，數據處理能力，計算能力以及應用意識的要求較高。
試卷結構及難度
試卷結構,題型，分值基本不變，今年變化是理科立體幾何第二問考查了求體積，但過程中還是運用了二面角的知識，因此不算有很大幅度的改變。文科考了點到面的距離。理科概率統計的解答題考查了線性回歸方程，文科考了莖葉圖，體現了實際應用的概念。12個選擇，4個填空，共80分，主要考查基本知識和基本運算，解答題的17，19題和選作題，20題的第一問都屬于中檔基礎題，還是比較容易得分的，19題加重了對統計的考查，20，21題也沒有特別的難，但理科21題第二問形式比較新穎，是以往很少見的考法，難度上比去年稍微難一些。
2試卷題目特點
重視基礎，立足教材
試題源于教材，以考查高中基礎知識為主線，在基礎中考查能力，今年數學試題所涉及的知識內容幾乎覆蓋了高中所學知識的全部重要內容，體現了“重點知識重點考查”的原則。在重基礎的同時，注重知識綜合的考查，在知識交匯點處出題，部分題目初看都比較樸實，平和。都是考生熟悉的題干，選擇題與填空題都不需要過多的復雜計算就可以得出結論，解答題運算量也不大，試卷對能力的考查全面且重點突出，特別對空間想象能力，推理論證能力，數據處理能力以及應用一時的要求更高。
（2）考查全面，強化綜合
今年數學試題所涉及的知識內容限定在考試大綱的范圍內，幾乎覆蓋了高中所學知識的全部重要內容，仍然重點考查了：函數與導數，三角，數列，立幾，解析這幾個部分，體現了“重點知識重點考查”的原則。在重基礎的同時，注重知識綜合方面的考查,在知識的交匯點處出題。
2014年普通高等學校招生全國統一考試
（新課標Ⅱ卷）數學 試題解析
第Ⅰ卷
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）（理科）設集合，，則
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛|x--﹜，則AB=
(A) （B） （C） （ D）
【理科解析】：∵，
∴
答案：D（另外還可以用帶入驗證法，0，1，2分別帶入集合N中，0顯然不行，1，2都可以使不等式成立）
（文科）答案B
（2）(理科)設復數，在復平面內的對應點關于虛軸對稱，，則
(A)-5 (B)5
(C)-4+i
（D）-4-i
(文科)
(A)1+2i
（B）-1+2i
（C）1-2i
（D）-1-2i
【理科解析】：∵，∴，
∴
答案：A
【文科解析】
（3）（理科）（文科4題）設向量，滿足，，則
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
（文科）函數在處導數存在，
若p：； q：x=x0是的極值點，則
（A）是的充分必要條件
（B）是的充分條件，但不是的必要條件
（C）是的必要條件，但不是 的充分條件
(D) 既不是的充分條件，也不是的必要條件
【（理科3，文科4）解析】：∵，，∴……①，……②．
由①②得：
答案：A
【（文科3）解析】：若，則不一定是極值點，例如：但x=0不是該函數的極值點，所以命題不是充分條件；
（4）（理科）鈍角三角形的面積是，，，則
(A) 5
(B)
(C) 2
(D) 1
【理科解析】：
∵，
即：，∴，
即或．
又∵
∴或5，又∵為鈍角三角形，
∴，即：答案：B
（5）（理科）某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是
(A) 0.8
(B) 0.75
(C) 0.6
(D) 0.45
（文科）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前n項=
（A） （B）
（C） (D)
【理科解析】：此題為條件概率，所以
答案：A
也可以使用概率乘法公式：0.75*P=0.6,解得P=0.8
【文科解析】 成等比， 即
（6）（理科文科）如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件有一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則
切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為
(A)
(B)
(C)
(D)
【解析】原來毛坯體積為：，由三視圖得，該零件由左側底面半徑為2cm，高為4cm的圓柱和右側底面半徑為3cm，高為2cm的圓柱構成，所以該零件的體積為：，則切削掉部分的體積為，所以切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為.答案：C
（7）（理科7，文科8題）執行右面的程序框圖，如果輸入的，均為2，則輸出的
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科7）正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐的體積為
（A）3 （B） （C）1 （D）
解析：輸入的，均為2．是，，
，；是，，
，，否，輸出
答案：D
【文科7題解析】：
要求三棱錐的體積，選取A為頂點，
三角形所在平面為底面，底面積為三角形的面積為
，高為A到平面的距離。
轉化為到面的距離為，所以三棱錐的體積= 所以選C
（8）（理科）設曲線在點處的切線方程為，則
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【解析】：∵，且在點處的切線的斜率為2，∴，即
答案：D
（9）(理科)條件，則的最大值為
(A) 10
(B) 8
(C) 3
(D) 2
（文科）滿足的約束條件，則的最大值為
（A）8 （B）7 （C）2 （D）1
【理科解析】：作出，滿足約束條件
表示的平面區域如圖陰影
部分：做出目標函數
：，∵，∴當
的截距最小時，有最大值。
∴當經過點時，有最大值。由得：此時：有最大值 答案：B
【文科解析】畫可行域知為三角形，可以代值. 求得三頂點坐標為(1,0)，，，代入，得最大值為7 【答案】 B
（10）（理科）設為拋物線：的焦點，過且傾斜角為的直線交于，兩點，為坐標原點，則的面積為
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交于C于兩點，則=
（A） （B）6 （C）12 （D）
【理科解析】：∵，設、，∴直線的方程為，代入拋物線方程得：，∴，
由弦長公式得
由點到直線的距離公式得：
到直線的距離
∴
答案：D
這是一個常規的思路，我們還可以利用拋物線的定義解決：
【文科解析】只利用理科的前半部分求弦長的過程就可以。
（11）（理科）直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科11題）若函數在區間（1，+）單調遞增，則k的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
【理科解析】：如圖所示，取的中點，連結、
∵，分別是，的中點，∴四邊形為平行四邊形，∴∴與所成角的余弦值等于（或其補角）的余弦值.不妨令，則
，用余弦定理
∴
所以 答案：C
如果我們注意到三角形ANP中，,取PN的中點H, cos=。
【文科解析】
（12）（理科）設函數．若存在的極值點滿足，則的取值范圍
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科12題，理科16題）設點，若在圓上存在點N，使得,則的取值范圍是
（A） （B） （C）（D）
【理科12題解析】：∵，令得：
∴，
又∵，
∴
即：，∴，故：
∴，即：故：或 答案：C
另解：
【文科12題，理科16題解析】
由圖可知點所在直線與圓相切，又，由正弦定理得：
∴，即：
又∵，∴，即，解之：
答案：
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答。
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）（理科）的展開式中，的系數為，則 ．（用數字填寫答案）
（文科）甲、已兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服種選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為_______.
【理科解析】：∵，∴，即，
∴，解之：
【文科解析】甲乙選衣服共有9中可能：（紅紅）（紅白）（紅藍）（白紅）（白白）（白藍）（藍紅）（藍白）（藍藍），其中顏色相同的有三種（紅紅）（白白）（藍藍）所以概率為
（14）（理科文科）函數的最大值為 ．
解析：∵
∴的最大值為1
（15）（理科）已知偶函數在單調遞減，．若，則的取值范圍是 ．
（文科15題）偶函數的圖像關于直線對稱，=3，則_______.
【理科解析】：∵是偶函數，
∴，
又∵在單調遞減，∴，解之：
答案：
【文科解析】利用偶函數的性質，f（-1）=f（1），利用對稱性f（1）=f（3），
所以f（-1）=f（3）=3
（16）（文科）數列滿足，=2，
則=_________.
【解析】考查數學列的遞推關系。由，令n=7，得，由
，出現周期性，從開始依次是2，0.5，-1,2,0.5，-1,2,0.5，所以=0.5
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（理科）（本小題滿分12分）
已知數列滿足，．
（Ⅰ）證明是等比數列，并求的通項公式；
（Ⅱ）證明．
【理科解析】：（Ⅰ）證明：∵，
∴，不等于0，即：
又，∴是以為首項，3為公比的等比數列．∴，即
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
∴
∴
故：
（文科）四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I) 求C和BD;
(II) 求四邊形ABCD的面積。

【文科解析】
（18）(理科)（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點．
（Ⅰ）證明： 平面；
（Ⅱ）設二面角為，
，求三棱錐的體積．
解析：（Ⅰ）證明：連結交于點，連結．
∵底面為矩形，∴點為的中點，又為的中點，∴
∵平面，平面，∴平面
（Ⅱ）以為原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，
∴，，設是平面的法向量，
則，解之：，
令，得
又∵是平面的一個法向量，
∴，解之
∴
18題文科（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA上面ABCD，E為PD的點。
（I）證明：//平面AEC;
(II) 設AP=1，AD=，三棱錐P-ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離。
【解析】第一問同理科
19.理科（本小題滿分12分）
某地區2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代號
1
2
3
4
5
6
7
人均純收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y關于的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，．
解析：（Ⅰ）由題意得：，
∴
所求線性回歸方程為：
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回歸方程的斜率可知，2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入逐漸增加．
令得：，
預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元。
（文科）（本小題滿分12分）
某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民。根據這50位市民
（I）分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數；
（II）分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分做于90的概率；
（III）根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.
【解析】（1）兩組數字是有序排列的，50個數的中位數為第25,26兩個數。由給出的數據可知道，市民對甲部門評分的中位數為(75+75)/2=75,對乙部門評分的中位數為(66+68)/2=77
所以，市民對甲、乙兩部門評分的中位數分別為75,77
(2) 甲部門評分數高于90共有5個、乙部門評分數高于90共有8個，部門的評分做于90的概率。因此，估計市民對甲、乙部門的評分小于90的概率分別為
所以，市民對甲、乙部門的評分大于90的概率分別為0.1,0.16
（20）（理科文科）（本小題滿分12分）
設，分別是橢圓：的左，右焦點，是上一點且與軸垂直．直線與的另一交點為．
（Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率；
（Ⅱ）若直線在軸上的截距為2，且，
求，．
【解析】：（Ⅰ）由題意得：，，
∵的斜率為
∴，又，
解之：或（舍）
故：直線的斜率為時，的離心率為
（Ⅱ）由題意知：點在第一象限，，，∴直線的斜率為：，
則：；
∵在直線上，∴，…①
∵，∴，
且，∴
∴，又∵在橢圓上，
∴……②聯立①、②解得：，
解法2：由題意得，即，所以由N向X軸做垂線，垂足為H，則|NH|=1 ，所以代入橢圓方程中得：

得a=7，
（21）（理科）（本小題滿分12分）
已知函數．
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）設，當時，，求的最大值；
（Ⅲ）已知，估計的近似值（精確到0.001）．
【理科解析】：
（1）
（2）
（3）
21 文科（本小題滿分12分）
已知函數f（x）=，曲線在點（0,2）處的切線與軸交點的橫坐標為-2.
（I）求a；
（II）證明：當k<1時，曲線與直線只有一個交點
【解析】
（1）
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題給分。(理科文科)
做答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修：幾何證明選講
如圖，是外一點，是切線，為切點，割線與相交與，，，為的中點，的延長線交與點．證明：
（Ⅰ）（Ⅱ）
（23）（本小題滿分10分）選修：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓的極坐標方程為，．
（Ⅰ）求的參數方程；
（Ⅱ）設點在上，在處的切線與直線：垂直，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，確定的坐標．
【解析】（Ⅰ）設點是曲線上任意一點，
∵，∴，即：
∴的參數方程為，（為參數．
（Ⅱ）設點，∵在處的切線與直線：垂直∴，，
∴點的坐標為：，即.
（24）（本小題滿分10分）選修：不等式選講
設函數．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，求的取值范圍．
【解析】：
（Ⅰ）∵，
且∴，當且僅當時，取“”故：
（Ⅱ）∵，
∴
即：
∴或
解之：
啟示和建議
從今年的試題看對我們今后數學學習和復習的建議，注重課本中的每個知識點的理解和掌握，只有“死學”才能“活用”只要你有一把“精準”的尺子，就會更好的辨別數學的“是是非非”；學習時要做到“入腦，走腦”，也就是要多分析，多設疑，對于每章節的知識盡量不要留“死角”前面學的扎實，后面才越學越輕松，否則寸步難行。真正的提高自己學習數學和應用數學的能力，同時要善于總結典型題的解題方法和規律，精選習題，有效訓練。倡導理性思維，強化探究能力的培養。

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