資源簡介

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拋物線性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用
拋物線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于到定直線（定點(diǎn)在定直線外）的距離的
點(diǎn)的軌跡，它是橢圓過渡到雙曲線的瞬間曲線，它只有一支（雙曲線有兩支），
只有一條對稱軸，沒有漸近線和對稱中心，屬于無心曲線．拋物線的焦半徑、
焦點(diǎn)弦性質(zhì)豐富多彩，此外還有定點(diǎn)、定值、定弦、最值等問題也值得探討，
拋物線的許多性質(zhì)也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這里就它的一些性質(zhì)加以歸納，
說明和證明，及其在歷年高考和模擬考試出現(xiàn)的典例．
一、焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)
如圖，AB 是過拋物線 y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn) F 的弦，AD、BC 是準(zhǔn)線的垂線，
垂足分別為 D、C，M 是 CD 的中點(diǎn)，N 是 AB 的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn) A(x1，y1)、點(diǎn) B(x2，
y2)，直線 AB 交 y 軸于點(diǎn) K(0，y3)，則：
p2 1 1 1
⑴ ① y1y2＝－p
2；② x1x2＝ ；③ ＋ ＝ ；
4 y y1 y2 y3
2p D A(x y )
④ | AB ，|＝x1＋x2＋p＝ （ 為 AB的傾斜角）； 1 1
sin2 G
p2 2p2
⑤ S△OAB＝ ，S 梯形 ABCD
＝ ..
3 M Q N2sin sin

R O p
1 1 2 F( ，0)2 x
⑵ ＋ ＝ ；
| AF | | BF | p H
C B(x2，y2)
⑶ ∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；
x p＝－
⑷ AM、BM 是拋物線的切線； 2 K(0，y3)
⑸ AM、BM 分別是∠DAB 和∠CBA 的平分線；
⑹ AM、DF、y 軸三線共點(diǎn)，BM、CF、y 軸三線共點(diǎn)；
⑺ A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線；
1
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⑻ 若| AF |：| BF |＝m：n，點(diǎn) A在第一象限，
m－n為直線 AB 的傾斜角. 則 cos ＝ ；
m＋n
⑼ 以 AF 為直徑的圓與 y軸相切，以 BF為直徑的圓與 y軸相切；
以 AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.
⑽ MN 交拋物線于點(diǎn) Q，則，Q 是 MN 的中點(diǎn).
p2 1 1 1
⑴ ① y1y2＝－p
2；② x1x2＝ ；③ ＋ ＝
4 y1 y2 y3
2p 2
④ | AB |＝x1＋x2＋p＝ （
p
為 AB 的傾斜角）；⑤S
2 △OAB
＝ ，
sin 2sin
2p2
S 梯形 ABCD＝ .
sin3
p p
【證明】設(shè)過焦點(diǎn) F( ，0)的 AB 的直線方程為 x＝my＋ ，代入拋物線方程 y2
2 2
＝2px 得
y2－2pmy－p2＝0，因此
y
① y 21y2＝－p，y1＋y2＝2pm.
D A(x1，y1)
另由⑶得在 Rt△CFD 中，F(xiàn)R⊥CD，
有| RF |2＝| DR |·| RC |，
R O F( p，0) x
2
C B(x2，y2)
圖 1
而| DR |＝| y1 |，| RC |＝| y2 |，| RF |＝p，且 y1 y2＜0
∴y1y2＝－p
2.
2
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y 2 y 2
② 又點(diǎn) A、B在拋物線上，有 x ＝ 1，x＝ 21 2 ，
2p 2p
2 2
y y (y y )2 p2
因此 x1x 1 22＝ · ＝
1 2 ＝ .
2
2p 2p 4p 4
1 1 y1＋y2 2pm 2m
③ ＋ ＝ ＝ ＝－ ，
y1 y2 y1y2 －p
2 p
p p 1 1 1
在直線 AB 方程 x＝my＋ 中令 x＝0，得 y3＝－ ，代入上式得 ＋ ＝
2 2m y1 y2 y3
p
④【證法一】根據(jù)拋物線的定義，| AF |＝| AD |＝x1＋ ，| BF |＝| BC |＝
2
p
x2＋ ，
2
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p
又| AB |＝ (x 22－x1) ＋(y2－y
2 2
1) ＝ 1＋m | y2－y1 |
＝ 1＋m2 (y ＋y )21 2 －4y1y2
＝ 1＋m2 4m2p2＋4p2＝2p(1＋m2)
1 1 cos
當(dāng) m≠0時，m＝ ＝ ＝ ，有
k tan sin
cos2 1
1＋m2＝1＋ ＝ （k為直線 AB 的斜率）
sin2 sin2
當(dāng) m＝0 時，
1
＝90 ，1＋m2＝1也滿足 1＋m2＝
sin2 y
D A(x
2p 1
，y1)
∴| AB |＝2p(1＋m2)＝ .
sin2
B1
R O F A1 x
C B(x2，y2)
圖 2
3
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【證法二】如圖 2，過 A、B引 x軸的垂線 AA1、BB1，垂足為
A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cos ，
| RF | p
∴| AF |＝ ＝
1－cos 1－cos
| RF | p
同理，| BF |＝ ＝
1＋cos 1＋cos
p p 2p
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ ＋ ＝ .
1－cos 1＋cos sin2
【證法三】極坐標(biāo)法，設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程為
p
＝ ，則
1－cos
p p p
| AF |＝ 1＝ ，| BF |＝ 2＝ ＝ .
1－cos 1－cos( ＋ ) 1＋cos
p p 2p
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ ＋ ＝ .
1－cos 1＋cos sin2
1 1 1 p
⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝ | OF || y1 |＋ | OF || y1 |＝ ··(| y1 |＋| y1 |)
2 2 2 2
∵y 21y2＝－p，則 y1、y2異號，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |
p p 2 2
S y y (y ＋y )2
p 2 p p
∴ △OAB＝ | 1－ 2 |＝ 1 2 －4y1y2＝ 4m p
2＋4p2 2＝ 1＋m＝ .
4 4 4 2 2sin
2p 2p
又∵| CD |＝| AB |sin ＝ ，| AD |＋| BC |＝| AB |＝ .
sin sin2
1 1 2p 2p p2
∴S 梯形 ABCD＝ (| AD |＋| BC |)·| CD |＝ × × ＝ .
2 2 sin sin2 sin3
【例 1】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O，拋物線 y2＝2x 與過焦點(diǎn)的直線交于 A、B 兩點(diǎn)，則
→OA ·→OB ＝······················································（ ）
3 3
A. B. － C. 3 D. －3
4 4
4
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→ → p
2
2 3【解】設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 OA · OB ＝x1x2＋y1y2＝ －p ＝－ ，故
4 4
選 B.
【例 2】過拋物線 y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn) F 作傾斜角為 45 的直線交拋物線于
A、B 兩點(diǎn)，若線段 AB的長為 8，則 p＝ .
1
2p 2p 8×
【解】由性質(zhì)⑴得| AB |＝ ＝ ＝8，∴p＝ 2＝4.
sin2 sin245 2
1 1 2
⑵ ＋ ＝
| AF | | BF | p
p2 p p
【證法一】由⑴x1x2＝ ，且| AF |＝x1＋ ，| BF |＝x2＋ .
4 2 2
1 1 1 1 x1＋x2＋p
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
| AF | | BF | p p p px1＋ x2＋ (x1＋ )·(x2＋ )
2 2 2 2
x1＋x2＋p x1＋x2＋p x1＋x2＋p 2
p p2＝ p2 p p2 ＝ p ＝
x1x2＋ (x p1＋x2)＋ ＋ (x1＋x2)＋ (x1＋x2＋p)
2 4 4 2 4 2
p p p
【證法二】由| AF |＝ 1＝ ，| BF |＝ 2＝ ＝ .
1－cos 1－cos( ＋ ) 1＋cos
1 1 1 1 1－cos 1＋cos 2
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
| AF | | BF | 1 2 p p p
【例 3】過拋物線 y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn) F 用一直線交拋物線于 P、Q兩點(diǎn)，若
1 1
線段 PF 與 FQ 的長分別是 p、q，則 ＋ 等于··················（ ）
p q
1 4
A. 2a B. C.4a D.
2a a
1 1 1 1
【解】由 y＝ax2得 x2＝ y，（拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ），由此得 ＋ ＝4a，
a 2a p q
故選 C.
5
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⑶ ∠AMB＝∠DFC＝Rt∠，先證明：∠AMB＝Rt∠
y
D A(x ，y )
【證法一】延長 AM交 BC 的延長線于 E， 1 1
如圖 3，則△ADM≌△ECM， M N
O
R F x
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD |
E C B(x2，y2)
∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD |
＝| BF |＋| AF |＝| AB | 圖 3
∴△ABE 為等腰三角形，又 M 是 AE 的中點(diǎn)，
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠
【證法二】取 AB的中點(diǎn) N，連結(jié) MN，則
1 1 1
| MN |＝ (| AD |＋| BC |)＝ (| AF |＋| BF |)＝ | AB |，∴| MN |
2 2 2
＝| AN |＝| BN |
∴△ABM 為直角三角形，AB為斜邊，故∠AMB＝Rt∠.
p p p y1＋y2
【證法三】由已知得 C(－ ，y2)、D(－ ，y1)，由此得 M(－ ， ).
2 2 2 2
－p2y1＋yy － 2 y1－y1 2 p(y1－y ) p(y1－ )2 22 y1 p p
∴kAM＝ ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ ，同理 kBM＝
p y 2 y1 y2
x ＋ 2· 1＋p y＋p1 1 y ＋p
2
2 2p 1
p p p2 p2
∴kAM·kBM＝ · ＝ ＝ ＝－1
y y y y －p21 2 1 2
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.
6
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p p p y1＋y2
【證法四】由已知得 C(－ ，y2)、D(－ ，y1)，由此得 M(－ ， ).
2 2 2 2
→ p y
y
MA x 1
－y2 → p y2－y1∴ ＝( 1＋ ， )， MB ＝(x3＋ ， )
2 2 2 2 D A
→ → p p (y －y )(y －y ) 1∴ MA · MB 1 2 2 1＝(x1＋ )(x M 22＋ )＋
2 2 4 4 3
R O F x
p p2 (y1－y )
2
＝x x 2＋ (x ＋x )＋ － C B1 2 1 2
2 4 4
圖 4
2 2 2
2
p2 p y y p2 y ＋y2－2y1y2
＝ ＋ ( 1＋ 2)＋ － 1
4 2 2p 2p 4 4
p2 y1y2 p
2 －p2
＝ ＋ ＝ ＋ ＝0
2 2 2 2
∴→MA ⊥→MB ，故∠AMB＝Rt∠.
【證法五】由下面證得∠DFC＝90 ，連結(jié) FM，則 FM＝DM.
又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如圖 4
∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4
1
∴∠2＋∠3＝ ×180 ＝90
2 y
D A(x1，y1)
∴∠AMB＝Rt∠.

接著證明：∠DFC＝Rt∠ O
R
p
F( ，0) x2

【證法一】如圖 5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF， C B(x2，y2)
故可設(shè)∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝ ， 圖 5
同理，設(shè)∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝ ，
而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180
∴2( ＋ )＝180 ，即 ＋ ＝90 ，故∠DFC＝90
7
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p y1＋y2 y
【證法二】取 CD的中點(diǎn) M，即 M(－ ， )
2 2 D1D A(x1，y1)
p －y2 －y p G
由前知 kAM＝ ，kCF＝
2
y p p
＝ ＝ M
1 ＋ ＋ p y1 O
2 2 R F xH
B(x2，y2)
∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF C
∴∠DFC＝∠AMB＝90 .
圖 6
【證法三】∵→DF ＝(p，－y1)，
→CF ＝(p，－y2)，
∴→DF ·→CF ＝p2＋y1y2＝0
∴→DF ⊥→CF ，故∠DFC＝90 .
| DR | | RF |
【證法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即 ＝ ，
| RF | | RC |
且∠DRF＝∠FRC＝90
∴ △DRF∽△FRC
∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90
∴∠DFR＋∠RFC＝90
∴∠DFC＝90
l y
M1
【例 4】如圖 7，過拋物線 y2＝2px（P＞0）的焦點(diǎn) F M
的直線與拋物線相交于 M、N 兩點(diǎn)，自 M、N向準(zhǔn)線
O F x
l 作垂線，垂足分別為 M1、N1，求證：FM1⊥FN1 N1 N
圖 7
8
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⑷ AM、BM 是拋物線的切線 y
2 D1
D A(x1，y1)
p p y
【證法一】∵kAM＝ ，AM的直線方程為 y－y1＝ (x－ 1)
y1 y1 2p M
O
與拋物線方程 y2＝2px x聯(lián)立消去 x得 R F
C B(x2，y2)2
2
p y2 y
y－y1＝ ( － 1)，整理得 y
2－2y1y＋y＝0
y 2p 2p 1 圖 81
2
2
可見△＝(2y1) －4y ＝0，
1
故直線 AM與拋物線 y2＝2px 相切，
同理 BM也是拋物線的切線，如圖 8.

2
【證法二】由拋物線方程 y＝2px x (y2，兩邊對 求導(dǎo)， ) ＝(2px) ，
x x
p
得 2y·y ＝2p，y ＝ ，故拋物線 y2＝2px 在點(diǎn) A(x1，y1)處的切線的斜率
x x y
p
為 k 切＝y(tǒng) | y＝y(tǒng)1＝ .
x y1
p
又 kAM＝ ，∴k 切＝kAM，即 AM 是拋物線在點(diǎn) A 處的切線，同理 BM也是拋
y1
物線的切線.
p y1＋y2
【證法三】∵過點(diǎn) A(x1，y1)切線方程為 y1y＝p(x＋x1)，把 M(－ ， )代入
2 2
2
y ＋y y ＋y y 2 2
左邊＝y(tǒng) · 1 2
1 2 2px －p p
＝ 11 ＝
1 ＝px1－ ，
2 2 2 2
p p2
右邊＝p(－ ＋x1)＝－ ＋px1，左邊＝右邊，可見，過點(diǎn) A 的切線經(jīng)過點(diǎn) M，
2 2
即 AM 是拋物線的切線，同理 BM也是拋物線的切線.
9
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⑸ AM、BM 分別是∠DAB 和∠CBA 的平分線 y
D A(x1，y1)
【證法一】延長 AM交 BC 的延長線于 E，如圖 9，
M
則△ADM≌△ECM，有 AD∥BC，AB＝BE， NO
R F x
∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，
E C B(x2，y2)
即 AM平分∠DAB，同理 BM 平分∠CBA.
圖 9
【證法二】由圖 9可知只須證明直線 AB的傾斜
角
p y1＋y2
是直線 AM的傾斜角 的 2倍即可，即 ＝2 . 且 M(－ ， )
2 2
y2－y1
y2－yk 1 2
2p
∵tan ＝ AB＝ ＝ ＝ .
x－x y 22 1 y y1＋y2
2－ 1
2p 2p
2
y1＋y －py － 2 y1－y2 p(y －y ) p(y1 1－ )
2
1 2
2 y1 p
tan ＝kAM＝ ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ .
p y 2 y1
x ＋ 2· 1＋p y＋p1 1 y ＋p
2
2 2p 1
2p
2py1 2py1
2tan y1 2p∴tan 2 ＝ ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ ＝tan
1－tan2 p 2
1－( )2 y －p y ＋y y
y1＋y2
1 2
y 2 21
∴ ＝2 ，即 AM平分∠DAB，同理 BM 平分∠CBA.
⑹ AM、DF、y 軸三線共點(diǎn)，BM、CF、y 軸三線共點(diǎn)
【證法一】如圖 10，設(shè) AM 與 DF 相交于點(diǎn) G1，
由以上證明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF，故 AG1也是 DF邊上的中線，
∴G1是 DF的中點(diǎn).
10
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設(shè) AD與 y軸交于點(diǎn) D1，DF與 y軸相交于點(diǎn) G， y2
D1
D A(x1，y1)
易知，| DD1 |＝| OF |，DD1∥OF，
G
M
故△DD1G2≌△FOG2 O
R F xH
∴| DG2 |＝| FG2 |，則 G2也是 DF的中點(diǎn).
C B(x2，y2)
圖 10
∴G1與 G2重合（設(shè)為點(diǎn) G），則 AM、DF、y 軸三線共點(diǎn)，
同理 BM、CF、y軸也三線共點(diǎn).
2
p y
【證法二】AM的直線方程為 y－y1＝ (x－ 1)，
y1 2p
y1
令 x＝0得 AM 與 y軸交于點(diǎn) G1(0， )，
2
y1 p y又 DF 的直線方程為 y＝－ (x－ )，令 x＝0得 DF 與 y軸交于點(diǎn) G2(0，
1)
p 2 2
y
∴AM、DF y 1與 軸的相交同一點(diǎn) G(0， )，則 AM、DF、y 軸三線共點(diǎn)，
2
同理 BM、CF、y軸也三線共點(diǎn) H．由以上證明還可以得四邊形 MHFG 是矩形.
⑺ A、O、C 三點(diǎn)共線，B、O、D 三點(diǎn)共線
y
y1
y1 2 2p
D A(x1，y1)
【證法一】如圖 11，kOA＝ ＝ ＝ ，
x1 y y1
1
2p O
R F x
y2 2y2 2py2 2py2 2pkOC＝ p ＝－ ＝－ ＝－ ＝
C B(x2，y2)
2
－ p p －y1y2 y1
2
圖 11
∴kOA＝kOC，則 A、O、C三點(diǎn)共線，
同理 D、O、B三點(diǎn)也共線.
11
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【證法二】設(shè) AC與 x軸交于點(diǎn) O ，∵AD∥RF∥BC
| RO | | CO | | BF | | O F | | CB |
∴ ＝ ＝ ， ＝ ，
| AD | | CA | | AB | | AF | | AB |
| RO | | O F |
又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴ ＝
| AF | | AF |
∴| RO |＝| O F |，則 O 與 O 重合，即 C、O、A三點(diǎn)共線，同理 D、O、B 三點(diǎn)
也共線.
| O F | | AF |
【證法三】設(shè) AC與 x軸交于點(diǎn) O ，RF∥BC， ＝ ，
| CB | | AB |
| CB |·| AF | | BF |·| AF | 1 p
∴| O F |＝ ＝ ＝ ＝
| AB | | AF |＋| BF | 1 1＋ 2
| AF | | BF |
【見⑵證】
∴O 與 O 重合，則即 C、O、A 三點(diǎn)共線，同理 D、O、B 三點(diǎn)也共線.
p
【證法四】∵→OC ＝(－ ，y )，→2 OA ＝(x1，y1)，
2
2
p p y py y y y 2
∵－ ·y－x y ＝－ ·y－ 1 y ＝－ 1－ 1 2 1
py p y
1 1 2 1 2 ＝－
1＋ 1＝0
2 2 2p 2 2p 2 2p
∴→OC ∥→OA ，且都以 O為端點(diǎn)
∴A、O、C 三點(diǎn)共線，同理 B、O、D 三點(diǎn)共線.
【推廣】過定點(diǎn) P(m，0)的直線與拋物線 y2＝2px（p＞0）相交于點(diǎn) A、B，過
A、B 兩點(diǎn)分別作直線 l：x＝－m的垂線，垂足分別為 M、N，則 A、O、N 三點(diǎn)共
線，B、O、M三點(diǎn)也共線，如下圖：
12
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【例 5】設(shè)拋物線 y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A、
B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C在拋物線的準(zhǔn)線上，且 BC∥x 軸. 證明直線 AC 經(jīng)過原點(diǎn) O.
【證法一】因?yàn)閽佄锞€ y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為 F(－
y
p
，0)，所以經(jīng)過點(diǎn) F 的直線 AB 的方程可設(shè)為 x A(x1，y1)
2
p
＝my＋ ； O
2 R F x
B(x2，y2)
代入拋物線方程得 y2－2pmy－p2＝0 C
設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1，y2是該方程的兩個根，
圖 12
∴y1y2＝－p
2
p p
因?yàn)?BC∥x軸，且點(diǎn) C 在準(zhǔn)線 x＝－ 上，故 C(－ ，y2)，
2 2
y2 2p y1
∴直線 CO的斜率為 kOC＝ p ＝ ＝ ＝kOA.
－ y1 x1
2
y
∴直線 AC經(jīng)過原點(diǎn) O.
D A(x1，y1)
【證法二】如圖 13，過 A作 AD⊥l，D 為垂足，則：
AD∥EF∥BC，連結(jié) AC 與 EF 相交于點(diǎn) N， O
E N F x
| EN | | CN | | BF | | NF | B(x2，y2)
則 ＝ ＝ ， ＝ C
| AD | | AC | | AB | | BC |
| AF | 圖 13
| AB |
13
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由拋物線的定義可知：| AF |＝| AD |，| BF |＝| BC |
| AD |·| BF | | AF |·| BC |
∴| EN |＝ ＝ ＝| NF |.
| AB | | AB |
即 N是 EF 的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn) O 重合，所以直線 AC經(jīng)過原點(diǎn) O.
⑻ 若| AF |：| BF |＝m：n，點(diǎn) A 在第一象限， 為直線 AB 的傾斜角. 則 cos
m－n＝ ；
m＋n
【證明】如圖 14，過 A、B 分別作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足分別為 D，C，過 B 作
BE⊥AD 于 E，設(shè)| AF |＝mt，| AF |＝nt，則
| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD | y
E
D A
－| BC |＝(m－n)t
| AE | (m－n)t m－n
∴在 Rt△ABE 中，cos∠BAE＝ ＝ ＝ R O F x
| AB | (m＋n)t m＋n C B
m－n l 圖 14
∴cos ＝cos∠BAE＝ .
m＋n
【例 6】設(shè)經(jīng)過拋物線 y2＝2px 的焦點(diǎn) F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn) A、B，
且| AF |：| BF |＝3：1，則直線 AB 的傾斜角的大小為 .
【答案】60 或 120 .
⑼ 以 AF 為直徑的圓與 y 軸相切，以 BF 為直徑的圓與 y 軸相切；以 AB 為直徑
的圓與準(zhǔn)線相切.
y
A
【說明】如圖 15，設(shè) E 是 AF 的中點(diǎn)， D
p E
＋x1 y1 N
則 E 的坐標(biāo)為( 2 ， )， M
2 2 R O F x
p C
＋x B1 1
則點(diǎn) E到 y 軸的距離為 d＝ 2 ＝ | AF | l
2 圖 152
14
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故以 AF為直徑的圓與 y軸相切，
同理以 BF為直徑的圓與 y軸相切.
【說明】如圖 15，設(shè) M 是 AB 的中點(diǎn)，作 MN⊥準(zhǔn)線 l于 N，則
1 1 1
| MN |＝ (| AD |＋| BC |)＝ (| AF |＋| BF |)＝ | AB |
2 2 2
1
則圓心 M到 l的距離| MN |＝ | AB |，
2
故以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.
⑽ MN 交拋物線于點(diǎn) Q，則 Q 是 MN 的中點(diǎn).
2 2
y y p
【證明】設(shè) A( 1，y )，B( 21 ，y1)，則 C(－ ，y2)，
2p 2p 2 圖 16
p
D(－ ，y1)，
2
2
2
p y ＋y y ＋y2 y ＋y
M(－ ， 1 2)，N( 1 ， 1 2)，
2 2 4p 2
2
2
p y ＋y2
－ ＋ 1 y ＋y
設(shè) MN 的中點(diǎn)為 Q ，則 Q ( 2 4p ， 1 2)
2 2
2
2
p y ＋y
2 2
2 y 2
－ ＋ 1 2 2 2 1
＋y2
2 －2p ＋y＋yp 2
2y1y2＋y＋y2
∵ 4 ＝ 1 ＝ 1 ＝ 2
2 8p 8p 2p
∴點(diǎn) Q 在拋物線 y2＝2px 上，即 Q是 MN 的中點(diǎn).
15
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二、定點(diǎn)、定值、定直線問題（共 9個結(jié)論）
★⑴平行于拋物線對稱軸的光線，被拋物面反射后會聚焦于拋物線的焦點(diǎn)，如
圖 17.
【證明】如圖 17，設(shè)拋物線方程為 y2＝2px（p＞0），直線 AB∥x 軸，
點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(x0，y l0)，則過 A 點(diǎn)的切線方程
p A B
為 y0y＝p(x＋x0)，直線 l 的斜率為 k0＝ ，
y0
O F x
p直線 AB 到 l的角為 ，則 tan ＝ ， T
y0
圖 17
y 2py0 0
設(shè)直線 AF的斜率為 k1，則 k ＝ ＝ 21 p ，
x0－ y －p2
2 0
2py0 p 2
2 －
2
k －k y －p2 y0 p(y ＋p ) p
設(shè)直線 l到 AF 的角為 ，則 tan ＝ 1 0 ＝ 00 ＝ ＝ .
1＋k0k 21 p 2py y0(y0＋p
2) y0
0
1＋ · 2
y0 y0－p
2
∴tan ＝tan ，又 、 ∈[0， )，則 ＝ ，
也就是說平行于拋物線對稱軸的光線，被拋物面反射后會聚焦于拋物線的
焦點(diǎn).
【例 7】如圖 18，從點(diǎn) M(x0，2)發(fā)出的光線沿平行 y
P
于拋物線y2＝4x的軸的方向射向拋物線的點(diǎn)P， M
F l x y O F反射后經(jīng)焦點(diǎn) 又射向直線 ： －2 －7＝0 上 x
Q N M
的點(diǎn) N，再反射后又設(shè)回點(diǎn) M，則 x0＝ .
圖 18
16
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【解】PM∥x 軸，點(diǎn) P 在拋物線上，得 P的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)過 F(1，0)點(diǎn)后
反射在 Q點(diǎn)，則 Q的坐標(biāo)為(1，－2)，經(jīng) Q 反射后點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(3，－2)，
設(shè) M 關(guān)于 l 對稱的點(diǎn)為 M ，依題意，Q、N、M 共線.
故可設(shè) M (x1，－2)，
2＋2 1
· ＝－1
x0－x1 2
由此得 x0＋x1 2－2 ，解得 x＝6.―2· ―7＝0 0
2 2
【另解】若設(shè) Q 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)為 Q ，設(shè) Q (a，b)，由于 Q、Q 關(guān)于直線
l 對稱，由此得
b＋2 1 9
· ＝－1 a＝
a－1 2 5
9 18
a＋1 b－2 ，解得 18 則 Q 的坐標(biāo)為( ，－ )，
―2· ―7＝0 b＝－ 5 5
2 2 5
18
－ ＋1
5 2＋2
又 M、N、Q 三點(diǎn)共線，kMN＝kNQ ，即 ＝ ，
9 x0－3
－3
5
∴x0＝6.
⑵若 C(x0，y0)是拋物線 y
2＝2px（p＞0）上的任一點(diǎn)，過 C 引兩條互相垂直的
直線交拋物線于 A、B，則直線 AB 過定點(diǎn)(2p＋x0，－y0).
2
A( s ，s)
y 2p
s2 t2
【證明】設(shè) A( ，s)、B( ，t)（s，t，y0互不相等）
2p 2p
C(x0，y0)
那么，由 AC⊥BC 得 O
x
y0－s y0－t
kAC·kBC＝ s2 · t2
x0－ x0－
2p 2p
t2
圖 19 B( ，t)2p
17
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y0－s y0－t
4p22 2
＝ · ＝ ＝－1
y s2 y t2 (y0＋s)(y0＋t)
0－ 0－
2p 2p 2p 2p
∴4p2＝－(y0＋s)(y0＋t)
2
∴st 2＝－4p －(s＋t)y0－y ①
0
s2
x－
y－s 2p 2px＋st
又直線 AB 的方程為 ＝ ，整理得，y＝ ②
t－s t2 s2 s＋t
－
2p 2p
2
2px－4p2－(s＋t)y0－y 2px－4p2－2px0 2p把①代入②得 y＝ 0＝ －y0＝ (x－2p
s＋t s＋t s＋t
－x0)－y0
令 x－2p－x0＝0，即 x＝2p＋x0，得 y＝－y0.
故直線 AB 過定點(diǎn)(2p＋x0，－y0).
特別地，當(dāng) C 是拋物線的頂點(diǎn)時，定點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2p，0).
【拓展】C(x0，y0)是拋物線 y
2＝2px（p＞0）上的一定點(diǎn)，直線 AB 與拋物
線相交于 A、B 兩點(diǎn)（都異于 C），若直線 CA、CB 的斜率 kCA、kCB的乘積為定值 m，
2p
那么，直線 AB 過定點(diǎn)(x0－ ，－y0).
m
18
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【例 8】如圖 20，設(shè)點(diǎn) A 和 B 為拋物線 y2＝4px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個動
點(diǎn)，已知 OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn) M 的軌跡方程，
y A(xA，yA)
并說明它表示什么曲線．
O
P x
M
B(xB，yB)
圖 20
【解法一】點(diǎn) A，B 在拋物線 y2＝4px 上，
2 2
y y
設(shè) A( A，yA)，B( B，yB)，OA、OB 的斜率分別為 kOA、kOB．
4p 4p
yA yB－yA
2 4p 4p 2 4p
∴kOA＝ ＝ ，kOA＝ ，kAB＝ ＝ .
y yA yB y 2y yA＋yB
A B－ A
4p 4p 4p
16p2
由 OA⊥OB，得 kOA·kOB＝ ＝－1 ·········①
yAyB
2 2
4p y y
∴直線 AB 方程為，y－yA＝ (x－ A)，即(yA＋yB)(y－yA)＝4p(x－ A) ②
yA＋yB 4p 4p
y ＋y
由 OM AB A B⊥ ，得直線 OM方程 y＝ ········· ③
4p
x
設(shè)點(diǎn) M(x，y)，則 x，y 滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘以－ ，并利
4p
x
用③式整理得， y 2＋yy－(x2＋y2A A )＝0 ············· ④
4p
x
由③、④兩式得－ ＋y 2 2ByA－(x ＋y )＝0，
4p
19
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由①式知，yAyB＝－16p
2， y A(xA，yA)
所以 x2＋y2－4px＝0．
因?yàn)?A、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以 x≠0． O
P x
M
所以點(diǎn) M 的軌跡是以(2p，0)為圓心，
以 2p 為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)． B(xB，yB)
圖 21
【解法二】由性質(zhì)(2)易知 AB 經(jīng)過定點(diǎn) P(4p，0)，由于 OM⊥AB，那么，M的軌
跡以(2p，0)為圓心，以 2p 為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．其軌跡方程為
x2＋y2－4px＝0（x≠0）.
⑶拋物線 y2＝2px（p＞0）的弦 AB 的中點(diǎn) D 恰好在定直線 l：x＝m（m＞0）上，
則線段 AB 的垂直平分線過定點(diǎn) M(m＋p，0).
【證明】如圖 22，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m， y0)，
那么
2
y ＝2px1…………①
1
2
y2＝2px2…………②
2 2
①－②得y －y＝2p(x1－x2)
1 2
圖 22
y1－y2 2p p
∴直線 AB 的斜率 kAB＝ ＝ ＝
x1－x2 y1＋y2 y0
1 y0
∴直線 DM的斜率 kDM＝－ ＝－
kAB p
y0
∴DM的直線方程為 y－y0＝－ (x－m)
p
令 y＝0，得 x＝m＋p
∴直線 AB 的垂直平分線恒過定點(diǎn)(m＋p，0).
20
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【例 9】若 A、B是拋物線 y2＝4x 上的不同兩點(diǎn)，弦 AB（不平行于 y 軸）的垂
直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) P，則稱弦 AB是點(diǎn) P 的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)
x＞2時，點(diǎn) P(x，0)存在無窮多條“相關(guān)弦”．給定 x0＞2．
⑴證明：點(diǎn) P(x0，0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；⑵（略）
【說明】應(yīng)用性質(zhì)⑶，由已知得 p＝2，由定點(diǎn) P(x0，0)得 m＋p＝x0，故 m＝x0
－2
∴“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0－2.
⑷設(shè)直線 l 與拋物線 y2＝2px（p＞0）相交于點(diǎn) A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么
①若直線 l 過拋物線對稱軸的定點(diǎn) M(a，0)，則 y1y2＝－2ap，x1x2＝a
2；
反之
k
②若 y1y2＝k（定值），則直線 l 恒過定點(diǎn) N (－ ，0).
2p
1 1 1
③若直線 l 與 y 軸相交于點(diǎn)(0，y3)，則 ＋ ＝ .
y1 y2 y3
【證明】①設(shè)過點(diǎn) M(a，0)的直線方程為 x＝my＋a，
y
A(x1，y1)
代入拋物線方程 y2＝2px 得 y2－2pmy－2pa＝0，因此
2 2
y y (y y )2 4a2p2
y1y2＝－2ap，x x ＝ 1· 2＝
1 2 2 O
1 2 ＝ ＝a .2 2 x
2p 2p 4p 4p
B(x2，y2)
②設(shè)直線 l 方程為 x＝my＋b，代入拋物線方程 y2＝2px
得 y2－2pmy－2pb＝0， 圖 23
即方程的根 y1、y2是 P、Q 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)
∴y1y2＝－2pb，又 y1y2＝k.
k k
∴－2pb＝k，即 b＝－ ，則直線 l 方程為 x＝my－
2p 2p
21
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k k
令 y＝0，得 x＝－ ，則直線 l恒過定點(diǎn) N(－ ，0).
2p 2p
a
③由 l 的方程 x＝my＋a 中，令 x＝0得 y3＝－ ，y1＋y2＝2pm
m
1 1 y1＋y2 2pm m 1
∴ ＋ ＝ ＝ ＝－ ＝ .
y1 y2 y1y2 －2ap a y3
【例 10】如圖 24，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l 在 x軸和 y軸 y
M(x1，y1)
上的截距分別為 a 和 b（a＞0，b≠0），且交拋物線
2 a xy ＝2px（p＞0）于 M(x1，y1)、N(x2，y2)兩點(diǎn).
O
N(x2，y2)
b
⑴寫出直線 l 的截距式方程；
圖 24
1 1 1
⑵證明： ＋ ＝ .
y1 y2 b
x y
⑴【解】直線 l 的截距式方程為 ＋ ＝1.
a b
1 1 1
⑵由上面性質(zhì)⑶證明可得 ＋ ＝ .
y1 y2 b
⑸過拋物線 y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn) F 作直線 l 與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn)，且與
準(zhǔn)線交于點(diǎn) M，設(shè)→MA ＝ →AF ，→MB ＝ →BF ，則 ＋ ＝0.
p p
【證法一】設(shè)過點(diǎn) F( ，0)的直線方程為 x＝my＋ ，
2 2 y
A(x1，y1)
代入拋物線方程 y2＝2px 得
y2－2pmy－p2＝0，因此 y y 21 2＝－p，y1＋y2＝2pm O F x
B(x2，y2)
p p
令 x＝－ ，得 yM＝－
2 m
M 圖 25
→ p p p由 MA ＝ →AF得(x1＋ ，y1＋ )＝ ( －x1，－y1)
2 m 2
p p p
∴y1＋ ＝－ y1， ＝1＋ ，同理， ＝1＋
m my1 my2
22
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p p p(y1＋y2) p·2pm∴ ＋ ＝2＋ ＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2－2＝0.
my1 my2 my1 y2 m·(－p
2)
【證法二】由已知→MA ＝ →AF ，→MB ＝ →BF ，得 · ＜0．
|→MA | |→AF |
則 ＝－ ·········· ① y
|→MB | |→BF | A1 A(x1，y1)
過點(diǎn) A，B 分別作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足分別為 A1，B1，
O F x
→ → → B1 B(x2，y2)| MA | | AA1 | | AF |
則有： ＝ ＝ ②
|→MB | |→BB →1 | | BF | M 圖 26
|→AF | |→AF |
由①②得－ ＝ ，即 ＋ ＝0.
|→BF | |→BF |
【例 11】如圖 27，已知點(diǎn) F(1，0)，直線 l：x＝－1，P 為平面上的動點(diǎn)，過
P 作直線 l 的垂線，垂足為點(diǎn) Q，且→QP ·→QF ＝ l y
→FP ·→FQ ．
F
⑴求動點(diǎn) P的軌跡 C的方程； －1 O 1 x
⑵過點(diǎn) F 的直線交軌跡 C于 A，B兩點(diǎn)，交直線 l于
圖 27
點(diǎn) M，已知
→MA ＝ →AF ，→1 MB ＝ →2 BF ，求 1＋ 2的值；
【略解】⑴動點(diǎn) P的軌跡 C的方程為：y2＝4x；⑵ 1＋ 2＝0.
23
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⑹定長為 l 的弦 AB 的兩個端點(diǎn)在拋物線 y2＝2px 上，M 是 AB 的中點(diǎn)，M 到 y 軸
的距離為 d，那么，M 的軌跡方程為：4(y2＋p2)(2px－y2)＝p2l2，且
l2
①當(dāng) 0＜l＜2p 時，d 的最小值為 ，此時，AB∥y 軸；
8p y
l－p A(x1，y1)
②當(dāng) l≥2p 時，d 的最小值為 ，此時，弦 AB 過焦點(diǎn)
2
M(x0，y0)
F. O F x
B(x2，y2)
【解】設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為
(x0，y0)，
圖 28
AB的直線方程為x＝my＋b，代入拋物線方程y2＝2px
得 y2－2pmy－2pb＝0. ∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2pb.
又 AB 的中點(diǎn)為 M(x0，y0)，且點(diǎn) M在直線 AB 上，
2
y y
∴y ＝ 1
＋y2 y
0 ＝pm，x0＝my0＋b，m＝
0，b＝x0－my0＝x 00－ .
2 p p
∴| AB |2＝l2＝(x1－x )
2
2 ＋(y－y )
2
1 2 ＝(my1＋b－my2－b)
2＋(y－y )21 2
＝(1＋m2)(y1－y )
2
2 ＝(1＋m
2)[(y 21＋y2) －4y1y2]
2 2 2
2 2
y y y
＝(1＋ 0)[4y ＋8pb]＝(1＋ 0)[4y ＋8p(x － 00 )]
p2 0 p2 0 p
2 2
y p2 px y p2l2 M y2 p2整理得，4( ＋ )(2 0－ )＝ . 故中點(diǎn) 的軌跡方程為：4( ＋ )(2px－
0 0
y2)＝p2l2.
pl2 y2
由上可知 d＝x＝ ＋ ，令 t＝y(tǒng)2＋p2≥p2，即 y2＝t－p2，則
8(y2＋p2) 2p
pl2 t－p2 pl2 t p pl2 t pl
d＝x＝ ＋ ＝ ＋ － （t≥p2）.令 ＝ ，得 t＝ .
8t 2p 8t 2p 2 8t 2p 2
24
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pl
①當(dāng) 0＜l＜2p 時，p2＞ ，d在 t∈[ p2，＋∞)上是增函數(shù)，
2
pl2 p2 p l2
∴當(dāng) t＝p2，即 y＝0 時，dmin＝ ＋ － ＝ ，此時，m＝0，即 AB∥y
8p2 2p 2 8p
軸.
pl pl22 t p pl 2 t p l－p②當(dāng) l≥2p 時，p ≤ ，∴d＝ ＋ － ≥2 － ＝ .
2 8t 2p 2 8t 2p 2 2
pl2 t pl l－p
當(dāng)且僅當(dāng) ＝ ，即 t＝ ≥p2時取等號，故 d 的最小值為 .
8t 2p 2 2
p
②【證法二】當(dāng) l≥2p 時，過 A、B、M作準(zhǔn)線 x＝－ 的 y
2 A A
垂線，垂足為 A 、B 、M ，則 M
M
p 1 1
| MM |＝d＋ ＝ (| AA |＋| BB |)＝ (| AF |＋| BF |) O F x
2 2 2 B B
1 1
≥ | AB |＝ l.
2 2
圖 29
上式當(dāng)且僅當(dāng)| AF |＋| BF |＝| AB |，即弦 AB 過拋
1 p l－p
物線的焦點(diǎn) M 時取等號，則 d 的最小值為 l－ ＝ .
2 2 2
【說明】經(jīng)過焦點(diǎn) F 的最短弦是通經(jīng) 2p，因此當(dāng)弦 AB的長 l＜2p 時，不能用
l2
證法二證明 d的最小值為 .
8p
y
【例 12】長度為 a 的線段 AB 的兩個端點(diǎn)在拋物線 x2
A
C
＝2py（a≥2p＞0）上運(yùn)動，以 AB的中點(diǎn) C為圓 F
B
心作圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求圓 C 的最小半 O x
徑. 圖 30
25
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【解】依題意，問題轉(zhuǎn)化為定長的弦的兩個端點(diǎn)在拋物線上，弦的中點(diǎn) C到 y
軸的距離的最值問題，由上面的性質(zhì)可知當(dāng)弦 AB經(jīng)過焦點(diǎn) F 時，點(diǎn) C 到
準(zhǔn)線的距離為最小值. 如圖 30.
a
∴圓 C的最小半徑為 r＝ .
2
⑺過拋物線 y2＝2px（p＞0）的對稱軸上的定點(diǎn) M(m，0)（m＞0），作直線 AB
與拋物線相交于 A，B 兩點(diǎn)．點(diǎn) N 是定直線 l：x＝－m 上的任一點(diǎn)，則直
線 AN，MN，BN 的斜率成等差數(shù)列.
【證明】設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(－m，n)，
y
由性質(zhì)⑶有 y1y2＝－2pm， N B
(－m，n)
y －n y －n
則直線 AN、BN 1 2的斜率為 kAN＝ ，kBN＝
x1＋m x2＋m
O xM(m，0)
y1－n y2－n
A
2 2
∴kAN＋kBN＝ ＋
y y
1 2 x＝－m 圖 31＋m ＋m
2p 2p
2p(y1－n) 2p(y2－n) 2p(y1－n) 2p(y1－n)
＝ 2 ＋ 2 ＝ 2 ＋ 2
y ＋2pm y ＋2pm y －y1y2 y －y1y2
1 2 1 2
2p[y2(y1－n)－y1(y2－n)] 2pn(y1－y2) 2pn 2pn n
＝ ＝ ＝ ＝ ＝－
y1y2(y1－y2) y1y2(y1－y2) y1y2 －2pm m
n－0 n
又∵直線 MN 的斜率為 kMN＝ ＝－ .
－m－m 2m
∴kAN＋kBN＝2kMN
∴直線 AN，MN，BN 的斜率成等差數(shù)列.
26
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⑻拋物線的一組平行弦的中點(diǎn)共線，且所在直線平行于對稱軸或與對稱軸重
合.
【證明】設(shè)斜率為 k（k 為常數(shù)）的一組平行線與拋物線 y2＝2px（p＞0）交于
點(diǎn) Ai、Bi（i＝1，2，…），弦 AiBi的中點(diǎn)為 Mi，（即 M1，M2，…，Mn），且 AiBi
的直線方程為 y＝kx＋bi（bi為直線 AiBi在 y軸上的截距），Ai(x1，y1)，Bi(x2，
y2)，Mi(xi，yi). y Ai
y2＝2px k
聯(lián)立方程組 ，消去 x得 y2－y＋b ＝0 Miy＝kx＋b ii 2p O x
2p Bi
∴y1＋y2＝ ，又 Mi是 AiBi的中點(diǎn)
k 圖 33
y1＋y2 p p
∴yi＝ ＝ ，則 M1，M2，…，Mn在平行于 x 軸的直線 y＝ 上.
2 k k
當(dāng)直線 AiBi與 x 軸垂直（即直線 AiBi的斜率不存在時），易知 M1，M2，…，
Mn在 x 軸上.
【例 13】已知拋物線 C：y＝2x2，直線 y＝kx＋2 交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，M 是線段
AB 的中點(diǎn)，過 M作 x 軸的垂線交 C 于點(diǎn) N．
y
⑴證明：拋物線 C 在點(diǎn) N 處的切線與 AB平行； A
M
2 2 2
【證明】如圖 34，設(shè) A(x1，2x )，B(x1，2x )， B 1
1 2
N x
把 y＝kx＋2 代入 y＝2x2得 2x2－kx－2＝0， O 1
圖 34
k
由韋達(dá)定理得 x1＋x2＝ ，x1x2＝－1，
2
x ＋x k k k2
∴xN＝x
1 2
M＝ ＝ ，即 N 點(diǎn)的坐標(biāo)為( ， )
2 4 4 8
k2 k
設(shè)拋物線在點(diǎn) N 處的切線 l的方程為 y－ ＝m(x－ )，
8 4
27
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mk k2
將 y＝2x2代入上式得 2x2－mx＋ － ＝0，
4 8
∵直線 l 與拋物線 C相切，
2 mk k
2
∴ ＝m－8( － )＝0，
4 8
解得 m＝k，即 l∥AB.
【說明】其實(shí)，也就是與 AB平行的弦，它們的中點(diǎn)在過 AB中點(diǎn)且與對稱軸（x
軸）平行的直線上，它與 C的交點(diǎn) N，此時的切點(diǎn)就是這些弦的縮點(diǎn)，故
過 N 點(diǎn)的拋物線 C 的切線與 AB平行.
⑼過定點(diǎn) P(x ，y )作任一直線 l 與拋物線 y20 0 ＝2px（p＞0）相交于 A、B 兩點(diǎn)，
過 A、B 兩點(diǎn)作拋物線的切線 l1、l2，設(shè) l1，l2相交于點(diǎn) Q，則點(diǎn) Q 在定直線 px
－y0y＋px0＝0 上.
【證明】設(shè) A(x1，y1)、B(x2，y2)，因?yàn)檫^點(diǎn) y
A
P 與 x 軸平行的直線與拋物線只有一個
Q
交點(diǎn)，所以直線 AB 與 x 軸不平行，故可 O
P x
設(shè) AB的方程為 x－x0＝m(y－y0). B
y2＝2px
聯(lián)立方程組 x x m y y ，消去 x得－ 0＝ ( － 圖 350)
1
y2－my＋my0－x0＝0
2p
∴y1y2＝2p(my0－x0)
又過 A、B 兩點(diǎn)的拋物線的切線方程為
y1y＝p(x＋x1)
y1y＝p(x＋x1)和 y2y＝p(x＋x2)，聯(lián)立方程組 y2y＝p(x
解得
＋x2)
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y 2 2y
1·y－ 2x1y2－x2y 2
·y1
x 1 2p 2p
y1y2
Q＝ ＝－ ＝ ＝my0－x0 ①
y1－y2 y1－y
2p
2
x1－xy 2Q＝p· ＝pm ·······································②
y1－y2
yQ ym Q由②得 ＝ 代入①得xQ＝ y0－x0，∴點(diǎn)Q在直線px－y0y＋px0＝0上.
p p
【例 14】如圖 36，對每個正整數(shù) n，An(xn，yn)是拋物線 x
2＝4y上的點(diǎn)，過焦
點(diǎn) F的直線 FAn交拋物線于另一點(diǎn) Bn(sn，tn). y
⑴試證：xnsn＝－4（n≥1）；
An
⑵取 x nn＝2 ，并記 Cn為拋物線上分別以 An與 Bn為 A2
B1 F A1
B2
切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證：| FC1 |＋| FC | Bn2 O x
Cn
＋…＋| FCn |＝2
n－2－n＋1＋1. 圖 36
【說明】本題第⑴小題就是拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì) y1y2=－p
2.
第⑵小題兩條切線的交點(diǎn) Cn就是上面拋物線的性質(zhì)，即點(diǎn) Cn必在直線 y＝
－1上.
【例 15】如圖，設(shè)拋物線方程為 x2＝2py
y
（p＞0），M 為 直線 y＝－2p 上任意一點(diǎn)，
B
過 M 引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為 A，B. A
x
O
⑴求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列； －2p
M
⑵⑶略. 圖 37
2 2
x x
【證明】由題意設(shè) A(x ， 1)，B(x ， 21 2 )，x1＜x2，
2p 2p
M(x0，－2p)
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x2 x
由 x2＝2py 得 y＝ ，y ＝
2p p
x
k 1
x2
所以， MA＝ ，kMB＝ ，
p p
x x
因此直線 MA 1 2的方程為 y＋2p＝ (x－x0)，直線 MB 的方程為 y＋2p＝ (x－
p p
x0)，
2
x x
所以， 1＋2p＝ 1(x1－x0)…………①，
2p p
2
x x
2＋2p＝ 2(x2－x0)…………②，
2p p
(x1＋x2)(x1－x2) (x1＋x2)(x1－x2) x0(x1－x2)
①－②得， ＝ －
2p p p
x1＋x2
∴ ＝x1＋x2－x0，即 2x0＝x1＋x2
2
所以 A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
⑽過拋物線 y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn) F 的直線 l 與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn)，線段
| AB |
AB 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) M，則 ＝2.
| FM |
p
【證明】設(shè)過焦點(diǎn) F( ，0)的直線 AB 的方程
2
p
為 x＝my＋ （m≠0），且 A(x1，y1)、B(x2，y2)，
2
p
把 x＝my＋ 代入 y2＝2px，得 y2＝2pmy＋p2，
2
即 y2－2pmy－p2＝0
∴y1＋y
2
2＝2pm，y1·y2＝－p
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∴x ＋x ＝m(y ＋y )＋p＝2pm21 2 1 2 ＋p，
p
∴AB 的中點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(pm2＋ ，pm)
2
AB 的垂直平分線方程為 y－pm＝－m(x－pm2
p
－ )
2
3p
令 y＝0，得 M 的橫坐標(biāo)為 x＝pm2＋
2
p
∴| FM |＝| xM－ |＝pm
2＋p＝p(m2＋1)，又| AB |＝x1＋x
2
2＋p＝2p(m ＋1).
2
| AB | 2p(m2＋1)
∴ ＝ ＝2
| FM | p(m2＋1)
【證法二】設(shè) A(x1，y1)、B(x2，y2)，過 A、B 分別作準(zhǔn)線的垂線，
p
垂足分別為 C、D，則 C(－ ，y1)、
2
p p
D(－ ，y2)，則 CD 的中點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(－ ，
2 2
y1＋y2
)，由證法一知 y1＋y2＝2pm，
2
p pm
∴E(－ ，pm)，所以 kEF＝ p p ＝－m2 － －
2 2
1 1
又 kAB＝ ，所以 kAB·kEF＝(－m)· ＝－1
m m
∴EF⊥AB，又 MN⊥AB，所以 EF∥MN
又 EN∥x軸，所以四邊形 EFMN 為平行四邊形
1 1
∴| FM |＝| EN |＝ (| AC |＋| BD |)＝ | AB |
2 2
| AB |
所以 ＝2
| FM |
31
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⑾P 是過拋物線 y2＝2px（p＞0）上的一定點(diǎn)，過 P 作與 x 軸平行的直線 m，過
OP 的直線為 n，直線 l⊥x 軸，l 與 m、n 分別相交于 A、B 兩點(diǎn)，則 AB 的中點(diǎn) M
在點(diǎn) P 處的切線.
t2
【證明】設(shè) P( ，t)，則 m 的方程為 y＝t，
2p
2p
直線 n（即 OP）的方程為 y＝ x，
t
t2
設(shè)直線 l的方程為 x＝s（s≠ ），那么
2p
2ps
A 的坐標(biāo)為(s，t)，B的坐標(biāo)為(s， )，
t
2ps
t＋ 2
AB 的中點(diǎn) M的坐標(biāo)為(t， t
2ps＋t
)，即(t， )
2 2t
t2 t2
又過點(diǎn) P( ，t)的拋物線的切線方程為 yt＝p(x＋ )
2p 2p
p t2
∴y＝ (x＋ )
t 2p
p t2 ps t 2ps＋t2
當(dāng) x＝xM＝s時，y＝ (s＋ )＝ ＋ ＝ ＝y(tǒng)M
t 2p t 2 2t
可見點(diǎn) M在點(diǎn) P處的切線 n 上.
⑿點(diǎn) P(a，0)（a≠0）是拋物線 y2＝2px（p＞0）的對稱軸上的一點(diǎn)，過 P的直
線 l 與拋物線相交于兩點(diǎn) A、B，A 關(guān)于 x 軸的對稱的點(diǎn)為 A ，又點(diǎn) Q(－a，0)，
那么 A 、B、Q 三點(diǎn)共線.
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【證明】設(shè)直線 l 的方程為 x＝my＋a，A(x1，y1)，B(x2，y2)
則 A (x1，－y1)，聯(lián)立方程組
y2＝2px
x＝my ，消去 x得＋a
y2
－my－a＝0，那么 y1 y2＝－2pa，
2p
又→QA ＝(x1＋a，－y →1)， QB ＝(x2＋a，y2)，
∵(x1＋a)y2＋(x2＋a)y1
2 2
y y
＝( 1＋a)y ＋( 22 ＋a)y1
2p 2p
2 2
y y2 y y1 y y (y ＋y ) y y
＝ 1 ＋ 2 ＋a(y1＋y2)＝
1 2 1 2 ＋a(y1＋y2)＝(y1＋y2)(
1 2＋a)＝(y1
2p 2p 2p 2p
－2pa
＋y2)( ＋a)＝0
2p
∴→QA ∥→QB
∴Q、A 、B 三點(diǎn)共線.
33
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【例 16】給出一個拋物線，根據(jù)其性質(zhì)，用尺規(guī)作圖求出該拋物線的對稱軸、
頂點(diǎn)和焦點(diǎn).
圖 a 圖 b
【作法】1.任意作兩條平行弦 A1B1和 A2B2；
2.分別取 A1B1和 A2B2的中點(diǎn) M、N，過 M、N作直線 m；
3.作直線 CD⊥m，交拋物線于 C、D；
4.取 CD 的中點(diǎn) E；
5.過 E作直線 l∥m，交拋物線于點(diǎn) O.
則直線 l 為拋物線的對稱軸，O為拋物線的頂點(diǎn)，如圖 a.
6.過頂點(diǎn) O作兩條互相垂直的弦 OP、OQ；
7.設(shè) PQ 與對稱軸 l 相交于點(diǎn) G；
8.取 OG 的靠近 O的四等分點(diǎn) F.
則 F為拋物線的焦點(diǎn).
【說明】1.根據(jù)性質(zhì)⑻，平行弦的中點(diǎn)共線，且與對稱軸平行；
2.垂直于對稱軸的弦 CD的中點(diǎn)在對稱軸上，故 l為拋物線的對稱軸；
3.根據(jù)性質(zhì)⑵得 PQ過頂點(diǎn)(2p，0)，故 F為拋物線的焦點(diǎn).
34

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