資源簡介

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理解公式之間的聯系、區別，變機械記憶為理解記憶。
高考數學必背公式與知識點過關檢測 3．函數的單調性：設 x1 ， x2 [a,b]，且 x1 x2 ，那么：
——決勝高考 數學基本公式、概念全掌握 f (x ) f (x )（1） (x1 x2 )[ f (x1) f (x )] 0 1 22 0 f (x)在 a,b 上是 函數；
x1 x2
第一部分：集合與常用邏輯用語
f (x1) f (x2 )
1．子集個數：含n個元素的集合有 個子集，有 個真子集，有 個非空子集， （2） (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 0 f (x)在 a,b 上是 函數；
x1 x2
有 個非空真子集
2．常見數集：自然數集： ； 正整數集： 或 ；整數集： ；有理數集： ；
（3）如果 f (x) 0，則 f (x) 為 函數； f (x) 0，則 f (x) 為 函數；
實數集：
3．空集： 是任何集合的 ，是任何非空集合的 . （4）復合函數的單調性：根據“同 異 ”來判斷原函數在其定義域內的單調性.
4．元素特點： 、 、 確定性 4．函數的奇偶性: ⑴函數的定義域關于 對稱是函數具有奇偶性的前．提．條．件．
5．集合的的運算： 集運算、 集運算、 集運算 ⑵ f (x) 是 函數 f ( x) f (x)； f (x) 是 函數 f ( x) f (x) .
6．四種命題：原命題：若 p ，則 q ；逆命題：若 ，則 ；否命題：若 ，則 ；逆否
命題：若 ，則 ； 原命題與逆命題，否命題與逆否命題互 ；原命題與否命題、逆命 ⑶奇函數 f (x) 在 0處有定義，則
題與逆否命題互 ；原命題與逆否命題、否命題與逆命題互為 。互為逆否的命題 ⑷在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有 的單調性，偶函數有 的單調性
7．充要條件的判斷： p q， p 是 q 的 條件； p q， q 是 p 的 條件；
⑸偶函數圖象關于 軸對稱、奇函數圖象關于坐標 對稱
p q，p, q互為 條件；若命題 p 對應集合 A ，命題q 對應集合 B ，則 p q等
5．函數的周期性：
價于 ， p q等價于 周期有關的結論：(約定 a＞0)
注意區分：“甲是乙的充分條件（甲 乙）”與“甲的充分條件是乙（乙 甲）”；
（1） f (x) f (x a)，則 f (x) 的周期 T= ；
8．邏輯聯結詞：或命題： p q， p, q有一為真即為 ， p, q均為假時才為 ；
且命題： p q， p, q均為真時才為 ， p, q有一為假即為 ； 1 1
（2） f (x a) f (x)，或 f (x a) ( f (x) 0)，或 f (x a) ( f (x) 0) ,
非命題： p 和 p 為一真一假兩個互為對立的命題 f (x) f (x)
9.全稱量詞與存在量詞：
則 f (x) 的周期 T=
⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用 表示；
（3） f (x a) f (x a) 或 f (x 2a) f (x)(a 0) f (x) 的周期為
全稱命題 p： x M , p(x) ；全稱命題 p的否定 p： ；
（4） f (x m) f (x n) f (x) 的周期為
⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用 表示；
6．函數的對稱性：
特稱命題 p： x M , p(x)；特稱命題 p的否定 p： ；
① y f (x) 的圖象關于直線 對稱 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)；
第二部分：函數與導數及其應用 ② y f (x) 的圖象關于直線 對稱 f (a x) f (b x) f (a b x) f (x) ；
1．函數的定義域：分母 0；偶次被開方數 0；0 次冪的底數 0 ； ③ y f (x) 的圖象關于點 對稱 f (a x) f (b x)
對數函數的真數 0；指數與對數函數的底數 0 且 1
a b
2．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論； *④ y f (x) 的圖象關于點 ( ,c) 對稱 f (a x) 2c f (b x)
2
分段函數是一個函數，其定義域是各段定義域的 、值域是各段值域的
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7.分數指數冪與根式的性質： x12.反函數：函數 y a 的反函數是____________,函數 y loga x 的反函數是____________.
m

（1） a n ________(a 0,m,n N ,且n 1）. 13．二次函數：
m
1 1 二次函數 y ax
2 bx c （a≠0）的圖象的對稱軸方程是 ，頂點坐標是
（2）a n （a 0,m,n N ,且n 1）.
m n
n a
m
a 判別式 b
2 4ac； 0時，圖像與 x 軸有 個交點；
a,a 0
n n n n n n

（3） ( a) a . （4）當 n 為奇數時, a a ；當n 為偶數時, a | a | . 0時，圖像與 x 軸有 個交點； 0時，圖像與 x 軸沒有交點；
a,a 0 14. 韋達定理：
8.指數性質：
x , x 2若 1 2 是一元二次方程ax bx c 0(a 0)的兩個根，則：x1 x2 = ，x1x2 = .
(1)a p _____ ； (2) a0 mn_____（a 0）； (3)a _______ 15．零點存在定理：若 y f (x) 在[a,b]上滿足 ,
m
(4)ar as ________ ； (5)a n ________ ； 則 y f (x) 在（a,b)內至少有一個零點
9.指數函數(如右圖)：
16．常見函數的導數公式：
y
（1） y a
x (a 1) 在定義域內是單調_____函數； y=ax
① (C)' n ；② (x ）' ； (nx）'
x
（2） y a (____________)在定義域內是單調減函數. 01 ' ' x '
1 ③ (sin x） ； ④ (cos x） ；⑤ (e ） ；
注：指數函數圖象都恒過定點______________. o x
10．對數運算規律： ⑥ (ln x）' x ' ' ； ⑦ (a ） ； ⑧(logx） .
（1）對數式與指數式的互化： log N b ____________a (a 0,a 1, N 0) . 17．導數運算法則：

（ ）對數恒等式： log 1 ， log a ， log ab ． lg 2+ lg5 ， lne （1） f x g x ； 2 a a a =
（3）對數的運算性質： f x
（2） ． M
①加法： loga M loga N ②減法： log
g x
a
N
n log N 18．曲線的切線方程：函數 y f (x) 在點 x 處的導數是曲線 y f (x) 在 P(x , f (x ))處的切線
③數乘： loga M (n R) ④恒等式：a
a 0 0 0
的斜率為 f (x0 ) ，相應的切線方程是 .
n log N
⑤ log m b ⑥換底公式： log
m
a N a logm a
第三部分：三角函數、三角恒等變換與解三角形
11.對數函數(如右圖)：
y 1．角度制與弧度制互化：
(1) y loga x(a 1) 在定義域內是單調遞增函數； y=logax 360°= rad，180°= rad，1°= ≈ rad，1rad= ≈
02．若扇形的圓心角為 ( 為弧度制)，半徑為 r ，弧長為 l ，周長為C ，面積為S ，則
（2） y loga x(0 a 1)在定義域內是單調遞減函數；
o x1
l ，C ，S= = ．
注： 對數函數圖象都恒過點__________. a>1
2
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7．三角函數的圖像與性質：
3.三角函數定義式：角 終邊上任一點（非原點）P (x, y),設 | OP | r 則
sin ，cos ， tan y cos x y sin x y tan x
4．同角三角函數的基本關系：
（1）平方關系： （2）商數關系 ．
（3）三角不等式：
①sin x cos x與sin x cos x 的關系是_______________________________.
圖象
②若 x (0, ),則sin x cos x 1. ③若 x ( ， ) ,則sin x cos x 1
2 2
④ | sin x | | cos x | 1.
5.函數的誘導公式：[口訣： 奇變偶不變，符號看象限.]
1 sin 2k sin
， ， ．（k∈Z） 定義域
值域
tan tan
（2） ， ， ． 周期
奇偶性
tan tan
(3) ， ， ．
tan tan
(4) ， , ．
單調性

5 sin cos
2 ， ．

cos sin
2
(6) ， ．
對稱性
6．特殊角的三角函數值：
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
角α的
弧度數
Sinα 8．幾個常見三角函數的周期：
① y sin x 與 y cos x 的周期為 .
Cosα
② y sin( x )或 y cos( x ) （ 0）的周期為 .
x
tanα ③ y tan 的周期為 .
2
y cos x 的周期為
④
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9. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
設a (x1, y1)，b (x2 , y2 )；（b 0 ）
（1）cos ； （2）cos ；
▲
y
1/2
x = ；a b = ； a = .
y=|cos2x+1/2|圖象
（3）sin ； （4）sin ；
a b （定義公式）= (坐標公式)．
（5）tan ; （6）tan .
a 在b 方向上的投影為. = (坐標公式)
10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2
a b （一般表示） （坐標表示） ．
cos2 = =
a ∥b （一般表示） （坐標表示）．
tan 2
降次公式： cos2 2 ，sin , sin cos 夾角公式： cos = (坐標公式).
11．引入輔助角公式： asin bcos .
2.若G 為 ABC的重心，則 = 0 ；
b
(其中,輔助角 所在象限由點 (a,b)所在的象限決定, tan ).
a
12. 正弦定理： . （ R 是 ABC外接圓直徑） 且 G 點坐標為 ( ， )
注 ： ① a :b : c sin A : sinB : sinC ； ② a 2R sin A,b 2R sin B,c 2R sinC ； 3.三點共線的充要條件：P，A，B三點共線 OP xOA (1 x)OB
a b c a b c 4.三角形的四心
③ 重心：三角形三條 交點.
sin A sin B sinC sin A sin B sinC
外心：三角形三邊 相交于一點.
13. 余弦定理： .（逆定理）
內心：三角形三 相交于一點.
（以 A 角和其對邊來表示）
垂心：三角形三邊上 的相交于一點.
14. 三角形面積公式： S ABC = = ．
5. 數列{ an }中 an 與 Sn 的關系 an （注：該公式對任意數列都適用）
（用邊與角的正弦值來表示）
6. 數列相關知識
三角形面積導出公式：
★1.等差數列：
S ABC （ r 為 ABC內切圓半徑）= （ R 外接圓半徑）
通項公式：（1）an ,其中a 為首項,d為公差,n為項數,a 為末項. _______________ 1 n
15. 三角形內切圓半徑 r= 外接圓直徑 2R= = =
（2）推廣： an _______________
第四部分：平面向量、數列與不等式
前 n項和： Sn ______________=__________________；其中a1為首項,n為項數,an 為末項.
1． 平面向量的基本運算：
常用性質：（1）若 m+n=p+q ,則有 ；
設 A (x , y ) ,B (x , y ) ,則 AB OB OA ___________. __________________1 1 2 2
注：若am是an ,ap 的等差中項,則有 2a a a n,m,p成等差數列. m n p
4
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2
（2）若 an 、 bn 為等差數列,則 an bn 為等差數列. ax bx c 0
(a 0)的解集
（3） an 為等差數列, Sn 為其前 n項和,則 Sm , S2m Sm , S3m S2m 也成等差數列.
ax2 bx c 0
則 （4）a q,a p, a 0 ； p q p q (a 0)的解集
★2.等比數列： 9. 重要不等式：
通項公式：（1） an ________ . ,其中 a1為首項,n為項數,q為公比. 基本不等式： 若a 0,b 0 則 ；
11．極值定理：已知 x, y 都是正數，則有：
（2）推廣：an _________ .
(1)如果積 xy是定值 p ，那么當 x y 時和 x y有最小值 ；
前 n 項和： Sn __________ ________. (2)如果和 x y是定值 s ，那么當 x y 時積 xy有最大值 .
常用性質：（1）若 m+n=p+q,則有 ；
_______________________ 12.均值不等式鏈：
如果 a,b 都是正數，那么 （當僅當 a=b 時取等號）
是 2注：若am an ,ap 的等比中項,則有 a a a n、m、p成等比. 即：平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b 為正數） m n p
2
特別地， a b 2 a b
2 2 2
ab ( ) （當
a b a b
a = b 時， ( ) 2 ab）
（2）若 a 、 b 為等比數列,則 a b 為等比數列. 2 2 2 2n n n n
2 2a b2 c2 a b c
7.常見數列的和： (a,b,c R,a b c時取等)
3 3
①1+2+3+……+n=
2 2 2 1
冪平均不等式：a1 a2 ... an (a a ... a )
2
1 2 n
12② +22+32+……+n2= n
13.均值定理:已知 x, y 都是正數,則有
3
③1 +23+33+……+n3= （1）已知a,b, x, y R ,若ax by 1則有
8.一元二次不等式解的討論. 1 1 1 1 by ax
(ax by)( ) a b a b 2 ab ( a b)2 .
0 0 0 x y x y x y
a b
（2）已知a,b, x, y R

,若 1則有
二次函數 x y
y ax2 bx c a b ay bx x y (x y)( ) a b a b 2 ab ( a b)
2
x y x y
（a 0）的圖象
一元二次方程
2 ax bx c 0
a 0 的根
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(4)直線和平面垂直的判定定理
第五部分：立體幾何與解析幾何
三視圖與直觀圖： 1.
原圖形與直觀圖面積之比為
2. 常見幾何體表面積公式：
圓柱的表面積 S= 圓錐的表面積 S= (5)平面和平面垂直的判斷定理
圓臺的表面積 S= 球的表面積 S=
3．常見幾何體體積公式：
柱體的體積 V= 錐體的體積 V=
(6)平面和平面垂直的性質定理
臺體的體積 V= 球體的體積 V=
4. 常見空間幾何體的有關結論：
⑴棱錐的平行截面的性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面 ，
截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的 ；相應小棱錐與小棱錐的側
面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的 ．
⑵長方體從一個頂點出發的三條棱長分別為 a ，b，c，則體對角線長為 ，全面 6．直線的斜率： k = =
積為 ，體積 V= （ 為直線的傾斜角， A(x1, y1) 、B(x2 , y2 )為直線上的兩點）
⑶正方體的棱長為 a，則體對角線長為 ,全面積為 ，體積 V= 7. 直線方程的五種形式：
⑷球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑＝長方體的 長. 直線的點斜式方程： (直線 l 過點P1(x1, y1)，且斜率為 k )．
球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑=正方體的 ,
直線的斜截式方程： (b 為直線 l 在 y 軸上的截距).
正方體的棱切球的直徑=正方體的 長, 正方體的外接球的直徑=正方體的體 長.
⑸正四面體的性質：設棱長為 a ，則正四面體的：
直線的兩點式方程： (P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 ) x1 x2 ， y1 y ). ① 高： ；②對棱間距離： ；③內切球半徑： ；④外接球半徑： 2
5.立體幾何常用的六個定理(三種語言) 直線的截距式方程： (a 、b 分別為直線在 x 軸、y 軸上的截距，且a 0,b 0 ).
(1)直線和平面平行的判定定理
直線的一般式方程： Ax By C 0 (其中 A、B不同時為 0).
直線 Ax By C 0的法向量： l (A, B) ,方向向量： l (B, A)
8．兩條直線的位置關系：
（1）若 l1 : y k1x b1， l2 : y k2x b2 ,則：
(2)直線和平面平行的性質定理
① l1 ∥ l2 且 ； .
（2）若 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 ,則：
① l1 ∥ l2 且 ；②. l1 l2 .
(3)平面和平面平行的判定定理 9．距離公式：
（1）點P1(x1, y1)， P2 (x2 , y2 )之間的距離：
6
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16．拋物線的定義：
（2）點 P(x0 , y0 )到直線 Ax By C 0 的距離： （1）平面內與一個定點F 和一條定直線 l （點F 不在 l 上）的距離的 的點的軌跡叫做雙
曲線.這個定點是拋物線的焦點，定直線是拋物線的準線.
（3）平行線間的距離： Ax By C1 0 與 Ax By C2 0的距離： （2）標準方程：焦點在 x軸上： ；焦點在 y 軸上： .
（3）拋物線問題隱含條件：（1）______________________,(2)_____________________.
10.圓的方程：
（1）圓的標準方程： 17．離心率：e= （橢圓的離心率 (0,1) ，雙曲線的離心率 ，拋物線的離心
2 2
（2）圓的一般方程： （ D E 4F 0) 率 ）
（3）圓的參數方程： x2 y2 x2 y2
18．雙曲線的漸近線： 1（a 0，b 0）的漸近線方程為 ，且與 1
11．直線與圓的位置關系：判斷圓心到直線的距離 d 與半徑 R 的大小關系 a2 b2 a2 b2
（1）當 時，直線和圓 （有兩個交點）；
（2）當 時，直線和圓 （有且僅有一個交點）； x2 y2
具有相同漸近線的雙曲線方程可設為 .
（3）當 時，直線和圓 （無交點）； a2 b2
12. 圓與圓的位置關系：判斷圓心距 d 與兩圓半徑和 R1 R2 ，半徑差 R1 R2（ R1 R2 ）的大小 19．過拋物線焦點的直線：
y2關系： 傾斜角為 的直線過拋物線 2 px 的焦點 F 且與拋物線交于 A(x1, y1) B(x2 , y2 ) 兩點
（1）當 時，兩圓 ，有 4 條公切線；
（2）當 時，兩圓 ，有 3 條公切線； （ y1 0 ）：
（3）當 時，兩圓 ，有 2 條公切線；
|AF|= |BF|= |AB|= =
（4）當 時，兩圓 ，有 1 條公切線；
1 1
（5）當 時，兩圓 ，沒有公切線； x1x2= y1y2= + = |AF| |BF|
13. 直線與圓相交所得弦長|AB|= （d 為直線的距離 r 為半徑）
20．焦點三角形的面積：（1）橢圓：S= ；（2）雙曲線：S= （ F PF ）
若 A(x1, y1), B(x
1 2
2 , y2 )(y1 y2 ) ，則線段 AB的垂直平分線為：__________________.
21．幾何距離：
已知兩圓 x2 y2 D1x E1y F
2 2
1 0與x y D2x E2 y F2 0， （1）橢圓雙曲線特有距離：①長軸（實軸）： ； ②短軸（虛軸）： ； ③焦距： .
（2）通徑長：①橢圓、雙曲線： ； ②拋物線： .
則這兩個圓公共弦所在直線方程為_____________________________________.
14．橢圓的定義： 22．直線被曲線所截得的弦長公式：若弦端點為 A (x1, y1),B(x , y ) ,則 2 2
（1）平面內與兩個定點 F1、F2 的距離和等于常數 的點的軌跡叫橢圓.這兩個
2 2 2 |AB|= = =
定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.（a b c ）
（2）標準方程：焦點在 x軸上： ；焦點在 y 軸上： . 23. 中點弦問題： 橢圓：kABkOP= 雙曲線：kABkOP=
（3）橢圓問題隱含條件：（1）______________________,(2)_____________________.
15．雙曲線的定義： 第六部分：統計與概率
（1）平面內與兩個定點F1、F2 的距離之差的絕對值等于常數： 的點的軌跡叫
2 2 2 1. 總體特征數的估計：
雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.（c b a ）
（ ）標準方程：焦點在 x軸上： ⑴樣本平均數 x= ； 2 ；焦點在 y 軸上： .
（3）雙曲線問題隱含條件：（1）______________________,(2)_____________________. ⑵樣本方差；S2= ；
⑶樣本標準差 S= .
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2．概率公式：
第八部分：選修部分（極參與不等式）
⑴互斥事件：_________________;對立事件：_________________:
互斥事件的概率公式：P(A+B)= 2 2
x cos
x y
⑵古典概型：基本事件的總數數為 N ，隨機事件 A 包含的基本事件個數為M ，則事件 A 1. 極坐標→直角坐標 直角坐標→極坐標
y sin
y
發生的概率為：P(A)=
tan (x 0)
x
2. 常見曲線的參數方程：
構成事件A的區域長度（面積或體積等）
⑶幾何概型： P(A)
試驗的全部結果構成的區域長度（面積或體積等）
普通方程 參數方程
3.回歸分析 過點 (x 0 , y0 ) 傾斜角為
(1)判斷兩個變量是正相關還是負相關可以用散點圖;
直線 y y0 tan (x x0 ) （ t 為參數） (2)線性回歸方程系數公式:其中 b 為斜率,a 縱截距
n n 或者 x x0
xi yi nx y (xi x)(yi y)
b i 1 i 1 ,a y bx 2 2 2
n n
2 圓 (x x ) (y y ) r
x 2
0 0
i nx (xi x)
2
i 1 i 1 常見曲線 （ 為參數）
的普通方
2 2
(3)相關系數的理解； 程與參數
x y
橢圓 1（a＞b＞0）
a 2 b2
4.獨立性檢驗:判斷兩個變量的依賴關系 方程 （ 為參數）
2 2
P(K2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 x y
雙曲線 1（a＞0，b＞0）
2 2
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 a b （ 為參數）
2
2 n(ad bc)k 2
(a b)(c d)(a c)(b d ) 拋物線 y 2 px （p＞0）
（ t 為參數）
第七部分：復數
3.不等式 | ax b | c(a 0,c 0) 的可轉化為
1. 復數的基本概念： z a bi （a，b R）
（1）實部： ；虛部： ； 虛數單位：i2= 不等式 | ax b | c(a 0,c 0) 的可轉化為
（2）模：|z|= =
4.絕對值三角不等式
（3）共軛復數：-z = （4）在復平面內對應的點為
柯西不等式： .（當且僅當 ad=bc 時取等號）
（5）復數相等：a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）
2. 復數的基本運算： 5.解 | x a | | x b | c 型不等式的常用方法是___________________________________.
（1）加減法：（a+bi）＋（c+di）= （a+bi）－（c+di）=
（2）乘法：（a+bi）×（c+di）= 求 | x a | | x b |最值得常用方法是_______________________________________.
（3）除法：（a+bi）÷（c+di）=
求 | ax b | | cx d |最值得常用方法是_______________________________________.
4n 1
注：對虛數單位 i ,有 i i, i 4n 2 1, i 4n 3 i, i 4n 1.
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