資源簡介

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高中數學 130 個易錯點
目 錄
第一章 集合與常用邏輯用語
易錯點 1．忽視（漏）空集致錯
易錯點 2．忽視最高項系數為 0時。
易錯點 3．忽視集合元素的互異性
易錯點 4．判斷充分性必要性位置顛倒
易錯點 5．分式不等式求補集不能直接改變不等號方向
第二章 一元二次函數、方程和不等式
易錯點 1．忽視基本不等式使用條件“一正，二定，三相等”中的“一正”
易錯點 2．忽視基本不等式使用條件“一正，二定，三相等”中的“三相等”
易錯點 3．解一元二次不等式忽視首項系數化正。
易錯點 4．解分式不等式時錯誤的直接把分母就“相當然”當成正數乘到不等式右邊。
易錯點 5．一元二次不等式在區間D上恒成立錯誤的“統一” 法。
易錯點 6．最高項系數含參數問題，經常忽略考慮系數 0。
第三章 函數概念與性質
易錯點 1．忽視定義域表示的是誰的范圍
易錯點 2．解不等式問題時忽略討論最高項系數是否為 0
易錯點 3．忽視函數的定義域
易錯點 4．根據函數奇偶性求解析式時忽視“ x ”的范圍。
易錯點 5．函數奇偶性忽略定義域。
易錯點 6．忽視抽象函數的定義域。
第四章 指數函數與對數函數
易錯點 1．分段函數單調性忽略分段點。
易錯點 2．求單調區間時忽略函數定義域。
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第五章 三角函數
易錯點 1．忽略順時針旋轉為負角，逆時針旋轉為正角。
易錯點 2．在三角函數定義中，忽略點坐標值的正負。
易錯點 3．分數的分子分母同乘或者同除一個數，分數的值不變（分數基本性質）
易錯點 4．圖象平移原函數與目標倒置或者左右平移將整個 x 平移。
易錯點 5．三角函數圖象平移函數名“相當然”已經統一了。
易錯點 6．忽視了 化正才能求三角函數的單調區間。
第六章 平面向量及其應用
易錯點 1．忽視0
易錯點 2．混淆向量模相等與向量相等
易錯點 3．誤把兩向量平行當成兩向量同向
易錯點 4．混淆向量數量積運算和數乘運算的結果
易錯點 5．向量求模忘記開根號
易錯點 6．忽視兩個向量成為基底的條件
易錯點 7．記反了向量減法運算差向量的方向
易錯點 8．錯誤使用a b的等價條件
易錯點 9．忽視兩向量夾角 a,b 的取值范圍
易錯點 10．混淆向量點乘運算和實數乘法運算
易錯點 11．誤把向量的投影當非負數
易錯點 12．混淆向量的夾角定義
易錯點 13．正弦定理邊角互化時忽略2R
易錯點 14．忽視銳角 ABC中，角的取值范圍
易錯點 15．在 ABC中忽視 cos A 0的解
第七章 復數
易錯點 1．忽視復數 z a bi 是純虛數的充要條件
易錯點 2．錯誤的理解復數比大小
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易錯點 3．錯誤的慣性思維理解復數的模
易錯點 4．誤把復數當實數代入計算
2
易錯點 5．忽視了 i 1，習慣性的認為平方是正數
易錯點 6．復數三角形式的標準形式理解錯誤
易錯點 7．忽視復數 z r(cos isin )在復平面的位置而求錯arg z.
易錯點 8．忽視復數 z a bi 在復平面的位置在轉化為復數三角形式時出錯.
易錯點 9．復數三角形式的除法沒化標準就代入除法運算法則
第八章 立體幾何初步
易錯點 1．混淆斜二測畫法中長度有變有不變
易錯點 2．混淆直觀圖和原圖
易錯點 3．在直線與平面平行中，忽視直線是否在平面內的多種情況
易錯點 4．錯誤認為，無數等于所有
易錯點 5．證明線面平行時，忽略了平面外一條直線，平面內一條直線，而造成的書
寫不規范
易錯點 6．忽略異面直線所成角的范圍
第九章 統計
易錯點 1．隨機數表法取數時忽略了重復數字需跳過
易錯點 2．忽視中位數需先從小到大排序，而是直接找中間的數而致錯
易錯點 3．樣本數據變化時，混淆了方差，標準差的變化規律
頻率
易錯點 4．誤把頻率分布直方圖的高 當頻率
組距
易錯點 5．總體百分位數忽略了將數據從小到大排序
易錯點 6．頻率分布直方圖中，平均數估計值中，高和面積混淆錯誤
易錯點 7．頻率分布直方圖中，中位數估計值錯誤的用中點代替
易錯點 8．在選拔選手問題時，習慣性的認為方差越小，越穩定，越好
第十章 概率
易錯點 1．誤把頻率當概率，混淆了頻率與概率的概念
易錯點 2．混淆了互斥事件與對立事件的區別
易錯點 3．忽視了概率加法公式適用的前提條件
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易錯點 4．基本事件列舉時出現重復或者遺漏
易錯點 5．混淆了有放回和無放回
第一章 空間向量與立體幾何
易錯點一：空間向量的加減運算
易錯點二：空間向量的數量積
易錯點三：用空間基底表示向量
易錯點四：空間向量的坐標運算
易錯點五：空間向量運算的坐標表示
易錯點六：空間位置關系的向量證明
易錯點七：異面直線夾角的向量求法
易錯點八：線面角的向量求法
易錯點九：面面角的向量求法
第二章 直線和圓的方程
易錯點一：兩條直線平行和垂直的判定
易錯點二：直線的方程
易錯點三：兩條直線的交點坐標
易錯點四：兩點間的距離公式
易錯點五：圓的方程
易錯點六：直線與圓的位置關系
易錯點七：圓與圓的位置關系
易錯點九：求橢圓的焦點
第三章 圓錐曲線的方程
易錯點一：利用橢圓定義求方程
易錯點二：求橢圓的焦點
易錯點三：求橢圓的長軸、短軸
易錯點四：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
易錯點五：根據離心率求橢圓的標準方程
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易錯點六：利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題
易錯點七：根據方程表示雙曲線求參數的范圍
易錯點八：根據 a,b,c求雙曲線的標準方程
易錯點九：求雙曲線的焦點坐標
易錯點十：根據焦點或準線寫出拋物線的標準方程
第四章 數列
易錯點一：判斷或寫出數列中的項
易錯點二：判斷等差數列
易錯點三：等差數列通項公式的基本兩計算
易錯點四：利用等差數列的性質計算
易錯點五：等差數列前 n項和的基本量計算
易錯點六：等比數列通項公式的基本量計算
易錯點七：求等比數列前 n項和
第五章 一元函數的導數及其應用
易錯點一：平均變化率
易錯點二：瞬時變化率的概率及辨析
易錯點三：導數定義中極限的簡單計算
易錯點四：求曲線切線的斜率（傾斜角）
易錯點五：基本初等函數的導數公式
易錯點六：導數的運算
易錯點七：用導數判斷或證明已知函數的單調性
易錯點八：求已知函數的極值
易錯點九：由導數求函數的最值
第六章 計數原理
易錯點 1：分步標準不清致錯
易錯點 2：忽視排列數公式的隱含條件致誤
易錯點 3：重復計數與遺漏計數致誤
易錯點 4：混淆“排列”與“組合”的概念致錯
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易錯點 5：計數時重復或遺漏致錯
易錯點 6：混淆項的系數與二項式系數
易錯點 7：錯用二項式系數的性質致誤
第七章 隨機變量及其分布列
易錯點 1：誤認為條件概率 P(B|A)與積事件的概率 P(AB)相同
易錯點 2：概率計算公式理解不清而致誤
易錯點 3：離散型隨機變量的可能取值搞錯致誤
易錯點 4：對離散型隨機變量均值的性質理解不清致誤
易錯點 5：要準確理解隨機變量取值的含義
易錯點 6：審題不清致誤
易錯點 7：對超幾何分布的概念理解不透致錯
易錯點 8：對正態曲線的性質理解不準確致錯
第八章 成對數據的統計分析
易錯點 1：概念不清致誤
易錯點 2：生搬硬套求回歸直線方程的步驟致錯．
易錯點 3：沒有準確掌握公式中參數的含義致誤
第一章 集合與常用邏輯用語典型易錯題集
易錯點 1．忽視（漏）空集致錯
【典型例題 1】（2022·全國高一課時練習）已知集合 A x 1 x 1 ，B x a 1 x 2a 1 ，若B A，則實數a 的
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取值范圍是（ ）
A．a 1 B．a 1
C．0 a 1 D．0 a 1
易錯點 2．忽視最高項系數為 0 時。
2
【典型例題 2】（2022·安徽省蚌埠第三中學高一月考）已知集合M x x x 6 0 ，N x mx 1 0 ，若N M ，
則實數m 的取值構成的集合為___________.
易錯點 3．忽視集合元素的互異性
2
【典型例題 3】（2022·浙江高一月考）已知集合 A a 2, a 1 ,a2 3a 3 ，若1 A，則實數a 的取值集合為（ ）
A． 1,0, 2 B． 0, 2 C． 1 D． 0
易錯點 4．判斷充分性必要性位置顛倒
【典型例題 4】（2022·安徽鏡湖·蕪湖一中高三月考（理））使得不等式 log1 x 5成立的一個充分不必要條件為（ ）
2
A． x 32 B．0 x 32
C．4 x 16 D． x 24
易錯點 5．分式不等式求補集不能直接改變不等號方向
2x 1
【典型例題 5】（2022·西城·北京四中高三月考）已知集合 A x 1, x R ，集合B x 1 x a 1, x R .
x 1
若B R A B，求實數 a 的取值范圍.
【練一練】
1．（2022·福建福州三中高一月考）已知集合 A x 2 x 5 ，B x m 1 x 2m 1 ，若B A ，則實數m 的取
值范圍為___________.
2．（2022·上海復旦附中青浦分校高一月考）已知集合 A {x | 2 x 5}，B {x | m 1 x 2m 1}，若 A B A，則
實數m 的取值范圍______________
2
3．（2022·新蔡縣第一高級中學高一月考）設M x x 5x 6 0 ，N x ax 1 0 ，若M N ，則實數a 的值構
成的集合為________________________．
4．（2022·廣東福田外國語高中高一月考）已知集合 A x∣ax2 2x 1 0 (a R) .若 A中只有一個元素，則 a 的值
___________.
2
5．（2022·江蘇淮安·高一月考）已知集合 A x | ax 2x 1 0, x R 是單元素集，則a 的值為____.
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6．（2022·全國高一課時練習）已知集合 x mx2 2x 1 0 n ，則m n的值可能為（ ）
1
A．0 B．
2
C．1 D．2
2
7．（2022·福建三明一中高一月考）如果集合M x mx 4x 2 0 中只有一個元素，則實數m 的所有可能值的和為
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2
8．（2022·全國高一單元測試）若關于 x 的方程ax 2 a 1 x 4 0的解集為單元素集合，則（ ）
A．a 0 B．a 1
C．a 0或 a 1 D．a 0且 a 1
9．（2022·山東省濰坊第四中學高一開學考試）若集合 A {x | kx2 4x 4 0}中有且僅有一個元素，則實數 k 的值為（ ）
A． k {0} B． k {1} C．k {1,0} D．k {1, 1}
2
10．（2022·廣東佛山·高一月考）已知，a A 1,3,a 則 a 的取值為___________.
11．（2022·重慶市第七中學校高三月考）“當 x [ 2,1]時，不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立”的一個必要不充分條
件為（ ）
A．a [ 5, 1] B．a [ 7, 1]
C．a [ 6, 2] D．a [ 4, 3]
3
12．（2022·全國高三月考）設 x R ，則 x 2 3 的一個必要不充分條件是（ ）
x
A． x 0 B． x 0且 x 3 C． x 3 D．0 x 3
13．（2022·貴陽修文北大新世紀貴陽實驗學校高三月考（文））二次函數 f (x) ax2 2x 1在區間 ( ,1)上單調遞
增的一個充分不必要條件為（ ）
1
A． a 1 B． a 2 C． a 0 D．0 a 1
2
14．（2022·黑龍江佳木斯一中高三月考（理））設 x R ，則 x 2 的一個必要不充分條件為（ ）
A． x B． x C． x 1 D． x 1
2x 1
15．（2022·沭陽縣修遠中學高一月考）設全集U R，集合 A {x | 1}，B {x | x 1}，C {x | 2a x a 3}.
x 2
（1）求 U A和 A B ；
（2）若 A C A，求實數a 的取值范圍.
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3x 1
16．（2022·渝中·重慶巴蜀中學高一月考）已知集合 A x 0 , B x 3x 2 3 ，
3x 1
（1）求 AR ；
（2）求 A B, A B ．
2 19
17．（2022·黑龍江大慶實驗中學高一月考）已知全集U R，集合 A x x 3x 18 0 ，B x 1 .
x 14
（1）求 U B A；
（2）若集合C x 2a x a 1 ，且B C C ，求實數a 的取值范圍.
第二章 一元二次函數、方程和不等式典型易錯題集
易錯點 1．忽視基本不等式使用條件“一正，二定，三相等”中的“一正”
1
【典型例題 1】（2022·全國高一專題練習）若 x 0 ，則 x （ ）
x
A．有最小值，且最小值為2 B．有最大值，且最大值為 2
C．有最小值，且最小值為 2 D．有最大值，且最大值為 2
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易錯點 2．忽視基本不等式使用條件“一正，二定，三相等”中的“三相等”
1
【典型例題 2】（2022·海南昌茂花園學校高三月考）當 x 4時，不等式 x a恒成立，則實數a 的取值范圍是
x 2
（ ）
9
A． ,4 B． 2, C． 4, D． ,
2
易錯點 3．解一元二次不等式忽視首項系數化正。
【典型例題 3】（2020·云南·曲靖市關工委麒麟希望學校高一期中）不等式 (x 1)(2 x) 0的解集為（ ）
A． x | x 1或 x 2} B．{x | x 2或 x 1} C．{x | 2 x 1} D．{x | 1 x 2}
易錯點 4．解分式不等式時錯誤的直接把分母就“相當然”當成正數乘到不等式右邊。
3x
【典型例題 4】（2022·江蘇·高一專題練習）不等式 2的解是（ ）
x 1
A． 2,1 B． 2,1
C． 2,1 D． , 2
易錯點 5．一元二次不等式在區間D上恒成立錯誤的“統一” 法。
【典型例題 5】（2022·全國·高一課時練習）若不等式 x2 2x a 2 0對任意的 x 1,3 恒成立，則實數a 的取值
范圍是（ ）
A． a | a 13 B． a a 1
C． a | a 3 D． a | a 1
易錯點 6．最高項系數含參數問題，經常忽略考慮系數 0。
【典型例題 6】（2022·全國·高三專題練習）對 x R，不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0 恒成立，則a 的取值范圍
是（ ）
A．﹣2 a 2 B．﹣2 a 2 C．a 2或a 2 D．a 2或a 2
【練一練】
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x2 3x 4
1．（2022·全國高一專題練習）已知 x 3，則 y 的最大值是（ ）
x 3
A． 1 B． 2 C．2 D．7
2．（2022·全國高一專題練習）下列不等式一定成立的是（ ）
3 x4 1
A． x 2 3 B． 2
x x2
2
x y y x
C． x2 y2 D．若 x 0 ， y 0，則 2
2 x y
3．（2022·全國高一專題練習）下列命題中錯誤的是（ ）
1 1
A．當 x 0時， x 2 B．當 x 2時， x 2
x x
3 4
C．當0 x 4時， x(4 x) 2 D．當 x 時，2x 1 2
2 2x 3
4．（2022·全國高一專題練習）下列函數中最小值為 2的函數是（ ）
1 1 x2 3 4
A． y x B． y x x 1 C． y D． y ex 2
2 ex
x x x 2
5．（2022·廣東鹽田·深圳外國語學校高三月考）在下列函數中，最小值為 2的是（ ）
1 1
A． y x B． y lg x (1 x 10)
x lg x
x2 2x 2 1
C． y (x 1) D． y sin x 0 x
x 1 sin x 2
6．（2022·吉林高三開學考試（文））下列函數中最小值為 4的是（ ）
4
A． y x2 2x 4 B． y sin x
sin x
4
C． y 2x 22 x D． y ln x
ln x
x2 2x 1 1
7．（2022·全國高三專題練習（理））已知 f (x) ，則 f (x)在 ,3 上的最小值為（ ）
x 2
1 4
A． B．
2 3
C．－1 D．0
x2 3
8．（2022·湖南高一月考）若 x 0 ，則 的最大值是（ ）
x 1
A．2 B． 2 C．4 D． 4
2
9．（2022·浙江南湖·高一期中）已知函數 f x x ax 1，若 f x 0在 0，2 上恒 a．成．立．，則實數 的取值范圍是（ ）
A． ,2 B． ,1 C． 0,2 D． 0,1
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10．（2022·吉林·東北師大附中高一月考）對于任意實數 x ，不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0恒成立，則實數a 的
取值范圍是（ ）
A． a a 2 B． a a 2 C． a 2 a 2 D． a 2 a 2
11．（2022·寧夏·六盤山高級中學高二月考（文））已知關于 x 的不等式ax2 ax 2 0在 R 上恒成立，則實數a 的
取值范圍是（ ）
A． ,0 8, B． ,0 8,
C． 0,8 D． 0,8
2
12．（2022·河南·高一月考）若不等式 a 2 x 2 a 2 x 4 0 對一切 x R 恒成立，則實數a 的取值范圍是（ ）
A． 2 a 2 B．a 2
C． 2 a 2 D．a 2或a 2
2
13．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二月考（文））若不等式 (a 3)x 2(a 2)x 4 0對于一切 x R 恒
成立，則a 的取值范圍是（ ）
A． ( ,2] B．[ 2,2] C． ( 2 2,2 2) D． ( ,2)
x 1
14．（2020·福建省廈門第六中學高一月考）不等式 2的解集是（ ）
x 2
A． ( ,2) 5, B． ,2 5, C． 2,5 D． (2,5)
1 x
15．（2022·江蘇省天一中學高二月考）不等式 0的解集為（ ）
1 x
A．{x | x 1或 x 1} B． x∣ 1 x 1 C．{x | x 1或 x 1} D．{x | 1 x 1}
x 3
16．（2022·全國·高一課時練習）與不等式 0同解的不等式是（ ）
2 x
A． x 3 2 x 0 B．0 x 2 1
2 x
C． 0 D． x 3 2 x 0
x 3
2 x
17．（2022·全國·高一課時練習）不等式 0的解集為（ ）
x
A． x | 0 x 2 B． x | 0 x 2 C． x | x 0或 x 2 D． x | x 0或 x 2
1
18．（2022·江西·上高二中高二月考）不等式 1的解集為（ ）
x 1
A． ,0 B． ,0 1,
C． 0,1 1, D． 0,
19．（2022·全國·高一單元測試）要使函數 y mx2 mx (m 1)的值恒為負值，m 的取值范圍為（ ）
4 4
A．m 0 B．m 0或m C．m 0或m D．m 0
3 3
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1
20．（2022·浙江·高三專題練習）若不等式 x2 ax 1 0對一切 x 0, 恒成立，則a 的取值范圍是（ ）
2
5
A．a 0 B．a 2 C．a D．a 3
2
第三章 函數的概念與性質典型易錯題集
易錯點 1．忽視定義域表示的是誰的范圍
【典型例題 1】（2022·黑龍江讓胡路·大慶中學高一月考）已知函數 y f x 的定義域為 1,2 ，則函數 y f x 2
的定義域為（ ）
A． 3,0 B． 1,4 C． 3,0 D． 1,4
易錯點 2．解不等式問題時忽略討論最高項系數是否為 0
x 1
【典型例題 2】（2022·黑龍江讓胡路·大慶中學高一月考）若函數 f (x) 的定義域為 R ，則實數m 的
mx2 2mx 4
取值范圍是（ ）
A． 0,4 B． 0,4
C． 0,4 D． ,0 4,
易錯點 3．忽視函數的定義域
【典型例題 3】（2022·全國高一單元測試）若 f ( x 1) x x ，則 f (x) 的解析式為（ ）
A． f (x) x2 x B． f (x) x2 x(x 0)
C． f (x) x
2 x x 1 D． f (x) x2 x
易錯點 4．根據函數奇偶性求解析式時忽視“ x ”的范圍。
x
【典型例題 4】（2022·全國高三專題練習）設 f (x) 為奇函數，且當 x 0 時， f (x) e 1，則當 x 0 時， f (x) =
易錯點 5．函數奇偶性忽略定義域。
1
【典型例題 5】（2022·全國高一課時練習）判斷函數是否具有奇偶性: f (x) , x [ 1,2]2 . x 1
易錯點 6．忽視抽象函數的定義域。
【典型例題 6】（2022·廣東高一單元測試）已知 f x 是定義在 2，2 上的單調遞減函數，且 f 2a 3 f a 2 ，
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則實數 a 的取值范圍是（ ）
1 5 5
A． 0，4 B． 1， C． ， D． 1，
2 2 2
【練一練】
f 2x 1
1.（2022·沙坪壩·重慶一中高一月考）已知函數 f x 的定義域是 1,3 ，則函數 g x 的定義域是( )
1 x
A． 3,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 3,1
2．（2022·四川射洪中學高一月考）已知函數 f (x) 的定義域為 1,2 ，則函數 f ( x 1)的定義域為（ ）
A．[ 2, 1] B．[1,2] C．[0,1] D．[ 1,0]
3 1 3x
3．（2022·撫順市第二中學高二期末）已知函數 f (x) 的定義域是 R ，則實數a 的取值范圍是（ ）
ax2 ax 3
A．a 0或a 12 B． 12 a 0
C． 12 a 0 D．a 0或a 12
1
4．（2022·全國高一專題練習）已知函數 f x 的定義域為 R ，則實數m 的取值范圍是（ ）
mx2 mx 1
A．0 m 4 B．0 m 4 C．0 m 4 D．0 m 4
1 x 1
5．（2022·黑龍江鐵鋒·齊齊哈爾中學高一期中）若 f 2 ，則有（ ）
x x
A． f x x2 1 B． f x x2 x
C． f x x2 x x 0 D． f x x2 1 x 0
6．（2022·山東牟平一中高一月考）已知函數 f (x2 1) x4 ，則函數 y f (x)的解析式是（ ）
2 2
A． f x x 1 , x 0 B． f x x 1 , x 1
2 2
C． f x x 1 , x 0 D． f x x 1 , x 1
7.（2022·天津市武清區楊村第一中學高二月考）設 f x 為偶函數，且當 x 0時， f x 1 lnx，則當 x 0 時，f x
（ ）
A． 1 ln x B． 1 ln x C． l ln x D．1 ln x
8．（2012·河北石家莊·高一月考）已知 是 R上的奇函數，且當 時， ，求 的解析
式．
9．（2020·黔西南州同源中學高一期中）已知函數 f (x) 是定義在 上的奇函數，當 x 時， f (x) x2R 0 2x .
（1）畫出當 x 0 時， f (x) 函數圖象；
（2）求出 f (x) 解析式.
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10.（2020·全國高一專題練習）判斷函數的奇偶性： f (x) 1 x2 x2 1；
11．（2020·海原縣第一中學高一月考）求函數的奇偶性： f x x 2 2 x ；
12．（2020·全國高一課時練習）判斷函數 y lg(x x2 1)的奇偶性，并證明
1
13．（2022·新余市第一中學高二月考（文））設奇函數 f x 在定義域 2,2 上單調遞減，則不等式 f 2x f 1 x 0
4
的解集為（ ）
3
A． 2,2 B． ,
4

7 3 7 3
C． , D． , ,
8 4 8 4
14．（2022·全國高一課時練習）奇函數 f x 在定義域 1,1 上是減函數，若 f 2m 1 f m 0，則m 的取值范圍
是（ ）
1 1 1 1
A． , 0 B． ,1 C． 1, D． ,
3 3 3 3
15（．2022·江蘇高一專題練習）已知定義域為[ 1,1]的奇函數 f (x) x3 x b 1，則 f (2x b) f (x) 0的解集為（ ）
1 1
A．[1,3] B． , 2 C．[1,2] D．3
,1
3

16．（2022·江蘇高一）已知函數 f x 是定義在區間 2,2 上的偶函數，當 x 0,2 時， f x 是減函數，如果不等式
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f 1 m f 1 m 成立，則實數m 的取值范圍（ ）
A． 1,0 B． 0,1 C． ,0 D． 1,1
17．（2022·福建省永泰縣第二中學高一期末）已知 f (x) 是定義在 ( 2,2) 上的奇函數且單調遞增，f (a 4) f (2a 5) 0，
則 a 的取值范圍是（ ）
7
A． (2,3) B． (3, ) C． (1,4) D． (4,6)
2
第四章 指數函數與對數函數典型易錯題集
易錯點 1．分段函數單調性忽略分段點。
a 2 x 1, x 1,
【典型例題 1】（2022·河南信陽·高三月考（文））已知函數 f x 若 f x 在 , 上單調遞增，
loga x, x 1
則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． 0,1 B． 2,3 C． 1,2 D． 2,
易錯點 2．求單調區間時忽略函數定義域。
【典型例題 2】（2022·重慶北碚·西南大學附中高一期末）函數 f (x) lg (x2 2x 8) 的單調遞增區間是（ ）
A． ( ， 2) B． ( ，1) C． (1， ) D． (4， )
【練一練】
2 a
1.（2022·慶陽第六中學高一期末）若函數 f (x) lg(ax 2x ) 的定義域為R ，則a 的取值范圍是（ ）
4
A． (- ，-2) B． (- ，2) C． (2， ) D． (-2， )
2．（2022·云南省云天化中學高一開學考試）函數 y x2 4x 12 的單調遞減區間為（ ）
A． ,2 B． 2, C． 2,6 D． 2,2
2
3．（2022·巴楚縣第一中學高三月考（文））函數 y log1 ( x x 6)的單調遞增區間為（ ）
2
1 1 1
A． ( 2,3) B． ( 2, ) C． ( ,3) D． ( , )
2 2 2
2
4．（2022·海南昌茂花園學校高三月考）函數 f x log1 x 4x 的單調遞減區間為（ ）
3
A． , 2 B． 2, C． ,0 D． 4,
5．（2022·貴州貴陽一中高三月考（理））函數 f (x) ln(2x2 3x 1)的單調遞減區間為（ ）
6．（2022·陜西渭濱·高二期末（文））函數 f (x) 3 2x x2 的單調遞增區間是（ ）
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A． ( ,1] B．[1, ) C．[1,3] D．[ 1,1]
7．（2022·江西省樂平中學高一開學考試）函數 f (x) ln(4 3x x2 )的單調遞減區間是（ ）
3 3 3 3
A． ( ， ] B．[ ， ) C． ( 1， ] D．[ ，4)
2 2 2 2
(1 3a)x 10a, (x 7)
8．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）已知函數 f (x) x x (x x )
ax 7
，且對于定義域內的 1， 2 1 2
, (x 7)
f (x1) f (x2 )
都滿足 0，則實數a 的取值范圍是（ ）
x1 x2
1 1 1 2 1 6 1 6
A． , B． , C． , D． ,
3 2

2 3 3 11 2 11
x2 3a 1 x 2, x 1
9．（2022·湖北·高三月考）已知函數 f x x ，若函數 f x 在 R 上為減函數，則實數a 的取
a , x 1
值范圍為（ ）
1 1 1 1 1
A． ,1 B．3
, C． 0, D． ,1
3 2 3 2
3a 1 x 4a, x 1
10．（2022·重慶·西南大學附中高一月考）已知函數 f x ，對任意實數 x1、 x2 x1 x2 都滿足
x 1, x 1
f x1 f x2
0，則實數a 的取值范圍是（ ）
x1 x2
1 1 1 1 1
A． , B． , C． , D． ,
7 7 3 3 3
3 a x 4a, x 1
11．（2022·四川·射洪中學高一月考）已知函數 f (x) 2 是 R 上的增函數，則實數a 的取值范圍是
x , x 1
（ ）
2 2 2 2
A． ,3 B． ,35 5
C． ,3 D． ,3
5 5
x2 ax 7, x 1

12．（2020·廣東·東莞市東莞中學高一月考）已知函數 f (x) a 是 ( , )上的增函數，則a 的取
, x 1
x
值范圍是（ ）
A．[ 4,0) B．[ 4, 2] C． ( , 2] D． ( ,0)
第五章 三角函數典型易錯題集
易錯點 1．忽略順時針旋轉為負角，逆時針旋轉為正角。
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【典型例題 1】（2022·全國·高一專題練習）將手表的分針撥快10分鐘，則分針在旋轉過程中形成的角的弧度數是
（ ）

A． B． C． D．
6 3 6 3
易錯點 2．在三角函數定義中，忽略點坐標值的正負。
1
【典型例題 2】（2022·湖北襄陽·高一期中）設 是第三象限角，P x, 4 為其終邊上的一點，且cos x，則 tan
5
（ ）
4 4 3 4 3
A． 或 B． C． D．
3 3 4 3 4
易錯點 3．分數的分子分母同乘或者同除一個數，分數的值不變（分數基本性質）
【典型例題 3】（2022·安徽省五河第一中學高二月考）已知 tan 2則 sin2 sin cos 2cos2 的值為________．
易錯點 4．圖象平移原函數與目標倒置或者左右平移將整個 x 平移。

【典型例題 4】（2022·全國·高一單元測試）為了得到函數 y sin 2x 的圖象，可以將函數 y sin2x的圖象（ ）
6

A．向左平移 個單位 B．向右平移 個單位 C．向左平移 個單位 D．向右平移 個單位
6 6 12 12
易錯點 5．三角函數圖象平移函數名“相當然”已經統一了。

【典型例題 5】（2022·遼寧·撫順縣高級中學校高三月考）要得到函數 y 3cos(2x ) 的圖象，只需將 y 3sin 2x 的
4
圖象（ ）
3
A．向左平移 個單位 B．向左平移 個單位
8 8
3 3
C．向左平移 個單位 D．向右平移 個單位
4 4
易錯點 6．忽視了 化正才能求三角函數的單調區間。

【典型例題 5】2022·四川省新津中學高一開學考試）已知函數 f (x) 2sin( x)（ 0 ）的最小正周期 .求函數
6
f (x) 單調遞增區間.
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【練一練】
1．（2022·全國·高二課時練習）鐘表的分針在 1.5小時內轉了（ ）
A．180° B．-180° C．540° D．-540°
2．（2022·陜西·咸陽百靈學校高一月考）若將鐘表調快 5分鐘，則分針轉動角為（ ）
π π π π
A． B． C． D．
3 6 6 3
3．（2022·江蘇宿遷·高一期末）小亮發現時鐘顯示時間比北京時間慢了一個小時，他需要將時鐘的時針旋轉（ ）

A． rad B． rad C． rad D． rad
3 6 6 3
sin 2 sin2
4．（2022·江蘇·泰州中學高一期末）已知點 A(3m, m) 是角 a 的終邊上的一點，則 的值為（ ）
1 cos2
7 5 5 7
A． B． C． D．
18 18 2 2
5．（2022·北京八中高一期中）設角 終邊上一點P( 4a,3a)(a 0) ，則 2sin cos 的值為（ ）
3 2 2
A． B． C． D．與 有關
5 5 5
1
6．（2022·上海市奉賢中學高一期中）已知0 ，將角 的終邊逆時針旋轉 ，所得的角的終邊交單位圓于P , y ，
2 6 3
則 sin 的值為（ ）
2 2 3 2 2 3 2 6 1 2 6 1
A． B． C． D．
6 6 6 6
7．（2022·江西·新余四中高一月考）若 tan 3，則cos2 sin 2 的值為（ ）
sin 3cos 1
8．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高一期中）已知 5，那么cos
2 sin2 __________.
3cos 5sin 2

9．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三期中）為了得到函數 y sin 2x 的圖象，需要把函數 y sin 2x 的圖象（ ）
3

A．向左平移 個單位長度 B．向右平移 個單位長度
3 3

C．向左平移 個單位長度 D．向右平移 個單位長度
6 6

10．（2022·江蘇·高一課時練習）要得到函數 y 3sin 2x 的圖象，只需將函數 y 3sin 2x 的圖象（ ）.
4
π π
A．向左平移 個單位長度 B．向右平移 個單位長度
4 4
π π
C．向左平移 個單位長度 D．向右平移 個單位長度
8 8

11．（2022·北京·北理工附中高三月考）要得到函數 y=cos2x的圖象，只要將函數 y cos(2x ) 的圖象（ ）
3

A．向右平移 個單位 B．向左平移 個單位
3 3
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C．向右平移 個單位 D．向左平移 個單位
6 6

12．（2022·四川·高三月考（理））將函數 y cos2x圖象上所有的點向右平移 個單位長度，得到函數 y f (x)的圖
8
象，則（ ）
A． f x 的最小正周期為2

B． f x 的圖象關于點 , 0 對稱
8
5
C． f x 的圖象關于直線 x 對稱
8

D． f x 在 0, 上單調遞增
4

13．（2022·全國·高一課時練習）已知函數 f (x) 2sin 2x ，求： f (x) 的單調遞增區間；
4

14．（2022·陜西省黃陵縣中學高一期中（理））已知函數 y sin 2x ．求：函數 y sin 2x 的單調遞減
8 8
區間，對稱軸，對稱中心；
第六章 平面向量及其應用 典型易錯題集
易錯點 1．忽視0
例題 1．（2021·全國·高一課時練習）給出下列命題：①若 a b ，則 | a | | b | ；②若 | a | | b |，則a b ；③若a b ，
則 a / /b；④若 a //b,b // c ，則a / /c .其中正確說法的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【常見錯解】D
解：因為a b ，則向量 a,b互為相反向量，所以 | a | | b | ，故①正確；
因為向量不能比較大小，故②錯誤；
若 a b，則向量a,b方向相同，故③正確；
若 a //b,b // c ，由平行的傳遞性，則a / /c ，故④正確.
所以正確說法的個數是 3個.
故選：D.
【動手實戰】
1．（2021·上海·）判斷下列命題：①兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點必相同；②若a//b ，則a 與b 的方
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向相同或相反；③若a//b ，且b//c，則a//c ；④若a b，則a 2b．其中，正確的命題個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2020·寧夏育才中學）有下列命題：


①若 a b ，則 a b ；

②若 AB DC ，則四邊形 ABCD是平行四邊形；

③若m n ， n k ，則m k ；

④若 a // b ， b // c ，則 a // c .
其中，假命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
易錯點 2．混淆向量模相等與向量相等
例題 1．（2022·江西·貴溪市實驗中學高二期末）若向量 a b ，則a b ( )
【常見錯解】正確
【錯因分析】未能正確理解向量模與向量的關系，向量既有大小，又有方向，a b | a | | b |且a,b同向.本例
中 a b ，僅僅只是說明a,b模相等，對于方向，無限可能，所以無法由 a b 得到a b .
【動手實戰】
1．（2021·全國·高一課時練習）命題“若m n ，n k ，則m k ” 的真假性為( )
2．（2021·全國·高一課時練習）若a 與b 都是單位向量，則a b .( )
易錯點 3．誤把兩向量平行當成兩向量同向
例題 1．（2021·云南·昆明二十三中高一期中）下列命題正確的是（ ）
A． a b a b B． a b a b
C． a//b a，b =0 D． a 0 a 0
【常見錯解】C
【錯因分析】對于向量平行問題， a//b ，很多同學總是當做直線平行記憶，認為直線平行那不是成0 角，想當然
認為向量的平行也是成0 ，在剛學習向量時，特別要注意向量，直線的區別.
【動手實戰】
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1．（2022·全國·高三專題練習）已知向量a ，b 為非零向量，則“向量a ，b 的夾角為 180°”是“ a / /b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2021·內蒙古·赤峰學院附屬中學高一期末）下列說法正確的是（ ）
A．方向相同的向量叫做相等向量
B．共線向量是在同一條直線上的向量
C．零向量的長度等于 0
D． AB//CD就是 AB 所在的直線平行于CD所在的直線
易錯點 4．混淆向量數量積運算和數乘運算的結果
例題 1．（2021·全國·）設 a ，b ， c 是三個向量，以下四個選項正確的是（ ）
A．若a 0，b 0，c 0，則 a b c a b c
B．若a b 0，a 0，則b 0
C．若 a b b c ，且b 0 ，則a c
D．a b b a
【常見錯解】A
【錯因分析】很同學看到 A中 a 0，b 0，c 0，再看結論 a b c a b c 直接把向量的點乘和數乘，當做實數乘
法運算了， (ab)c a(bc)，混淆了向量的點乘結果，數乘結果.事實上對于 a b c a b c ，左邊的本質是： c ，右
邊的本質是： a，無法得到 c a .
【動手實戰】
1．（2022·浙江·模擬預測）已知平面非零向量a,b,c ，則“ a b c a c b ”是“ b c ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2021·海南·海口一中高三階段練習）已知a,b,c為非零平面向量，則下列說法正確的是（ ）
A． (a b) c a (b c) B．若a c b c ，則a b
C．若a / /b ，則 R,b a D． | a b | | a | | b |
3．（2020·河南·南陽中學（文））由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：
①“ mn nm ”類比得到“ a b b a ”；
②“ m n t mt nt ”類比得到“ a b c a c b c ”；
③“ m n t m n t ”類比得到“ a b c a b c ”；
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④“ t 0，mt xt m x”類比得到“ p 0，a p x p a x ”；
⑤“ m n m n ”類比得到 a b a b ；
ac a a c a
⑥“ ”類比得到“ ”．
bc b b c b
以上式子中，類比得到的結論正確的個數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
易錯點 5．向量求模忘記開根號
1
例題 1．（2022·江西·高三階段練習（理））已知向量a,b,| a | 6,b ( 3,4)，若a 在b 的投影為 ，則 | 3a 2b | （ ）
4
A．169 B．13 C．196 D．14
【常見錯解】A
a b 1
2 1 1 5
解：因為b ( 3,4)，所以 b 3 42 5，因為a 在b 的投影為 ，所以 ，所以a b b ，所以
4 b 4 4 4
2 2 5
(3a 2b)2 9a 12a b 4b 9 ( 6)2 12 ( ) 4 52 169
4
故選：A
【錯因分析】典型的解題時忘記求模開根號，習慣沒有養成要，先求 (3a 2b)2 ，再開根號為答案，往往學生求出
2 2 2
(3a 2b)2 就忘記開根號，養成好的習慣對于求模問題 | 3a 2b | 3a 2b 9a 12a b 4b ，在平時訓練時就注
意開根號.
【動手實戰】

1．（2022·廣東·信宜市第二中學高三開學考試）已知非零向量 a, b 滿足 | a 2 b | | a b |，且 a b 3，則向量 b 的模長
為_________．

2．（2022·湖南·高一課時練習）已知 a 2， b 3， a 與b 的夾角為 ，試求：
3
(1) a b ；(2) a b ．
易錯點 6．忽視兩個向量成為基底的條件

1．（多選）（2022·全國·高一）在下列向量組中，可以把向量 a 3,2 表示出來的是（ ）
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A．e1 0,0 ,e 1,2 B．2 e1 1,2 ,e2 5, 2

C．e 3,5 ,e 6,10 D．1 2 e1 2, 3 ,e2 2,3
【常見錯解】BCD

選項 A： e1 0,0 ，不能作為基底，對于 BCD 都不含0 ，可以作為基底表示其它向量
【錯因分析】對基底的概念理解不夠透徹，兩個向量能否作為一組基底表示其它向量，判斷的標準是這兩個向量是否

共線，對于選項 C．e1 3,5 ,e 6,10 ，顯然 e 2e ,說明2 2 1 e1,e 共線，不能用來做基底. 2
【動手實戰】
1．（多選）（2021·河北·大名縣第一中學高一階段練習）已知 e1 ，e2 是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為基
底的是（ ）
A．a 0，b e1 e 2
B．a 3e1 3e2 ，b e1 e 2
C．a e 2e ，b e 1 2 1 e2
D．a e 2e ，b 2e1 4e 1 2 2
2．（多選）（2021·浙江·高二期末）設e1,e2 是平面內兩個不共線的向量，則以下a,b可作為該平面內一組基底的（ ）
1 1
A．a e e ,b e B．a 2e1 e2 ,b e e1 2 1 1 2
2 4
C．a e e ,b e e D．a e1 2e2,b e1 4e1 2 1 2 2
易錯點 7．記反了向量減法運算差向量的方向
例題 1．（2021·全國·高三專題練習）正三角形 ABC 邊長為 2，設BC 2BD， AC 3AE ，則 AD·BE _____.
1
【常見錯解】因為BC 2BD，所以點D是 BC 的中點，所以 AD AB AC ，
2
1
AC 3AE ，所以 BE AB AE AB AC ,所以
3
1 1 1 2 1 1 2
AD·BE AB AC AB AC (AB AB AC AB AC AC )
2 3 2 3 3
1 2 4
(4 2 2 cos60 ) 2
2 3 3
1
【錯因分析】本題選定了 AB, AC 作為基底，在用基底 AB, AC 表示向量 BE AB AE AB AC 時，向量減法運
3
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1
算錯誤，a b最后的結果應該指向 a 向量，所以正確的表示應該是 BE AE AB AC AB .
3
【動手實戰】
1．（2021·云南省瀘西縣第一中學高二期中）已知 M，N 分別是線段OA,OB上的點，且OM MA,ON 2NB ，若
MN OA OB，則 ___________.
2．（2021·全國·高一課時練習）在三角形 ABC 中，若 AB AC 3AP ，且CP xAB yAC，則 x y _______
3．（2022·浙江·高三專題練習）設 O 為四邊形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 的交點，若 AB a ，AD b，OD c ，則OB
___________.
易錯點 8．錯誤使用a b的等價條件


例題 1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知向量 a 2,1 ，b 1,k ，若 a 2 b // k a ，則實數 k ___________.

4 1 2k 1
【常見錯解】 a 2b 4,1 2k ， k a 2k,k ，若 a 2 b / / k a ，則 k
2k k 2
【錯因分析】錯誤的運用向量平行的等價條件，對于m (x1, y ，1) n (x2 , y )，2 m n x1y2 x2 y1 0，而本題錯
x1 y
誤的運用為m n
1
，此時容易忽略 0這個解.
x2 y2
【動手實戰】
1．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知向量a （2，1），b （1，k）（k 0），若 a 2b ∥ ka ，則非零
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實數 k=________．
2．（2021·全國·高一課時練習）已知向量a ＝（m，1），b ＝（m﹣6，m﹣4），若 a∥ b ，則 m 的值為__．
易錯點 9．忽視兩向量夾角 a,b 的取值范圍
例題 1．（2021·重慶·臨江中學高三階段練習）已知 a 1,2 ，b ,3 ，向量a 與向量b 夾角為銳角，則 的取值范圍
為________．
【常見錯解】因為 a 1,2 ，b ,3 ，且向量 a 與向量b 夾角為銳角，所以a b 0
所以：1 2 3 0 6
【錯因分析】錯誤的認為向量 a 與向量b 夾角為銳角 a b 0，事實上a b 0 向量a 與向量b 夾角為銳角或0
角，本題錯解忽略了0 的情況.
【動手實戰】
1．（2021·上海·高一課時練習）設a =（2，x），b =（-4，5），若a 與b 的夾角 θ為鈍角，則 x 的取值范圍是___________.
2．（2021·云南·昆明市外國語學校高一階段練習）向量a (2,t) ，b ( 1,3)，若a,b 的夾角為鈍角，則 t 的范圍是________．
3．（2022·全國·高三專題練習（文））已知 a = 1,2 ,b 1,1 ，且a 與a λb的夾角為銳角，則實數 的取值范圍為
___________.
易錯點 10．混淆向量點乘運算和實數乘法運算
例題 1．（2021·福建龍巖·高三期中）已知 a 4，b 6，且a 與 0b 的夾角為60 ，則 2a b ___________
2
【常見錯解】由題意可知， a 4，b 6， 2a b = 2a b = 4a2 4a b b 2 4 16 4 4 6 36 2
【錯因分析】本題錯例是考試中常見的一種錯誤，混淆了向量a b 和實數 ab 相乘得運算法則.
【動手實戰】
1．（2021·北京十五中高一期中）已知非零向量a,b夾角為45 ，且 a 2, a b 2 .則 b 等于_________.
2．（2020·江蘇·淮陰中學三模）已知向量a 與向量b 的夾角為60 ， a | b | 1，則 a b ______．
易錯點 11．誤把向量的投影當非負數
2π
1．（2022·黑龍江·哈師大附中高三期末（理））已知向量 a 與b 的夾角為 ，a 2 ，則a 在b 方向上的投影為（ ）
3
6 2 6 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
【常見錯解】B
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2π
向量 a 與b 的夾角為 ， a 2
3
2π 1 2
a 在b 方向上的投影為 | a cos | | 2 |
3 2 2
【錯因分析】未能正確理解向量的投影，習慣性認為投影是一個非負數，所以在求投影時，考生自己加了絕對值符號
上去.特別提醒，向量的投影，可正可負可為零.
【動手實戰】
1．（2022·四川敘州·高三期末（文））若向量a,b 滿足 a 2, a 2b a 6，則b 在 a 方向上的投影為（ ）
1 1
A．1 B．-1 C． D．
2 2
2．（2021·四川·寧南中學高一開學考試）已知向量a ，b 的夾角為 120°，a 4，b 1，則a 在b 方向上的投影為（ ）
1 3
A． 2 B． C． 1 D．
2 2
3．（2021·全國·高一課時練習）已知 a 1， b 2，且a a b ，則a 在b 上的投影向量為（ ）
1 1
A． b B．b C． b D． b
4 4
易錯點 12．混淆向量的夾角定義
例題 1．（2021·全國·高一課時練習）在邊長為2的正三角形中，設BC a，CA b，AB c，則a b b c c a ______．
【常見錯解】6
因為 ABC是邊長為2的等邊三角形，所以 a b c 2，
1
所以 a b b c c a 2 2 2，
2
所以a b b c c a 2 2 2 6
【錯因分析】錯誤理解向量的夾角，在使用a b | a || b | cos a,b 求解時，特別注意 a,b ，要共起點才能找夾
角，否則使用的可能是其補角造成錯誤。
【動手實戰】
1．（2021·河北石家莊·）已知等腰三角形 ABC 的頂角 A 120 ，BC 3 ，AB a ，BC b，AC c，則a b b c a c
___________.
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2．（2021·天津市實驗中學濱海學校（理））已知在 ABC中，AB 3, AC 1, BAC , BD DC, AE 2ED ，則CE BC
3
___________.
易錯點 13．正弦定理邊角互化時忽略2R
例題 1．（2021·貴州·高三階段練習（文）） ABC的內角A ，B，C 的對邊分別為a ，b ，c ，且滿足a 3，a sin B 3bcos A .
(1)求角A 的大小；
(2)求 ABC周長的取值范圍.
【常見錯解】(1)解：因為a sin B 3bcos A，所以 sin Asin B 3 sin B cos A .
又 sin B 0，所以 tan A 3 .

因為0 A ，所以 A .
3
2 2
(2)由（1）知 B C ，a b c 3 (sin B sinC) 3 sin B sin B 3 3
3 1 3 3
3 sin B cos B sin B 3 sin B cos B 3 3 sin B
2 2 2 2 6
2 5 1
因為 0 B ，所以 B ，則 sin B 1，
3 6 6 6 2 6
3 3
所以3 a b c 3 3 ，即 ABC周長的取值范圍是 3 ,3 3 . 2 2
a b c
【錯因分析】錯誤的原因在于習慣，對于正弦定理 2R，在邊角互化時，a 2Rsin A，
sin A sin B sin C
b 2Rsin B，c 2RsinC ，解題時，學生總是習慣的認為最后2R都會被約去，所以可有可無，就是個形式，本題
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注意，首先求a b c 它并不是一個方程，所以無法約去2R，特別提醒在利用a 2Rsin A，b 2Rsin B ，
c 2RsinC 解題時，不可隨意扔掉2R .該約去約去，該提取提取.
【動手實戰】
1．（2021·安徽·高三階段練習（理））若 ABC的內角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c，a b，且asin A bsin B 3sin A B .
(1)求 c；
(2)若b 2a，過點 C 作CH AB，垂足為 H，若 AH 4，求 ABC的面積 S.
易錯點 14．忽視銳角 ABC中，角的取值范圍
1．（2021·河南駐馬店·高二期中（理））銳角 ABC的內角 A, B,C 的對邊分別為a,b,c，且滿足
a 2,c sinC sinB bsinB asinA .
(1)求角A 的大小；
(2)求 ABC周長的范圍.
【常見錯解】
(1)∵ c sinC sinB bsinB asinA，
∴ c c b b2 a2 ，即c2 b2 a2 bc，
c2 b2 a2 bc 1
∴ cos A ，又0 A ，
2bc 2bc 2

∴ A .
3
b c
(2)由（1）知 A ，利用余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc (b c)2 3bc ，又因為bc ( )
2
，所
3 2
3(b c)2 3(b c)2 3(b c)2
以3bc 3bc (b c)2 3bc (b c)2 ，即：
4 4 4
2 1a (b c)2 b c 4，又由兩邊之和大于第三邊，所以2 b c 4 4 a b c 6 ,所以 ABC周長的范
4
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圍為 (4,6] .
【錯因分析】本題如果是求 ABC周長的最大值，利用均值不等式是可以求解的，或者拿去限制條件銳角 ABC中的
銳角，該解法也是合理的，但是，從本題來看，考生完全忽略了銳角這個條件，由兩邊之和大于第三邊，得到2 b c，
只能說 ABC成立，構成一個三角形，但是無法說明是銳角三角形，說明 2 b c不適用本題的最后結論.特別提醒，
如果涉及到銳角三角形求周長取值范圍，最通用的解法，就是邊化角，利用正弦定理求解.
【動手實戰】
1．（2021·廣東·深圳市龍崗區德琳學校高一階段練習）在銳角 ABC中，向量m (a, 3b)與n (cos A,sin B) 平行.
(1)求角 A；
(2)若 a=2，求 ABC周長的取值范圍.
2．（2021·四川省資中縣第二中學高三階段練習（理））在 ABC中，內角A ， B，C 所對的邊分別是a ，b ， c ，且
B
a cos bsin A．
2
(1)求B；
(2)若 ABC為銳角三角形，且b 3 ，求 ABC周長的取值范圍．
3．（2021·廣西·桂林市國龍外國語學校高三階段練習（文））在銳角 ABC中，三個內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，
b，c，且c b acos B bcos A .
(1)求角 A 的大小；
(2)若a 1，求 ABC周長的范圍.
易錯點 15．在 ABC中忽視cos A 0的解
例題 1．（2022·福建福州·高三期末）記 ABC的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知c acos B ccos A .
(1)試判斷 ABC的形狀，并說明理由；
a
(2)設點 D 在邊 AC 上，若 AD BD， sin ADB sin ABC ，求 的值.
b
【常見錯解】對于第一問，常見錯解如下：
(1)解：由已知條件，利用正弦定理可得sinC sin(A B) sin Acos B sinC cos A，
即 sin Acos B cos Asin B sin Acos B sin C cos A，
所以 cos Asin B sinC cos A，
所以 sin B sin C ，
所以 B=C，
所以 ABC為等腰三角形.
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【錯因分析】學生習慣性約去相同的項，沒有注意到約分的條件，當ab ac(a 0)此時，可以左右兩邊約去a ，從
而造成漏解，所以考生在平時解題養成習慣，什么時候可以約，要牢記，本題錯誤的把cos Asin B sinC cos A該式中
左右兩邊cos A約去，造成漏解.
第七章 復數 典型易錯題集
易錯點 1．忽視復數 z a bi 是純虛數的充要條件
m z m2例題 1．（2022·湖南·高一課時練習）求 為何實數時，復數 m 6 m2 2m 15 i是純虛數；
【常見錯解】若復數 z 為純虛數，則m2 m 6 0解得m 2 或者m 3
a 0
【錯因分析】對復數為純虛數理解不透徹，對于復數 z a bi 為純虛數 ，在本題中，
b 0
z m2 m 6 m2 2m 15 i，錯解只考慮了實部m2 m 6 0，而忽略了考慮虛部m2 2m 15 0而造成錯解.
【動手實戰】
2 2
1．（2022·湖南·高一課時練習）若復數 z a 2a a a 2 i 對應的點在虛軸上，求實數a 應滿足的條件．
2
2．（2022·湖南·高一課時練習）當實數a 為何值時，復數 z a 2a 3 a 3 i 為純虛數？
m2 m 6
3．（2019·貴州·沿河民族中學高二開學考試（理））已知復數 z (m2 2m 15)i （i 是虛數單位），復數 z
m 2
是純虛數，求實數 m 的值.
易錯點 2．錯誤的理解復數比大小
2 2 2
例題 1．（2022·湖南·高一課時練習）求使不等式 3 i 4 3 i 10成立的實數 的取值范圍．
2 2 2【常見錯解】因為不等式 3 i 4 3 i 10成立，
2
10 1
所以 解得： 10 或
2 3 10
( 3 )
2 4 3 2
a c
【錯因分析】對于復數a bi c di 錯誤的理解兩個復數比大小，a bi c di ，而造成錯誤，事實上，
b d
a c
兩個復數不能直接比大小，但如果a bi c di 成立，等價于 ，本題是實數比較大小的慣性思維導致的錯
b d 0
誤.
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【動手實戰】
1．（2021·全國·）設 z1 m
2 1 (m2 m 2)i ， z2 4m 2 (m
2 5m 4)i，若 z1 z2 ，求實數m 的取值范圍．
2．（2021·重慶市萬州沙河中學）已知復數 z (m2 8m 15) (m2 7m 12)i （其中 i 為虛數單位），當實數m 為何值
時.復數 z 0 .
2 2
3．（2021·上海師范大學第二附屬中學）已知復數 z m 5m 6 m m 2 i（ i 為虛數單位）．若z 0，求實數m
的值．
易錯點 3．錯誤的慣性思維理解復數的模
例題 1．（2022·福建寧德·模擬預測）復數 z1 cos x i sin x, z2 sin x i cos x ，則 z1 z2 _________．
【常見錯解】 z1 cos x isin x | z1 | cos
2 x ( sin x)2 1，同樣， z2 sin x icos x | z2|= sin
2 x ( cos x)2 1，所
以 z1 z2 | z1 | | z2 | 1
【錯因分析】錯誤的理解兩個復數乘積的模等于兩個復數模的積 z1 z2 | z1 | | z2 | 而造成錯解.
例題 2．（2022·山東濰坊·高三期末）復數 z 滿足 zi 2 i（其中 i 為虛數單位），則 z ______．
2 i
【常見錯解】 zi 2 i z= 1 2i ，所以 | z | | 1| | 2 | 3
i
【錯因分析】錯誤的理解復數 z a bi 的模 | z | | a | | b |.
【動手實戰】
2
1．（2022·北京師大附中高二期末）已知復數 z ，則 z __________．
1 i
易錯點 4．誤把復數當實數代入計算
例題 1．（2021·全國·高一課時練習）已知 z∈C，且 z 2 2i 13 ，（i 為虛數單位），則 | z |max =______.
2
【常見錯解】因為 z 2 2i 13 ，所以 (z 2) 4 13解得： z 5或 z 1，所以 | z |max 5 .
【錯因分析】本題是極易出錯的題目，本題中，由題意知 z∈C，而錯解中，把 z 直接當實數參與了復數模的運算，而
造成錯解，特別題型同學們，當題意出現 z∈C，應首先設出復數 z 的代數形式： z a bi ，再代入運算求解.
【動手實戰】
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a i
1．（2022·全國·高三專題練習）設 a∈C，a≠0，化簡： =______ .
1 ai
z 2 3 4i
2．（2021·全國·高三專題練習）設 z C ，且 i，其中 i 為虛數單位，則 的模為___________.
z 2 z
3．（2021·全國·高二課時練習）設a,b C，則“ a b 0 ”是“ a b ”的______條件.
2
易錯點 5．忽視了 i 1，習慣性的認為平方是正數
2 i
例題 1．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校高三期末（理））復數 的共軛復數是__________．
2i 1
2 i 2 i 2i 1 2i2 2 5i 4 5i 2 i 4 5i
【常見錯解】由題意得， ＝ 2 ，所以 的共軛復數為
2i 1 2i 1 2i 1 4i 1 3 2i 1 3
【錯因分析】本題錯解在于把 i2 1代入計算了。
【動手實戰】
3 i
1．（2022·北京密云·高三期末）在復平面內，復數 對應的點為Z ，則點Z 的坐標為________．
2 i
1 2i
2．（2021·天津紅橋·高三期中）若 i 是虛數單位，則 的虛部為___________.
2 i
2 i
3．（2021·天津實驗中學高三階段練習）已知復數 z ，則復數 z 的虛部為________
1 i
易錯點 6．復數三角形式的標準形式理解錯誤
例題 1．（2021·全國·高一課時練習）下列各式中已表示成三角形式的復數是（ ）.
π π π π
A． 2 cos isin B． 2 cos i sin
6 6 6 6
π π π π
C． 2 sin i cos D． 2 cos i sin
6 6 6 6
【常見錯解】C
【錯因分析】忽略了復數三角表示的標準形式： r(cos i sin )，考生往往只注意到 r 0，沒有注意其它要求，復數
三角形式的特點口訣：“模非負，角相同，余弦前，加號連”
【動手實戰】
1．（2021·全國·高一課時練習）復數 sin30 icos30 的三角形式為（ ）
A．sin30 isin30 B．cos240 isin 240
C．cos30 isin30 D．sin 240 icos240

2．（2021·上海·高一課時練習）復數 z 3 cos i sin 的三角形式為（ ）
5 5
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A．3 cos isin B．3 cos i sin
5 5 5 5
4 4 6 6
C．3 cos i sin D．3 cos i sin
5 5 5 5
3．（2021·上海·高一單元測試）復數 z i sin10 的三角形式為（ ）
A．cos10 i sin10 B． i sin10
C．sin10 cos90 isin90 D．sin10 cos0 isin 0
易錯點 7．忽視復數 z r(cos isin )在復平面的位置而求錯arg z.
2
1
例題 1．（2021·全國·高一課時練習）設 z1 1 3i ， z z ，則arg z2 （ ） 2 1
2
4 11 5
A． B． C． D．
3 3 6 3
3

1 1 2 b
【常見錯解】A z z2 1 3i 1 3 ， tan 2 i 3，所以 arg z2 1 1 2 . 4 4 2 2 a 3
2
b 1 3
【錯因分析】本題在求輻角的主值時，直接利用公式 tan 3 ，忽略了，復數對應的點 , 在第三象a 2 2
限，而造成錯解.
【動手實戰】
1．（2021·福建安溪·高三期中）任意復數 z a bi（a 、b R，i 為虛數單位）都可以寫成 z r cos isin 的形式，
2 2 3 1其中 r a b 0 2 該形式為復數的三角形式，其中 稱為復數的輻角主值.若復數 z i ，則 z 的輻角主
2 2
值為（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
3 1
2．（2021·山西懷仁·高一期中）已知復數 z i .則argz （ ）
2 2
5 2
A． B． C． D．
6 3 6 3
3．（2021·重慶巴蜀中學高一期中）復數 z sin50 icos50 的輻角主值是（ ）
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A．50 B．220 C．310 D．320
易錯點 8．忽視復數 z a bi 在復平面的位置在轉化為復數三角形式時出錯.
例題 1．（2021·上海市延安中學高一期末） 1 3i的三角形式是（ ）
π π 2π 2π
A．2 cos i sin B．2 cos i sin
3 3 3 3
7π 7π 7π 7π
C．2 sin i cos D．2 cos i sin
6 6 6 6
b 3
【常見錯解】錯解 1：選 A，由 1 3i得： r 2， tan 3 ，根據復數三角形式的標準形式得：
a 1 3
π π
z r cos isin ，所以 1 3i的三角形式是2 cos i sin ；
3 3
1 3 7π 7π
錯解 2：選 D 1 3i 2 i 2 cos i sin .
2 2 6 6
b 3 4
【錯因分析】錯解 1中忽略了復數 1 3i對應點Z( 1, 3) 在第三象限，所以由 tan 3 ，錯
a 1 3
1 3 7π 7π
解 1 錯在忽視了復數對應點的位置；錯解 2 1 3i 2 i 2 cos i sin ，記錯了常見角三角函數值，注意
2 2 6 6
7 3 7 1
cos ， sin .
6 2 6 2
【動手實戰】

1．（2021·全國·高一課時練習）下列表示復數1 i的三角形式中① 2 cos isin ；② 2 cos isin ；
4 4 4 4
9 9 3
③ 2 cos isin ；④ 2 cos isin ；正確的個數是（ ）
4 4 4 4
A．1 B．2 C．3 D．4
3 1
2．（2021·全國·高一課時練習）復數 i化成三角形式，正確的是（ ）
2 2

A．cos i sin B．cos isin
3 3 6 6
2 2 11 11
C．cos i sin D．cos i sin
3 3 6 6
3．（2021·上海·高一課時練習）復數 1 3i的三角形式是
2 2 5 5
A．2 cos i sin B．2 cos i sin
3 3 6 6
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5 5 11 11
C．2 cos i sin D．2 cos isin
3 3 6 6
1 3
4．（2021·陜西·西安市第八十九中學高二階段練習（文））設復數 z i （i 是虛數單位），則
2 2
z 2z2 3z3 4z4 5z5 6z6 （ ）
A．6z B．6z2 C．6z D． 6z
易錯點 9．復數三角形式的除法沒化標準就代入除法運算法則
1．（2022·湖南·高一課時練習）計算：
8 cos240 isin 240 2 cos150 isin150 ．
4(cos 240 i sin 240 )
【常見錯解】8(cos 240 i sin 240 ) 2(cos150 i sin150 )
cos150 i sin150
4(cos90 isin90 ) 4i
【錯因分析】本題錯解在于分母復數的三角形式沒有化成標準形式：2 cos150 isin150 ，所以首先要將該式化成標
準式為：2 cos( 150 ) isin( 150 ) ，特別注意復數三角形式的標準形式特點：“模非負，角相同，余弦前，加號連”
【動手實戰】
1．（2021·全國·高一課時練習）計算：
π π π π
(1)3 cos isin 2 cos i sin
6 6 6 6
π π π π
(2) 6 cos isin 3 cos isin
3 3 6 6
1 3 π π
(3) i cos isin
2 2 6 6
π π
(4) 1 i cos i sin
6 6
第八章 立體幾何初步 典型易錯題集
易錯點 1．混淆斜二測畫法中長度有變有不變
例題 1．（2021·上海市嘉定區安亭高級中學高二階段練習）如圖，若三角形 A'B'C ' 是用斜二測畫法畫出的水平放置的
平面圖形 ABC 的直觀圖.已知 A'B ' 4， C ' A'B' 45 ，三角形 A'B'C ' 的面積為2 2 .則原平面圖形 ABC 中 BC 的長度為
_________ .
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【常見錯解】2 5
1
因為 A B 4， C A B 45 ，且三角形 A B C 的面積為2 2 ，所以 S ' ' ' A B A C sin B A C 2 2 ，所以 A C 2，A B C 2
三角形 A B C 的原平面圖形如下所示：
所以 AC A C 2， AB 4且 AC AB，所以BC AC2 AB2 2 5 ；
故答案為：2 5
【錯因分析】直觀圖還原原圖時注意長度有變有不變：與 x 軸平行（重合）的線段長度不變；與 y 軸平行（重合）的
線段長度直觀圖是原圖的一半.本題考生忽略了 AC 2A C 4，長度應該變為原來的 2 倍.
【動手實戰】
1．（2021·江西贛州·高二階段練習（文））一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好
是一個邊長為 2 的正方形，則原平面圖形的面積_____
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2．（2021·全國·高一課時練習）如圖，△A'O'B'表示水平放置的△AOB 的直觀圖，B'在 x'軸上，A'O'和 x'軸垂直，且 A'O'=2，
則△AOB 的邊 OB 上的高為____
易錯點 2．混淆直觀圖和原圖
例題 1．（2021·江西·南昌市豫章中學高二開學考試（文））如下圖，
A B C 是 ABC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，其中O B O C 1，
3
O A ，那么 ABC的周長是________．
2
3
【常見錯解】在 O A C 中，O C 1,O A , A O C 45 ,
2
由余弦定理得：
6 1 6 1
A C 2 O C 2 O A 2 2O C O A cos45 ,得 A C ；同理 A B ;
2 2
6 1 6 1
所以周長為： 2 6 2
2 2
【錯因分析】錯把直觀圖直接當原圖了，在遇到斜二測畫法畫出的直觀圖中，一定要注意題目問的是原圖，還是直觀
圖，如果是原圖，要先還原，再求解.
【動手實戰】
1．（2021·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）如圖所示，Rt△A'B'C' 為水平放置的 ABC的直觀圖，其中 A C B C ，B O 3，
O C 4，則 ABC的面積是______．
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2．（2021·全國·高一課時練習）如圖所示，已知斜二測畫法畫出的 ABC的直觀圖 A B C 是邊長為a 的正三角形，則
原 ABC的面積為____________．
3．（2022·全國·高一）如圖所示， A B C 表示水平放置的 ABC的斜二測畫法下的直觀圖，A B 在 x 軸上，B C 與 x 軸
垂直，且B C 3，則 ABC的邊 AB 上的高為______．
易錯點 3．在直線與平面平行中，忽視直線是否在平面內的多種情況
例題 1．（2021·全國·高一課前預習）若直線 l 與平面 內的一條直線平行，則 l 和 的位置關系是（ ）
A． l B． l / / C． l 或 l / / D．l 和 相交
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【常見錯解】A
【錯因分析】直線與平面平行的判定定理中：平面外一條直線與平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行，忽略
了平面外這個重要條件，本題中直線 l與平面 內的一條直線平行，也可能 l .
【動手實戰】
1．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高三階段練習（文））下列結論錯誤的個數是（ ）
（1）若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行；
（2）若直線 a∥ 平面 α，P∈α，則過點 P 且平行于直線 a 的直線有無數條；
（3）如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
（4）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.
A．0 B．1 C．3 D．2
2．（2021·全國·高一課時練習）如果兩直線 a∥ b，且 a∥ α，則 b 與 α的位置關系是（ ）
A．相交 B．b∥ α C．b α D．b∥ α或 b α
易錯點 4．錯誤認為，無數等于所有
例題 1．（2021·四川恩陽·高二期中）下列命題正確的是（ ）
A．與平面內無數條直線垂直的直線與該平面垂直
B．過直線外一點可以作無數條直線與該直線平行
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C．各面都是正三角形的四面體的外接球球心和內切球球心恰好重合
D．各面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐
【常見錯解】A
【錯因分析】錯誤的認為與平面內無數條直線垂直，無數條，那不就是這個平面的所有直線，錯誤的認為無數等于所
有.
【動手實戰】
1．（2022·山西太原·高三期末（文））設 , 為兩個不同的平面，則 ∥ 的充要條件是（ ）
A． 內有無數條直線與 平行
B． , 垂直于同一平面
C． , 平行于同一條直線
D． 內的任何直線都與 平行
2．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中正確的個數是（ ）
①若直線 a 上有無數個點不在平面 α內，則 a∥ α；
②若直線 a∥平面 α，則直線 a 與平面 α內的任意一條直線都平行；
③若直線 a∥直線 b，直線 b∥平面 α，則直線 a∥平面 α；
④若直線 a∥平面 α，則直線 a 與平面 α內的任意一條直線都沒有公共點.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·上海長寧·高二期末）已知直線a,b和平面 ，且b 在 上，a 不在 上，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．若 a ∥ ，則存在無數條直線b ，使得 a ∥ b
B．若a ，則存在無數條直線b ，使得a b
C．若存在無數條直線b ，使得 a ∥ b ，則a ∥
D．若存在無數條直線b ，使得 a b，則a
易錯點 5．證明線面平行時，忽略了平面外一條直線，平面內一條直線，而造成的書寫不
規范
例題 1．（2022·四川省廣安代市中學校高三階段練習（文））如圖，四棱錐P ABCD 中，四邊形 ABCD 是矩形，AB 3 ，
AD＝2，△PAD為正三角形，且平面 PAD⊥平面 ABCD，E、F 分別為 PC、PB 的中點．
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(1)證明：EF∥平面 PAD；
【常見錯解】
∵ E，F 分別為 PC，PB 的中點，∴ EF∥BC ．
AD∥BC ，所以EF∥AD，
∴ EF∥平面 PAD；
【錯因分析】證明過程中，只說明了EF∥AD，為能正確理解定理，在證明過程中一定要寫明 AD 平面 PAD，EF
平面 PAD 這兩句話，證明過程才完整.
【動手實戰】
1．（2022·山西·臨縣第一中學高三開學考試（文））如圖，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四邊形 A1ADD1為矩形，且平
1
面 A1ADD1 平面 ABCD， AB//CD， AB AD A A CD， DAB ，M，E 分別為 AD1 ，B1C1 的中點．
2 2
(1)證明：ME // 平面DCC1D1；
2．（2020·四川恩陽·高二期中（文））如圖，四邊形 ABCD 為正方形，PD 平面 ABCD，PD DC ，點 E、F 分別為
AD、PC 的中點.
(1)證明：DF∥平面 PBE；
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3．（2021·內蒙古·高三階段練習）如圖，在四棱錐P ABCD 中，△PAB是邊長為 2 的等邊三角形，梯形 ABCD滿足
BC CD 1， AB∥CD ， AB BC，M 為 AP 的中點.
(1)求證：DM ∥平面PBC ；
易錯點 6．忽略異面直線所成角的范圍
例題 1．（2021·四川省宜賓市第三中學校高二期中（理））直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ ACB＝120°，
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E 為 BB′的中點，異面直線 CE 與 C′A 所成角的余弦值是（ ）
10 10 10 10
A． B． C． D．
5 5 10 10
【常見錯解】 A 如圖所示，直三棱柱 ABC A B C 向上方補形為直三棱柱 ABC A B C ，其中 A ，B ，C 分別為
各棱的中點，取B B 的中點D ，可知CE//C D ，異面直線CE與C A所成角即為C D 與C A所成角.設CB 2，則C D 5 ，
8 5 21 10
C A 2 2 ， AD 21， cos AC D
2 2 2 5 5

【錯因分析】忽略了異面直線所成角的范圍 (0, ]，所以兩條異面直線所成角的余弦值一定是正數.
2
【動手實戰】
1．（2021·四川·瀘縣五中高二期中（文））空間四邊形 ABCD 中，AB、BC、CD 的中點分別是 P、Q、R，且 PQ=3，QR=5，
PR=7，那么異面直線 AC 和 BD 所成的角是（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2．（2020·江蘇如東·高一期中）如圖，直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AB AC BC ，則異面直線 AB1和BC1所成角
的余弦值為（ ）
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1 1 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
3．（2020·內蒙古呼和浩特·一模（文））如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的側棱長為底面邊長的 2 倍，M 是側棱CC1
的中點，則異面直線 AB1和BM 所成的角的余弦值為（ ）
3 10 3 3 10 3
A． B． C． D．
20 16 20 16
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第九章 統計 典型易錯題集
易錯點 1．隨機數表法取數時忽略了重復數字需跳過
例題 1．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）總體由編號 01，02，…，29，30 的 30 個個體組成.利用下面的
隨機數表選取 6 個個體，選取方法是從如下隨機數表的第 1 行的第 6 列和第 7 列數字開始由左到右依次選
取兩個數字，則選出來的第 5 個個體的編號為（ ）
第 1 行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第 2 行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19 B．25 C．26 D．27
【常見錯解】C 按題意從第 1 行的第 6 列和第 7 列數字 23 開始，23,20,26,24,26，所以選 C.
【錯因分析】第三個選出來的編號 26，第 5 次又重復選出該編號，造成的錯誤，正確的做法是第 5 次讀到
26 與前面編號重復，應該跳過，繼續往右讀，正確的第 5 個編號為 25.
【動手實戰】
1．（2021·江西景德鎮·高一期末）總體編號為 01，02，…，29，30 的 30 個個體組成.利用下面的隨機數表
選取 5 個個體，選取方法是從隨機數表第 1 行的第 5 列和第 6 列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則
選出來的第 5 個個體的編號為（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08 B．15 C．16 D．19
2．（2022·江西贛州·高三期末（文））某工廠利用隨機數表對生產的 600 個零件進行抽樣測試，先將 600
個零件進行 001，002，…，599，600.從中抽取 60 個樣本，下圖提供隨機數表的第 4 行到第 6 行，若從表
中第 5 行第 6 列開始向右讀取數據，則得到的第 6 個樣本編號是（ ）
A．457 B．328 C．253 D．072
3．（2022·陜西榆林·高二期末（理））某班對期中成績進行分析，利用隨機數表法抽取樣本時，先將 60 個
同學的成績按 01，02，03，……，60 進行編號，然后從隨機數表第 9 行第 5 列的數 1 開始向右讀，則選出
的第 6 個個體是（ ）
（注：如下為隨機數表的第 8 行和第 9 行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13
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A．07 B．25 C．42 D．52
4．（2022·全國·高一）國家高度重視青少年視力健康問題，指出要“共同呵護好孩子的眼睛，讓他們擁有一
個光明的末來”.某校為了調查學生的視力健康狀況，決定從每班隨機抽取 5 名學生進行調查.若某班有 50 名
學生，將每一學生從 01 到 50 編號，從下面所給的隨機數表的第 2 行第 4 列的數開始，每次從左向右選取
兩個數字，則選取的第三個號碼為（ ）
隨機數表如下：
0154 3287 6595 4287 5346
7953 2586 5741 3369 8324
4597 7386 5244 3578 6241
A．13 B．24 C．33 D．36
易錯點 2．忽視中位數需先從小到大排序，而是直接找中間的數而致錯
例題 1．（2022·福建漳州·一模）某校體育節 10 名旗手的身高分別為
175.0 178.0 176.0 180.0 179.0 175.0 176.0 179.0 180.0 179.0則中位數為___________.
179.0 175.0
【常見錯解】 177
2
【錯因分析】直接在數據中取中間的兩個數求平均值，忽略了中位數要從小到大排序，再求解.
【動手實戰】
1．（2020·上海市滬新中學高三階段練習）1、1、5、 2、 2這五個數的中位數是__________
2．（2021·上海·閔行中學高二期末）已知 1、2、a 、b 的中位數為 3，平均數為 3.5，則a b __________.
3．（2022·上海·高三專題練習）數組“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位數為______.
易錯點 3．樣本數據變化時，混淆了方差，標準差的變化規律
例題 1．（2021·上海交大附中高三開學考試）若 x1、x2、x3、 、x314 的標準差為 2，那么
3 x1 5 、3 x2 5 、 、3 x314 5 的標準差為（ ）
A．18 B．14 C．6 D．3
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【常見錯解】A
【錯因分析】混淆方差和標準差，方差標準差變化規律如下：
x1 x2 x3 xn 平均數 方差 S
2
x 標準差 S
ax1 b ax2 b ax b ax b a
2 2
3 n ax b S aS
顯然錯選 A 混淆了標準差和方差的變化規律.
【動手實戰】
1．（2022·廣西玉林·高二期末（文））已知一組數據為：2，4，6，8，這 4 個數的方差為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2021·山東·廣饒一中高一階段練習）如果數據 x ，x 21 2，…，xn 的平均值為 x ，方差為 s ，則 3x1+2、3x2+2、…、
3xn+2 的平均值和方差分別是（ ）
A． x 和 s2 B．3 2x +2 和 9s
C．3 x +2 和 3s2 D．3 2x +2 和 9s +2
3．（2021·天津市薊州區擂鼓臺中學高一階段練習）若樣本數據 x1，x2，…，x10的平均數和標準差分別為
70，2，則數據 2x1-1，2x2-1，…，2x10-1 的平均數和標準差分別為（ ）
A．139，2 B．139，4 C．140，2 D．139，3
4．（2020·新疆·烏市八中高二階段練習）若數據 x1, x2 , xn的平均數為 x ，方差為 s
2 ，則
4x1 3,4x2 3, ,4xn 3 的平均數和標準差分別為（ ）
A． x ，s B．4 x -3，s C．4 x -3，4s D．4 x -3， 16s2 24s 9
頻率
易錯點 4．誤把頻率分布直方圖的高 當頻率
組距
例題 1．（2022·河南駐馬店·高一期末）高三年級的一次模擬考試中，經統計某校重點班 30 名學生的數學成
績均在[100，150]（單位：分）內，根據統計的數據制作出頻率分布直方圖如右圖所示，則圖中的實數
a=__________
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【常見錯解】2a 3a 7a 6a 2a 1 a 0.05
【錯因分析】忽略了在頻率分布直方圖中，高代表的意義，頻率分布直方圖中，每個矩形的面積之和等于 1
【動手實戰】
1．（2022·江西贛州·高三期末（理））某校為了了解全校高中學生五一參加勞動實踐活動的情況，隨機抽
查了 100 名學生，統計他們假期參加勞動實踐活動的時間，繪成的頻率分布直方圖如圖，估計這 100 名學
生參加勞動實踐活動的時間的中位數是_________.
2．（2021·河南南陽·高一階段練習）某蔬菜批發市場對該市場近 100 天的蔬菜銷售量進行統計，制成的頻
數分布條形圖如下：
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(1)估計該市場近 100 天蔬菜銷售量的平均值；
(2)按各銷量對應的天數用分層隨機抽樣選出 20 天作進一步研究，求各銷售量中相應取出的天數.
3．（2022·北京平谷·高二期末）某部門計劃對某路段進行限速，為調查限速 60 km/h 是否合理，對通過該
路段的 300 輛汽車的車速進行檢測，將所得數據按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分組，繪制成如圖
所示頻率分布直方圖.則a ________；這 300 輛汽車中車速低于限速 60 km/h 的汽車有______輛.
易錯點 5．總體百分位數忽略了將數據從小到大排序
例題 1．（2021·云南·無高二階段練習（文））數據8、6、5、2、7 、9、12、4 、12的第40 百分位數是
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________．
【常見錯解】因為9 0.4 3.6，故這組數據的第40百分位數是2 .
【錯因分析】未將原始數據從小到大排序而造成錯誤
【動手實戰】
1．（2021·重慶復旦中學高二開學考試）已知一組數據 4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，則該組數據的第 75
百分位數是_____．
2．（2021·天津市薊州區擂鼓臺中學高一階段練習）某車間的工人某月生產某種產品質量(單位:kg)分別為
13，13.5，13.8，13.9，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，則第 75 百分位數為 _____________
3．（2021·江蘇·金陵中學高一階段練習）甲、乙兩名籃球運動員在隨機抽取的 12 場比賽中的得分情況如下：
甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．
乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．
則運動員甲得分的 25 百分位數與運動員乙得分的 80 百分位數的和為______．
4．（2021·浙江臺州·高一期末）某小區 12 戶居民四月份月用水呈(單位： t )分別為：
5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.5
10.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1
則所給數據的第 75 百分位數是__________.
易錯點 6．頻率分布直方圖中，平均數估計值中，高和面積混淆錯誤
例題 1．（2022·北京昌平·高一期末）某高中校為了減輕學生過重的課業負擔，提高育人質量，在全校所有
的1000名高中學生中隨機抽取了100名學生，了解他們完成作業所需要的時間（單位：h），將數據按照 0.5,1 ，
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1,1.5 ， 1.5,2 ， 2,2.5 ， 2.5,3 ， 3,3.5 ，分成 6 組，并將所得的數據繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.
由圖中數據可知a ________；估計全校高中學生中完成作業的平均時間__________.
【常見錯解】求平均數0.75 0.1 1.25 0.4 1.75 0.5 2.25 0.6 2.75 0.3 3.25 0.1 3.95
【錯因分析】錯誤理解平均數估計值，每個矩形中點橫坐標乘以頻率（小矩形面積）之和，錯解中，將高
理解成頻率.
【動手實戰】
1．（2021·四川德陽·一模（文））隨著社會的進步，科技的發展，越來越多的大學本科生希望通過保研或
者考研進入更理想的大學進行研究生階段的學習.某大學通過對本校準備保研或者考研的本科生每天課余學
習時間的調查，得到如圖所示的頻率分布直方圖，通過該圖的信息，我們可以得到被調查學生課余平均學
習時間為（ ）
A．7.38 小時 B．7.28 小時 C．8.23 小時 D．8.12 小時
2．（2022·四川省綿陽南山中學高二開學考試）某校統計了高二年級 1000 名學生的數學期末考試成績，已
知這 1000 名學生的成績均在 50 分到 150 分之間，其頻率分布直方圖如圖所示，則這 1000 名學生期末成績
的平均分估計值為______（精確到整數）
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3．（2022·河北·模擬預測）中國共產黨建黨 100 周年華誕之際，某社區響應黨和國家的號召，通過“增強防
疫意識，激發愛國情懷”知識宣講活動，來回顧中國共產黨從成立到發展壯大的心路歷程，表達對建黨 100
周年以來的豐功偉績的傳頌.現從參與宣講者中隨機選出 200 人，并將這 200 人按年齡分組，得到的頻率分
布直方圖如圖所示，則估計參與者的平均年齡為___________歲.（每組數據以區間的中點值為代表）
易錯點 7．頻率分布直方圖中，中位數估計值錯誤的用中點代替
例題 1．（2018·四川·模擬預測（理））交通部門利用測速儀測得成綿高速公路綿陽段 2018 年元旦期間某時
段車速的數據（單位：km/h），從中隨機抽取 2000 個樣本，作出如圖所示的頻率分布直方圖，則綿陽段車
速的中位數的估計值為_____．（精確到個位）
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【常見錯解】第一個矩形面積 S1 0.1，第二個矩形面積 S2 0.3，第三個矩形面積 S3 0.35，
S1 S2 0.1 0.3 0.5，S1 S2 S3 0.1 0.3 0.35 0.5，所以中位數估計值在第三個矩形中，中位
數估計值為95 .
【錯因分析】錯解中能正確判斷中位數估計值在第三個矩形中，但是錯誤的理解為用矩形中點橫坐標估計
中位數.
【動手實戰】
1．（2020·湖北·二模（理））自湖北武漢爆發新冠肺炎疫情以來，武漢市醫護人員和醫療、生活物資嚴重
短缺，其他兄弟省市紛紛馳援武漢等地.某運輸隊 50 輛汽車載滿物資急赴武漢，如圖是汽車經過某地時速度
的頻率分布直方圖，則這 50 輛汽車速度中位數的估計值是_______________.
2（2021·全國·高一單元測試）如圖是我市某小區 100 戶居民 2015 年月平均用水量（單位： t ）的頻率分布
直方圖的一部分，則該小區 2015 年的月平均用水量的中位數的估計值為 ___________．
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3．（2022·四川省通江中學高二開學考試（文））2020 年 12 月 31 日，國務院聯防聯控機制發布，國藥集
團中國生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監局批準附條件上市，其保護效力達到世界衛生組織及藥監局相關
標準要求，現已對 18 至 59 歲的人提供．根據某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計該地接種
年齡的中位數為________．
易錯點 8．在選拔選手問題時，習慣性的認為方差越小，越穩定，越好
例題 1．（2015·福建龍巖·高三階段練習（文））某校高一數學興趣小組開展競賽前摸底考試．甲、乙兩人
參加了 5 次考試，成績如下：
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第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成績 82 87 86 80 90
乙的成績 75 90 91 74 95
（Ⅰ）若從甲、乙兩人中選出 1 人參加比賽，從最終能拿獎（90 分以上，含 90 分）的角度看，你認為選誰
合適？
【常見錯解】 x甲 x乙 85，s
2
甲 s
2
乙 ，從穩定性角度選甲合適
82 87 86 80 90
依題意有 x甲 85
5
75 90 91 74 95
x乙 85 2 分
5
2 1 64s （ 甲 82 85）
2 （87 85）2 （86 85）2 （80 85）2 （90 85）2 5 5

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