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23 個典型的數列專題 (修正版)
數列的重要公式：
1、等差數列通項： a a (n 1)d
n 1
(a a )n
2、等差數列求和： S 1 n
n
2
3、等比數列通項： n 1a a q
n 1
n1 q
4、等比數列求和： S a
n 1
1 q
5、求和與通項的關系： a S S
n 1 n 1 n
1 5 1
例 1、等差數列 an 中，前三項依次為 , , ，求： a105
x 1 6 x x
例 2、前 100 個自然數（ 1 到 100 ）中，除以 7 余 2 的所有數之和 S
例 3、在等差數列 an 中，前 n 項和為 Sn . 若 a1 0 ， S16 0 ， S17 0 ，則 Sn 最大時，
n
1
例 4、數列 an 的通項公式 an ，若它的前 n 項和 Sn 9 ，求： n
n 1 n
例 5、等差數列 an ，其公差 d 0 ，其中，a2 、a3 、a6 依次構成等比數列，求公比 q
a
1 n
例 6、已知等差數列 an 的前 n 項和 Sn ，且 a1 1 , S11 33 . 設 bn ，求證： bn
2
是等比數列，并求其前 n 項和 Tn .
a x
例 7、若 x y ，且兩個數列： x,a 11 ,a2 , y 和 x,b1,b2 .b3 , y 均為等差數列，求：
y b3
例 8、已知正項數列 an 的前 n 項和 Sn 滿足： 10Sn
2
an 5an 6 ，且 a1 、 a3 、 a15 成
等比數列，求數列 an 的通項 an
1 1
例 9、已知數列 an 的前 n 項和 Sn n(n 1)(n 2) ,試求數列 的前 n 項和 Tn
3 an
例 10、已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ，其首項 a1 1，且滿足 3Sn (n 2)an ，求通項
第 1 頁
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an
例 11、如果數列 an 中 ,相鄰兩項 an 和 an 1 是二次方程
2
xn 3nxn cn 0 (n 1,2,3, ...)
的兩個根 ,當 a1 2 時 ,試求 c100
例 12、有兩個無窮的等比數列 an 和 bn ,其公比的絕對值都小于 1 ,其各項和分別是

Sn ak 1和 Tn bk 2 ,對一切自然數都有：
2
an bn ，求這兩個數列的首
k 1 k 1
項和公比 .
1
例 13、已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ， a1 ，當 n 2 時，滿足： an 2SnSn 1 0 ；
2
1
求證：數列 為等差數列；并求 Sn 的通項公式 Sn
Sn
1
例 14、已知等比數列 an 的首項 a1 ，且滿足：
10 102 S30 (2 1)S20 S10 0 .
2
（1）求 an 的通項；（2）求 nSn 的前 n 項和 Tn .
例 15、若等差數列 log2 xn 的第 m 項等于 k ，第 k 項等于 m (其中 m k )，求數列 xn
的前 m k 項的和 .
n 1
5 1 1
例 16、如果數列 an 中 , a1 ， an 1 an ，求通項 an
6 3 2
例 17、設數列 an ， a1 4 ，且當 n 2 時滿足： an 3an 1 2n 1，求通項 an
例 18、設數列 an ，a1 1，a2 2 ，且滿足：a
*
n 2 3an 1 2an ，(n N ) ，求通項 an
1
例 19、已知正項數列 an ， a1 1，且滿足： an 1 an(4 an ) ，求通項 an
2
2a 1
例 20、已知數列 an 中， a1 2 ，且滿足： an 1
n ， *(n N ) ，求通項 an
4an 6
4a 2
例 21、已知數列 an 中， a1 3 ，且滿足： a
n
n 1 ，求通項 an
an 1
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2a 3
例 22、已知數列 an 中， a1 5 ，且滿足： an 1
n ，求通項 an
an
2
a a 2
例 23、已知數列 an 中， a1 4 ，且滿足： a
n ， b nn 1 n ，求通項 bn
2(an 1) an
23 個典型的數列專題 (修正版)解答
1 5 1
例 1、等差數列 an 中，前三項依次為 , , ，求： a105
x 1 6 x x
解析 ：由等差數列 中項公式 得： 2a a a
n n k n k
5 1 1 5 1 1
即： 2 ，即：
6 x x x 1 3x x x 1
2 1 2 3
即： ，即： ，則： x 2 .
3x x 1 x x 1
1 1 1 5 1 1
故首項為： a ，公差為： d ；
1
x 1 3 x 6 x 6 x 12
1 n 1 n 3
則 數列通項 為： a a (n 1)d .
n 1
3 12 12
105 3
故： a 9 .
105
12
求等差數列通項公式就可以通解 .
例 2、前 100 個自然數（ 1 到 100 ）中，除以 7 余 2 的所有數之和 S
解析 ：由題意，這是一個首項為 a 2 ，公差為 d 7 的等差數列 .
1
故，這些數構成的數列為： a 2 7(n 1) 7n 5 ；
n
在 100 之內，設 n 的最大數 m ，則： 100 7m 5 ，即： m 15 ;
(a a ) 15
1 15 (2 100) 15這些數之和 S 為： S 765
2 2
余數是常數的問題要轉化為等差數列問題 .
例 3、在等差數列 an 中，前 n 項和為 Sn . 若 a1 0 ， S16 0 ， S17 0 ，則 Sn 最大時，
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n
解析 ： 等差數列通項 為： a a (n 1)dn 1
(a a )n
其 求和公式 為： S 1 n
n(n 1)
na d ；
n 1
2 2
16 15
則依題意： S16 0 ，即： S 16a d 0 ， 16 1
2
15
即： a d 0 ①
1
2
d d d
由①： a 7d 0 ，即： a 0 ，即： a ②
1 8 8
2 2 2
d d
由①： a 8d 0 ，即： a ③
1 9
2 2
17 16
以及： S17 0 ，即： S 17a d 0 ， 17 1
2
即： a 8d 0 ，即：
1 a 0 ④ 9
d
由③④得： a ( ,0) ，即： d 0 ⑤
9
2
d
將⑤代入②得： a 0 ⑥
8
2
故由④⑥知， S 求和累加時，加到 a 時 S 在增加；加到 a 時 S 開始減小，則最n 8 n 9 n
大時， n 8 .
通項公式和求和公式都要很熟啊 .
1
例 4、數列 an 的通項公式 an ，若它的前 n 項和 Sn 9 ，求： n
n 1 n
1
解析 ： 數列通項 ： a n 1 n ；
n
n 1 n
n
則： S k 1 k n 1 1 9 n
k 1
即： n 1 10 ，即： n 1 100 ，于是： n 99
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本法相當于裂項法 .
例 5、等差數列 an ，其公差 d 0 ，其中，a2 、a3 、a6 依次構成等比數列，求公比 q
解析 ：由 等差數列通項 ： a a (n 1)d ，得： a a d ， a a 4d ，
n 1 3 2 6 2
因為 a2 、 a3 、 a6 依次構成 等比數列 ， a3 是 比例中項
則由 比例中項公式 得： 2 2a a a ，即： (a d) a (a 4d) ；
3 2 6 2 2 2
即： 2a 2 22a d d a 4a d ，即： 2d 2a d
2 2 2 2 2
因為 d 0 ，故上式得： d 2a ；
2
a a d 3a
所以 公比 q ： q 3 2 2 3 .
a a a
2 2 2
由比例中項直接列式，導出 d 與 a2 的關系 .
a
1 n
例 6、已知等差數列 an 的前 n 項和 Sn ，且 a1 1 , S11 33 . 設 bn ，
2
求證： bn 是等比數列，并求其前 n 項和 Tn .
n(n 1)
證明 ：等差數列通項： a a (n 1)d ，求和公式： S na d ；
n 1 n 1
2
11 10 2
則： S 11 d 33 ，即： 11 55d 33 ，故： d .
11
2 5
2 2 2n 3
于是，將 a1 1， d 帶入 通項公式 得： a 1 (n 1) n
5 5 5
2n 3 2(n 1) 3
a a
1 n 1 5 1 n 1 1 5
則： bn ， bn 1
2 2 2 2
2(n 1) 3 2n 3 2

b
n 1 1 5 5 1 5故： q
b 2 2n
a
1 1 1
當 n 1時，數列首項 b1
2 2
2
1 1 5
故 bn 是首項為 b ，公比為 q 1 的等比數列，
2 2
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2n 3
1 5
其通項為： b
n . 證畢 .
2
2
n
1 5
n 1 1 q 1 2 1
其求和公式 ： T b 1 . n 1 2n
1 q 2 11 2 5
2
a x
例 7、若 x y ，且兩個數列： x,a1 ,a2 , y 和 x,b1,b2 ,b3 , y 均為等差數列，求：
1
y b3
解析 ：設兩個等差數列的 公差 分別為： d1 和 d2 ，
y x y x
則 : a x d , y b d .
1 1 3 2
3 4
1
( y x)
a x 4
故： 1 3
y b 1 3
3 ( y x)
4
利用等差數列的等差性質來求本題 .
例 8、已知正項數列 an 的前 n 項和 Sn 滿足：
2
10Sn an 5an 6 ，且 a1 、 a3 、 a15 成
等比數列，求數列 an 的通項 an
解析 ：由已知： 210Sn an 5an 6 ①
2
10S a 5a 6 ②
n 1 n 1 n 1
由②-①： 210a (a 2a ) 5(a a )
n 1 n 1 n n 1 n
移項合并： 2(a 2a ) 5(a a ) 0 ，即： (a a )(a a 5) 0
n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n
由于正項數列 (a a ) 0 ，所以： a a 5 0 ，即： a a 5
n 1 n n 1 n n 1 n
由此得到 an 是公差為 d 5 的 等差數列 .
設：等差數列 a a 5(n 1)，則： a a 10 ， a a 70
n 1 3 1 15 1
由 a1 、 a3 、 a15 成 等比數列 得：
2
a 2a a ，即： (a 10) a (a 70)
3 1 15 1 1 1
即： 2a 20a 2100 a 70a ，故： a 2 .
1 1 1 1 1
所以： a 2 5(n 1) 5n 3
n
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本題由等式條件得出公差是 d 5 ，由等比條件確定首項 .
1 1
例 9、已知數列 an 的前 n 項和 Sn n(n 1)(n 2) ,試求數列 的前 n 項和 Tn
3 an
解析 ：由已知：
1 1 1 1
S n(n 1)(n 2)= n(n 1)(2n 4)= n(n 1)(2n 1) n(n 1)
n
3 6 6 2
n n
2 1 1及： k n(n 1)(2n 1) 和： k n(n 1)
k 1 6 k 1 2
得到上面 求和公式 可分成兩部分，一個 2a n 求和，一個 a n 求和
n n
即： 2 2
1
1 2 2... n n(n 1)(2n 1)
6
1
1 2 ... n n(n 1)
2
1 1
故由 2S = n(n 1)(2n 1) n(n 1)得： a n n n(n 1)
n n
6 2
1 1 1 1
那么： ；
a n(n 1) n n 1
n
n 1 1 1 n
所以： T ( ) 1 . n
k 1 k k 1 n 1 n 1
要熟悉一些基本的求和公式，還有裂項求和方法 .
例 10、已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ，其首項 a1 1，且滿足 3Sn (n 2)an ，求通項
an
解析 ：由已知： 3S (n 2)a ①
n n
3S (n 1)a ②
n 1 n 1
由①－②： 3a (n 2)a (n 1)a
n n n 1
a n 1
移項合并： (n 1)a (n 1)a ，即： n ③
n n 1
a n 1
n 1
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由此遞推得：
a a a
n n 1 2 n 1 n n 1 1 2 a ... a
n 1 ... a1
a a a n 1 n 2n 1 n 2 1 n 3 1
n (n 1) n(n 1)
即： a a .
n 1
2 1 2
得到③式是關鍵 ！
例 11、如果數列 an 中 ,相鄰兩項 an 和 an 1 是二次方程
2
xn 3nxn cn 0 (n 1,2,3, ...)
的兩個根 ,當 a1 2 時 ,試求 c100
解析 ：由 韋達定理 ： a a 3nn n 1 ①
a a c
n n 1 n ②
由①式得： a a 3(n+1)n+1 n 2 ③
由③-①得： (a a ) (a a ) 3 a a 3n 1 n 2 n n 1 ，即： n 2 n ④
④式表明： a ,a ,a , ...,a 和 a ,a ,a , ...,a 都是公差為 3 的 等差數列 .
1 3 5 2k 1 2 4 6 2k
又因 a 2 ，代入①式可得： a a 31 2 ，即： a 51 2
于是得到等差數列為：
a a (k 1)( 3) 2 3k 3 5 3k
2k 1 1 ⑤
a a (k 1)( 3) 5 3k 3 2 3k
2k 2 ⑥
那么由⑥得： a 2 3 50 152100
由⑤得： a 5 3 51 148101
代入②式得： c a a ( 152) ( 148) 22496100 100 101
本題由韋達定理得出 a 為等差數列，算出首項得到 a ，再計算出 c . n n n
例 12、有兩個無窮的等比數列 an 和 bn ,其公比的絕對值都小于 1 ,其各項和分別是

S ak 1 和 T bk 2 ,對一切自然數都有：
2
an bn ，求這兩個數列的首項和
k 1 k 1
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公比 .
a b
解析 ：由 S 1 1 和 T 1 2 得 數列的首項 ：
1 q 1 r
a 1 q ，及 b 2(1 r) .
1 1
設這兩個等比數列的通項公式分別為：
n 1a a q n 1(1 q)q ①
n 1
n 1 n 1b b r 2(1 r)r ②
n 1
將①②兩式代入 2a b ，并采用賦值法，分別令 n 1和 n 2 得：
n n
2 ，即： 2a b (1 q) 2(1 r) ③
1 1
2
a b ，即： (1 2 2q) q 2(1 r)r ④
2 2
由③④得： r 2q ⑤
將⑤式代入③式得： 2 2(1 q) 2(1 q )
因為： q 1 （已知 q 1 ），則上式化簡為：
1
1 q 2(1 q) ，即： q ⑥
3
1
將⑥代入⑤式得： r ⑦
9
4 16
則： a 1 q ， b 2a ⑧
1 1 1
3 9
將⑥和⑦分別代入①式和②式得：
n 1 n
n 1 4 1 1 n 1 4
a (1 q)q 4 1 ； n n
3 3 3 3
n 1
n 1 8 1 16
b 2(1 r)r 2
n n
9 9 9
4 16 1 1
故本題答案 : a ， b ， q ， r .
1 1
3 9 3 9
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本題采用賦值法求解 .
1
例 13、已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ， a1 ，當 n 2 時，滿足： an 2SnSn 1 0 ；
2
1
求證：數列 為等差數列；并求 Sn 的通項公式 Sn
Sn
解析 ：將 a S S 代入 a 2S S 0 得： S S 2S S 0
n n n 1 n n n 1 n n 1 n n 1
1 1 1 1
在同除以 S S 得： 2 0 ，則： 2 ①
n n 1
S S S S
n 1 n n n 1
1 1
且 2 ②
S a
1 1
1 1 1 1
由①②式表明： 是一個首項為 2 ，公差為 2 的等差數列 .
S S S Sn 1 n n 1
1
則： 2 2(n 1) 2n ③
S
n
1 1
故： S ， S
n n 1
2n 2(n 1)
1 1 1
于是： a S S
n n n 1
2n 2(n 1) 2n(n 1)
1
(n 1) 2
故： a
n 1
(n 2)
2n(n 1)
注意求和化通項的方法，即： a S S .
n n n 1
1
例 14、已知等比數列 an 的首項 a1 ，且滿足：
10 102 S30 (2 1)S20 S10 0 .
2
（1）求 an 的通項；（2）求 nSn 的前 n 項和 Tn .
解析 ：（1）求 an 的通項
n
1 q
由于 an 為 等比數列 ，所以其前 n 項的求和為： S a ①n 1
1 q
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1 30 20 10q 1 q 1 q
由①則： S a 、 S a 、 S a
30 1 20 1 10 1
1 q 1 q 1 q
代入 10 102 S30 (2 1)S20 S10 0 得：
30 20 10
10 a (1 q )1 10
a (1 q ) a (1 q )
2 (2 1) 1 1 0
1 q 1 q 1 q
即： 10 30 10 20 102 (1 q ) (2 1)(1 q ) (1 q ) 0
除以 10 10 10 20 10(1 q )得： 2 (1 q q ) (2 101)(1 q ) 1 0
即： 10 10 10 20 10 10 102 (1 q ) 2 q 2 (1 q ) (1 q ) 1 0
即： 10 20 10 ，即： 10 20 102 q (1 q ) 1 0 2 q q 0
即： 10 20 10
1
2 q q ，即： 2 10 10 2(2q ) q ，即： 2q q ，即： q
2
n 1
1 1 1
則： a n 1a q n 1 n
2 2 2
n 1
1 1
或 n 1 n 1
1
a a q ( 1)n 1 n
2 2 2
注意求和化通項的方法 .
第 14 題第(2)問解答：（2）求 nSn 的前 n 項和 Tn
1
1
1 n 1
A.對于 等比數列 ： 1a ，其求和公式為： S 2 1
n n n 1 n2 2 2
1
2
n n 1 n n k
故： T (kS ) k(1 ) k n k k ( ) k
k 1 k 1 2 k 1 k 1 2
n n(n 1)
1> k ②
k 1 2
n k 1 2 3 n
2> R ( ) ... ③ n k 2 3 n
k 1 2 2 2 2 2
n k 2 3 4 n
則： 2R 2 ( ) 1 ... ④n k 2 3 n 1
k 1 2 2 2 2 2
第 11 頁
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由④-③得：
2 1 3 2 4 3 n n 1 n
R 1 ( ) ( ) ( ) ... ( )
n 2 2 3 3 n 1 n 1 n
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 n
1 ...
2 3 n 1 n
2 2 2 2 2
1
1
n n 1 n 2 n
2 2(1 ) 2
1 n n n n2 2 2 2
1
2
n n k n(n 1) 2 n
綜合 1>和 2>得： T k ( ) 2 n k n
k 1 k 1 2 2 2
B.對于 等比數列 ： 1a ( n 11)
n n
2
1
n1 ( )
n1 1 1 1 1 ( 1)
其求和公式為： S 2 n[1 ( 1) ]
n
2 1
n n
3 2 3 3 2
1 ( )
2
n n k 1 nk k 1
n
k
故： T k(kS ) [1 ( 1) ] ( ) ( 1)n k k k
k 1 k 1 3 2 k 1 3 3 k 1 2
n k n(n 1)
1> ( )
k 1 3 6
1 n k k 1 1 2 3 n 2> U ( n1) ... ( 1) ③ n k 2 3 n3 k 1 2 3 2 2 2 2
1 1 2 3 n
則： 2U
n
... ( 1) ④
n 1 2 n 1
3 1 2 2 2


由③+④得：
1 2 1 3 2 n n n 1 n n
3U 1 ( ) ( ) ... ( 1) ( ) ( 1)n 1 2 2 n 1 n 1 n3 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
n
1 n
1 ... ( 1)
n
( 1)
2 n 1 n
3 2 2 2 2


1 1 1 1 1 n
1
n n
... ( 1) ( 1)
2 n 1 n
3 2 2 2

3 2
第 12 頁
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n
( 1)
1
1 n 1 n
2 n( 1)
3 1
n
3 2
1 ( )
2
n
2 ( 1) 1 n
n[1 ] ( 1)
n n
9 2 3 2
n n2 ( 1) 1 ( 1) n
故： U [1 ]
n n n
27 2 9 2
n k 1 n k k n(n
n n
1) 2 ( 1) 1 ( 1) n
于是： T ( ) ( 1) [1 ] . n k n n
k 1 3 3 k 1 2 6 27 2 9 2
例 15、若等差數列 log2 xn 的第 m 項等于 k ，第 k 項等于 m (其中 m k )，求數列 xn
的前 m k 項的和 .
解析 ： 等差數列通項 為： log x =log x +(n 1)d ；
2 n 2 1
則： log x k log x (m 1)d ①
2 m 2 1
log x m log x (k 1)d ②
2 k 2 1
由①-②得： k m (m k)d ，故 公差 ： d 1 ③
將③代入①得： k log x (m 1)
2 1
故首項為： log x =m k 1 ④
2 1
故 log x 通項為： log x =m k 1 (n 1) m k n ⑤ 2 n 2 n
則 x 的通項為： m k nx 2 ⑥ n n
1
由⑥式得： x 是 首項 為 m k 1 m kx 2 2 ⑦ n 1
2
1
公比 為 q 的 等比數列
2
m k
1
1
m k 1 2 m k 1 前 m k 項求和： S 2 m k2 1 2 1 m k
2 1 2m k

1
2
求公差③式和求首項⑦是求通項的關鍵 .
第 13 頁
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n 1
5 1 1
例 16、如果數列 an 中 , a1 ， an 1 an ，求通項 an
6 3 2
解析 ：整式遞推數列用 待定系數法 .
1
令： n 1
1 1 n
a ( ) [a ( ) ] ①
n 1 n
2 3 2
1 1 1 1 1
則： a na ( ) n n( ) a ( ) ②
n 1 n n
3 3 2 2 2 3 6 2
n 1 n
1 1 1 1 1
與已知 a a a 比較得： 3
n 1 n n
3 2 3 2 2
1 n 1 1由①令： nb a 3( ) ，則： b a 3( ) ③
n 1 n 1 n n
2 2
1 5 3 2
則： b a 13 ( ) ④
1 1
2 6 2 3
b
于是由①得： n 1
1
⑤
b 3
n
2 1
故： b 是首項為 b ，公比為 q 的 等比數列 . n 1
3 3
2 1
其通項為： n 1
2
b ( ) ( ) ⑥
n n
3 3 3
1 2 3
由③得 a 的通項為： na b 3 ( ) n n n n n
2 3 2
待定系數法確定新構建的等比數列 b 通項 .
n
例 17、設數列 an ， a1 4 ，且當 n 2 時滿足： an 3an 1 2n 1，求通項 an
解析 ：整式遞推數列用 待定系數法 .
令： a n c 3[a (n 1) c] ①
n n 1
則： a 3a 3 n 3 3c n c 3a 2 n 3 2c
n n 1 n 1
與已知 a 3a 2n 1比較得： 2 =2 ， 3 2c 1
n n 1
即： 1， c 1 .
第 14 頁
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則令： b a n c a n 1 ②
n n n
則： b a n ③
n 1 n 1
b a 1 1 6 ④
1 1
b
將②③代入①得： b 3b ，即： n 3 ⑤
n n 1
b
n 1
故由④⑤得： b 是首項為 b 6 ，公比為 q 3 的 等比數列 . n 1
故： n 1 n 1 nb b q 6 3 2 3 ⑥
n 1
于是由②得： a nb n 1 2 3 n 1
n n
待定系數法是如何構造等比數列 bn 的 ？
例 18、設數列 an ，a1 1，a2 2 ，且滿足：an 2 3an 1 2an ，(n
*
N ) ，求通項 an
解析 ：本題是二階遞推數列，且看如何解：
待定系數法 ：令： a a (a a ) ①
n 2 n 1 n 1 n
則： a a a a ( )a a
n 2 n 1 n 1 n n 1 n
3
與已知 a 3a 2a 比較系數得：
n 2 n 1 n
2
若將 、 看成是一元二次方程的兩個根，則又韋達定理得到這個方程為：
2
x 3x 2 0 ，而這正是采用特征根法的 特征方程 .
上述方程的解為： =1， =2 ，或 =2 ， =1 ，這兩組解推出的數列通項的結果
是一樣的 . 取 =2 ， =1 ②
令： b a a ③
n n 1 n
則 b a a 1 ， b a a ④
1 2 1 n 1 n 2 n 1
b
將③④代入①得： n 1 2 ⑤
b
n
則 b 是首項為 b 1 ，公比為 2 的 等比數列 n 1
第 15 頁
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其通項為： n 1b b n 12
n 1
故由③得： n 1 n 1a a b 2 ，即： a a 2 ⑥
n 1 n n n 1 n
再用 待定系數法 ，令： a r n 1 n2 p(a r 2 ) ⑦
n 1 n
則： a pa pr n2 2r n2 pa (2 pr 4r) n 12
n 1 n n
1
與⑥式比較得： p 1 ， 2 pr 4r 1，即： r
2
令： c na r 2 ⑧
n n
則： c a r n 12 ，代入⑦式得： c pc ⑨
n 1 n 1 n 1 n
由⑧得： 1 1c a 2 0
1 1
由于 p 1 ，于是由⑨式得： c c c ... c 0
n 1 n n 1 1
代入⑧式得： a n 12 c 0 ，故： a n 12 .
n n n
這就是采用二次 待定系數法 解得的數列的通項 .
另解 ：用 特征根法 求解：
前面由 an 2 3an 1 2an 得 an 2 3an 1 2an 0
即 特征方程 ： 2x 3x 2 0 ，其兩個根為： x 1 ， x 2
1 2
代入特征根法的 二異根 解得： a n n nc x c x c c 2
n 1 1 2 2 1 2
用 a 1， a 2 代入上式，以確定 c 、 c
1 2 1 2
1
則： a 1 c c 2 ， 2a 2 c c 2 ，解得： c ， c 0
1 1 2 2 1 2 2 1
2
故： n na c x c x c n n 1c 2 2
n 1 1 2 2 1 2
這就是采用 特征根法 解得的數列的通項 .
對于二階遞推數列，采用特征根法比較簡潔 .
1
例 19、已知正項數列 an ， a1 1，且滿足： an 1 an(4 an ) ，求通項 an
2
第 16 頁
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1
解析 ：由已知 a a (4 a ) 得：
n 1 n n
2
1 2 1
a 2 2(a 4a ) 2 (a 2) ①
n 1 n n n
2 2
令： b a 2 ，則： b a 2 ， b a 2 1， 2b 1
n 1 n 1 n n 1 1 1
1
代入①式得： 2b b ②
n 1 n
2
于是： b 1 ；
1
1 2 1
b b ； 2 1
2 2
3
1 1 1
b
2
b ； 3 2 3
2 2 2
6 7
1 1 1 1 1
b
2
b 4 3 ； 7
2 2 2 2 2
……；
2n 1 1
1 2 1 1
b
n b n 1 n 1
2 2 2 12
1
故： a b 2 2
n n n 12 1
2
這是遞推數列的遞推法 .
2a 1
例 20、已知數列 an 中， a1 2 ，且滿足： a
n
n 1 ， (n
*
N ) ，求通項 an
4an 6
2a 1
解析：將 a n 化簡為： 4a a 6a 2a 1 0
n 1 n n 1 n 1 n
4a 6
n
3 1 1
即： a a a a 0 ①
n n 1 n 1 n
2 2 4
2a 1 2x 1
不動點法 a n 的不動點方程： x ；
n 1
4a 6 4x 6
n
第 17 頁
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即： 2
1
4x 4x 1 0 ，方程的根為二重根： x x ；
1 2
2
結合不動點法解方程，我們采用待定系數法.
1 1
設： c ②
a x a x
n 1 1 n 2
通分化簡得： c a x a x a x a xn 2 n 1 1 n 2 n 1 1
即： ca a cx a cx a cx x a x a x
n 1 n 1 n 2 n 1 1 2 n 2 n 1 1
cx 1 cx 1 x x
即： a a ( 2 )a ( 1 )a x x 1 2 0
n 1 n n 1 n 1 2
c c c
1 1 x x
即： a a ( x )a (x )a x x 1 2 0 ③
n 1 n 2 n 1 1 n 1 2
c c c
1 3 1 1
對比③①得： x ， x ，
2 1
c 2 c 2
x x
x x 1 2
1
④
1 2
c 4
1 1 1 3
即： x ， x ⑤
1 2
2 c c 2
1 1 1 3 2 3 1
x x ( )( )
1 2 2
2 c c 2 c 4 c
2 3 1 1 1 1 3 c
代入④得： c( ) ( ) ( )
2
c 4 c 2 c c 2 4
3c 1 1 2 3 c 1
即： 2 ，即： c
4 c 2 c 2 4 c
故： c 1 ⑥
1 1 1 1 3 1
取 c 1，則： x ， x
1 2
2 c 2 c 2 2
1 1
代入②式得： 1 ⑦
1 1
a a
n 1 n
2 2
第 18 頁
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3 1 1
化簡⑦式可得： a a a a 0 ，故⑦式與①式等價.
n n 1 n 1 n
2 2 4
1 1 3 1 3 5
取 c 1，則： x ， x
1 2
2 c 2 c 2 2
1 1
代入②式得： 1 ⑧
3 5
a a
n 1 n
2 2
3 1 1
化簡⑧式得： a a a a 0 ，故⑧式與①式等價.
n n 1 n 1 n
2 2 4
由此可見，⑦⑧兩式是等價的.
1 1 2 1
令： b ，則： b ， b
n 1 1 1 n 15 1
a a a
n 1 n 1
2 2 2
代入⑦式得： b b 1
n 1 n
2 2
由 b 和 b b 1 可得： b 是首項為 ，公差為 1 的等差數列. 1 n 1 n n
5 5
2 3 5n 3
故： b (n 1) n
n
5 5 5
1 1
則： a ，
n
2 b
n
1 1 5 1 10 5n 3 13 5n
故： a
n
b 2 5n 3 2 10n 6 10n 6 10n 6
n
另解：采用不動點法
2a 1
將 a n 化簡為： 4a a 6a 2a 1 0 ①
n 1 n n 1 n 1 n
4a 6
n
2a 1
n 2x 1不動點法 a 的不動點方程： x ；
n 1
4a 6 4x 6
n
1
即： 24x 4x 1 0 ，方程的根為二重根： x x ；
1 2
2
那么，二重根的不動點解為：
第 19 頁
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1 1
c （ c 為待定常數） ②
a x a x
n 1 1 n 2
通分化簡得： a xn 2 a x cn 1 1 a x a xn 2 n 1 1
1 1 1 1
即： a a cn n 1 a a n n 1 ；
2 2 2 2
即： 4ca a 2c 4 a 2c 4 a c 0 ③ n n 1 n 1 n
將③式與①式對比得： c 1 .
1 1 1 1 1 2
令： b ，則： b ， b
n 1 n
a x 1 a x 1
1 1 5
n 1 1 a n 2 a a
n 1 n 1
2 2 2
代入②式得： b b 1
n 1 n
2
即： b 是一個首項為 、公差為 1 的等差數列. n
5
2 5n 3
故： b (n 1) .
n
5 5
1 1 1 5 1 10 5n 3 13 5n
代入： b ，即： a
n 1 n b 2 5n 3 2 10n 6 10n 6
a n
n
2
不動點法根為二重根時，可構造等差數列解之.
4a 2
例 21、已知數列 an 中， a 3 ，且滿足： a
n
1 n 1 ，求通項 an
an 1
4a 2
解析 ：將 a n 化簡為： a a a 4a 2 0 ①
n 1 n n 1 n 1 n
a 1
n
4x 2
用不動點法解不動點方程： x ；
x 1
即： 2x -3x 2 0 ，方程的根為二異根： x 1 ， x 2 ；
1 2
結合不動點法解方程，我們采用待定系數法.
a x a x
設： n 1 1 n 1 ②
a x a x
n 1 2 n 2
第 20 頁
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化簡： (a x )(a x ) (a x )(a x )
n 1 1 n 2 n 1 n 1 2
即： a a x a x a x x a a x a x a x x
n n 1 1 n 2 n 1 1 2 n n 1 1 n 1 2 n 1 2
即： ( 1)a a (x x )a ( x x )a ( 1)x x 0
n n 1 2 1 n 1 2 1 n 1 2
x x x x
即： a a ( 2 1 )a ( 2 1 )a x x 0 ③
n n 1 n 1 n 1 2
1 1
x x x x
比較①③可得： 2 1 1 ， 2 1 4 ， x x 2
1 2
1 1
x x 12 1
即： （ 1）
x x 4 42 1
即： 2 2 2( 1)x 4 4 5 4
1
2 5 4 4
即： x ，即： x ④
1 1
2 1 1
和： 2( 21)x 4 4 21 4 5 1
2
24 5 1 4 1
即： x ，即： x ⑤
2
2
2
1 1
4 4 1
代入 x x 2 得： ( )( ) 2
1 2
1 1
即： 4 2 16 24 2( 2 1) 0
即： 26 13 6 0
2 2 2
13 13 4 6 6 13 13 12 13 5
則：
12 12 12
13 5 3 13 5 2
故： ，
1 2
12 2 12 3
3 4 4 1
將 代入④⑤式得： x 1 ， x 2 ；
1 1 2
2 1 1
2 4 4 1
將 代入④⑤式得： x 2 ， x 1 .
2 1 2
3 1 1
由此可見， 的兩個值對應的是 x 相同的兩個值 .
第 21 頁
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3
取 ，則 x 1 ， x 2
1 2
2
a 1
n 1 3 a 1代入②式得： n ⑥
a 2 2 a 2
n 1 n
a 1 a 1
n 1 3 1 a 1令： b ，則： b 2 ， b n 1
n 1 n 1
a 2 a 2 3 2 a 2
n 1 n 1
3
代入⑥式得： b b
n 1 n
2
b 3
即： b 是首項 b 2 ，公比 q n 1 的 等比數列 . n 1
b 2
n
故： n 1
3 n 1
b b q 2 ( ) ⑦
n 1
2
a 1
由 b n
1
得： b 1
n n
a 2 a 2
n n
1 1 2b 1
即： a 2 ，即： a 2 n
n n
b 1 b 1 b 1
n n n
將⑦式代入上式得：
3
n 14 ( ) 1
2b 1 n 1 n 1 n 1 n 2n 2 4 3 2 2 3 2a
n
3 n 1 n 1 n 1 n 2b 1 n 1 2 3 2 3 2n 2 ( ) 1
2
本題將二異根化為等比數列形式 .
另解 ： 不動點法
4a
由 a n
2
n 1 化簡為： a a a 4a 2 0 ① n n 1 n 1 n
an 1
4an 2 4x 2由 an 1 得不動點方程： x
an 1 x 1
即： 2x -3x 2 0 ，方程的根為二異根： x 1 ， x 2 ；
1 2
a x a x a 1 a 1
設二異根解式滿足： n 1 1 n 1 ，即： n 1 n ②
a x a x a 2 a 2
n 1 2 n 2 n 1 n
第 22 頁
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化簡： 1 a a 2 a 2 1 a 2 1 0 ； n n 1 n 1 n
2 2 1
即： a a a a 2 0 ③
n n 1 n 1 n
1 1
3
比較①③兩式得：
2
a x a 1 a 1 a 1
令： b n 1 1 n 1 ，則： b n ， b 1 2
n 1 n 1
a x a 2 a 2 a 2
n 1 2 n 1 n 1
3
代入②式得： b b
n 1 n
2
3
于是： b 是首項為 b 2 、公比為 的 等比數列 . n 1
2
n 1 n 1
3 3
即： b 2 . n n 2
2 2
a 1 2b 1 n 1 n 22 3 2
代入 b n 得： a n
n n
n 1 n 2a 2 b 1 3 2
n n
不動點法根為二異根時，可構造等比數列求之 .
2a 3
例 22、已知數列 an 中， a1 5 ，且滿足： a
n
n 1 ，求通項 an
an
2a 3
解析 ：將 a n 化簡為： a a 2a 3 0 ①
n 1 n n 1 n
a
n
2x 3
用不動點法解不動點方程： x ；
x
即： 2x 2x 3 0 ，方程的二異根為： x 1， x 3
1 2
a x a x a 1 a 1
設二異根解式滿足： n 1 1 n 1 ，即： n 1 n ②
a x a x a 3 a 3
n 1 2 n 2 n 1 n
3 3 1
化簡： a a a a 3 0 ③
n n 1 n 1 n
1 1
比較①③兩式得 : 3
第 23 頁
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a 1 a 1 a 1 5 1
令： b n 1 ，則： b n ， b 1 3
n 1 n 1
a 3 a 3 a 3 5 3
n 1 n 1
代入②式得： b 3b
n 1 n
于是： b 是首項為 b 3、公比 3 的等比數列 .n 1
n 1 n 1
故： b 3
n 3 1
n
3
a 1 3b 1
代入 b n ，即： a n 得：
n n
a 3 b 1
n n
n 1 n 1
1 n 1 n 13 1 3 1
a 或 a
n n 1
n
n n n 1
1 3 1 3 1
不動點法為二異根時，可構造等比數列求之 .
2
a a 2
例 23、已知數列 an 中， a1 4 ，且滿足： a
n
n 1 ， bn
n ，求通項 bn
2(an 1) an
a 2 2 1 1 b 2
解析 ：由 b n 1 得： n 或 a
n n
a a a 2 1 b
n n n n
2
a
代入 a n 得：
n 1
2(a 1)
n
2
2 4
2
2 1 b 1 bn n 2 2

21 b 2 1 b 1 b 1 b 1 bn 1 n n n
2 1
n
2
1 bn 1 bn
即： 2b b
n 1 n
a 2
則： b 1
4 2 1

1
a 4 2
1
2
2 1
b b
2 1
2
4
2 1
b b
3 2
2
……
第 24 頁
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2n 1
1 1
b 2b
n n 1 n 1
2 22
遞推下去找規律 .
第 25 頁

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