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排列組合的十二種策略
復習鞏固
1.分類計數原理(加法原理)
完成一件事，有 n類辦法，在第 1類辦法中有m1種不同的方法，在第 2 類辦法中有m2 種不同的方
法，…，在第 n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：
N m1 m2 mn
種不同的方法．
2.分步計數原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成 n個步驟，做第 1 步有m1種不同的方法，做第 2步有m2 種不同的方法，…，
做第 n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：
N m1 m2 mn
種不同的方法．
3.分類計數原理分步計數原理區別
分類計數原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。
分步計數原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
1.認真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少
類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
一.特殊元素和特殊位置優先策略
例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.
解:由于末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置.
先排末位共有C13
1
然后排首位共有C4
最后排其它位置共有 A34
1 1 3
由分步計數原理得C4C3A4 288 1 3 1C 4 A 4 C 3
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需
先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位
置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件
練習題:7 種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有
多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元
5 2 2
素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有 A5 A2 A2 480種不同的
排法
甲 乙 丙 丁
要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并
為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.
練習題:某人射擊 8 槍，命中 4 槍，4 槍命中恰好有 3槍連在一起的情形的不同種數為 20
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三.不相鄰問題插空策略
例 3.一個晚會的節目有 4個舞蹈,2 個相聲,3 個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多
少種？
5
解:分兩步進行第一步排 2 個相聲和 3 個獨唱共有 A5種，第二步將 4 舞蹈插入第一步排好的 6 個元素
4 5 4
中間包含首尾兩個空位共有種 A 6 不同的方法,由分步計數原理,節目的不同順序共有 A5A 6
種
元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩
練習題：某班新年聯歡會原定的 5 個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個
新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為 30
四.定序問題倍縮空位插入策略
例 4.7 人排隊,其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后
7 3
用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是： A 7/ A3
A 4(空位法)設想有 7 把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 7 種方法，其余的三個位置甲乙丙共有
4
1 種坐法，則共有 A 7 種方法。
思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎
（插入法)先排甲乙丙三個人,共有 1種排法,再把其余 4 四人依次插入共有 方法
定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插
練習題:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
C510
五.重排問題求冪策略
例 5.把 6 名實習生分配到 7 個車間實習,共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有 7
6
種分依此類推,由分步計數原理共有7 種不同的排法
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素
n
的位置，一般地 n不同的元素沒有限制地安排在 m個位置上的排列數為m 種
練習題：
1．某班新年聯歡會原定的 5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插
入原節目單中，那么不同插法的種數為 42
8
2. 某 8 層大樓一樓電梯上來 8 名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法7
六.環排問題線排策略
例 6. 8 人圍桌而坐,共有多少種坐法
4
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人 A 4 并從此位置把圓
形展成直線其余 7 人共有（8-1）！種排法即7！
C
D B
E A
A B C D E F G H A
F H
G
一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從 n 個不同元素中取出 m 個元素作圓
1 m
形排列共有 A
n n
練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
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七.多排問題直排策略
例 7.8 人排成前后兩排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
2
解:8 人排前后兩排,相當于 8 人坐 8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有 A 4 種,再排后
1 5 2 1 5
個位置上的特殊元素丙有 A 4 種,其余的 5 人在 5個位置上任意排列有 A5種,則共有 A 4A 4A5種
前 排 后 排
一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研
練習題：有兩排座位，前排 11 個座位，后排 12 個座位，現安排 2人就座規定前排中間的 3個座位不
能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例 8.有 5 個不同的小球,裝入 4 個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.
解:第一步從 5 個球中選出 2 個組成復合元共有C 25 種方法.再把 4 個元素(包含一個復合元素)裝
4 2 4
入 4 個不同的盒內有 A 4種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有C5 A 4
解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎
練習題：一個班有 6名戰士,其中正副班長各 1 人現從中選 4人完成四種不同的任務,每人完成一種任
務,且正副班長有且只有 1人參加,則不同的選法有 192 種
九.小集團問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這樣的五位
數有多少個？
2 2 2
解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有 A 2 種排法，再排小集團內部共有 A 2A 2種排法，
A 2 2 2由分步計數原理共有 2A 2A 2 種排法.
小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。 1524 3
練習題：
１.計劃展出 10 幅不同的畫,其中 1 幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一
2 5 4
品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為 A 2A5A 4
2. 5 男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有 A 2 5 52A5A5 種
十.元素相同問題隔板策略
例 10.有 10 個運動員名額，分給 7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？
解：因為 10 個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６
個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法
6
共有C9 種分法。
一 二 三 四 五 六 七
班 班 班 班 班 班 班
將 n個相同的元素分成 m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用 m-1塊隔板，
m 1
插入 n個元素排成一排的 n-1 個空隙中，所有分法數為Cn 1
練習題：
4
1． 10 個相同的球裝 5 個盒中,每盒至少一有多少裝法？ C9
2 . x y z w 100 3求這個方程組的自然數解的組數 C103
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十一.正難則反總體淘汰策略
例 11.從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這十個數字中取出三個數，使其和為不小于 10 的偶數,不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于 10 的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有 5 個偶數 5
3 1
個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有C5 ,只含有1個偶數的取法有C5C
2
5 ,和為偶數的取
1 2 3 1 2 3
法共有C5C5 C5 。再淘汰和小于 10 的偶數共 9 種，符合條件的取法共有C5C5 C5 9
有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出
它的反面,再從整體中淘汰.
練習題：我們班里有 43 位同學,從中任抽 5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的
抽法有多少種
十二.平均分組問題除法策略
例 12. 6 本不同的書平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？
2
解: 分三步取書得C6C
2
4C
2
2 種方法,但這里出現重復計數的現象,不妨記 6 本書為 ABCDEF，若第一
C 2 2 2步 取 AB, 第 二 步 取 CD, 第 三 步 取 EF 該 分 法 記 為 (AB,CD,EF), 則 6C4C2 中 還 有
3
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A3種取法 ,而這些分法僅
C 2C 2 2 3是(AB,CD,EF)一種分法,故共有 6 4C2 / A3 種分法。
n
平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 A n ( n為均分的
組數)避免重復計數。
練習題：
5 4 4 2
1 將 13 個球隊分成 3 組,一組 5 個隊,其它兩組 4 個隊, 有多少分法？（C13C8C4 / A 2）
2.10 名學生分成 3 組,其中一組 4人, 另兩組 3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的
分組方法 （1540）
3.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉 入 4 名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安
2 2 2 2
排 2名，則不同的安排方案種數為______（C4C2 A 6 / A 2 90）
十三. 合理分類與分步策略
例 13.在一次演唱會上共 10 名演員,其中 8 人能能唱歌,5 人會跳舞,現要演出一個 2 人唱歌 2 人伴舞
的節目,有多少選派方法
解：10 演員中有 5 人只會唱歌，2人只會跳舞 3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究
2 2
只會唱的 5 人中沒有人選上唱歌人員共有C3C3 種,只會唱的 5 人中只有 1 人選上唱歌人員
C1C1C 2 2 25 3 4 種,只會唱的 5 人中只有 2 人選上唱歌人員有C5C5 種，由分類計數原理共有
C 2C 23 3 C
1C1 2 2 25 3C4 C5C5 種。
解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做
到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。
練習題：
1.從 4名男生和 3名女生中選出 4 人參加某個座 談會，若這 4 人中必須既有男生又有女生，則不
同的選法共有 34
2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 號船最多乘 3人, 2 號船最多乘 2 人,3 號船只能乘 1人,他們任選 2只船
或 3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這 3 人共有多少乘船方法. （27）
本題還有如下分類標準：
*以 3 個全能演員是否選上唱歌人員為標準
*以 3 個全能演員是否選上跳舞人員為標準
*以只會跳舞的 2 人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果
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十四.構造模型策略
例 14. 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈,現要關掉其中的 3 盞,但不能關掉相鄰的 2
盞或 3盞,也不能關掉兩端的 2 盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？
3
解：把此問題當作一個排隊模型在 6 盞亮燈的 5個空隙中插入 3 個不亮的燈有C5 種
一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒
模型等，可使問題直觀解決
練習題：某排共有 10 個座位，若 4 人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）
十五.實際操作窮舉策略
例 15.設有編號 1,2,3,4,5 的五個球和編號 1,2,3,4,5 的五個盒子,現將 5 個球投入這五個盒子內,要
求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法
2
解：從 5個球中取出 2個與盒子對號有C5 種還剩下 3 球 3 盒序號不能對應，利用實際操作法，如
果剩下 3,4,5 號球, 3,4,5 號盒 3 號球裝 4 號盒時，則 4,5 號球有只有 1 種裝法，同理 3 號
2
球裝 5 號盒時,4,5 號球有也只有 1種裝法,由分步計數原理有 2C5 種
5 3 4
3 號盒 4號盒 5 號盒
對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收
到意想不到的結果
練習題：
1.同一寢室 4 人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的
分配方式有多少種？ (9)
2.給圖中區域涂色,要求相鄰區 域不同色,現有 4 種可選顏色,則不同的著色方法有 72 種 1
4
十六. 分解與合成策略 3 2
例 16. 30030 能被多少個不同的偶數整除 5
分析：先把 30030 分解成質因數的乘積形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依題意可知偶因數必先取 2,再從其余 5個因數中任取若干個組成乘積，
1 2 3 4 5
所有的偶因數為：C5 C5 C5 C5 C5
練習:正方體的 8 個頂點可連成多少對異面直線
4
解：我們先從 8 個頂點中任取 4 個頂點構成四體共有體共C8 12 58 ,每個四面體有
3 對異面直線,正方體中的 8個頂點可連成3 58 174對異面直線
分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題
逐一解決,然后依據問題分解后的結構,用分類計數原理和分步計數原理將問題合成,從而得到
問題的答案 ,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略
十七.化歸策略
例17. 25人排成5×5方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？
解：將這個問題退化成 9人排成 3×3 方陣,現從中選 3 人,要求 3人不在同一行也不在同一列,
有多少選法.這樣每行必有 1 人從其中的一行中選取 1 人后,把這人所在的行列都劃掉，如
1 1 1
此繼續下去.從 3×3 方隊中選 3 人的方法有C3C2C1 種。再從 5×5方陣選出 3×3方陣便可
3 3
解決問題.從 5×5 方隊中選取 3 行 3 列有C5C5 選法所以從 5×5方陣選不在同一行也不在
C3C3C1 1 1同一列的 3 人有 5 5 3C2C1 選法。
處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡
要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，
從而進下一步解決原來的問題
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練習題:某城市的街區由 12 個全等的矩形區組成其中實線表示馬路，從 A 走到 B 的最短路徑有多少
C3種？( 7 35) B
十八.數字排序問題查字典策略
例 18．由 0，1，2，3，4，5六個數字可以組成多少個沒有重復的比 324105 大的數？
A
解: N 2A55 2A
4
4 A
3 2
3 A2 A
1
1 297
數字排序問題可用查字典法,查字典的法
應從高位向低位查,依次求出其符合要求
的個數,根據分類計數原理求出其總數。
練習:用0,1,2,3,4,5這六個數字組成沒有重復的四位偶數,將這些數字從小到大排列起來,第71個數
是 3140
十九.樹圖策略
例 19．3人相互傳球,由甲開始發球,并作為第一次傳球,經過5次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同
的傳球方式有______ N 10
對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用
公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結果
練習: 分別編有 1，2，3，4，5 號碼的人與椅，其中 i號人不坐 i號椅（ i 1,2,3,4,5）的不同坐法有
多少種？ N 44
二十.復雜分類問題表格策略
例 20．有紅、黃、蘭色的球各 5 只,分別標有 A、B、C、D、E 五個字母,現從中取 5 只,要求各字母均
有且三色齊備,則共有多少種不同的取法
解: 紅 1 1 1 2 2 3
黃 1 2 3 1 2 1
蘭 3 2 1 2 1 1
取法 C1C1 1 2 15 4 C5C4 C5C
3
4 C
2
5C
1 C 2 2 3 13 5C3 C5C2
一些復雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經常出現重復遺
漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達到好的效
小結
本節課，我們對有關排列組合的幾種常見的解題策略加以復習鞏固。排列組合歷來是學習中的難點，
通過我們平時做的練習題，不難發現排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，
數字龐大，難以驗證。同學們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據它們的條件,我們就可以選取不
同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用把復雜的問題簡
單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續學習打下堅實的基礎。

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