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高中數(shù)學新教材考前回歸知識必備全案
14 等差數(shù)列﹑等比數(shù)列
公式法 an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d ；an a
n 1 或 n m
1q an amq
S ,(n 1)已知 S （即n a1 a a f (n) ）求 a ： an 1 . 2 n n Sn Sn 1,(n 2) 作差法
1 1 1 14,n 1如數(shù)列{an}滿足 a1 a2 an 2n 5 ，求 a （答： a n 1 ） 2 22 n n n2 2 ,n 2
數(shù) 61
作商法 已知 a 求 如 對所有的 n 2 有1a2 an f (n) an a1 1, a1a2a3 an n
2 ，則 a a ___（答： ） 3 5
列 16
通 簡 累加法 a a f (n)型 n 1 n
項 單
的 累乘法 a a f (n) 型 、 n 1 n
求 遞 （構(gòu)造等差、等比數(shù)列），遞推式為 a qa q
n 1（q 為常數(shù)）時，可以將數(shù)列兩邊同時除以 qn 1 ，
n 1 n
推
和 構(gòu)造法 a
數(shù) 得 n 1
a
n 1 .如已知 a1 1,an 3an 1 2
n ，求 a （答： a 5 3n 1 2n 1 ）
n 1 n n n
的 列 q q
常 解 若 an 1 can d(c 0,1,d 0) an 1 c(a ) .比較系數(shù)得出 ，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列. n
見 法
已知數(shù)列{an}滿足 a1=1,且 an+1 = 3a +2,求 .設n an an 1 t 3(a ，n t) an 2 3
n 1 1
方
法 若 a ， ； n 1 pan qn d an 1 a(n 1) b q(an an b)待定
已知數(shù)列{an}中，a1=1，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求數(shù)列{an}的通項公式. 系數(shù)法
設 n 1an 1 p(n 1) q 3(an pn q) ， an 2 3 n .
若 a pa qn 1n 1 n （ p q ），設 a
n 1
n 1 q p(a q
n
n ) ；
已知數(shù)列{an}滿足a1 1, an 3
n 2an 1(n 2). 求 an設 a
n
n 3 2(a
n 1
n 1 3 )
an 1 1
取倒數(shù)法 已知 a1 1,a ，求 a （答：n an ）
3an 1 1
n 3n 2
ｎ
等比數(shù)列 {an} 的前 n 項和 S ｎ＝2 －１，則 ① 1 1 1 ； ② 1 1 (1 1 )；
公式法 n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k
4n 1
a2 a2 a21 2 3 a
2
n ＝_____（答： ）；
1 1 1 1 1
3 ③ ( ) ( ) ；2 2
k k 1 2 k 1 k 1
分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將
1 1 1 1 1 1 1“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法 ( ) ；
2
分組法 求和. 如求：Sn 1 3 5 7 ( 1)
n(2n 1)（答： k k 1 (k 1)k k (k 1)k k 1 k
1 1 1 1
( 1)
n n ）如an 2n 2
n
，an ( 1)
n n 2 . ④ [ ]；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
如果數(shù)列通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項 ⑤ n 1 1常 ； 分裂后相關聯(lián)，常選用裂項相消法求和.裂項形式：
裂項法 (n 1)! n! (n 1)!用 1
如在數(shù)列{a }中， a ，且 Sｎ
求 n n n n 1 ⑥ 2( n 1 n )
1 2( n n 1)；
n
和
方 設數(shù)列 為等比數(shù)列，數(shù)列 是等差數(shù)列，則數(shù) ⑦ a S S (n≥ 2)； a b n n n 1n n
法 錯位相 m 1 m m m m m 1 ⑧C C C C C C ；
n n n 1 n n 1 n
減法
列 anbn 的前 n 項和 Sn 求解，均可用錯位相減法 ⑧ 1 1 ( a b) ；
a b a b
通項轉(zhuǎn) 先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運用分組求 1 1 1 1
換法 1 1 1 ⑨ ( ) .
和法求和.求和：1
(An B)(An C) C B An B An C1 2 1 2 3 1 2 3 n
2
若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列 x
已知 f (x) ，
倒序 的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加 1 x2
相加法 法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前 n 和 1 1 1 7
則 f (1) f (2) f (3) f (4) f ( ) f ( ) f ( ) ＝_
公式的推導方法）. 2 3 4 2
注：表中n,k 均為正整數(shù)
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15 空間幾何體（其中 r 為半徑、 h為高、 l為母線等）
有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的 兩個互相平行的面叫棱柱的底面(簡稱底)；
概念 交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱.兩底 其余各面叫棱柱的側(cè)面；
面所在平面的公垂線段叫棱柱的高 兩側(cè)面公共邊叫棱柱的側(cè)棱；
長方體 底面是矩形的直平行六面體是長方體； 長方體體對角線 a2 b2 c2 ，外接球2R a2 b2 c2 與三條
棱 正方體 棱長都相等的長方體叫正方體； 棱成角 cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2
柱 平行六面體 底面是平行四邊形四棱柱叫平行六面體； 如下列關于四棱柱的四個命題：
概 側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； ①若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；
側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；
念 ②若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則為直棱柱；
直棱柱 底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱； ③若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；
④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱.
底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；
其中真命題的為__（答：②④）
{平行六面體} {直平行六面體} {長方體} {正四棱柱} {正方體}；
概念 有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這樣的多面體叫棱錐；
如果一個棱錐底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣棱錐叫正棱錐；
正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等；
正棱錐的相對的棱互相垂直；
正棱錐
①側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等) 頂點在底上射影為底面外心；
棱 ②側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直) 頂點在底上射影為底面垂心；
錐 ③斜高長相等且頂點在底上在底面內(nèi) 頂點在底上射影為底面內(nèi)心.
6
2 a 2 3
全面積 S 3a ；體積 2V a3 ；對棱間的距離 2d a ； 3
V a
12
12 2
正四面
外接球半徑 6R a；內(nèi)切球
6
r a
空 體 4 12
正四面體內(nèi)任一點到各面距離之和為 6 3
間 h a
.
3 a
3 a a 6
3
幾 表面積 體積
棱柱 S全 S側(cè) 2S 何 底
V S底 h高
1 1
體 棱錐 S全 S側(cè) S 底 V S 底 h高 V錐 S h
表 3 3
表面積即
面 1棱臺 S全 S側(cè) S上底 S下底 V (S ' S 'S S)h S S ' 空間幾何 3
積 1
2
和 圓柱 S 2 r 2 rh
體暴露在 V r2h V臺 (S ' S 'S S)h 全 3
外的所有
體 1
圓錐 S r
2
全 rl 面的面積 V r
2h S ' 0
積 3
之和. V柱 S h
1
圓臺 S全 (r '
2 r2 r 'l rl) V (r '2 r 'r r2)h
3
4
球 S球 4 R
2 V球 R
3
3
棱柱：體積＝底面積×高，或體積V ＝直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長；
1
三棱柱的體積V Sd （其中 S 為三棱柱一個側(cè)面的面積， d 為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）.
2
1
棱錐：體積＝ ×底面積×高.注意：求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體）
3
求 i 補形：三棱錐 三棱柱；正四面體 正方體 球；
體 ii 分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐與三棱柱的體積關系和等積變換法(平行換點、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等
積
(1)四面體 A－BCD 中，AC=BD= 13 , BC=AD= 21 , AB=CD=4，則四面體 A－BCD 外接球的面積為
(2)已知 PA，PB，PC 兩兩互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC 的面積分別為 1.5cm2，2cm2，6cm2，則過 P，A，B，C
四點的外接球的表面積為 cm2．答案：26π．答：5 2
(3) 三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點 O，P 到三個面的距離分別為 3、4、5，則 OP 的長為_
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16 空間點、直線、平面位置關系（大寫字母表點、小寫字母表直線、希臘字母表平面）：
公理 1 A l, B l, A , B l . 判斷直線在平面內(nèi).
基
公理 2 A, B,C 不共線 A, B,C 確定平面 . 確定平面.
本
用途
公 確定兩平面的交線 公理 3 P , P , l P l
理 兩直線平行
公理 4 a∥ c ，b ∥ c a∥ b
位 線線 共面和異面.共面為相交和平行.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線.
置 點線面 A l, B l ； A , B .
關 線面 l ,l A,l . .分別對應線面無公共點、一個公共點、無數(shù)個公共點.
系 面面 ∥ ， l .分別對應兩平面無公共點、兩平面有無數(shù)個公共點.
判定定理:如果 一條直線和 一條 性質(zhì)定理:如果一直線和一個平面平行,經(jīng)過這直線
直線平行，那么這條直線和這個平面平行． 平 面 和 這 個 平 面 相 交 , 那 么 這 條 直 線 和
a ,b ,a //b a // 平行． a∥ ，a ， b a∥ b
線面 b
平

行 a
關 a b
系
空 判定定理: 如果一個平面內(nèi)的兩條 直 性質(zhì)定理: 如果兩個平行平面同時和第三個平面相
間 線平行于另一平面，那么這兩個平面平行. 交，那么它們的交線 ．
點
a ,b ,a b P // , a, b a //b 、
// 直 a // ,b //
線
、 面面
平
面
的
位 b aO
置 a
關
系 判定定理: 如果一條直線和一個平面內(nèi)的 性質(zhì)定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于
兩條 直線都垂直, 那么這條直線和這
同一條直線的 平行．
個平面垂直．
m ,n ,m n P a
a a ∥ b
a m,a n b
線面
l
b
a b 垂
O 直
關
系 平面和平面垂直:兩個平面垂直的判定定
兩個平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,
理 : 如 果 一 個 平 面 經(jīng) 過 另 一 個 平 面
那么在一個平面內(nèi) 直線垂直于另一個平面.
的 ,那么兩個平面互相垂直.
l ,l , l,a ,a l a
面面
a

a

l
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17 直線與圓的方程
定義法：已知直線的傾斜角為 α，且 α≠90°，則斜率 k=tanα.；與 x 軸平行或重合時傾斜角為0
傾斜角 在平面直角坐標系中，對于一條與 x 軸相交的直線 l ，如果把 x 軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線 l
重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為 ，那么 就叫做直線的傾斜角.
傾斜角為 ，傾斜角不是 90°的直線傾斜角的正切值叫這條直線的斜率 k ，即 k ＝tan ( ≠
90°)；傾斜角為 90°的直線沒有斜率；
概
直線的傾斜角 的范
念 a直線方程法：ax+by+c=0 的斜率 k .
b 圍是[0, ）
斜率 n
直線的方向向量法： a (1,k) 若 a=（m，n）為直線方向向量，則斜率 k= .
m
y y
過兩點 (x1, y1)(x 的直線的斜率
2 1 ；
2, y2) k
x2 x1
x2 y2 b2x
點差法：如 1中,以 P(x0, y 為中點弦斜率
0 求導數(shù)；
0) k
a2 b2 a2 y0
點斜式 已知直線過點 (x , y ) 斜率為 k ，則直線方程為 y y k(x x ) ,它不包括垂直于 x 軸的直線. 0 0 0 0
斜截式 已知直線在 y 軸上的截距為b 和斜率 k ，則直線方程為 y kx b ,它不包括垂直于 x 軸直線.
y y x x
兩點式 已知直線經(jīng)過 P1(x1, y 、1) P2(x2 , y2) 兩點,則直線方程為
1 1 ,它不包括垂直于坐標軸直線
y2 y1 x2 x1
x y
已知直線在 x 軸和 y 軸上的截距為 a,b ,則直線方程為 1,它不包括垂直于坐標軸的直線和過
截距式 a b
原點的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成 Ax By C 0 ( A,B不同時為 0)的形式.
直
⑴直線方程的各種形式都有局限性.(如點斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢？)
線
與 ⑵直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為 0 .直線兩截距相等 直線的斜率為 1或直線過原點；
圓 直線兩截距互為相反數(shù) 直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等 直線的斜率為
的 直 1或直線過原點.
方 線 提醒 ⑶截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形. 直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為
程 方 0.直線兩截距相等 直線的斜率為 或直線過 ；直線兩截距互為相反數(shù) 直線的
程 斜率為 或直線過 ；直線兩截距絕對值相等 直線的斜率為 或直線
過 .
如： 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的點，則點 P 到 AC、BC 的距離
乘積的最大值是 3；過點 A(1,4)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條 3
（1）知直線縱截距b ，常設其方程為 y kx b；
（2）知直線橫截距 x0 ，常設其方程為 x my x0 (它不適用于斜率為 0 的直線)；
設 直 線
方 程 的 （3）知直線過點 (x0 , y0) ，當斜率 k 存在時，常設其方程為 y k(x x0) y ，當斜率 k 不存在時，0
一 些 常 則其方程為 x x0 ；
用技巧
（4）與直線 l : Ax By C 0平行的直線可表示為 Ax By C ； 1 0
（5）與直線 l : Ax By C 0垂直的直線可表示為 Bx Ay C1 0 .
提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解；
當不重合的兩條直線 l1 和 l2 的斜率存在時， l1 // l2 k1 k2 ；如果不重合直線 l1 和 l2 的斜率都
不存在，那么它們都與 x 軸垂直，則 l1 // l平行 2
．
位 平行 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0 (在 y 軸上截距)
置 已知直線 l1 : x ay 6 和l2 : (a 2)x 3y 2a 0,則l // l 的充要條件是 （a=-1） 1 2
關
系 當兩條直線 l1 和 l2 的斜率存在時，l1 l2 k1 k2 1；若兩條直線 l1, l2 中的一條斜率不存在，垂直
則另一條斜率為0 時，它們垂直．
交點 兩直線的交點就是由兩直線方程組組成的方程組的解為坐標的點.
①過兩直線交點的直線系方程可設為 A1x B1y C1 (A2x B2 y C2) 0；
直 線系 ②與直線 l : Ax By C 0 平行的直線系方程可設為 Ax By m 0(m c) ；
方程
③與直線 l : Ax By C 0 垂直的直線系方程可設為 Bx Ay n 0 .
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18 直線與圓的方程
點點距 P1(x1, y1), P2(x2 , y
2 2
2) 兩點之間的距離 P1P2 (x2 x1) (y2 y1) .
距 Ax0 By0 C點線距 點 P(x , y )到直線 Ax By C 0距離公式0 0 d
2 2
離 A B
C1 C2
線線距 Ax By C 0與1 Ax By C 0平行線距離是 d 2
A2 B2
x x x y y y
點 重心 設三角形 ABC 三頂點 A(x , y ) , B(x , y ) ,C(x , y ) ,則重心G( 1 2 3 , 1 2 3 ； 1 1 2 2 3 3 )
點 3 3
與 點 A 關于直線 L 對稱的點 B：1）AB 中點在 L 上；2）AB 垂直直線 L； y0 y B
線 點 關 于 如：點Ａ（４，５）關于直線 l 的對稱點為Ｂ(－2,7)，則 l 的方程是 _____； x0 x A
直 線 的
已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經(jīng)直線 l :3x－4y+4=0 反射.如果 x x0 y yA B 0對 稱 點 C 0
反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是 _ _ 2 2
對 的求法
點 (a,b)關于 x軸、 y 軸、原點、直線 y x 的對稱點分別是 (a, b) , ( a,b) , ( a, b) , (b,a) .
稱
①點 (a,b)： f (2a x,2b y) 0 ；② x軸： f (x, y) 0 ；③ y 軸： f ( x, y) 0 ；
對 稱 的
曲 線 方 ④原點： f ( x, y) 0； ⑤直線 y x ： f (y, x) 0
程 ⑥直線 y x ： f ( y, x) 0； ⑦直線 x a ： f (2a x, y) 0 .
定義 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡.定點叫做圓心、定長叫做半徑.
(x a)2 (y b)2標準方程 r
2 . 提醒：只有當 D2 E2 4F 0 時 ,方程
2 2 2 2 x
2 y2 Dx Ey F 0 才表示圓心為
x y Dx Ey F 0 (D E 4AF 0)
D E 1 2 2
一般方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圓 ( , ) ,半徑為 D E 4F 的圓
2 2 2
直 A C 0 ,且 B 0, D2 E2 4AF 0 ).
線 圓 x a r cos 圓的參數(shù)方程主要應用是三角換元：
與 ( 為參數(shù)), 2 2 2參數(shù)方程 y b r sin x y r x rcos , y rsin ；
圓 其中圓心為 (a,b) ,半徑為 r
的
直徑方程 以 A(x , y ) 、 B(x , y ) 為直徑的圓的方程1 1 2 2 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0 （ AP BP 0 ）
方
程 8 3 8 3
過(1,2)總能作出兩條直線和已知圓 x2 y2 kx 2y k2 15 0 相切，求 k 的取值范圍 k ( , 3) (2, )
3 3
① (x a)2點 0 (y0 b)
2 r2 點 P 在圓外；
位置關系 2
和 ② (x0 a) (y0 b)
2 r2 點 P 在圓內(nèi)；
圓 的判斷 圓 ③ (x a)2 (y b)2 r20 0 點 P 在圓上. 與
方 相交 相切 相離
程 線 代數(shù)法 方程組有兩組解 方程組有一組解 方程組無解
與
幾何法
圓 d r d r d r
圓 代數(shù)法 方程組有兩解 方程組有一組解 方程組無解
與
幾何法 r1 r2 d r1 r2 d r1 r 或d r r2 1 2 d r r 或d r1 r圓 1 2 2
點 在圓 x2
2
P(x , y ) y
2 r2
0 0 上,則過點 P 的切線方程為： x0x y0 y r
過圓 (x a)2 (y b)2 r2 上一點 P(x0, y0)切線方程為 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r
2 .
圓上一點
切
的切線方 過圓外一點的切線方程可設為 y y k(x x )，再利用相切條件求 k，這時必有兩條
線 0 0
程 切線，注意不要漏掉平行于 y 軸的切線．
斜率為 k 的切線方程可設為 y kx b，再利用相切條件求 b，必有兩條切線．
弦 (x2 y2 相交弦 D1x E
2
1y F1) (x y
2 D2x E2 y F2) 0
圓
系切 點弦 以點 P 和圓心為直徑構(gòu)造一個圓，與原來的圓相交，制造相交弦事件
【注：標準d 根據(jù)上下文理解為圓心到直線的距離與兩圓的圓心距】
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19 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)
幾何性質(zhì)
定義 標準方程 對稱
范圍 頂點 焦點 離心率
性
平面內(nèi)與兩個定點 F ，F(xiàn) 的 2 21 2 x y x a ( a,0)
1 ( c,0)
距離之和等于常數(shù) 2a （大于 a2 b2 y b (0, b)
F1F2 2c）的點的軌跡叫
2 2 y a (0, a) 橢圓中
做橢圓． y x 1 (0, c) a c
2 2
橢 b2 2
( b,0)
【 a c2 ，a b 】 a b x b 0 e 1
圓 橢圓焦點三角形：
共離心率的橢圓系的方程：方程 x 軸 i． 2S b tan ，（ F PF ）； c
PF1F
1 2 y 軸
2 2 x 2 y
2 e
ii．點M 是 PF F 內(nèi)心， PM 交 F F 于
t(t 是大于 0 的參數(shù)，我們 坐標
2 2 a
1 2 1 2 a b 原點
點 N ，則 | PM | a ； 稱為共離心率橢圓系方程．

| MN | c 雙曲線
中
平面內(nèi)與兩個定點 F1 ，F(xiàn)2 的 x
2 y2 x a
( a,0) ( c,0) a c 1
距離之差的絕對值等于常數(shù) a2 b2 y R e 1
2a （小于 F1F2 2c ）的
圓 y2 x2 y a
點的軌跡叫做雙曲線．
錐 1 (0, a)
(0, c)
雙 2 2
曲 【b
2 c2 a2 】 a b x R
曲
線 b
線 x
2 y2 求準線方程 雙曲線焦點三角形： 漸近線方程 y x 或 0
的 a2 b2 a2a 2
x S ，（ F PF ）； 定 2 2 PF b cot 1 2y c 1
F2
共漸近線的雙曲線系方程： x 2
義 ( 0)
的漸
a 2 b2
、 等軸雙曲線：雙曲線 x
2 y 2 a2 稱為等軸雙曲線，其漸近線
2
近線方程為 x y
2
方 0
a 2 b2 方程為 y x (漸近線互相垂直)，離心率 e 2
程
與 c b2 c b2
性 i 公式法；橢圓 e= 1 雙曲線 e= 1 ,ii 方程法：建立關于 a,c 的齊次； a a2離 a a
2
質(zhì) 2 2
心 如：已知點 F 是雙曲線 x y 1(a 0 , b 0) 的左焦點，點 E 是該雙曲線的右頂點，過點 F 且垂直于 x 軸的直
a 2 b2率
線與雙曲線交于 A、B 兩點，若△ ABF 是直角三角形，則該雙曲線的離心率是 2;
以等邊三角形頂點 AB 為焦點的橢圓經(jīng)過兩腰的中點，求其離心率： ； 3 1
2
焦半徑：橢圓： 2bPF1 a ex0, PF2 a ex ； 拋物線焦點弦 AB ＝ 2 p0 x x p 通徑 , 2p, 1 2
弦 sin2 a
長
弦長 1 1AB 1 k 2 x2 x1 (1 k
2)[(x1 x2)
2 4x1x2] 1 y2 y1 (1 ) [(y1 y
2
2 ) 4y
2 2 1
y2 ]
k k
2 x 0 py 2px ( ,0)
y R 2
平面內(nèi)到一個定點 F 和一條 x 軸 e 1
定直線 l（定點 F 不在定直線 2 x 0 p
拋 y 2px ( ,0) 【離心率是
物 l ）距離相等的點的軌跡是拋 y R 2 曲線上的點(0,0)
線 物線. y 0 p 到焦點的距2
【焦點到準線的距離等于 x 2py (0, ) 離與到準線
x R 2 y 軸
p ， p 0，焦參數(shù)】 的距離之比】
y 0 p
x2 2py (0, )
x R 2
*1.用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達定理、弦長公式；注意對參數(shù)
分類討論和數(shù)形結(jié)合、設而不求思想的運用；注意焦點弦可用焦半徑公式，其它用弦長公式.
提醒 *2.在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，常與“弦”相關，“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”
問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度(弦長)”問題關鍵是長度(弦長)公式
或“小小直角三角形”.
21
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20 圓錐曲線的熱點問題
2 2
直 線 過 直 線 l : Ax By C 0 與 圓 C : x y Dx Ey F 0 的 交 點 的 圓 系 方 程 是
圓 與 圓
相交 x
2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0 ,λ 是待定的系數(shù)．
系
方 過圓C ： x2 y2 D x E y F 0 , C ： x2 y2圓與 1 1 1 1 2 D2x E2 y F 0 交點的圓(相交弦)系方程為2
程
圓 (x
2 y2 D1x E1y F ) (x
2
1 y
2 D .2x E2 y F2) 0 1時為兩圓相交弦所在直線方程
曲線C 上點的坐標都是方程 f (x, y) 0的解，以 f (x, y) 0的解為坐標的點都在曲線C
概念
上，則稱曲線C 為方程 f (x, y) 0的曲線、方程 f (x, y) 0為曲線C 的方程.
直接法 直接通過建立 x、 y 之間的關系，構(gòu)成F(x, y) 0 ，是求軌跡的最基本的方法
定義法 已知曲線類型，求出確定曲線的系數(shù)得出曲線方程的方法（待定系數(shù)法）.
曲 動點 P x, y 隨動點Q x0 , y0 運動，Q 在曲線C : f x, y 0上，以 x, y表示
線 代入法
與 x , y ，代入曲線C 的方程得到動點軌跡方程的方法. 0 0
方 求法 參數(shù)法 把動點坐標 (x, y)用參數(shù) t 進行表達的方法.此時 x (t), y (t)，消掉 t
程 交軌法 軌跡是由兩動直線（或曲線）交點構(gòu)成的，在兩動直線（曲線）中消掉參數(shù)
確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程.
曲 ①橢圓：第一定義：平面上一動點 P 到平面上兩個定點 F1、F2 的距離和為定值，定義法
線 且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,則 P 點軌跡為橢圓.雙曲線：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
方 ③ PA PB ,則動點 P 軌跡是圓
程 含義 含有可變參數(shù)的曲線系所經(jīng)過的點中不隨參數(shù)變化的某個或某幾個點.
與 定點 把曲線系方程按照參數(shù)集項，使得方程對任意參數(shù)恒成立的方程組的解即為曲解法
圓 線系恒過的定點.
錐 熱 含義 不隨其它量的變化而發(fā)生數(shù)值發(fā)生變化的量. 定值
曲 點 解法 建立這個量關于其它量的關系式，最后的結(jié)果是與其它變化的量無關.
線 問 含義 一個量變化時的變化范圍.
熱 題 范圍 建立這個量關于其它量的函數(shù)關系式或者不等式，求解這個函數(shù)的變化范圍或
點 解法 者解不等式.
問 含義 一個量在變化時的最大值和最小值.
題 最值 解法 建立這個量的函數(shù)關系式，求解這個函數(shù)的最值.
①周長一定的三角形中，以正三角形的面積最大； ⑥在邊長分別相等的多邊形中，以圓
②周長一定的矩形中，以正方形面積最大； 內(nèi)接多邊形的面積最大；
幾何
③面積一定的三角形中，以正三角形的周長最小； ⑦在等周長的邊形中，以圓內(nèi)接多邊
極值
方 ④周長一定的平面曲線中，圓所圍成的面積最大； 形的面積最大；
法 ⑤在面積一定的閉曲線中，圓的周長最小； ⑧面積一定邊形中，正邊形周長最小.
規(guī)
（1）利用綜合法證明時，需要改變題目的形式，把一般定值題轉(zhuǎn)化為特殊情況，因此，
律
定值 常作輔助圖形；其次要明確圖形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析問題時要圍
問題 繞著固定元素和定量進行，把定值固定在已知量上；
處理 （2）利用參數(shù)法證明時，要根據(jù)題設的條件，選取適當?shù)膮?shù)，然后將所要證明的定值
用參數(shù)表示出來，最后消去參數(shù)，便求得用常量表示的定值；
提 *3. 在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，涉及到“交點”時，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題；先驗證因所設直
醒 線斜率存在，造成交點漏解情況，接著聯(lián)立方程組，然后考慮消元建立關于 x的方程還是 y 的方程，
接著討論方程二次項系數(shù)為零的情況，再對二次方程判別式進行分析， 0時，直線與曲線相切，……
*4.求解直線與圓錐曲線的“弦長”、“交點”問題時，必要條件（注意判別式失控情況）是他們構(gòu)成的方
程組有實數(shù)解，當出現(xiàn)一元二次方程時，務必先有“ ≥0 ”. 求解直線與圓錐曲線的其它問題時，如
涉及到二次方程問題，必須優(yōu)先考慮“二次項系數(shù)”與“判別式”問題.
*5.解決直線與圓的關系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成
直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).
*6.韋達定理在解幾中的應用：①求弦長②判定曲線交點的個數(shù)③求弦中點坐標④求曲線的方程.
22
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21 離散型隨機變量及其分布
隨著試驗結(jié)果變化而變化的量叫做隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機叫
概念
做離散型隨機變量.
隨機變
量及其 分布列 離散型隨機變量的所有取值及取值的概率列成的表格 .
分布列
性質(zhì) （1） p 0(i 1，2，，n) ；（2） p1 p2 pn 1i .
P(AB)
概念：事件 A發(fā)生的條件下，事件B 發(fā)生的概率， P(B|A) .
P(A)
性質(zhì)：0≤P(B|A)≤1． B,C 互斥， P(B C|A) P(B|A) P(C|A) ．
條件概率 全概率公式：一般地，設 A1，A2，…，An 是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An
事件的 n
獨立性 ＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件 B Ω，有 P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)．
i＝1
獨立事件 事件 A與事件 B 滿足P(AB) P(A)P(B)，事件 A與事件B 相互獨立.
只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進
n 重伯努
利試驗 行 n 次所組成的隨機試驗稱為 n 重伯努利試驗．
一般地，假設一批產(chǎn)品共有 N 件，其中有 M 件次品．從 N 件產(chǎn)品中隨機抽取 n
離
散 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 X 的分布列為
型
Ck Cn
－k
M N－M
隨 P(X＝k)＝ n ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，CN
機
變 超幾何 n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量 X 的分布列具有上
量 分布 式的形式，那么稱隨機變量 X 服從超幾何分布．
及
其 nM nM M超幾何分布有時也記為 X～H(n，M，N)，其均值 E(X)＝ ，D(X)＝ 1－
分 N N N
布
n－1
1－ .
N－

1
一般地，在 n 重伯努利試驗中，設每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p(0典型 －用 X 表示事件 A 發(fā)生的次數(shù)，則 X 的分布列為 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n k，k＝
分布
0,1,2，…，n.如果隨機變量 X 的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量 X 服從二
項分布，記作 X～B(n，p)．
兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量 X 服從兩點分布，則 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二項分布
(2)若 X～B(n，p)，則 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
“二項分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應二項分布，不放
回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分
布來處理．
在實際應用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試
驗可視為 n 重伯努利試驗，進而判定是否服從二項分布．
23
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2
x
1 - 2
若隨機變量 X 的概率分布密度函數(shù)為 f(x)＝ ·e 2 ，x∈R，其中 μ∈R，σ>0
σ 2π
為參數(shù)，則稱隨機變量 X 服從正態(tài)分布，記為 X～N(μ，σ2)．
3σ原則
正態(tài)分布 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
正態(tài)分布的均值與方差
若 X～N(μ，σ2)，則 E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
數(shù)學期望 EX x p x p 1 1 2 2 xi pi xn pn E(aX b) aEX b
數(shù)字 n
特征 方差和 DX (x EX )2方差： p ，標準差：i i X DX D(aX b) a2DX 標準差
i 1
22 計數(shù)原理與二項式定理
完成一件事有n 類不同方案，在第1類方案中有m1 種不同的方法，在第2 類方案
分類加法
中有m2 種不同的方法，…，在第 n 類方案中有m計數(shù)原理 n
種不同的方法．那么完成這件
基本 事共有 N m1 m2 mn 種不同的方法．
原理 完成一件事情，需要分成n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2 步有m2
分步乘法
種不同的方法……做第 n 步有 mn 種不同的方法 .那么完成這件事共有計數(shù)原理
N m1 m2 mn 種不同的方法.
從 n 個不同元素中取出m(m n) 個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從從n
排 定義 個不同元素中取出m(m n) 個元素的一個排列，所有不同排列的個數(shù)，叫做從n
列 m排列 個不同元素中取出m(m n) 個元素的排列數(shù)，用符號 An 表示.
組
排列數(shù) m n!
合 An n(n 1)(n 2) (n m 1) (n，m Ν，m n) ，規(guī)定0! 1． 公式
二 (n m)!
項 從 n 個不同元素中，任意取出m(m n) 個元素并成一組叫做從n 個不同元素中取
式 定義 出m(m n) 個元素的組合，所有不同組合的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出
定 m(m n) m個元素的組合數(shù)，用符號Cn 表示.
理 組合 m
組合數(shù) m n(n 1) (n m 1) ACn ，C
m n
公式 n
．
m! Amm
性質(zhì) C
m
n C
n m
n ( m,n N,且m n
m m m 1
)；Cn 1 Cn Cn ( m,n N,且m n )．
n 0 n 1 n 1 r n r r n n r
定理 (a b) Cn a Cna b Cna b Cnb （Cn 叫做二項式系數(shù)）
二項 通項公式 T
r
r 1 Cna
n rbr （其中0 k n，k N，n N ）
式定
r r r r 0 1 2 r n n
理 系數(shù)和 Cr Cr 1 Cr 2 Cn C
r 1 ； C
n 1 n
Cn Cn Cn Cn 2 ；
公式 C1 C3 C5 C0 C2 C4 2n 1;C1 2C2 3C3 nCn n2n 1n n n n n n n n n n .
24
高中數(shù)學新教材考前回歸知識必備全案
23 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
變量 兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，
相關關系
的相 這種關系稱為相關關系．相關關系的分類：正相關和負相關
關關 一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，
線性相關
系 我們稱這兩個變量線性相關．
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝ .)當 r>0 時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；當 r<0 時，稱成對
n n
xi－ x 2 y 2i－ y
i＝1 i＝1
樣本
相關 樣本數(shù)據(jù)負相關．|r|≤1；當|r|越接近 1 時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當|r|越接近 0
系數(shù)
時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱．
樣本相關系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關系
1 1
r＝ x′·y′＝ |x′||y′|cos θ＝cos θ(其中 x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝ n，n n
θ為向量 x′和向量 y′的夾角)．
^ ^ ^
(1)我們將y＝bx＋a稱為 Y 關于 x 的經(jīng)驗回歸方程，
n
成 xi－ x yi－ y
＝^ i 1對 b＝ ，
數(shù) n其中 x－ x 2 (2)殘差：觀測值減去預測值，稱為殘差．
據(jù) i一元 i＝1
的 線性
^ ^ 統(tǒng) 回歸 a＝ y －b x .
計 模型
分
n
析 xiyi－n x y
＝
^ ^ i 1
1．經(jīng)驗回歸直線過點( x ， y )．2．求b時，常用公式b＝ .
n
x2－n x 2i
i＝1
n ^
vi－v 2i
i＝1
決 定 決定系數(shù)：R2＝1－ . R2越大，殘差平方和越小，回歸模型擬合效果越好，R2越小，
n
系數(shù) vi－ v 2
i＝1
殘差平方和越大，回歸模型擬合效果越差.
關于分類變量 X 和 Y 的抽樣數(shù)據(jù)的 2×2 列聯(lián)表：
Y
X 合計
獨 立 Y＝0 Y＝1
性 檢 列聯(lián)表
X＝0
驗 a b
a＋b
X＝1 c d c＋d
合計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
25
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n ad－bc 2
計算隨機變量 χ2＝ ，利用 χ2 的取值推斷分類變量 X
a＋b c＋d a＋c b＋d
和 Y 是否獨立的方法稱為 χ2 獨立性檢驗．
χ2 獨立性
檢驗
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
步驟 1：提出零假設為 H0：變量 A與變量 B無關（變量 A與變量 B相互獨立）
步驟 2：根據(jù)列聯(lián)表計算計算隨機變量 χ2 的值（保留三位有效數(shù)字）
步驟 3：根據(jù)小概率 xα取相應值的獨立性檢驗，對零假設 H0判定是否成立，
2
解題格式 當 x 時，我們就推斷 H 不成立，即認為0 X 和Y 不獨立，該推斷犯錯誤的概率
不超 α．
當 2 x 時，我們沒有充分證據(jù)推斷 H 不成立，可以認為 X 和Y 獨立． 0
步驟 4：得出結(jié)論兩個分類變量之間是否有關.
24 空間向量與立體幾何
重要 共面向量 一組向量在一個平面內(nèi)或者通過平移能夠在同一個平面內(nèi).
空 概念 空間基底 空間任何三個不共面的向量a,b,c 都可做空間的一個基底.
間 共線定理 a,b（b 0 共線 存在唯一實數(shù) ，a b .
向 基本
量 共面定理 p 與 a,b 、（a,b 不共線）共面 存在實數(shù)對 x, y ，使 p xa yb ． 定理
基本定理 a,b,c 不共面，空間任意向量 p 存在唯一的 (x, y, z) ，使 p xa yb zc .
線面 方向向量 所在直線與已知直線 l 平行或者重合的非零向量a 叫做直線 l 的方向向量.
標志 法向量 所在直線與已知平面 垂直的非零向量n 叫做平面 的法向量.
線線平行 方向向量共線.
線面平行 判定定理；直線的方向向量與平面的法向量垂直；使用共面向量定理.
空
位置 面面平行 判定定理；兩個平面的法向量平行. 間
向 關系
線線垂直 兩直線的方向向量垂直.
量 立 線面垂直 判定定理；直線的方向向量與平面的法向量平行.
與 體 面面垂直 判定定理；兩個平面的法向量垂直.
立 幾
線線角 兩直線方向向量為a,b， cos cos a,b .
體 何
幾 中 空間
線面角 直線的方向向量為a ，平面的法向量為n ，sin cos a,n .
何 的 角
向
二面角 兩平面的法向量分別為n1 和 n2 ，則cos cos n1,n2 . 量
方 已知直線 l 的單位方向向量為 u，A 是直線 l 上的定點，P
法
→ →
是直線 l 外一點，設AP＝a，則向量AP在直線 l 上的投影
空間 點到直線 →向量AQ＝(a·u)u，在 Rt△APQ 中，由勾 兩平行線距離
距離 的距離 轉(zhuǎn)化為點線距.
→ →
股 定 理 ， 得 PQ ＝ |AP|2－|AQ|2 ＝
a2－ a·u 2.
26
高中數(shù)學新教材考前回歸知識必備全案
已知平面 α的法向量為 n，A 是平面
α內(nèi)的定點，P 是平面 α外一點．過
點 P 作平面 α的垂線 l，交平面 α于
點 Q，則 n 是直線 l 的方向向量，且
點到平面 線面距、面面距
的距離 → → 轉(zhuǎn)化為點面距.
點 P 到平面 α 的距離就是AP在直線 l 上的投影向量QP的
→
→ n
→
長度，因此 PQ＝ AP· ＝ AP·n
|AP·n|
＝ . |n| |n| |n|
25 與方程思想,數(shù)學結(jié)合思想
函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征，用 函數(shù)與方程思想在
函
函數(shù) 聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立 一定的條件下是可以相
數(shù)
思想 各變量之間固有的函數(shù)關系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的 互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成
與
函數(shù)與方 有關性質(zhì)，使問題得到解決． 的，函數(shù)思想重在對問
方
程思想 方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設成未知數(shù)，用它表 題進行動態(tài)的研究，方
程
方程 示問題中的其他各量，根據(jù)題中隱含的等量關系，列方程 程思想則是在動中求
思
思想 （組），通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進行研究，以 靜，研究運動中的等量
想
求得問題的解決． 關系．
、
數(shù) 以形 根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通
數(shù)形結(jié)合的重點是
研究“以形助數(shù)”，這在解
形 助數(shù) 過對形的研究解決數(shù)的問題、或者獲得解決數(shù)的問題解決
選擇題、填空題中更顯
結(jié) 數(shù)形結(jié)合 思路解決數(shù)學問題的思想.
其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這
合 思想
思 以數(shù) 根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，通
種思想意識，做到心中
有圖，見數(shù)想圖，以開
想 助形 過數(shù)的計算、式子的變換等解決數(shù)學問題的數(shù)學方法.
拓自己的思維視野.
26 與整合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想
分類 解答數(shù)學問題，按照問題的不同發(fā)展方向分別進行解
分 分類 分類與整合思想的主要問題
思想
類 決的思想方法. 與 是“分”，解題的過程是“合
與 整合 整合 把一個問題中各個解決的部分，基本合并、提煉得出 —分—合”.
整 思想 整體結(jié)論的思想方法.
合 根據(jù)熟知的數(shù)學結(jié)論和已知掌握的數(shù)學題目解法，把
、 化歸 數(shù)學問題化生疏為熟練、化困難為容易、化整體為局部、 化歸轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是
化 思想 化歸 化復雜為簡單的解決問題的思想方法. “化不能為可能”，使用化歸
歸 與 轉(zhuǎn)化思想需要有數(shù)學知識和
與 轉(zhuǎn)化 根據(jù)熟知的數(shù)學結(jié)論和已知掌握的數(shù)學題目解法，把
轉(zhuǎn)化 解題經(jīng)驗的積累. 轉(zhuǎn) 數(shù)學問題化空間為平面、化高維為低維、化復雜為簡單解
化 思想
決問題的思想方法.
27

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