資源簡介

2023 年新高一知識點集錦（數學）
第一章 集合與常用邏輯用語
1.1 集合的概念
1.集合的描述：一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集.
2.集合的三個特性：
（1）描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點”、“線”、“面”等概念一樣，
都只是描述性地說明.
（2）整體性：集合是一個整體，暗含“所有”、“全部”、“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，
這個集合就是這些對象的總體.
（3）廣泛性：組成集合的對象可以是數、點、圖形、多項式、方程，也可以是人或物等.
3.集合中元素的三個特性：
（1）確定性：對于給定的集合，它的元素必須是確定的.即按照明確的判斷標準（不能是模棱兩可的）判斷
給定的元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，二者必居其一.
（2）互異性：一個給定的集合中的元素是互不相同的.也就是說集合中的元素是不能重復出現的.
（3）無序性：集合中的元素排列無先后順序，任意調換集合中的元素位置，集合不變.
4.集合的符號表示
通常用大寫的字母 A， B，C，…表示集合，用小寫的字母 a，b， c表示集合中的元素.
5.集合的相等
當兩個集合的元素是一樣時，就說這兩個集合相等.集合 A與集合 B相等記作 A B .
6.元素與集合之間的關系
（1）屬于：如果a是集合 A中的元素，就說a屬于集合 A，記作a A，讀作a屬于 A .
（2）不屬于:如果a不是集合 A中的元素，就說a不屬于集合 A，記作 a A，讀作a不屬于 A .
7.集合的分類
（1）有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.如方程 x2 1的實數根組成的集合.
（2）無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.如不等式 x 1 0的解組成的集合.
8.常用數集及其記法
（1）正整數集：全體正整數組成的集合叫做正整數集，記作 N *或 N .
（2）自然數集：全體非負整數組成的集合叫做自然數集，記作 N .
（3）整數集：全體整數組成的集合叫做整數集，記作 Z .
（4）有理數集：全體有理數組成的集合叫做有理數集，記作Q .
（5）實數集：全體實數組成的集合叫做實數集，記作 R .
9.集合表示的方法
（1）自然語言：用文字敘述的形式描述集合的方法.如所有正方形組成的集合，所有實數組成的集合.例如，
三角形的集合.
（2）列舉法：把集合的元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法.其格式是把集合的元素一一列舉出來
并用逗號隔開，然后用花括號括起來.例如，我們可以吧“地球上的四大洋”組成的集合表示為{太平洋，
大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程 (x 1)(x 2) 0的所有實數根”組成的集合表示為{1, 2} .
（3）描述法：通過描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式為{x p(x)}，其中 x
是集合中的元素代表， p(x)則表示集合中的元素所具有的共同特征.
例如，不等式 x 7 3的解集可以表示為
{x R x 7 3} {x R x 10} .
1.2 集合間的基本關系
1. 子集
一般地，對于兩個集合 A , B ,如果集合 A中任意一個元素都是集合 B中的元素，我們就說這兩個集合有包
含關系，稱集合 A為集合 B的子集，記為
A B或（ B A）
讀作集合 A包含于集合B（或集合B包含集合 A）.
集合 A是集合B的子集可用Venn圖表示如下：
或
關于子集有下面的兩個性質：
（1）反身性： A A；
（2）傳遞性：如果 A B，且 B C，那么 A C .
2.真子集
如果集合 A B，但存在元素 x B，且 x A，我們稱集合 A
是集合B的真子集，記為
A B（或 B A），
讀作集合 A真包含于集合 B（或集合 B真包含集合 A）.
集合 A是集合B的真子集可用Venn圖表示如右.
3.集合的相等
如果集合 A B，且B A，此時集合 A與集合 B的元素是
一樣的，我們就稱集合 A與集合B相等，記為
A B .
集合 A與集合B相等可用Venn圖表示如右.
4.空集
我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為 .我們規定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空
集合的真子集，即
（1） A（ A是任意一個集合）；
（2） A（ A ）.
1.3 集合的運算
1.并集
自然語言：一般地，由所有屬于集合 A或屬于集合 B的元素組成的集合，稱為集合 A與 B的并集，記作
A B（讀作“ A并B”）.
符號語言： A B {x x A,或x B}.
圖形語言：
理解： x A或 x B包括三種情況： x A且 x B； x B且 x A； x A且 x B .
并集的性質：
（1） A B B A；
（2） A A A；
（3） A A；
（4） (A B) C A (B C)；
（5） A A B，B A B；
（6） A B B A B .
2.交集
自然語言：一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為 A與B的交集，記作 A B
（讀作“ A交B”）.
符號語言： A B {x x A,且x B} .
圖形語言：
理解：當 A與B沒有公共元素時，不能說 A與B沒有交集，只能說 A與 B的交集是 .
交集的性質：
（1） A B B A；
（2） A A A；
（3） A ；
（4） (A B) C A (B C)；
（5） A B A， A B B；
（6） A B A A B .
3.補集
（1）全集的概念：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全
集，通常記作U .
（2）補集的概念
自然語言：對于一個集合 A，由屬于全集U 且不屬于集合 A的所有元素組成的集合稱為集合 A相對于全集
U 的補集，記為 UA .
符號語言： UA {x x U ,且x A}
圖形語言：
補集的性質
（1） A ( UA) ；
（2） A ( UA) U ；
（3） (痧UA) ( UB) U (A B)；
（4） (痧UA) ( UB) U (A B) .
1.4 充分條件與必要條件
1.充分條件與必要條件
一般地，“若 p，則 q”為真命題，是指由 p通過推理可以得出 q .這時，我們就說，由 p可推出 q，記作
p q，
并且說 p是 q的充分條件， q是 p的必要條件.
在生活中， q是 p成立的必要條件也可以說成是: q p（ q表示 q不成立），其實，這與 p q是
等價的.但是，在數學中，我們寧愿采用第一種說法.
如果“若 p，則 q”為假命題，那么由 p推不出 q，記作 p / q .此時，我們就說 p不是 q的充分條件，q
不是 p的必要條件.
2.充要條件
如果“若 p，則 q”和它的逆命題“若 q則 p”均是真命題，即既有 p q，又有 q p就記作
p q .
此時，我們就說 p是 q的充分必要條件，簡稱為充要條件.顯然，如果 p是 q的充要條件，那么 q也是 p的
充要條件.概括地說，如果 p q，那么 p與q互為充要條件.
“ p是 q的充要條件”,也說成“ p等價于 q”或“ q當且僅當 p”等.
1.5 全稱量詞與存在量詞
1.全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”，“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“" ”表示.常見的全稱量詞還有“一
切”，“每一個”，“任給”，“所有的”等.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.
全稱量詞命題“對M 中的任意一個 x，有 p(x)成立”可用符號簡記為
" x M ， p(x)，
讀作“對任意 x屬于M ，有 p(x)成立”.
（2）存在量詞
短語“存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“$ ”表示.常見的存在量詞還有
“有些”，“有一個”，“對某個”，“有的”等.
含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.
存在量詞命題“存在M 中的元素 x，使 p(x)成立”可用符號簡記為
x M ， p(x)，
讀作“存在M 中的元素 x，使 p(x)成立”.
2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定
全稱量詞命題：
" x M ， p(x)，
它的否定：
x M ， p(x) .
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.
（2）存在量詞命題的否定
存在量詞命題：
x M ， p(x)，
它的否定：
" x M ， p(x) .
存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
第二章 一元二次函數、方程和不等式
2.1 等式性質與不等式性質
1.比較原理
a b a b 0；
a b a b 0；
a b a b 0 .
2.等式的基本性質
性質 1 如果 a b，那么b a；
性質 2 如果 a b，b c，那么 a c；
性質 3 如果 a b，那么 a c b c；
性質 4 如果 a b，那么 ac bc；
a b
性質 5 如果 a b， c 0，那么 .
c c
3.不等式的基本性質
性質 1 如果 a b，那么b a；如果b a，那么 a b .即
a b b a
性質 2 如果 a b，b c，那么 a c .即
a b，b c a c .
性質 3 如果 a b，那么 a c b c .
由性質 3 可得，
a b c a b ( b) c ( b) a c b .
這表明，不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊.
性質 4 如果 a b， c 0，那么 ac bc；如果 a b， c 0，那么 ac bc .
性質 5 如果 a b， c d，那么 a c b d .
性質 6 如果 a b 0， c d 0，那么 ac bd .
n n
性質 7 如果 a b 0，那么 a b （ n N， n 2）.
2.2 基本不等式
1.重要不等式
a ,b R，有
a2 b2 2ab，
當且僅當 a b時，等號成立.
2.基本不等式
如果 a 0，b 0，則
ab a b ，
2
當且僅當 a b時，等號成立.
a b
叫做正數a，b的算術平均數， ab 叫做正數 a，b的幾何平均數.基本不等式表明：兩個正數的算
2
術平均數不小于它們的幾何平均數.
3.與基本不等式相關的不等式
（1）當a ,b R時，有
ab a b
2
，
2
當且僅當 a b時，等號成立.
（2）當 a 0，b 0時，有
2
1 1 ab，
a b
當且僅當 a b時，等號成立.
（3）當a ,b R時，有
a b
2
a2 b2
2
，
2
當且僅當 a b時，等號成立.
4.利用基本不等式求最值
已知 x 0， y 0，那么
（1）如果積 xy等于定值 P，那么當 x y時，和 x y有最小值 2 P；
1
（2）如果和 x y等于定值 S，那么當 x y時，積 xy有最大值 S 2 .
4
2.3 二次函數與一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是 2 的不等式，稱為一元二次不等式.
2.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
(a 0) 0 0 0
二次函數
y ax 2 bx c
（a 0）的圖象
一元二次方程
有兩相異實根 有兩相等實根
ax 2 bx c 0 無實根
x1, x2 (x1 x2 ) x x
b

a 0 1 2的根 2a
ax2 bx c 0 x x x x x x x b 1或 2 R(a 0)的解集 2a
ax 2 bx c 0 x x
(a 0) 1
x x2
的解集
第三章 函數的概念與性質
3.1 函數的概念及其表示
1.函數的概念
設 A , B是非空的實數集，如果對于集合 A中的任意一個數 x，按照某種確定的對應關系 f ，在集合 B中
都有唯一確定的的數 y和它對應，那么就稱 f : A B為從集合 A到集合 B的一個函數，記作
y f (x) , x A.
其中， x叫做自變量， x的取值范圍 A叫做函數的定義域，與 x的值相對應的 y值叫做函數值，函數值的
集合{ f (x) | x A}叫做函數的值域，顯然，值域是集合B的子集.
2.區間：
設a ,b是兩個實數，而且 a b，我們規定：
（1）滿足不等式 a x b的實數 x的集合叫做閉區間，表示為[a,b]；
（2）滿足不等式 a x b的實數 x的集合叫做開區間，表示為 (a,b)；
（3）滿足不等式a x b或 a x b的實數 x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為：[a,b) , (a,b] .
這里的實數a，b都叫做相應區間的端點.
這些區間的幾何表示如下表所示.
定義 名稱 符號 數軸表示
{x a x b} 閉 區 間 [a,b]
{x a x b} 開 區 間 (a,b)
{x a x b} 半開半閉區間 [a,b)
{x a x b} 半開半閉區間 (a,b]
（4）實數集 R可以表示為 ( , ) ,“ ”讀作“無窮大”，“ ”讀作“負無窮大”，“ ”
讀作“正無窮大”.
滿足 x a， x a， x b， x b的實數 x的集合，用區間分別表示為[a, ) ， (a, )
( ,b]， ( ,b) .
這些區間的幾何表示如下表所示.
定義 符號 數軸表示
{x x } ( , )
{x x a} [a, )
{x x a} (a, )
{x x b} ( ,b]
{x x b} ( ,b)
注意：
（1）“ ”是一個趨向符號，表示無限接近，卻永遠達不到，不是一個數.
（2）以“ ”或“ ”為區間的一端時，這一端點必須用小括號.
3.函數的三要素
（1）定義域；
（2）對應關系；
（3）值域.值域隨定義域和對應關系的確定而確定.
4.函數的相等
如果兩個函數的定義域和對應關系分別相同，那么就說這兩個函數是同一個函數.
5.函數的表示方法
（1）解析法
用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做解析法.
解析法是表示函數的一種重要的方法，這種表示法從“數”的方面簡明、全面地概括了變量之間的數量關
系.
（2）圖象法
用圖象表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做圖象法.
圖象法直觀地表示了函數值隨自變量值改變的變化趨勢，從“形”的方面刻畫了變量之間的數量關系.
說明：將自變量的一個值 x0作為橫坐標，相應的函數值 f (x0 )作為縱坐標，就得到坐標平面上的一個點
(x0 , f (x0 )) .當自變量取遍函數的定義域 A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的圖
形就是函數 y f (x)的圖象.函數 y f (x)的圖象在 x軸上的射影構成的集合就是函數的定義域，在 y軸
上的射影構成的集合就是函數的值域.
函數的圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等.
（3）列表法
通過列表來表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做列表法.例如，初中學習過的平方表、立方表都是表示
函數關系的.
6.分段函數
（1）分段函數的概念
有些函數在其定義域內，對于自變量 x的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數稱為分段函數.
如
x, x 0, x2 , x 0,
（1） f (x) x ， （2） f (x) .
x, x 0
2
x , x 0
說明：①分段函數是一個函數，而不是幾個函數.處理分段函數問題時，要先確定自變量的取值在哪個區間，
從而選取相應的對應關系.
②分段函數在書寫時用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形式.并且必須指明各段函數自變量的取值
范圍.
③分段函數的定義域是自變量所有取值區間的并集，分段函數的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分
開寫成幾個集合的形式.
④分段函數的值域是各段函數在對應自變量的取值范圍內值域的并集.
（2）分段函數的圖象
分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成.在同一坐標系中，根據每段的定義區間和表達式依次畫出圖
象，要注意每段圖象的端點是空心點還是實心點，組合到一起就得到整個分
段函數的圖象.
3.2 函數的基本性質
函數的性質是指在函數變化過程中的不變性和規律性.
1.單調性與最大（小）值
（1）增函數
設函數 f (x)的定義域為 I,區間 D I.如果 x1， x2 D，當 x1 x2時，都有 f (x1) f (x2 ) ,那么就稱函
數 f (x)在區間 D上單調遞增.
特別地，當函數 f (x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.
（2）減函數
設函數 f (x)的定義域為 I，區間 D I.如果 x1， x2 D，當 x1 x2時，都有 f (x1) f (x2 ) ,那么就稱函
數 f (x)在區間 D上單調遞增.
特別地，當函數 f (x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數.
（3）單調性、單調區間、單調函數
如果函數 y f (x)在區間 D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數 y f (x)在區間 D上具有（嚴格的）
單調性，區間 D叫做 y f (x)的單調區間.
如果函數在某個區間上具有單調性，那么就稱此函數在這個區間上是單調函數.
（4）證明函數 f (x)在區間 D 上單調遞增或單調遞減，基本步驟如下：
①設值：設 x1, x2 D，且 x1 x2；
②作差： f (x1) f (x2 ) ；
③變形：對 f (x1) f (x2 )變形，一般是通分，分解因式，配方等.這一步是核心 ，要注意變形到底；
④判斷符號，得出函數的單調性.
（5）函數的最大值與最小值
①最大值：設函數 y f (x)的定義域為 I，如果存在實數M滿足:
（1）對于任意的 x I ，都有 f (x) M ；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) M .
那么我們稱M是函數 y f (x)的最大值.
②最小值：設函數 y f (x)的定義域為 I，如果存在實數 m滿足:
（1）對于任意的 x I ，都有 f (x) m；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) m .
那么我們稱m 是函數 y f (x)的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函數
設函數 f (x)的定義域為 I ，如果 x I ，都有 x I ，且 f ( x) f (x)，那么函數 f (x)就叫做偶函數.
關于偶函數有下面的結論：
①偶函數的定義域一定關于原點對稱.也就是說定義域關于原點對稱是函數為偶函數的一個必要條件；
②偶函數的圖象關于 y軸對稱.反之也成立；
③偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的增減性相反.
（2）奇函數
設函數 f (x)的定義域為 I ，如果 x I ，都有 x I ，且 f ( x) f (x)，那么函數 f (x)就叫做奇函
數.
關于奇函數有下面的結論：
①奇函數的定義域一定關于原點對稱.也就是說定義域關于原點對稱是函數為奇函數的一個必要條件；
②奇函數的圖象關于坐標原點對稱.反之也成立；
③如果奇函數當 x 0時有意義，那么 f (0) 0 .即當 x 0有意義時，奇函數的圖象過坐標原點；
④奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的增減性相同.
3.3 冪函數
1.冪函數的概念
一般地，形如 y x （ R， 為常數）的函數稱為冪函數.
1
對于冪函數，我們只研究 1， 2，3， ， 1時的圖象與性質.
2
2.五個冪函數的圖象和性質
1
y x y x 2 y x3 y x 2 y x
1
定義域 R R R [0,+ ) ( ,0) (0,+ )
值域 R [0,+ ) R [0,+ ) ( ,0) (0,+ )
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶 奇函數
在 ( , 0] 上遞減 在 ( , 0），（0, + ) 上
單調性 增函數 增函數 增函數
在 [ 0 , + ) 上遞增 遞減
定點 (1,1)
3.4 函數的應用（一）
略.
第四章 指數函數與對數函數
4.1 指數
1.n 次方根與分數指數冪
（1）方根
如果 xn a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n 1，且 n N * .
①當 n是奇數時，正數的 n次方根是正數，負數的 n方根是負數.這時， a的 n方根用符號 n a表示.
②當 n是偶數時，正數的 n次方根有兩個，這兩個數互為相反數.這時，正數 a的正的 n次方根用符號 n a表
示，負的 n次方根用符號 n a 表示. 正的 n次方根與負的 n次方根可以合并寫成 n a（ a 0）.
負數沒有偶次方根.
0 的任何次方根都是 0，記作 n 0 0 .
式子 n a叫做根式，這里 n叫做根指數， a叫做被開方數.
關于根式有下面兩個等式：
( n a)n a；
n a, n為奇數an .
a ,n為偶數.
2.分數指數冪
（1）正分數指數冪
m
a n n am （ a 0，m， n N *， n 1）.
0的正分數指數冪等于 0 .
（2）負分數指數冪
m
a n 1 1 m = （ a 0，m， n N *， n 1）.
a n n am
0的負分數指數冪沒有意義.
（3）有理數指數冪的運算性質
r s r s
①a a a （ a 0， r， s Q）；
(ar )s ars② （ a 0， r， s Q）；
(ab)r ar③ br （ a 0，b 0， r Q）.
3. 無理數指數冪及其運算性質
（1）無理數指數冪的概念
x ax當 是無理數時， 是無理數指數冪.我們可以通過有理數指數冪來認識無理數指數冪.當 x的不足近似值
m n x am an ax x和過剩近似值 逐漸逼近 時， 和 都趨向于同一個數，這個數就是 .所以無理數指數冪 a
（ a 0， x是無理數）是一個確定的數.
（2）實數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質也適用于實數指數冪，即對于任意實數 r， s，均有下面的運算性質.
r
① a as ar s（ a 0， r， s R）；
② (ar )s ars（ a 0， r， s R）；
r r r
③ (ab) a b （ a 0，b 0， r R）.
4.2 指數函數
1.指數函數的概念
函數 y a x（ a 0，且 a 1）叫做指數函數，其中指數 x是自變量，定義域是 R .
2.指數函數的圖象和性質
x
一般地，指數函數 y a （ a 0，且 a 1）的圖象和性質如下表所示：
0 a 1 a 1
圖 象
定義域 R
值 域 (0, )
（1）過定點 (0,1)，即 x 0時， y 1
性 質
（2）在 R上是減函數 （2）在 R上是增函數
4.3 對數
1.對數的概念
x
一般地，如果 a N (a 0,a 1)，那么數 x叫做以a為底 N 的對數，記作
x loga N .
其中 a叫做對數的底數， N 叫做真數.
當 a 0，且 a 1 x時， a N x logaN .
2. 兩個重要的對數
（1）常用對數：以 10 為底的對數叫做常用對數，并把 log10 N記為 lg N .
（2）自然對數：以 e（ e是無理數， e 2.71828…）為底的對數叫做自然對數，并把 loge N記作 ln N .
3. 關于對數的幾個結論
（1）負數和 0 沒有對數；
（2） loga1 0；
（3） loga a 1 .
4. 對數的運算
如果 a 0，且 a 1，M 0，N 0，那么
（1） loga (MN) loga M loga N ；
（2） log Ma N loga M loga N ；
（3） log na M n loga M （ n R）.
5. 換底公式
log b logc ba log a （ a 0，且 a 1，b 0， c 0， c 1）.c
4.4 對數函數
1. 對數函數的概念
一般地，函數 y loga x（ a 0，且 a 1）叫做對數函數，其中 x是自變量，定義域是 (0, ) .
2.對數函數的圖象和性質
0 a 1 a 1
圖
象
定
義 (0, )
域
值
R
域
（1）過定點 (1,0)，即當 x 1時， y 0 .
性
質
（2）增函數 （2）減函數
3. 反函數
指數函數 y a x（ a 0，且 a 1）與對數函數 y loga x（ a 0，且 a 1）互為反函數，它們的定義
域與值域正好互換.
互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 y x對稱.
4. 不同函數增長的差異
x
對于對數函數 y loga x（a 1）、一次函數 y kx（ k 0）、指數函數 y b （b 1）來說，盡管它們
在 (0, )上都是增函數，但是隨著 x的增大，它們增長的速度是不相同的.其中對數函數 y loga x（ a 1）
x
的增長速度越來越慢；一次函數 y kx（ k 0）增長的速度始終不變；指數函數 y b （b 1）增長的
速度越來越快.總之來說，不管 a（ a 1）， k（ k 0），b（b 1 x）的大小關系如何， y b （b 1）
的增長速度最終都會大大超過 y kx（ k 0）的增長速度； y kx（ k 0）的增長速度最終都會大大超
過 y loga x（ a 1）的增長速度.因此，總會存在一個 x0，當 x x0時，恒有
bx kx loga x .
4.5 函數的應用（二）
1. 函數的零點與方程的解
（1）函數零點的概念
對于函數 y f (x)，我們把使 f (x) 0的實數 x叫做函數 y f (x)的零點.
函數 y f (x)的零點就是方程 f (x) 0的實數解，也是函數 y f (x)的圖象與 x軸的公共點的橫坐標.所
以
方程 f (x) 0有實數解
函數 y f (x)有零點
函數 y f (x)的圖象與 x軸有公共點.
（2）函數零點存在定理
如果函數 y f (x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 f (a) f (b) 0，那么，函數 y f (x)
在區間 (a,b)內至少有一個零點，即存在 c (a,b)，使得 f (c) 0，這個 c也就是方程 f (x) 0的解.
2. 用二分法求方程的近似解
對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且 f (a) f (b) 0的函數 y f (x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分
為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
給定精確度 ，用二分法求函數 y f (x)零點 x0的近似值的一般步驟如下：
（1）確定零點 x0的初始區間[a,b]，驗證 f (a) f (b) 0 .
（2）求區間 (a,b)的中點 c .
（3）計算 f (c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若 f (c) 0（此時 x0 c），則 c就是函數的零點；
②若 f (a) f (c) 0（此時 x0 (a,c)），則令b c；
③若 f (c) f (b) 0（此時 x0 (c,b)），則令 a c .
（4）判斷是否達到精確度 ：若 a b ，則得到零點的近似值 a（或b）；否則重復步驟（2）~（4）.
由函數零點與相應方程解的關系，我們可以用二分法來求方程的近似解.
3. 函數模型的應用
用函數建立數學模型解決實際問題的基本過程如下：
這一過程包括分析和理解實際問題的增長情況（是“對數增長”“直線上升”還是“指數爆炸”）；根據增長
情況選擇函數類型構建數學模型，將實際問題化歸為數學問題；通過運算、推理、求解函數模型；用得到
的函數模型描述實際問題的變化規律，解決有關問題.在這一過程中，往往需要利用信息技術幫助畫圖、運
算等.
第五章 三角函數
5.1 任意角和弧度制
1.任意角
（1）角的概念
角可以看成平面內一條射線繞著端點從
一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.
射線的端點叫做角的頂點，射線在起始
位置和終止位置分別叫做角的始邊和終邊.
（2）正角、負角、零角
按逆時針方向旋轉所成的角叫正角；
按順時針方向旋轉所成的角叫負角；
一條射線沒有作任何旋轉而形成的角叫零角.
這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.
（3）象限角
當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，那么角的終邊（除端點外）在第幾象限，就
說這個角是第幾象限角.如果角的終邊落在坐標軸上，這時這個角不屬于任何象限.
（4）終邊相同的角
所有與角 終邊相同的角，連同角 在內，可構成一個集合
S | k 360 ,k Z
即任一與角 終邊相同的角，都可以表示成角 與整數個周角的和.
終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同；
終邊相同的角有無數多個，它們相差360 的整數倍；
象限角的表示：
第一象限角的集合
| k 360 90 k 360 ,k Z
第二象限角的集合
| 90 k 360 180 k 360 ,k Z
第三象限角的集合
|180 k 360 270 k 360 ,k Z
第四象限角的集合
| 270 k 360 360 k 360 ,k Z
終邊落在坐標軸上的角在以后的學習中很重要，它們的表示如下表.
位 置 表 示
終邊在 x軸非負半軸 { k 360 ,k Z}
終邊在 x軸非正半軸 { 180 +k 360 ,k Z}
終邊在 x軸 { k 180 ,k Z}
終邊在 y 軸非負半軸 { 90 +k 360 ,k Z}
終邊在 y 軸非正半軸 { 270 +k 360 ,k Z}
終邊在 y 軸 { 90 k 180 ,k Z}
終邊在坐標軸 { k 90 ,k Z}
2. 弧度制
（1）弧度的概念
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角.
在半徑為 r的圓中，弧長為 l的弧所對的圓心角為 rad ，那么
lr .
正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是 0.
（2）弧度與角度的換算
（3）關于扇形的幾個公式
設扇形的圓心角為 （ rad ），半徑為 R，弧長為 l，則有
① l R 1； ② S R2； ③ S 1 lR .
2 2
5.2 三角函數的概念
1. 三角函數的概念
（1）三角函數的定義
一般地，任意給定一個角 R，它的終邊OP
與單位圓相交于點 P(x, y) .
把點 P的縱坐標 y叫做 的正弦函數，記作
sin ，即
y sin ；
把點 P的橫坐標 x叫做 的余弦函數，記作
cos ，即
x cos ；
把點 P y的縱坐標與橫坐標的比值 叫做 的正切函數，記作
x tan
，即
y
tan （ x 0）.x
正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：
正弦函數 y sin ， x R；
余弦函數 y cos ， x R；

正切函數 y tan ， x k （ k Z ）.
2
設 是一個任意角，它的終邊上任意一點 P（不與原點
2 2
重合）的坐標為 (x, y)，點 P與原點的距離為 r x y .
可以證明：
sin y ；
r
cos x ；r
tan y .x
（2）幾個特殊角的三角函數值
0 3 ， ， ， 的三角函數值如下表所示：
2 2
3
0
函 數 2 2
sin 0 1 0 1
cos 1 0 1 0
tan 0 不存在 0 不存在
（3）三角函數值的符號
（4）誘導公式（一）
終邊相同的角的同一三角函數值相等.
sin( k 2 ) sin ，
cos( k 2 ) cos ，
tan( k 2 ) tan ，
其中 k Z .
2. 同角三角函數間的基本關系
（1）平方關系
sin2 cos2 1 .
（2）商數關系
tan sin cos .
作用：
（1）已知 的某一個三角函數值，求其余的兩個三角函數值；
（2）化簡三角函數式；
（3）證明三角函數恒等式.
5.3 誘導公式
1. 公式二
sin( ) sin ，
cos( ) cos ，
tan( ) tan .
2. 公式三
sin( ) sin ，
cos( ) cos ，
tan( ) tan .
3. 公式四
sin( ) sin ，
cos( ) cos ，
tan( ) tan .
小結：
（1） k 2 （ k Z ）， ， ， 的三角函數，等于 的同名函數，前面加上把 看成銳
角時原三角函數值的符號.
（2）利用公式一 公式四，可以把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，一般可按下面步驟進行：
4. 公式五
sin( ) cos ，
2
cos( ) sin .
2
5. 公式六
sin( ) cos ，
2
cos( ) sin .
2
小結：
， 的正弦（余弦），等于 的余弦（正弦），前面加上把 看成銳角時原三角函數值的符號.
2 2
5.4 三角函數的圖象與性質
1.正弦函數、余弦函數的圖象
（1）正弦函數 y sin x的圖象.
①畫點T (x0 ,sin x0 )
在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓， O與 x軸正半軸的交點為 A(1,0) .在單位圓上，將點 A繞
著點O旋轉 x0弧度至點 B，根據正弦函數的定義，點 B的縱坐標 y0 sin x0 .由此，以 x0為橫坐標， y0為
縱坐標畫點，即得到函數圖象上的點T (x0 ,sin x0 ) .
② 畫 y = sin x（ x [0,2 ]）的圖象
把 x軸上從0 2 到 這一段分成12等份，使 x0的值分別為0， ， ， ，…，2 ，它們所對應的角的6 3 2
終邊與單位圓的交點將圓周12等份，再按上述畫點T (x0 ,sin x0 )的方法，就可畫出自變量取這些值時對應
的函數圖象上的點.然后將這些點用光滑的曲線連接起來，即得 y = sin x（ x [0,2 ]）的圖象.
③ y = sin x（ x R）的圖象
由誘導公式一可知，函數 y = sin x， x [2kp , 2(k +1)p )， k Z 且 k 0的圖象，與函數 y = sin x，
x [0,2p )的圖象形狀完全一樣.因此將函數 y = sin x， x [0,2p )的圖象不斷向左、向右平行移動（每次
2p 個單位長度），就可以得到正弦函數 y = sin x， x R的圖象（如下圖）.
正弦函數的圖象叫做正弦曲線.
④五點作圖法
在函數 y sin x， x [0,2 ]的圖象上，有以下五個關鍵點：
(0,0)， ( ,1)， ( ,0)， (3 , 1)， (2 ,0) .
2 2
畫出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，可得到正弦函數的簡圖.這種作圖的方法稱為”五
點作圖法”.
（2）余弦函數的圖象
因為 y cos x sin(x )，所以可將正弦函數 y sin x， x R 的圖象向左平移 個單位長度即得余弦
2 2
函數 y cos x， x R的圖象.
余弦函數 y cos x， x R的圖象叫做余弦曲線.
余弦函數 y cos x，x [ , ] 的圖象上五個關鍵點是：( , 1)，( , 0)，(0,1)，( , 0)，( , 1) .
2 2
2. 正弦函數、余弦函數的性質
（1）周期性
一般地，對于函數 f (x)，如果存在一個非零常數T ，使得當 x取定義域內的每一個值時，都有
f (x T ) f (x)，
那么函數 f (x)就叫做周期函數.非零常數T 叫做這個函數的周期.
如果在周期函數 f (x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做 f (x)的最小正周期.
正弦函數是周期函數， 2k （ k Z 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是 2 .
余弦函數也是周期函數， 2k （ k Z 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是 2 .
（2） 奇偶性
正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.
（3）單調性

正弦函數 y = sin x， x R在每一個閉區間[ 2k ， 2k ]（ k Z ）上都單調遞增，其值從 1增
2 2
3
大到1；在每一個閉區間[ 2k ， 2k ]（ k Z ）上都單調遞減，其值從1減小到 1.
2 2
余弦函數 y cos x，x R在每一個閉區間[ 2k , 2k ]（ k Z ）上都單調遞增，其值從 1增大到1；
在每一個閉區間[2k , 2k ]（ k Z ）上都單調遞減，其值從1減小到 1.
（4）最大值與最小值
正弦函數當且僅當 x 2k （ k 3 Z ）時取得最大值1，當且僅當 x 2k （ k Z ）時取得最小
2 2
值 1 .
余弦函數當且僅當 x 2k （ k Z ）時取得最大值1，當且僅當 x 2k （ k Z ）時取得最小值 1.
3.正切函數的圖象
正切函數的圖象叫做正切曲線.
4.正切函數的性質
（1）定義域
正切函數的定義域為{x x 2 k ,k Z}
（2）周期性
正切函數是周期函數，最小正周期是 .
（3）奇偶性
正切函數是奇函數.
（4）單調性

正切函數在每一個開區間 ( k , 2 2 k ) （ k Z ）上都單調遞增.
（5）值域
正切函數的值域是實數集R .
5.5 三角恒等變換
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
sin( ) sin cos cos sin （ S( )），
cos( ) cos cos sin sin （C( )），
tan( ) tan tan （T ）.
1 tan tan ( )
（2）差角公式
sin( ) sin cos cos sin （ S ），
( )
cos( ) cos cos sin sin （C ），
( )
tan( ) tan tan （T
1 tan tan ( )
）.
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2 2sin cos （ S2 ），
cos2 cos2 sin2
1 2sin2
2cos2 1（C2 ），
tan 2 2 tan 2 （T1 tan 2
）
3. 降冪公式
sin2 1 cos 2 ，
2
cos2 1 cos 2 ，
2
sin cos 1 sin 2 .
2
4. 半角公式
sin 1 cos ，
2 2
cos 1 cos ，
2 2
tan 1 cos .
2 1 cos

其中，符號由 所在象限決定.
2
5. 輔助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )，
其中
cos a ，
a2 b2
sin b .
a2 b2
叫做輔助角， 的終邊過點P(a,b) .
5.6 函數 y Asin( x )
1. y Asin( x )（ A 0， 0）的圖象
（1）變換法作 y Asin( x )（ A 0， 0）的圖象
y Asin( x )（ A 0， 0）的圖象，可以用下面的方法得到：
①畫出函數 y sin x的圖象；
②把 y sin x的圖象向左（ 0）或向右（ 0）平移 個單位長度，得到函數 y sin(x )的圖象；
1
③把 y sin(x )圖象上各點的橫坐標變為原來的 倍（縱坐標不變），得到函數 y sin( x )的圖象；

④把 y sin( x )圖象上各點的縱坐標變為原來的 A倍（橫坐標不變），得到函數 y Asin( x )的
圖象.
（2）“五點作圖法”作 y Asin( x )（ A 0， 0）的圖象

例題：用“五點作圖法”畫函數 y 2sin(3x )在一個周期內的圖象.
6
X 1 解：令 3x ，則 x (X ) .
6 3 6
①列表：

X 0
3
2
2 2
x 2 7 5 13
18 9 18 9 18
y 0 2 0 2 0
( ,0) (2 , 2) (7 ②描點： ， ， , 0) 5 13 ，( , 2)，( ,0) .
18 9 18 9 18
③連線：用光滑的曲線把上面的五個點連接起來，即得函數
y 2sin(3x )在一個周期內的簡圖.
6
2. y Asin( x )（ A 0， 0）的性質
（1）周期性
y Asin( x ) 2 是周期函數，最小正周期為T .

（2）奇偶性

當 k （ k Z ）時， y Asin( x )是奇函數；當 k （ k Z ）時 y Asin( x )是
2
k k Z 偶函數；當 （ ）且 k （ k Z ）時， y Asin( x )既不是奇函數也不是偶函
2
數.
（3）單調性
[ 2k
2k ] [ 2k 3 2k 在每一個區間 2 ，2 （ k Z ）上都單調遞增；在每一個區間 2 2 ， ]
（ k Z ）上都單調遞減.
（4）最大值與最小值
2k 3 2k
當 x 2 （ k Z ）時取得最大值 A；當 x
2
（ k Z ）時取得最小值 A .
（5）對稱軸
k
x 2 （ k Z ）.
（6）對稱中心
(k ,0)（ k Z ）.
5.7 三角函數的應用
在物理中， y Asin( x )（ A 0， 0， x [0, )）可以表示一個簡諧運動.
A是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；
T 2 是這個簡諧運動的周期，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需的時間；

f 1 是這個簡諧運動的頻率，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；
T 2
x 稱為相位； x 0時的相位 稱為初相.

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