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第二十一章 一元二次方程
21.3 實際問題與一元二次方程
21.3 第1課時 傳播問題與一元二次方程
觀察下列視頻，了解傳染病的特征和防護措施，那你知道傳染病是如何傳染的嗎？
知識點1：傳播問題與一元二次方程
有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
如何解決這一問題呢？
合作探究
請畫出傳染示意圖 (設傳染 x 輪).
傳染原
一輪
二輪
A
1
2
x
...
1
2
x
...
1
2
x
...
1
2
x
...
A
1
2
x
...
根據示意圖，填寫下列表格并作答.
傳染源人數 第1輪傳染后的人數 第2輪傳染后的人數
1
1 + x = (1 + x)1
1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
x1 = ，x2 =
解方程，得
答：平均一個人傳染了_____個人.
10
12
(不合題意,舍去).
10
解：設每輪傳染中平均一個人傳染了 x 個人.
(1 + x)2 = 121.
列方程
(1) 如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感
第一輪傳染后的人數 第二輪傳染后的人數 第三輪傳染后的人數
(1 + x)1 (1 + x)2
(1 + x)3
分析
3 輪傳染后的人數是: (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人).
(2) n 輪傳染后有多少人患流感
(1 + x) + … + x(1 + x)n=(1 + x)n人
x1 = 11，
x2 = 12 (不合題意，舍去).
例1 某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干，支干和小分支的總數是133，每個支干長出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解：設每個支干長出 x 個小分支，
則 1 + x + x2 = 133，
即 x2 + x 132 = 0.
解得
答：每個支干長出 11 個小分支.
+ + + + =
1.(通遼)為增強學生身體素質。提高學生足球運動競技水平，我市開展“市長杯”足球比賽，賽制為單循環形式(每兩隊之間賽一場)現計劃安排 21 場比賽，應邀請多少個球隊參賽 設邀請 x 個球隊參加比賽，根據題意，可列方程_____________.
方法一：比賽場數：
(x -1)
(x -2)
...
2
1
方法二：
x
1
2
3
x-1
...
x 個球隊
×
(x-1) 個球隊
2 (循環)
=總場數
第二輪：________________
第一輪：________
第三輪：____________________
兩個 要點
傳播問題
傳染源和傳播速度
傳染輪數與傳染總人數之間的關系
(1 + x)人
(1 + x) + x(1 + x)人
(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人
設 1 個人每次可以傳染 x 人
第 n 輪：_______________________
(1+x)+…+x(1+x)n=(1+x)n人
基礎練習
1. 某中學組織了一次聯歡會，參會的每兩個人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人參加聚會？
解：設共有 x 人參加聚會，則每個人要握手(x－1)次，共握手 x(x 1) 次，但每人都重復了一次，故根據題意得
解得 x1＝5，x2＝ 4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 個人參加聚會．
2. 某生物實驗室需培育一群有益菌，現有 60 個活體樣
本，經過兩輪培植后，總和達 24000 個，其中每個有益菌每一次可分裂出若干個相同數目的有益菌.
(1) 每輪分裂中平均每個有益菌可分裂出多少個有益菌？
(2) 按照這樣的分裂速度，經過三輪培植后共有多少個有益菌？
分析：設每輪分裂中平均每個有益菌可分裂出 x 個有益菌.
有益菌的 初始數目 本輪分裂出的有益菌數目 本輪結束有益菌總數
第一輪
第二輪
第三輪
60
60x
60(1 + x)
60(1 + x)
60(1 + x)x
解：(1) 設每個有益菌一次分裂出 x 個有益菌，則
60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000.
∴ x1 = 19，x2 = 21(舍去).
∴每個有益菌一次分裂出 19 個有益菌.
(2) 三輪后有益菌總數為 24000×(1+19) = 480000 (個).
60(1 + x)2x
60(1 + x)2
60(1 + x)3
60(1 + x)2
3. 一個兩位數，十位數字與個位數字之和是 5，把這個數的個位數字與十位數字對調后，所得的新兩位數與原來的兩位數的乘積為 736，求原來的兩位數.
解：設原來的兩位數十位上的數字為 x，則個位上的數字為 (5 - x)，
解得 x1 = 2 ，x2 = 3.
答：原來的兩位數是 23 或 32.
依題意得 (10x + 5 x)[10(5 x) + x] = 736.
當 x＝2 時，5 x = 3；
當 x＝3 時，5 x = 2.

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