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22.1.1 二次函數
第二十二章 二次函數
新課導入
迪拜音樂噴泉是世界上最大的噴泉，也是最壯觀的噴泉．觀察視頻中的噴泉有時會形成一條條曲線．這些曲線能否用函數關系式表示？
點擊視頻開始播放
復習導入
1.下列函數中哪些是一次函數？為什么？(x 是自變量)
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1.
不是，等式右邊是分式.
不是，x 最高次數是二次.
不一定是，缺少 k ≠ 0 的條件.
不是，函數是每個唯一的 x 都有唯一對應的 y 值.
y = kx + b ( k≠0 )
；
知識點1： 二次函數的相關概念
探究新知
問題1 正方體六個面是全等的正方形，設正方體棱長為 x，表面積為 y，則 y 關于 x 的關系式為 .
y = 6x2
x
問題2 n 個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數 m 與球隊數 n 有什么關系？
解：
這個關系式是函數關系式嗎？
n
1
2
3
n-1
...
n 個球隊
×
(n - 1)個球隊
2 (循環)
= 總場數
對于 n 的每一個確定的值，m 都有一個唯一確定的值與其對應值，即 m 是 n 的函數.
一年后
增加 x 倍
問題3 某種產品現在的年產量是 20 t，計劃今后兩年增加產量. 如果每年都比上一年的產量增加 x 倍，那么兩年后這種產品的產量 y 將隨計劃所定的 x 的值而確定，y 與 x 之間的關系怎樣表示？
20(1 + x)
20(1 + x)2
再過一年后
增加 x 倍
原產量是 20
分析：
兩年后
答：y = 20x2 + 40x + 20.
y 是 x 的函數
同學們，以小組的形式討論，并由每組代表總結.
問題 1~3 中函數關系式有什么共同點
y = 6x2
y = 20x2 + 40x + 20
想一想
溫馨提示：類比一次函數 y = kx + b (k≠0)的特征.
①自變量的最高次項的次數：1
②最高次項系數：k，且 k≠0
③兩個未知數，且等式兩邊是整式
y = 6x2
自變量的最高次項
最高項系數
函數解析式
6
是
2
2
2
y = 20x2 + 40x + 20
那么這類函數我們怎么定義？
等式兩邊是否是整式
20
是
是
合作探究
二次項系數
自變量
歸納總結
二次函數的定義
一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常數，a≠0) 的函數叫做二次函數.
解析式 y = ax + bx + c
一次項系數
常數項
同學們，可以自己舉出具體的二次函數嗎？
例1 下列函數中哪些是二次函數 為什么 (x 是自變量)
①y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 + 3x；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
不一定是，缺少 a ≠ 0 的條件.
不是，等式右邊是分式.
不是，x 的最高次數是 3.
典例精析
y = 6x + 9
方法歸納
(1) 將函數解析式右邊整理為含自變量的代數式，左邊是因變量的形式；
(2) a，b，c 為常數，且 a≠0；
(3) 等號左邊是因變量 y，右邊是關于自變量 x 的整式；
(4) 等式的右邊自變量的最高次數為 2.
判斷一個函數是否為二次函數的步驟：
鏈接中考
1. 下列函數中，是二次函數的是( )
A. y = 8x2 + 1
B. y = 8x + 1
D.
A
歸納總結
y = 6x2
y = 20x2 + 40x + 20
y = ax + bx + c (a≠0)
y = 3 2x
y = ax + c (a≠0)
y = ax (a≠0)
y = ax + bx (a≠0)
y = (x 1)2 1
b = 0
c = 0
b = 0，c = 0
二次函數的一般形式：
特殊形式
成立條件
函數解析式
合作探究
典例精析
例2 若函數 是二次函數，
求 m 的值.
∴ m = 3.
總結
本題易忽略二次項系數不為 0 這一限制條件，從而得出 m = -1 的錯誤答案.
鏈接中考
2. 已知 ( m 為常數)，根據下列條件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函數； (2) y 是 x 的二次函數；
∴ m = 1.
(2) y 是 x 的二次函數，只須 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
解：
(1) 由題意得
知識點2： 根據實際問題列二次函數關系式
例3 如圖，用一段長為 30 米的籬笆圍成一個一邊靠墻 (墻的長度不限) 的矩形菜園 ABCD，設 AB 邊長為 x 米，求菜園的面積 y (單位：平方米) 與 x (單位：米) 的函數關系式.
x
分析：
矩形面積( y ) = 長×寬
實際問題注意取值范圍：
0＜x＜30
練一練
1. 某工廠生產的某種產品按質量分為 10 個檔次，第 1 檔次 (最低檔次) 的產品一天能生產 95 件，每件利潤 6 元．每提高一個檔次，每件利潤增加 2 元，但一天產量減少 5 件. 若生產第 x 檔次的產品一天的總利潤為 y 元(其中 x 為正整數，且 1≤x≤10)，求出 y 關于 x 的函數關系式.
∴ y＝[6＋2(x－1)][95 5(x－1)].
解：由題意得，第 x 檔次，提高了 (x－1) 檔，利潤增加了
2(x－1) 元，產量減少了 5(x－1) 件．
即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整數，且1≤x≤10).
當堂小結
二次函數
定 義
y = ax + bx + c(a≠0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常數，______) 的函數叫做二次函數.其中 x 是自變量，a，b，c 分別是函數解析式的_______________、_____________和__________
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常數)
a≠0
二次項系數
一次項系數
常數項
當堂練習
1. 下列函數是二次函數的是( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
2. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 變成 y = ax + bx + c 的形式，
二次項為_____，一次項系數為_____，常數項
為 .
-3x2
-16
12
3. 已知二次函數 .
(1) 求 k 的值；
(2) 當 x = 0.5 時，y 的值是多少？
解得 k = 2.
將 x = 0.5 代入函數關系式 y = x + 2x - 1，得
y = (0.5) + 2×0.5 - 1 = 0.25.
(2) 由 (1) 得，y = x + 2x - 1.
解：
(1) 由題意，得
4. 矩形的周長為 16 cm，它的一邊長為 x cm，面積為
y cm2.
(1) 寫出 y 與 x 之間的函數解析式及自變量 x 的取值范圍；
(2) 當 x = 3 時，求矩形的面積.
解：(1) y＝(8 x)x＝ x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 當 x＝3 時，y＝ 32＋8×3＝15 (cm2) .
∴ 矩形的面積是 15 cm2.

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