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第五節：數列的求和和綜合應用
一、知識概要
數列求和的常用方法：
1、直接法：對于等差數列、等比數列，以及可以通過變形化為這兩種數列的數列求和，可直接應用求和公式；
等差數列求和公式：
等比數列求和公式：

2、利用等差數列或等比數列的性質；
3、裂項相減法：如果一個數列的每一項都可拆為兩項之差，且拆后相鄰兩項（有時隔項）之間消去一部分；
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
(7)
(8)

4、錯位相減法：如果數列是等差數列，是等比數列，則數列 的前項和都可用此法求之；
5、通項展開法：從通項公式入手，把握住與的多項式的特征，將一個數列的求和轉化為兩個基本數列（等差數列或等比數列）的求和．
數列與不等式綜合問題：
通常要利用到數列的單調性比較大小，方法有：
1.利用放縮法，把數列轉化為特殊數列或可用特殊方法求出通項或前項和的數列；
2.利用函數思想，把數列看成關于與的函數進行求解．
二、例題講解
例1、在數列中，，
（1）求證：數列為等差數列，并求的通項；
（2）若對任意的整數恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設數列，的前項和為，求證：．
解：（1）由得：
又，∴數列是首項為1，公差為3的等差數列
∴，即：
（2）∵對任意的整數恒成立，即恒成立
∴對任意的整數恒成立
設，則
∴當時，為遞增數列 ∴
所以的取值范圍為：
（3）由，得
所以，
．
例２、設，數列滿足,
（1）求數列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數，．
解：（1）由，
令
當


①當
②當時，

（2）當
只需



綜上所述．
例３、已知數列前項和.數列滿足，數列滿足．
（1）求數列和數列的通項公式；（2）求數列的前項和；
（3）若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍．
解：（1）由已知得，當時，

又，符合上式．故數列的通項公式
又∵，∴，
故數列的通項公式為，
（2），
，……①
，……②
①-②得
，
∴
（3）∵,
∴
,
當時，；當時，，∴
若對一切正整數恒成立，則即可，
∴，即或．
例4、設數列滿足，其前項和乘積
(1)證明是等比數列；
(2)求中所有不同兩項的乘積之和．
證明：(1)由題意，
從而，所以是公比為的等比數列．
(2) 中所有不同兩項的乘積之和為：
當即時，
當即時，．
例５、定義在上的函數，
(1)求；
(2)是否存在常數，使得，有．
解：(1)．
(2)
．．．
所以，當時，無界
所以不存在常數，使得，有．
例６、某人總貸款為元，還款期限為月，設月利率為，問：
(1)若采取等額本息還款法，則每月還款額是多少？
(2) 若采取等額本金還款法，則第個月還款額是多少？
解：(1)；
(2)．
例７、已知，滿足且
，求證：
．
證明：
則中每一個數要么是，要么是
，設其中有個，個
所以
因為為奇數，所以，于是
從而，所以．

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