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第四節：由數列的遞推公式求通項公式
各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解．特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸．我現在總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助．
類型一、
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解．
例1.已知數列滿足，，求．
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以
，．
變式：已知數列中，，且，其中
（I）求；（II）求的通項公式．
解：，
，即
，
…… ……
將以上k個式子相加，得
將代入，得
，
．
經檢驗也適合，
類型二、
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解．
例2.已知數列滿足，，求．
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又，．
例3.已知，，求．
解：

變式：（2011全國I理15）已知數列，滿足，
，則的通項 ．
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得．
類型三、（其中均為常數，）．
解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解．
例4.已知數列中，，，求．
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以
變式：（2010.福建理22本小題滿分14分）
已知數列滿足．
（I）求數列的通項公式；
（II）若數列滿足證明：數列是等差數列；
（Ⅲ）證明：．
（I）解：

是以為首項，2為公比的等比數列

即　
（II）證法一：

　　　　　　　　　　　　　①
　　　　　　②
②－①，得
即

　 ③－④，得　
即　

是等差數列
證法二：同證法一，得
　 令得
設下面用數學歸納法證明　
（1）當時，等式成立
（2）假設當時，那么

這就是說，當時，等式也成立
根據（1）和（2），可知對任何都成立
是等差數列
（III）證明：




類型四、（其中均為常數，）．
（或,其中均為常數）．
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決．
例5.已知數列中，,，求．
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以
變式:（2011全國I理本小題滿分12分）
設數列的前項的和，
（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設，，證明：．
解：（I）當時，；
當時，，即，利用（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數）的方法，解之得：
(Ⅱ)將代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
所以, = － ) = ×( － ) <
類型五、遞推公式為（其中均為常數）．
解法一(待定系數法)：先把原遞推公式轉化為
其中滿足
解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程．若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中由決定（即把和，代入，得到關于的方程組）；當時，數列的通項為，其中由決定（即把和，代入，得到關于的方程組）．
例6.數列：， ，求數列的通項公式．
由，得
，
且
則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是
。把代入，得
，
，
，
把以上各式相加，得
解法二（特征根法）：數列：， 的特征方程是： ,
又由，于是
故．
例7.已知數列中，,,，求．
解：由可轉化為
即或
這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即
又，所以．
變式:
1.已知數列滿足．
（I）證明：數列是等比數列；（II）求數列的通項公式；
（III）若數列滿足證明是等差數列
（I）證明：
是以為首項，2為公比的等比數列
（II）解：由（I）得
　　
（III）證明：
　　　　　　　　①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即
是等差數列
2.已知數列中，,,，求．
3.已知數列中，是其前項和，并且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；⑶求數列的通項公式及前項和．
類型六、遞推公式為與的關系式．(或)
解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解．
例8.已知數列前n項和.
（1）求與的關系；（2）求通項公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）應用類型4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
變式:（2011陜西理本小題滿分12分)
已知正項數列，其前項和滿足且成等比數列，求數列的通項．
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
當a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數列∴a1≠3;
當a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
變式: (2010江西文本小題滿分14分）
已知數列的前項和滿足，且，求數列的通項公式.
解：，
，兩邊同乘以，可得
令
…… ……
又，，
，
。
類型七、
解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令
，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列．
例9.設數列：，求.
解：設，將代入遞推式，得
…（１）則,又，故代入（１）得
說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為．
變式:（2006山東文22本小題滿分14分）
已知數列｛｝中，，點在直線上，其中
(Ⅰ)令，求證：數列是等比數列；
(Ⅱ)求數列
(Ⅲ)設分別為數列的前項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在試求出；若不存在,則說明理由.
解：（I）由已知得
又
是以為首項，以為公比的等比數列
（II）由（I）知，
將以上各式相加得：

（III）解法一：
存在，使數列是等差數列
數列是等差數列的充要條件是、是常數
即
又
當且僅當，即時，數列為等差數列
解法二：
存在，使數列是等差數列
由（I）、（II）知，
又
當且僅當時，數列是等差數列
類型八、
解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解．
例10.已知數列｛｝中，，求數列的通項公式．
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定系數法解得：．
變式:（2011江西理21．本小題滿分12分）
已知數列的各項都是整數，且滿足
（1）證明 （2）求數列的通項公式．
解：用數學歸納法并結合函數的單調性證明：
（1）方法一 用數學歸納法證明：
1°當n=1時，
∴，命題正確.
2°假設n=k時有
則

而
又
∴時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈N時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴；
2°假設n=k時有成立，
令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有：即
也即當n=k+1時 成立，所以對一切
（2）解法一：
所以　　
,
又bn=－1，所以
解法二：
由（I）知，，兩邊取以2為底的對數，
令,則
或
變式:（2010山東理22,本小題滿分14分）
已知，點在函數的圖象上，其中
(1)證明數列是等比數列；
(2)設，求及數列的通項；
(3)記，求數列的前項和,并證明=1.
解：（Ⅰ）由已知，


，兩邊取對數得
，
即
是公比為2的等比數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）


=
由（*）式得
（Ⅲ）法一， ，
，又，
，又，
法二、
類型九、解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為.
例11.已知數列滿足：，求數列的通項公式.
解：取倒數：
是等差數列，
變式:（2011江西理本大題滿分14分）
1.已知數列滿足：，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：對于一切正整數，不等式.
解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為一個等比數列，其首項為
1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n(1）…………1(
（2）證法一：據1(得，a1a2…an＝
為證a1．a2．……an(2．n！
只要證n(N(時有(…………2(
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個n(N(，有
(1－（）…………3(
用數學歸納法證明3(式：
n＝1時，3(式顯然成立，
設n＝k時，3(式成立，
即(1－（）
則當n＝k＋1時，
(〔1－（）〕（）
＝1－（）－＋（）
(1－（＋）即當n＝k＋1時，3(式也成立
故對一切n(N(，3(式都成立
利用3(得，
(1－（）＝1－
＝1－(
故2(式成立，從而結論成立
法二、要證(…………2(
令
易證：

2.若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式.
3.已知數列{}滿足時，，求通項公式.
4.已知數列滿足：，求數列的通項公式.
5．若數列中，，求通項公式．
類型十、
解法：如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中均為常數，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數列．
例12.已知數列滿足性質：對于且求的通項公式.
解: 數列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有
∴
∴
即
例13.已知數列滿足：對于都有．
（1）若求；（2）若求；（3）若求；（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？
解：作特征方程變形得
特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵對于都有
(2)∵
∴


令，得.故數列從第5項開始都不存在，
當≤4，時，.
(3)∵∴
∴
令則∴對于
∴
(4)、顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，則有
令則得且≥2.
∴當（其中且N≥2）時，數列從第項開始便不存在.
于是知：當在集合或且≥2}上取值時，無窮數列都不存在.
變式:（2011重慶文,本小題滿分12分）
數列記．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求數列的通項公式及數列的前項和．
解法一：由已知,得,其特征方程為解之得,或
,
,
解法二：
（I）
（II）因，
故猜想
因，（否則將代入遞推公式會導致矛盾）
故的等比數列.
,
解法三：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
解法四：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）

從而
類型十一、或
解法：這種類型一般可轉化為與是等差或等比數列求解．
例14.（I）在數列中，，求；
（II）在數列中，，求．
類型十二、歸納猜想法
解法：數學歸納法
變式:（2006全國II理22,本小題滿分12分）
設數列的前項和為，且方程有一根為，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）的通項公式
提示:1 為方程的根,代入方程可得
將n=1和n=2代入上式可得
2 求出等,可猜想并用數學歸納法進行證明，本題主要考察 一般數列的通項公式與求和公式間的關系
3 方程的根的意義(根代入方程成立)
4數學歸納法證明數列的通項公式(也可以把分開為,可得
解：(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝
(Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝
由①可得S3＝
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 　　　　　　……8分
下面用數學歸納法證明這個結論
(i)n＝1時已知結論成立
(ii)假設n＝k時結論成立，即Sk＝，
當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1時結論也成立
綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數n都成立 　　……10分
于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1時，a1＝＝，所以
｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… ……12分
本題難度較大,不過計算較易,數列的前面一些項的關系也比較容易發現
類型十三、雙數列型
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解．
例15.已知數列中，；數列中，．當時，
,，求,.
解：因
所以
即…………………………………………（1）
又因為
所以……
.即………………………（2）
由（1）、（2）得：，
類型十四、周期型數列
解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期．
例16.若數列滿足，若，則的值為___________．
變式:（2010湖南文5）
已知數列滿足，則=（ ）
A．0 B． C． D．
附論文部分內容：巧用遞推關系求解實際問題
1.隨機游動問題
問題1 設正四面體的四個頂點是,各棱長均為1米,有一小蟲從點開始按以下規則前進：在每一個頂點處用同樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一并一直爬到這條棱的盡頭,設它爬了10米以后恰好位于頂點的概率為,求的值.
解 考慮一般情形
令表示小蟲爬了米后又到達點的概率.
由于小蟲爬了米后到達點的概率是爬了米后未到達點的概率與從以外的某一點向爬來的概率的乘積,故有.
下面求解.
由遞推關系式得,令得到,又
,所以,即.
因此.
2.配對問題
問題2 10對夫婦參加舞會，現要求選擇舞伴，其中規定同一對夫妻不能選擇對方當舞伴，舞伴必須是男女搭配，問有多少種不同的選法？
解 考慮一般情形
假設有對夫婦，男士記為,女士記為,此時可供選擇的總數為.
首先考慮(表示男士1選擇女士2當舞伴)
(1)如果,此時剩下的對夫婦還有種選法.
(2)如果,此時又把看成一對夫妻,則此時有中選法.
同理我們可考慮.
綜上,
由,可得到
.
3.涂色問題
問題3十邊形的邊依次記為,每條邊都涂以紅、黃、藍三種顏色的中的一種,其中相鄰的兩邊不能同色,則有多少種不同的涂色方法?
解 考慮一般情形
假設為邊形在題設條件下的涂色總數. 邊形的條邊分別記為.
(1)不考慮和之間的影響,則有三種顏色可供選擇,其他均有兩種顏色可供選擇,因此涂色總數有種.
(2) 考慮和之間的影響.由于和之間的影響由決定,若和同色,則有2種選擇, 若和異色,則只有1種選擇.
因此所要求的方法總數為.
下面求解.由遞推關系式得 ,令,得到,也即
,再令,可得,又
,所以,即.
因此.
4.子集選擇問題
問題4 已知集合,求集合具有以下性質的子集的個數：每個子集至少含有2個元素,且每個子集中任意兩個元素的差的絕對值大于1.
解 考慮一般情形
假設為集合的具有題設性質的子集的個數.
集合的具有題設性質的子集可以分成兩類：
(1)含有元素,這樣的子集的個數有個,即每個滿足題中條件的子集與
的并集,以及;
(2)不含有元素,這樣的子集個數為.
于是有,又由得
.

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