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湖北省鄂南高中2015屆理科實驗班培優講義第二節函數的性質

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  1. 二一教育資源

湖北省鄂南高中2015屆理科實驗班培優講義第二節函數的性質

資源簡介

第二節:函數的性質
一、反函數
定義:只有滿足,函數才有反函數.
注:(1)同一坐標系中,函數和它的反函數圖象關于對稱;
(2)單調函數必有反函數,反之不一定成立.例;
(3)不為的反函數.
二、函數的性質
(1)單調性:在區間上單調遞增,有;
在區間上單調遞減,有;
(2)奇偶性:為偶函數;
為奇函數.
(3)對稱性
(a)自對稱:若,則函數關于直線對稱;
若,則函數關于點對稱;
(b)互對稱:函數和函數關于直線對稱;
函數和函數關于點對稱.
(4)周期性
(a),則函數的最小正周期為;
(b),則函數的最小正周期為;
(c),則函數的最小正周期為;
(d)若函數有2條對稱軸,則函數為周期函數,.
三、例題講解
例1、求函數的反函數.
解:由得

所以,反函數為.
例2、設函數的定義域為,給出下列命題:(1)若為偶函數,則的圖象關于軸對稱;(2) 若為偶函數,則的圖象關于軸對稱;(3)若,則的圖象關于對稱;(4)和
的圖象關于直線對稱,其中正確的命題序號為 .
解:(2)(4)
例3、若為定義在上的函數,且,則函數的奇偶性和周期性如何.
解法一:畫簡圖說明
解法二:
所以為奇函數

所以的周期為.
例4、已知函數,的圖象的對稱中心為,則等于 .
解:易知原函數的對稱中心為
函數的對稱中心為
所以:.
例5、函數的定義域為,且恒滿足和,當時,,求函數的解析式.
解:,
例6、設為一個從實數集映射到自身的函數,并且對任何均有以及
,求證:為周期函數.
證明:

即:………………………………(1)

即:…………………………(2)
由⑴⑵得:
即:
因此:
又,所以有界,
所以為周期函數.
例7、設函數式嚴格遞增的,且對每個,都有,求證:對每一個都有.
證明:由嚴格單調遞增且取整數值得
從而時有
取得
又.
作業
1.已知偶函數的定義域為,且恒滿足,若方程在區間上只有三個實根,且一根為4,求方程在區間中的所有根.
解:-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10
2.若函數在區間上的最小值為,最大值為,求的值.
解:或
3.(1)方程和的實根分別為和,則= .
(2)設,若方程的解為,則方程的解為 .
解:(1)-1 (2)
4.當時,求函數的值域.
5.設,求證:.
解:構造函數
6.試求方程的解集中各元素之和的整數部分.
解:5

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