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第一節：函數的有界性和最值
一、有界性
定義1：設為函數定義域的子集，若，使得有(或)，
則稱在上有上(或下)界.稱為它的一個上(或下)界.
定義2：設為函數定義域的子集，若，使得有(或)，則稱在上有上(或下)界函數.稱為它的一個上(或下)界函數.
二、最值
略
三、例題講解
例1、求證函數在上無上界.
證明：對于任意的，只需證明使得.
為此：取
要使得：，只需要，可取
故函數在上無上界.
例2、(北約2010)求方程的實根的個數.
解：注意到
所以：方程左邊，從而方程無實根.
例3、，若在上的最大值為，則的最小值為 .
解：，
則
故，時取得等號.
例4、某大樓共有20層，有19人在第一層上了電梯，他們分別要去第二至第二十層，每層一人.而電梯只允許停一層，只可讓一人滿意，其余18人都要步行上樓或下樓.假定乘客每向下走一層不滿意度為1，每向上走一層不滿意度為2，所有人的不滿意度和為，為使得最小，電梯應停在第 層.
解：設電梯應停在第層()，則
則當時，最小.
例5、求函數的最小值.
解：定義域為
當時，和均為減函數，從而為減函數，
當時，和均為增函數，從而為增函數，
從而，.
例6、，則的最小值為 .
解：當時，的最小值為在數軸上兩點之間取得.
，，分別在區間中取最小值33,7,3，和為43.
例7、(2011北約)求的最小值.
解：由絕對值的幾何意義：的最小值為在數軸上兩點之間取得.
所以將整理為
共有=項，則可理解為到這個點的距離之和.從兩端開始向中間靠攏，
的最小值在取得，
的最小值在取得，
………
所以的最小值應在正中間某個零點或相鄰的兩個零點之間取得
由可得取得最小值的的圍在第個零點和第
個零點之間(易得這兩個零點相同)
由，所以第個零點和第均為
，則.
例8、對給定的正數，，試求函數
在區間上的最大值.
解法一、為方便起見，令，則有
，
所以
等號成立當且僅當即，解得
注意到，，易證明，
故當時，在區間上的最大值
解法二：
如圖，線段的長度為1，為線段上的任一點，，作直角梯形使得，則
(可使得，顯然在圖中恒有)
于是，
在中，由余弦定理及條件，得
所以
等號成立當且僅當為矩形
作業：
1.設是實數，求的最小值.
解法一：配方
解法二：配方，再用不等式平方平均值大于等于算數平均值，即可
解法三：判別式法
解法四：換元消去交叉項，再配方
2.若，則的最小值為 .
解：判別式法，最小值為.
3.，則的最小值為 .
解：
所以當時，函數的最小值為.
4.(2009年湖北改編)函數，的最大值為.若對任意的恒成立，試求得最大值.
解：.
5.設函數，對于給定的負數有一個正數，使得在整個區間上，不等式都成立.問：為何值時最大？求出這個最大的，并證明你的結論.
解：時，.

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