資源簡介

第三單元 長方體和正方體
3.4 體積單位間的進率
學習目標
1.掌握1dm ＝1000cm 、1m ＝1000dm ，并理解其中的道理。會利用體積單位間的進率進行簡單的換算，并解決相關實際問題。
2.經歷1dm ＝1000cm 、1m ＝1000dm 不同思路的推導過程，培養知識的遷移和運用能力，發展空間觀念。
3.激發學習數學的興趣，感受數學與生活的緊密聯系。
重點：理解并掌握相鄰兩個體積單位間的進率是1000，并能正確地進行體積單位間的互化。
難點：理解相鄰兩個體積單位間的進率是1000的推導原理。
老師：同學們大家好，很高興能和大家一起上數學課。今天我們學習的內容是長方體和正方體單元中體積單位間的進率，課前請同學們準備一些1立方厘米的小正方體，如果沒有也沒有關系課上可以跟隨著同學們的操作一起思考。前幾節課我們學習了體積和體積單位，你還記得常用的體積單位有哪些嗎？沒錯，就是同學們說到的立方米、立方分米、立方厘米，請同學們回憶一下除了剛剛學習的體積單位，我們還研究過哪些計量單位？你還記得他們的哪些知識呢？
學生1：我知道常用的長度單位有米、分米、厘米；相鄰長度單位間的進率是10。
學生2：我們還學過面積單位，常用的面積單位有平方米、平方分米和平方厘米，相鄰面積單位間的進率是100。
學生3：我還記得在研究相鄰長度單位和面積單位進率時用了畫一畫、擺一擺和算一算等方法。
老師：看來我們對計量單位間進率的研究是有經驗的，對于今天要研究的體積單位間的進率，你們有什么想法嗎？
學生4： 1立方厘米大約有一個手指尖那么大，1立方分米大約有一個粉筆盒那么大，所以我想1立方分米里應該有1000個1立方厘米。
學生5：我猜1立方米應該等于1000立方分米吧。你們看相鄰長度單位間的進率是10，相鄰面積單位間的進率是100，再往下延伸相鄰體積單位間的進率應該就是1000了。
老師：同學們進行了大膽的猜想，你們的猜想對不對呢？接下來我們可以怎樣做？
學生6：我們可以像研究相鄰長度、面積單位一樣來研究相鄰體積單位間的進率，驗證我們的猜想。
老師：你們真會思考，首先大家不是憑空想象，都是根據以往的學習經驗進行猜想，最可貴的是你們不僅提出了猜想還想到了怎樣來驗證，下面就把任務交給你們。我們先來研究立方分米和立方厘米之間的關系。同學們可以借助手中體積是1立方厘米的小正方體擺一擺，也可以把你的想法寫一寫、畫一畫，開始你的研究吧，完成了嗎？我們一起來看看同學們的想法。
學生7：我是用擺一擺的方法，我想用1立方厘米的小正方體擺出1立方分米，看看需要多少個？因為1分米等于10厘米，所以一行可以擺10個棱長為1厘米的小正方體，一層可以擺10行可以擺這樣的10層，一共擺滿了1000個體積是1立方厘米的小正方體，所以 1立方分米等于1000立方厘米。
老師：小明借助研究面積單位進率時的研究方法，通過擺一擺發現了1立方分米的正方體里有1000個1立方厘米的小正方體，真不錯。我看到小剛同學舉手了，你有什么問題呢？
學生8：我手中沒有這么多小正方體怎么辦呢？
學生9：是啊，1000個這么多小正方體還真不好找，誰有辦法解決這個問題。
老師：蘭蘭說其實不需要擺滿也可以知道一共可以擺多少個體積為1立方厘米的小正方體。讓我們來聽聽他的想法吧。
學生10：只要沿著圖中的這三條棱分別擺滿10個體積為1立方厘米的小正方體就可以想象出一行可以擺10個，一層可以擺10行可以擺10層也就是10×10×10=1000個。
老師：是這樣的嗎？下面請同學們閉上眼睛想象一下這個過程，想好了嗎？讓我們一起來看看，沿著圖中這樣擺一行可以擺10個，一層可以擺10行，可以擺這樣的10層也就是一共可以擺10×10×10=1000個體積是1立方厘米的小正方體。看來同學們的想象是正確的，蘭蘭在研究時遇到小正方體數量不夠的問題特別會想辦法，通過畫圖利用數與形的結合發現了1立方分米等于1000立方厘米，還有其他方法嗎？
學生11：我是這樣想的，這是1立方分米的正方體因為1分米等于10厘米，所以1立方分米的正方體還可以看成是棱長10厘米的正方體，根據體積公式10×10×10=1000立方厘米，所以1立方分米等于1000立方厘米。
老師：小剛同學先進行長度單位間的換算，再利用正方體體積公式推導出了1立方分米等于1000立方厘米，再來看看小梅的方法，你看懂了嗎？
學生12：我看懂了，他是先找到這個正方體底面積是1平方分米，高是1分米再把底面積和高進行單位換算，1平方分米等于100平方厘米，1分米等于10厘米，最后再利用正方體體積等于底面積乘高算出正方體的體積是1000立方厘米也得到相同的結論。1立方分米等于1000立方厘米。
老師：兩位同學的方法看似不同但是也有相同的地方，你們發現了嗎？沒錯，他們都是先進行單位換算再利用體積公式找到了立方分米與立方厘米這兩個單位間的關系。回顧我們剛剛的學習，同學們經歷了猜想、驗證得到結論的過程，在這個過程中大家積極思考借助已有的知識經驗想到了多種方法，發現了立方分米與立方厘米這兩個單位間的關系。同時也驗證了一開始大家的猜測是正確的，接著我們該研究什么了？
學生13：接下來我們該研究立方米與立方分米之間的關系了。我猜1立方米也應該等于1000立方分米吧。
老師：和你想的一樣嗎？小云的猜測對不對呢？請你結合剛才的研究經驗選擇你喜歡的方法驗證一下吧。我們一起來看看同學們的想法。
學生14：我借助剛才畫一畫、擺一擺的方法研究出 1立方米中可以擺10×10×10=1000個1立方分米的正方體，推導出了1立方米等于1000立方分米。
學生15：我將棱長1米換算成了10分米，再利用正方體體積公式通過計算也得到了和小婷一樣的結論，1立方米等于1000立方分米。
學生16：我是這樣完成的，先把高1米轉化成10分米，底面積1平方米轉化成100平方分米，然后根據正方體體積等于底面積乘高也推導出了1立方米等于1000立方分米。
老師：雖然同學們用的方法不同但我相信你們一定都得到了1立方米等于1000立方分米，通過剛才的研究學習我們知道了1立方分米等于1000立方厘米，1立方米等于1000立方分米。你還有什么發現？有的同學說我發現相鄰兩個體積單位間的進率都是1000。是的，同學們這和我們一開始的猜測也是一樣的。到目前為止我們學習了長度單位、面積單位和體積單位以及相鄰單位間的進率，你們能試著把下表補充完整嗎？讓我們一起來看看這是小梅同學整理的，請你仔細觀察、對比有什么發現？
學生17：我發現相鄰兩個長度單位之間的進率是10，相鄰兩個面積單位之間的進率是100，相鄰兩個體積單位之間的進率是1000。
老師：請你想一想為什么會有這樣的現象呢？讓我們一起來交流一下，有的同學想到了我們還可以借助正方體來思考，在研究相鄰兩個長度單位間的進率時只借助一條棱長即可，我們可以看出無論我們把這條棱看成是長1米或者長1分米，這一行都可以擺10個小正方體，所以相鄰兩個長度單位間的進率是10。在研究相鄰兩個面積單位間的進率時就要考慮一個面內的兩條棱，一行擺10個可以擺10行，10×10=100，所以相鄰兩個面積單位間的進率是100；而研究相鄰兩個體積單位間的進率時則需要借助三條棱，一行可以擺10個，一層可以擺10行，可以擺這樣的10層也就是10×10×10=1000，所以相鄰兩個體積單位間的進率是1000。
老師：同學們真了不起，不僅掌握了體積單位間的進率，還與前面學習的長度單位、面積單位間的進率建立起了聯系，你們真會學習。下面就用我們這節課學習的知識一起來解決這兩個問題吧。請你試著寫一寫、算一算，讓我們一起來看一看第一題，你能看懂他的做法嗎？
學生18：我知道這個同學的想法，先想1立方米等于1000立方分米，有3.8個1立方米就是有3.8個1000，所以用3.8成進率1000就是3800立方分米。
老師：同學們你想的和他一樣嗎？再來看第二題，這里有兩個作品你同意誰的做法？小智覺得小明的答案是對的，讓我們來聽聽他的想法吧。
學生19：求2400立方厘米是多少立方分米？先想1立方分米等于1000立方厘米，有一個1000立方厘米就是1立方分米，看2400立方厘米里有多少個1000立方厘米就有多少立方分米，所以應該用2400除以1000包含著2.4個就是2.4立方分米，而小婷雖然進率用對了但是是用乘法解決的，所以不對。
老師：小智說的真清楚。同學們你做對了嗎？要提醒同學們，我們在進行體積單位間的換算時所用的方法與長度單位、面積單位換算是一樣的，只是相鄰體積單位間的進率是1000。我們今天學習的知識可以解決哪些生活中的問題呢？一起來看這道題，從這道題中你能獲取哪些數學信息？
學生20：我知道了這個牛奶包裝箱的長、寬、高，求牛奶包裝箱的體積就是求這個長方體的體積。
老師：請你根據已知信息自己獨立解決這個問題吧。誰能說說你的想法。
學生21：我認為可以直接利用長方體的體積公式進行計算，這個牛奶包裝箱的體積是6萬立方厘米。
老師：有的同學說我覺得以立方厘米為單位6萬這個數太大了，我們能不能把這個長方體的體積換算成以立方分米或者立方米為單位呢，你們不僅善于觀察還能夠結合生活實際考慮問題，如果以立方分米和立方米為單位這個牛奶包裝箱的體積是多少呢？請你再動筆算一算，讓我們看看這3位同學的想法，你發現問題了嗎？
學生22：小剛單位換算錯了，將相鄰體積單位間的進率記成了100，應該用6萬÷1000=60立方分米，再用60÷1000=0.06立方米。
老師：再對比一下這兩位同學的答案，你看懂他們的做法了嗎？
學生23：我看懂了這兩個同學的答案都相同，但是解題思路不同。一個是先計算體積再進行單位換算，一個是先進行單位換算再計算體積。
老師：你看的真仔細，其實如果題目中沒有明確以誰為計量單位，我們計算到6萬立方厘米就可以了，但是以立方分米或立方米為單位更符合生活實際。同學們可以根據具體的情境靈活選擇適當的單位解決問題，同學們今天我們一起研究了體積單位間的進率，通過這節課的學習你有哪些收獲呢？
學生24：我知道了相鄰體積單位間的進率是1000。
學生25：我發現了相鄰長度、面積、體積單位之間的關系，感覺很有意思。
學生26：研究中我先大膽的進行了猜想，然后借鑒了之前研究長度單位及面積單位之間進率的研究方法進行驗證，最終得出了結論，我想我在學習其他內容的時候還會用到這種方法。
老師：同學們今天我們學習的內容是數學書第34頁和35頁，課后同學們可以完成數學書36頁的第一三四題，今天的課就上到這里同學們再見。

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