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第七章 萬有引力與宇宙航行 復習學案
一、開普勒的行星運動三定律
1、第一定律（軌道定律）__________________________________________________________________；
2、第二定律（面積定律）____________________________________________________________________；
3、第三定律（周期定律）____________________________________________________________________；
注意：開普勒三大定律也可以適用于圓周運動。
二、地球表面上的物體其重力與所受萬有引力的關系（設地球質量M，半徑為R，物體質量為m，引力常量G）
1、物體在任意非特殊位置時的重力：
2、物體在赤道處時的重力：
3、物體在南北兩極處時的重力：
4、物體在地球上空高h的空中時的重力和重力加速度g’ ：
5、在一般情況，忽略地球自轉的影響，可以認為重力等于萬有引力，即可得出黃金代換式：
三、宇宙速度
1、當人在地面水平扔一個物體，剛開始物體做平拋運動。
2、當速度越大，物體落得越遠，速度足夠大時，物體就繞近地做圓周運動，此時物體繞近地做勻速圓周運動的速度V1叫第一宇宙速度，請推導V1的表達式：
3、當速度達到V=____________m/s時，物體脫離地球的束縛，跑向太陽，叫第二宇宙速度，是脫離地球束縛的最小發射速度。
4、當物體拋出的速度V3=___________ km/s時，物體脫離太陽的束縛，離開太陽系，是脫離太陽束縛的最小發射速度，叫第三宇宙速度。
四、行星或衛星運動的參量：
1、若軌跡為橢圓，則用開普勒定律求解。
若是圓軌道，就用萬有引力提供向心力求解。
根據萬有引力提供向心力求線速度、角速度、周期、向心加速度。
判斷動能或勢能或機械能：
【總結規律：高軌、低速（線速度，角速度，向心加速度）、長周期】;【高軌、大機、大勢、小動能】
五、計算中心天體質量和密度 （地球質量約6×1024kg）
1、半徑為R的球體的體積公式：
2、（自力更生法）以地球為例，已知地球表面的重力加速度g，求中心天體質量M：
3、（借助外援法）已知環繞衛星的周期T和軌道半徑，求中心天體質量M：
4、中心天體密度的表達式：
六、經典應用：
1、衛星變軌問題
2、雙星問題
3、衛星追及問題
4、同步衛星
5、地球赤道上的物體A，近地衛星B，普通衛星C，同步衛星D四者之間的V的關系：
_______________________________________________________
七、萬有引力史
1、托勒密：地心說，認為地球是宇宙中心，其它行星繞地球做勻速圓周運動。
2、哥白尼，波蘭，認為太陽是宇宙中心，其它行星繞太陽做勻速圓周運動。
3、第谷，偉大的觀測家，將天體位置記錄了下來，誤差很小。
4、開普勒，偉大的計算者，計算了第谷的數據，并提出開普勒行星運動三定律。沒有做實驗。
5、牛頓，認為天體做圓周運動一定需要外力，從而發現了萬有引力。
6、卡文迪許，扭稱實驗測出來引力常量G，第一個測出地球質量的人。
7、哈雷：預言了哈雷彗星出現的時間。
8、英國劍橋大學學生亞當斯和法國天文愛好者勒維耶同時獨立預言了天王星軌道外還有一顆未知行星，即海王星。
知識應用：
1. 如圖為火星繞太陽運動的橢圓軌道，是其長軸，為橢圓的中心，則下列說法正確的是( )
A. 太陽位于點
B. 火星在點的速率等于點的速率
C. 火星在點所受引力大小等于在點所受引力大小
D. 火星軌道半長軸的三次方與公轉周期平方的比值和太陽有關
2、為了探測引力波，“天琴計劃”預計發射地球衛星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為(　　)
A．2∶1　　　　　 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
3、“嫦四號”探測器成功在月球背面著陸，標志著我國探月航天工程達到了一個新高度。已知地球和月球的半徑之比約為，分別在離月球表面高度為處和離地球表面高度為處自由下落的小球運動時間之比為，由此可知( )
A. 地球表面重力加速度和月球表面重力加速度之比為
B. 小球在地球表面落地的速度和在月球表面落地的速度之比為
C. 地球的質量與月球的質量之比為
D. 地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為
4、研究表明，地球自轉在逐漸變慢，億年前地球自轉的周期約為小時。假設這種趨勢會持續下去，地球的其他條件都不變，則若干年后( )
A. 地球兩極的重力加速度將變大 B. 地球赤道的重力加速度將變大
C. 地球近地衛星的速度將變大 D. 地球同步衛星的速度將變大
5、我國載人空間站，其運行軌道距地面高度約為，已知地球半徑約為，萬有引力常量為，地球表面重力加速度為，同步衛星距地面高度約為，設空間站繞地球做勻速圓周運動，則( )
A. 空間站運行速度比同步衛星小 B. 空間站運行周期比地球自轉周期小
C. 可以估算空間站受到地球的萬有引力
D. 受大氣阻力影響，空間站運行的軌道半徑將會逐漸減小，速度逐漸減小
6（多選）如圖所示，發射同步衛星時，先將衛星發射到近地圓軌道Ⅰ上運行（忽略衛星到地面高度），然后通過變軌在橢圓軌道Ⅱ上運行，是軌道Ⅰ、Ⅱ相切點，當衛星運動到遠地點時，再變軌成為地球同步衛星在軌道Ⅲ上運行，下列說法正確的是( )
A. 衛星在軌道Ⅰ上經過點時的加速度小于在軌道Ⅱ上經過點時的加速度
B. 衛星在軌道Ⅱ上經點時的速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
C. 衛星在軌道Ⅰ的速度大于軌道Ⅱ上P點的速度
D. 衛星在Ⅱ軌道的周期小于軌道Ⅲ的周期
7（多選）、 如圖所示，某航天器圍繞一顆半徑為的行星做勻速圓周運動，其環繞周期為，經過軌道上點時發出了一束激光，與行星表面相切于點，若測得激光束與軌道半徑夾角為，引力常量為，不考慮行星的自轉，下列說法正確的是（ ）
A. 行星的質量為 B. 行星的平均密度為
C. 行星表面的重力加速度為 D. 行星的第一宇宙速度為
8（多選）、如圖所示，A是靜止在赤道上的物體，B、C是同一平面內的兩顆人造衛星。B位于離地高度等于地球半徑的圓形軌道上，C是地球同步衛星。下列說法中正確的是(　　)
A．衛星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度
B．A、B的線速度大小關系為vA＞vB
C．A、B的向心加速度大小關系為aB＞aA
D．A、B、C周期大小關系為TA＝TC＞TB
9. 如圖所示，是地球的同步衛星，另一衛星的圓軌道位于赤道平面內，離地面高度為，已知地球半徑為，地球自轉角速度為，地球表面的重力加速度為，為地球中心
求衛星的運行周期；
如衛星繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻、兩衛星相距最近、、在同一直線上），則至少經過多長時間，它們再相距最遠？
10. 物體在地球上不同緯度處隨地球自轉所需向心力的大小不同，故同一個物體在地球上不同緯度處重力大小不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為：，因此我們通常忽略兩者的差異，可認為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略．假如某星球因為自轉原因，一物體在赤道上的重力與其在該星球兩極點受到的重力大小之比為：，已知該星球的半徑為，
求繞該星球運動的同步衛星的軌道半徑；
若已知該星球赤道上的重力加速度大小為，萬有引力常量為，求該星球的密度．
第七章萬有引力與宇宙航行答案
2.C 3. 4. 5. 6、BCD
7. A、勻速圓周運動的周期為，那么可以得到勻速圓周運動的線速度，再根據萬有引力提供向心力，解得，故A正確；
B、體積：，所以平均密度，故B正確；
C、行星表面，根據重力等于萬有引力可知，，聯立解得，故C正確；
D、行星的第一宇宙速度：，故D錯誤。
8、CD B是近地衛星，那么它的速度等于地球的第一宇宙速度，但由于衛星B的軌道半徑等于地球半徑的2倍，則衛星B的速度v＝，小于地球的第一宇宙速度，故A錯誤；根據G＝m＝ma知，v＝，a＝，因C的軌道半徑大于B的軌道半徑，則vB＞vC，aB＞aC；A、C的角速度相等，根據v＝rω，a＝ω2r知，vC＞vA，aC＞aA，所以vB＞vA，aB＞aA，故B錯誤；A、C的角速度相等，則A、C的周期相等，根據G＝mr，得T＝，所以C的周期大于B的周期，則A、B、C周期大小關系為TA＝TC＞TB，故D正確。]
9. 解：由萬有引力定律和向心力公式得
在地球表面處有
聯立得
由題意得
得
代入得
10. 解：設物體質量為，星球質量為，星球的自轉周期為，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即：
物體在星球赤道上隨星球自轉時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力，有：
因為，
得：
該星球的同步衛星的周期等于自轉周期，則有：
聯立解得：
在星球赤道上，有：
可得：
又因星球的體積：
所以該星球的密度：

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