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高中數學新教材考前回歸知識必備全案
高中數學考前回歸知識必備
1 集合與常用邏輯用語
Ａ={ a1,a2 ,a3 a } 元素特點：互異性、無序性、確定性。 n
概念
一組對象的全體. x A, x A
子集 Ａ n的子集有2n 個，真子集有2 1個，非空 A；
關系 真子集 真子集有2n 2個 A B, B C A C 集
合 相等 A B, B A A B
交集 A B x | x A,且x B 【提醒】：數軸和韋恩圖是進行交、并、
補運算的有力工具.
運算 并集 A B x | x A,或x B 在具體計算時不要忘了集合本身和
C A x | x U且x A 空集這兩種特殊情況，補集思想常運用補集 U
于解決否定型或正面較復雜有關問題。
概念 能夠判斷真假的語句。
集 原命題：
原命題 逆命題
合 若 p ，則q 互 逆
與 若 p 則 q 若 q 則 p 逆命題： 互 否
常 若 q ，則 p
用 命題 四種 互 為 逆 互
否命題：
邏 命題 為 逆
若 p ，則 q 否 否
輯 互 否
用 常
逆否命題： 互 逆 逆否命題 逆否命題
語 用
若 q ，則 p 若 q 則 p 若 q 則 p
邏
輯 充分條件 p q， p 是q 的充分條件 若命題 p 對應集合 A，命題q 對應集合
用 充要 必要條件 p q， q 是 p 的必要條件 B ，則 p q 等價于 A B ，p q等
語 條件
充要條件 p q， p,q互為充要條件 價于 A B。
全稱量詞 ，含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱命
題。
量詞 存在量詞 ，含存在量詞的命題叫特稱命題，其否定為全稱命
題。
非命題 p 和 p 為一真一假兩個互為對立的命題。 類比集合的補
全稱量詞 ，含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱命題。
量詞
存在量詞 ，含存在量詞的命題叫特稱命題，其否定為全稱命題。
2 復數與統計與統計案例 概率
i2規定： 1；實數可以與它進行四則運算，并且運算時原有的加、
虛數單位 4k
乘運算律仍成立。 i 1,i
4k 1 i,i4k 2 1,i4k 3 i(k Z)。
概 形如a bi(a,b R) 的數叫做復數，a 叫做復數的實部，b 叫做復數的
復 復數 念 虛部。b 0 時叫虛數、a 0,b 0時叫純虛數。
數
的 復數相等 a bi c di(a,b,c,d R) a c,b d
概 共軛復數 實部相等，虛部互為相反數。即 z a bi，則 z a bi 。
念
加減法 (a bi) (c di) (a c) (b d)i， (a,b,c,d R)。 和
運 運 乘法 (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i， (a,b,c,d R)
算 算 ac bd bc da
除法 (a bi) (c di) i(c di 0,a,b,c,d R)
c2 d
2 c2 d 2
幾 復數 z a bi 一一 對應 復平面內的點Z(a,b) 一一 對應 向量OZ
何
1
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意
向量OZ 的模叫做復數的模， z a2 b2
義
*1.運算律：⑴ zm zn zm n ； m n mn ⑵ (z ) z ； ⑶ (z1 z2)
m z mz m1 2 (m,n N) . 復
數 【提示】注意復數、向量、導數、三角等運算率的適用范圍.
z | z | n n
復 *2.模的性質：⑴ | z1z2 | | z || z |； ⑵ |
1 | 1 ； ⑶ z z .
主 1 2
數 z2 | z2 |
要
運 2 2 2 1 i 1 i
性 *3.重要結論： z1 z2 z z ； 1 i 2i ； i ， i ； 算
質 1 i 1 i
i4n 1 i,i4n 2 1, i4n 3 4ni 性質：T=4； i, i 1.
3 2
1 3
【拓展】： 1 1 1 0 1或 i .
2 2
簡單抽
從總體中逐個抽取且不放回抽取樣本的方法。
樣
一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于
且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有
子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽
樣，每一個子總體稱為層． 等
概
1.利用分層隨機抽樣要注意按比例抽取，若各層應抽取的個體數不都是整
率
分層抽 數，可以進行一定的技術處理，比如將結果取成整數等． 抽
樣 樣
2.在分層隨機抽樣中，以層數是 2 層為例，如果第 1 層和第 2 層包含的個體
。
隨 數分別為 M 和 N，抽取的樣本量分別為 m 和 n，第 1 層和第 2 層的樣本平均
機 M N m
抽 數分別為 x ， y ，樣本平均數為 w ，則 w ＝ x ＋ y ＝ xM＋N M＋N m＋n
統 樣
n
計 ＋ y .
m＋n
與
統
統
計 (1)常見的統計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．
計
案 (2)作頻率分布直方圖的步驟
例 ①求極差；
統計圖 ②決定組距與組數；
表
③將數據分組；
④列頻率分布表；
⑤畫頻率分布直方圖．
百分位 一般地，一組數據的第 p 百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有 p%
數 的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
樣
眾數 一組數據中出現次數最多的數據(即頻數最大值所對應的樣本數據)．
本
中位數 從小到大排序后，中間的數或者中間兩數的平均數。
估
1
計 平均數 x1, x2 , , xn 的平均數是 x (x1 x2 xn ) .
總 n
體 1 n 1
n
方差 2 x 2 2 s (x x)1, x2 , , xn 的平均數為 x ， s (x x) ,標準差 i i
n i 1 n i 1
2
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巧用三個有關的結論
(1)若 x1，x2，…，xn的平均數為 1，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平
均數為 m＋a；
(2)數據 x1，x2，…，xn與數據 x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的
方差相等，即數據經過平移后方差不變；
(3)若 x 21，x2，…，xn的方差為 s ，那么 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差
為 a2s2.
(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為 Y1，Y2，…，YN，總體平均數
總體 1 N
為 Y ，則總體方差 S2＝ (Yi－ Y )2.(2)加權式：如果總體的 N 個變量值中，不
(樣本) Ni＝1
方差和
總體 同的值共有 k(k≤N)個，不妨記為 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi出現的頻數為 fi(i＝1,2，…，
(樣本)
k
標準差 1k)，則總體方差為 S2＝ fi(Yi－ Y )2. N
i＝1
樣
本
點
①樣本點：隨機試驗 E 的每個可能的基本結果稱為樣本點，常用 ω表示．
和
有 全體樣本點的集合稱為試驗 E 的樣本空間，常用 Ω表示．
限
②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有 n 個可能結果 ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間 Ω
樣
＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．
本
空
間
如果隨機事件 A在 n 次試驗中發生了m 次，當試驗的次數 n 很大時，我們可以將發生的
定
m m
概 義 頻率 作為事件 A發生的概率的近似值，即P A 。
率 n n
事 互斥事
事件 A和事件B 在任何一次實驗中不會同時發生
件 件
關 對立事
事件 A和事件B ，在任何一次實驗中有且只有一個發生。
系 件 類比集合關系。
基本性
0 P(A) 1， P( ) 0， P( ) 1。
性 質
質 互斥事
事件 A, B互斥，則P(A B) P(A) P(B)。
件
古 特征 基本事件發生等可能性和基本事件的個數有限性
典
計算公 m
概 P(A) ， n 基本事件的個數、m 事件 A所包含的基本事件個數。
式
型 n
3 平面向量
平 重 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長度叫做該向量的模。
面 要 0 向量 長度為0 ，方向任意的向量。【0 與任一非零向量共線】
向 概 平行向量 方向相同或者相反的兩個非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。
量 念 2向量的模 | a | x2 y2 , a | a |2 x2 y2
3
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兩點間的距離 2 2 若 A x1, y1 ,B x , y ，則2 2 | AB | x x y y 2 1 2 1
起點放在一點的兩向量所成的角，范圍是 0, 。a,b的夾角記為 a,b 。
向量夾角
a,b 銳角 a b 0 , a,b 不同向； a,b 為直角 a b 0； a,b 鈍角 a b 0 , a,b 不反向.
向量的夾角帶有方向性：向量是有方向的，向量間的夾角表示兩個向量正方向的夾角
→
設 a，b 是兩個非零向量，它們的夾角是 θ，e 與 b 是方向相同的單位向量，AB＝
→ → →
a，CD＝b，過AB的起點 A 和終點 B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為 A1，
投影向量
—→ —→
B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量 a 向向量 b 投影，A1B1叫做向量 a 在向量 b
上的投影向量．記為|a|cos θ e.
重 e1,e2 不共線，存在唯一的實數對 ( , ) ，使a e1 e2 。若 e1,e2 為 x, y軸上
基本定理
要 的單位正交向量， ( , ) 就是向量 a 的坐標。
法
一般表示 坐標表示
則
定 共線條件 a / /b （b 0 共線 存在唯一實數 ，a b x1y2 y1x2 ＝0
理 垂直條件 a b a b 0。 x1y1 x2 y2 0。
設 AB a,BC b ，那么向量 AC 叫做 a 與 b 的和，即
法則 a b AB BC AC ；向量加法的三角形法則可推廣至多個向加法 a b (x1 x2 , y1 y2) 。
量相加： AB BC CD PQ QR AR ，但這時
運算
必須“首尾相連”。
算律 交換律a b b a，結合律 (a b) c a (b c)
用“三角形法則”：設 AB a, AC b, 那么a b
減法
法則
運算 AB AC CA，由減向量的終點指向被減向量的終點。
a b (x1 x2 , y1 y2)
注意：此處減向量與被減向量的起點相同。
a為向量， 0與 a 方向相同，
各 概念 a ( x, y) 0與 a 方向相反，
數乘 a a
。
種
運 運算 分配律 ( a) ( )a， ( )a a a， 與數乘運算有同樣的坐標
算 算律
分配律 (a b) a b 表示。
概念 a b a b cos a,b a b x1x2 y1y2 。
數量 主要 2 2
積運 a a a ，|a·b|≤|a||b|
| a | x2 y2 , a | a |2 x2 y2
性質
算
算律 a b b a，分配律 (a b) c a c b c ， ( a) b a ( b) (a b)。
向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一
算律 個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，
切記兩向量不能相除(相約)；（2） a(b c) (a b)c
向 幾何表示法 用帶箭頭的有向線段表示，如 AB ，注意起點在前，終點在后；
量
的 符號表示法 用一個小寫的英文字母來表示，如 a ， b ， c 等；
表 在平面內建立直角坐標系，以與 x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量 i ， j 為基底，則平面內
示
坐標表示法
方 的任一向量 a 可表示為 a xi y j x, y ，稱 x, y 為向量 a 的坐標，a ＝ x, y 叫做向量 a 的
法 坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。
三角形的五個“心”
重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.
垂心：三角形三邊上的高相交于一點.旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.
4
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4 不等式
a b，b c a c 兩個實數的順序關系：
同
a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc ； a b a b 0
向
不 a b，c d a c b d a b a b 0
等 a b 0，c d 0 ac bd 1 1
式 n n 取倒數法則ab 0 ， a b
a b 0，n * n nN，n 1 a b ；a b a b
① x, y 0,由x y≥2 xy ，若積 xy P(定值)，則當 x y 時和 x y 有最小值2 p ；
② 1x, y 0,由x y≥2 xy ，若和 x y S(定值)，則當 x y 是積 xy有最大值 s2 .
最值 4
定理 【推廣】：已知 x, y R，則有 (x y)
2 (x y)2 2xy .
（1）若積 xy 是定值，則當 | x y |最大時， | x y |最大；當 | x y |最小時， | x y |最小.
（2）若和 | x y |是定值，則當 | x y |最大時， | xy |最小；當 | x y |最小時， | xy |最大
2 2
平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均 a b a bab≤ ( ) 2≤ (a,b R, 當且僅當a b 取“ ”)
2 2
均 值 2 2ab a b a2 b2
不 等 ≤ ab ≤ ≤ （當且僅當a b時取“ ”）1 1 a b 2 2
式 a b
a1 a 2 a n ≥ n a a a （正數 a1=a2=…=an 時取等）算術平均≥幾何平均
基 1 2 nn
本 2 2
重 要 a b 2 | ab | (a,b R, 當且僅當a b時取到“ ”)
不
不 等 3 3 2 2 3 3 3
等 a b ≥a b ab ，a b c 3abc (a b c)(a
2 b 2 c 2 ab ac bc)
式（a、
式
a 3 b3 c 3b 、 c ≥3abc（a b c 0等式即可成立，a b c或a b c 0時取等）；
為 正
3 a b c a
3 b 3 c 3
數） abc ≤
a b cabc ( ) 3≤ ≤
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
柯 西 設a i ,b 則i R(i 1,2, ,n), (a1b1 a 2b 2 a nb n) ≤ (a 1 a 2 a n)(b 1 b 2 b n)
不 等 等號成立當且僅當 a1 a 2 a 時成立．（約定 時， ） n a 0 b i 0i
式 b1 b2 bn
糖 水
的 濃 a b 0，a m 0，則 b m b b m .【說明】：
b b m
（a b 0,m 0 ）.
度 a m a a m a a m
③已知 a, x,b, y R ，若ax by 1，則有： 1 1 1 1 by ax 2
“1” (ax by)( ) a b ≥ a b 2 ab ( a b )
x y x y x y
的

代換 ④ a, x,b, y R ，若
a b
1則有：
ay bx
2x y x y ( ) a b 2 ab ( a b )
x y x y
5 函數﹑基本初等函數 I 的概念、圖像與性質
函數 函數用 f(x)來表示：即 x 按照對應法則 f 對應的函數值為 f(x)．函數有解析式和圖像兩種具體的表示形式。
的概 定義域 A：x 取值范圍組成集合。值域 B：y 取值范圍組成集合。對應法則 f：y 與 x 對應關系。
念 如：函數圖像與 x軸的垂線至多有一個公共點,但與 y 軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.
函 (1)具體函數：即有明確解析式的函數，定義域的考查有兩種形式: 使函數解析式有意義(如:分母 0 ;偶次
數 根式被開方數非負; 零指數冪底數 0 ；實際問題有意義；對數真數 0 ,底數 0 且 1；如 lg x 1的解集：
概 定義 0 x 10； y ln x單調增區間 (0, )；如：不等式 lg | x | 1的解集 {x | 1 x 1且x 0}
域題
念
(2) 復合函數定義域求法：只要對應法則相同，括號里整體的取值范圍就完全相同。若 f (x) 的定義域為 [a,b] ,型
及 其復合函數 f [g(x)]的定義域可由不等式 a g(x) b 解出；若 f [g(x)]的定義域為 [a,b] ,求 f (t) 的定義域，
其 相當于 x [a,b] 時,求 t g(x) 的值域；如若函數 f (x2 1) 的定義域為 [ 2,1) ，則 f (x) 定義域為___（答：[1,5]）
表
數軸上的一段數組成的集合可以用區間表示，區間分為開區間和閉區間，開區間用小括號表示，是大于或小
示
于的意思；閉區間用中括號表示，是大于等于或小于等于的意思；
區間
（1）區間是集合的另類表示方式，區間就是集合，具有集合的一般性質。
（2）它是無限集，連續的實數。{x |1 x 2或 x 4}表示成（1，2） { 4}，不能寫成 (1,2)且x 4 。
5
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如果 f ( x) f (x) ,則 f (x) 為偶函數；如果 f ( x) f (x) ,則 f (x) 為奇函數。
這兩個式子有意義的前提條件是：定義域關于原點對稱。確定奇偶性方法有定義法、圖像法等；
2
定義 lg(1 x )（1）若判斷較為復雜解析式函數的奇偶性，應先化簡再判斷，如判斷函數 f (x) 奇偶性 偶函數；
| x2 2 | 2
（2）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反單調性；
（3）若 f (x) 是偶函數,那么 f (x) f ( x) f (| x |) ；定義域含零的奇函數必過原點( f (0) 0 )；
奇
偶
f ( x)
性 定義法判斷：⑴定義域是關于原點對稱的；（2）計算 f (x) f ( x) 0 或 1( f (x) 0) ；
f (x)
判斷
x
若函數 f (x) k 2 （a 為常數）在定義域上為奇函數，則 k= 1
1 k 2x
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，計算或求解析式；(2).利用復合函數奇偶性結論：F(x)=f(x)g(x)，
利用 奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，當 f(x)為奇，g(x)為偶時，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x),
兩式相加可以消去 f(x),兩式相減可以消去 g(x),從而解決問題；（4）奇偶函數圖像的對稱性
對定義域內任意 x ，存在非零常數T ， f (x T) f (x) ，T 為 f (x) 周期
周 ⑴若 y f (x) 對x R時 f (x a) f (x a) 恒成立,則 f (x) 的周期為2 | a | ；
期 ⑵若 y f (x) 是偶函數,其圖像又關于直線 x a對稱,則 f (x) 的周期為 2 | a | ；
性
⑶ f (x a) f (x) ， 1f (x a) 或 f (x a) f (x) k 或 f (x a) f (x) k T 為 2 | a | ； 性 f (x)
質
定義 定義域內一區間 I ，x1, x2 I , x1 x2 ,增 x1 x2 f (x1) f (x2) ；減 x1 x2 f (x1) f (x ) 2
定義法、導數法、圖像法和特值法(用于小題)等（提醒：求單調區間時注意定義域）
求 單 導數法：i求定義域：ii求 f (x)；iii f (x) 0 的解構成增區間；注意：區間表示。如：函數 y log 1 ( x
2 2x)
調 區 2
間 的單調遞增區間是 .( (1,2) )；函數 1y x 單調增區間是 .( ( ,0) 和 (0, ) )
x
定義法、導數法。判斷單調性：小題首選復合函數法，其次求導數；大題首選求導數，其次用定義。
證明 （1）定義法：i 取值 x x ii 作差變形判斷1 2 f (x1) f (x2 )符號；
單
（2）導數法：i 求 f (x)；ii 判斷 f (x)符號；
調
性 (1).求值域：利用單調性畫出圖像趨勢，定區間，斷。
(2).比較函數值的大小：畫圖看(3)解不等式：增 x 或 ；減1 x2 f (x1) f (x2) f (x1) f (x2) x1 x2
x x f (x ) f (x ) 或 f (x ) f (x ) x x (4).求系數：利用常規函數單調性結論，根據單調性求系1 2 1 2 1 2 1 2
利用
3 3
數。 loga 1，則 a 范圍是 a 1或0 a ；
5 5
已知 f x loga x(a 0,a 1)為 R 上增，則 f ( x 1) 0 的實數 x 的取值范圍。 (0,1) (1,2)
由“同增異減”判定：①分解為基本函數：內函數 u g(x)與外函數 y f (u) ②分別研究內、外函數
復 合 ；
函數 在各自定義域內的單調性③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內單調性.已知復合函
數單調性，求字母范圍：i 分解出內外層函數；ii 研究內外層函數的單調性的關系；iii 兼顧函數的定義域；
6 函數﹑基本初等函數 I 的圖像與性質
①確定所求問題含有待定系數的解析式；二次函數解析式的三種形式： 一般式：f (x) ax2 bx c(a 0)；
待定系數 頂點式： f (x) a(x h)
2 k(a 0) ； 零點式： f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
求 法基本步 ②根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；
函 驟 ③解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。
數 如一元二次不等式 f (x) x 1解集是 (-1,2) ,可設 f (x)-x+1=a(x+1)(x-2)
解 1 1
析 配湊法 若 f (x ) x
2 ，則函數 f (x 1) =_____（答： x2 2x 3）
x x2
式
的 函數 y f (x)關于函數 y ln x 1圖形關于直線 y x 對稱，則 f (x) e
2x 2
坐標轉移
常 函數 y f (x) 與 的圖像關于原點成中心對稱； y f ( x)
用 對已知等式進行賦值，從而得到關于 f (x) 及另外一個函數的方程組；
方 1 1
方程的思 函數 f (x) 是一個偶函數， g(x) 是一個奇函數，且 f (x) g(x) ，則 f (x) 等于 ； 法 x 1 x2 1
想
ex e x
若函數 f (x),g(x) 分別是R 上的奇函數、偶函數，且滿足 f (x) g(x) ex ，則有 f (x) =
2
6
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①函數 y f (x) 與 y f ( x) 的圖像關于原點成中心對稱
②函數 y f (x)與 y f ( x)圖像關于直線 x 0( y 軸)對稱；
③函數 y f (x) 對 x R， f (a x) f (a x) 或 f (x) f (2a x) 恒成立,圖像關于 x a 對稱；
圖 對稱 a b④若 y f (x) 對 x R時, f (a x) f (b x) 恒成立,則 y f (x) 圖像關于 x 對稱；
象 變換 2
幾 b a函數 y f (a x) , y f (b x)的圖像關于直線 x 對稱(由a x b x確定)；
種 2
常 1⑤函數 y f ax (a 0)的圖象是把函數 y f x 的圖象沿 x 軸伸縮為原來的 得到的。
見 a
1
變 如若函數 y f (2x 1)是偶函數，則函數 y f (2x) 的對稱軸方程是_______(答： x )．
換 2
平移變換 左右平移----“左加右減”（針對 x而言）；上下平移----“上加下減”(針對 y 而言)
f (x) | f (x) | ； f (x) f (| x |) .注意翻折時機和翻折的本質：如 y 2|x 3| 由 y 2|x| 向右平移 3
翻折變換
單位
二次函數（二次函數在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間 [m,n]上的最值；二是求區間定（動），
配方法 對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向；
二看對稱軸與所給區間的相對位置關系），如求函數 y x2 2x 5,x [ 1,2]的值域（答：[4,8]）；
通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數
換元法 公式模型，如 y 2x 1 x 1的值域為_____（答： (3, ) ）（令 x 1 t ， t 0 。運用換元法時，要
特別要注意新元 t 的范圍）；
求
函 2sin 1 1有界性 利用已學過函數的有界性，確定值域，最常用的就是三角函數的有界性，如 y ( , ]
數 1 sin 2
值
9 11
域 單調性 利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性，如求 y sin
2 x ；[ ,9] ；
（ 1 sin
2 x 2
最 函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如已知點 P(x, y) 在圓 x2 y2 1
值
數形結合
） y 3 3上，求 的取值范圍（答： [ , ]）；求 y (x 2)2 (x 8)2 的值域（答： [10, ) ）；
的 x 2 3 3
方
x 1 1
法 判別式 求 y 的值域（答： [ , ] ）；
1 x2 2 2
利用基本不等式 a b 2 ab(a,b R ) 求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析
不等式
式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
一般適用于高次多項式函數，如求函數 f (x) 2x3 4x2 40x ， x [ 3,3] 的最小值。（答：－48）
導數法
提醒：求函數的定義域、值域時，你按要求寫成集合包括區間形式了嗎？
7 函數與方程﹑函數模型及其應用
定義域 R 值域 (0, )
( , )單調遞減，
指數函數 0 a 1 x 0 時 y 1， x 0時0 y 1
y ax(a 0,且a 1)
( , ) 單 調 遞 增 ， x 0 時
a 1
基本 0 y 1， x 0時 y 1
初等
函數的定義域為 (0, )
函數
對數函數：函數
Ⅰ 1 函數的值域為 R；函數 y ( )1 x 的值域是__．（0，＋∞）；
y loga x(a 0, 2
且a 1) ； 在 (0, ) 單調遞減， 0 x 1時
y (a2 3a 3) ax 0 a 1 y 0， x 1時 y 0
是指數函數，則有
在 (0, )單調遞增，
（ a 2.） a 1
0 x 1時 y 0， x 1時 y 0
7
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冪函數的圖象通過原點，并且在區間
0 [0, )上是增函數
1 冪函數的圖象下凸
冪函數
0 1 冪函數的圖象上凸
一 般 地 ， 形 如
y x (a R)
冪函數的圖象在區間 (0, ) 上是減函
的函數稱為冪函
數，其中 為常 數．在第一象限內，當 x 從右邊趨向原點
數． 0 時，圖象在 y 軸右方無限地逼近 y 軸正
半軸，當 x 趨于 時，圖象在 x 軸上
方無限地逼近 x 軸正半軸．
對數與對數性質：
⑴ log b log bnn (a 0,a 1,b 0,n 0)
loga N；⑵對數恒等式 a N(a 0,a 1,N 0)
指數 a a
函數 M⑶ 1loga (M N) loga M loga N;loga log M log
n ；
a a N;loga M nloga M log
n
a M log ； 對數 N a
M
n
函數
logb N⑷對數換底公式 log N (a 0,a 1,b 0,b 1) a
logb a
函數 y f (x) 的零點就是方程 f (x) 0 實數根，亦即函數 y f (x) 的圖象與 x 軸交點的橫坐標．即：方
概念 程 f (x) 0 有實數根 函數 y f (x) 的圖象與 x 軸有交點 函數 y f (x) 有零點；如：函數
函數
f (x) x | lg x | 在定義域上零點個數為 1
零點
存在定
圖象在[a,b]上連續不斷，若 f (a) f (b) 0，則 y f (x) 在 (a,b)內存在零點。
理
對于在區間[a，b]上連續不斷，且滿足 f (a) · f (b) 0 的函數 y f (x) ，通過不斷地把函數 f (x) 的
方法
零點所在區間一分為二，使區間兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
第一步 確定區間 a,b ，驗證 f (a) f (b) 0，給定精確度 。
第二步 求區間 a,b 的中點c；
二 計算 f c ：（1）若 f c 0，則c 就是函數的零點；（2）若 f a f c 0，
分 步驟
則令b c（此時零點 x0 a,c ）；（3）若 f c f b 0 ，則令a c （此法 第三步
時零點 x0 c,b ）．（4）判斷是否達到精確度 :即若 a b ，則得到零點
近似值 a（或b ）；否則重復（2）～（4）．
2 2
函數 f (x) ln(x 1) 的零點所在的大致區間是（0，1）或 (1 , 2) （畫圖 ln(x 1) ；注意： f (x) 0 只能說明
x x
函數在 ( 1,0),(0, )分別增，不是在定義域內增，不能誤認為零點只有一個（錯））
8 導數及其應用

概 sin( x) sin
f (x x) f (x )
念 f (x) 在點 x 0 處的導數 f (x ) lim
0 0
0 如當 x 0,
3 3 .
x 0 x x
（1）“在”點 (x 1, y1) 處的切線：ⅰ斜率= k f (x1) ⅱ切線 y y1 f (x1)(x x1)
概 曲線 y f (x) 在點 P x0, f x0 處的切線的斜率是 f x0 ，相應地切線的方程是 y y0 f x0 x x導 0 。
念
數
與 （2）“過”點 (x 在曲線上 切線： 幾 1
, y1) y0 f (x0 )
及
幾 ⅰ設切點 (x0 , y0 ) ；ⅱ求切線方程；iii 列方程組：切點 (x何 0
, y0 ) 在曲線上 y0 f (x0 ) ；切點在切線
其
何 意 y y f 1 (x0 )(x x1) 上；iv 解方程組，得 x ，求切線。 應 0
意
用 義 如 f (x) x
3 3x，過 P(2, 6) 作 y f (x) 的切線，求此切線的方程（答：3x y 0 或 24x y 54 0 ）。
義 x 9 3 x
如經過原點且與曲線 y= 相切的方程是 新疆 源頭學子小屋http://www./wxc/特級教師王新敞wxckt@新疆源頭學子小屋http://www./wxc/特級教師王新敞wxckt@ 兩個切點 A(－3，3)或 B(－15, )x+y=0 或 +y=0；
x 5 5 25
在求曲線的切線方程時，要注意區分所求切線是曲線上某點處的切線，還是過某點的切線：曲線上某點
處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條；
/ /
物 瞬時速度；V＝s (t) 表示即時速度。a=v (t) 表示加速度。
8
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理
如一物體的運動方程是 s 1 t t2 ，其中 s 的單位是米， t 的單位是秒，那么物體在 t 3 時的瞬時速度
意
為____（5 米/秒）
義
基
本 ①C
' 0；② (xn)' nxn 1 ；③ (sin x)' cos x ；④ (cos x)' sin x ；
1 1 1
( ) ' ； (ln x ) '
公 ⑤ (ax)' ax lna ；⑥ (ex )' ex
1 1
；⑦ 2(log x)' ；⑧ (ln x)' 。 x x xa
x ln a x
式
運
u u v uv
算 運 (u v) u v ;(uv) u v uv ;( ) ; 復合函數求導法則2 y f (g(x)) ' f '(g(x))g '(x) v v
算
法 如等比數列 an 中， a 2 ， a =4，函數 f x x(x a )(x a ) (x a ) ，則 f '1 8 1 2 8 0 2
12
則
解： f ' ' 4 12x 1 [(x a1)(x a2) (x a8)] x [(x a )(x a ) (x a )]
' 故 f (0) a1a2a3 a8 (a a ) 2 1 2 8 1 8
①若 f (x) 0 ,則 f (x) 為增函數；若 f (x) 0 ,則 f (x) 為減函數；
若 f (x) 的符號不確定,則 f (x) 不是單調函數。
函 ②若函數 y f (x) 在區間（ a,b ）上單調遞增，則 f (x) 0，反之等號不成立；若函數 y f (x) 在區間
數 （ a,b ）上單調遞減，則 f (x) 0，反之等號不成立
的 如：已知 f (x) 為減函數求字母取值范圍,那么不等式 f (x) 0恒成立。如：設 a 0函數 f (x) x3 ax 在
單 [1, ) 上單調函數，則實數 a 的取值范圍______（答： 0 a 3）；
調 2已知函數 f (x) x2 a ln x(x 0), 若 f (x) 在[1, ) 上單調遞增，求 a 的取值范圍：a 0 ；
x
性
4
如：若函數 y=－ x3+bx 有三個單調區間，則 b 的取值范圍是_____解析：y′=－4x2+b，若 y′值有正、
3
1
有負，則 b>0；如： f (x) x 的單調減區間：減區間 ( 1,0),(0,1) ，你會畫圖嗎？
x
求函數的單調區間的具體步驟是：①確定 f (x) 的定義域；②計算導數 f
/ (x) ；③求出 f / (x) 0 的根；
研 ④用 f / (x) 0 的根將 f (x) 的定義域分成若干個區間,列表考察這若干個區間內 f / (x) 的符號,進而確定
究 f (x) 的單調區間；
函 1.導數有哪些應用？（求斜率，判斷單調性與求單調區間，求極值與最值，證明不等式），
數 思 導數的幾何意義是什么？物理意義呢？知道是牛頓和萊布尼茲發明了微積分嗎？
性 考
2．求導數的規則、公式你都記得嗎？一共有多少個公式？有兩個容易記錯！導函數相同
質
研 的兩個原函數一定也相同嗎？請舉例說明。
究 3．導數的定義還記得嗎？它的幾何意義和物理意義分別是什么？利用導數可解決哪些問
函 題？具體步驟還記得嗎？求切線，求極值，求單調區間，求最值，
數
4導數求曲線的切線步驟是什么？你能區別“在”一點處的切線和“過”一點的切線嗎？
性
質
函數的極值定義：設函數 f (x) 在點 x0 附近有定義，如果對 x0 附近所有的點，都有 f (x) f (x ) ，就說0
是 f (x )函數 f (x) 的一個極大值。記作 y極大值＝ f (x ) ，如果對 x0 附近所有的點，都有0 0 f (x) f (x ) ，就0
說是 f (x f (x) y0)函數 的一個極小值。記作 極小值＝ f (x0)。極大值和極小值統稱為極值。
導 極值是一個局部概念 新疆王新敞奎屯由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小 新疆王新敞奎屯并不意味
數 著它在函數的整個的定義域內最大或最小；函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為
極值點 新疆王新敞奎屯及 極 而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點
如：設 f（x）=x3其 值 －3ax
2+2bx 在 x=1 處有極小值－1，試求 a、b 的值，并求出 f（x）的單調區間；
應 3 6a 2b 0, 1 1 1解 a b － 新疆 = = 源頭學子小屋http://www./wxc/特級教師 3 2 2王新敞 wxckt@新疆源頭學子小屋http://www./wxc/特級教師王新敞此時 f（x）=x －x －x， f wxckt@ （x）=3x －2x－1=3（x+ ）（x－1）
用 2 3a 2b 0. 3 2 3
1 1 1
當 f （x）>0 時，x>1 或 x<－ ，當 f （x）<0 時，－ 新疆 3 3 3
1
∞），減區間（－ ，1）；
3
9
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求函數 f(x)的極值的步驟: (1)確定函數的定義區間，求導數 f′(x) ；(2)求方程 f′(x)=0 的根；(3) 列
表（分區討論單調性和極值點）：用函數的導數為 0 的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并
列成表格 新疆源頭學子小屋http://www./wxc/特級教師王新敞wxckt@新疆源頭學子小屋http://www./wxc/特級教師王新敞wxckt@檢查 f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得極大值；如
果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則 f(x)在這個
根處無極值； 提醒：給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮 f (x ，又要考慮檢驗“左正右負”0) 0
(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！ f x x3 ax2 bx a2在x 1處有
極小值 10，則 a+b的值為___－7； a 3,b 3 （舍）或 a 4,b 11；
a,b 上的連續函數一定存在最大值和最小值，最大值和區間端點值和區間內的極大值中
最 的最大者，最小值和區間端點和區間內的極小值中的最小者。
值 在閉區間 a,b 上連續的函數 f (x) 在 a,b 上必有最大值與最小值的步驟：ⅰ討論單調區間；ii。判斷極值；
ⅲ 極值與閉區間端點的函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。如：函數 y 2x3 3x2 12x 5 在
[0，3]上的最大值、最小值分別是______（答：5；-15）
函數F(x) f (x) g(x) 有零點或者方程 f (x) g(x) 有解：
①（代數法）根據極值正負，畫圖觀察函數F(x) f (x) g(x) 圖像與 X 軸交點情況；
②（幾何法）作圖要準確。方程 f (x) g(x)，兩個函數圖像有交點。 零
點 零點定理：設函數 f（x）在閉區間 [a,b]上連續，且 f (a) f (b)＜0 ．那么在開區間 (a,b) 內
至少有函數 f (x)的一個零點，即至少有一點 （ a ＜ ＜ b ）使 f ( ) 0 ．
如：（ 21）若方程2ax x 1 0在（0，1）內恰有一解，求實數 a 的取值范圍。a 1；
1．求極值，求單調區間，求最值？利用導數求函數單調區間時，一般由 f / (x) 0解得的區
間是單調增區間；利用導數求函數最值的步驟你還清楚嗎？最好是列表！ “函數在某點
取得極值”你會靈活應用嗎？不僅表示在該點的導函數值為零，而且導函數在該點兩側函
反 數值的符號相異的。
思 2．極值就是最值嗎？極大值一定大于極小值嗎？ 你記得極值的定義原文嗎嗎？使 f/（x）
=0 的 x 的值就是極值點嗎？求最值的根本方法是什么（單調性法）？其它方法呢？（均
值不等式法），求最值的口訣你記得嗎？（不在極點處，便在端點處）；
對 f（x）=x3+bx2+cx+d，f/（x）大致圖象是怎樣？。
9 三角函數的圖像與性質
三 1. 終邊與 終邊相同 2k (k Z) ；習慣上 x 軸正半軸作為角起始邊，叫角的始
角 邊;
函 角概念的推廣 2. 象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重
合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為
數
這個角不屬于任何象限。
的
基 l ；弧長公式 l | | r ；扇形面積公式： 1 1
圖 R S扇形 lr | | r
2 ；1弧度(1rad )≈
本 弧度制的定義 2 2
象 57.3 .
問
與
題 任意角的三
角 中邊上任意一點 P 為 (x, y) ，設 | OP | r 則： y x ysin ,cos , tan
r r x
性 角函數定義 注意： tan15 cot 75 2 3 ； tan75 cot15 2 3
質
同角三角 sin
sin2 cos2 1, tan
函數關系 cos
誘導公式 360 ,180 ， ，90 ,270 ， “奇變偶不變，符號看象限”．
三 名稱 周期 奇偶性 對稱中心 對稱軸
角 性
形 y sin x 2 質 奇函數
(k ,0)(k Z) x k (k Z)
2
中 與
y cos x 2 偶函數 ( k ,0)(k Z) x k (k Z) 的 2
10
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三 k y tan x 奇函數 ( ,0)(k Z) 無
角 2
變 y Asin( x ) 2 k T ( ,0)(k Z)

x (k ) (k Z)
換 | |
2
y Acos( x ) 2 T (k ,0)(k Z) x k (k Z)
| | 2
上下平
y f (x)圖象平移 k 得 y f (x) k 圖象，k 0向上，k 0向下。
移
平移變換
左右平
y f (x)圖象平移 得 y f (x ) 圖象， 0向左， 0 向右。
移
x 軸方 1
y f (x)圖象各點把橫坐標變為原來 倍得 y f ( x)的圖象。
向
伸縮變換
y 軸方
y f (x)圖象各點縱坐標變為原來的 A倍得 y Af (x) 的圖象。
圖 向
象 中心對
變 y f (x)圖象關于點 (a,b)對稱圖象的解析式是 y 2b f (2a x) 對稱變換 稱
換 軸對稱 y f (x)圖象關于直線 x a對稱圖象的解析式是 y f (2a x) 。
如圖，相關的量有：設水車半徑為 r，水車中心距水面的
勻速圓周運 高度為 h；水車轉動的角速度為 ω；初始位置所對應的
動數學模型 角 φ；時間 t；距離水面的相對高度 H；變量 t 與 H 之間的
等量關系是：H＝rsin(ωx＋φ)＋h．

（1）定義域：{x | x k ,k Z}。遇到有關正切函數問題時，你注意到正切函數的定義
2
域了嗎？
（2）值域是 R，在上面定義域上無最大值也無最小值；
正
（3）周期性：是周期函數且周期是 ，它與直線 y a的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期
切
函 。絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，
數 其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不
的 變，其它不定。
圖 k
象 （4）奇偶性與對稱性：是奇函數，對稱中心是 ( ,0) k Z ，特別提醒：正(余)切型函數的
2
和
對稱中心有兩類：一類是圖象與 x 軸的交點，另一類是漸近線與 x 軸的交點，但無對稱軸，這
性
質 是與正弦、余弦函數的不同之處。

（5）單調性：正切函數在開區間 ( k , k ) k Z 內都是增函數。但要注意在整個
2 2
定義域上不具有單調性。

(1)若 x (0, )，則sin x x tan x ；(2) 若 x (0, )，則1 sin x cos x≤ 2 ；
2 2
sin x
(3) | sin x | | cos x |≥1；(4) f (x) 在 (0, ) 上是減函數；（5）若 sin x,cos x 1, sin x,cos x 1
x
11
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10 三角恒等變換
和差角公式 倍角公式 2 tan
sin 2
2
正弦 sin( ) 1 tan
變 sin 2 2sin cos sin cos cos sin 1 tan2
換 cos 2 2
cos 2 cos2 sin2 1 tan
公 cos( )
余弦 2 2 2 1 cos 2
式 cos
2cos 1 1 2sin
cos sin sin sin
2
tan tan 2 tan 2 1 cos 2
正切 tan( ) tan 2 cos
1 tan tan 1 tan2 2
指角(“配”與“湊”)、函數名(切割化弦)、次數(降與升) 、系數(常值“1”) 和 運算結構
三角變換
(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.
角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設元轉化，引入輔角，平
化簡技巧
方消元等
已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和
角的變換
差角的變換.
掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應注意一些配湊變形技巧，如下：
， 2 ； 2 2 ， ； 2 2 2 2 2
角的“配” ( ) ( ) ；
2 2 2 2
與“湊”
2 2[( ) ] 2[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ；
2 ( ) ， 2 ( ) ；
15 45 30 ,75 45 30 ； 三 等. 4 2 4
角 “降冪”與 2 2 2 2利用二倍角公式 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 和二倍角公式的
恒 “升冪”
等價變形 2 1 cos 2 ， 2cos 1 sin 2 sin ，可以進行“升”與“降”的變換，即等 （次的變 2 2
變 化） “二次”與“一次”的互化.
換 三 切割化名 利用同角三角函數的基本關系，將不同名的三角函數化成同名的三角函數，以便于
角 的變化 解題.經常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
變 常值變換 常值 1 2 3 3, , , ,1, 3 可作特殊角的三角函數值來代換.此外，“1”常值
換 2 2 3 2
a b
asin bcos a2 b2 ( sin cos ) sin( ) ，
a2 b2 a2 b2
期中 a b bcos ,sin , tan . 特別的，
a2 b2 a2 b2 a

sin A cos A 2 sin(A ) ;sin x 3 cos x 2sin(x )，
引入輔助 3sin x cos x 2sin(x )
等.
4 3 6
角
若方程sin x 3 cos x c有實數解，則c的取值范圍是__（答：[－2,2]）；
3
當函數 y 2cos x 3sin x取得最大值時， tan x 的值是______(答： )；
2
如果 f x sin x 2cos(x ) 是奇函數，則 tan = (答：－2)；
構造對偶式，可以回避復雜三角代換，化繁為簡.
特殊結構 舉例： A sin2 20 cos2 50 sin 20 cos50 ，B cos2 20 sin2 50 cos20 sin50
的構造 1可以通過 A B 2 sin 70 , A B sin 70 兩式和，作進一步化簡.
2
舉例：sin x cos x m 2sin xcos x m2 1 sin( ) m，
整體代換
sin( ) n，可求出sin cos ,cos sin 整體值，作為代換之用.
12
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11 解三角形
正 a定理
b c 。 射影定理：
弦 sin A sin B sinC a bcosC ccos B
定 變形 a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC（ R 外接圓半徑）。 b acosC ccos A
理 類型 三角形兩邊和一邊對角、三角形兩角與一邊。 c acos B bcos A
定理 a2 2 2 b c 2bccos A,b2 a2 c2 2accos B,c2 a2 b2 2abcosC 。
余
b2 c2 a2 (b c)2 a2弦
變形 cos A 1等。
定 2bc 2bc
理
類型 兩邊及一角（一角為夾角時直接使用、一角為一邊對角時列方程）、三邊。
面 基本 1 1 1 1 1 1S a h b h c h absinC bcsin A acsin B 。
積 公式
a b c
2 2 2 2 2 2
公 導出 abc 1
式 S （ R 外接圓半徑）； S (a b c)r （ r 內切圓半徑）。 公式 4R 2
因為在 ABC 中， A B C （三內角和定理），所以
任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.
銳角三角形：①三內角都是銳角；②三內角的余弦值為正值；
角的變換 ③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
即， sin A sin(B C)； cos A cos(B C) ； tan A tan(B C)．
A B C A B C A B C
sin cos ； cos sin ； tan cot .
2 2 2 2 2 2
解 1 1面積公式： S sha absinC r p p(p a)(p a)(p a) .
三 2 2
邊、角關
角 常 其中 r 為三角形內切圓半徑， p 為周長之半． 系定理及
形 見 面積公式 A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1
的 2 2 2 2 2 2
結
在非直角 ABC 中， tan A tan B tanC tan Atan B tanC ．
論
*1. A, B, C 成等差數列的充分必要條件是 B 60 ．
*2. ABC 是正三角形的充分必要條件是 A, B, C 成等差數列且 a,b,c, 成等比
熟記并會 數列．
證明 *3.三邊a,b,c成等差數列 2b a c 2sin A sin B sinC

*4.三邊a,b,c,成等比數列 b2 ac sin2 A sin BsinC , B≤ .
3
銳角
A B sin A cosB,sin B cosC,sinC cos A ，a2 2 2 b c ；
ABC 中 2
兩內角與 在 ABC 中，a b A B sin A sin B cos2B cos2A，…
其正弦值 A B a b sin A sin B cos2B cos2A .
把要求解的量歸入到可解三角形中。在實際問題中，往往涉及到多個三角形，只要
基本思想
根據已知逐次把求解目標歸入到一個可解三角形中。
實 仰角 視線在水平線以上時，在視線所在的垂直平面內，視線與水平線所成的角。
際 俯角 視線在水平線以下時，在視線所在的垂直平面內，視線與水平線所成的角。
應 方向 方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始
常用術語
用 角 方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般是銳角，如北偏西 30°）。
方位
某點的指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角。
角
13
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12 等差數列﹑等比數列
一般 概念 按照一定的次序排列的一列數。分有窮、無窮、增值、遞減、擺動、常數數列等。
數列 通項 數列 a 中的項用一個公式表示，a f (n) S1,n 1,n n an an

前 n 和 S a a a Sn S n 1,n 2.n 1 2 n
定義： an 1 an d(d為常數）； 等差中項：若 a, A,b 成等
通項： an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d ； 差數列，則 A 叫做a 與b
a b
等差 n(a1 an ) n(n 1)n 的等差中項，且 A 前 和 S ，n Sn na d ； 2數列 12 2
概念 當 m n p q 時,則有 am an ap aq ，特別地，當m n 2p 時，則有 am an 2a . 若p {an}
性質： 是等差數列，則“間隔相等的連續等長片斷和序列”即 Sn,S2n S ，…也成等差數列 n ,S3n S2n
若 a m,a n(m n) ,則n m am n 0；若 Sn m,Sm n(m n) ,則 Sm n (m n)
an 1 等比中項：若 a, A,b 成等比數列，
定義： q(q為常數），其中 q 0,an 0；通項： an a
n 1
1q ；
an 那么 A 叫做 a 與 b 的等比中項。
數
na 1(q 1)列 n 等比數列前 n 項和公式有兩種
S n a a q 指數表示項數，后者有前后兩項； 、 n 1(1 q ) 1
a n q
(q 1) 形式，為此在求等比數列前 n 項
等 1 q 1 q
和時，首先要判斷公比 q 是否為
差
a1 n a1 n
數 前 n 和 當 q 1時， Sn q aq b ，這里 a b 0 ，但 1，再由 q 的情況選擇求和公式
1 q 1 q
列 的形式，當不能判斷公比 q 是否
等 a 0,b 0 ，這是等比數列前 n 項和公式的一個特征，據此很
為 1 時，要對 q 分 q 1和 q 1
比 容易根據 S ，判斷數列n {an}是否為等比數列。
數 兩種情形討論求解。
等比
列 如若{a } 是等比數列，且 S 3
n r ，則 r ＝ （答：－1）
n n
數列
概念 不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個 ab
項符號 a a
如：已知數列 1， a ,a ,4 成等差數列，1 2 1,b ,b ,b ,4 成等比數列，則
1 2 的值為 b1,b3 1 2 3 b2
當 m n p q 時，則有 a 2man apaq ，特別地，當 m n 2p 時，則有 aman ap .如各項均為正
數的等比數列{a } 中，若 a a 9 ，則 log a log （答：10）。
性質 n 5 6 3 1 3
a2 log3 a10
若{an}是等比數列，且公比 q 1，則數列 Sn,S2n Sn ,S3n S ，…也是等比數列。當 q 1，2n
且 n 為偶數時，數列 S ,S S ,S S ，…是常數數列 0，它不是等比數列. n 2n n 3n 2n
如{a } 中， S =4 a +1 ( n 2 )且 a =1，若n n 1 1 bn an 1 2a ，求證：數列｛n b ｝是等比數列。 n n
常數 如果數列{a } 既成等差數列又成等比數列，那么數列{a } 是非零常數數列，故常數數列{a } 僅是此數列既成n n n
數列 等差數列又成等比數列的必要非充分條件。
數列是一個定義域為正整數集 N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公
定義
式也就是相應函數的解析式。
n * 1
判斷 如已知 an (n N ) ，則在數列{a 的最大項為__（答： ）；依據不等式性質 2 n}n 156 25
證明 數列相鄰項作差證明與應用
數 d 0時， an a1 (n 1)d dn a1 d = an an b(a d,b a1 d) 是關于 n 一次函數，斜率為 d ； 數列
列
的單
的 d d調性 等 差 前 n 和 dS n2 d (a )n = An2 Bn(A ,B a1 )是關于 n 的二次函數且常數項為 0；
性 數列
n 1
2 2 2 2
質 若公差 d 0 ，則為遞增等差數列，若公差 d 0 ，則為遞減等差數列，若公差 d 0 ，則為常數列。
若 a1 0,q 1，則{an}為遞增數列；若 a1 0,q 1 , 則{an}為遞減數列；
等比
若 a ，則1 0,0 q 1 {an}為遞減數列；
數列
若 a 0,0 q 1, 則{an}為遞增數列；若 q 0 ，則{an}為擺動數列；若 q 1，則1 {an}為常數列.
14
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13 等差數列﹑等比數列
S S qmS S qnS ；. ； m n m n n m Sn Sn 1 an
提醒：(1)求等比數列前n 項和時，首先要判斷公比 q 是否為 1，再由 q 的情況選擇求和公式的形式，
整體
當不能判斷公比 q 是否為 1 時，要對 q 分 q 1和 q 1兩種情形討論求解。但是用整體思想可以不
思想
免討論：如：設等比數列{a } 的公比為 q ，前 n 項和為n S ，若n Sn 1,Sn ,S 成等差數列，則 q 的值 n 2
為 ； q 2 ；
如 Sm n,Sn m(m n) ，求 S ． n m
am a數學 d n ； aq n ； n m 解：（法一）基本量法（略）；
思想 m n am
（法二）設 S An2n Bn ，則 ；
An2方程 Bn m (1)
等差、等比數列通項公式及前 n 和公式中，涉及到 5 (1) (2) 得： 思想 Am
2 Bm n (2)
個元素： a 、 d 、 q 、 n 、 a 及1 n S ， a 、n d 、 q 稱1
(n2 m2)A (n m)B m n ，
作為基本元素，若已知這 5 個元素中任意 3 個，便可
數 m n ， ∴ (m n)A B 1， 求出其余 2 個，即知 3 求 2
列 ∴ Sn m (n m)
2 A (n m)B (n m) ．
的 An a1n b 1 ，設 An kn(a1n b );B kn(a n b ) ， 性 待 Bn a2n b
1 n 2 2
2
質 若等差數列 {an}、 {bn} 的前 n 和
定 a A A ;b B B 。
a n n n 1 n n n 1
求 n 逆 向 A
b 分別為 A 、 B ，且
n f (n) ， 系 .如設{an}、{bn} 是兩個等差數列，它們的前 n 項和分n n
n B
思維： n
的解 數 Sn 3n 1 an
法 an (2n 1)a A
別為 S 和 T ，若 ，那么 ___（答：n n
則 n 2n 1 f (2n 1) 法： Tn 4n 3 bn
bn (2n 1)bn B2n 1
6n 2
）
8n 7
鄰項變號法：“首正”遞減等差數列，前 n 項和最大值是所有非負項之和；“首負”遞增等差數列中，前 n 項
和最小值是所有非正項之和。
等差數列{an}中， a 25 ，1 S9 S ，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。 17
求
一
般 法一（鄰項變號法）：由不等式 a 0確定出前多少項為非負（或非正），求出數列各項變化趨n
數 勢和符號；
列 （答：前 13 項和最大，最大值為 169）；
中
的 法二：因等差數列前 n 項是關于 n 的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數
最
大 列的特殊性 n N
* 。 S 2n (n 13) 169 ，當 n 13時， S 取最大值，且最大值是 169； n
或
最 d d法三：數形結合處理，由等差數列的求和公式可得 S n2n (a1 )n(d 0) ， S 的圖象是開口n
小 2 2
項
9 17
\ 向下的拋物線上的一群離散點，最高點的橫坐標為 13，即 S13最大，易求得最大值為 169。
前 2
多 法四：利用等差數列的性質處理， 由 S S 可得17 9 a10 a11 a ，又 ，17 0 a13 a14 0 a1 0
少
項 從而 d 0 ， a13 0， a14 0，故 S13最大。
和
最 n 97
如：數列通項 a , 前 30 項中最大項和最小項分別是 a ,a
大 n 10 9n 98
98 97
用分離常數法,得 an 1 .該函數圖象是經過坐標軸平移后的反比例式函數圖像。
n 98
15
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14 等差數列﹑等比數列
公式法 an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d ；an a
n 1 或 n m
1q an amq
S ,(n 1)已知 S （即n a1 a a f (n) ）求 a ： an 1 . 2 n n Sn Sn 1,(n 2) 作差法
1 1 1 14,n 1如數列{an}滿足 a1 a2 an 2n 5 ，求 a （答： a n 1 ） 2 22 n n n2 2 ,n 2
數 61
作商法 已知 a 求 如 對所有的 n 2 有1a2 an f (n) an a1 1, a1a2a3 an n
2 ，則 a a ___（答： ） 3 5
列 16
通 簡 累加法 a a f (n)型 n 1 n
項 單
的 累乘法 a a f (n) 型 、 n 1 n
求 遞 （構造等差、等比數列），遞推式為 a qa q
n 1（q 為常數）時，可以將數列兩邊同時除以 qn 1 ，
n 1 n
推
和 構造法 a
數 得 n 1
a
n 1 .如已知 a1 1,an 3an 1 2
n ，求 a （答： a 5 3n 1 2n 1 ）
n 1 n n n
的 列 q q
常 解 若 an 1 can d(c 0,1,d 0) an 1 c(a ) .比較系數得出 ，轉化為等比數列. n
見 法
已知數列{an}滿足 a1=1,且 an+1 = 3a +2,求 .設n an an 1 t 3(a ，n t) an 2 3
n 1 1
方
法 若 a ， ； n 1 pan qn d an 1 a(n 1) b q(an an b)待定
已知數列{an}中，a1=1，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求數列{an}的通項公式. 系數法
設 n 1an 1 p(n 1) q 3(an pn q) ， an 2 3 n .
若 a pa qn 1n 1 n （ p q ），設 a
n 1
n 1 q p(a q
n
n ) ；
已知數列{an}滿足a1 1, an 3
n 2an 1(n 2). 求 an設 a
n
n 3 2(a
n 1
n 1 3 )
an 1 1
取倒數法 已知 a1 1,a ，求 a （答：n an ）
3an 1 1
n 3n 2
ｎ
等比數列 {an} 的前 n 項和 S ｎ＝2 －１，則 ① 1 1 1 ； ② 1 1 (1 1 )；
公式法 n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k
4n 1
a2 a2 a21 2 3 a
2
n ＝_____（答： ）；
1 1 1 1 1
3 ③ ( ) ( ) ；2 2
k k 1 2 k 1 k 1
分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將
1 1 1 1 1 1 1“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法 ( ) ；
2
分組法 求和. 如求：Sn 1 3 5 7 ( 1)
n(2n 1)（答： k k 1 (k 1)k k (k 1)k k 1 k
1 1 1 1
( 1)
n n ）如an 2n 2
n
，an ( 1)
n n 2 . ④ [ ]；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
如果數列通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項 ⑤ n 1 1常 ； 分裂后相關聯，常選用裂項相消法求和.裂項形式：
裂項法 (n 1)! n! (n 1)!用 1
如在數列{a }中， a ，且 Sｎ
求 n n n n 1 ⑥ 2( n 1 n )
1 2( n n 1)；
n
和
方 設數列 為等比數列，數列 是等差數列，則數 ⑦ a S S (n≥ 2)； a b n n n 1n n
法 錯位相 m 1 m m m m m 1 ⑧C C C C C C ；
n n n 1 n n 1 n
減法
列 anbn 的前 n 項和 Sn 求解，均可用錯位相減法 ⑧ 1 1 ( a b) ；
a b a b
通項轉 先對通項進行變形，發現其內在特征，再運用分組求 1 1 1 1
換法 1 1 1 ⑨ ( ) .
和法求和.求和：1
(An B)(An C) C B An B An C1 2 1 2 3 1 2 3 n
2
若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列 x
已知 f (x) ，
倒序 的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加 1 x2
相加法 法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前 n 和 1 1 1 7
則 f (1) f (2) f (3) f (4) f ( ) f ( ) f ( ) ＝_
公式的推導方法）. 2 3 4 2
注：表中n,k 均為正整數
16
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15 空間幾何體（其中 r 為半徑、 h為高、 l為母線等）
有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的 兩個互相平行的面叫棱柱的底面(簡稱底)；
概念 交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱.兩底 其余各面叫棱柱的側面；
面所在平面的公垂線段叫棱柱的高 兩側面公共邊叫棱柱的側棱；
長方體 底面是矩形的直平行六面體是長方體； 長方體體對角線 a2 b2 c2 ，外接球2R a2 b2 c2 與三條
棱 正方體 棱長都相等的長方體叫正方體； 棱成角 cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2
柱 平行六面體 底面是平行四邊形四棱柱叫平行六面體； 如下列關于四棱柱的四個命題：
概 側棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； ①若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；
側棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；
念 ②若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則為直棱柱；
直棱柱 底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱； ③若四個側面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；
④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱.
底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；
其中真命題的為__（答：②④）
{平行六面體} {直平行六面體} {長方體} {正四棱柱} {正方體}；
概念 有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這樣的多面體叫棱錐；
如果一個棱錐底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣棱錐叫正棱錐；
正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側高）也相等；
正棱錐的相對的棱互相垂直；
正棱錐
①側棱長相等(側棱與底面所成角相等) 頂點在底上射影為底面外心；
棱 ②側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直) 頂點在底上射影為底面垂心；
錐 ③斜高長相等且頂點在底上在底面內 頂點在底上射影為底面內心.
6
2 a 2 3
全面積 S 3a ；體積 2V a3 ；對棱間的距離 2d a ； 3
V a
12
12 2
正四面
外接球半徑 6R a；內切球
6
r a
空 體 4 12
正四面體內任一點到各面距離之和為 6 3
間 h a
.
3 a
3 a a 6
3
幾 表面積 體積
棱柱 S全 S側 2S 何 底
V S底 h高
1 1
體 棱錐 S全 S側 S 底 V S 底 h高 V錐 S h
表 3 3
表面積即
面 1棱臺 S全 S側 S上底 S下底 V (S ' S 'S S)h S S ' 空間幾何 3
積 1
2
和 圓柱 S 2 r 2 rh
體暴露在 V r2h V臺 (S ' S 'S S)h 全 3
外的所有
體 1
圓錐 S r
2
全 rl 面的面積 V r
2h S ' 0
積 3
之和. V柱 S h
1
圓臺 S全 (r '
2 r2 r 'l rl) V (r '2 r 'r r2)h
3
4
球 S球 4 R
2 V球 R
3
3
棱柱：體積＝底面積×高，或體積V ＝直截面面積×側棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側棱長；
1
三棱柱的體積V Sd （其中 S 為三棱柱一個側面的面積， d 為與此側面平行的側棱到此側面的距離）.
2
1
棱錐：體積＝ ×底面積×高.注意：求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體）
3
求 i 補形：三棱錐 三棱柱；正四面體 正方體 球；
體 ii 分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐與三棱柱的體積關系和等積變換法(平行換點、換面)和比例(性質轉換)法等
積
(1)四面體 A－BCD 中，AC=BD= 13 , BC=AD= 21 , AB=CD=4，則四面體 A－BCD 外接球的面積為
(2)已知 PA，PB，PC 兩兩互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC 的面積分別為 1.5cm2，2cm2，6cm2，則過 P，A，B，C
四點的外接球的表面積為 cm2．答案：26π．答：5 2
(3) 三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點 O，P 到三個面的距離分別為 3、4、5，則 OP 的長為_
17
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16 空間點、直線、平面位置關系（大寫字母表點、小寫字母表直線、希臘字母表平面）：
公理 1 A l, B l, A , B l . 判斷直線在平面內.
基
公理 2 A, B,C 不共線 A, B,C 確定平面 . 確定平面.
本
用途
公 確定兩平面的交線 公理 3 P , P , l P l
理 兩直線平行
公理 4 a∥ c ，b ∥ c a∥ b
位 線線 共面和異面.共面為相交和平行.不同在任何一個平面內的兩條直線稱為異面直線.
置 點線面 A l, B l ； A , B .
關 線面 l ,l A,l . .分別對應線面無公共點、一個公共點、無數個公共點.
系 面面 ∥ ， l .分別對應兩平面無公共點、兩平面有無數個公共點.
判定定理:如果 一條直線和 一條 性質定理:如果一直線和一個平面平行,經過這直線
直線平行，那么這條直線和這個平面平行． 平 面 和 這 個 平 面 相 交 , 那 么 這 條 直 線 和
a ,b ,a //b a // 平行． a∥ ，a ， b a∥ b
線面 b
平

行 a
關 a b
系
空 判定定理: 如果一個平面內的兩條 直 性質定理: 如果兩個平行平面同時和第三個平面相
間 線平行于另一平面，那么這兩個平面平行. 交，那么它們的交線 ．
點
a ,b ,a b P // , a, b a //b 、
// 直 a // ,b //
線
、 面面
平
面
的
位 b aO
置 a
關
系 判定定理: 如果一條直線和一個平面內的 性質定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于
兩條 直線都垂直, 那么這條直線和這
同一條直線的 平行．
個平面垂直．
m ,n ,m n P a
a a ∥ b
a m,a n b
線面
l
b
a b 垂
O 直
關
系 平面和平面垂直:兩個平面垂直的判定定
兩個平面垂直的性質定理:如果兩個平面互相垂直,
理 : 如 果 一 個 平 面 經 過 另 一 個 平 面
那么在一個平面內 直線垂直于另一個平面.
的 ,那么兩個平面互相垂直.
l ,l , l,a ,a l a
面面
a

a

l
18
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17 直線與圓的方程
定義法：已知直線的傾斜角為 α，且 α≠90°，則斜率 k=tanα.；與 x 軸平行或重合時傾斜角為0
傾斜角 在平面直角坐標系中，對于一條與 x 軸相交的直線 l ，如果把 x 軸繞著交點按逆時針方向轉到和直線 l
重合時所轉的最小正角記為 ，那么 就叫做直線的傾斜角.
傾斜角為 ，傾斜角不是 90°的直線傾斜角的正切值叫這條直線的斜率 k ，即 k ＝tan ( ≠
90°)；傾斜角為 90°的直線沒有斜率；
概
直線的傾斜角 的范
念 a直線方程法：ax+by+c=0 的斜率 k .
b 圍是[0, ）
斜率 n
直線的方向向量法： a (1,k) 若 a=（m，n）為直線方向向量，則斜率 k= .
m
y y
過兩點 (x1, y1)(x 的直線的斜率
2 1 ；
2, y2) k
x2 x1
x2 y2 b2x
點差法：如 1中,以 P(x0, y 為中點弦斜率
0 求導數；
0) k
a2 b2 a2 y0
點斜式 已知直線過點 (x , y ) 斜率為 k ，則直線方程為 y y k(x x ) ,它不包括垂直于 x 軸的直線. 0 0 0 0
斜截式 已知直線在 y 軸上的截距為b 和斜率 k ，則直線方程為 y kx b ,它不包括垂直于 x 軸直線.
y y x x
兩點式 已知直線經過 P1(x1, y 、1) P2(x2 , y2) 兩點,則直線方程為
1 1 ,它不包括垂直于坐標軸直線
y2 y1 x2 x1
x y
已知直線在 x 軸和 y 軸上的截距為 a,b ,則直線方程為 1,它不包括垂直于坐標軸的直線和過
截距式 a b
原點的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成 Ax By C 0 ( A,B不同時為 0)的形式.
直
⑴直線方程的各種形式都有局限性.(如點斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢？)
線
與 ⑵直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為 0 .直線兩截距相等 直線的斜率為 1或直線過原點；
圓 直線兩截距互為相反數 直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等 直線的斜率為
的 直 1或直線過原點.
方 線 提醒 ⑶截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形. 直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為
程 方 0.直線兩截距相等 直線的斜率為 或直線過 ；直線兩截距互為相反數 直線的
程 斜率為 或直線過 ；直線兩截距絕對值相等 直線的斜率為 或直線
過 .
如： 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的點，則點 P 到 AC、BC 的距離
乘積的最大值是 3；過點 A(1,4)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條 3
（1）知直線縱截距b ，常設其方程為 y kx b；
（2）知直線橫截距 x0 ，常設其方程為 x my x0 (它不適用于斜率為 0 的直線)；
設 直 線
方 程 的 （3）知直線過點 (x0 , y0) ，當斜率 k 存在時，常設其方程為 y k(x x0) y ，當斜率 k 不存在時，0
一 些 常 則其方程為 x x0 ；
用技巧
（4）與直線 l : Ax By C 0平行的直線可表示為 Ax By C ； 1 0
（5）與直線 l : Ax By C 0垂直的直線可表示為 Bx Ay C1 0 .
提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數法求解；
當不重合的兩條直線 l1 和 l2 的斜率存在時， l1 // l2 k1 k2 ；如果不重合直線 l1 和 l2 的斜率都
不存在，那么它們都與 x 軸垂直，則 l1 // l平行 2
．
位 平行 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0 (在 y 軸上截距)
置 已知直線 l1 : x ay 6 和l2 : (a 2)x 3y 2a 0,則l // l 的充要條件是 （a=-1） 1 2
關
系 當兩條直線 l1 和 l2 的斜率存在時，l1 l2 k1 k2 1；若兩條直線 l1, l2 中的一條斜率不存在，垂直
則另一條斜率為0 時，它們垂直．
交點 兩直線的交點就是由兩直線方程組組成的方程組的解為坐標的點.
①過兩直線交點的直線系方程可設為 A1x B1y C1 (A2x B2 y C2) 0；
直 線系 ②與直線 l : Ax By C 0 平行的直線系方程可設為 Ax By m 0(m c) ；
方程
③與直線 l : Ax By C 0 垂直的直線系方程可設為 Bx Ay n 0 .
19
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18 直線與圓的方程
點點距 P1(x1, y1), P2(x2 , y
2 2
2) 兩點之間的距離 P1P2 (x2 x1) (y2 y1) .
距 Ax0 By0 C點線距 點 P(x , y )到直線 Ax By C 0距離公式0 0 d
2 2
離 A B
C1 C2
線線距 Ax By C 0與1 Ax By C 0平行線距離是 d 2
A2 B2
x x x y y y
點 重心 設三角形 ABC 三頂點 A(x , y ) , B(x , y ) ,C(x , y ) ,則重心G( 1 2 3 , 1 2 3 ； 1 1 2 2 3 3 )
點 3 3
與 點 A 關于直線 L 對稱的點 B：1）AB 中點在 L 上；2）AB 垂直直線 L； y0 y B
線 點 關 于 如：點Ａ（４，５）關于直線 l 的對稱點為Ｂ(－2,7)，則 l 的方程是 _____； x0 x A
直 線 的
已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經直線 l :3x－4y+4=0 反射.如果 x x0 y yA B 0對 稱 點 C 0
反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是 _ _ 2 2
對 的求法
點 (a,b)關于 x軸、 y 軸、原點、直線 y x 的對稱點分別是 (a, b) , ( a,b) , ( a, b) , (b,a) .
稱
①點 (a,b)： f (2a x,2b y) 0 ；② x軸： f (x, y) 0 ；③ y 軸： f ( x, y) 0 ；
對 稱 的
曲 線 方 ④原點： f ( x, y) 0； ⑤直線 y x ： f (y, x) 0
程 ⑥直線 y x ： f ( y, x) 0； ⑦直線 x a ： f (2a x, y) 0 .
定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡.定點叫做圓心、定長叫做半徑.
(x a)2 (y b)2標準方程 r
2 . 提醒：只有當 D2 E2 4F 0 時 ,方程
2 2 2 2 x
2 y2 Dx Ey F 0 才表示圓心為
x y Dx Ey F 0 (D E 4AF 0)
D E 1 2 2
一般方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圓 ( , ) ,半徑為 D E 4F 的圓
2 2 2
直 A C 0 ,且 B 0, D2 E2 4AF 0 ).
線 圓 x a r cos 圓的參數方程主要應用是三角換元：
與 ( 為參數), 2 2 2參數方程 y b r sin x y r x rcos , y rsin ；
圓 其中圓心為 (a,b) ,半徑為 r
的
直徑方程 以 A(x , y ) 、 B(x , y ) 為直徑的圓的方程1 1 2 2 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0 （ AP BP 0 ）
方
程 8 3 8 3
過(1,2)總能作出兩條直線和已知圓 x2 y2 kx 2y k2 15 0 相切，求 k 的取值范圍 k ( , 3) (2, )
3 3
① (x a)2點 0 (y0 b)
2 r2 點 P 在圓外；
位置關系 2
和 ② (x0 a) (y0 b)
2 r2 點 P 在圓內；
圓 的判斷 圓 ③ (x a)2 (y b)2 r20 0 點 P 在圓上. 與
方 相交 相切 相離
程 線 代數法 方程組有兩組解 方程組有一組解 方程組無解
與
幾何法
圓 d r d r d r
圓 代數法 方程組有兩解 方程組有一組解 方程組無解
與
幾何法 r1 r2 d r1 r2 d r1 r 或d r r2 1 2 d r r 或d r1 r圓 1 2 2
點 在圓 x2
2
P(x , y ) y
2 r2
0 0 上,則過點 P 的切線方程為： x0x y0 y r
過圓 (x a)2 (y b)2 r2 上一點 P(x0, y0)切線方程為 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r
2 .
圓上一點
切
的切線方 過圓外一點的切線方程可設為 y y k(x x )，再利用相切條件求 k，這時必有兩條
線 0 0
程 切線，注意不要漏掉平行于 y 軸的切線．
斜率為 k 的切線方程可設為 y kx b，再利用相切條件求 b，必有兩條切線．
弦 (x2 y2 相交弦 D1x E
2
1y F1) (x y
2 D2x E2 y F2) 0
圓
系切 點弦 以點 P 和圓心為直徑構造一個圓，與原來的圓相交，制造相交弦事件
【注：標準d 根據上下文理解為圓心到直線的距離與兩圓的圓心距】
20
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19 圓錐曲線的定義、方程與性質
幾何性質
定義 標準方程 對稱
范圍 頂點 焦點 離心率
性
平面內與兩個定點 F ，F 的 2 21 2 x y x a ( a,0)
1 ( c,0)
距離之和等于常數 2a （大于 a2 b2 y b (0, b)
F1F2 2c）的點的軌跡叫
2 2 y a (0, a) 橢圓中
做橢圓． y x 1 (0, c) a c
2 2
橢 b2 2
( b,0)
【 a c2 ，a b 】 a b x b 0 e 1
圓 橢圓焦點三角形：
共離心率的橢圓系的方程：方程 x 軸 i． 2S b tan ，（ F PF ）； c
PF1F
1 2 y 軸
2 2 x 2 y
2 e
ii．點M 是 PF F 內心， PM 交 F F 于
t(t 是大于 0 的參數，我們 坐標
2 2 a
1 2 1 2 a b 原點
點 N ，則 | PM | a ； 稱為共離心率橢圓系方程．

| MN | c 雙曲線
中
平面內與兩個定點 F1 ，F2 的 x
2 y2 x a
( a,0) ( c,0) a c 1
距離之差的絕對值等于常數 a2 b2 y R e 1
2a （小于 F1F2 2c ）的
圓 y2 x2 y a
點的軌跡叫做雙曲線．
錐 1 (0, a)
(0, c)
雙 2 2
曲 【b
2 c2 a2 】 a b x R
曲
線 b
線 x
2 y2 求準線方程 雙曲線焦點三角形： 漸近線方程 y x 或 0
的 a2 b2 a2a 2
x S ，（ F PF ）； 定 2 2 PF b cot 1 2y c 1
F2
共漸近線的雙曲線系方程： x 2
義 ( 0)
的漸
a 2 b2
、 等軸雙曲線：雙曲線 x
2 y 2 a2 稱為等軸雙曲線，其漸近線
2
近線方程為 x y
2
方 0
a 2 b2 方程為 y x (漸近線互相垂直)，離心率 e 2
程
與 c b2 c b2
性 i 公式法；橢圓 e= 1 雙曲線 e= 1 ,ii 方程法：建立關于 a,c 的齊次； a a2離 a a
2
質 2 2
心 如：已知點 F 是雙曲線 x y 1(a 0 , b 0) 的左焦點，點 E 是該雙曲線的右頂點，過點 F 且垂直于 x 軸的直
a 2 b2率
線與雙曲線交于 A、B 兩點，若△ ABF 是直角三角形，則該雙曲線的離心率是 2;
以等邊三角形頂點 AB 為焦點的橢圓經過兩腰的中點，求其離心率： ； 3 1
2
焦半徑：橢圓： 2bPF1 a ex0, PF2 a ex ； 拋物線焦點弦 AB ＝ 2 p0 x x p 通徑 , 2p, 1 2
弦 sin2 a
長
弦長 1 1AB 1 k 2 x2 x1 (1 k
2)[(x1 x2)
2 4x1x2] 1 y2 y1 (1 ) [(y1 y
2
2 ) 4y
2 2 1
y2 ]
k k
2 x 0 py 2px ( ,0)
y R 2
平面內到一個定點 F 和一條 x 軸 e 1
定直線 l（定點 F 不在定直線 2 x 0 p
拋 y 2px ( ,0) 【離心率是
物 l ）距離相等的點的軌跡是拋 y R 2 曲線上的點(0,0)
線 物線. y 0 p 到焦點的距2
【焦點到準線的距離等于 x 2py (0, ) 離與到準線
x R 2 y 軸
p ， p 0，焦參數】 的距離之比】
y 0 p
x2 2py (0, )
x R 2
*1.用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達定理、弦長公式；注意對參數
分類討論和數形結合、設而不求思想的運用；注意焦點弦可用焦半徑公式，其它用弦長公式.
提醒 *2.在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，常與“弦”相關，“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”
問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度(弦長)”問題關鍵是長度(弦長)公式
或“小小直角三角形”.
21
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20 圓錐曲線的熱點問題
2 2
直 線 過 直 線 l : Ax By C 0 與 圓 C : x y Dx Ey F 0 的 交 點 的 圓 系 方 程 是
圓 與 圓
相交 x
2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0 ,λ 是待定的系數．
系
方 過圓C ： x2 y2 D x E y F 0 , C ： x2 y2圓與 1 1 1 1 2 D2x E2 y F 0 交點的圓(相交弦)系方程為2
程
圓 (x
2 y2 D1x E1y F ) (x
2
1 y
2 D .2x E2 y F2) 0 1時為兩圓相交弦所在直線方程
曲線C 上點的坐標都是方程 f (x, y) 0的解，以 f (x, y) 0的解為坐標的點都在曲線C
概念
上，則稱曲線C 為方程 f (x, y) 0的曲線、方程 f (x, y) 0為曲線C 的方程.
直接法 直接通過建立 x、 y 之間的關系，構成F(x, y) 0 ，是求軌跡的最基本的方法
定義法 已知曲線類型，求出確定曲線的系數得出曲線方程的方法（待定系數法）.
曲 動點 P x, y 隨動點Q x0 , y0 運動，Q 在曲線C : f x, y 0上，以 x, y表示
線 代入法
與 x , y ，代入曲線C 的方程得到動點軌跡方程的方法. 0 0
方 求法 參數法 把動點坐標 (x, y)用參數 t 進行表達的方法.此時 x (t), y (t)，消掉 t
程 交軌法 軌跡是由兩動直線（或曲線）交點構成的，在兩動直線（曲線）中消掉參數
確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程.
曲 ①橢圓：第一定義：平面上一動點 P 到平面上兩個定點 F1、F2 的距離和為定值，定義法
線 且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,則 P 點軌跡為橢圓.雙曲線：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
方 ③ PA PB ,則動點 P 軌跡是圓
程 含義 含有可變參數的曲線系所經過的點中不隨參數變化的某個或某幾個點.
與 定點 把曲線系方程按照參數集項，使得方程對任意參數恒成立的方程組的解即為曲解法
圓 線系恒過的定點.
錐 熱 含義 不隨其它量的變化而發生數值發生變化的量. 定值
曲 點 解法 建立這個量關于其它量的關系式，最后的結果是與其它變化的量無關.
線 問 含義 一個量變化時的變化范圍.
熱 題 范圍 建立這個量關于其它量的函數關系式或者不等式，求解這個函數的變化范圍或
點 解法 者解不等式.
問 含義 一個量在變化時的最大值和最小值.
題 最值 解法 建立這個量的函數關系式，求解這個函數的最值.
①周長一定的三角形中，以正三角形的面積最大； ⑥在邊長分別相等的多邊形中，以圓
②周長一定的矩形中，以正方形面積最大； 內接多邊形的面積最大；
幾何
③面積一定的三角形中，以正三角形的周長最小； ⑦在等周長的邊形中，以圓內接多邊
極值
方 ④周長一定的平面曲線中，圓所圍成的面積最大； 形的面積最大；
法 ⑤在面積一定的閉曲線中，圓的周長最小； ⑧面積一定邊形中，正邊形周長最小.
規
（1）利用綜合法證明時，需要改變題目的形式，把一般定值題轉化為特殊情況，因此，
律
定值 常作輔助圖形；其次要明確圖形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析問題時要圍
問題 繞著固定元素和定量進行，把定值固定在已知量上；
處理 （2）利用參數法證明時，要根據題設的條件，選取適當的參數，然后將所要證明的定值
用參數表示出來，最后消去參數，便求得用常量表示的定值；
提 *3. 在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，涉及到“交點”時，轉化為函數有解問題；先驗證因所設直
醒 線斜率存在，造成交點漏解情況，接著聯立方程組，然后考慮消元建立關于 x的方程還是 y 的方程，
接著討論方程二次項系數為零的情況，再對二次方程判別式進行分析， 0時，直線與曲線相切，……
*4.求解直線與圓錐曲線的“弦長”、“交點”問題時，必要條件（注意判別式失控情況）是他們構成的方
程組有實數解，當出現一元二次方程時，務必先有“ ≥0 ”. 求解直線與圓錐曲線的其它問題時，如
涉及到二次方程問題，必須優先考慮“二次項系數”與“判別式”問題.
*5.解決直線與圓的關系問題時，要充分發揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成
直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).
*6.韋達定理在解幾中的應用：①求弦長②判定曲線交點的個數③求弦中點坐標④求曲線的方程.
22
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21 離散型隨機變量及其分布
隨著試驗結果變化而變化的量叫做隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機叫
概念
做離散型隨機變量.
隨機變
量及其 分布列 離散型隨機變量的所有取值及取值的概率列成的表格 .
分布列
性質 （1） p 0(i 1，2，，n) ；（2） p1 p2 pn 1i .
P(AB)
概念：事件 A發生的條件下，事件B 發生的概率， P(B|A) .
P(A)
性質：0≤P(B|A)≤1． B,C 互斥， P(B C|A) P(B|A) P(C|A) ．
條件概率 全概率公式：一般地，設 A1，A2，…，An 是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An
事件的 n
獨立性 ＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件 B Ω，有 P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)．
i＝1
獨立事件 事件 A與事件 B 滿足P(AB) P(A)P(B)，事件 A與事件B 相互獨立.
只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進
n 重伯努
利試驗 行 n 次所組成的隨機試驗稱為 n 重伯努利試驗．
一般地，假設一批產品共有 N 件，其中有 M 件次品．從 N 件產品中隨機抽取 n
離
散 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件產品中的次品數，則 X 的分布列為
型
Ck Cn
－k
M N－M
隨 P(X＝k)＝ n ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，CN
機
變 超幾何 n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量 X 的分布列具有上
量 分布 式的形式，那么稱隨機變量 X 服從超幾何分布．
及
其 nM nM M超幾何分布有時也記為 X～H(n，M，N)，其均值 E(X)＝ ，D(X)＝ 1－
分 N N N
布
n－1
1－ .
N－

1
一般地，在 n 重伯努利試驗中，設每次試驗中事件 A 發生的概率為 p(0典型 －用 X 表示事件 A 發生的次數，則 X 的分布列為 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n k，k＝
分布
0,1,2，…，n.如果隨機變量 X 的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量 X 服從二
項分布，記作 X～B(n，p)．
兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量 X 服從兩點分布，則 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二項分布
(2)若 X～B(n，p)，則 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
“二項分布”與“超幾何分布”的區別：有放回抽取問題對應二項分布，不放
回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分
布來處理．
在實際應用中，往往出現數量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試
驗可視為 n 重伯努利試驗，進而判定是否服從二項分布．
23
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2
x
1 - 2
若隨機變量 X 的概率分布密度函數為 f(x)＝ ·e 2 ，x∈R，其中 μ∈R，σ>0
σ 2π
為參數，則稱隨機變量 X 服從正態分布，記為 X～N(μ，σ2)．
3σ原則
正態分布 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
正態分布的均值與方差
若 X～N(μ，σ2)，則 E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
數學期望 EX x p x p 1 1 2 2 xi pi xn pn E(aX b) aEX b
數字 n
特征 方差和 DX (x EX )2方差： p ，標準差：i i X DX D(aX b) a2DX 標準差
i 1
22 計數原理與二項式定理
完成一件事有n 類不同方案，在第1類方案中有m1 種不同的方法，在第2 類方案
分類加法
中有m2 種不同的方法，…，在第 n 類方案中有m計數原理 n
種不同的方法．那么完成這件
基本 事共有 N m1 m2 mn 種不同的方法．
原理 完成一件事情，需要分成n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2 步有m2
分步乘法
種不同的方法……做第 n 步有 mn 種不同的方法 .那么完成這件事共有計數原理
N m1 m2 mn 種不同的方法.
從 n 個不同元素中取出m(m n) 個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從從n
排 定義 個不同元素中取出m(m n) 個元素的一個排列，所有不同排列的個數，叫做從n
列 m排列 個不同元素中取出m(m n) 個元素的排列數，用符號 An 表示.
組
排列數 m n!
合 An n(n 1)(n 2) (n m 1) (n，m Ν，m n) ，規定0! 1． 公式
二 (n m)!
項 從 n 個不同元素中，任意取出m(m n) 個元素并成一組叫做從n 個不同元素中取
式 定義 出m(m n) 個元素的組合，所有不同組合的個數，叫做從 n 個不同元素中取出
定 m(m n) m個元素的組合數，用符號Cn 表示.
理 組合 m
組合數 m n(n 1) (n m 1) ACn ，C
m n
公式 n
．
m! Amm
性質 C
m
n C
n m
n ( m,n N,且m n
m m m 1
)；Cn 1 Cn Cn ( m,n N,且m n )．
n 0 n 1 n 1 r n r r n n r
定理 (a b) Cn a Cna b Cna b Cnb （Cn 叫做二項式系數）
二項 通項公式 T
r
r 1 Cna
n rbr （其中0 k n，k N，n N ）
式定
r r r r 0 1 2 r n n
理 系數和 Cr Cr 1 Cr 2 Cn C
r 1 ； C
n 1 n
Cn Cn Cn Cn 2 ；
公式 C1 C3 C5 C0 C2 C4 2n 1;C1 2C2 3C3 nCn n2n 1n n n n n n n n n n .
24
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23 成對數據的統計分析
變量 兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，
相關關系
的相 這種關系稱為相關關系．相關關系的分類：正相關和負相關
關關 一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，
線性相關
系 我們稱這兩個變量線性相關．
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝ .)當 r>0 時，稱成對樣本數據正相關；當 r<0 時，稱成對
n n
xi－ x 2 y 2i－ y
i＝1 i＝1
樣本
相關 樣本數據負相關．|r|≤1；當|r|越接近 1 時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當|r|越接近 0
系數
時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．
樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系
1 1
r＝ x′·y′＝ |x′||y′|cos θ＝cos θ(其中 x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝ n，n n
θ為向量 x′和向量 y′的夾角)．
^ ^ ^
(1)我們將y＝bx＋a稱為 Y 關于 x 的經驗回歸方程，
n
成 xi－ x yi－ y
＝^ i 1對 b＝ ，
數 n其中 x－ x 2 (2)殘差：觀測值減去預測值，稱為殘差．
據 i一元 i＝1
的 線性
^ ^ 統 回歸 a＝ y －b x .
計 模型
分
n
析 xiyi－n x y
＝
^ ^ i 1
1．經驗回歸直線過點( x ， y )．2．求b時，常用公式b＝ .
n
x2－n x 2i
i＝1
n ^
vi－v 2i
i＝1
決 定 決定系數：R2＝1－ . R2越大，殘差平方和越小，回歸模型擬合效果越好，R2越小，
n
系數 vi－ v 2
i＝1
殘差平方和越大，回歸模型擬合效果越差.
關于分類變量 X 和 Y 的抽樣數據的 2×2 列聯表：
Y
X 合計
獨 立 Y＝0 Y＝1
性 檢 列聯表
X＝0
驗 a b
a＋b
X＝1 c d c＋d
合計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
25
高中數學新教材考前回歸知識必備全案
n ad－bc 2
計算隨機變量 χ2＝ ，利用 χ2 的取值推斷分類變量 X
a＋b c＋d a＋c b＋d
和 Y 是否獨立的方法稱為 χ2 獨立性檢驗．
χ2 獨立性
檢驗
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
步驟 1：提出零假設為 H0：變量 A與變量 B無關（變量 A與變量 B相互獨立）
步驟 2：根據列聯表計算計算隨機變量 χ2 的值（保留三位有效數字）
步驟 3：根據小概率 xα取相應值的獨立性檢驗，對零假設 H0判定是否成立，
2
解題格式 當 x 時，我們就推斷 H 不成立，即認為0 X 和Y 不獨立，該推斷犯錯誤的概率
不超 α．
當 2 x 時，我們沒有充分證據推斷 H 不成立，可以認為 X 和Y 獨立． 0
步驟 4：得出結論兩個分類變量之間是否有關.
24 空間向量與立體幾何
重要 共面向量 一組向量在一個平面內或者通過平移能夠在同一個平面內.
空 概念 空間基底 空間任何三個不共面的向量a,b,c 都可做空間的一個基底.
間 共線定理 a,b（b 0 共線 存在唯一實數 ，a b .
向 基本
量 共面定理 p 與 a,b 、（a,b 不共線）共面 存在實數對 x, y ，使 p xa yb ． 定理
基本定理 a,b,c 不共面，空間任意向量 p 存在唯一的 (x, y, z) ，使 p xa yb zc .
線面 方向向量 所在直線與已知直線 l 平行或者重合的非零向量a 叫做直線 l 的方向向量.
標志 法向量 所在直線與已知平面 垂直的非零向量n 叫做平面 的法向量.
線線平行 方向向量共線.
線面平行 判定定理；直線的方向向量與

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