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新知一覽
與三角形有關的線段
與三角形有關的角
三角形
三角形的高、中線與角平分線
三角形的邊
三角形內角和
三角形的外角
多邊形與內角和
多邊形
多邊形的內角和
直角三角形的判定和性質
三角形的穩定性
第 2 課時 直角三角形的性質和判定
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的內角
觀察下列視頻，點 C 在射線 BC 上移動，移動過程中會形成不同類型(內角大小不同)的三角形 ABC，請依次畫出.
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
問題 以上三種三角形的內角大小確定么？如果確定是多少呢？
知識點1：直角三角形的兩個銳角互余
探究新知
合作探究
如圖，在剛剛形成的直角△ABC 中，∠C＝90°，兩銳角的和等于多少？
三角形內角和定理
∠A +∠B +∠C＝180°
∠A + ∠B＝90°
直角三角形的性質：
直角三角形的兩個銳角_____.
互余
幾何語言：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C＝90°，
∴∠A +∠B＝90°．
“Rt△”
解法一 (利用平行線的判定和性質)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴ AB∥CD.
∴∠A＝∠D.
解法二 (利用直角三角形和對頂角的性質)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠A + ∠AOB＝90°，∠D + ∠COD＝ 90°.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠D.
例1 (1) 如圖①，∠B＝∠C＝90°，AD 交 BC 于點 O，∠A 與 ∠D 有什么關系？
圖①
解：∠A＝∠C. 理由如下：
∵∠B＝∠D＝ 90°，
∴∠A + ∠AOB＝90°，∠C + ∠COD＝90°.
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＝∠C.
(2)如圖②，∠B ＝∠D ＝ 90°，AD 交 BC 于點 O，∠A 與∠C 有什么關系？請說明理由.
圖②
與圖①有哪些共同點與不同點？
例2 如圖，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于點 E. ∠CAE 與 ∠DBE 有什么關系？為什么？
∠AEC＝∠BED
90° - ∠AEC＝90° -∠BED
∠CAE＝∠DBE
分析：
解：∵ CD⊥AB 于點 D，BE⊥AC 于點 E，
∴∠BEA＝∠BDF＝90°.
∴∠ABE +∠A＝90°，
∠ABE +∠DFB＝90°.
∴∠A＝∠DFB.
∵∠DFB +∠BFC＝180°，
∴∠A +∠BFC＝180°.
1.如圖，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于點 F，∠A 與∠BFC 又有什么關系？為什么？
通過前面的例題 ，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
8 字形
∠A＝∠D
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
∠A＝∠C
知識點2：直角三角形的判定
如圖，在 △ABC 中，∠A +∠B＝90°， 那么△ABC 是直角三角形嗎？
問題：有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？
∠A +∠B +∠C ＝180°
∠A +∠B＝90°
∠C＝90°
直角三角形的判定：
有兩個角_____的三角形是直角三角形.
互余
幾何語言：
嘗試翻譯成幾何語言.
在△ABC 中，
∵∠A +∠B＝90°，
∴△ABC 是直角三角形．
1.如圖，在 △ABC 中：∠C＝90°，點 D 在 AC 上 DE∥AB，若∠CDE＝160°，則 ∠B 的度數為_____.
70°
延長 ED 交 BC 于點 F
∠DFC ＝ 20°
∠DFC ＝ 70°
DE∥AB
∠B ＝∠DFC＝70°
分析：
判定
直角三角形的性質和判定
有兩個角_____的三角形是直角三角形
性質
直角三角形的兩個銳角_____
互余
互余
基礎練習
1.具備下列條件的△ABC 中，不是直角三角形的是 ( )
D
A. ∠A + ∠B = ∠C
B. ∠A = ∠B = ∠C
C. ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3
D. ∠A = 2∠B = 3∠C
2. 如圖所示，△ABC 為直角三角形，∠ACB = 90°，
CD⊥AB，則與∠1 互余的角有 ( )
A. ∠B
B. ∠A
C. ∠BCD 和 ∠A
D. ∠BCD
C
3.如圖，在 △ABC 中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為 D、E，∠AFD＝158°，求 ∠EDF 的度數.
解：∵∠AFD＝158°，
∴∠DFC＝180° -∠AFD＝22°.
∵FD⊥BC，∴∠FDC＝90°.
∴∠DFC +∠C＝90°.
∵ DE⊥AB，∴∠BED＝90°.
∴∠B +∠BDE＝90°.
∵∠B＝∠C，∴∠BDE＝∠DFC＝22°.
∴∠EDF＝180° -∠FDC -∠BDE
＝ 180° - 90° - 22°＝68°.

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