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(共23張PPT)
圓的有關性質
點和圓、直線和圓的位置關系
正多邊形和圓
圓
弧、弦、圓心角
新知一覽
圓
點和圓的位置關系
切線長定理及三角形的內切圓
圓周角
切線的判定與性質
垂直于弦的直徑
弧長和扇形面積
弧長和扇形面積
圓錐的側面積和全面積
直線與圓的位置關系
24.3 正多邊形和圓
第二十四章 圓
下圖的這些圖案，都是我們在日常生活中經常看到的.你能從這些圖案中找出基本的幾何圖形嗎
知識點 1：圓的內接正多邊形
問題 下面圖形統稱為什么圖形，各邊和各內角什么特點呢？怎么樣由圓得到這種圖形呢？
正多邊形
各邊相等
各內角相等
弦相等
圓周角相等
圓上弧相等
下面以圓內接正五邊形為例進行證明作法的正確性.
證明：如圖，把⊙O 分成相等的 5 段弧，依次連接各分點得到正五邊形 ABCDE.
∴∠A =∠B. 同理 ∠B =∠C =∠D =∠E.
又∵五邊形 ABCDE 的頂點都在⊙O 上，
∴五邊形 ABCDE 是⊙O 的內接正五邊形，⊙O 是五邊形 ABCDE 的外接圓.
O
總結
像上面這樣，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多形的外接圓.
能否類比圓學習一下圓內正多邊形.
類比學習
圓內接正多邊形
外接圓的圓心
正多邊形的中心
外接圓的半徑
正多邊形的半徑
每一條邊所
對的圓心角
正多邊形的中心角
圓心到弦的距離
正多邊形的邊心距
正多邊形的邊數 邊長 半徑 邊心距 周長 面積
3 2
4 2
6 2
1
8
4
2
12
例1 如圖，有一個亭子，它的地基半徑為 4 m 的正六邊形，求地基的周長和面積(結果保留小數點后一位).
抽象成
亭子地基的面積
解：連接 OB，過點 O 作 OP⊥BC 于 P.
亭子地基的周長 l = 6×4 = 24 (m)，
2. 作邊心距，構造直角三角形.
1. 連半徑，得中心角；
O
邊心距 r
邊長一半
半徑 R
B
P
中心角一半
圓內接正多邊形的輔助線:
總結
1. 如圖，已知 ⊙O 的周長等于 6π，則該圓內接正六邊形 ABCDEF 的邊心距 OG 為 ( )
C
2. 如圖，正六邊形ABCDEF 內接于 ⊙O ，點 M 在 上，則 ∠CME 的度數為 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
D
請探索其他等分圓周的方法作任意的正 n 邊形.
先作圓心角
再截等弧
知識點 2：正多邊形作圖
合作探究
量角器等分圓周
正三角形為例.
你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？
計算圓心角
(旋轉角)
旋轉作圖等分圓周
正三角形為例.
A
C
B
n=120°
尺規作圖等分圓周
正六邊形為例.
總結
正多邊形作圖多樣，要注意每種方法作圖限制及原理.
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正多邊形的性質
正多邊形和圓
圓內接正多邊形
正多邊形作圖
各邊____，各內角____
中心
半徑
邊心距
中心角
相等
相等
1. 在半徑 R 的圓上依次截取等于 R 的弦，順次連接各分點得到的多邊形是 ( )
A.正三角 B.正方形
C.正五邊形 D.正六邊形
D
2. 已知正六邊形 ABCDEF 內接于⊙O ，正六邊形的周長是 24 ，則⊙O 的半徑長是 ( )
O
30°
24÷6÷2 = 2
R
B
P
B
3. 如圖，已知點 O 是正六邊形 ABCDEF 的對稱中心，G，H 分別是 AF，BC 上的點，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度數；
(2) 求證：OG = OH．
(1) 解：∵ 六邊形 ABCDEF 是正六邊形，
O
∴∠FAB = .
(2) 證明：連接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
O
拓廣探索：如圖，M，N 分別是☉O 內接正多邊形的邊AB，BC 上的點，且 BM = CN.
(1) 圖①中∠MON = °，圖②中∠MON = °，
圖③中∠MON = °；
(2) 試探究∠MON 的度數與正 n 邊形的邊數 n 的關系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
圖①
A
B
C
D
M
N
O
圖②
A
B
C
D
E
M
N
O
圖③

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