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(共31張PPT)
圓的有關性質(zhì)
點和圓、直線和圓的位置關系
正多邊形和圓
圓
弧、弦、圓心角
新知一覽
圓
點和圓的位置關系
切線長定理及三角形的內(nèi)切圓
圓周角
切線的判定與性質(zhì)
垂直于弦的直徑
弧長和扇形面積
弧長和扇形面積
圓錐的側面積和全面積
直線與圓的位置關系
24.1 圓的有關性質(zhì)
第二十四章 圓
24.1.4 圓周角
C
A
E
D
B
思考： 回想足球射門的過程，圖中過球門 A、E 兩點畫圓，球員射中球門的難易程度與他所處的位置 B、C、D 有關(張開的角度大小)、僅從數(shù)學的角度考慮，球員應選擇從哪一點的位置射門更有利？
為什么呢？
知識點 1：圓周角的定義
問題1：∠ACB 有什么特點？它與 ∠AOB 有何異同？
問題2：你能仿照圓心角的定義給 ∠ACB 取一個名字并下定義嗎？
A
B
O
C
如圖，把圓心角∠AOB 的頂點 O 拉到圓上，得到∠ACB.
總結
頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
例如：∠ACB.
A
B
O
C
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
1.下列各圖中的∠BAC是否為圓周角？簡述理由.
頂點 A 不在圓上
頂點 A 不在圓上
邊 AC 沒有和圓相交
√
√
√
練一練
知識點 2：圓周角定理及其推論
　　圖中圓周角∠ACB 和圓心角∠AOB 有怎樣的關系？
A
B
O
C
合作探究
先猜一猜，再用量角器量一量.
圓心 O 在∠BAC 的內(nèi)部
圓心 O 在
∠BAC 的一邊上
圓心 O 在
∠BAC 的外部
推導論證圓周角∠ACB 和圓心角∠AOB 之間的數(shù)量關系.
情況一：圓心 O 在∠BAC 的一邊上 (特殊情形)
OA = OC
∠A = ∠C
∠BOC = ∠A + ∠C
O
A
B
C
O
A
B
D
O
A
C
D
D
O
A
C
D
O
A
B
D
情況二：圓心 O 在∠BAC 的內(nèi)部
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
情況三：圓心 O 在∠BAC 的外部
總結
圓周角定理：
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
在同圓(或等圓)中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應的其余兩個量都分別相等.
上節(jié)課我們學習了一個反映圓心角、圓心角所對的弧、圓心角所對的弦三個量之間關系的一個結論，這個結論是什么？
那么，圓周角與圓周角所對的弧、弦有什么關系嗎？
圓周角與弧的關系
問題1 如圖，OB，OC 都是⊙O 的半徑，點 A ，D 是圓上任意兩點，連接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 與∠BDC 相等嗎？請說明理由.
D
∠BAC=∠BDC
問題2 如圖，若 ∠A 與∠B 相等嗎？
D
A
B
O
C
E
F
圓周角推論1：同弧或等弧所對的圓周角______.
相等
想一想：反過來，如果∠A =∠B，那么 成立嗎？
圓周角與弦的關系
問題3 如圖，線段 AB 是☉O 的直徑，點 C 是☉O 上的任意一點 (除點 A、B 外)，那么∠ACB 就是直徑 AB 所對的圓周角. 想一想，∠ACB 會是怎樣的角？
·
O
A
C
B
AB 是直徑
∠AOB = 180°
∠ACB 是直徑 AB 所對的圓周角
∠ACB = 90°
圓周角推論 2：
半圓（或直徑）所對的圓周角是______，90° 的圓周角所對的弦是______.
直徑
直角
例1 如圖，⊙O 的直徑 AB 為 10 cm，弦 AC 為 6 cm.
∠ACB 的平分線交⊙O 于點 D，求 BC，AD，BD 的長.
在 Rt△ABC 中
CD 平分∠ACB
連接 OD
∠ACD =∠BCD
∠AOD =∠BOD
AD = BD
Rt△ABD 中
∵ CD 平分∠ACB，
∴ AD = BD.
∴∠AOD =∠BOD.
∴∠ACD =∠BCD.
在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2，
解：如圖，連接 OD.
在 Rt△ABC 中，
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
∵ AB 是直徑，
總結
解答圓周角有關問題時，若題中出現(xiàn)“直徑”這個條件，則應考慮構造直角三角形來求解.
AB 為直徑
∠ADB = 90°
1. (濟南)如圖，AB、CD 是 ⊙O 的直徑，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度數(shù).
∠ACD = 25°
∠B = 25°
∠BAD
= 90°-∠B
= 65°
解：∵ AB 是 ⊙O 的直徑，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所對應的圓周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
知識點 3：圓內(nèi)接四邊形
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.
知識講解
如圖，四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形.探究 ∠A 與∠C，∠B 與∠D 之間的關系.
∠A +∠C = 180°，
∠B +∠D = 180°.
如何證明呢？
∵ ∠A 所對的圓心角是∠β，∠C 所對的圓心角是∠α，
∴
證明：連接 OB，OD．
總結
圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.
∴
同理，
2.(長春) 如圖，四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形,若∠BCD = 121° ，則 ∠BOD 的度數(shù)為 ( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
C
圓心角
類比
圓周角
圓周角定義
圓周角定理
圓周角定理的推論
圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的_____.
1.同弧或等弧所對的圓周角_____. 2.半圓(或直徑)所對的圓周角是_____.
90°的圓周角所對的弦是_____.
頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
圓內(nèi)接四邊形
圓內(nèi)接四邊形的對角_____.
一半
相等
直角
直徑
互補
基礎練習
1. (泗陽縣期末)如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，弦 CD 交AB 與點 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度數(shù).
解：連接 BC.
∵AB 是 ⊙O 直徑，
∴∠ACB = 90°.
∴∠B = ∠D = 26°.
∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.
3. (肥城)如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接⊙O ，
∠ABC = 135°，AC = 4，則⊙O 的半徑為( )
A. 4 B.
C. D.
2. (阜寧縣期末)如圖，AB 是⊙O 的直徑， C、D 是 ⊙O 的兩點，且 AD = DC ，∠DAC = 25°，
求∠BAC 的度數(shù) ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
C
B
4. (武漢)如圖，以 AB 為直徑的⊙O 經(jīng)過△ABC 的頂點 C，AE，BE 分別平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延長線交⊙O 于點 D. 連接 BD. 判斷△BDE 的形狀，并證明你的結論.
能力提升
解：△BDE 為等腰直角三角形.
證明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.
∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.
∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，
∠DBE =∠DBC +∠CBE，
∴ ∠BED =∠DBE.
∴ BD = ED.
∵ AB 為直徑，
∴ ∠ADB = 90°.
∴ △BDE 是等腰直角三角形.

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