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練習
1. 判斷題
①如果一條直線和一個平面平行,那么這個平面內只有一條直線與已知直線平行;
②平行于同一個平面的兩條直線平行;
③過平面外一點有且只有一條直線與已知平面平行;
④若平面α∥平面β,直線a α,則直線a∥平面β;
⑤若平面α∩平面β=直線b,直線a 平面α,則直線a與平面β一定相交;
⑥若平面α∥平面β,直線a 平面α,直線b 平面β,則直線a與直線b異面;
⑦若直線a∥直線b,直線b 平面α,則直線a平行于平面α內的無數條直線
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,M,N分別為AC,PC上的點,且MN∥平面PAD,則(　 )
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D. MN∥BC
3.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,
點M,N,Q分別是PA,BD,PD的中點.求證:
(1)MN∥平面PCD;
(2)平面MNQ∥平面PBC.
4.如圖,在三棱錐P-ABC中,點D,E分別為棱PB,BC的中點,
點G為CD,PE的交點,若點F在線段AC上,且滿足
AD∥平面PEF,則=
5.如圖,在各棱長均為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中,
M,N分別為線段A1B,B1C上的動點, 則滿足MN∥平面ACC1A1
的MN有多少條？
6. 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點E,F分別是棱
CC1,BB1上的點,EC=2FB=2,點M是棱AC上的動點,
若MB∥平面AEF,則點M的位置為　　　　　　　　.
參考答案：
1. ①×②×③×④√⑤×⑥×⑦√
提示：比如正方體中，
①A1B1∥平面ABCD, 但A1B1∥AB, A1B1∥CD.
②A1B1∥平面ABCD, B1C1∥平面ABCD,但A1B1和B1C1相交.
③同②
④教材練習A 第2題
⑤平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，直線BC 平面ABCD，但直線BC∥平面ADD1A1.
⑥平面ABCD∥平面A1B1C1D1,直線AB 平面ABCD,直線A1B1∥平面A1B1C1D1,但AB∥A1B1.
⑦平面α內與直線b平行的直線都平行直線a.
2.B
提示：由條件“MN∥平面PAD”首先想到直線與平面平行的性質定理：“如果一條直線與一個平面平行，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就與兩平面的交線平行。”
本題中平面PAC是經過直線MN的平面與平面PAD相交，交線是PA,所以N∥PA.
3.提示：(1)想證明直線與平面平行。首先想到直線與平面平行的判定定理：“如果平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行。”所以，需要在平面PCD內找一條直線與MN平行.已知條件中，有三個線段的中點，因此容易想到中位線。連接AC,由題意,可以證明AC,BD交點是N，N是AC中點,
∴MN∥PC.
又∵PC 平面PCD,MN 平面PCD,∴MN∥平面PCD.
(2) 想證明兩個平面平行。首先想到面面平行的判定定理：“如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。”或者推論：“如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行。”由(1)知MN∥PC,同理NQ∥PB.
4.
提示：依題意，想在AC上找一點使得，AD∥平面PEF,可以想到線面平行的性質定理：“如果一條直線與一個平面平行，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就與兩平面的交線平行。”
本題中，平面ACD經過AD且和平面PEF相交，交線是GF
所以，GF∥DA。
根據已知條件，得出G是三角形PBC重心，
所以，
5. 無數
提示：希望得直線MN與平面ACC1A1平行，除了線面平行判定定理外，還有一條途徑。即直線MN在與平面ACC1A1平行的平面內。
在BA1上分別任取M，作MM1∥BB1,交AB于M1,
過M1作AC平行線交CB于N1,過N1作BB1的平行線
交B1C于N,連接MN，因此,MM1N1N是平面四邊形,
MM1∥BB1∥AA1, M1N1∥AC,根據面面平行的判定定理得，平面MM1N1N∥平面ACC1A1。
6. M是AC的中點
提示： 由條件“MB∥平面AEF”,可以想到線面平行的
性質定理：“如果一條直線與一個平面平行，且經過這條
直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就與兩平面的
交線平行。”
本題中由不在同一線上的三點F,B,M確定的平面記為α, (平面α與平面AA1C1C有公共點M，所以有公共直線，記為l；三棱柱中，BF∥平面AA1C1C, 平面α經過直線BF，則l與直線BF平行，所以l與直線AF相交交點為N,平面α與平面AEF有公共點F和N，所以FN是平面α與平面AEF的交線，作平面α時頭腦中可以想到這些基礎知識。)
在三棱柱中，因為BB1∥CC1, CC1在平面AA1C1C內，所以BF∥平面AA1C1C,又因為BF 平面α,平面α∩平面AA1C1C=l,所以BF∥l.記直線l與AE的交點為N，連結FN,因為MB∥平面AEF,MB 平面α,平面αN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN,所以四邊形BFNM是平行四邊形,所以MN=BF=1.由三角形中位線知M是AC的中點.
附1：
怎么想
很多學生有這樣的困惑，基礎知識都掌握了，但還是用不上。
下面以第6題為例說明一下數學中的“怎么想”。
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點E,F分別是棱
CC1,BB1上的點,EC=2FB=2,點M是棱AC上的動點,
若MB∥平面AEF,則點M的位置為　　　　　　　　.
首先是基礎知識要都掌握了。
本題所用基礎知識
基本事實1：經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面。
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內。
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
棱柱的性質：棱柱的側棱互相平行。
直線與平面平行的判定定理：如果平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行。
直線與平面平行的性質定理：如果一條直線與一個平面平行，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就與兩平面的交線平行。
本題中只有一個立體幾何條件“MB∥平面AEF”，
因此從此入手，這是已知直線與平面平行，
因此想到直線與平面平行的性質定理。性質定理需要
找一個平面經過直線MB且和平面AEF相交。
所以要想到確定平面的相關基礎知識(基本事實1及3個推論)
這里用的是基本事實1，經過M,B,F三點和平面記為平面α(用“推論1：經過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面。或者用推論2：經過二條相交直線，有且只有一個平面。”也行。)這樣平面α經過直線MB(如果用推論1或者推論2確定的平面就可以省去證明平面α經過直線MB)，同時平面α與平面AEF有公共點F，(依據基本事實3，平面α和平面AEF有交線，) 而交線剛好是直線與平面平行的性質定理的要求。
而三棱柱這個條件，在本題中關注平行，棱柱中和平行相關的可以想到棱柱的側棱互相平行，進一步根據直線與平面平行的判定定理得到側棱與側面平行，進一步根據直線與平面平行的性質定理得到直線與直線平行。所以得到平行四邊形，即BMNF是平行四邊形。其余的基本是初中平面幾何相關知識。
從中可以看出，只有在基礎知識都記牢、記熟后運用才會得心應手。本題的平面α將很多基礎知識的運用聯系起來。這一點可以剛開始可能沒有意思到，但是完成解答后，如果進行反思總結，就會有這樣的認識。
解答高中數學題目時，不要只滿足于該題目怎么做，更要清楚怎么想到的這么做，根據題目哪個信息聯想到相關基礎知識。
多總結，大有益處！

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