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8.2 重力勢能
一、考點梳理
考點一、重力做功的特點
1．做功表達式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置與末位置的高度差；h1、h2分別指初位置、末位置的高度。
2．做功的正負：物體下降時重力做正功；物體被舉高時重力做負功。
3．做功的大小：重力對物體做功的大小只跟物體的起點與終點的高度有關，與物體運動的路徑無關。
4．重力做功的特點：物體運動時，重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置有關，而跟物體運動的路徑無關．
【典例1】某游客帶著孩子游泰山時，不小心將手中質量為的皮球滑落，球從山上的位置滾到了山腳下的位置，高度標記如圖所示，則下列說法正確的是重力加速度為
A.從到的曲線長度不知道，無法求出此過程重力做的功
B.從到過程中阻力大小不知道，無法求出此過程重力做的功
C.從到重力做功
D.從到重力做功
【答案】D
【解析】重力做功與路徑無關，只與初末狀態的高度差有關；根據即可求得重力所做的功。
重力做功與路徑無關，根據兩點間的高度差即可求得重力所做的功；因兩點間的高度差為；則重力做功，故D正確，ABC錯誤。
【典例2】如圖所示，質量關系為m1＞m2＞m3的三個小球分別沿三條不同的軌道1、2、3由離地高h的A點滑到同一水平面上，軌道1、3光滑，軌道2粗糙，重力對小球做的功分別為W1、W2、W3，則下列判斷正確的是(　　)
A．W1＞W2＝W3　　　 B．W1＝W3＞W2
C．W1＝W2＝W3 D．W1＞W2＞W3
【答案】D
【解析】重力做功只與物體重力和初、末位置的高度差有關，由于三個小球下滑的高度差均為h，質量關系為m1＞m2＞m3，故W1＞W2＞W3，D正確。
練習1、如圖所示，A點距地面高為h，B點在地面上，一物體沿兩條不同的路徑ACB和ADB由A點運動到B點，則(　　)
A.沿路徑ACB重力做的功多一些
B.沿路徑ADB重力做的功多一些
C.沿路徑ACB和路徑ADB重力做的功一樣多
D.無法判斷沿哪條路徑重力做的功多一些
【答案】C
【解析】重力做的功與運動路徑無關，只與初位置和末位置及重力的大小有關。選項C正確。
練習2、如圖所示情況，質量為m的小球從高為h處的斜面上的A點滾下，經過水平面BC后，再滾上另一斜面，當它到達高的D點時，速度為零，在這個過程中，重力做功為(　　)
A． B． C．mgh D．0
【答案】A
【解析】AD間的高度差為Δh＝h－h＝h，則重力做功為W＝mgΔh＝mgh，故A正確，B、C、D錯誤。
考點二、對重力勢能的理解
1．表達式：物體的重力勢能等于它所受重力與所處高度的乘積Ep＝mgh.
2．重力勢能的四性
(1)系統性
重力勢能是物體和地球所組成的系統共同具有的能量，不是地球上物體獨有的，通常所說的物體的重力勢能是一種不確切的習慣說法．
(2)相對性
重力勢能Ep＝mgh與參考平面的選擇有關，式中的h是物體重心到參考平面的高度．重力勢能是標量，只有大小而無方向，但有正、負之分，當物體在參考平面之上時，重力勢能Ep為正值；當物體在參考平面之下時，重力勢能Ep為負值．
(3)參考平面選擇的任意性
視處理問題的方便而定，一般可選擇地面或物體運動時所達到的最低點為零勢能參考點．
(4)重力勢能變化的絕對性
物體從一個位置到另一個位置的過程中，重力勢能的變化與參考平面的選取無關，它的變化是絕對的．我們關注的是重力勢能的變化，這意味著能的轉化問題．
3．重力做功與重力勢能改變的關系：
（1）表達式WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
（2）重力做多少正功，重力勢能減小多少；克服重力做多少功，重力勢能增加多少。
【典例1】質量為m的物體，沿傾角為α的光滑斜面由靜止下滑，當下滑t(s)時重力勢能減少量為(　　)
A．mg2t2sin α　　 B．mg2t2
C．mg2t2 D．mg2t2sin2 α
【答案】D
【解析】物體下滑的加速度a＝gsin α，t(s)時物體下滑的距離x＝at2＝gsin α·t2，下滑的高度h＝xsin α，物體重力勢能的減少量ΔEp＝mgh＝mg2sin2 α·t2。
【典例2】如圖所示，質量為m的小球，從離桌面H高處由靜止下落，桌面離地高度為h。若以桌面為參考平面，那么小球落地時的重力勢能及整個過程中重力勢能的變化分別是(　　)
A．mgh，減少mg(H－h) B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h) D．－mgh，減少mg(H＋h)
【答案】D
【解析】以桌面為參考平面，落地時小球的重力勢能為－mgh，初狀態重力勢能為mgH，即重力勢能的變化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力勢能減少了mg(H＋h)，D正確。
練習1、起重機將質量為50 kg的物體從地面提升到10 m高處，在這個過程中，下列說法中正確的是(g取10 m/s2)(　　)
A．重力做正功，重力勢能減少5.0×103 J
B．重力做正功，重力勢能增加5.0×103 J
C．重力做負功，重力勢能減少5.0×103 J
D．重力做負功，重力勢能增加5.0×103 J
【答案】D
【解析】起重機將質量為50 kg的物體從地面提升到10 m高處，重力對物體做功W＝－mgh＝－50×10×10 J＝－5 000 J。克服重力對物體做多少功，重力勢能增加多少；則重力勢能增加5.0×103 J, 故D正確。
練習2、魔方，又叫魔術方塊或魯比克方塊，是一種手部極限運動。通常泛指三階魔方。三階魔方形狀是正方體，由有彈性的硬塑料制成。要將一個質量為m、邊長為a的水平放置的勻質三階魔方翻倒，推力對它做功至少為(　　)
A．mga B．
C． D．
【答案】D
【解析】推力對物體所做的功，增加了物體的重力勢能，即WF＝ΔEp，ΔEp＝mg＝mga，故D正確。
考點三、非質點類物體重力勢能
關于繩子、鏈條類柔軟物體的重力勢能
(1)Ep＝mgh，h表示物體重心相對零勢能面的高度．
(2)重心的位置與物體的形狀、質量分布是否均勻有關．
(3)粗細均勻、質量分布均勻的繩子或鏈條以直線狀形式放置時，其重心在其長度的一半處，當不以直線狀形式放置時，應分段表示重力勢能再求和．
【典例1】如圖所示，有一連通器，左右兩管的橫截面積均為S，內盛密度為ρ的液體，開始時兩管內的液面高度差為h.打開底部中央的閥門K，液體開始流動，最終兩液面相平．在這一過程中，液體的重力加速度為g，液體的重力勢能(　　)
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A．減少了ρgSh2 B．增加了ρgSh2
C．減少了ρgSh2 D．增加了ρgSh2
【答案】A
【解析】打開閥門K，最終兩液面相平，相當于右管內的液體流到了左管中，它的重心下降了，這部分液體的質量m＝ρV＝ρS＝ρSh，由于液體重心下降，重力勢能減少，重力勢能的減少量： ΔEp＝mgh′＝ρSh·g·＝ρSgh2，減少的重力勢能轉化為內能，故選項A正確．
【典例2】一條長為l、質量為m的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，其中有三分之一懸在桌邊，如圖所示，在鏈條的另一端用水平力緩慢地拉動鏈條，當把鏈條全部拉到桌面上時，鏈條的重力勢能增加多少？
【答案】mgl
【解析】懸在桌邊的l長的鏈條重心在其中點處，
離桌面的高度h＝×l＝l
它的質量是m′＝m
當把它拉到桌面時，增加的重力勢能
ΔEp＝mg×l＝mgl
桌面上l長的鏈條重力勢能不變，所以整條鏈條重力勢能增加了mgl.
練習1、如圖所示，一條鐵鏈長為2 m，質量為10 kg，放在水平地面上，拿住一端提起鐵鏈直到鐵鏈全部離開地面的瞬間，鐵鏈克服重力做功為多少？鐵鏈的重力勢能變化了多少？(g取9.8 m/s2)
【答案】98 J　增加了98 J
【解析】鐵鏈從初狀態到末狀態，它的重心位置提高了h＝，因而克服重力所做的功為W＝mgl＝×10×9.8×2 J＝98 J，鐵鏈的重力勢能增加了98 J。
練習2、如圖所示，有一質量為m、長為L的均勻金屬鏈條，一半長度在光滑斜面上，斜面傾角為θ，另一半長度沿豎直方向下垂在空中，當鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，以斜面頂點為重力勢能零點，求：
（1）開始時和鏈條剛好從右側面全部滑出斜面時重力勢能各多大？
（2）此過程中重力做了多少功？
【答案】(1)－mgL(1＋sin θ)　－mgL　(2)mgL(3－sin θ)
【解析】(1)開始時，左邊一半鏈條重力勢能為Ep1＝－·sin θ，右邊一半的重力勢能Ep2＝－·；左右兩部分總的重力勢能為
Ep＝Ep1＋Ep2＝－mgL(sin θ＋1)
鏈條從右側剛好全部滑出時，重力勢能為
Ep′＝－mgL。
(2)此過程重力勢能減少了
ΔEp＝Ep－Ep′＝mgL(3－sin θ)
故重力做的功為WG＝mgL(3－sin θ)。
考點四、對彈性勢能的理解
1．彈性勢能的產生原因
2．彈性勢能的影響因素
3．彈性勢能與彈力做功的關系
如圖所示，O為彈簧的原長處。
（1）彈力做負功時：如物體由O向A運動(壓縮)或者由O向A′運動(伸長)時，彈性勢能增大，其他形式的能轉化為彈性勢能。
（2）彈力做正功時：如物體由A向O運動，或者由A′向O運動時，彈性勢能減小，彈性勢能轉化為其他形式的能。
（3）彈力做功與彈性勢能變化的關系為W彈＝－ΔEp。
【典例1】(多選)如圖甲所示，質量不計的彈簧豎直固定在水平地面上，t＝0時刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點，然后又被彈簧彈起離開彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復。通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測出這一過程彈簧彈力F隨時間t變化的圖像如圖乙所示，則(　　)
　　　　　 　甲　　　　　　　　　　乙
A．t2時刻彈簧的彈性勢能最大
B．t3時刻彈簧的彈性勢能最大
C．t1～t3這段時間內，彈簧的彈性勢能先減少后增加
D．t1～t3這段時間內，彈簧的彈性勢能先增加后減少
【答案】AD
【解析】由胡克定律可知，彈簧彈力與彈簧形變量成正比，而形變量越大，彈簧的彈性勢能越大，故彈簧彈力越大，彈簧彈性勢能越大，由題圖乙可知，t2時刻彈簧的彈力最大，彈性勢能最大，故A正確，B錯誤；t1～t3這段時間內，彈簧的彈力先增大后減小，則彈性勢能先增加后減少，故C錯誤，D正確。
【典例2】(多選)如圖所示，一個物體以速度v0沖向與豎直墻壁相連的輕質彈簧，墻壁和物體間的彈簧被物體壓縮，在此過程中，下列說法正確的是(　　)
A．物體對彈簧做的功與彈簧的壓縮量成正比
B．物體向墻壁運動相同的位移，彈力做的功不相等
C．彈簧的彈力做正功，彈性勢能減少
D．彈簧的彈力做負功，彈性勢能增加
【答案】BD
【解析】由恒力做功的表達式W＝Flcos α可知，恒力做功時，做功的多少與物體的位移成正比，而物體壓縮彈簧的過程中，彈簧對物體的彈力是一個變力，F彈＝kΔx，根據作用力與反作用力的關系可知，物體對彈簧的力也為變力，故物體對彈簧做的功W∝(Δx)2，故A錯誤；物體壓縮彈簧的過程中，彈簧的彈力與彈力作用點的位移方向相反，所以彈力做負功，彈性勢能增加，故C錯誤，D正確；物體移動相同的距離，彈簧開始被壓縮時彈力小，物體克服彈力做的功也少，彈簧的壓縮量變大時，彈力變大，物體克服彈力做的功多，故B正確。
練習1、如圖所示，一個質量為M的物體放在水平地面上，物體上方安裝一個長度為l、勁度系數為k的輕彈簧，現用手拉著彈簧上端的P點緩慢向上移動，直到物體離開地面一段距離．在這一過程中，P點的位移(開始時彈簧處于原長)是H，則物體重力勢能的增加量為(　　)
A．MgH　　　　　　 B．Mg＋
C．MgH－ D．MgH－
【答案】C
【解析】P點緩慢向上移動時，設彈簧伸長Δx，物體距離地面高為h，則有H＝h＋Δx，物體增加的重力勢能等于克服重力所做的功，即ΔEp＝Mgh，P點緩慢向上移動過程中，物體處于平衡狀態，物體受重力Mg和彈簧的彈力，根據二力平衡的條件和胡克定律，有kΔx＝Mg，所以Δx＝，故h＝H－Δx＝H－，物體增加的重力勢能ΔEp＝Mgh＝Mg＝MgH－，所以選項C正確．
練習2、如圖所示，勁度系數為k1的輕質彈簧兩端分別與質量為m1、m2的物塊1、2拴接，勁度系數為k2的輕質彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上(不拴接)，整個系統處于平衡狀態．現施力將物塊1緩慢豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面．在此過程中，物塊2的重力勢能增加了________，物塊1的重力勢能增加了________．
【答案】m2g·　m1g2(m1＋m2)·
【解析】初態時，彈簧k2的壓縮量為x2，m1g＋m2g＝k2x2，彈簧k1的壓縮量為x1，m1g＝k1x1，末態時，彈簧k2恢復原長，彈簧k1的伸長量為x1′，m2g＝k1x1′，在此過程中，物塊2高度的變化量為x2，重力勢能增加ΔEp2＝m2gx2＝m2g·，物塊1高度的變化量為x1＋x2＋x1′，重力勢能增加ΔEp1＝m1g(x1＋x2＋x1′)＝m1g2(m1＋m2)·.
二、夯實小練
1、自然現象中蘊藏著許多物理知識，如圖所示為一個盛水袋， 某人從側面緩慢推袋壁使它變形，則水的重力勢能(　　)
A．增大 B．變小
C．不變 D．不能確定
【答案】A
【解析】：從側面緩慢推袋壁使它變形，水的重心升高，根據Ep＝mgh，知重力勢能增大，故A正確，BCD錯誤。故選A。
2、如圖所示，一質量為m、邊長為a的正方體物塊與地面間的動摩擦因數為μ＝0.1。為使它水平移動距離a，可以用將它翻倒或向前緩慢平推兩種方法，則下列說法中正確的是(　　)
A．將它翻倒比平推前進做功少 B．將它翻倒比平推前進做功多
C．兩種情況做功一樣多 D．兩種情況做功多少無法比較
【答案】B
【解析】：使物塊水平移動距離a，若將它翻倒一次，需要克服重力做功，使其重心位置由離地h1＝增加到h2＝a，所以至少需要做功W1＝mg(h2－h1)＝mg(－1)a；而緩慢平推需要做功W2＝μmga＝0.1mga3、物體從某高度處做自由落體運動，以地面為重力勢能零點，下列所示圖象中，能正確描述物體的重力勢能與下落高度的關系的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于重力做功和重力勢能變化關系可得：EP=E-mgh，由數學知識可知勢能與h的圖象為傾斜向下的直線，故B正確，ACD錯誤。
4、如圖甲所示，勻質鏈條懸掛在天花板等高的A、B兩點，現將鏈條中點拉至AB中間位置C懸掛，如圖乙所示，則下列說法正確的是(　　)
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A．天花板對鏈條的作用力變大
B．天花板在A點對鏈條的作用力不變
C．乙圖中鏈條最低點的張力為甲圖的
D．鏈條的重力勢能不變
【答案】C
【解析】
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分析兩圖可知，天花板對鏈條的作用力大小等于鏈條的重力，故兩種情況下作用力不變，A選項錯誤；乙圖中AC間鏈條質量小，則天花板在A點對鏈條的作用力小，B選項錯誤；以圖甲中左側鏈條為研究對象，分析受力如圖所示：
F＝mgtanα，圖乙中鏈條質量減半，故乙圖中鏈條最低點的張力為甲圖的，C選項正確；整個鏈條的質量不變，由于乙圖中鏈條重心上升，所以鏈條的重力勢能增大，D選項錯誤．
5、如圖所示，一個質量為M的物體放在水平面上，物體上方連接一根自然長度為L，勁度系數為k的輕彈簧，現用手拉著彈簧的上端P點(開始時彈簧處于原長)緩慢豎直向上提升，直到物體離開地面一定高度，在這一過程中P點的位移是H，則物體的重力勢能增加了(　　)
A．MgH　　　　　　 B．MgH＋
C．MgH－ D．MgH－
【答案】C
【解析】對整個過程分析可知，剛開始P上移，彈簧伸長，而物體不動，直到P上移后，彈簧不再伸長，物體離開地面隨彈簧一起緩慢上移，物體重心上移高度h＝H－.所以物體的重力勢能增加量為MgH－.
6、（多選）豎直上拋一個小球，從拋出到落回原拋出點的過程中，它的速度、重力勢能、位移、加速度隨時間變化的函數圖像(如圖所示)中正確的是(不計空氣阻力，以豎直向下為正方向，圖中曲線為拋物線，拋出點為零勢能點)(　　)
【答案】ABC
【解析】：以豎直向下為正方向，則初速度為負值最大，重力加速度為正，小球勻減速運動到最高點速度為零，然后反向加速運動，因而A正確；因為拋出點為零勢能點，所以重力勢能最初為零，上升過程重力勢能增大，下落過程則減小，回到原點變為零，因而B正確；因為位移始終在拋出點上方，所以一直為負值，C選項也正確；加速度豎直向下，為正值，因而D錯誤。
7、如圖所示，質量為60 kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒，已知重心在c點，其垂線與腳、兩手連線中點間的距離Oa、Ob分別為0.9 m和0.6 m。若她在一分鐘內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m，則該運動員一分鐘內克服重力做的功和相應的功率約為(取g＝10 m/s2)(　　)
A.430 J，7 W B.4 300 J，70 W
C.720 J，12 W D.7 200 J，120 W
【答案】B
【解析】設重心上升的高度為h，根據相似三角形可知，每次俯臥撐中，有＝，即h＝0.24 m，一次俯臥撐中，克服重力做的功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以運動員一分鐘內克服重力做的總功為W總＝NW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故B正確，A、C、D錯誤。
8、在離地面處無初速度地釋放一小球，小球質量為，不計空氣阻力，取，取釋放點所在水平面為參考平面。求：
在第末小球的重力勢能；
在第內重力所做的功和重力勢能的變化。
【答案】-40J 減少了50J
【解析】以釋放點所在水平面為參考平面，在第 末小球所處的高度為：

重力勢能為：
，說明小球在參考平面的下方。
在第 末小球所處的高度為：

第 內重力做的功為：

由重力做功與重力勢能改變的關系可知，小球的重力勢能減少了 。
9、吊車以的加速度將質量為m的物體勻減速地沿豎直方向提升高度h，求：
(1)吊車鋼索的拉力對物體做的功為多少；
(2)重力做的功為多少；
(3)物體的重力勢能變化了多少。(不計空氣阻力)
【答案】(1)mgh　(2)－mgh　(3)增加了mgh
【解析】(1)物體的加速度a＝，方向豎直向下，
設吊車鋼索對物體的拉力為F
由牛頓第二定律得mg－F＝ma，
故F＝mg－ma＝mg，
方向豎直向上，所以拉力做的功WF＝Fh＝mgh。
(2)重力做的功WG＝－mgh。
(3)ΔEp＝－WG＝mgh，
因此物體的重力勢能增加了mgh。
10、某興趣小組通過探究得到彈性勢能的表達式為，式中為彈簧的勁度系數，為彈簧伸長或縮短的長度，請結合彈性勢能表達式計算下列問題．放在地面上的物體上端系在勁度系數的彈簧上，彈簧的另一端拴在跨過定滑輪的繩子上，如圖所示，手拉繩子的另一端，當往下拉物體開始離開地面，繼續拉繩，使物體緩慢升高到離地高處．如果不計彈簧重和滑輪跟繩的摩擦，取求：
彈簧彈性勢能的大小；
物體重力勢能的增量；
拉力所做的功．
【答案】1J 10J 11J
【解析】彈簧的彈性勢能；
物體離開地面時，由平衡條件：
物體重力勢能的增量
聯立知，；
拉力做功轉化為彈簧的彈性勢能和重力勢能，即
拉力做功。
三、培優練習
1、(多選)抽水蓄能電站的工作原理是在用電低谷時(如深夜)，電站利用電網中多余的電能把水抽到高處蓄水池中，到用電高峰時，再利用蓄水池中的水發電。如圖所示，蓄水池(上游水庫)可視為長方體，有效總庫容量(可用于發電)為V，蓄水后水位高出下游水面H，發電過程中上游水庫水位最大落差為d。統計資料表明，該電站年抽水用電量為2.4×108kW·h，年發電量為1.8×108kW·h。則下列計算結果正確的是(水的密度為ρ，重力加速度為g，涉及重力勢能的計算均以下游水面為零勢能參考平面)(　　)
A.能用于發電的水的最大重力勢能Ep=ρVgH
B.能用于發電的水的最大重力勢能Ep=ρVg(H-)
C.電站的總效率達75%
D.該電站平均每天所發電能可供給一個大城市居民用電(電功率按105kW計算)約10h
【答案】B、C
【解析】不考慮下游水位變化，以下游水面為零勢能參考平面，蓄滿水時重心高度為H-，所以能用于發電的水的最大重力勢能為Ep=mg(H-)=
ρVg(H-)，故A錯誤，B正確。電站的總效率=×100%=×100%=75%，故C正確。該電站平均每天所發電能可供給一個大城市居民用電的時間為t=h≈5h，故D錯誤。
2、如圖所示，一輕彈簧一端固定于О點，另一端系一重物，將重物從與懸點О在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速地釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺向最低點B的過程中（　　）
A．重力做正功，彈簧彈力不做功，彈性勢能不變
B．重力做正功，彈簧彈力做正功，彈性勢能增加
C．若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做正功，彈力不做功
D．若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做功不變，彈力不做功
【答案】C
【解析】AB．重物由A點擺向最低點B的運動中，重力做正功，彈簧伸長，彈力對重物做負功，彈簧彈性勢能增加，AB錯誤；
C．若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做正功，由于細繩不可伸長，細繩上彈力一直與重物速度方向垂直，彈力不做功，C正確；
D．若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，由于細繩不可伸長，重物下落的高度變小，重力做功變小，細繩上彈力一直與重物速度方向垂直，彈力不做功，D錯誤。
3、如圖所示，質量為m的小滑塊從O點以速度v0沿水平面向左運動，小滑塊撞擊彈簧后被彈簧彈回并最終靜止于O點，則運動過程中彈簧獲得的最大彈性勢能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設動摩擦因數為μ，O點離彈簧右端距離為L，彈簧最大壓縮量為，小滑塊從O點運動到彈簧壓縮量最大時，速度減為0，由動能定理可得
再分析彈簧壓縮量最大到小滑塊最終靜止的過程，由動能定理可得
聯立可得
故彈簧獲得的最大彈性勢能是，選項B正確，ACD錯誤。
4、在地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質量為m，厚度為h，如將磚一塊一塊豎直疊放起來，至少要做多少功？
【答案】n(n－1)mgh
【解析】取n塊磚的整體為研究對象，如圖所示，
疊放起來后整體重心距地面nh，原來距地面，故有W＝ΔEp＝nmg－nmg＝n(n－1)mgh.
5、如圖所示，豎立在水平面上的一根輕彈簧下端固定，其正上方位置有一小球．小球從靜止開始下落，在位置接觸彈簧的上端，在位置小球所受彈力大小等于重力，在位置小球速度減小為零．對小球下落階段，下列說法中錯誤的是不計空氣阻力
A.在位置時小球動能最大
B.在位置時小球動能最大
C.從位置到位置，小球重力勢能的減少量大于小球動能的增加量
D.從位置到位置，小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量
【答案】B
【解析】小球動能的增加量用合力做功來量度，從位置到位置，小球受的合力一直向下，合力對小球做正功，使小球動能增加；從位置到位置，小球受的合力一直向上，合力對小球做負功，使小球動能減少，所以在位置時小球動能最大，B錯誤，A正確；
C.從位置到位置，小球重力勢能的減少量等于小球動能的增加量和彈簧彈性勢能的增加量之和，C正確；
6、如圖所示，甲為一長度為的均勻鏈條，總質量為，一半放在水平桌面上，一半豎直下垂。乙為兩個質量均為的小球，一個放在水平桌面上，一個豎直下垂，中間用不計質量、長度為的細繩相連，水平部分和豎直部分長度相等，小球可以視為質點。現給甲、乙一個小擾動，使得甲、乙都剛好離開水平桌面。取水平桌面所在的平面為零勢能面，重力加速度大小為，這個過程中，下列說法正確的是
A.甲的重力勢能減少了
B.乙的重力勢能減少了
C.甲受到的重力做的功小于乙受到的重力做的功
D.甲、乙重力勢能的減少量相等
【答案】A
【解析】A.甲是長為的均勻鏈條，則甲剛離開桌面時，豎直下垂的一半重心下降，桌面上一半重心下降，則重力勢能減少故 A正確；B.剛離開桌面時，桌上小球重心不變，豎直小球重心下降
則重力勢能減少了，故B錯誤；C.重力做的功等于重力勢能減少變化量，因，故重力對甲做的功更多，故 C錯誤；D.，，故D錯誤。
7.如圖所示，質量不計的彈簧一端固定在地面上，彈簧豎直放置，將一小球從距彈簧自由端高度分別為、的地方先后由靜止釋放，，小球觸到彈簧后向下運動壓縮彈簧，從開始釋放小球到獲得最大速度的過程中，小球重力勢能的減少量、的關系及彈簧彈性勢能的增加量、的關系中，正確的一組是
A.， B.，
C.， D.，
【答案】B
【解析】小球由靜止釋放，在沒接觸到彈簧時，只受重力作用，重力做正功，速度一直增大；剛接觸彈簧時，彈簧處于原長，形變量為零，彈力為零，彈性勢能為零，之后，彈簧被壓縮，彈力增大，但由于從零開始，故小于重力，合力向下，與速度同向，故速度增大；當彈力增大到等于重力時，加速度為零，速度最大；繼續下落時，彈力大于重力，合力向上，開始做減速運動。
由上述分析過程知，小球從距彈簧自由端高度分別為、的地方先后由靜止釋放，，兩種情況下，小球到獲得最大速度的位置相同，彈簧彈性形變程度相同，故；由于，從越高的地方釋放，減小的重力勢能越大，所以，故ACD錯誤，B正確。
8、小伙伴在河岸做拋石子游戲．如圖所示為河的橫截面示意圖，小亮自O點以垂直岸邊的水平速度向對岸拋石子．已知O點離水面AB的高度為h，O、 A兩點間的水平距離為x1，水面AB的寬度為x2，河岸傾角為θ，重力加速度為g.
(1)若石子直接落到水面上，求其在空中飛行的時間t；
(2)為使石子直接落到水面上，求拋出時速度v0的范圍；
(3)若石子質量為m，拋出速度大小為v時恰好在C點垂直撞擊河坡，求石子從O到C過程中減少的重力勢能ΔEp.
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【答案】(1) 　(2)x1≤v0≤(x1＋x2)(3)
【解析】(1)若石子直接落到水面上，根據平拋運動規律可知，豎直方向上，h＝gt2，解得t＝ .
(2)為使石子直接落到水面上，拋出時速度的大小范圍是x1≤v0t≤x1＋x2，解得x1≤v0≤(x1＋x2) .
(3)由題意可知，石子在C點垂直撞擊斜坡，即速度與斜坡垂直，根據幾何關系得，tanθ＝，石子從O點到C點下降的高度H＝gt，聯立解得，石子從O到C過程中減少的重力勢能ΔEp＝mgH＝.
9、如圖所示，某工人用定滑輪提升重物，重物質量m＝30 kg，工人拉著繩從滑輪下方A處緩慢走到B處的過程中，工人對重物做功為多少？不計繩的質量以及繩與滑輪間的摩擦．已知θ＝60°，h＝3 m，取g＝10 m/s2.
【答案】900 J
【解析】工人拉繩使重物上升的高度l＝－h.
工人對重物做的功等于繩拉物體做的功
W＝mgl＝mg＝900 J.
10、如圖所示，一架戰斗機在距水平地面A點正上方高h=500m處，將質量m=40 kg的炮彈以相對地面v=100m/s的水平速度投出，擊中目標B。不計空氣阻力，g取10m/s2.求炮彈：
（1）剛投出時相對地面所具有的重力勢能；
（2）目標B距離A 點的水平距離x；
（3）重力做功的平均功率。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）重力勢能
（2）根據平拋運動
解得
，
（3）重力做功的平均功率
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