資源簡介

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8.3 動能和動能定理
一、考點梳理
考點一、動能和動能定理
動能概念的理解
動能的表達式Ek＝mv2.
動能是標量，沒有負值．
動能是狀態量，與物體的運動狀態相對應．
動能具有相對性，選取不同的參考系，物體的速度不同，動能也不同，一般以地面為參考系．
動能定理
在一個過程中合外力對物體做的功或者外力對物體做的總功等于物體在這個過程中動能的變化．
W與ΔEk的關系：合力做功是物體動能變化的原因．
合力對物體做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物體的動能增大；
合力對物體做負功，即W<0，ΔEk<0，表明物體的動能減小；
如果合力對物體不做功，則動能不變．
物體動能的改變可由合外力做功來度量．
【典例1】關于力對物體做的功與物體動能變化的關系,以下說法正確的是 (　　)
A.某個力做正功,物體動能增加
B.某個力做負功,物體動能增加
C.合外力做正功,物體動能增加
D.合外力做負功,物體動能增加
【答案】C
【解析】根據動能定理,物體動能的變化對應合外力做的功。合外力做正功,物體動能增加;合外力做負功,物體動能減小。
【典例2】如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度出發，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關，根據動能定理
可得摩擦力的大小。
練習1、圖甲為排球比賽的某個場景，排球飛行過程可簡化為乙圖。運動員某次將飛來的排球從a點水平擊出，球擊中b點；另一次將飛來的排球從a點的正下方且與b點等高的c點斜向上擊出，也擊中b點；排球運動的最高點d，與a點的高度相同，不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．兩個過程中，排球在空中飛行的時間相等
B．兩個過程中，排球擊中b點時的動能相等
C．兩次擊球后瞬間，排球的動能可能相等
D．排球兩次擊中b點前瞬間，從a點擊出的球重力的功率大
【答案】C
【解析】AC．由于排球從c點斜向上擊出后做斜拋運動，按照時間的對稱性，排球從c點到d點的時間與從d點到b點時間相同，排球從d到b點在豎直方向做自由落體運動，根據豎直方向的運動可知vya=vyc=gta則可知tc=2ta由于水平方向的位移相同，根據，可知vax>vcx，根據速度的合成可知，a拋出時的速度va0=vaxc點擊出時的初速度為故兩過程中，小球的初速度大小可能相等，根據可知，兩次擊球后瞬間，排球的動能可能相等，故A錯誤，C正確；B．根據運動的對稱性可知，c點擊出時的速度大小與擊中b點時速度大小相等，a點擊出的排球擊中b點時的速度為故從a點擊出的排球擊中b點時的速度較大，根據可知，排球擊中b點時的動能不相等，故B錯誤；D．由于豎直方向做的是自由落體運動，下落的高度相同，故落地時豎直方向的速度相同，則重力的瞬時功率P=mgvy相同，故D錯誤。
考點二、動能定理的簡單應用
應用動能定理解題的一般步驟
選取研究對象(通常是單個物體)，明確它的運動過程．
對研究對象進行受力分析，明確各力做功的情況，求出外力做功的代數和．
明確物體在初、末狀態的動能Ek1、Ek2.
列出動能定理的方程W＝Ek2－Ek1，結合其他必要的輔助方程求解并驗算．
【典例1】如圖所示,一個質量為m的滑塊靜止放在水平地面上的A點,受到一個與水平方向成θ角的斜向上恒力F作用開始運動,當滑塊前進l到達B點時速度大小為v,此時撤去F,滑塊最終停在水平地面上的C點,B、C間的距離為x,滑塊與地面間的動摩擦因數為μ。則下列關系式正確的是(　　)
A.Flcos θ=μmg(l+x)
B.μ(mg-Fsin θ)l=μmgx
C.Flcos θ-μmgx=mv2
D.Fl(cos θ+μsin θ)=μmg(l+x)
【答案】D
【解析】由題意,從開始到C點,由動能定理得Flcos θ-μ(mg-Fsin θ)l-μmgx=0,整理得Fl(cos θ+μsin θ)=μmg(l+x)。
【典例2】(多選)甲、乙兩個質量相同的物體，用大小相等的力F分別拉著它們在水平面上從靜止開始運動相同的距離s.如圖所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，則下列關于力F對甲、乙兩物體做的功和甲、乙兩物體獲得的動能的說法中正確的是(　　)
A．力F對甲物體做功多
B．力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多
C．甲物體獲得的動能比乙大
D．甲、乙兩個物體獲得的動能相同
【答案】BC
【解析】由W＝Flcos α＝F·s可知，兩種情況下力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多，A錯誤，B正確；根據動能定理，對甲有Fs＝Ek1，對乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，C正確，D錯誤．
練習1、體育課上，喜歡打籃球的李同學迅速跳起，在最高點時以一定的速度將質量為m的籃球拋出，如圖所示，籃球被拋出位置距離地面高度為h，距離籃球框的水平距離為x，籃筐距離地面的高度為H，當籃球豎直速度剛好為零時，籃球剛好到達籃筐，然后籃球與球框碰撞，碰撞后速度大小變為碰前的0.5倍，不計空氣阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．小李同學扔球時對籃球做的功為
B．小李同學扔球時對籃球做的功為
C．籃球落地點距離籃筐的水平距離為
D．籃球從拋出到落地的時間為
【答案】A
【解析】AB．籃球在豎直速度剛好為零時落進籃筐，根據逆向思維，籃球做平拋運動，則
，，
小李對籃球做的功
，
聯立解得
故A正確，B錯誤；
C．籃球與籃筐碰撞后的速度大小為碰前的，碰后至落地的時間
所以籃球落地點距離籃筐的水平距離
故C錯誤；
D．籃球從拋出到落地的時間為，故D錯誤。
考點三、計算變力做功
當物體受到變力時，可用動能定理計算變力做的功
【典例1】如圖所示，用跨過光滑定滑輪的纜繩將海面上一艘失去動力的小船沿直線拖向岸邊。已知拖動纜繩的電動機功率恒為P，小船的質量為m，小船受到的阻力大小恒為f，經過A點時的速度大小為v0，小船從A點沿直線加速運動到B點經歷時間為t1，A、B兩點間距離為d，纜繩質量忽略不計。求：
(1)小船從A點運動到B點的全過程克服阻力做的功Wf
(2)小船經過B點時的速度大小v1
【答案】(1)fd　(2)
【解析】(1)小船從A點運動到B點克服阻力做功
Wf＝fd ①
(2)小船從A點運動到B點，電動機牽引纜繩對小船做功W＝Pt1 ②
由動能定理有W－Wf＝mv－mv ③
由①②③式解得v1＝
【典例2】如圖所示的水平軌道足夠長，只有部分是粗糙的，其長度為，其余部分是光滑的，質量為1kg，長度為的粗細相同的勻質軟繩靜止在點的左側（繩的右端在點），軟繩與粗糙部分的動摩擦因數為，現用的水平向右的恒力作用在軟繩上，軟繩始終保持伸直狀態且長度不變，重力加速度為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則在軟繩運動的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．軟繩先做勻加速后做勻減速運動 B．軟繩的左端能經過點
C．軟繩的最大動能為0.5J D．軟繩克服摩擦力做功4.0J
【答案】C
【解析】設繩子B端向右運動位移為，當時，繩子所受摩擦力
當時，繩子所受摩擦力
繩子所受摩擦力隨位移變化如圖所示
又圖像與坐標軸圍成的面積表示物體克服摩擦力做的功，當時，
①
對繩子由動能定理得
②
當時
又
得
所以設繩子B端向右運動位移為速度為零，停止運動。
A．拉力先比摩擦力大，后比摩擦力小，軟繩先做加速運動后做減速運動。時，摩擦力為變力，所以加速度不恒定，A錯誤；
B．當時，繩子停止運動，軟繩的左端不能經過點，B錯誤；
C．由①②得,當
動能最大
C正確；
D．B端向右運動位移L的過程中，克服摩擦力做功
D錯誤。
練習1、一質量為m的小朋友（可視為質點），從豎直面內半徑為r的圓弧形滑道的A點由靜止開始下滑，小朋友到達圓弧最低點B時的速度大小為（g為當地的重力加速度）。已知過A點的切線與豎直方向的夾角為30°，滑道各處動摩擦因數相同，則小朋友在沿著AB下滑的過程中（ ）
A．在最低點B時對滑道的壓力大小為
B．處于先超重后失重狀態
C．重力的功率先減小后增大
D．克服摩擦力做功為
【答案】A
【解析】A．在B點，根據牛頓第二定律得
解得
結合牛頓第三定律得小朋友在最低點腳對滑道的壓力大為
A正確；
B．小朋友在點時加速度沿著切錢向下，處于失重狀態，到最低點時加速度豎直向上，處于超重狀態，B錯誤；
C．小朋友在A點時速度為零，重力的功率為零，到最低點時重力的方向與速度方向垂直，重力的功率也為零，故重力的功率先增大后減小，C錯誤；
D．在整個運動過程中，由動能定理得
解得克服摩擦力做功為
D錯誤。
練習2、如圖所示，運動員把質量為m的足球從水平地面的位置1踢出，足球在空中達到的最高點位置2的高度為h，在最高點時的速度為v，落地點為位置3，不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．運動員踢球時對足球做功mv2
B．從位置1到位置2足球重力做功mgh
C．運動員踢球時對足球做功
D．足球即將落至位置3時速度為零
【答案】C
【解析】AC．對于足球，根據動能定理
解得運動員對足球做功
故A錯誤，C正確；
B．足球上升過程重力做功
足球上升過程中克服重力做功，故B錯誤。
D．足球最高點時的速度為v，落地時，根據動能定理有
顯然在位置3時速度不為零，故D錯誤。
考點四、多過程動能定理
一個物體的運動如果包含多個運動階段，即可以將復雜的過程分割成一個個子過程，對每個子過程的做功情況、初末動能進行分析，然后應用動能定理列式聯立求解．也可以全過程應用動能定理，這樣不涉及中間量，解決問題會更簡單方便．
選擇全程應用動能定理時，要注意有些力不是全過程都作用的，必須根據不同的情況區別對待，弄清楚物體所受的力在哪段位移上做功，做正功還是負功，正確寫出總功．
【典例1】如圖所示，物體在距斜面底端5 m處由靜止開始下滑，然后滑上與斜面平滑連接的水平面，若物體與斜面及水平面間的動摩擦因數均為0.4，斜面傾角為37°，求物體能在水平面上滑行的距離．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【答案】3.5 m
【解析】對物體在斜面上和水平面上分別受力分析如圖所示
方法一　分過程列方程：設物體滑到斜面底端時的速度為v，物體下滑階段
FN1＝mgcos 37°，故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°
由動能定理得：
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0
設物體在水平面上滑行的距離為l2，摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg
由動能定理得：－μmgl2＝0－mv2
聯立以上各式可得l2＝3.5 m.
方法二　對全過程由動能定理列方程：
mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0
解得：l2＝3.5 m.
【典例2】如圖所示是某公司設計的“2009”玩具軌道，是用透明的薄壁圓管彎成的豎直軌道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是與“2009”管道平滑連接在豎直放置的半徑為R＝0.4m的圓管軌道，已知AB圓管軌道半徑與“0”字形圓形軌道半徑相同。“9”管道是由半徑為2R的光滑圓弧和半徑為R的光滑圓弧以及兩段光滑的水平管道、一段光滑的豎直管道組成，“200”管道和“9”管道兩者間有一小縫隙P，現讓質量m＝0.5kg的閃光小球(可視為質點)從距A點高H＝2.4m處自由下落，并由A點進入軌道AB，已知小球到達縫隙P時的速率為v＝8m/s，g取10m/s2。求：
(1)小球通過粗糙管道過程中克服摩擦阻力做的功；
(2)小球通過“9”管道的最高點N時對軌道的作用力；
(3)小球從C點離開“9”管道之后做平拋運動的水平位移。
【答案】（1）Wf＝2J（2）FN＝＝35N（3）平拋運動的水平位移為2.77m
【解析】(1)小球從初始位置到達縫隙P的過程中，由動能定理有
mg(H＋3R)－Wf＝mv2－0
代入數據得Wf＝2J。
(2)設小球到達最高點N時的速度為vN，對P→N過程由動能定理得：－mg·4R＝mv－mv2
在最高點N時，根據牛頓第二定律有：FN＋mg＝m
聯立解得FN＝m－mg＝35N
所以小球在最高點N時對軌道的作用力為35N。
(3)小球從初始位置到達C點的過程中，由動能定理有
mg(H＋R)－Wf＝mv－0
解得vC＝4m/s
小球從C點離開“9”管道之后做平拋運動，
豎直方向：2R＝gt2，解得t＝0.4s；
水平方向：DE＝vCt≈2.77m，所以平拋運動的水平位移為2.77m。
練習1、如圖所示，AB與CD為兩個對稱斜面，其上部足夠長，下部分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑R為2.0 m，一個物體在離弧底E高度為h＝3.0 m處，以初速度4.0 m/s沿斜面運動．若物體與兩斜面的動摩擦因數為0.02，則物體在兩斜面上(不包括圓弧部分)一共能走多長路程？(取g＝10 m/s2)
【答案】s＝280 m
【解析】設物體在斜面上運動的總路程為s，則摩擦力所做的總功為－μmgscos 60°，末狀態選為B(或C)，此時物體速度為零，對全過程由動能定理得
mg[h－R(1－cos 60°)]－μmgscos 60°＝0－mv
物體在斜面上通過的總路程為
s＝＝ m ＝280 m
練習2、如圖甲所示，一質量為m＝1kg的物塊靜止在粗糙水平面上的A點，從t＝0時刻開始，物塊在受到按如圖乙所示規律變化的水平力F作用下向右運動，第3s末物塊運動到B點時速度剛好為0，第5s末物塊剛好回到A點，已知物塊與粗糙水平面之間的動摩擦因數μ＝0.2，(g取10m/s2)求：
(1)AB間的距離；
(2)水平力F在5s時間內對物塊所做的功。
【答案】(1)4m　(2)24J
【解析】(1)在3s～5s內物塊在水平恒力F作用下由B點勻加速直線運動到A點，設加速度為a，AB間的距離為s，則
F－μmg＝ma
a＝＝m/s2＝2m/s2
s＝at2＝4m
(2)設整個過程中F做的功為WF，物塊回到A點時的速度為vA，由動能定理得：
WF－2μmgs＝mv
v＝2as
WF＝2μmgs＋mas＝24J。
考點五、動能定理在平拋、圓周運動中的應用
動能定理常與平拋運動、圓周運動相結合，解決這類問題要特別注意：
與平拋運動相結合時，要注意應用運動的合成與分解的方法，如分解位移或分解速度求平拋運動的有關物理量．
與豎直平面內的圓周運動相結合時，應特別注意隱藏的臨界條件：
①可提供支撐效果的豎直平面內的圓周運動，物體能通過最高點的臨界條件為vmin＝0.
②不可提供支撐效果的豎直平面內的圓周運動，物體能通過最高點的臨界條件為只有重力提供向心力，mg＝，vmin＝.
【典例1】如圖所示，固定在豎直面內橫截面為半圓的光滑柱體（半徑為R，直徑水平）固定在距離地面足夠高處，位于柱體兩側質量相等的小球A、B（視為質點）用細線相連，兩球與截面圓的圓心O處于同一水平線上（細線處于繃緊狀態）。在微小擾動下，小球A由靜止沿圓弧運動到柱體的最高點P。不計空氣阻力，重力加速度大小為g。小球A通過P點時的速度大小為（　　）。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】對AB組成的系統，從開始運動到小球A運動到最高點的過程
解得
【典例2】質量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，如圖8所示，運動過程中小球受到空氣阻力的作用．設某一時刻小球通過軌跡的最低點，此時繩子的張力為7mg，在此后小球繼續做圓周運動，經過半個圓周恰好能通過最高點，已知重力加速度為g，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功是(　　)
圖8
A.mgR B.mgR C.mgR D．mgR
【答案】C
【解析】小球通過最低點時，設繩的張力為FT，則
FT－mg＝m，即6mg＝m①
小球恰好通過最高點，繩子拉力為零，則有mg＝m②
小球從最低點運動到最高點的過程中，由動能定理得
－mg·2R－W克f＝mv22－mv12③
由①②③式解得W克f＝mgR。
練習1、嘉年華上有一種回力球游戲，如圖所示，A、B分別為一固定在豎直平面內的光滑半圓形軌道的最高點和最低點，B點距水平地面的高度為h，某人在水平地面C點處以某一初速度拋出一個質量為m的小球，小球恰好水平進入半圓軌道內側的最低點B，并恰好能過最高點A后水平拋出，又恰好回到C點拋球人手中．若不計空氣阻力，已知當地重力加速度為g，求：
（1）半圓形軌道的半徑；
（2）小球在C點拋出時的速度．
【答案】（1）2h（2）
【解析】(1)設半圓形軌道的半徑為R，小球經過A點時的速度為，小球經過B點時的速度為，小球經過B點時軌道對小球的支持力為
在A點，則有：
從B點到A點的過程中，根據動能定理有：
C到B的逆過程為平拋運動，有：，
A到C的過程，有：，
解得：R＝2h
（2）從C點到B點的過程中，豎直方向：
在C點，則有：，且有：
解得：
方向與水平方向夾角為：
練習2、如圖所示，質量為m的小球自由下落d后，沿豎直面內的固定軌道ABC運動，AB是半徑為d的光滑圓弧，BC是直徑為d的粗糙半圓弧（B是軌道的最低點）。小球恰好能運動到C點，重力加速度為g。求：
（1）小球剛下滑到B處時對軌道的壓力大小；
（2）小球在BC上運動過程中，摩擦力對小球做的功。
【答案】（1）5mg；（2）﹣mgd
【解析】小球下落到B的過程
mv2=2mgd
解得
在B點
得
T=5mg
根據牛頓第三定律可
Tˊ=T=5mg
在C點
解得
小球從B運動到C的過程
mvc2﹣mv2=﹣mgd+Wf
解得
Wf=﹣mgd
考點六、動能定理在傳送帶中的應用
【典例1】如圖所示，皮帶的速度是，兩圓心距離，現將的小物體輕放在左輪正上方的皮帶上，物體與皮帶間的動摩擦因數，皮帶不打滑，電動機帶動皮帶將物體從左輪運送到右輪正上方時，（g取）求：
（1）小物體獲得的動能；
（2）這一過程摩擦力做功多少；
（3）這一過程電動機對物體做功多少。
【答案】（1）； （2）； （3）
【解析】（1）設物體與傳送帶速度相同時物體通過的位移大小為s，則由動能定理
代入數值解得
即物塊可與皮帶速度達到相同做勻速運動，則
（2）這一過程由動能定理，摩擦力對物體做功
根據牛頓第二定律可得
解得
根據公式
得
所以產生的熱量為
這一過程摩擦力做功
（3）根據能量守恒定律，這一過程電動機對物體做功
【典例2】如圖所示為一傳送帶裝置模型，固定斜面的傾角為，底端經一長度可忽略的光滑圓弧與足夠長的水平傳送帶相連接，可視為質點的物體質量，從高的斜面上由靜止開始下滑，它與斜面的動摩擦因數，與水平傳送帶的動摩擦因數，已知傳送帶以的速度逆時針勻速轉動，，，取，不計空氣阻力。求：
（1）物體從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中與傳送帶間的摩擦生熱值；
（2）物體第一次離開傳送帶后滑上斜面，它在斜面上能達到的最大高度。
【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）設物體第一次滑到底端的速度為，根據動能定理有
解得
在傳送帶上物體的加速度大小為
物體在傳送帶上向右運動到速度為0所用時間為
由于
由運動的對稱性可知返回時間也為，則從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶經歷的時間為
物體的位移為0，物體相對傳送帶的位移即傳送帶的位移為
則摩擦產生的熱量為
（2）物體第一次返回到傳送帶左端的速度為
物體以速度從底端沖上斜面達最大高度，設最大高度為，由動能定理得
解得
練習1、如圖所示，靜止的水平傳送帶左端與水平面相連，左端是豎直光滑半圓軌道，點與圓心等高，質量為的物塊（可視為質點）以的初速度從傳送帶A點向左運動，物塊達到圓軌道最低點時，軌道對它支持力大小為，已知傳送帶長度，長度，半圓軌道半徑，物塊與傳送帶及水平面之間的動摩擦因數均為，重力加速度取，不計空氣阻力，求：
（1）物塊運動到點時對軌道的壓力大小；
（2）要使物塊恰好到達最高點，計算傳送帶逆時針轉動的速度大小。
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）物塊A到C的過程，由動能定理得
可得
物塊在點時，根據牛頓第二定律得
解得
則由牛頓第三定律可知，物塊對軌道壓力大小是
（2）物塊到達點時，最小速度需要滿足
所以
物塊恰好到達點，根據動能定理得，物塊離開傳送帶的速度滿足
得
如果傳送帶靜止，則物塊從A到B過程，由動能定理得
可得
物塊由減速到的過程中移動
要使物塊恰好到達最高點，物塊在傳送帶上先勻減速后勻速，所以傳送帶逆時針轉動的速度大小為。
考點七、動能定理求機車啟動位移問題
【典例1】為抗擊疫情，全國人民齊心合力、眾志成城，一輛來自廈門的大貨車滿載蔬菜緊急馳援泉州。貨車質量為的貨車以的恒定功率由靜止開始運動，經時間速度達到最大速度，最終做勻速直線運動。求：（g取）。
（1）貨車所受到的摩擦力；
（2）貨車速度為時的加速度；
（3）貨車在加速運動過程中通過的位移。
【答案】（1）5000N；（2）；（3）
【解析】（1）因為當
時有最大速度，所以
（2）由題意可得，此時牽引力為
則由牛頓第二定律得
（3）由動能定理可得
解得
【典例2】某大學生研制的無人環保清潔船，只需要選定“智慧清潔”功能，就能輕松地將湖面上的樹枝、樹葉、塑料袋子等漂浮物撈進船體內，自主完成環保清潔任務。某次作業時，機載傳感器描繪出的速度時間圖像如圖所示，清潔船在t1時刻達到額定功率P=400kW，速度為=10m/s，此后清潔船以恒定功率運動。在 =15s時達到最大速度=20m/s，已知清潔船的質量為kg，清潔船在運動過程中所受阻力恒定不變。求：
（1）清潔船達到額定功率的時間；
（2）清潔船在0~時間內運動的位移大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設時刻清潔船的牽引力為F，清潔船所受的阻力為。
由題意得
由牛頓第二定律得
聯立解得
（2）設清潔船在0~t1時間內運動的位移為，~時間內運動的位移為。
由運動學公式得
解得
t1~t2 由動能定理可得：
又
聯立解得
所以，清潔船在0~t2時間內運動的位移大小為
練習1、額定功率為P=80kW的汽車，在某平直的公路上行駛，所受的恒定阻力f=4000N，經過時間t=15s速度達到最大，汽車的質量m=2×103kg，如果汽車從靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小為a=2m/s2。求：
（1）汽車的最大速度vm；
（2）勻加速運動的末速度v1；
（3）在15s內汽車運動的總路程s。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因為牽引力等于阻力時，速度最大，根據
汽車的最大速度
（2）根據牛頓第二定律得
解得
勻加速直線運動的末速度
（3）則勻加速直線運動的時間
汽車勻加速直線運動的位移
達到額定功率之后汽車做變加速運動，根據動能定理得
解得
則總路程
二、夯實小練
1、（多選）質量為m的物體，由靜止開始下落，由于阻力作用，下落的加速度為，在物體下落h的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．物體動能減少了 B．物體的動能增加了
C．物體的重力勢能減少了 D．物體克服阻力所做的功為
【答案】BCD
【解析】AB．根據牛頓第二定律根據動能定理，物體的動能增加了故A錯誤，B正確；C．物體重力做功，做正功，則物體的重力勢能減少了，故C正確；D．根據牛頓第二定律阻力大小為物體克服阻力所做的功為故D正確。
2、（多選）一質點做勻加速直線運動，在某段位移x后速度變為原來的2倍，緊接著在時間t內動能變為時間t初的4倍，則（　　）
A．質點的加速度為
B．質點的加速度為
C．運動位移x的初速度為
D．運動位移x的初速度為
【答案】AC
【解析】設質點做勻加速直線運動的初速度為，加速度為，在某段位移x后速度變為原來的2倍可得緊接著在時間t末的速度為時間t末的內動能變為時間t初的4倍，根據動能表達式可知聯立解得AC正確，BD錯誤。
3、如圖所示，質量為0.1 kg的小物塊在粗糙水平桌面上滑行4 m后以3.0 m/s的速度飛離桌面，最終落在水平地面上，已知物塊與桌面間的動摩擦因數為0.5，桌面高0.45 m，若不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，則(　　)
A.小物塊的初速度是5 m/s
B.小物塊的水平射程為1.2 m
C.小物塊在桌面上克服摩擦力做8 J的功
D.小物塊落地時的動能為0.9 J
【答案】D
【解析】小物塊在粗糙水平桌面上滑行時，由動能定理－μmgs＝mv2－mv02
得：v0＝7 m/s，Wf＝－μmgs＝－2 J，A、C錯誤；
物塊飛離桌面后做平拋運動，由h＝gt2，x＝vt得x＝0.9 m，B項錯誤；
由mgh＝Ek－mv2得，物塊落地時Ek＝0.9 J。
4、(多選)質量為m的汽車，發動機的功率恒為P，阻力恒為F1，牽引力為F，汽車由靜止開始，經過時間t行駛了位移s時，速度達到最大值vm，則發動機所做的功為(　　)
A.Pt B.F1s
C.mvm2 D.＋
【答案】AD
【解析】發動機的功率恒為P，經過時間t，發動機做的功為W＝Pt，A正確；當達到最大速度時，有P＝F1vm，得vm＝，整個過程中發動機做的功應等于克服阻力做的功與汽車獲得的動能之和，則W＝mvm2＋F1s＝＋，B、C錯誤，D正確.
5、如圖，豎直平面內的軌道Ⅰ和Ⅱ都由兩段細直桿連接而成，兩軌道長度相等。用相同的水平恒力將穿在軌道最低點B的靜止小球，分別沿Ⅰ和Ⅱ推至最高點A，所需時間分別為t1、t2；動能增量分別為ΔEk1、ΔEk2。假定球在經過軌道轉折點前后速度的大小不變，且球與Ⅰ、Ⅱ軌道間的動摩擦因數相等，則（　　）
A．ΔEk1>ΔEk2；t1>t2 B．ΔEk1＝ΔEk2；t1>t2
C．ΔEk1>ΔEk2；t1【答案】B
【解析】因為摩擦力做功
可知沿兩軌道運動，摩擦力做功相等，根據動能定理得
知兩種情況拉力做功相等，摩擦力做功相等，重力做功相等，則動能的變化量相等。
設物體的加速度a，由牛頓第二定律得
整理得
可知斜面與水平面之間的夾角越大，加速度越小，結合物體運動的軌跡，作出在兩個軌道上運動的速度時間圖線如圖所示∶
由于路程相等，則圖線與時間軸圍成的面積相等，由圖可知
.
6、滑雪是冬奧會的比賽項目之一。如圖所示為一簡化后的滑雪雪道示意圖，質量為的運動員從高處的a點沿傾斜雪道滑入水平雪道，兩雪道在b點平滑連接，運動員與兩雪道間的動摩擦因數相同，運動員在a、c兩點時的速度大小均為，長度與長度相等，運動員可視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度大小g取10，則運動員從a到c的運動過程中（　　）
A．運動員的動能始終保持不變
B．運動員在段克服摩擦力做功小于在段克服摩擦力做功
C．運動員在過程克服阻力做的功等于2001J
D．運動員經b點時的速度大小等于13
【答案】B
【解析】A．由題意知，在運動員從b運動到c的過程中，由于摩擦力做負功，動能在減少，選項A錯誤；
B．運動員在段正壓力小于段的正壓力，故運動員在段克服摩擦力做功小于在段克服摩擦力做功，即從a到b克服摩擦力做功
選項B正確；
C．運動員從a到c根據動能定理
可得，全程克服阻力做功
因在段、段摩擦力做功不同，故運動員在過程克服阻力做的功一定不等于
選項C錯誤；
D．設運動員在b點的速度為，根據動能定理有
所以
。
7、在斜面上O點，將質量相等的甲乙兩個小球分別以v和的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上。甲球落至斜面時的動能與乙球落至斜面時的動能之比為（ ）
A．3:1 B．9:1 C．6:1 D．27:1
【答案】B
【解析】設斜面傾角為，小球落在斜面上速度方向偏向角為，甲球以速度拋出，落在斜面上，如圖所示
根據平拋運動的推論可得
所以甲、乙兩個小球落在斜面上時速度偏向角相等；對甲有
對乙有
聯立可得
由于甲、乙兩球質量相等，所以甲球落至斜面時的動能與乙球落至斜面時的動能之比為
。
8、（多選）如圖所示，水平傳送帶以大小為v的速度沿逆時針勻速轉動，一個物塊也以大小為v的速度從傳送帶的左端滑上傳送帶，并剛好能從傳送帶右端滑離，物塊在傳送帶上運動的時間為t。若將物塊滑上傳送帶的速度減小為，則下列判斷正確的是（　　）
A．物塊能滑到傳送帶中間的位置 B．物塊能運動到傳送帶的最右端
C．物塊在傳送帶上一直做勻變速運動 D．為物塊在傳送帶上運動的時間也為t
【答案】CD
【解析】A B．設左右兩端的距離為L，物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，物塊的質量為m，則加速度為
物塊以大小為v的速度從傳送帶的左端滑上傳送帶，根據動能定理可得：
若將物塊滑上傳送帶的速度減小為，則
解得：
故物塊不能滑到傳送帶中間的位置，也不能運動到傳送帶的最右端。AB錯誤；
C．物塊在傳送帶上先向右減速，加速度為μg，再反向加速，加速度也為μg，故物塊一直做勻變速運動，C正確；
D．物塊以大小為v的速度從傳送帶的左端滑上傳送帶，運動時間
若將物塊滑上傳送帶的速度減小為，物塊在傳送帶上運動的時間也為
。
9、如圖所示，一質量為m的可視為質點的小球用長為L的輕質細線懸于O點，與O點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，。在A點給小球一個水平向左的初速度，發現小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點B。已知重力加速度為g。（設小球在運動過程中細線不會被拉斷）
（1）若不計空氣阻力，小球到達B點時的速率為多大？
（2）若不計空氣阻力，小球初速度，試判斷小球能否到達B點？若能到達，求在B點時細線受到小球拉力的大小；
（3）若空氣阻力不能忽略，且在給小球向左的初速度時小球恰能到達B點，求這一過程中空氣阻力對小球所做的功。
【答案】（1）；（2）能達到，；（3）
【解析】（1）小球剛好到達B點時，有
解得：
（2）設小球能從A運動到B，則由機械能守恒定律，有：
解得：
所以小球能夠到達B點
在B點，對小球有：
則：
故由牛頓第三定律可知細線受小球的拉力
（3）設小球從A運動到B的過程中空氣阻力做功為，則由動能定理可知：
解得：
10、某滑雪場的娛樂項目如圖所示，段可認為是一足夠長的光滑斜面，斜面的傾角為；段是滑行區，長度，與滑雪板間的動摩擦因數為，段是加速區，與滑雪板間的動摩擦因數。某次對一質量為（人和滑雪板的總質量）的滑雪者從段上的某位置施加一恒定水平推力，經過恰好以速度經過點，同時撤去推力，在點滑上斜面，再從斜面上滑下。已知滑雪者經過點時的速率不變，重力加速度取。求：
（1）滑雪者加速過程施加的水平推力多大；
（2）滑雪者從踏上點開始，經過多長時間第一次經過點；
（3）滑雪者最后停止的位置與點間的距離。
【答案】(1) 350N；(2)1s；(3) 11.8m
【解析】(1)滑雪者在CD段的加速度
由牛頓第二定律
解得推力
F=350N
(2)滑雪者在CB段運動時，由牛頓第二定律
解得
a2=2m/s2
設滑雪者從踏上C點開始至第一次經過B點所用時間為t2，則
解得
t2=ls
(3)滑雪者經過B點的速度
vB=v-a2t2=8m/s
設滑雪者返回經過C點的速度為vC，則滑雪者從B離開至C點過程，由動能定理
解得
故此后滑雪者在CD上運動直到停止；
設滑雪者離開C后至停下發生的位移為x，此過程由動能定理
解得
x=2.8m
故滑雪者最后停止的位置與B點間的距離
d=l+x=11.8m
11、“滑草”是一項新的健康娛樂運動。“滑草”運動的示意圖如圖所示，坐在墊板上的小孩從高h=10m的傾斜滑道頂端由靜止下滑，到達底端時速度大小v=4m/s，進入水平滑道時速度大小不變，最終停在水平滑道上。已知小孩和墊板的總質量m=30kg，墊板與水平滑道的動摩擦因數，取。求：
（1）在傾斜滑道上滑動時摩擦力做的功；
（2）小孩在水平滑道上滑行的距離s。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在小孩從傾斜滑道頂端滑到底端的過程中，由動能定理得
解得
（2）小孩在水平滑道上滑行的過程中，由動能定理得
解得
12、有一長為L的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質量為m的小球，現使小球恰好能在豎直面內做完整的圓周運動，如圖所示，已知水平地面上的C點位于O點正下方，A是軌道最高點，B是軌道最低點，AOBC四個點在同一豎直線上且AC兩點的距離為3L，不計空氣阻力，重力加速度為g。
（1）求小球恰好通過最高點A點時的速度vA；
（2）若小球某次通過最低點B點時，細線突然斷裂時，小球的速度是多少？
（3）求小球落地點到C點的距離。
【答案】（1），方向水平向左；（2），方向水平向右；（3）
【解析】（1）對小球在A點，根據牛頓第二定律可得
解得
方向水平向左
（2）從A到B對小球由動能定理
解得
方向水平向右
（3）對小球從B點到落地的過程中，做平拋運動，則有
聯立解得
13、如圖所示，A、B兩個材料相同的物體用長為L且不可伸長的水平細線連接在一起放在水平面上，在水平力F作用下以速度v做勻速直線運動，A的質量是B的2倍，某一瞬間細線突然斷裂，保持F不變，仍拉A繼續運動距離s0后再撤去，則當A、B都停止運動時，A和B相距多遠？
【答案】L＋s0
【解析】設物體與水平面間的動摩擦因數為μ，物體B的質量為m，B從細線斷裂到停止運動前進s2，A從細線斷裂到停止運動前進s1，對B由動能定理有
－μmgs2＝－mv2
對A由動能定理有
Fs0－μ·2mgs1＝0－×2mv2
細線斷裂前，系統處于平衡狀態，有F＝μ·3mg
聯立以上各式可得s1－s2＝s0
當A、B都停止運動時，A、B兩物體相距Δs＝L＋s1－s2＝L＋s0
三、培優練習
1、（多選）一物塊以初速度自固定斜面底端沿斜面向上運動，一段時間后回到斜面底端。該物體的動能隨位移x的變化關系如圖所示，圖中、、均己知。根據圖中信息可以求出的物理量有（　　）
A．重力加速度大小 B．物體所受滑動摩擦力的大小
C．斜面的傾角 D．沿斜面上滑的時間
【答案】BD
【解析】ABC．由動能定義式得，則可求解質量m；上滑時，由動能定理
下滑時，由動能定理
x0為上滑的最遠距離；由圖像的斜率可知
，
兩式相加可得
相減可知
即可求解gsinθ和所受滑動摩擦力f的大小，但重力加速度大小、斜面的傾角不能求出，故AC錯誤，B正確；
D．根據牛頓第二定律和運動學關系得
，
故可求解沿斜面上滑的時間。
2、（多選）物體沿直線運動的v-t關系如圖所示，已知在第1秒內合外力對物體做的功為W，則（　　）
A．從第1秒末到第3秒末合外力做功為4W
B．從第3秒末到第4秒末合外力做功為-0.75W
C．從第5秒末到第7秒末合外力做功為W
D．從第3秒末到第5秒末合外力做功為-2W
【答案】BC
【解析】A．物體在第1秒末到第3秒末做勻速直線運動，合力為零，做功為零，A錯誤；B．從第3秒末到第4秒末動能變化量是負值，4秒末速度為 ，即大小等于第1秒內動能的變化量的，則合力做功為-0.75W，B正確；C．從第5秒末到第7秒末動能的變化量與第1秒內動能的變化量相同，合力做功相同，即為W，C正確D．從第3秒末到第5秒末動能的變化量與第1秒內動能的變化量相反，合力的功相反，等于-W，D錯誤。
3、（多選）如圖所示，水平粗糙傳送帶以恒定速度v0順時針勻速傳送，質量為m的正方形物體abcd置于傳送帶上，在傳送帶所在區域有一以PQ與MN為邊界的特定區間，當abcd在進入與離開該區間的過程中就會受到水平向左的變力F的作用，且當abcd進入該區間的過程中F的變化規律與abcd離開該區域的過程中F的變化規律相同，PQ、MN與傳送帶垂直物體在圖示位置開始計時，運動過程中ab邊始終與PQ平行，其速度與時間的關系如圖所示，重力加速度為g，正方體物體的邊長為l則下列說法中正確的是（　　）
A．邊界PQ與MN的距離為
B．物體與傳送帶間的動摩擦因數為
C．時間內，克服變力F做的功為
D．從零時刻開始，傳送帶因傳送物體而多做的功為
【答案】CD
【解析】A．根據題意可知，邊界PQ與MN的距離為物體在時間內的位移之和，物體在時間內的位移為物體的邊長，則有
根據圖像，可得物體在時間內的位移
物體在時間內的位移
可得邊界PQ與MN的距離為
故A錯誤；
B．物體在時間內做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律可得
由用像可得
聯立可得
所以選項B錯誤；
C．時間內，克服變力F做的功為
解得
故C正確：
D．從零時刻開始，傳送帶因傳送物體而多做的功為傳送帶克服摩擦力所做的功，時間內，克服摩擦力做的功為
時間內，克服摩擦力做的功與在時間內克服摩擦力做的功一樣多，故
。
4、（多選）質量m=200kg的小型電動汽車在平直的公路上由靜止啟動，圖像甲表示汽車運動的速度與時間的關系，圖像乙表示汽車牽引力的功率與時間的關系。設汽車在運動過程中阻力不變，在18s末汽車的速度恰好達到最大。則下列說法正確的是（　　）
A．汽車受到的阻力200N
B．汽車的最大牽引力為800N
C．8s~18s過程中汽車牽引力做的功為8×104J
汽車在做變加速運動過程中的位移大小為95.5m
【答案】CD
【解析】【詳解】A．當牽引力等于阻力時，速度達到最大值，則有
故A錯誤；B．汽車做勻加速運動的牽引力最大，則有故B錯誤；
C．8s-18s過程中汽車牽引力已達到最大功率，所以牽引力做的功為W=Pt=8×104J
故C正確；D．8s~18s過程中，根據動能定理得解得s=95.5m。
5、某城市廣場噴泉的噴嘴橫截面為S,用于給噴管噴水的電動機的輸出功率為P,已知水的密度為ρ,重力加速度為g,不計空氣阻力,則噴泉噴出的水柱高度為 (　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設噴泉噴出的水柱高度為h,則水離開噴嘴的速度為v=,水離開噴嘴很短一段時間Δt內水柱的質量為m=ρ·vΔtS,根據動能定理可得PΔt=mv2,解得P=ρghS,則h=,選項D正確,ABC錯誤。
6、如圖所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點向右做勻減速運動，到達A孔進入半徑R＝0.3 m的豎直放置的光滑圓軌道，當擺球進入圓軌道立即關閉A孔．已知擺線長L＝2 m，θ＝53°，小球質量為m＝0.5 kg，D點與A孔的水平距離s＝2 m，g取10 m/s2.(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)求擺線能承受的最大拉力為多大；
(2)要使擺球能進入圓軌道并且不脫離軌道，求擺球與粗糙水平面間的動摩擦因數μ的范圍．
【答案】(1)9 N　(2)0.25≤μ≤0.4或者μ≤0.025
【解析】(1)當擺球由C到D運動，根據動能定理有mg(L－Lcos θ)＝mvD2在D點，由牛頓第二定律可得Fm－mg＝m，解得Fm＝9 N
(2)小球不脫離圓軌道分兩種情況
①要保證小球能到達A孔，設小球到達A孔的速度恰好為零，由動能定理可得－μ1mgs＝0－mvD2，可得μ1＝0.4
若進入A孔的速度較小，那么小球將會在圓心以下做往返運動，不脫離軌道，其臨界情況為到達圓心等高處速度為零，由動能定理可得－mgR＝0－mvA2由動能定理可得－μ2mgs＝mvA2－mvD2，可求得μ2＝0.25
②若小球能過圓軌道的最高點則不會脫離軌道，當小球恰好到達最高點時，在圓軌道的最高點，由牛頓第二定律可得mg＝m，由動能定理可得－μ3mgs－2mgR＝mv2－mvD2，解得μ3＝0.025
綜上所述，動摩擦因數μ的范圍為0.25≤μ≤0.4或者μ≤0.025.
7、如圖所示，AB為傾角θ＝37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙．BP為圓心角等于143°、半徑R＝1 m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點，P、O兩點在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點，另一自由端在斜面上C點處，現有一質量m＝2 kg的物塊在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點后(不拴接)由靜止釋放，物塊經過C點后，從C點運動到B點過程中的位移與時間的關系為x＝12t－4t2(式中x單位是m，t單位是s)，假設物塊第一次經過B點后恰能到達P點，(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)若CD＝1 m，物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功；
(2)B、C兩點間的距離；
(3)若BC部分光滑，把物塊仍然壓縮到D點由靜止釋放，求物塊運動到P點時受到軌道的壓力大小．
【答案】(1)156 J　(2)6.125 m　(3)49 N
【解析】(1)由x＝12t－4t2知，物塊在C點速度為v0＝12 m/s加速度大小a＝8 m/s2
設物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功為W，由動能定理得W－mgsin 37°·CD＝mv02，代入數據得W＝156 J.
(2)物塊在CB段，根據牛頓第二定律，物塊所受合力F＝ma＝16 N，物塊在P點的速度滿足mg＝，從C到P的過程，由動能定理得－Fxm－mgR(1＋cos 37°)＝mvP2－mv02，解得xm＝6.125 m.
(3)物塊從C到P的過程中，由動能定理得－mgxmsin 37°－mgR(1＋cos 37°)＝mvP′2－mv02物塊在P點時滿足FN＋mg＝聯立以上兩式得FN＝49 N.
8、如圖所示，一小球從A點以某一水平向右的初速度出發，沿水平直線軌道運動到B點后，進入半徑R＝10 cm的光滑豎直圓形軌道，圓形軌道間不相互重疊，即小球離開圓形軌道后可繼續向C點運動，C點右側有一壕溝，C、D兩點的豎直高度h＝0.8 m，水平距離s＝1.2 m，水平軌道AB長為L1＝2.75 m，BC長為L2＝3.5 m，小球與水平軌道間的動摩擦因數μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2.
(1)若小球恰能通過圓形軌道的最高點，求小球在A點的初速度大小；
(2)小球既能通過圓形軌道的最高點，又不掉進壕溝，求小球在A點初速度大小的范圍．
【答案】(1)4 m/s　(2)4 m/s≤vA≤5 m/s或vA≥ m/s
【解析】(1)小球恰好通過圓形軌道的最高點時，根據牛頓第二定律得mg＝從A點到圓形軌道的最高點的過程中，根據動能定理得：－μmgL1－mg×2R＝mv12－mvA12解得小球在A點的初速度vA1＝4 m/s
(2)若恰好運動到C點時，速度為零，則從A到C的過程中，根據動能定理得－μmg(L1＋L2)＝0－mvA22
解得小球在A點的初速度vA2＝5 m/s因此若小球停在BC段，則滿足4 m/s≤vA≤5 m/s
若恰好能越過壕溝，則從C到D做平拋運動h＝gt2 s＝vt
從A到C的過程中，根據動能定理得－μmg(L1＋L2)＝mv2－mvA32解得小球在A點的初速度vA3＝ m/s
因此若小球能越過壕溝，則滿足vA≥ m/s.
9、如圖所示，水平面OA與豎直平面內的半徑的半圓軌道AB平滑連接，圓弧的最高點B恰好位于水平傳送帶的右端上方，傳送帶的左邊C點與一半徑的圓弧CD平滑連接，圓弧的D點與傾角、足夠長的斜面連接。在水平面A點的左邊有一輕質彈簧，彈簧左端固定，原長時右端恰好位于A點。現壓縮彈簧，將一質量（可視為質點）的小物塊彈出，物塊沿圓弧上升到B點后平滑地滑上傳送帶，此時傳送帶以速度順時針轉動。物塊滑到傳送帶最左邊C點時的速度為，已知物塊與傳送帶之間的動摩擦因數，與斜面間的動摩擦因數，其余軌道均視作光滑，傳送帶BC長，取，。求：
（1）物塊經過圓弧最高點B時（尚未滑上傳送帶），對軌道的彈力大小；
（2）若傳送帶以的速度逆時針轉，物塊在斜面上運動到達的最高點與D點的距離。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）B到C，由動能定理有
解得
在B點由牛頓第二定理有
解得
由牛頓第三定律得，物塊經過圓弧最高點B時對軌道的彈力大小
（2）因為傳送帶的速度小于，所以傳送帶逆時針轉動時，物體減速到C點速度仍為。設在斜面上滑行的最遠距離為x，則
解得
10、如圖所示為一傳送帶裝置模型，固定斜面的傾角為，底端經一長度可忽略的光滑圓弧與足夠長的水平傳送帶相連接，可視為質點的物體質量，從高的斜面上由靜止開始下滑，它與斜面的動摩擦因數，與水平傳送帶的動摩擦因數，已知傳送帶以的速度逆時針勻速轉動，，，取，不計空氣阻力。求：
（1）物體從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中與傳送帶間的摩擦生熱值；
（2）物體第一次離開傳送帶后滑上斜面，它在斜面上能達到的最大高度。
【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）設物體第一次滑到底端的速度為，根據動能定理有
解得
在傳送帶上物體的加速度大小為
物體在傳送帶上向右運動到速度為0所用時間為
由于
由運動的對稱性可知返回時間也為，則從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶經歷的時間為
物體的位移為0，物體相對傳送帶的位移即傳送帶的位移為
則摩擦產生的熱量為
（2）物體第一次返回到傳送帶左端的速度為
物體以速度從底端沖上斜面達最大高度，設最大高度為，由動能定理得
解得
11、超級高鐵是一種以“真空鋼管運輸”為理論核心的交通工具，具有超高速、高安全、低能耗、噪聲小、污染小等特點。一質量為m的超級高鐵進行測試，先由靜止開始做勻加速直線運動，達到最大速度后勻速運動一段時間，再做勻減速直線運動，已知加速和減速過程中加速度大小相等，在加速過程開始的前t內位移為x1，減速過程開始的前t內位移為x2，運動過程所受阻力恒為f，求：
（1）測試過程中超級高鐵的最大速度vm；
（2）由靜止開始加速到最大速度的過程中，牽引力所做的功W。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）超級高鐵在加速過程開始的前t內
超級高鐵在減速過程開始的前t內
且
解得
（2）設超級高鐵在加速過程的總位移為x
在加速過程中，由動能定理得
解得
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