資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.4 機械能守恒定律
一、考點梳理
考點一、機械能守恒的理解與判斷
1.對機械能守恒條件的理解
(1)只受重力作用，例如做平拋運動的物體機械能守恒。
(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數和為零。
(3)除重力外，只有系統內的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢能減少量，那么系統的機械能守恒。注意：并非物體的機械能守恒，如與彈簧相連的小球下擺的過程機械能減少。
2．機械能是否守恒的三種判斷方法
(1)利用做功即守恒條件判斷。
(2)利用機械能的定義判斷：若物體或系統的動能、勢能之和保持不變，則機械能守恒。
(3)利用能量轉化判斷：若物體或系統與外界沒有能量交換，內部也沒有機械能與其他形式能的轉化，則機械能守恒。
【典例1】（多選）如圖所示,下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是(　 　)
A．(甲)圖中,物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒
B．(乙)圖中,A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑,物體B在下滑過程中機械能守恒
C．(丙)圖中，不計任何阻力和定滑輪質量時A加速下落，B加速上升過程中，A、B系統機械能守恒
D．(丁)圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒
【答案】CD
【解析】在物體A壓縮彈簧的過程中，彈簧和物體A組成的系統，只有重力和彈力做功，系統機械能守恒．對于A，由于彈簧的彈性勢能在增加，則A的機械能減小．故A錯誤．物塊B沿A下滑的過程中，A要向后退，A、B組成的系統，只有重力做功，機械能守恒，由于A的機械能增大，所以B的機械能不守恒，在減?。蔅錯誤．對A、B組成的系統，不計空氣阻力，只有重力做功，A、B組成的系統機械能守恒．故C正確．小球在做圓錐擺的過程中，重力勢能和動能都不變，機械能守恒．故D正確．
練習1、（多選）如圖，小球自a點由靜止自由下落，到b點時與彈簧接觸，到c點時彈簧被壓縮到最短，若不計彈簧質量和空氣阻力，在小球由b→c的運動過程中，下列說法正確的是（　?。?br/>A．小球和彈簧構成的系統總機械能守恒
B．小球的重力勢能隨時間先減少后增加
C．小球在b點時動能最大
D．小球動能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量
【答案】AD
【解析】A．小球由b→c運動過程中，對于小球和彈簧組成的系統，由于只有重力和彈簧的彈力，所以系統總機械能守恒，故A正確；
B．小球不斷下降，重力勢能不斷減小，故B錯誤；
C．小球從b到c過程，先加速后減速，故動能先變大后變小，動能最大的位置在bc之間的某點，故C錯誤；
D．小球從b到c過程中，重力勢能、動能、彈性勢能相互轉化，機械能總量守恒，故動能和重力勢能的減少量等于彈性勢能的增加量，即小球動能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量，故D正確。
練習2、在如圖所示的物理過程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°釋放后繞光滑支點擺動；乙圖為末端固定有小球的輕質直角架，釋放后繞通過直角頂點的固定軸O無摩擦轉動；丙圖為置于光滑水平面上的A、B兩小車，B靜止，A獲得一向右的初速度后向右運動，某時刻連接兩車的細繩繃緊，然后帶動B車運動；丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車，把用細繩懸掛的小球從圖示位置釋放，小球開始擺動．則關于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計)，下列判斷中正確的是(　　)
A．甲圖中小球機械能守恒
B．乙圖中小球A的機械能守恒
C．丙圖中兩車組成的系統機械能守恒
D．丁圖中小球的機械能守恒
【答案】A
【解析】A、在圖甲所示過程中，只有重力做功，小球的機械能守恒，故A正確；
B、圖乙所示運動過程中，A、B兩球組成的系統動量守恒，A球的機械能不守恒，故B錯誤；
C、丙圖中兩車組成的系統在繩子被拉直的瞬間，系統機械能有損失，系統機械能不守恒，故C錯誤；
D、丁圖中小球和小車組成的系統機械能守恒，小球的機械能不守恒，故D錯誤；
考點二、單個物體的機械能守恒
應用機械能守恒定律的一般步驟
【典例1】忽略空氣阻力，下列物體運動過程中滿足機械能守恒的是(　　)
A．電梯勻速下降
B．物體由光滑斜面頂端滑到斜面底端
C．物體沿著斜面勻速下滑
D．拉著物體沿光滑斜面勻速上升
【答案】B
【解析】電梯勻速下降，說明電梯處于受力平衡狀態，并不是只有重力做功，機械能不守恒，所以A錯誤；物體在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物體運動的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，機械能守恒，所以B正確；物體沿著粗糙斜面勻速下滑，物體處于受力平衡狀態，摩擦力和重力都要做功，機械能不守恒，所以C錯誤；拉著物體沿光滑斜面勻速上升，物體處于受力平衡狀態，拉力和重力都要做功，機械能不守恒，所以D錯誤．
【典例2】(多選)神舟號載人飛船從發射至返回的過程中，以下哪些階段返回艙的機械能是守恒的(　　)
A．飛船升空的階段
B．只在地球引力作用下，返回艙沿橢圓軌道繞地球運行的階段
C．只在地球引力作用下，返回艙飛向地球的階段
D．臨近地面時返回艙減速下降的階段
【答案】BC
【解析】飛船升空的階段，推力做正功，機械能增加，故A錯誤；飛船在橢圓軌道上繞地球運行的階段，只受重力作用，重力勢能和動能之和保持不變，故B正確；返回艙在大氣層外向著地球做無動力飛行階段，只有重力做功，重力勢能減小，動能增加，機械能總量守恒，故C正確；降落傘張開后，返回艙下降的階段，克服空氣阻力做功，故機械能減小，故D錯誤。
練習1、如圖所示，一輕繩的一端系在固定粗糙斜面上的O點，另一端系一小球。給小球一足夠大的初速度，使小球在斜面上做圓周運動。在此過程中(　　)
A．小球的機械能守恒
B．重力對小球不做功
C．輕繩的張力對小球不做功
D．在任何一段時間內，小球克服摩擦力所做的功總是等于小球動能的減少量
【答案】C
【解析】斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、輕繩張力的作用，由于除重力做功外，支持力和輕繩張力總是與運動方向垂直，故不做功，摩擦力做負功，機械能減少，A、B錯誤，C正確；小球動能的變化量等于合外力對其做的功，即重力與摩擦力做功的代數和，D錯誤。
練習2、如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直．一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關，此距離最大時對應的軌道半徑為(重力加速度大小為g)(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設小物塊滑到軌道上端的速度大小為v1，小物塊由最低點到最高點的過程，由機械能守恒定律有2mgr＋mv12＝mv2
小物塊做平拋運動時，設落地點到軌道下端的距離為x，則有x＝v1t，
2r＝gt2，聯立以上式子解得：x＝2，
當r＝時，x最大，故選項B正確．
練習3、如圖所示，光滑水平軌道AB與光滑半圓形軌道BC在B點相切連接，半圓軌道半徑為R，軌道AB、BC在同一豎直平面內．一質量為m的物塊在A處壓縮彈簧，并由靜止釋放，物塊恰好能通過半圓軌道的最高點C.已知物塊在到達B點之前已經與彈簧分離，重力加速度為g.求：
(1)物塊由C點平拋出去后在水平軌道上的落點到B點的距離；
(2)物塊在B點時對半圓軌道的壓力大??；
(3)物塊在A點時彈簧的彈性勢能．
【答案】(1)2R　(2)6mg　(3)mgR
【解析】(1)因為物塊恰好能通過C點，則有：mg＝m
又x＝vCt,2R＝gt2
解得x＝2R
即物塊在水平軌道上的落點到B點的距離為2R；
(2)物塊由B到C過程中機械能守恒，
則有mvB2＝2mgR＋mvC2
設物塊在B點時受到的半圓軌道的支持力大小為FN，
則有：FN－mg＝m，
解得FN＝6mg
由牛頓第三定律可知，物塊在B點時對半圓軌道的壓力大小為FN′＝FN＝6mg.
(3)由機械能守恒定律可知，物塊在A點時彈簧的彈性勢能為
Ep＝2mgR＋mvC2，解得Ep＝mgR.
考點三、機械能守恒定律在連接體問題中的應用
機械能守恒定律理解的三種形式：
1．守恒觀點
(1)表達式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2．
(2)意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能．
(3)注意：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面．
2．轉化觀點
(1)表達式：ΔEk＝－ΔEp．
(2)意義：系統的機械能守恒時，系統增加(或減少)的動能等于系統減少(或增加)的勢能．
3．轉移觀點
(1)表達式：ΔEA增＝ΔEB減．
(2)意義：若系統由A、B兩部分組成，當系統的機械能守恒時，則A部分機械能的增加量等于B部分機械能的減少量．
類型一：速率相等的連接體模型
1．如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放B而使A、B運動的過程中，A、B的速度均沿繩子方向，在相等時間內A、B運動的路程相等，則A、B的速率相等。
2．判斷系統的機械能是否守恒不從做功角度判斷，而從能量轉化的角度判斷，即：如果系統中只有動能和勢能相互轉化，系統的機械能守恒。這類題目的典型特點是系統不受摩擦力作用。
【典例1】如圖所示，a、b兩物塊質量分別為m、2m，用不計質量的細繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側；不計滑輪質量和一切摩擦。開始時，a、b兩物塊距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后突然由靜止釋放，直到a、b物塊間高度差為h。在此過程中，下列說法正確的是（　?。?br/>A．物塊a的機械能逐漸增加
B．物塊b機械能減少了
C．物塊b重力勢能的減少量等于細繩拉力對它所做的功
D．物塊b重力勢能的減少量小于其動能的增加量
【答案】AB
【解析】A．a上升的過程中，動能增加了，重力勢能也增加了，因此機械能增加了，選項A正確。
B．a，b物塊間高度差為h，說明a上升了，b下降，系統減少的重力勢能等于系統增加的動能
所以物塊b機械能減少了，選項B正確。
C．根據功能關系可知物塊b機械能的減少量等于細繩拉力對它所做的功，選項C錯誤。
D．物塊b重力勢能的減少量是其動能增加量與物塊a機械能增加量的和，選項D錯誤。
【典例2】如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C放在水平地面上．現用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，同時保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行．已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計．開始時整個系統處于靜止狀態；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，在此過程中，求：
(1)斜面的傾角α；
(2)彈簧恢復原長時，細線中的拉力大小F0；
(3)A沿斜面下滑的速度最大值vm.
【答案】(1)30°　(2)mg　(3)2g
【解析】(1)A速度最大時，加速度為零，
對A有4mgsin α＝F，
此時B的加速度也為零，C恰好離開地面，
對B、C整體有F＝2mg，
解得sin α＝，即α＝30°.
(2)設當彈簧恢復原長時，A沿斜面向下運動的加速度大小為a，
對A有4mgsin α－F0＝4ma，
對B有F0－mg＝ma，
解得F0＝mg.
(3)一開始彈簧處于壓縮狀態，有mg＝k·Δx1，
壓縮量Δx1＝，
C恰好離開地面時，彈簧處于伸長狀態，有mg＝k·Δx2，
伸長量Δx2＝Δx1＝，
因而初、末狀態彈簧的彈性勢能相等，從釋放A球至C球恰好離開地面的過程，對整個系統根據機械能守恒定律有
4mgsin α·(Δx1＋Δx2)－mg(Δx1＋Δx2)＝(4m＋m)vm2，
解得vm＝＝2g.
練習1、質量均為m的物體A和B分別系在一根不計質量的細繩兩端，繩子跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時把物體B拉到斜面底端，這時物體A離地面的高度為0.8 m，如圖所示．若摩擦力均不計，從靜止開始放手讓它們運動．(斜面足夠長，g取10 m/s2)求：
(1)物體A著地時的速度大小；
(2)物體A著地后物體B繼續沿斜面上滑的最大距離．
【答案】(1)2 m/s　(2)0.4 m
【解析】(1)以地面為參考平面，
A、B系統機械能守恒，
根據機械能守恒定律有mgh＝mghsin 30°＋mvA2＋mvB2
因為vA＝vB，
所以vA＝vB＝2 m/s.
(2)A著地后，B機械能守恒，
則B上升到最大高度過程中，
有mvB2＝mgΔssin 30°
解得Δs＝0.4 m.
類型二：角速度相等的連接體模型
1．如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放后A、B在豎直平面內繞O點的軸轉動，在轉動的過程中相等時間內A、B轉過的角度相等，則A、B轉動的角速度相等。
2．系統機械能守恒的特點
(1)一個物體的機械能增加，另一個物體的機械能必然減少，機械能通過內力做功實現物體間的轉移。
(2)內力對一個物體做正功，必然對另外一個物體做負功，且二者代數和為零。
【典例1】質量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質桿固定連接，桿長為L，在離P球處有一個光滑固定軸O，如圖所示。現把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低位置時，求：
(1)小球P的速度大小。
(2)在此過程中小球P機械能的變化量。
【答案】(1)　(2)增加mgL
【解析】(1)兩球和桿組成的系統機械能守恒，設小球Q擺到最低位置時P球的速度為v，由于P、Q兩球的角速度相等，Q球運動半徑是P球運動半徑的兩倍，故Q球的速度為2v。由機械能守恒定律得
2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2，
解得v＝。
(2)小球P機械能增加量
ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL。
【典例2】一長度為2R的輕質細桿兩端分別固定質量為m和2m小球M和N，兩小球可視為質點，細桿的中點處有一軸，細桿可繞其在豎直平面內無摩擦地轉動．開始細桿呈豎直狀態，N在最高點，如圖所示，當裝置受到很小擾動后，細桿開始繞過中點的軸轉動，則在球N轉動到最低點的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．N的重力勢能減小量等于M的重力勢能增加量
B．運動過程中兩球的最大速度均為
C．細桿對N做的功的絕對值大于細桿對M做的功的絕對值
D．細桿對N做的功為
【答案】B
【解析】A．由于M、N的質量不相等，所以重力勢能的變化量也不相等，故A錯誤；
B．在最低點速度最大,根據系統機械能守恒,有
解得
故B正確；
C．對兩個球系統,重力和細桿的彈力做功,只有重力勢能和動能相互轉化,機械能守恒,故細桿對兩個球做功的代數和為零,即細桿對N做的功的絕對值等于細桿對M做的功的絕對值,故C錯誤;
D．對球N,根據動能定理,有:
解得：
故D錯誤；
練習1、（多選）一質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為m和2m的小球A和B.支架的兩直角邊長度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，如圖9所示．開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，重力加速度為g，則(　　)
A．A球的最大速度為2
B．A球的速度最大時，兩小球的總重力勢能最小
C．A球第一次轉動到與豎直方向的夾角為45°時，A球的速度大小為
D．A、B兩球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
【答案】BC
【解析】由機械能守恒可知，A球的速度最大時，二者的動能最大，此時兩球總重力勢能最小，所以B正確；根據題意知無論何時兩球的角速度均相同，線速度大小之比均為vA∶vB＝ω·2l∶ωl＝2∶1，故D錯誤；當OA與豎直方向的夾角為θ時，由機械能守恒得：mg·2lcos θ－2mg·l(1－sin θ)＝mvA2＋·2mvB2，解得：vA2＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由數學知識知，當θ＝45°時，sin θ＋cos θ有最大值，最大值為vA＝，所以A錯誤，C正確．
類型三：分速度大小相等的連接體模型
1．如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放后A、B運動的過程中，A、B的速度并非均沿繩子方向，在相等時間內A、B運動的路程不相等，則A、B的速度大小不相等，但二者在沿著繩子方向的分速度大小相等。
2．列系統機械能守恒的兩種思路
(1)系統動能的減少(增加)等于重力勢能的增加(減少)。
(2)一個物體機械能的減少等于另一個物體機械能的增加。
【典例1】如圖，滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動．不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g，則(　　)
A．a落地前，輕桿對b一直做正功
B．a落地時速度大小為
C．a下落過程中，其加速度大小始終不大于g
D．a落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg
【答案】D
【解析】當a到達底端時，b的速度為零，b的速度在整個過程中先增大后減小，動能先增大后減小，所以輕桿對b先做正功，后做負功，A錯誤；a運動到最低點時，b的速度為零，根據系統機械能守恒得：mgh＝mvA2，解得vA＝，B錯誤；b的速度在整個過程中先增大后減小，桿對b的作用力先是動力后是阻力，所以桿對a的作用力就先是阻力后是動力，所以在b減速的過程中，桿對a是斜向下的拉力，此時a的加速度大于重力加速度，C錯誤；a、b及桿系統的機械能守恒，當a的機械能最小時，b的速度最大，此時b受到桿的推力為零，b只受到重力和支持力的作用，結合牛頓第三定律可知，b對地面的壓力大小為mg，D正確．
【典例2】如圖所示，質量為m的小環(可視為質點)套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長且不可伸長的輕繩一端與小環相連，另一端跨過光滑的定滑輪與質量為M的物塊相連，已知M＝2m.與定滑輪等高的A點和定滑輪之間的距離為d＝3 m，定滑輪大小及質量可忽略．現將小環從A點由靜止釋放，小環運動到C點速度為0，重力加速度取g＝10 m/s2，則下列說法正確的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．A、C間距離為4 m
B．小環最終靜止在C點
C．小環下落過程中減少的重力勢能始終等于物塊增加的機械能
D．當小環下滑至繩與桿的夾角為60°時，小環與物塊的動能之比為2∶1
【答案】AD
【解析】小環運動到C點時，對系統，由機械能守恒得：mgLAC＝Mg(－d)，解得：LAC＝4 m，故A正確；假設小環最終靜止在C點，則繩中的拉力大小等于2mg，在C點對小環有：FT＝＝mg≠2mg，所以假設不成立，小環不能靜止，故B錯誤；由機械能守恒可知，小環下落過程中減少的重力勢能轉化為物塊增加的機械能和小環增加的動能，故C錯誤；將小環的速度沿繩和垂直繩方向分解，沿繩方向的速度即為物塊的速度vM＝vmcos 60°，由Ek＝mv2可知，小環與物塊的動能之比為2∶1，故D正確．
故選AD．
練習1、如圖所示，一個半徑為R的半球形碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口光滑．一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態時，小球A與O點的連線與水平線夾角為60°．
(1)求小球A與B的質量比：；
(2)現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球總的重力勢能改變量；
(3)在(2)條件下，當A球滑到碗底時，求B球的速度大小．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1) 設繩的張力為T，對A球進行受力分析，有
對B球進行受力分析，有可解得：
(2) A球的重力勢能改變量為
B兩球的重力勢能改變量為
所以A、B兩球總的重力勢能改變量為
(3) 當A球滑到碗底時，設A、B兩球的速度分別為、，則
⑴
根據A、B兩球總機械能守恒，有⑵
即⑶
聯立以上三式，解得：（或或）
練習2、如圖所示，跨過同一高度處的定滑輪的細線連接著質量相同的物體A和B，A套在光滑水平桿上，定滑輪離水平桿的高度h＝0.2 m，開始時讓連著A的細線與水平桿的夾角θ1＝37°，由靜止釋放B，當細線與水平桿的夾角θ2＝53°時，A的速度為多大？在以后的運動過程中，A所獲得的最大速度為多大？(設B不會碰到水平桿，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2)
【答案】1.1 m/s　1.63 m/s
【解析】對A、B兩物體組成的系統，只有動能和重力勢能的相互轉化，機械能守恒。設細線與水平桿的夾角θ2＝53°時，A的速度為vA，B的速度為vB，此過程中B下降的高度為h1，則有mgh1＝mvA2＋mvB2，
其中，h1＝－，vAcos θ2＝vB，
代入數據，解以上關系式得vA≈1.1 m/s。
A沿著桿滑到左側滑輪正下方的過程，細線拉力對A做正功，A做加速運動，此后細線拉力對A做負功，A做減速運動，故當θ3＝90°時，A的速度最大，設為vAm，此時B下降到最低點，B的速度為零，此過程中B下降的高度為h2，
則有mgh2＝mvAm2，
其中h2＝－h，
代入數據解得vAm≈1.63 m/s。
考點四、彈簧連接的系統機械能守恒
問題簡述 由彈簧相連的物體系統，在運動過程中既有重力做功，又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧彈性勢能相互轉化或轉移，而總的機械能守恒。
方法突破 求解這類問題時，首先以彈簧遵循的胡克定律為分析問題的突破口：彈簧伸長或縮短時產生的彈力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx。其次，以彈簧的彈力做功為分析問題的突破口：彈簧發生形變時，具有一定的彈性勢能。彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數、形變量有關，但是在具體的問題中不用計算彈性勢能的大小，彈簧的形變量相同的時候彈性勢能相同，通過運算可以約去。當題目中始、末都不是彈簧原長時，要注意始、末彈力的大小與方向時刻要與當時的形變相對應，即伸長量或壓縮量，而力的位移就可能是兩次形變量之和或之差。
【典例1】（多選）如圖所示，MN為半徑為R、固定于豎直平面內的光滑圓管軌道，軌道上端切線水平，O為圓心，M、O、P三點在同一水平線上，M的下端與軌道相切處放置豎直向上的彈簧槍?，F發射質量為m的小鋼珠，小鋼珠從M點離開彈簧槍，從N點飛出落到上距O點距離為的點。不計空氣阻力，重力加速度為g，則該次發射（ ）
A．小鋼珠到達N點時對上管壁的壓力大小為0
B．小鋼珠經過N點時的速度大小為
C．彈簧釋放的彈性勢能為2mgR
D．小鋼珠與待檢平板碰撞前瞬間動能為
【答案】AD
【解析】AB．小鋼珠從N點飛出后做平拋運動，則
，
小鋼珠在N點的速度為
根據牛頓第二定律
得
小鋼珠到達N點時對上管壁的壓力大小為0，A正確，B錯誤；
C．根據機械能守恒
彈簧釋放的彈性勢能為
C錯誤；
D．小鋼珠與待檢平板碰撞的位置與M點在同一水平面，則小鋼珠與待檢平板碰撞前瞬間動能等于小鋼珠在M點的動能，即等于彈簧釋放前的彈性勢能
D正確。
【典例2】如圖所示，豎直固定的光滑直桿上套有一個質量為m的小球，初始時置于a點。一原長為L的輕質彈簧左端固定在O點，右端與小球相連。直桿上還有b、c、d三點，且b與O在同一水平線上，Ob＝L，Oa、Oc與Ob夾角均為37°，Od與Ob夾角為53°．現釋放小球，小球從a點由靜止開始下滑，到達d點時速度為0．在此過程中彈簧始終處于彈性限度內，下列說法中正確的有（重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　?。?br/>A．小球在b點時加速度為g，速度最大 B．小球在b點時動能和重力勢能的總和最大
C．小球在c點的速度大小為 D．小球從c點下滑到d點的過程中，彈簧的彈性勢能增加了
【答案】BD
【解析】從a到b，彈簧對滑塊由沿彈簧向下的拉力，滑塊的速度不斷增大；從b到c，彈簧對滑塊有沿彈簧向上的拉力，開始時拉力沿桿向上的分力小于滑塊的重力，滑塊扔在加速，所以滑塊在b點時速度不是最大，此時合力為mg，則加速度為g，故A錯誤。小球與彈簧組成的系統，只有重力和彈簧彈力做功，系統機械能守恒，在b點時彈簧的彈性勢能最小是零，所以小球在b點時動能和重力勢能的總和最大，故B正確；小球從a點下滑到c點的過程中，由小球和彈簧的系統機械能守恒得：mg 2Ltan37°＝ ，可得滑塊在c點的速度大小為：vc＝，故C錯誤。小球從c點下滑到d點的過程中，小球的機械能減少量等于彈簧彈性勢能增加量，△EP＝+mgL（tan53°﹣tan37°），解得：△EP＝mgL，故D正確。
練習1、如圖所示，光滑細直桿傾角為45°，質量為m的小環(可視為質點)穿過直桿，并通過彈簧懸掛在天花板上位置O處，彈簧處于豎直位置時，小環恰好靜止在位置A處，OA間距為L，現對小環施加沿桿向上的拉力F，使環緩慢沿桿滑動到彈簧與豎直方向的夾角為90°的位置C處．圖中位置B為AC的中點，此過程中彈簧始終處于伸長狀態，重力加速度為g，則整個過程(　　)
A．桿對環的彈力始終大于零
B．拉力F所做的功為mgL
C．彈簧的彈力所做的功為mgL
D．環在位置B與位置C處拉力F之比為2∶1
【答案】B
【解析】開始彈簧處于豎直狀態，根據平衡條件可知彈簧的彈力等于小環的重力，即FT＝mg，此時桿對環的彈力為零，否則彈簧不會豎直，故A錯誤；根據題意可知，彈簧一端在A點與在C點時的長度相等，則彈簧的形變量相等，彈簧的彈力所做的總功為零，根據能量守恒可得整個過程拉力F所做的功為mgL，故B正確，C錯誤；環在B位置時，根據平衡條件可得FB＝mgsin 45°＝mg，在C位置時，根據平衡條件可得FC＝mgsin 45°＋FTsin 45°＝mg，所以環在位置B與位置C處拉力F之比為1∶2，故D錯誤．
練習2、輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在水平地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l.現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數μ＝0.5.用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后釋放，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g.
(1)若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離；
(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍．
【答案】　(1)　2l　(2)m≤mP【解析】　(1)豎直的彈簧放上物體壓縮至長度l時，由機械能守恒得5mgl＝Ep
彈簧水平放置壓縮至長度l時，物塊P從開始到B點，由能量守恒得Ep＝μmg·4l＋mvB2解得vB＝
物塊由B點到D點：－mg·2l＝mvD2－mvB2 解得vD＝
物塊由D點平拋2l＝gt2，x＝vDt 解得x＝2l
(2)物塊至少過B點時Ep>μmPg·4l
P最多到C點且不脫離軌道Ep≤μmPg·4l＋mPgl
則m≤mP考點五、用機械能守恒定律解決非質點問題
在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。
物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。
【典例1】如圖所示，在傾角為的斜面上，有一質量分布均勻的長為質量為的鐵鏈放在斜面的頂端，鐵鏈的上端與斜面的頂端相平齊，用一質量不計的輕繩將一定質量的鉤碼與鐵鏈相連接，假設斜面的頂端距離水平面足夠高。現將連接體由靜止釋放，如果鐵鏈與斜面之間的摩擦力不能忽略。則在鐵鏈的下端點剛好到達斜面的頂端時（　?。?br/>A．鉤碼的機械能一直增加
B．鐵鏈的重力勢能減少了
C．鉤碼減少的重力勢能與摩擦力對鐵鏈做功的數值相等
D．鐵鏈減少的重力勢能在數值上等于鐵鏈動能的增加量與鐵鏈克服摩擦力做功的和
【答案】B
【解析】A.輕繩的拉力對鉤碼做負功，所以鉤碼的機械能減少，故A錯誤；
B.鐵鏈減少的重力勢能
故B正確；
C.鐵鏈被拉動，表明輕繩對鐵鏈的拉力大于摩擦力，而鉤碼重力勢能的減少量等于克服輕繩拉力做功與鉤碼動能之和，故C錯誤；
D.對鐵鏈應用動能定理有
所以鐵鏈重力勢能的減少量
所以
故D錯誤。
練習1、如圖所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動，AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連，一條長為L的均勻柔軟鏈條開始是靜止地放在ABC面上，其一端D至B的距離為L－a，其中a未知，現自由釋放鏈條，當鏈條的D端滑到B點時鏈條的速率為v，求a。
【答案】a＝。
【解析】設鏈條質量為m，可以認為始末狀態的重力勢能變化是由L－a段下降引起的
下降高度h＝sin α＝sin α
該部分的質量為m′＝(L－a)
由機械能守恒定律可得(L－a)gh＝mv2
解得a＝。
練習1、長為L的均勻鏈條，放在光滑的水平桌面上，且使其長度的垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為（重力加速度為g）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，最終長為L的均勻鏈條離開桌邊，處于豎直狀態，等效于桌子上的鏈條挪到垂在桌邊的的鏈條的下方，對這的鏈條為研究對象，初位置時重心在桌子上，末位置時重心距離桌子
則由機械能守恒定律得
解得
二、夯實小練
1、將某一物體由地面開始豎直上拋，不計空氣阻力，物體能夠到達的最大距地高度為H。選取地面為參考平面，當物體在上升過程中通過某一位置時，它的動能恰好等于其重力勢能的一半，則這一位置的距地高度為（　?。?br/>A． B． C． D．H
【答案】B
【解析】由機械能守恒定律可知
其中
解得
2、如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩中心有孔的相同小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一不可伸長的細繩相連，細繩恰好被拉直，現由靜止釋放M、N，在N球碰到A點前的運動過程中，下列說法中正確的是（　?。?br/>A．M球的機械能守恒
B．M球的機械能增大
C．M球和N球組成的系統機械能守恒
D．繩的拉力對N球做負功
【答案】C
【解析】因M球下落的過程中細繩的拉力對M球做負功，對N球做正功，故M球的機械能減小，N球的機械能增大，但M球和N球組成的系統機械能守恒。
3、(多選)如圖所示，一輕彈簧一端固定于O點，另一端系一重物，將重物從與懸點O在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速度地釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺到最低點的過程中(　　)
A.重物的機械能減少
B.重物與彈簧組成的系統的機械能不變
C.重物與彈簧組成的系統的機械能增加
D.重物與彈簧組成的系統的機械能減少
【答案】AB
【解析】重物自由擺下的過程中，彈簧拉力對重物做負功，重物的機械能減少，選項A正確；對重物與彈簧組成的系統而言，除重力、彈力外，無其他外力做功，故系統的機械能守恒，選項B正確.
4、(多選)如圖所示，將物體P用長度適當的輕質細繩懸掛于天花板下方，兩物體P、Q用一輕彈簧相連，物體Q在力F的作用下處于靜止狀態，彈簧被壓縮，細繩處于伸直狀態.已知該彈簧的彈性勢能僅與其形變量有關，且彈簧始終在彈性限度內，現將力F撤去，輕繩始終未斷，不計空氣阻力，則(　　)
A.彈簧恢復原長時，物體Q的速度最大
B.撤去力F后，彈簧和物體Q組成的系統機械能守恒
C.在物體Q下落的過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大
D.撤去力F前，細繩的拉力不可能為零
【答案】BC
【解析】由題意可知，撤去力F后，在Q下落過程中，Q和彈簧組成的系統滿足機械能守恒，彈簧彈性勢能先減小后增大，Q的動能先增大后減小，當彈簧向上的彈力大小等于Q物體的重力時，Q的速度最大，故A錯誤，B、C正確；F撤去之前，彈簧被壓縮，對P受力分析，當重力等于彈簧彈力時，細繩的拉力可能為零，故D錯誤.
5、如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套有質量為m的小圓環，圓環與水平狀態的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，并且處于原長狀態，現讓圓環由靜止開始下滑，已知彈簧原長為L，圓環下滑到最大距離時彈簧的長度變為2L(未超過彈性限度)，重力加速度為g，則在圓環下滑到最大距離的過程中(　　)
A.圓環的機械能守恒
B.彈簧彈性勢能增加了mgL
C.圓環下滑到最大距離時，所受合力為零
D.圓環重力勢能與彈簧彈性勢能之和始終保持不變
【答案】B
【解析】圓環在下落過程中機械能減少，彈簧彈性勢能增加，而圓環與彈簧組成的系統機械能守恒.圓環下落到最低點時速度為零，但是加速度不為零，即合力不為零；圓環下降高度h＝＝L，所以圓環重力勢能減少了mgL，由機械能守恒定律可知，彈簧的彈性勢能增加了mgL，故選B.
6、如圖所示，長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動，當小球A沿墻下滑距離為時，下列說法正確的是（不計一切摩擦，重力加速度為g）（　　）
A．桿對小球A做功為mgL B．小球A、B的速度都為
C．小球A、B的速度分別為和 D．桿與小球A、B組成的系統機械能減少了mgL
【答案】C
【解析】BCD．對A、B組成的系統，整個過程中，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律得
mg·＝
又有
vAcos60°＝vBcos30°
解得
vA＝
vB＝
故C正確，BD錯誤；
A．對A，由動能定理得
mg＋W＝
解得桿對小球A做的功
W＝－mg·＝－mgL
故A錯誤。
7、如圖所示，光滑的曲面與光滑的水平面平滑相連，一輕彈簧右端固定，質量為m的小球從高度h處由靜止下滑，則（ ）
A．小球與彈簧剛接觸時，速度大小為
B．小球與彈簧接觸的過程中， 小球機械能守恒
C．小球在壓縮彈簧最短時，彈簧的彈性勢能為mv2
D．小球在壓縮彈簧的過程中，小球的加速度保持不變
【答案】A
【解析】A．小球在曲面上下滑過程中，根據機械能守恒定律得
即小球與彈簧剛接觸時，速度大小為，故A正確；
B．小球與彈簧接觸的過程中，彈簧的彈力對小球做負功，則小球機械能不守恒，故B錯誤。
C．對整個過程，根據系統的機械能守恒可知，小球在壓縮彈簧最短時，彈簧的彈性勢能為mgh，因沒有明確v是何處的速度，故C錯誤。
D．小球在壓縮彈簧的過程中，彈力增大，則小球的加速度增大，故D錯誤。
8、以相同大小的初速度v0將物體從同一水平面分別豎直上拋、斜上拋、沿光滑斜面(足夠長)上滑，如圖所示，三種情況達到的最大高度分別為h1、h2和h3，不計空氣阻力，則(　　)
A.h1＝h2＞h3 B.h1＝h2＜h3
C.h1＝h3＜h2 D.h1＝h3＞h2
【答案】D
【解析】豎直上拋的物體和沿斜面運動的物體，上升到最高點時，速度均為0，由機械能守恒定律得mgh＝mv02，所以h＝；斜上拋的物體在最高點速度不為零，設為v1，則mgh2＝mv02－mv12，所以h2＜h1＝h3，D正確.
9、輕桿AB長2L，A端連在固定軸上，B端固定一個質量為2m的小球，中點C固定一個質量為m的小球。AB桿可以繞A端在豎直平面內自由轉動?，F將桿置于水平位置，如圖所示，然后由靜止釋放，不計各處摩擦力與空氣阻力，重力加速度大小為，則下列說法不正確的是（　　）
A．AB桿轉到豎直位置時，角速度為
B．AB桿轉到豎直位置的過程中，B端小球的機械能的增量為
C．AB桿轉動過程中桿CB對B球做正功，對C球做負功
D．AB桿轉動過程中，C球機械能守恒
【答案】D
【解析】A．在AB桿由靜止釋放轉到豎直位置的過程中，兩小球和桿組成的系統機械能守恒，則以B端球的最低點為零勢能點，根據機械能守恒定律有
解得角速度
故A正確，不符合題意；
B．在此過程中，B端小球機械能的增量為
故B正確，不符合題意；
CD．AB桿轉動過程中，由于B球機械能增加，故桿對B球做正功，由機械能守恒，C球機械能必然減少，所以CB桿對C球做負功，故C正確，不符合題意，D錯誤，符合題意。
10、(多選)一個物體以一定的初速度豎直上拋，不計空氣阻力，如圖所示為表示物體的動能Ek隨高度h變化的圖像A、物體的重力勢能Ep隨速度v變化的圖像B(圖線形狀為四分之一圓弧)、物體的機械能E隨高度h變化的圖像C、物體的動能Ek隨速度v變化的圖像D(圖線形狀為開口向上的拋物線的一部分)，其中可能正確的是(　　)
【答案】ACD
【解析】設物體的初速度為v0，物體的質量為m，由機械能守恒定律得mv02＝mgh＋mv2，所以物體的動能與高度h的關系為Ek＝mv02－mgh，圖像A可能正確；物體的重力勢能與速度v的關系為Ep＝mv02－mv2，則Ep－v圖像為開口向下的拋物線(第一象限中的部分)，圖像B錯誤；由于豎直上拋運動過程中機械能守恒，所以，E－h圖像為一平行于h軸的直線，圖像C可能正確；由Ek＝mv2知，Ek－v圖像為一開口向上的拋物線(第一象限中的部分)，所以圖像D可能正確.
11、如圖所示，質量均為m=1kg的小物體A和B用輕繩連接，輕繩跨過傾角為30°的固定斜面頂端的定滑輪，滑輪左側的輕繩方向與斜面方向平行，開始時用手托住A，B恰好位于斜面底端，A離地h=0.8 m?，F靜止釋放A，在B沿斜面上滑的過程中，下列說法正確的是（已知A落地后不反彈，不計一切摩擦和空氣阻力，g取10 m/s2）（　　）
A．物體A、B組成的系統機械能守恒
B．物體A落地前一瞬間的速度大小為4m/s
C．物體B的動量變化量的大小為2kgm/s
D．物體B沿斜面上滑的最大距離為1.2m
【答案】D
【解析】A．靜止釋放A，在B沿斜面上滑的過程中，A落地前物體A、B組成的系統機械能守恒，A落地后不反彈，則A的機械能發生變化，所以物體A、B組成的系統機械能不守恒，A錯誤；
B．設物體A落地前一瞬間的速度為 ，根據機械能守恒
解得
B錯誤；
C．靜止釋放A，在B沿斜面上滑的過程中，最終B升到最高點速度為零，則物體B的動量變化量的大小為零，C錯誤；
D．物體A落地，B物體的機械能守恒，設在斜面上滑的最大距離為L，則
解得
所以物體B沿斜面上滑的最大距離為
D正確。
12、（多選）小球穿在光滑水平桿上，輕彈簧的一端固定在O點，另一端與小球相連。現將小球由靜止釋放，已知小球運動到M、N兩個位置時，彈簧的形變量相等，的長度大于。則小球從M點到N點的過程中（　?。?br/>A．彈簧的彈力對小球做的總功 B．彈簧的彈性勢能一直減小
C．小球的機械能守恒 D．小球速度最大時，彈簧的彈力對小球做功的功率為零
【答案】AD
【解析】
AB．小球運動到M、N兩個位置時，彈簧的形變量相等，則小球在M、N兩個位置的彈簧彈性勢能相等，的長度大于，則小球在M位置時彈簧處于伸長狀態，在N位置時彈簧處于壓縮狀態，小球從M點運動到N點的過程，彈簧的形變量先變小后變大，彈簧的彈性勢能先減小后增大，又因為M、N兩點的彈簧彈性勢能相等，所以彈簧的彈力對小球做的總功為0，A正確，B錯誤；
C．對于小球來說，彈簧彈力對小球先做正功后做負功，小球的機械能先增大后減小，C錯誤；
D．小球速度最大時，彈簧處于原長，彈簧彈力為0，故此時彈簧的彈力對小球做功的功率為零，D正確；
13、如圖所示，在豎直平面內有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接.AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為.一小球在A點正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動(不計空氣阻力).
(1)求小球在B、A兩點的動能之比；
(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點.
【答案】(1)5∶1　(2)見解析
【解析】(1)設小球的質量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒定律得EkA＝mg①
設小球在B點的動能為EkB，同理有EkB＝mg②
由①②式得EkB∶EkA＝5∶1③
(2)若小球能沿軌道運動到C點，則小球在C點所受軌道的正壓力FN應滿足FN≥0④
設小球在C點的速度大小為vC，由牛頓第二定律有
FN＋mg＝m⑤
由④⑤式得：vC應滿足mg≤m⑥
由機械能守恒定律得mg＝mvC2⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿軌道運動到C點.
14、如圖所示，A點距地面的高度為3L，擺線長為L，A、B連線與豎直方向夾角θ＝60°，使擺球從B點處由靜止釋放，不計摩擦阻力影響.
(1)若擺球運動至A點正下方O點時擺線斷裂，求擺球落地點到O點的水平距離；
(2)若擺線不斷裂，在A點正下方固定一光滑小釘子，使擺球能在豎直面內做完整的圓周運動，求釘子與A點距離至少多大.
【答案】(1)2L　(2)0.8L
【解析】(1)擺球從B點運動到O點過程，根據機械能守恒定律有
mg(L－Lcos θ)＝mv02，解得v0＝
在豎直方向上2L＝gt2
擺球落地點到O點的水平距離x＝v0t，解得x＝2L；
(2)設釘子與A點距離為y時，擺球恰能在豎直面內做完整的圓周運動，且在最高點速度為v，根據牛頓第二定律有mg＝m
根據機械能守恒定律有
mg[L－Lcos θ－2(L－y)]＝mv2
解得y＝0.8L，
即使擺球能在豎直面內做完整的圓周運動，釘子與A點距離至少為0.8L.
三、培優練習
1、(多選)如圖所示，傾角為30°高為L的固定斜面底端與光滑水平面平滑相連，質量分別為3m、m的兩個小球A、B用一根長為L的輕繩連接，A球置于斜面頂端．現由靜止釋放A、B兩球，B球與弧形擋板碰撞過程時間極短無機械能損失，且碰后只能沿斜面下滑，兩球最終均滑到水平面上．已知重力加速度為g，不計一切摩擦，則(　　)
A．A球剛滑至水平面時的速度大小為
B．B球剛滑至水平面時的速度大小為
C．在A球沿斜面下滑的過程中，輕繩對B球先做正功、后不做功
D．兩小球在水平面上不可能相撞
【答案】AC
【解析】當B球沿斜面頂端向下運動時，兩個小球A、B運動過程中系統機械能守恒得：
3mg·L－mgL＝(3m＋m)v2
v＝
此后繩中無張力，小球A做加速運動．
根據動能定理研究A得
3mg·L＝(3m)v－ (3m)v2
vA＝，故A正確．
根據動能定理研究B得
mg·L＝mv－mv2
vB＝，故B錯誤．
B球在上升過程輕繩對B球做正功，二者一起沿斜面下滑時，輕繩張力為零，不做功，故C正確．兩個小球A、B運動到水平面上，由于后面的B球速度大于A球速度，所以小球A、B在水平面會相撞．故D錯誤．
2、如圖所示為著名的“阿特伍德機”裝置示意圖．跨過輕質定滑輪的輕繩兩端懸掛兩個質量均為M的物塊，當左側物塊附上質量為m的小物塊時，該物塊由靜止開始加速下落，下落h后小物塊撞擊擋板自動脫離，系統以v勻速運動．忽略系統一切阻力，重力加速度為g.若測出v，則可完成多個力學實驗．下列關于此次實驗的說法，正確的是(　　)
A．系統放上小物塊后，輕繩的張力增加了mg
B．可測得當地重力加速度g＝
C．要驗證機械能守恒，需驗證等式mgh＝Mv2，是否成立
D．要探究合外力與加速度的關系，需探究mg＝(M＋m)是否成立
【答案】B
【解析】對系統，由牛頓第二定律得，加速度：a＝＝，對M，由牛頓第二定律得：F－Mg＝Ma，解得：F＝Mg＋，故A錯誤；對系統，由動能定理得：(M＋m)gh－Mgh＝ (M＋m＋M)v2－0，解得：g＝，故B正確；如果機械能守恒，則：(M＋m)gh＝Mgh＋ (M＋m＋M)v2，整理得：mgh＝ (2M＋m)v2，故C錯誤；物體做初速度為零的勻加速直線運動，加速度：a＝，由牛頓第二定律得：(M＋m)g－Mg＝(M＋m＋M)a，整理得：mg＝(2M＋m) ，要探究合外力與加速度的關系，需探究mg＝(2M＋m)是否成立。
3、（多選）如圖所示，光滑水平面MA上有一輕質彈簧，彈簧一端固定在豎直墻壁上，彈簧原長小于MA。A點右側有一勻速運動的水平傳送帶AB，傳送帶長度，速度。一半徑為的光滑半圓軌道BCD在B點與傳送帶相切，軌道圓心為O，OC水平?，F用一質量為的物塊（可看做質點）壓縮彈簧，使得彈簧的彈性勢能為。由靜止釋放物塊，已知物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為，g取關于物塊的運動，下列說法正確的是（　?。?br/>A．物塊不能運動到半圓軌道最高點D
B．物塊運動到B點的速度為
C．物塊運動到C點時對軌道的壓力為60 N
D．若傳送帶速度變為，物塊在B點右側不會脫離軌道
【答案】CD
【解析】AB．由題意知，物塊到達A點的速度滿足
解得
所以物塊滑上傳送帶后做加速運動，有
且加速位移為
整理有
所以滑塊在傳送帶上先加速后勻速，到達B點的速度與傳送帶速度相同，即為
設滑塊恰好可以運動到半圓軌道最高點D，則在最高點滿足
解得
從B到D由動能定理得
求得B點最小速度為
所以物塊恰好能運動到半圓軌道最高點D，故AB錯誤；
C．從B到C由動能定理得
在C點受力分析得
聯立解得
由牛頓第三定律可知物塊運動到C點時對軌道的壓力為60 N，故C項正確；
D．若傳送帶速度變為，則可知滑塊滑上傳送帶后先做減速運動，且減速到時的位移為
整理得
即滑塊恰好減速到B點和傳送帶共速，設物塊恰好可以到達C點時對應的B點速度為，則從B到C由機械能守恒可得
解得
即滑塊在B點的速度為時，在到達C點之前已經減速為零，則可知傳送帶速度變為時，物塊在B點右側不會脫離軌道，故D項正確。
4、如圖所示，一質量不計的直角形支架兩端分別連接相同質量的小球A和B，支架OA、OB邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O點在豎直平面內無摩擦轉動，已知重力加速度大小為，開始時O處于水平位置，由靜止釋放后（　　）
A．當轉過時，A球速度為
B．轉過過程中，桿對A做了的正功
C．當轉過時，B球速度為
D．轉過過程中，桿對B做了的正功
【答案】C
【解析】AC．設B的速度為v，則A的速度為2v，根據能量關系可知
解得
則A的速度為
選項A錯誤，C正確；
B．對A由動能定理
解得
選項B錯誤；
D．對B由動能定理
解得
選項D錯誤；
5、如圖所示，固定于地面、傾角為的光滑斜面上有一輕質彈簧，輕質彈簧一端與固定于斜面底端的擋板C連接，另一端與物塊A連接，物塊A上方放置有另一物塊B，物塊A、B質量均為m且不粘連，整個系統在沿斜面向下的恒力F作用下而處于靜止狀態。某一時刻將力F撤去，若在彈簧將A、B彈起過程中，A、B能夠分離，則下列敘述正確的是（ ）
A．從力F撤去到A、B發生分離的過程中，A、B物塊和地球所構成的系統機械能守恒
B．A、B被彈起過程中，A、B即將分離時，彈簧處于壓縮狀態
C．A、B分離瞬間，A的加速度大小為
D．若斜面為粗糙斜面，則從力F撤去到A、B發生分離的過程中，彈簧減少的彈性勢能一定等于A、B增加的機械能與系統摩擦生熱之和
【答案】D
【解析】A．從力F撤去到A、B發生分離的過程中，A、B物塊和地球所構成的系統除了重力做功之外還有彈簧的彈力這個外力做功，所以系統的機械能不守恒，故A錯誤；
B．當A、B之間作用力為零且加速度相同時，兩物塊分離，此時彈簧處于原長狀態，故B錯誤；
C．A、B剛分離瞬間，A、B間的彈力為零，對B，由牛頓第二定律得
得
此瞬間A與B的加速度相同，所以A的加速度大小為，故C錯誤；
D．若斜面為粗糙斜面，則從力F撤去到A、B發生分離的過程中，由能量守恒定律知，彈簧減少的彈性勢能一定等于A、B增加的機械能與系統摩擦生熱之和，故D錯誤。
6、如圖甲，在傾角為的斜面上放一輕質彈簧，其下端固定，靜止時上端位置在B點，小物快在A點由靜止釋放，從開始運動的一段時間內的v-t圖像如圖乙所示。小物塊在0.8s時運動到B點，在1.0s時到達C點（圖中未標出），在1.3s時到達D點，經過一段時間后又回到B點，且速度不為零。取。由圖知（　?。?br/>A．小物塊從A點運動到D點的過程中，小物塊在C點時，彈簧的彈性勢能最小
B．小物塊從A點運動到D點的過程中，小物塊機械能不變
C．小物塊從D點運動到B點的過程中，加速度不斷減小
D．小物塊第一次經過B點的加速度值小于第二次經過B點的加速度值
【答案】D
【解析】A．小物塊從A點運動到B點的過程中，彈簧處于原長狀態，彈性勢能為零，從B點運動到C點的過程中，彈簧的壓縮量增大，彈性勢能增大，故A錯誤；
B．由圖知小物塊從A點運動到B點的過程中，加速度
所以小物塊受滑動摩擦力，整個運動過程中小物塊機械能減小，故B錯誤；
C．小物塊從D點運動到B點的過程中，加速度方向先是沿斜面向上，后沿斜面向下，所以加速度先減小，再反向增大，故C錯誤；
D．根據牛頓第二定律，兩次經過B點的加速度值分別為
所以
故D正確。
7、（多選）如圖所示，一根不可伸長的輕繩繞過兩個輕質光滑小定滑輪、，一端與一小球連接，另一端與套在足夠長的光滑固定直桿上的小物塊連接，小球與小物塊的質量均為m，直桿與兩定滑輪在同一豎直平面內，與水平面的夾角為，直桿上C點與兩定滑輪均在同一高度，C點到定滑輪的距離為L，重力加速度為g，小球運動過程中不會與其他物體相碰，不計一切摩擦。將小物塊從C點由靜止釋放，則下列說法正確的是（ ）
A．當小物塊下滑距離為L時，其速度大小為
B．小物塊能下滑的最大距離為
C．當小物塊下滑距離為L時，小球的速度大小為
D．運動過程中小物塊、小球和地球組成的系統機械能守恒
【答案】ACD
【解析】AC．設小物塊下滑距離為L時的速度大小為v，此時小球的速度大小為v1，則
解得
，
故AC正確；
B．設小物塊能下滑的最大距離為s，此時小球升高的高度為h，根據余弦定理有
根據機械能守恒定律有
解得
故B錯誤；
D．運動過程中，對小物塊、小球和地球組成的系統，只有重力和系統內的彈力做功，所以機械能守恒，故D正確。
8、如圖甲，質量為m的小木塊左端與輕彈簧相連，彈簧的另一端與固定在足夠大的光滑水平桌面上的擋板相連，木塊的右端與一輕細線連接，細線繞過光滑的質量不計的輕滑輪，木塊處于靜止狀態．在下列情況中彈簧均處于彈性限度內，不計空氣阻力及線的形變，重力加速度為g.
(1)圖甲中，在線的另一端施加一豎直向下的大小為F的恒力，木塊離開初始位置O由靜止開始向右運動，彈簧開始發生伸長形變，已知木塊過P點時，速度大小為v，O、P兩點間距離為s.求木塊拉至P點時彈簧的彈性勢能；
(2)如果在線的另一端不是施加恒力，而是懸掛一個質量為M的物塊，如圖乙所示，木塊也從初始位置O由靜止開始向右運動，求當木塊通過P點時的速度大?。?br/>【答案】(1)Fs－mv2　(2)
【解析】(1)用力F拉木塊至P點時，設此時彈簧的彈性勢能為Ep，根據功能關系有
Fs＝Ep＋mv2①
解得：Ep＝Fs－mv2②
(2)懸掛物塊M時，當木塊運動到P點時，彈簧的彈性勢能仍為Ep，設木塊的速度為v′，由機械能守恒定律得
Mgs＝Ep＋ (m＋M)v′2③
聯立②③解得
v′＝
9、如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過細線繞過足夠高的輕質滑輪相連，用手拿住C，使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab、cd段的細線豎直，已知A、B的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪間的摩擦力不計，空氣阻力不計，開始時整個系統處于靜止狀態，釋放C，當A剛離開地面時，B獲得最大速度，求：
(1)C的質量；
(2)B的最大速度．
【答案】(1)2m　(2)2g
【解析】(1)當B的速度最大時，其加速度為0.設此時細線對B的拉力大小為F，彈簧彈力大小為F彈，
可得：mg＋F彈＝F
此時A剛好離開地面，則：F彈＝mg
B、C速度大小相等，故此時C速度也是最大，其加速度為0，可得：F＝mCg，解得mC＝2m.
(2)開始時彈簧壓縮的長度為：xB＝
當B速度最大、A恰好離開地面時彈簧的伸長量為：
xA＝
所以物體B上升的距離和物體C下降的距離均為：
h＝xA＋xB
由于xA＝xB，彈簧彈性勢能相等，設物體A剛剛離開地面時，B、C兩物體的速度為vm，對B、C和彈簧組成的系統，有：2mgh＝mgh＋ (m＋2m)v
解得：vm＝2g.
10、如圖所示，一根輕繩繞過光滑的輕質定滑輪，兩端分別連接物塊A和B，B的下面通過輕繩連接物塊C，A鎖定在地面上。已知B和C的質量均為m，A的質量為m，B和C之間的輕繩長度為L，初始時C離地面的高度也為L?，F解除對A的鎖定，物塊開始運動。設物塊可視為質點，落地后不反彈。重力加速度大小為g。求：
(1)A剛上升時的加速度大小a；
(2)A上升過程中的最大速度大小vm；
(3)A離地面的最大高度H。
【答案】(1)g　(2) 　(3)L
【解析】(1)解除對A的鎖定后，A加速上升，B和C加速下降，A、B、C加速度大小相等，設輕繩對A和B的拉力大小為T，由牛頓第二定律得
對A受力分析得：
T－mg＝ma ①
對B、C受力分析得：
(m＋m)g－T＝(m＋m)a ②
由①②式得a＝g。 ③
(2)當物塊C剛著地時，A的速度最大，從A剛開始上升到C剛著地的過程，由機械能守恒定律得
2mgL－mgL＝·2m·vm2＋·m·vm2 ④
由④式得vm＝ 。 ⑤
(3)假設C落地后A繼續上升h時速度為零，此時B未觸地，A和B組成的系統，由動能定理得
mgh－mgh＝0－vm2 ⑥
由⑤⑥式得h＝L⑦
由于h＝L＜L，假設成立，
所以A離地面的最大高度
H＝L＋h＝L。 ⑧
11、如圖所示，傾角的光滑斜軌道與光滑水平軌道在處平滑連接，、之間安裝著水平傳送帶，、為兩輪的切點，間距，光滑水平軌道的右側為足夠長的粗糙水平軌道，以為坐標原點建立軸?？梢暈橘|點的小滑塊從斜軌道上距離底端為處由靜止開始釋放，已知小滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數，小滑塊與之間的動摩擦因數，不計空氣阻力，重力加速度。
（1）若傳送帶靜止，小滑塊釋放的位置為，則
①求小滑塊運動到點時的速度大??；
②求小滑塊最終停下位置的坐標；
（2）若傳送帶以的速度順時針轉動，小滑塊從斜軌道上不同位置釋放，試討論小滑塊在傳送帶上的運動情況和在軌道段滑行距離與的函數關系。
【答案】（1）①；②；（2）見解析
【解析】（1）傳送帶靜止，滑塊在傳送帶上和軌道上均做減速運動，則
①設滑塊在斜軌道上運動的加速度為，則
解得
由運動學公式得
解得
②設滑塊在傳送帶上加速度大小為，在軌道上加速度大小為，到時點時速度為，則
解得
由運動學公式
解得
（2）設滑塊到達斜軌道底端時的速度為，則
①滑塊在傳送帶上一直做加速運動，到達點時速度剛好達到，則
解得
當時，滑塊在傳送帶上一直做加速運動。到點速度
即
② 當時，滑塊在傳送帶上加速一段距離，到點速度：
即
③當時，滑塊在傳送帶上一直做勻速運動，到點速度
即
④ 當時，滑塊在傳送帶上減速一段距離，到點速度
即
⑤時，滑塊在傳送帶上一直做減速運動，到點速度
即
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑