資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題09 豎直面內的圓周運動模型
[模型導航]
【知識分析】一般圓周運動的動力學 1
【模型一】繩、桿模型討論 2
豎直面內圓周運動常見問題與二級結論 2
【模型二】過拱凹形橋 12
[模型分析]
【知識分析】一般圓周運動的動力學
如圖所示，做圓周運動的物體，所受合外力與速度成一般夾角時，可將合外力沿速度和垂直速度分解，則由牛頓第二定律，有：
，aτ改變速度v的大小
，an改變速度v的方向，
作一般曲線運動的物體，處理軌跡線上某一點的動力學時，可先以該點附近的一小段曲線為圓周的一部分作曲率圓，然后即可按一般圓周運動動力學處理。
，aτ改變速度v的大小
，an改變速度v的方向，，ρ為曲率圓半徑。
【模型一】繩、桿模型討論
輕繩模型（沒有支撐） 輕桿模型（有支撐）
常見 類型
過最高點的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球能運動即可得v臨＝0
對應最低點速度v低≥ 對應最低點速度v低≥
繩不松不脫軌條件 v低≥或v低≤ 不脫軌
最低點彈力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高點彈力 過最高點時，v≥，FN＋mg＝m，繩、軌道對球產生彈力FN＝m-mg 向下壓力 (1)當v＝0時，FN＝mg，FN為向上支持力 (2)當0＜v＜時，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，隨v的增大而減小 (3)當v＝時，FN＝0 (4)當v＞時，FN＋mg＝m，FN為向下壓力并隨v的增大而增大
在最高 點的FN 圖線 取豎直向下為正方向 取豎直向下為正方向
豎直面內圓周運動常見問題與二級結論
【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最低點記為C，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為，要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A 的向心力恰好等于重力時，由可得①
對應C點的速度有機械能守恒得②
當小球在C點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與O點等高的D位置則由機械能守恒
得③
小結：(1).當時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力
由牛頓第二定律④
(2).當時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0
由牛頓第二定律。⑤
(3).當時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運動離開圓周，且v越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0
在DA段射重力與半徑方向的夾角為則、
(4).當時小球不能通過最高點A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上升的最高點為C永不脫離軌道
【問題2】常見幾種情況下物體受軌道的作用力
(1)從最高點A點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒
在C點由牛頓運動定律： 得⑥
(2)從與O等高的D點（四分之一圓弧）處靜止釋放到達最低點C：由機械能守恒
在C點由牛頓運動定律： 得⑦
(3)從A點以初速度釋放小球到達最低點
由機械能守恒
在C點由牛頓運動定律： 得⑧
（2023 全國）如圖，水平地面上放有一質量為M的⊥形支架。一質量為m的小球用長為l的輕繩連接在支架頂端，小球在豎直平面內做圓周運動，重力加速度大小為g。已知小球運動到最低點時速度大小為v，此時地面受到的正壓力大小為（　　）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
（多選）細線拉著一質量為m的帶電小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，該區域內存在水平方向的勻強電場（圖中未畫出），小球所受電場力水平向右，大小是其重力的倍，圓周上A點在圓心的正上方，小球過A點時的速度大小為v0，方向水平向左，除受重力、電場力及細線的拉力外小球不受其他力的作用，重力加速度為g，在小球做圓周運動的過程中（　　）
A．小球最小速率為
B．小球速率最小時其電勢能最大
C．若小球過A點時細線斷開，之后小球電勢能最大時速率為
D．若小球過A點時細線斷開，之后小球電勢能最大時速率為
【解答】解：A．如圖
當小球到達B點時小球的速度最大，到達C點時速度最小，BC連線與豎直方向夾角為
tanθ，θ＝60°
由A到C根據動能定理：
解得
故A正確；
B．電場方向是水平方向，沿電場方向電勢降低最快，故電勢最高點和最低點應該在水平直徑的兩端，則C點不是電勢能最大的位置，故B錯誤；
CD．若小球過A點時細線斷開，之后小球電勢能最大時水平速度減為零，時間
解得t
豎直方向做自由落體，則速率v＝vy＝gt
解得v
故C正確，D錯誤。
故選：AC。
如圖所示，輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一個小球，小球隨輕桿一起在豎直平面內在轉軸的帶動下繞O點以角速度ω做勻速圓周運動．已知桿長為L，小球的質量為m，重力加速度為g，A、B兩點與O點在同一水平直線上，C、D分別為圓周的最高點和最低點，下列說法正確的是（　　）
A．小球在運動過程中向心加速度不變
B．小球運動到最高點C時，桿對小球的作用力為支持力
C．小球運動到A點時，桿對小球作用力為m
D．小球在D點與C點相比，桿對小球的作用力的大小差值一定為2mLω2
【解答】解：A、小球做勻速圓周運動，向心加速度大小不變，方向改變，故A錯誤；
B、因為不知道小球在最高點時線速度v＝Lω與的大小關系，所以不能判斷桿對小球是支持力還是拉力，故B錯誤；
C、當小球在A點時，桿對小球作用力豎直方向分量應等于重力，水平方向分量提供向心力，故桿對小球的作用力，故C正確；
D、若小球在最高點，桿對小球的作用力為支持力，則有：
C點：
D點：，；
若小球在最高點，桿對小球的作用力為拉力，則有
C點：，
D點：，FN2﹣FN1＝2mg，故D錯誤．
故選：C。
一端連在光滑固定軸上，可在豎直平面內自由轉動的輕桿，另一端與一小球相連，如圖甲所示。現使小球在豎直平面內做圓周運動，到達某一位置開始計時，取水平向右為正方向，小球的水平分速度vx隨時間t的變化關系如圖乙所示，不計空氣阻力，下列說法中正確的是（　　）
A．t1時刻小球通過最高點，t3時刻小球通過最低點
B．t2時刻小球通過最高點，t3時刻小球通過最低點
C．v1大小一定大于v2大小，圖乙中S1和S2的面積一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，圖乙中S1和S2的面積可能不等
【解答】解：AB、由對稱性可知，在最高點左右兩側對稱位置，小球沿水平方向分速度相同，那么在小球達到最高點時，其前后對稱時刻的小球的水平分速度相等且最高點時刻水平分速度為正，在題圖乙中t1時刻滿足要求，所以t1時刻小球通過最高點，同理t3時刻小球通過最低點，故A正確，B錯誤；
CD、從t2到t3，小球重力做正功，一直在加速，在最低點時，速度最大，沿水平方向分速度也最大，即v2＞v1，另外根據對運動過程分析可得：S1和S2分別表示從最低點到最左邊點以及從最左邊點到最高點的水平位移大小，它們相等，因此S1和S2的面積相等，故CD錯誤．
故選：A。
應用物理知識分析生活中的常見現象，可以使物理學習更加有趣和深入。例如你用手掌平托一蘋果，保持這樣的姿勢在豎直平面內按順時針方向做勻速圓周運動。關于蘋果從最低點a到最左側點b運動的過程，下列說法中正確的是（　　）
A．蘋果先處于超重狀態后處于失重狀態
B．手掌對蘋果的摩擦力越來越大
C．手掌對蘋果的支持力越來越大
D．蘋果所受的合外力保持不變
【解答】解：A、蘋果做勻速圓周運動，從a到b的過程中，加速度在豎直方向上有向上的加速度，可知蘋果處于超重狀態，故A錯誤。
B、從a到b的過程中，加速度大小不變，加速度在水平方向上的分加速度逐漸增大，根據牛頓第二定律知，摩擦力越來越大，故B正確。
C、從a到b的過程中，加速度大小不變，加速度在豎直方向上的加速度逐漸減小，方向向上，則重力和支持力的合力逐漸減小，可知支持力越來越小，故C錯誤。
D、蘋果做勻速圓周運動，合外力大小不變，方向始終指向圓心，方向時刻變化，故合外力一直變化，故D錯誤。
故選：B。
如圖1所示，輕質桿的一端連接一個小球，繞套在固定光滑水平轉軸O上的另一端在豎直平面內做圓周運動。小球經過最高點時的速度大小為v，桿對球的作用力大小為F，F﹣v2圖象如圖2所示。若圖中的a、b及重力加速度g均為已知量，規定豎直向上的方向為力的正方向。不計空氣阻力，由此可求得（　　）
A．小球做圓周運動的半徑為
B．F＝0時，小球在最高點的動能為
C．v2＝2b時，小球對桿作用力的方向向下
D．v2＝2b時，桿對小球作用力的大小為a
【解答】解：A、在最高點，若v＝0，則F＝mg＝a；當F＝0時，則重力提供向心力，即：mg＝m，解得R，m，故A錯誤；
B、當F＝0時，則重力提供向心力，即：mg＝m，可得：，故B錯誤；
C、D、若v2＝2b，則F＜0，負號表示桿對小球的作用力的方向向下，所以小球對桿的作用力的方向向上；由牛頓第二定律：﹣F+mg＝m，解得：F＝﹣a＝﹣mg，負號表示方向向下，故C錯誤，D正確。
故選：D。
如圖所示，長為L的輕桿，一端固定在水平轉軸O上，另一端固定一個質量為m的小球。現讓桿繞轉軸O在豎直平面內勻速轉動，角速度為ω，重力加速度為g。某時刻桿對球的作用力方向恰好與桿垂直，則此時桿與水平面的夾角θ滿足（　　）
A．sinθ B．tanθ C．sinθ D．tanθ
【解答】解：小球所受重力和桿子的作用力的合力提供向心力，受力如圖所示；根據牛頓第二定律有：
mgsinθ＝mLω2
解得：sinθ
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（多選）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定質量為m的小球。現讓小球在豎直平面內做圓周運動，小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，速度大小為v，其F﹣v2圖象如圖乙所示。則（　　）
A．小球做圓周運動的半徑R
B．當地的重力加速度大小g
C．v2＝c時，小球受到的彈力方向向上
D．v2＝2b時，小球受到的彈力大小與重力大小相等
【解答】解：A、由圖乙知，若v＝0，則F＝mg＝a．當F＝0時，v2＝b，則小球在最高點時，當F＝0，有：mg＝mm，聯立解得R，故A正確；
B、v2＝0時，根據牛頓第二定律得：mg﹣F＝m0，則F＝mg＝a，所以：g．故B正確。
C、由圖可知：當v2＜b時，桿對小球彈力方向向上，當v2＞b時，桿對小球彈力方向向下，所以當v2＝c時，桿對小球彈力方向向下，故C錯誤；
D、若v2＝2b時。由牛頓第二定律有 F+mg＝mm，結合A項分析解得 F＝mg＝a，故D正確。
故選：ABD。
擺動是生活中常見的運動形式，秋千、鐘擺的運動都是我們熟悉的擺動。擺的形狀各異，卻遵循著相似的規律。
（1）如圖1所示，一個擺的擺長為L，小球質量為m，拉起小球使擺線與豎直方向夾角為θ時將小球由靜止釋放，忽略空氣阻力。
a．求小球運動到最低點時繩對球的拉力的大小F。
b．如圖2所示，當小球運動到擺線與豎直方向夾角為α（α＜θ）時，求此時小球的角速度大小ω1。
（2）如圖3所示，長為L的輕桿，一端可繞固定在O點的光滑軸承在豎直平面內轉動，在距O點為和L處分別固定一個質量為m、可看作質點的小球，忽略輕桿的質量和空氣阻力。
a．將桿與小球組成的系統拉到與豎直方向成θ角的位置由靜止釋放，當系統向下運動到與豎直方向夾角為α（α＜θ）時，求此時系統的角速度大小ω2。
b．若θ較小，系統的運動可看作簡諧運動，對比ω2和ω1的表達式，參照單擺的周期公式T＝2π，寫出此系統做簡諧運動的周期的表達式，并說明依據。
【解答】解：（1）a.根據機械能守恒定律可得mgL （1﹣cosθ）mv2
在最低點根據牛頓第二定律F﹣mg＝m
解得F＝mg （3﹣2cosθ）
b.根據機械能守恒定律可得mgL （cosα﹣cosθ）mv12
角速度為ω1
聯立解得ω1
（2）a.根據機械能守恒定律可得
mgL （cosα﹣cosθ）+mg （cosα﹣cosθ）mv22mv2′2
其中v2＝ω2L，v'2＝ω2
代入解得ω2
b.此系統做簡諧運動的周期為T'＝2
對比ω2和ω1的表達式可得
α可以表示系統運動過程中的任意位置對應的角度，可知兩個系統在運動過程中任意位置的角速度大小均滿足
因此
可得T'T＝2
答：（1）a．小球運動到最低點時繩對球的拉力的大小為mg （3﹣2cosθ）。
b.此時小球的角速度大小為。
（2）a．此時系統的角速度大小為。
b．此系統做簡諧運動的周期的表達式為T'＝2，依據見解析。
【模型二】過拱凹形橋
拱形橋 圓軌外側 凹形橋
示意圖
作用力 最高點(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度增大到mv2/R=mg 即v= 時，FN=0，汽車在橋頂只受重力G，又具水平速度v，因此開始做平拋運動； （3）當0≤v≤時，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）當v>時，汽車將脫離橋面，將在最高點做平拋運動，即所謂的“飛車”。 最高點(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度v≠0時，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
如圖甲所示，被稱為“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圓軌道外側旋轉不脫落，其原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質量為m的鐵球（視為質點）沿軌道外側運動，A、B分別為軌道的最高點和最低點，軌道對鐵球的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，則（　　）
A．鐵球繞軌道可能做勻速圓周運動
B．由于磁力的作用，鐵球繞軌道運動過程中機械能不守恒
C．鐵球在A點的速度必須大于
D．軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，才能使鐵球不脫軌
【解答】解：AB、鐵球在運動的過程中受到重力、軌道的支持力和磁力的作用，其中鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，支持力的方向過圓心，它們都始終與運動的方向垂直，所以磁力和支持力都不能對小鐵球做功，只有重力會對小鐵球做功，所以小鐵球的機械能守恒，在最高點的速度最小，在最低點的速度最大。小鐵球不可能做勻速圓周運動，故AB錯誤；
C、小鐵球在運動的過程中受到重力、軌道的支持力和磁力的作用，在最高點軌道對小鐵球的支持力的方向可以向上，小鐵球的速度只要大于0即可通過最高點，故速度不一定可能大于 ，故C錯誤；
D、由于小鐵球在運動的過程中機械能守恒，所以小鐵球在最高點的速度越小，則機械能越小，在最低點的速度也越小，根據：Fn，可知小鐵球在最低點時需要的向心力越小；而在最低點小鐵球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上。要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的支持力一定要大于0；所以鐵球恰好不脫軌的條件是：小鐵球在最高點的速度恰好為0，而且到達最低點時，軌道對鐵球的支持力恰好等于0。
根據機械能守恒定律，小鐵球在最高點的速度恰好為0，到達最低點時的速度滿足：mg 2Rmv2
軌道對鐵球的支持力恰好等于0，則磁力與重力的合力提供向心力，即：F﹣mg＝m
聯立解得：F＝5mg
可知，要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，故D正確。
故選：D。
（多選）如圖為某種秋千椅的示意圖，“”形輕質鋼制支架O1A1A2O2固定在豎直面內，A1A2沿水平方向，四根等長輕質硬桿通過光滑鉸鏈O1、O2懸掛長方形勻質椅板B1C1C2B2，豎直面內的O1B1C1、O2C2B2為等邊三角形，并繞O1、O2沿圖中虛線來回擺動。已知重力 加速度為g，椅板的質量為m，則椅板擺動到最低點時（　　）
A．B1、C1兩點角速度相等
B．B2、C2兩點線速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
【解答】解：A.B1C1為同軸傳動，則角速度相同，故A正確；
B.B2C2兩點的線速度大小一樣，方向不同，故B錯誤；
C.D.板B1C1C2B2板子在運動到最低點時處于超重狀態，合力向上，所以每根硬桿的拉力大于mg，故C錯誤，D正確。
故選：AD。
如圖，在豎直平面內，滑道ABC關于B點對稱，且A、B、C三點在同一水平線上。若小滑塊第一次由A滑到C，所用的時間為t1，平均摩擦力f1，到C點的速率v1；第二次由C滑到A，所用時間為t2，平均摩擦力f2，到A點的速率v2，小滑塊兩次的初速度大小相同且運動過程始終沿著滑道滑行，小滑塊與滑道的動摩擦因數恒定，則（　　）
A．f1＞f2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．v1＞v2
【解答】解：ABC、在AB段，由牛頓第二定律得：mg﹣F，滑塊受到的支持力：F＝mg，則速度v越大，滑塊受支持力F越小，摩擦力f＝μF就越小，
在BC段，由牛頓第二定律得：F﹣mg，滑塊受到的支持力：F＝mg，則速度v越大，滑塊受支持力F越大，摩擦力f就越大，
由題意知從A運動到C相比從C到A，在AB段速度較大，在BC段速度較小，所以從A到C運動過程受摩擦力較小，用時短，故AB錯誤；
D、從A到C的過程和C到A的過程，通過同一點，在AB段，由牛頓第二定律知，徑向的合力提供向心力，從A到B時速度較大，則支持力較小，摩擦力較小，在BC段，徑向的合力提供向心力，從A到B，在BC段的速度較小，支持力較小，摩擦力較小，結合動能定理知，從A到C過程中克服摩擦力做功小于從C到A過程中克服摩擦力做功，知v1＞v2．故D正確；
故選：D。
（多選）如圖，在一半徑為R的球面頂端放一質量為m的物塊，現給物塊一初速度v0，則下列正確的是（　　）
A．若v0，則物塊落地點離A點2R
B．若球面是粗糙的，當v0時，物塊一定會沿球面下滑一段，再斜拋離球面
C．若v0，則物塊落地點離A點為R
D．若v0，則物塊落地點離A點至少為2R
【解答】解：AD、若v0，物體所受合力為F合＝mmg，此時物塊只受重力，則物塊做平拋運動，豎直方向：2R，水平方向：x＝v0t，聯立解得x＝2R，平拋初速度越大，水平位移越大，故AD正確；
B、當v0時，在最高點時，根據牛頓第二定律得：mg﹣N＝m，N＞0，若物塊受到的摩擦力足夠大，物塊可能滑行一端距離后停止，故B錯誤；
C、當v0時，若小球在到達與圓心O點等高處之前脫離球面做斜拋運動，在到達與O點等高時的水平位移大于R，落地時離A點的距離一定大于R，故C錯誤；
故選：AD。
（多選）如圖所示，質量為m的汽車，沿半徑為R的半圓形拱橋運動。當汽車通過拱橋最高點B時，速度大小為v，則此時（　　）
A．汽車速度越大，對拱形橋壓力越小
B．在B點的速度最小值為
C．若汽車速度等于，汽車將做平拋運動，越過橋后落地點與B點的水平距離為R
D．若汽車對橋頂的壓力為，汽車的速度大小為
【解答】解：A、當汽車通過拱橋最高點B時速度大小為v，設此時橋頂對車的支持力為N，據牛頓第二定律可得：mg﹣N＝m，可知，汽車速度越大，對拱形橋壓力越小，故A正確；
B、當 v時，N＝0，即在B點的速度最大值為，故B錯誤；
C、若汽車速度等于，汽車與橋面無壓力，將做平拋運動，下落至與圓心等高處滿足 R，可得t，水平方向 x＝vt，故汽車越過橋后落地點與B點的水平距離為R，故C正確；
D、若汽車對橋頂的壓力為mg 即汽車受到的支持力為，代入 mg﹣N＝m，解得汽車的速度大小為v，故D錯誤。
故選：AC。
（多選）如圖所示，某水上項目，質量為m的充氣船要過半徑為R的浮于水面上方的半圓球頂部，充氣船受到的阻力可忽略不計。當充氣船在頂部的水平初速度為v0時，則充氣船（　　）
A．立即離開半球做平拋運動
B．先沿球面至某點N，再離開球面做斜下拋運動
C．此后一直沿半圓球面下滑至M點
D．此后運動過程中的加速度不變
【解答】解：在最高點，根據牛頓第二定律得，mg﹣N＝m，v0時，解得N＝0，知物體在頂部僅受重力，有水平初速度，做平拋運動，加速度為g，保持不變，故AD正確，BC錯誤。
故選：AD。
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專題09 豎直面內的圓周運動模型
[模型導航]
【知識分析】一般圓周運動的動力學 1
【模型一】繩、桿模型討論 2
豎直面內圓周運動常見問題與二級結論 2
【模型二】過拱凹形橋 8
[模型分析]
【知識分析】一般圓周運動的動力學
如圖所示，做圓周運動的物體，所受合外力與速度成一般夾角時，可將合外力沿速度和垂直速度分解，則由牛頓第二定律，有：
，aτ改變速度v的大小
，an改變速度v的方向，
作一般曲線運動的物體，處理軌跡線上某一點的動力學時，可先以該點附近的一小段曲線為圓周的一部分作曲率圓，然后即可按一般圓周運動動力學處理。
，aτ改變速度v的大小
，an改變速度v的方向，，ρ為曲率圓半徑。
【模型一】繩、桿模型討論
輕繩模型（沒有支撐） 輕桿模型（有支撐）
常見 類型
過最高點的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球能運動即可得v臨＝0
對應最低點速度v低≥ 對應最低點速度v低≥
繩不松不脫軌條件 v低≥或v低≤ 不脫軌
最低點彈力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高點彈力 過最高點時，v≥，FN＋mg＝m，繩、軌道對球產生彈力FN＝m-mg 向下壓力 (1)當v＝0時，FN＝mg，FN為向上支持力 (2)當0＜v＜時，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，隨v的增大而減小 (3)當v＝時，FN＝0 (4)當v＞時，FN＋mg＝m，FN為向下壓力并隨v的增大而增大
在最高 點的FN 圖線 取豎直向下為正方向 取豎直向下為正方向
豎直面內圓周運動常見問題與二級結論
【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最低點記為C，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為，要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A 的向心力恰好等于重力時，由可得①
對應C點的速度有機械能守恒得②
當小球在C點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與O點等高的D位置則由機械能守恒
得③
小結：(1).當時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力
由牛頓第二定律④
(2).當時小球恰能通過最高點A小球在A 點受軌道的支持力為0
由牛頓第二定律。⑤
(3).當時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運動離開圓周，且v越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0
在DA段射重力與半徑方向的夾角為則、
(4).當時小球不能通過最高點A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上升的最高點為C永不脫離軌道
【問題2】常見幾種情況下物體受軌道的作用力
(1)從最高點A點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒
在C點由牛頓運動定律： 得⑥
(2)從與O等高的D點（四分之一圓弧）處靜止釋放到達最低點C：由機械能守恒
在C點由牛頓運動定律： 得⑦
(3)從A點以初速度釋放小球到達最低點
由機械能守恒
在C點由牛頓運動定律： 得⑧
（2023 全國）如圖，水平地面上放有一質量為M的⊥形支架。一質量為m的小球用長為l的輕繩連接在支架頂端，小球在豎直平面內做圓周運動，重力加速度大小為g。已知小球運動到最低點時速度大小為v，此時地面受到的正壓力大小為（　　）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
（多選）細線拉著一質量為m的帶電小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，該區域內存在水平方向的勻強電場（圖中未畫出），小球所受電場力水平向右，大小是其重力的倍，圓周上A點在圓心的正上方，小球過A點時的速度大小為v0，方向水平向左，除受重力、電場力及細線的拉力外小球不受其他力的作用，重力加速度為g，在小球做圓周運動的過程中（　　）
A．小球最小速率為
B．小球速率最小時其電勢能最大
C．若小球過A點時細線斷開，之后小球電勢能最大時速率為
D．若小球過A點時細線斷開，之后小球電勢能最大時速率為
如圖所示，輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一個小球，小球隨輕桿一起在豎直平面內在轉軸的帶動下繞O點以角速度ω做勻速圓周運動．已知桿長為L，小球的質量為m，重力加速度為g，A、B兩點與O點在同一水平直線上，C、D分別為圓周的最高點和最低點，下列說法正確的是（　　）
A．小球在運動過程中向心加速度不變
B．小球運動到最高點C時，桿對小球的作用力為支持力
C．小球運動到A點時，桿對小球作用力為m
D．小球在D點與C點相比，桿對小球的作用力的大小差值一定為2mLω2
一端連在光滑固定軸上，可在豎直平面內自由轉動的輕桿，另一端與一小球相連，如圖甲所示。現使小球在豎直平面內做圓周運動，到達某一位置開始計時，取水平向右為正方向，小球的水平分速度vx隨時間t的變化關系如圖乙所示，不計空氣阻力，下列說法中正確的是（　　）
A．t1時刻小球通過最高點，t3時刻小球通過最低點
B．t2時刻小球通過最高點，t3時刻小球通過最低點
C．v1大小一定大于v2大小，圖乙中S1和S2的面積一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，圖乙中S1和S2的面積可能不等
應用物理知識分析生活中的常見現象，可以使物理學習更加有趣和深入。例如你用手掌平托一蘋果，保持這樣的姿勢在豎直平面內按順時針方向做勻速圓周運動。關于蘋果從最低點a到最左側點b運動的過程，下列說法中正確的是（　　）
A．蘋果先處于超重狀態后處于失重狀態
B．手掌對蘋果的摩擦力越來越大
C．手掌對蘋果的支持力越來越大
D．蘋果所受的合外力保持不變
如圖1所示，輕質桿的一端連接一個小球，繞套在固定光滑水平轉軸O上的另一端在豎直平面內做圓周運動。小球經過最高點時的速度大小為v，桿對球的作用力大小為F，F﹣v2圖象如圖2所示。若圖中的a、b及重力加速度g均為已知量，規定豎直向上的方向為力的正方向。不計空氣阻力，由此可求得（　　）
A．小球做圓周運動的半徑為
B．F＝0時，小球在最高點的動能為
C．v2＝2b時，小球對桿作用力的方向向下
D．v2＝2b時，桿對小球作用力的大小為a
如圖所示，長為L的輕桿，一端固定在水平轉軸O上，另一端固定一個質量為m的小球。現讓桿繞轉軸O在豎直平面內勻速轉動，角速度為ω，重力加速度為g。某時刻桿對球的作用力方向恰好與桿垂直，則此時桿與水平面的夾角θ滿足（　　）
A．sinθ B．tanθ C．sinθ D．tanθ
（多選）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定質量為m的小球。現讓小球在豎直平面內做圓周運動，小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，速度大小為v，其F﹣v2圖象如圖乙所示。則（　　）
A．小球做圓周運動的半徑R
B．當地的重力加速度大小g
C．v2＝c時，小球受到的彈力方向向上
D．v2＝2b時，小球受到的彈力大小與重力大小相等
擺動是生活中常見的運動形式，秋千、鐘擺的運動都是我們熟悉的擺動。擺的形狀各異，卻遵循著相似的規律。
（1）如圖1所示，一個擺的擺長為L，小球質量為m，拉起小球使擺線與豎直方向夾角為θ時將小球由靜止釋放，忽略空氣阻力。
a．求小球運動到最低點時繩對球的拉力的大小F。
b．如圖2所示，當小球運動到擺線與豎直方向夾角為α（α＜θ）時，求此時小球的角速度大小ω1。
（2）如圖3所示，長為L的輕桿，一端可繞固定在O點的光滑軸承在豎直平面內轉動，在距O點為和L處分別固定一個質量為m、可看作質點的小球，忽略輕桿的質量和空氣阻力。
a．將桿與小球組成的系統拉到與豎直方向成θ角的位置由靜止釋放，當系統向下運動到與豎直方向夾角為α（α＜θ）時，求此時系統的角速度大小ω2。
b．若θ較小，系統的運動可看作簡諧運動，對比ω2和ω1的表達式，參照單擺的周期公式T＝2π，寫出此系統做簡諧運動的周期的表達式，并說明依據。
【模型二】過拱凹形橋
拱形橋 圓軌外側 凹形橋
示意圖
作用力 最高點(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度增大到mv2/R=mg 即v= 時，FN=0，汽車在橋頂只受重力G，又具水平速度v，因此開始做平拋運動； （3）當0≤v≤時，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）當v>時，汽車將脫離橋面，將在最高點做平拋運動，即所謂的“飛車”。 最高點(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度v≠0時，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
如圖甲所示，被稱為“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圓軌道外側旋轉不脫落，其原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質量為m的鐵球（視為質點）沿軌道外側運動，A、B分別為軌道的最高點和最低點，軌道對鐵球的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，則（　　）
A．鐵球繞軌道可能做勻速圓周運動
B．由于磁力的作用，鐵球繞軌道運動過程中機械能不守恒
C．鐵球在A點的速度必須大于
D．軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，才能使鐵球不脫軌
（多選）如圖為某種秋千椅的示意圖，“”形輕質鋼制支架O1A1A2O2固定在豎直面內，A1A2沿水平方向，四根等長輕質硬桿通過光滑鉸鏈O1、O2懸掛長方形勻質椅板B1C1C2B2，豎直面內的O1B1C1、O2C2B2為等邊三角形，并繞O1、O2沿圖中虛線來回擺動。已知重力 加速度為g，椅板的質量為m，則椅板擺動到最低點時（　　）
A．B1、C1兩點角速度相等
B．B2、C2兩點線速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
如圖，在豎直平面內，滑道ABC關于B點對稱，且A、B、C三點在同一水平線上。若小滑塊第一次由A滑到C，所用的時間為t1，平均摩擦力f1，到C點的速率v1；第二次由C滑到A，所用時間為t2，平均摩擦力f2，到A點的速率v2，小滑塊兩次的初速度大小相同且運動過程始終沿著滑道滑行，小滑塊與滑道的動摩擦因數恒定，則（　　）
A．f1＞f2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．v1＞v2
（多選）如圖，在一半徑為R的球面頂端放一質量為m的物塊，現給物塊一初速度v0，則下列正確的是（　　）
A．若v0，則物塊落地點離A點2R
B．若球面是粗糙的，當v0時，物塊一定會沿球面下滑一段，再斜拋離球面
C．若v0，則物塊落地點離A點為R
D．若v0，則物塊落地點離A點至少為2R
（多選）如圖所示，質量為m的汽車，沿半徑為R的半圓形拱橋運動。當汽車通過拱橋最高點B時，速度大小為v，則此時（　　）
A．汽車速度越大，對拱形橋壓力越小
B．在B點的速度最小值為
C．若汽車速度等于，汽車將做平拋運動，越過橋后落地點與B點的水平距離為R
D．若汽車對橋頂的壓力為，汽車的速度大小為
（多選）如圖所示，某水上項目，質量為m的充氣船要過半徑為R的浮于水面上方的半圓球頂部，充氣船受到的阻力可忽略不計。當充氣船在頂部的水平初速度為v0時，則充氣船（　　）
A．立即離開半球做平拋運動
B．先沿球面至某點N，再離開球面做斜下拋運動
C．此后一直沿半圓球面下滑至M點
D．此后運動過程中的加速度不變
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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