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專題07 拋體運動模型
[模型導(dǎo)航]
【平拋運動模型的構(gòu)建及規(guī)律總結(jié)】 1
【模型一】三類常見的平拋與斜面的結(jié)合 2
【模型二】半圓平拋運動 9
【模型三】平拋與圓相切 15
【模型四】臺階平拋運動 19
【模型五】生活中平拋運動的臨界問題 23
【模型六】對著豎直墻壁的平拋 27
【模型七】 平拋運動中的相遇問題 31
【模型八】斜拋運動問題 34
[模型分析]
【平拋運動模型的構(gòu)建及規(guī)律總結(jié)】
1、平拋運動的條件和性質(zhì)
（1）條件：物體只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性質(zhì)：加速度恒定，豎直向下，是勻變速曲線運動。
2、平拋運動的規(guī)律
規(guī)律：（按水平和豎直兩個方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0為速度的勻速直線運動，
豎直方向：豎直方向只受重力且初速度為零，做自由落體運動，
平拋運動的軌跡：是一條拋物線
合速度：大小：即，
方向：v與水平方向夾角為，即
合位移：大小：即，
方向：S與水平方向夾角為，即
一個關(guān)系： ，說明了經(jīng)過一段時間后，物體位移的方向與該時刻合瞬時速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如圖所示:
3、對平拋運動的研究
（1）平拋運動在空中的飛行時間
由豎直方向上的自由落體運動可以得到時間
可見，平拋運動在空中的飛行時間由拋出點到落地點的豎直距離和該地的重力加速度決定，拋出點越高或者該地的重力加速度越小，拋體飛行的時間就越長，與拋出時的初速度大小無關(guān)。
（2）平拋運動的射程
由平拋運動的軌跡方程可以寫出其水平射程
可見，在g一定的情況下，平拋運動的射程與初速度成正比，與拋出點高度的平方根成正比，即拋出的速度越大、拋出點到落地點的高度越大時，射程也越大。
（3）平拋運動軌跡的研究
平拋運動的拋出速度越大時，拋物線的開口就越大。
（多選）將一小球從距地面h高處以初速度v0水平拋出，小球落地時的豎直分速度為vy。則下列關(guān)于計算小球在空中飛行時間t的表達(dá)式正確的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、根據(jù)h得，平拋運動的時間t，故A正確。
BC、根據(jù)vy＝gt得，，故BC錯誤。
D、根據(jù)h得，t，故D正確。
故選：AD。
如圖所示，一架戰(zhàn)斗機(jī)沿水平方向勻速飛行，先后釋放三顆炸彈，分別擊中山坡上水平間距相等的A、B、C三點。已知擊中A、B的時間間隔為t1，擊中B、C的時間間隔為t2，釋放炸彈的時間間隔分別為Δt1、Δt2。不計空氣阻力，則（　　）
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2
【解答】解：設(shè)釋放第一顆炸彈的時刻為t01，擊中山坡上A點的時刻為tA，釋放第二顆炸彈的時刻為t02，擊中山坡上B點的時刻為tB，釋放第三顆炸彈的時刻為t03，擊中山坡上C點的時刻為tC，由于炸彈在空中下落過程，戰(zhàn)斗機(jī)一直處于炸彈的正上方，根據(jù)水平方向上的運動特點可得：
xAB＝v0（tB﹣tA）＝v0t1
xBC＝v0（tC﹣tB）＝v0t2
由于xAB＝xBC
可得：t1＝t2
設(shè)三顆炸彈在空中下落的高度分別為hA、hB、hC；因為平拋運動的物體在豎直方向上做自由落體運動，則三顆炸彈在空中的下落時間分別為：
則有
由圖可知下落高度關(guān)系為：hB略小于hA，hC比hB小得多；由此可知Δt1＜Δt2，故B正確，ACD錯誤；
故選：B。
一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看作圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，這樣，在分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法來處理了。將一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球（可視為質(zhì)點）從空中O點以速度v0＝3m/s水平拋出，經(jīng)過軌跡上的P點時速度方向與水平方向夾角為53°，如圖甲所示。現(xiàn)沿小球運動軌跡鋪設(shè)一條光滑軌道，如圖乙所示，讓小球從O點由靜止釋放開始沿軌道下滑，不計一切阻力，重力加速度g取10m/s2，則（　　）
A．小球下滑到P處時的速度大小為4m/s
B．小球從O點下滑到P點的時間為0.4s
C．O、P兩點的水平距離為0.8m
D．在P點處，小球?qū)壍赖膲毫镹
【解答】解：AC、根據(jù)平拋運動的規(guī)律可知：
vy＝v0tan53°＝3m/s＝4m/s
在豎直方向上：
根據(jù)幾何關(guān)系可得：
聯(lián)立解得：y＝0.8m；x＝1.2m；t＝0.4s；
即op間的水平距離為1.2m，豎直距離為0.8m，
小球沿光滑軌道下滑到P點，根據(jù)動能定理可得：
解得：v＝4m/s，故A正確，C錯誤；
B、若OP軌道為光滑傾斜軌道，由勻加速直線運動的規(guī)律可得：
解得：t'，由于軌道為圓形軌道，所以所以小球從O點下滑到P點的時間大于0.4s，故B錯誤；
D、在P點對小球進(jìn)行受力分析，如圖所示：
當(dāng)小球平拋時：
當(dāng)小球滑到P點時，根據(jù)牛頓第二定律可得：
解得在P點處，小球?qū)壍赖膲毫椋?br/>，故D正確。
故選：D。
如圖所示，將小球從傾角為θ＝30°的光滑斜面上A點以速度v0＝10m/s水平拋出（即v0∥CD），最后從B處離開斜面，已知AB間的高度h＝5m，g取10m/s2，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）
A．小球的加速度為m/s2
B．小球做平拋運動，運動軌跡為拋物線
C．小球到達(dá)B點時的速度大小為10m/s
D．小球從A點運動到B點所用的時間為1s
【解答】解：小球做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律得，小球沿斜面下滑的加速度為：
agsinθ＝10×5m/s2＝5m/s2，
根據(jù)位移—時間關(guān)系可得：
代入數(shù)據(jù)解得：t＝2s
沿斜面方向的速度大小為：vy＝at＝5×2m/s＝10m/s
則到達(dá)B點時的速度大小vm/s＝10m/s，故C正確、ABD錯誤。
故選：C。
【模型一】三類常見的平拋與斜面的結(jié)合
類型一：沿著斜面平拋
1.斜面上平拋運動的時間的計算
斜面上的平拋(如圖)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平拋運動的推論
根據(jù)推論可知，tanα=2tanθ，同一個斜面同一個θ，所以，無論平拋初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.與斜面的最大距離問題
兩種分解方法：
【構(gòu)建模型】如圖所示，從傾角為θ的斜面上的A點以初速度v0水平拋出一個物體，物體落在斜面上的B點，不計空氣阻力．
法一：(1) 以拋出點為坐標(biāo)原點，沿斜面方向為x軸，垂直于斜面方向為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖(a)所示
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線運動，垂直于斜面方向做初速度為vy、加速度為ay的勻減速直線運動，類似于豎直上拋運動．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)當(dāng)t＝時，物體離斜面最遠(yuǎn)，由對稱性可知總飛行時間T＝2t＝，
A、B間距離s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如圖(b)所示，當(dāng)速度方向與斜面平行時，離斜面最遠(yuǎn)，v的切線反向延長與v0交點為此時橫坐標(biāo)的中點P，
則tan θ＝＝，t＝.
(2) ＝y(tǒng)＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B間距離s＝＝.
法三：(1)設(shè)物體運動到C點離斜面最遠(yuǎn)，所用時間為t，將v分解成vx和vy，如圖(c)所示，則由tan θ＝＝，得t＝.　
(2)設(shè)由A到B所用時間為t′，水平位移為x，豎直位移為y，如圖(d)所示，由圖可得
tan θ＝，y＝xtan θ ①
y＝gt′2 ②
x＝v0t′ ③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B間的距離s＝＝.
類型二：垂直撞斜面平拋運動
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
底端正上方平拋撞斜面中的幾何三角形
類型三：撞斜面平拋運動中的最小位移問題
過拋出點作斜面的垂線，如圖所示，
當(dāng)小球落在斜面上的B點時，位移最小，設(shè)運動的時間為t，則
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
豎直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（　　）
A．物體在空中運動的時間與初速度成正比
B．落到斜面上時、速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大
C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比
D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠(yuǎn)距離與初速度成正比
【解答】解：A、物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，則位移與水平面之間的夾角為θ，這個合位移可以分解為豎直方向的位移y以及水平方向的位移x，設(shè)初速度為v0，則有tanθ，解得t，由于θ值以及g值一定，所以物體在空中運動的時間與初速度成正比，故A正確；
B、落到斜面上時，設(shè)速度方向與水平面的夾角為α，tanα，把t值代入得，tanα＝2tanθ，由于θ值一定，α也一定，與初速度無關(guān)，故B錯誤；
C、拋出點和落點之間的距離即合位移大小，設(shè)為l，l，把t值代入得l，拋出點和落點之間的距離與初速度的平方成正比錯誤，而不是和初速度成正比，故C錯誤；
D、可以把初速度和重力加速度分解來求解物體在空中運動過程中離斜面的最遠(yuǎn)距離，v0分解為垂直于斜面的速度v1和沿著斜面的速度v2，其中v1＝v0sinθ，重力加速度分解為垂直斜面的加速度g1和沿著斜面的加速度g2，其中g(shù)1＝gcosθ，在垂直斜面方向上速度減為0距離斜面最遠(yuǎn)，設(shè)最遠(yuǎn)距離為d，d，物體在空中運動過程中離斜面的最遠(yuǎn)距離與初速度平方成正比，故D錯誤。
故選：A。
如圖所示，以10m/s的水平初速度v0拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為30°的斜面上，則飛行時間t是（g取10m/s2）（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：物體做平拋運動，當(dāng)垂直地撞在傾角為30°的斜面上時，把物體的速度分解如圖所示，
由圖可知，此時物體的豎直方向上的速度的大小為
vy
由vy＝gt可得，運動的時間為：
。故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
2022年2月8日，谷愛凌勇奪北京冬奧會自由式滑雪女子大跳臺金牌．如圖是運動員某次訓(xùn)練時的示意圖，她從跳臺a處沿水平方向飛出，在斜坡b處著陸，如果其在空中運動過程中與斜面間的最大距離為m，斜坡與水平方向的夾角為30°，重力加速度取10m/s2．則其從a處飛出時的速度大小為（　　）
A．10m/s B．5m/s C．m/s D．m/s
【解答】解：將在a處的速度分解為垂直斜面和沿斜面方向的速度，則沿垂直斜面方向當(dāng)?shù)竭_(dá)距離斜面最大高度時，根據(jù)速度—位移公式可得：
解得：，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（多選）2022年北京張家口冬季奧運會跳臺滑雪比賽將在國家跳臺滑雪中心“雪如意”舉行如圖（a）所示，在跳臺滑雪場地測試賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態(tài)會影響其下落的速度和滑翔的距離某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v﹣t圖像如圖（b）所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則下列說法正確的是（　　）
A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大
D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大
【解答】解：A、根據(jù)圖象與時間軸所圍圖形的面積表示豎直方向上位移的大小可知，第二次滑翔過程中的位移比第一次的位移大，故A錯誤；
B、由圖象知，第二次的運動時間大于第一次運動的時間，由于第二次豎直方向下落距離大，合位移方向不變，所以第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大，故B正確；
C、由圖象知，第二次滑翔時的豎直方向末速度小，運動時間長，據(jù)加速度的定義式可知其平均加速度小，故C錯誤；
D、當(dāng)豎直方向速度大小為v1時，第一次滑翔時圖象的斜率大于第二次滑翔時圖象的斜率，而圖象的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔時速度達(dá)到v1時加速度大于第二次時的加速度，據(jù)mg﹣f＝ma可得阻力大的加速度小，故第二次滑翔時的加速度小，故其所受阻力大，故D正確。
故選：BD。
如圖甲所示，水平地面上有一個底端固定、傾角α可調(diào)的斜面，右側(cè)在D點與一個水平平臺相接。固定在平臺上的彈射裝置可以將小球以不同水平初速度v0彈出、改變斜面傾角α使小球每次均垂直落到斜面上，圖線如圖乙所示，重力加速度g取10m/s2，則平臺高度H為（　　）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【解答】解：固定在平臺上的彈射裝置可以將小球以不同水平初速度v0彈出、改變斜面傾角α使小球每次均垂直落到斜面上，根據(jù)幾何關(guān)系可知小球末速度的方向與豎直方向夾角為α，
則①
②
x＝v0t③
臺高為：H＝h+xtanα④
①②③④聯(lián)立解得：
結(jié)合圖乙可得：
2gH
解得：H＝2m
故ABC錯誤，D正確；
故選：D。
如圖所示，在傾角為θ且足夠長的固定斜面上，從斜面頂端水平向右分別以v0、3v0同時拋出小球A、B（兩小球互相不干擾），不計空氣的阻力，重力加速度為g，則A、B兩球落在斜面上的時間間隔是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)小球A、B在空中做平拋運動的時間分別為t1和t2。
A球落在斜面上，有tanθ，解得：t1
B球落在斜面上，有tanθ，解得：t2
則A、B兩球落在斜面上的時間間隔是，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
如圖所示，在豎直平面中，有一根水平放置的，長度為L的不可伸長的輕繩，繩的一端固定在O點，另一端連有質(zhì)量為m的小球。現(xiàn)從A點靜止釋放小球，當(dāng)小球運動到O點正下方B點時，繩子突然斷裂。B點位于斜面頂端，斜面足夠長，傾角為θ，則下面的說法正確的是（　　）
A．小球落至斜面所需的時間為2
B．小球落至斜面所需的時間為
C．小球落至斜面C點與B點的距離為4Ltanθ
D．小球落至斜面C點與B點的距離為4L
【解答】解：AB．小球AB過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有，，解得；小球BC過程做平拋運動，根據(jù)平拋運動規(guī)律有，解得，所以從A點靜止釋放小時下落時間應(yīng)包括AB過程所用時間，所以小球落至斜面所需的時間大于t，故AB錯誤；
CD．小球BC過程做平拋運動，有，小球落至斜面C點與B點的距離為，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（多選）一種定點投拋游戲可簡化為如圖所示的模型，以水平速度v1從O點拋出小球，小球正好落入傾角為θ的斜面上的洞中，洞口處于斜面上的P點，O、P的連線正好與斜面垂直；當(dāng)以水平速度v2從O點拋出小球時，小球正好與斜面在Q點垂直相碰。不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．小球落在P點的時間是
B．Q點在P點的下方
C．v1＞v2
D．小球落在P點所用的時間與落在Q點所用的時間之比是
【解答】解：A、以水平速度v1從O點拋出小球，O、P的連線正好與斜面垂直，由平拋運動的規(guī)律和幾何關(guān)系得：，解得：，故A正確；
B、以水平速度v2從O點拋出小球，小球正好與斜面在Q點垂直相碰，速度與斜面垂直，由平拋運動的規(guī)律和幾何關(guān)系得：，解得：，故OQ連線與豎直方向夾角滿足tanα＝2tanθ，而OP連線與豎直方向夾角為θ，則α＞θ，故Q點在P點上方，故B錯誤；
C、Q點在P點上方，則球以速度v1拋出下落的高度大于以速度v2拋出下落的高度，由得：t，則t2＜t1
又水平位移x2＞x1，由得，v2＞v1，故C錯誤；
D、落在P點的時間與落在Q點的時間之比：t1：t2：2v1：v2，故D正確。
故選：AD。
【模型二】半圓平拋運動
在半圓內(nèi)的平拋運動(如圖)，由半徑和幾何關(guān)系制約時間t: h＝gt2，R±＝v0t，聯(lián)立兩方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ= gt2，聯(lián)立兩方程可求t或v0。
如圖所示，豎直平面內(nèi)有一個半徑為R的半圓形軌道，A、B為水平直徑的兩端點，O為圓心。現(xiàn)將半徑遠(yuǎn)小于軌道半徑、質(zhì)量為m的小球從O點以初速度v水平向右拋出，小球落在圓周上某一點，不計空氣阻力，重力加速度為g，則小球落在圓周上時的動能為（　　）
A．mgR B．mgR C．（1）mgR D．mgR
【解答】解：設(shè)小球下落的時間為t，根據(jù)平拋運動的規(guī)律有：x＝vt，y，
根據(jù)幾何關(guān)系有：x2+y2＝R2，
代入數(shù)據(jù)解得：y，
根據(jù)動能定理得：，
解得小球落在圓周上的動能：，故A正確，B、C、D錯誤。
故選：A。
在一個半徑為R的圓弧的圓心處，質(zhì)量為m的小球，以大小不同的初動能水平拋出，如圖所示，不計空氣阻力。當(dāng)小球落在圓弧上的動能最小時，對應(yīng)的初動能為（g表示當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋ā　。?br/>A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR
【解答】解：設(shè)水平拋出的初速度為v0，平拋下落的高度是h，
根據(jù)平拋運動的規(guī)律得出平拋水平位移大小x＝v0t＝v0，
根據(jù)幾何關(guān)系得出R2＝h2+x2＝h2，
，
根據(jù)動能定理得出Ekmmgh
Ekmgh
根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系得出當(dāng)時，即hR時，末動能最小，此時對應(yīng)的初動能為mmgR。故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
如圖所示，水平地面有一個坑，其豎直截面為半圓形，ab為沿水平方向的直徑，在a點分別以初速度v0（已知）、2v0、3v0沿ab方向拋出三個石子并擊中坑壁，且以v0、2v0拋出的石子做平拋運動的時間相等。設(shè)以v0和3v0拋出的石子做平拋運動的時間分別為t1和t3，擊中坑壁瞬間的速度分別為v1和v3，則（　　）
A．不可以求出t1和t3
B．只能求出t1和t3的比值
C．可以求出v1和v3
D．不能求出v1和v3，但能求出它們的比值
【解答】解：做平拋運動的物體在任意時間的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖1所示：
做平拋運動的物體在任意位置處，設(shè)其末速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為φ，則有tanθ＝2tanφ。
以v0、2v0拋出的石子做平拋運動的時間相等，說明豎直分位移相等，設(shè)分別落在A、B點，如圖2所示：
以3v0拋出的石子其運動軌跡與AB延長線的交點在b點的正下方。根據(jù)幾何關(guān)系有ABab。對于落在A點的石子，設(shè)ab＝2R，根據(jù)幾何關(guān)系可求得豎直位移與水平位移之比，根據(jù)上述推論求豎直分速度與水平分速度之比，從而求出豎直分速度，再合成求出v1，由公式vy＝at求t1。以3v0拋出的石子落在c點，根據(jù)數(shù)學(xué)知識可寫出其軌跡方程和圓方程，再求得c點的坐標(biāo)，與落在A點的石子下落位移比較，可求得落在c點時的豎直分速度，從而求出v3。由公式vy＝at求t3，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
如圖所示，水平地面固定半徑為5m的四分之一圓弧ABC，O為圓心。在圓心O右側(cè)同一水平線上某點水平向左拋出一個小球，可視為質(zhì)點，恰好垂直擊中圓弧上的D點，D點到水平地面的高度為2m，取g＝10m/s2，則小球的拋出速度是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：小球撞到D點，下降的高度：h＝R﹣H＝5﹣2m＝3m，
到達(dá)D點的豎直分速度：，
小球垂直撞在D點，設(shè)速度與豎直方向的夾角為α，則cosα，tanα，
又，解得：，故C正確，A、B、D錯誤。
故選：C。
如圖所示，a、b兩小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度v0同時水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等，斜面底邊長是其豎直高度的2倍，若小球a能落到半圓軌道上，小球b能落到斜面上，則（　　）
A．a(chǎn)球一定先落在半圓軌道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a(chǎn)、b兩球可能同時落在半圓軌道和斜面上
D．a(chǎn)球可能垂直落在半圓軌道上
【解答】解：將圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖所示，交點為A，初速度合適，可知小球做平拋運動落在A點，則運動的時間相等，即同時落在半圓軌道和斜面上。若初速度不適中，由圖可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圓軌道上。
若a球垂直落在半圓軌道上，根據(jù)幾何關(guān)系知，速度方向與水平方向的夾角是位移與水平方向的夾角的2倍，而在平拋運動中，某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，兩者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圓軌道上，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
【模型三】平拋與圓相切
如圖所示，一小球從半徑為R的固定半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動（小球可視為質(zhì)點），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點。O為半圓軌道圓心，OB與水平方向夾角為60°，重力加速度為g，關(guān)于小球的運動，以下說法正確的是（　　）
A．拋出點與B點的距離為2R
B．小球自拋出至B點的水平射程為1.6R
C．小球拋出時的初速度為
D．小球白拋出至B點的過程中速度變化量為2
【解答】解：AB、由幾何知識可得，小球自拋出至B點的水平射程為 x＝R+Rcos60°R，小球飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點，經(jīng)過B點時速度與水平方向的夾角為30°，則tan30°，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，則tanθ，可得豎直位移為：yxRR，根據(jù)勾股定理得拋出點與B點的距離為：s，故AB錯誤；
C、根據(jù)豎直方向上的運動學(xué)公式得：vy2＝2gy，解得：vy．由tan30°，解得v0，故C正確。
D、速度變化量△v＝gt＝vy，故D錯誤。
故選：C。
（多選）如圖所示，在水平放置的半徑為R的圓柱體軸線的正上方的P點，將一個小球以水平速度v0垂直圓柱體的軸線拋出，小球飛行一段時間后恰好從圓柱體的Q點沿切線飛過，測得O、Q連線與豎直方向的夾角為θ，那么小球完成這段飛行的時間是（　　）
A．t B．t C．t D．t
【解答】解：小球以水平速度v0垂直圓柱體的軸線拋出后做平拋運動，將其沿水平和豎直方向分解，在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動。設(shè)小球到達(dá)Q點時的速度v，豎直速度為vy，則由題設(shè)及幾何知識得，小球從P到Q在水平方向上發(fā)生的位移為x＝Rsinθ，速度v的方向與水平方向的夾角為θ，于是，根據(jù)運動規(guī)律得：vy＝gt，x＝v0t，聯(lián)立以上各式解得：，或。
故選：BC。
如圖所示，某游戲中有一隧道跟半徑為R＝125m的圓形橋在M點相接，M為橋的頂點，橋上N點與圓心O的連線跟M0的夾角為37°，與MON在同一豎直面的平臺上邊緣P點比M點高h(yuǎn)＝20m。當(dāng)玩具小車從M越過N點后，從P點水平射出的速度多大都不能直接擊中它。為了使發(fā)射的小球能擊中橋上的小車，速度v0的取值范圍是（不計空氣阻力，sin37°＝0.6，g取10m/s2）（　　）
A．v0＜30m/s B．v0＞40m/s
C．22.5m/s≤v0≤40m/s D．22.5m/s≤v0≤30m/s
【解答】解：為了使發(fā)射的小球能擊中橋上的小車，小球只能落在MN段圓弧上。當(dāng)小球的軌跡與N點相切時，即末速度與N點切線，小球落在MN段的高度范圍為 h～h1。
水平位移范圍 xM～xN。
由幾何關(guān)系可得
h1＝h+R（1﹣cos37°）＝45m
落在M點時間為tM，則
h，得 tM＝2s
落在N點時間為tN，則
h1，得 tN＝3s
小球的軌跡與N點相切時，利用平拋的速度角與位移角的關(guān)系可得
tanβ
得 xN120m
xM＝xN﹣Rsin37°＝45m
落在M點的速度 vM22.5m/s
落在N點的速度 vN40m/s
所以有 22.5m/s≤v0≤40m/s。故C正確。
故選：C。
（多選）如圖所示，半徑R＝1m且豎直放置的圓盤O正按順時針方向勻速轉(zhuǎn)動，在圓盤的邊緣上有一點Q，當(dāng)Q點向上轉(zhuǎn)到豎直位置時，在其正上方h＝0.25m處的P點以v0m/s的初速度向右水平拋出一個小球（可看作質(zhì)點），小球飛行一段時間后恰能從圓盤上的Q點沿切線方向飛出，g取10m/s2，則下列說法中正確的是（　　）
A．小球在這段飛行時間內(nèi)下落的高度為0.75 m
B．小球完成這段飛行所用的時間為 s
C．圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω一定等于 rad/s
D．小球沿圓盤切線方向飛出時的速度大小為2 m/s
【解答】解：ABD、設(shè)小球在平拋運動的過程中，QO轉(zhuǎn)過的最小角度為α．根據(jù)平拋運動的規(guī)律得：
豎直方向有：h+R（1﹣cosα）
水平方向有：Rsinα＝v0t
聯(lián)立解得：α，ts
小球在這段飛行時間內(nèi)下落的高度為：H＝h+R（1﹣cosα）＝0.75m
小球沿圓盤切線方向飛出時速率為：v2m/s，故AD正確，B錯誤。
C、根據(jù)圓周運動的周期性可得：2πn+α＝ωt，n＝0，1，2，…
解得：ω＝（n）rad/s，n＝0，1，2，…．故C錯誤。
故選：AD。
【模型四】臺階平拋運動
方法 ①臨界速度法 ②虛構(gòu)斜面法
示意圖
如圖，一小球從某一高度水平拋出后，恰好落在第1級臺階的緊靠右邊緣處，反彈后再次下落至第3級臺階的緊靠右邊緣處．已知小球從第一、二次與臺階相碰之間的時間間隔為0.3s，每級臺階的寬度和高度均為18cm．小球每次與臺階碰撞后速度的水平分量保持不變，而豎直分量大小變?yōu)榕銮暗模亓铀俣萭＝10m/s2．
（1）求第一次落點與小球拋出點間的水平距離和豎直距離；
（2）分析說明小球是否能夠與第5級臺階相撞．
【解答】解：（1）設(shè)臺階寬度與高度均為L，則 L＝18cm＝0.18m
設(shè)小球從出發(fā)點到第1臺階的時間為t1，從第1臺階到第3臺階的時間t2，則 t2＝0.3s．
水平方向有 2L＝v0t2，
代入數(shù)據(jù)解得 v0＝1.2m/s
設(shè)小球從出發(fā)點到第1臺階的豎直速度：vy＝gt1
從第1臺階到第3臺階，豎直方向：
解得 vy＝1.2m/s，t1＝0.12s
第一次落點與小球拋出點間的水平距離 x＝v0t＝0.144m，豎直距離
（2）小球到達(dá)第3臺階時的豎直速度為：
小球離開第3臺階后再運動0.3s，這一過程中的水平位移x'＝v0t＝0.36m
豎直位移：
所以小球不能到達(dá)第5臺階．
接下來考慮小球是否先與第4臺階相撞，t＝0.15s時小球豎直位移 ，故小球不會與第4級臺階相撞．
答：（1）第一次落點與小球拋出點間的水平距離是0.144m，豎直距離是0.072m；
（2）小球不能夠與第5級臺階相撞．
（多選）某公園的臺階如圖甲所示，已知每級臺階的水平距離s＝40cm，高度h＝20cm。臺階的側(cè)視圖如圖乙所示，總共6級階梯，虛線AB恰好通過每級臺階的頂點。某同學(xué)將一小球置于最上面臺階邊緣的A點，并沿垂直于臺階邊緣將其以初速度v水平拋出，空氣阻力不計。每次與臺階或地面碰撞時，豎直方向的速度大小都變?yōu)樵瓉淼?.5倍，方向與原方向相反；水平方向的速度不變。下列說法正確的是（　　）
A．要使小球首先落到第1級臺階上，初速度v最大為1.5m/s
B．若v＝3m/s，小球首先撞到第3級臺階上
C．若v＝7m/s，小球從拋出到與臺階或地面第3次碰撞所經(jīng)歷的總時間為s
D．多次拋出小球，使其恰好打在各級階梯邊緣，每次小球落點的速度方向相同
【解答】解：A．s＝40cm＝0.4m，高度h＝20cm＝0.2m，小球落到第1級臺階邊緣時，初速度最大，豎直方向
水平方向s＝vt
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得v＝2m/s
故A錯誤；
B．如圖作一條連接各端點的直線，只要小球越過該直線，則小球落到臺階上。設(shè)小球落到斜線上的時間t1，水平方向x＝vt1
豎直方向
且
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得t1＝0.3s
相應(yīng)的水平距離
x＝vt1＝3×0.3m＝0.9m
則臺階數(shù)n2.25
知小球拋出后首先落到的臺階為第3級臺階，故B正確；
C．當(dāng)小球直接擊中B點時，則有豎直方向
水平方向6s＝v1t2
代入數(shù)據(jù)解得
因為
小球直接落到地面上。落地時，豎直分速度為
vy1＝gt2＝10m/s＝2m/s
每次與臺階或地面碰撞時，豎直方向的速度大小都變?yōu)樵瓉淼?.5倍，從第一次碰撞到第二次碰撞，有
代入數(shù)據(jù)解得
從第二次碰撞到第三次碰撞，有
代入數(shù)據(jù)解得
代入數(shù)據(jù)可得總時間為
t總＝t4+t2+t3ssss
故C正確；
D．根據(jù)平拋運動規(guī)律可得，小球位移方向有
tanθ
多次拋出小球，使其恰好打在各級階梯邊緣，在小球每次的落點都在虛線AB上，則tanθ是固定值，則速度的方向
tanα2tanθ
即多次拋出小球，使其恰好打在各級階梯邊緣，每次小球落點的速度方向相同，故D正確。
故選：BCD。
質(zhì)量為m＝0.5kg、可視為質(zhì)點的小滑塊，從光滑斜面上高h(yuǎn)0＝0.6m的A點由靜止開始自由滑下．已知斜面AB與水平面BC在B處通過一小圓弧光滑連接．長為x0＝0.5m的水平面BC與滑塊之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.3，C點右側(cè)有4級臺階（臺階編號如圖所示），D點右側(cè)是足夠長的水平面．每級臺階的高度均為h＝0.2m，寬均為L＝0.4m．（設(shè)滑塊從C點滑出后與地面或臺階碰撞后不再彈起）．求：
（1）滑塊經(jīng)過B點時的速度vB；
（2）滑塊從B點運動到C點所經(jīng)歷的時間tBC；
（3）小球從C點拋出后直接落在P點，P點在哪個臺階上？平拋運動的時間t及水平距離xCP分 別時多少？
【解答】解：（1）物體在斜面AB上下滑，機(jī)械能守恒：
代入數(shù)據(jù)解得：vB．
（2）根據(jù)動能定理得：
，
代入數(shù)據(jù)解得：vC＝3m/s，
根據(jù)牛頓第二定律得：μmg＝ma
則有：a＝μg＝0.3×10m/s2＝3m/s2．
所以滑塊從B到C的時間為：．
（3）根據(jù)tanθ，又，
則有：t，
則水平位移為：x＝vCt＝3×0.3m＝0.9m，
2L＜x＜3L，可知小球落在第三個臺階．
根據(jù)得：
．
水平位移xCP＝vCt′＝3×0.346m＝1.038m．
答：（1）滑塊經(jīng)過B點時的速度為m/s．
（2）滑塊從B點運動到C點所經(jīng)歷的時間為0.155s．
（3）P點在第三個臺階上，水平距離為1.038m．
【模型五】生活中平拋運動的臨界問題
1． 平拋運動中的臨界速度問題
從網(wǎng)上擦過的臨界速度
出界的臨界速度
2． 既擦網(wǎng)又壓線的雙臨界問題
根據(jù)，可得比值：
（多選）如圖所示，為冬奧會單板滑雪大跳臺項目簡化模型。運動員以水平初速度v0從P點沖上半徑為R的六分之一光滑圓弧跳臺，離開跳臺經(jīng)最高點M后落在傾角為θ的斜坡上，落點距Q點的距離為L，若忽略一切阻力并將其看成質(zhì)點，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．運動員在最高點M的速度為0
B．最高點M距水平面PQ的豎直距離為
C．運動員離開圓弧跳臺后在空中運動的時間
D．運動員落在斜面時的速度大小為
【解答】解：A、運動員離開跳臺后做斜拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動，所以運動員在最高點M有水平方向的速度，故A錯誤；
B、根據(jù)幾何關(guān)系可知，圓弧對應(yīng)的圓心角為θ＝60°運動員從開始沿圓弧運動到離開跳臺，只有重力做功，有動能定理可知：
解得：
運動員從離開圓弧到最高點的過程中，
則最高點M點距水平面PQ的豎直距離為H＝h+R（1﹣cosθ）
解得：，故B正確；
CD、運動員從開始運動到落到斜面上時，只有重力做功，
解得：
運動員落在斜面上時豎直分速度大小為：
即
則運動員離開圓弧跳臺后在空中運動的時間為：，故C錯誤，D正確。
故選：BD。
（多選）足球運動員訓(xùn)練罰點球，足球放置在球門中央的正前方O點，兩次射門，足球分別斜向上打在水平橫梁上的a、b兩點，a為橫梁中點，如圖所示，已知足球被踢出時的速度大小相等，不計空氣的作用效果，則足球（　　）
A．從射出到打到a、b兩點的時間一定是ta＜tb
B．從射出到打到a、b兩點的時間可能是ta＞tb
C．到達(dá)a、b兩點瞬間速度大小va＞vb
D．到達(dá)a、b兩點瞬間速度大小va＝vb
【解答】解：CD．足球被踢出時的速度大小相等，重力做功相等，根據(jù)動能定理可知，到達(dá)a、b兩點瞬間速度va＝vb
故D正確，C錯誤；
AB．由幾何關(guān)系可知：到達(dá)b點的足球水平位移較大，到達(dá)a、b兩點豎直位移相等，若從射出到打到a、b兩點的時間ta＞tb，根據(jù)豎直方向做豎直上拋運動：
到達(dá)a點足球豎直初速度較小，根據(jù)運動的合成，水平方向初速度較大，水平方向根據(jù)x＝vxt
水平位移較大，與題意矛盾，也不可能是時間相等
假設(shè)時間相等，則豎直方向分速度與水平方向分速度均相等，水平方向位移也相等，與題意矛盾，所以一定滿足ta＜tb，故A正確，B錯誤。
故選：AD。
極限運動是結(jié)合了一些難度較高，且挑戰(zhàn)性較大的組合運動項目的統(tǒng)稱，如圖所示的雪板就是極限運動的一種。圖中AB是助滑區(qū)、BC是起跳區(qū)、DE是足夠長的著陸坡（認(rèn)為是直線斜坡）。極限運動員起跳的時機(jī)決定了其離開起跳區(qū)時的速度大小和方向。忽略空氣阻力，運動員可視為質(zhì)點。若運動員跳離起跳區(qū)時速度大小相等，速度方向與豎直方向的夾角越小，則運動員（　　）
A．飛行的最大高度越大
B．在空中運動的加速度越大
C．在空中運動的時間越短
D．著陸點距D點的距離一定越遠(yuǎn)
【解答】解：A、若運動員跳離起跳區(qū)時速度大小相等，速度方向與豎直方向的夾角越小，則豎直分速度越大，則飛行的最大高度越大，故A正確；
B、運動的加速度為重力加速度，是不變的，故B錯誤；
CD、豎直分速度越大，運動時間越長，但水平分速度越小，則著陸點距D點的距離不一定越遠(yuǎn)，故CD錯誤。
故選：A。
【模型六】對著豎直墻壁的平拋
1.如圖所示，水平初速度v0不同時，雖然落點不同，但水平位移d相同，t＝.
2.撞墻平拋運動的時間的計算
若已知x和v0。，根據(jù)水平方向勻速運動，可求得時間t=x/v0。，則豎直速度為v=gt、高度為h= gt2.
3.撞墻平拋運動的推論
撞墻末速度的反向延長線，交于水平位移的中點，好像是從同一點沿直線發(fā)出來的一樣，如圖。
如圖所示是中國航天科工集團(tuán)研制的一種投彈式干粉消防車。滅火車出彈口到高樓水平距離為x，在同一位置滅火車先后向高層建筑發(fā)射2枚滅火彈，且滅火彈均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假設(shè)發(fā)射初速度大小均為v0，v0與水平方向夾角分別為θ1、θ2，擊中點離出彈口高度分別為h1、h2，空中飛行時間分別為t1。滅火彈可視為質(zhì)點，兩運動軌跡在同一豎直面內(nèi)，且不計空氣阻力，重力加速度為g。則下列說法正確的是（　　）
A．高度之比
B．時間之比
C．兩枚滅火彈的發(fā)射角滿足θ1+θ2＝90°
D．水平距離與兩枚滅火彈飛行時間滿足x＝2gt1t2
【解答】AB.豎直方向的初速度分別為vy1＝v0sinθ1 vy2＝v0sinθ2
根據(jù)2gh
可得
根據(jù)vy＝gt
可得
故AB錯誤；
C.水平方向x＝v0cosθ1v0cosθ2
可得sin2θ1＝sin2θ2＝sin（90°﹣2θ2）
結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系可得θ1+θ2＝90°
故C正確；
D.水平方向x＝v0cosθ1 t1
豎直方向v0sinθ2＝gt2
結(jié)合θ1+θ2＝90°
可得sinθ2＝cosθ1
可得x＝gt1t2
故D錯誤。
故選：C。
定點投籃時，第一次出手位置較高，籃球的速度方向與豎直方向的夾角為60°；第二次出手位置較低，籃球的速度方向與豎直方向的夾角為30°。已知兩次出手的位置在同一豎直線上，結(jié)果籃球都正好垂直撞到籃板上的同一點P，如圖所示。不計空氣阻力，則前、后兩次投出的籃球在從出手到撞板的過程中（　　）
A．撞擊籃板時的速率相等
B．出手時的速率相等
C．運動的時間的比值為1：3
D．上升的高度的的比值為：3
【解答】解：D、設(shè)投籃處與籃板的水平距離為x，根據(jù)做平拋運動的物體任意時刻速度的反向延長線過水平位移的中點，所以有：tan60°、tan30°，從而得到，故D錯誤；
C、在豎直方向上可以認(rèn)為是自由落體運動，所以，故C錯誤；
A、水平速度v0x1，v0x2，由于上述結(jié)論t1，那么v01x，所以撞擊籃板的速度不相等，故A錯誤；
B、出手速度v1 v2，結(jié)合上一問結(jié)論有：v1＝v2，故B正確。
故選：B。
（多選）圖（a）為某科技興趣小組制作的重力投石機(jī)示意圖。支架固定在水平地面上，輕桿AB可繞支架頂部水平軸OO'在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。A端凹槽內(nèi)裝有一石子，B端固定一配重。某次打靶時，將桿沿逆時針方向轉(zhuǎn)至與豎直方向成θ角后由靜止釋放，桿在配重重力作用下轉(zhuǎn)到豎直位置時石子被水平拋出。石子投向正前方豎直放置的靶，打到靶心上方的“6”環(huán)處，如圖（b）所示。若要打中靶心的“10”環(huán)處，可能實現(xiàn)的途徑有（　　）
A．僅增大石子的質(zhì)量
B．僅增大配重的質(zhì)量
C．僅增大投石機(jī)到靶的距離
D．僅增大θ角
【解答】解：A．僅增大石子的質(zhì)量，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，石子平拋的初速度變小，拋物線向下偏移，可以擊中靶心，故A正確；
B．僅增大配重的質(zhì)量，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，石子平拋的初速度變大，拋物線向上偏移，不能擊中靶心，故B錯誤；
C．僅增大投石機(jī)到靶的距離，拋物線向左偏移，可以擊中靶心，故C正確；
D．僅增大θ角，配重升高，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，石子平拋的初速度變大，拋物線向上偏移，不能擊中靶心，故D錯誤。
故選：AC。
【模型七】平拋運動中的相遇問題
平拋與自由落體 平拋與豎直上拋 平拋與平拋 平拋與勻速
x:l=vt; y:空中相遇t< 聯(lián)立得 x:s=v1t; y: gt2+v2t- gt2=H, t=H/v2 聯(lián)立得H/v2=s/t 球1比球2先拋 t1>t2、v1v4； x:l=(v1-t2)t; y:t=
如圖所示，A，B兩小球分別從距地面高度為h、3h處以速度vA、vB水平拋出，均落在水平面上CD間的中點P，它們在空中運動的時間分別為tA、tB。不計空氣阻力，下列結(jié)論正確的是（　　）
A．tA：tB＝1：3 B．tA：tB＝3：1 C．vA：vB＝1： D．vA：vB：1
【解答】解：A、B.由于A、B兩小球做平拋運動，
A球：
B球：
聯(lián)立以上解得：，故A、B錯誤；
C、D.由于P為CD間的中點，所以A、B兩球的水平位移相等，
所以vAtA＝vBtB，
解得，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（多選）如圖所示，豎直平面內(nèi)A、B、C三點在同一條直線上，甲、乙、丙三小球分別從A、B、C三點水平拋出，若三小球同時落在水平面上的D點，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．丙小球先從C點拋出，甲小球最后從A點拋出
B．三小球在空中的運動時間一定是t甲＞t乙＞t丙
C．三小球拋出時的初速度大小一定是v甲＜v乙＜v丙
D．甲、乙、丙三小球落在D點的速度方向與水平方向的夾角一定是θ甲＜θ乙＜θ丙
【解答】解：AB、根據(jù)h得：t，A球平拋運動的高度最大，C球平拋運動的高度最小，可知三球的運動時間關(guān)系：t甲＞t乙＞t丙，三球同時落在水平面上的D點，可知丙球最后拋出，甲球最先拋出，故A錯誤，B正確；
C、三球拋出的水平位移關(guān)系為：x丙＞x乙＞x甲，根據(jù)x＝v0t知，v甲＜v乙＜v丙，故C正確；
D、平拋運動某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移方向與水平方向夾角正切值的2倍，三球中甲球位移方向與水平方向的夾角最大，丙球位移方向與水平方向的夾角最小，可知三球在D點速度方向與水平方向的夾角大小關(guān)系為：θ甲＞θ乙＞θ丙，故D錯誤。
故選：BC。
如圖所示，A、B兩個小球在同一豎直線上，離地高度分別為2h和h，將兩球水平拋出后，兩球落地時的水平位移之比為1：2，則下列說法正確的是（　　）
A．A、B兩球的初速度之比為1：4
B．A、B兩球的位移相同
C．若兩球同時拋出，則落地的時間差為
D．若兩球同時落地，則兩球拋出的時間差為
【解答】解：A、小球做平拋運動，水平方向為勻速直線運動，豎直方向為自由落體運動，水平方向：x＝vt
豎直方向：
聯(lián)立解得，小球的初速度為
則A、B兩球的初速度之比為
故A錯誤；
B、設(shè)A球的水平位移為x，B球的水平位移為2x，則A、B兩球的位移分別為
則A、B兩球的位移大小不一定相等，方向一定不同，故B錯誤；
CD、由得，A球的運動時間為
B球的運動時間為
若兩球同時拋出，則落地的時間差為
若兩球同時落地，則兩球拋出的時間差為
故C錯誤，D正確。
故選：D。
如圖所示，A、B兩小球從O點水平拋出，A球恰能越過豎直擋板P落在水平面上的Q點，B球拋出后與水平面發(fā)生碰撞，彈起后恰能越過擋板P也落在Q點，B球與水平面碰撞前后瞬間，水平方向速度不變，豎直方向速度大小不變、方向相反。擋板高為h，不計空氣阻力，則下列說法中不正確的是（　　）
A．A、B兩小球從O點運動到Q點的時間相等
B．A球拋出時的速度是B球拋出時速度的3倍
C．A、B兩小球經(jīng)過P頂端時豎直方向的速度大小相等
D．拋出點O距離地面高度為h
【解答】解：AB.設(shè)O點高度為H，A、B球做平拋運動的時間為t，根據(jù)平拋運動規(guī)律，得；根據(jù)斜拋運動規(guī)律，則B球做斜拋運動的時間為2t，B球總共運動的時間為tB＝3t；設(shè)AB球的水平初速度分別為vA、vB，由題意vAt＝vB 3t，得vA＝3vB，故A錯誤，B正確。
C.A、B兩球到達(dá)P頂端時，下降的高度相同，根據(jù)豎直方向上的運動規(guī)律知，豎直方向上的分速度相等，故C正確。
D.擋板為水平位移的中點，根據(jù)x＝vAt可知，A球從O運動到P的時間為，A球下落高度，又，所以，故D正確。
本題選說法不正確的選項。
故選：A。
【模型八】斜拋運動問題
1、運動規(guī)律
水平方向：不受外力，以為初速度做勻速直線運動
水平位移；
豎直方向：豎直方向只受重力，初速度為，做豎直上拋運動，即勻減速直線運動
任意時刻的速度和位移分別是
2、軌跡方程
，是一條拋物線如圖所示：
3、對斜拋運動的研究
（1）斜拋物體的飛行時間：
當(dāng)物體落地時，由 知，飛行時間
（2）斜拋物體的射程：
由軌跡方程
令y=0得落回拋出高度時的水平射程是
兩條結(jié)論：
①當(dāng)拋射角時射程最遠(yuǎn)，
②初速度相同時，兩個互余的拋射角具有相同的射程，例如300和600的兩個拋射角在相同初速度的情況下射程是相等的。
（3）斜上拋運動的射高：
斜上拋的物體達(dá)到最大高度時 =0，此時
代入即得到拋體所能達(dá)到的最大高度
可以看出，當(dāng)時，射高最大
（多選）如圖所示，某同學(xué)在距離籃筐中心水平距離為x的地方跳起投籃。出手點離地面的高度為h，籃筐離地面的高度為H。該同學(xué)出手的瞬時速度，要使籃球到達(dá)籃筐中心時，豎直速度剛好為零。將籃球看成質(zhì)點，籃筐大小忽略不計，忽略空氣阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．出手時瞬時速度與水平方向的夾角為45°
B．出手時瞬時速度與水平方向的夾角為30°
C．水平距離
D．水平距離
【解答】解：根據(jù)題意，籃球到達(dá)籃筐時，豎直速度為零。看成從籃筐處開始做平拋運動。設(shè)出手瞬時速度與水平方向夾角θ，由平拋運動規(guī)律可知：x＝vcosθ t
，，vy＝vsinθ
聯(lián)立解得θ＝30°，，故BC正確，AD錯誤。
故選：BC。
如圖所示，曲線1和2分別為甲、乙兩小球的運動軌跡，甲球從P點水平拋出的同時乙球從M點斜向上拋出，經(jīng)過一段時間后兩球在N點相遇，若M點在P點正下方，M點與N點在同一水平線上，不計空氣阻力，可將球視為質(zhì)點，則（　　）
A．兩球相遇時甲的速度大小為乙的兩倍
B．甲球在P點速度與乙球在最高點的速度相等
C．乙球相對于M點上升的最大高度為PM長度一半
D．兩球相遇時甲的速度與水平方向的夾角為乙的兩倍
【解答】解：A、乙球豎直方向為上拋運動，水平方向為勻速直線運動，根據(jù)運動的對稱性，小球乙從M點出發(fā)到達(dá)最高點的時間是到達(dá)N點時間的一半，則小球乙到達(dá)N點的時間是小球甲到達(dá)最高點時間的一半，根據(jù)v＝gt，所以小球甲乙到達(dá)N點時，乙豎直方向的速度是甲球的2倍；而甲乙小球在水平方向上的位移相等，時間也相等，所以水平方向的速度vx相等。故兩球相遇時，甲的速度大小不是乙的兩倍。故A錯誤。
B、由前面的分析可知甲乙兩球在水平方向都是勻速直線運動，且速度相等，甲球在p點與乙球在最高點時二者豎直方向的速度為零，只有水平速度，故此時二者速度相等。故B正確。
C、設(shè)乙球到達(dá)最高點所用的時間為t，則甲球到達(dá)N點的時間是2t，則乙球相對于M點上升的高度為：h乙
pM的高度為：h甲
則乙球相對于M點上升的最大高度為PM長度的．故C錯誤。
D、兩球相遇時，甲速度與水平方向的夾角為α，乙速度與水平方向的夾角為β，則有：
tanα
tanβ
所以tanα＝2tanβ，故相遇時甲的速度與水平方向的夾角不是乙的兩倍，故D錯誤。
故選：B。
（多選）北京冬奧會報道中利用“AI+8K”技術(shù)，把全新的“時間切片”特技效果應(yīng)用在8K直播中，精準(zhǔn)清晰地抓拍運動員比賽精彩瞬間，給觀眾帶來全新的視覺體驗。“時間切片”是一種類似于多次“曝光”的呈現(xiàn)手法。圖為我國運動員谷愛凌在自由式滑雪女子大跳臺比賽中第三跳的“時間切片”特技圖。忽略空氣阻力的影響，其運動軌跡可近似為拋物線，a、c位置等高。已知起跳點a的速度大小為v，起跳點a與最高點b之間的高度差為h，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A．運動員從b到c的時間為
B．運動員到達(dá)最高點時速度的大小為
C．運動員從a點到b點與從b點到c點的速度變化量不同
D．運動員做的是勻變速曲線運動
【解答】解：A.斜拋運動的下落階段可以看出平拋運動，豎直方向上做自由落體運動，得運動員從b到c的時間為，故A正確；
B.設(shè)運動員在最高點的速度為vx，根據(jù)動能定理，解得運動員在最高點的速度，故B正確；
C.根據(jù)對稱性可知，從最高點往左右兩邊等高的位置的時間是相等的；忽略空氣阻力的影響，運動員在運動過程中只受重力作用，速度的變化量Δv＝gΔt，由于運動員從a點到b點與從b點到c點運動的時間相等，因此運動員從a點到b點與從b點到c點的速度變化量相同，故C錯誤；
D.忽略空氣阻力的影響，運動員在運動過程中只受重力作用，根據(jù)牛頓第二定律mg＝ma，因此斜拋運動的加速度恒為g，所以運動員做的是勻變速曲線運動，故D正確。
故選：ABD。
如圖所示，某同學(xué)正對籃板起跳投籃，球出手后斜向上拋出，出手時速度v0的方向與水平方向的夾角θ＝53°，籃球恰好垂直擊中籃板，反彈后速度沿水平方向，而后進(jìn)入籃圈。球剛出手時，球心O點離地的高度h1＝2.25m，籃球擊中籃板的位置離地的高度為h2＝3.5m、離籃圈的高度為h3＝0.45m，籃圈的直徑d1＝0.45m，籃板與籃圈的最小距離l＝0.15m，籃球的直徑d2＝0.24m，不考慮空氣阻力和籃球的轉(zhuǎn)動。已知籃板平面保持豎直且與籃圈所在平面垂直，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）籃球擊中籃板時的速度大小；
（2）球在O點時的速度v0大小；
（3）要使籃球落入籃圈而進(jìn)球（即球心下降到籃圈所在平面時，球未與籃圈接觸），球打板后反彈的速度范圍。
【解答】解：（1）依題意，可以把籃球的運動看成平拋模型，有
又
解得vx＝3.75m/s
（2）根據(jù)
解得v0＝6.25m/s
（3）球打板后反彈，做平拋運動，有
籃球反彈速度最小時，有l(wèi)＝vmint
籃球反彈速度最大時，有l(wèi)+d1﹣d2＝vmaxt
球打板后反彈的速度范圍為vmin≤v≤vmax
聯(lián)立，可得0.5m/s≤v≤1.2m/s
答：（1）籃球擊中籃板時的速度大小3.75m/s；
（2）球在O點時的速度v0大小6.25m/s；
（3）球打板后反彈的速度范圍0.5m/s≤v≤1.2m/s。
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專題07 拋體運動模型
[模型導(dǎo)航]
【平拋運動模型的構(gòu)建及規(guī)律總結(jié)】 1
【模型一】三類常見的平拋與斜面的結(jié)合 2
【模型二】半圓平拋運動 7
【模型三】平拋與圓相切 10
【模型四】臺階平拋運動 12
【模型五】生活中平拋運動的臨界問題 14
【模型六】對著豎直墻壁的平拋 16
【模型七】 平拋運動中的相遇問題 18
【模型八】斜拋運動問題 20
[模型分析]
【平拋運動模型的構(gòu)建及規(guī)律總結(jié)】
1、平拋運動的條件和性質(zhì)
（1）條件：物體只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性質(zhì)：加速度恒定，豎直向下，是勻變速曲線運動。
2、平拋運動的規(guī)律
規(guī)律：（按水平和豎直兩個方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0為速度的勻速直線運動，
豎直方向：豎直方向只受重力且初速度為零，做自由落體運動，
平拋運動的軌跡：是一條拋物線
合速度：大小：即，
方向：v與水平方向夾角為，即
合位移：大小：即，
方向：S與水平方向夾角為，即
一個關(guān)系： ，說明了經(jīng)過一段時間后，物體位移的方向與該時刻合瞬時速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如圖所示:
3、對平拋運動的研究
（1）平拋運動在空中的飛行時間
由豎直方向上的自由落體運動可以得到時間
可見，平拋運動在空中的飛行時間由拋出點到落地點的豎直距離和該地的重力加速度決定，拋出點越高或者該地的重力加速度越小，拋體飛行的時間就越長，與拋出時的初速度大小無關(guān)。
（2）平拋運動的射程
由平拋運動的軌跡方程可以寫出其水平射程
可見，在g一定的情況下，平拋運動的射程與初速度成正比，與拋出點高度的平方根成正比，即拋出的速度越大、拋出點到落地點的高度越大時，射程也越大。
（3）平拋運動軌跡的研究
平拋運動的拋出速度越大時，拋物線的開口就越大。
（多選）將一小球從距地面h高處以初速度v0水平拋出，小球落地時的豎直分速度為vy。則下列關(guān)于計算小球在空中飛行時間t的表達(dá)式正確的是（　　）
A． B． C． D．
如圖所示，一架戰(zhàn)斗機(jī)沿水平方向勻速飛行，先后釋放三顆炸彈，分別擊中山坡上水平間距相等的A、B、C三點。已知擊中A、B的時間間隔為t1，擊中B、C的時間間隔為t2，釋放炸彈的時間間隔分別為Δt1、Δt2。不計空氣阻力，則（　　）
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2
一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看作圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，這樣，在分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法來處理了。將一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球（可視為質(zhì)點）從空中O點以速度v0＝3m/s水平拋出，經(jīng)過軌跡上的P點時速度方向與水平方向夾角為53°，如圖甲所示。現(xiàn)沿小球運動軌跡鋪設(shè)一條光滑軌道，如圖乙所示，讓小球從O點由靜止釋放開始沿軌道下滑，不計一切阻力，重力加速度g取10m/s2，則（　　）
A．小球下滑到P處時的速度大小為4m/s
B．小球從O點下滑到P點的時間為0.4s
C．O、P兩點的水平距離為0.8m
D．在P點處，小球?qū)壍赖膲毫镹
如圖所示，將小球從傾角為θ＝30°的光滑斜面上A點以速度v0＝10m/s水平拋出（即v0∥CD），最后從B處離開斜面，已知AB間的高度h＝5m，g取10m/s2，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）
A．小球的加速度為m/s2
B．小球做平拋運動，運動軌跡為拋物線
C．小球到達(dá)B點時的速度大小為10m/s
D．小球從A點運動到B點所用的時間為1s
【模型一】三類常見的平拋與斜面的結(jié)合
類型一：沿著斜面平拋
1.斜面上平拋運動的時間的計算
斜面上的平拋(如圖)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平拋運動的推論
根據(jù)推論可知，tanα=2tanθ，同一個斜面同一個θ，所以，無論平拋初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.與斜面的最大距離問題
兩種分解方法：
【構(gòu)建模型】如圖所示，從傾角為θ的斜面上的A點以初速度v0水平拋出一個物體，物體落在斜面上的B點，不計空氣阻力．
法一：(1) 以拋出點為坐標(biāo)原點，沿斜面方向為x軸，垂直于斜面方向為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖(a)所示
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線運動，垂直于斜面方向做初速度為vy、加速度為ay的勻減速直線運動，類似于豎直上拋運動．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)當(dāng)t＝時，物體離斜面最遠(yuǎn)，由對稱性可知總飛行時間T＝2t＝，
A、B間距離s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如圖(b)所示，當(dāng)速度方向與斜面平行時，離斜面最遠(yuǎn)，v的切線反向延長與v0交點為此時橫坐標(biāo)的中點P，
則tan θ＝＝，t＝.
(2) ＝y(tǒng)＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B間距離s＝＝.
法三：(1)設(shè)物體運動到C點離斜面最遠(yuǎn)，所用時間為t，將v分解成vx和vy，如圖(c)所示，則由tan θ＝＝，得t＝.　
(2)設(shè)由A到B所用時間為t′，水平位移為x，豎直位移為y，如圖(d)所示，由圖可得
tan θ＝，y＝xtan θ ①
y＝gt′2 ②
x＝v0t′ ③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B間的距離s＝＝.
類型二：垂直撞斜面平拋運動
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
底端正上方平拋撞斜面中的幾何三角形
類型三：撞斜面平拋運動中的最小位移問題
過拋出點作斜面的垂線，如圖所示，
當(dāng)小球落在斜面上的B點時，位移最小，設(shè)運動的時間為t，則
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
豎直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（　　）
A．物體在空中運動的時間與初速度成正比
B．落到斜面上時、速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大
C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比
D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠(yuǎn)距離與初速度成正比
如圖所示，以10m/s的水平初速度v0拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為30°的斜面上，則飛行時間t是（g取10m/s2）（　　）
A． B．2 C． D．
2022年2月8日，谷愛凌勇奪北京冬奧會自由式滑雪女子大跳臺金牌．如圖是運動員某次訓(xùn)練時的示意圖，她從跳臺a處沿水平方向飛出，在斜坡b處著陸，如果其在空中運動過程中與斜面間的最大距離為m，斜坡與水平方向的夾角為30°，重力加速度取10m/s2．則其從a處飛出時的速度大小為（　　）
A．10m/s B．5m/s C．m/s D．m/s
（多選）2022年北京張家口冬季奧運會跳臺滑雪比賽將在國家跳臺滑雪中心“雪如意”舉行如圖（a）所示，在跳臺滑雪場地測試賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態(tài)會影響其下落的速度和滑翔的距離某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v﹣t圖像如圖（b）所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則下列說法正確的是（　　）
A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大
D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大
如圖甲所示，水平地面上有一個底端固定、傾角α可調(diào)的斜面，右側(cè)在D點與一個水平平臺相接。固定在平臺上的彈射裝置可以將小球以不同水平初速度v0彈出、改變斜面傾角α使小球每次均垂直落到斜面上，圖線如圖乙所示，重力加速度g取10m/s2，則平臺高度H為（　　）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
如圖所示，在傾角為θ且足夠長的固定斜面上，從斜面頂端水平向右分別以v0、3v0同時拋出小球A、B（兩小球互相不干擾），不計空氣的阻力，重力加速度為g，則A、B兩球落在斜面上的時間間隔是（　　）
A． B． C． D．
如圖所示，在豎直平面中，有一根水平放置的，長度為L的不可伸長的輕繩，繩的一端固定在O點，另一端連有質(zhì)量為m的小球。現(xiàn)從A點靜止釋放小球，當(dāng)小球運動到O點正下方B點時，繩子突然斷裂。B點位于斜面頂端，斜面足夠長，傾角為θ，則下面的說法正確的是（　　）
A．小球落至斜面所需的時間為2
B．小球落至斜面所需的時間為
C．小球落至斜面C點與B點的距離為4Ltanθ
D．小球落至斜面C點與B點的距離為4L
（多選）一種定點投拋游戲可簡化為如圖所示的模型，以水平速度v1從O點拋出小球，小球正好落入傾角為θ的斜面上的洞中，洞口處于斜面上的P點，O、P的連線正好與斜面垂直；當(dāng)以水平速度v2從O點拋出小球時，小球正好與斜面在Q點垂直相碰。不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．小球落在P點的時間是
B．Q點在P點的下方
C．v1＞v2
D．小球落在P點所用的時間與落在Q點所用的時間之比是
【模型二】半圓平拋運動
在半圓內(nèi)的平拋運動(如圖)，由半徑和幾何關(guān)系制約時間t: h＝gt2，R±＝v0t，聯(lián)立兩方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ= gt2，聯(lián)立兩方程可求t或v0。
如圖所示，豎直平面內(nèi)有一個半徑為R的半圓形軌道，A、B為水平直徑的兩端點，O為圓心。現(xiàn)將半徑遠(yuǎn)小于軌道半徑、質(zhì)量為m的小球從O點以初速度v水平向右拋出，小球落在圓周上某一點，不計空氣阻力，重力加速度為g，則小球落在圓周上時的動能為（　　）
A．mgR B．mgR C．（1）mgR D．mgR
在一個半徑為R的圓弧的圓心處，質(zhì)量為m的小球，以大小不同的初動能水平拋出，如圖所示，不計空氣阻力。當(dāng)小球落在圓弧上的動能最小時，對應(yīng)的初動能為（g表示當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋ā　。?br/>A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR
如圖所示，水平地面有一個坑，其豎直截面為半圓形，ab為沿水平方向的直徑，在a點分別以初速度v0（已知）、2v0、3v0沿ab方向拋出三個石子并擊中坑壁，且以v0、2v0拋出的石子做平拋運動的時間相等。設(shè)以v0和3v0拋出的石子做平拋運動的時間分別為t1和t3，擊中坑壁瞬間的速度分別為v1和v3，則（　　）
A．不可以求出t1和t3
B．只能求出t1和t3的比值
C．可以求出v1和v3
D．不能求出v1和v3，但能求出它們的比值
如圖所示，水平地面固定半徑為5m的四分之一圓弧ABC，O為圓心。在圓心O右側(cè)同一水平線上某點水平向左拋出一個小球，可視為質(zhì)點，恰好垂直擊中圓弧上的D點，D點到水平地面的高度為2m，取g＝10m/s2，則小球的拋出速度是（　　）
A． B． C． D．
如圖所示，a、b兩小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度v0同時水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等，斜面底邊長是其豎直高度的2倍，若小球a能落到半圓軌道上，小球b能落到斜面上，則（　　）
A．a(chǎn)球一定先落在半圓軌道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a(chǎn)、b兩球可能同時落在半圓軌道和斜面上
D．a(chǎn)球可能垂直落在半圓軌道上
【模型三】平拋與圓相切
如圖所示，一小球從半徑為R的固定半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動（小球可視為質(zhì)點），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點。O為半圓軌道圓心，OB與水平方向夾角為60°，重力加速度為g，關(guān)于小球的運動，以下說法正確的是（　　）
A．拋出點與B點的距離為2R
B．小球自拋出至B點的水平射程為1.6R
C．小球拋出時的初速度為
D．小球白拋出至B點的過程中速度變化量為2
（多選）如圖所示，在水平放置的半徑為R的圓柱體軸線的正上方的P點，將一個小球以水平速度v0垂直圓柱體的軸線拋出，小球飛行一段時間后恰好從圓柱體的Q點沿切線飛過，測得O、Q連線與豎直方向的夾角為θ，那么小球完成這段飛行的時間是（　　）
A．t B．t C．t D．t
如圖所示，某游戲中有一隧道跟半徑為R＝125m的圓形橋在M點相接，M為橋的頂點，橋上N點與圓心O的連線跟M0的夾角為37°，與MON在同一豎直面的平臺上邊緣P點比M點高h(yuǎn)＝20m。當(dāng)玩具小車從M越過N點后，從P點水平射出的速度多大都不能直接擊中它。為了使發(fā)射的小球能擊中橋上的小車，速度v0的取值范圍是（不計空氣阻力，sin37°＝0.6，g取10m/s2）（　　）
A．v0＜30m/s B．v0＞40m/s
C．22.5m/s≤v0≤40m/s D．22.5m/s≤v0≤30m/s
（多選）如圖所示，半徑R＝1m且豎直放置的圓盤O正按順時針方向勻速轉(zhuǎn)動，在圓盤的邊緣上有一點Q，當(dāng)Q點向上轉(zhuǎn)到豎直位置時，在其正上方h＝0.25m處的P點以v0m/s的初速度向右水平拋出一個小球（可看作質(zhì)點），小球飛行一段時間后恰能從圓盤上的Q點沿切線方向飛出，g取10m/s2，則下列說法中正確的是（　　）
A．小球在這段飛行時間內(nèi)下落的高度為0.75 m
B．小球完成這段飛行所用的時間為 s
C．圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω一定等于 rad/s
D．小球沿圓盤切線方向飛出時的速度大小為2 m/s
【模型四】臺階平拋運動
方法 ①臨界速度法 ②虛構(gòu)斜面法
示意圖
如圖，一小球從某一高度水平拋出后，恰好落在第1級臺階的緊靠右邊緣處，反彈后再次下落至第3級臺階的緊靠右邊緣處．已知小球從第一、二次與臺階相碰之間的時間間隔為0.3s，每級臺階的寬度和高度均為18cm．小球每次與臺階碰撞后速度的水平分量保持不變，而豎直分量大小變?yōu)榕銮暗模亓铀俣萭＝10m/s2．
（1）求第一次落點與小球拋出點間的水平距離和豎直距離；
（2）分析說明小球是否能夠與第5級臺階相撞．
（多選）某公園的臺階如圖甲所示，已知每級臺階的水平距離s＝40cm，高度h＝20cm。臺階的側(cè)視圖如圖乙所示，總共6級階梯，虛線AB恰好通過每級臺階的頂點。某同學(xué)將一小球置于最上面臺階邊緣的A點，并沿垂直于臺階邊緣將其以初速度v水平拋出，空氣阻力不計。每次與臺階或地面碰撞時，豎直方向的速度大小都變?yōu)樵瓉淼?.5倍，方向與原方向相反；水平方向的速度不變。下列說法正確的是（　　）
A．要使小球首先落到第1級臺階上，初速度v最大為1.5m/s
B．若v＝3m/s，小球首先撞到第3級臺階上
C．若v＝7m/s，小球從拋出到與臺階或地面第3次碰撞所經(jīng)歷的總時間為s
D．多次拋出小球，使其恰好打在各級階梯邊緣，每次小球落點的速度方向相同
質(zhì)量為m＝0.5kg、可視為質(zhì)點的小滑塊，從光滑斜面上高h(yuǎn)0＝0.6m的A點由靜止開始自由滑下．已知斜面AB與水平面BC在B處通過一小圓弧光滑連接．長為x0＝0.5m的水平面BC與滑塊之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.3，C點右側(cè)有4級臺階（臺階編號如圖所示），D點右側(cè)是足夠長的水平面．每級臺階的高度均為h＝0.2m，寬均為L＝0.4m．（設(shè)滑塊從C點滑出后與地面或臺階碰撞后不再彈起）．求：
（1）滑塊經(jīng)過B點時的速度vB；
（2）滑塊從B點運動到C點所經(jīng)歷的時間tBC；
（3）小球從C點拋出后直接落在P點，P點在哪個臺階上？平拋運動的時間t及水平距離xCP分 別時多少？
【模型五】生活中平拋運動的臨界問題
1． 平拋運動中的臨界速度問題
從網(wǎng)上擦過的臨界速度
出界的臨界速度
2． 既擦網(wǎng)又壓線的雙臨界問題
根據(jù)，可得比值：
（多選）如圖所示，為冬奧會單板滑雪大跳臺項目簡化模型。運動員以水平初速度v0從P點沖上半徑為R的六分之一光滑圓弧跳臺，離開跳臺經(jīng)最高點M后落在傾角為θ的斜坡上，落點距Q點的距離為L，若忽略一切阻力并將其看成質(zhì)點，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．運動員在最高點M的速度為0
B．最高點M距水平面PQ的豎直距離為
C．運動員離開圓弧跳臺后在空中運動的時間
D．運動員落在斜面時的速度大小為
（多選）足球運動員訓(xùn)練罰點球，足球放置在球門中央的正前方O點，兩次射門，足球分別斜向上打在水平橫梁上的a、b兩點，a為橫梁中點，如圖所示，已知足球被踢出時的速度大小相等，不計空氣的作用效果，則足球（　　）
A．從射出到打到a、b兩點的時間一定是ta＜tb
B．從射出到打到a、b兩點的時間可能是ta＞tb
C．到達(dá)a、b兩點瞬間速度大小va＞vb
D．到達(dá)a、b兩點瞬間速度大小va＝vb
極限運動是結(jié)合了一些難度較高，且挑戰(zhàn)性較大的組合運動項目的統(tǒng)稱，如圖所示的雪板就是極限運動的一種。圖中AB是助滑區(qū)、BC是起跳區(qū)、DE是足夠長的著陸坡（認(rèn)為是直線斜坡）。極限運動員起跳的時機(jī)決定了其離開起跳區(qū)時的速度大小和方向。忽略空氣阻力，運動員可視為質(zhì)點。若運動員跳離起跳區(qū)時速度大小相等，速度方向與豎直方向的夾角越小，則運動員（　　）
A．飛行的最大高度越大
B．在空中運動的加速度越大
C．在空中運動的時間越短
D．著陸點距D點的距離一定越遠(yuǎn)
【模型六】對著豎直墻壁的平拋
1.如圖所示，水平初速度v0不同時，雖然落點不同，但水平位移d相同，t＝.
2.撞墻平拋運動的時間的計算
若已知x和v0。，根據(jù)水平方向勻速運動，可求得時間t=x/v0。，則豎直速度為v=gt、高度為h= gt2.
3.撞墻平拋運動的推論
撞墻末速度的反向延長線，交于水平位移的中點，好像是從同一點沿直線發(fā)出來的一樣，如圖。
如圖所示是中國航天科工集團(tuán)研制的一種投彈式干粉消防車。滅火車出彈口到高樓水平距離為x，在同一位置滅火車先后向高層建筑發(fā)射2枚滅火彈，且滅火彈均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假設(shè)發(fā)射初速度大小均為v0，v0與水平方向夾角分別為θ1、θ2，擊中點離出彈口高度分別為h1、h2，空中飛行時間分別為t1。滅火彈可視為質(zhì)點，兩運動軌跡在同一豎直面內(nèi)，且不計空氣阻力，重力加速度為g。則下列說法正確的是（　　）
A．高度之比
B．時間之比
C．兩枚滅火彈的發(fā)射角滿足θ1+θ2＝90°
D．水平距離與兩枚滅火彈飛行時間滿足x＝2gt1t2
定點投籃時，第一次出手位置較高，籃球的速度方向與豎直方向的夾角為60°；第二次出手位置較低，籃球的速度方向與豎直方向的夾角為30°。已知兩次出手的位置在同一豎直線上，結(jié)果籃球都正好垂直撞到籃板上的同一點P，如圖所示。不計空氣阻力，則前、后兩次投出的籃球在從出手到撞板的過程中（　　）
A．撞擊籃板時的速率相等
B．出手時的速率相等
C．運動的時間的比值為1：3
D．上升的高度的的比值為：3
（多選）圖（a）為某科技興趣小組制作的重力投石機(jī)示意圖。支架固定在水平地面上，輕桿AB可繞支架頂部水平軸OO'在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。A端凹槽內(nèi)裝有一石子，B端固定一配重。某次打靶時，將桿沿逆時針方向轉(zhuǎn)至與豎直方向成θ角后由靜止釋放，桿在配重重力作用下轉(zhuǎn)到豎直位置時石子被水平拋出。石子投向正前方豎直放置的靶，打到靶心上方的“6”環(huán)處，如圖（b）所示。若要打中靶心的“10”環(huán)處，可能實現(xiàn)的途徑有（　　）
A．僅增大石子的質(zhì)量
B．僅增大配重的質(zhì)量
C．僅增大投石機(jī)到靶的距離
D．僅增大θ角
【模型七】平拋運動中的相遇問題
平拋與自由落體 平拋與豎直上拋 平拋與平拋 平拋與勻速
x:l=vt; y:空中相遇t< 聯(lián)立得 x:s=v1t; y: gt2+v2t- gt2=H, t=H/v2 聯(lián)立得H/v2=s/t 球1比球2先拋 t1>t2、v1v4； x:l=(v1-t2)t; y:t=
如圖所示，A，B兩小球分別從距地面高度為h、3h處以速度vA、vB水平拋出，均落在水平面上CD間的中點P，它們在空中運動的時間分別為tA、tB。不計空氣阻力，下列結(jié)論正確的是（　　）
A．tA：tB＝1：3 B．tA：tB＝3：1 C．vA：vB＝1： D．vA：vB：1
（多選）如圖所示，豎直平面內(nèi)A、B、C三點在同一條直線上，甲、乙、丙三小球分別從A、B、C三點水平拋出，若三小球同時落在水平面上的D點，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．丙小球先從C點拋出，甲小球最后從A點拋出
B．三小球在空中的運動時間一定是t甲＞t乙＞t丙
C．三小球拋出時的初速度大小一定是v甲＜v乙＜v丙
D．甲、乙、丙三小球落在D點的速度方向與水平方向的夾角一定是θ甲＜θ乙＜θ丙
如圖所示，A、B兩個小球在同一豎直線上，離地高度分別為2h和h，將兩球水平拋出后，兩球落地時的水平位移之比為1：2，則下列說法正確的是（　　）
A．A、B兩球的初速度之比為1：4
B．A、B兩球的位移相同
C．若兩球同時拋出，則落地的時間差為
D．若兩球同時落地，則兩球拋出的時間差為
如圖所示，A、B兩小球從O點水平拋出，A球恰能越過豎直擋板P落在水平面上的Q點，B球拋出后與水平面發(fā)生碰撞，彈起后恰能越過擋板P也落在Q點，B球與水平面碰撞前后瞬間，水平方向速度不變，豎直方向速度大小不變、方向相反。擋板高為h，不計空氣阻力，則下列說法中不正確的是（　　）
A．A、B兩小球從O點運動到Q點的時間相等
B．A球拋出時的速度是B球拋出時速度的3倍
C．A、B兩小球經(jīng)過P頂端時豎直方向的速度大小相等
D．拋出點O距離地面高度為h
【模型八】斜拋運動問題
1、運動規(guī)律
水平方向：不受外力，以為初速度做勻速直線運動
水平位移；
豎直方向：豎直方向只受重力，初速度為，做豎直上拋運動，即勻減速直線運動
任意時刻的速度和位移分別是
2、軌跡方程
，是一條拋物線如圖所示：
3、對斜拋運動的研究
（1）斜拋物體的飛行時間：
當(dāng)物體落地時，由 知，飛行時間
（2）斜拋物體的射程：
由軌跡方程
令y=0得落回拋出高度時的水平射程是
兩條結(jié)論：
①當(dāng)拋射角時射程最遠(yuǎn)，
②初速度相同時，兩個互余的拋射角具有相同的射程，例如300和600的兩個拋射角在相同初速度的情況下射程是相等的。
（3）斜上拋運動的射高：
斜上拋的物體達(dá)到最大高度時 =0，此時
代入即得到拋體所能達(dá)到的最大高度
可以看出，當(dāng)時，射高最大
（多選）如圖所示，某同學(xué)在距離籃筐中心水平距離為x的地方跳起投籃。出手點離地面的高度為h，籃筐離地面的高度為H。該同學(xué)出手的瞬時速度，要使籃球到達(dá)籃筐中心時，豎直速度剛好為零。將籃球看成質(zhì)點，籃筐大小忽略不計，忽略空氣阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．出手時瞬時速度與水平方向的夾角為45°
B．出手時瞬時速度與水平方向的夾角為30°
C．水平距離
D．水平距離
如圖所示，曲線1和2分別為甲、乙兩小球的運動軌跡，甲球從P點水平拋出的同時乙球從M點斜向上拋出，經(jīng)過一段時間后兩球在N點相遇，若M點在P點正下方，M點與N點在同一水平線上，不計空氣阻力，可將球視為質(zhì)點，則（　　）
A．兩球相遇時甲的速度大小為乙的兩倍
B．甲球在P點速度與乙球在最高點的速度相等
C．乙球相對于M點上升的最大高度為PM長度一半
D．兩球相遇時甲的速度與水平方向的夾角為乙的兩倍
（多選）北京冬奧會報道中利用“AI+8K”技術(shù)，把全新的“時間切片”特技效果應(yīng)用在8K直播中，精準(zhǔn)清晰地抓拍運動員比賽精彩瞬間，給觀眾帶來全新的視覺體驗。“時間切片”是一種類似于多次“曝光”的呈現(xiàn)手法。圖為我國運動員谷愛凌在自由式滑雪女子大跳臺比賽中第三跳的“時間切片”特技圖。忽略空氣阻力的影響，其運動軌跡可近似為拋物線，a、c位置等高。已知起跳點a的速度大小為v，起跳點a與最高點b之間的高度差為h，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A．運動員從b到c的時間為
B．運動員到達(dá)最高點時速度的大小為
C．運動員從a點到b點與從b點到c點的速度變化量不同
D．運動員做的是勻變速曲線運動
如圖所示，某同學(xué)正對籃板起跳投籃，球出手后斜向上拋出，出手時速度v0的方向與水平方向的夾角θ＝53°，籃球恰好垂直擊中籃板，反彈后速度沿水平方向，而后進(jìn)入籃圈。球剛出手時，球心O點離地的高度h1＝2.25m，籃球擊中籃板的位置離地的高度為h2＝3.5m、離籃圈的高度為h3＝0.45m，籃圈的直徑d1＝0.45m，籃板與籃圈的最小距離l＝0.15m，籃球的直徑d2＝0.24m，不考慮空氣阻力和籃球的轉(zhuǎn)動。已知籃板平面保持豎直且與籃圈所在平面垂直，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）籃球擊中籃板時的速度大小；
（2）球在O點時的速度v0大小；
（3）要使籃球落入籃圈而進(jìn)球（即球心下降到籃圈所在平面時，球未與籃圈接觸），球打板后反彈的速度范圍。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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