資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第11講　萬有引力與航天
目錄
[考試標準] 1
[基礎過關] 2
一、開普勒行星運動三定律 2
二、萬有引力定律 2
三、萬有引力理論的成就 2
四、宇宙航行 2
[命題點研究] 3
命題點一　開普勒三定律的理解和應用 3
命題點二　萬有引力定律的理解和應用 5
命題點三　宇宙航行和衛星問題 7
[課時訓練] 12
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
行星的運動 a 1.不要求掌握人類對行星運動規律認識的細節． 2.不要求用開普勒三個定律求解實際問題． 3.不要求掌握太陽與行星間引力表達式的推導方法． 4.不要求計算空心球體與質點間的萬有引力． 5.不要求分析重力隨緯度變化的原因． 6.不要求計算與引力勢能有關的問題.
太陽與行星間的引力 a
萬有引力定律 c
萬有引力理論的成就 c
宇宙航行 c
經典力學的局限性 a
[基礎過關]
一、開普勒行星運動三定律
1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．
2．開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積．
3．開普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等．
二、萬有引力定律
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比．
2．表達式：F＝G.
3．適用條件：萬有引力定律的公式只適用于計算質點間的相互作用．
4．引力常量是由英國物理學家卡文迪許利用扭秤實驗測得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、萬有引力理論的成就
1．預言未知天體
2．計算天體質量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，大小為7.9 km/s，第一宇宙速度是衛星最大的環繞速度，也是發射衛星的最小發射速度．
2．第二宇宙速度是指將衛星發射出去，掙脫地球的束縛所需要的最小發射速度，其大小為11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使發射出去的衛星掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外所需要的最小發射速度，其大小為16.7 km/s.
[命題點研究]
命題點一　開普勒三定律的理解和應用
1．行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理．
2．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動．
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同．該定律只能用在繞同一中心天體運行的星體之間．
（2023 浙江）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1：2：4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（　　）
A．木衛一軌道半徑為
B．木衛二軌道半徑為r
C．周期T與T0之比為
D．木星質量與地球質量之比為
（2022春 越城區校級期中）我國古代人根據天地運行規律來確定四季循環的起點與終點，并劃分為二十四節氣。二十四節氣，代表著地球在公轉軌道上的二十四個不同的位置。如圖所示，從天體物理學可知地球沿橢圓軌道繞太陽運動所處四個位置，分別對應我國的四個節氣。以下說法正確的是（　　）
A．地球繞太陽做勻速率橢圓軌道運動
B．地球從冬至至春分的時間小于地球公轉周期的四分之一
C．地球繞太陽運行方向（正對紙面）是順時針
D．秋分時地球公轉速度最大
（2022春 溫州期中）“中國天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠鏡（FAST）。通過FAST測量水星與太陽的視角θ（水星B、太陽S分別與地球A的連線所夾的角），如圖所示。若視角的正弦值最大為a，地球和水星繞太陽的運動均視為勻速圓周運動，則水星與地球的公轉周期的比值為（　　）
A． B． C． D．
（2021秋 浙江月考）開普勒第三定律指出：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示橢圓軌道半長軸，T表示公轉周期，比值k是一個對所有行星都相同的常量。同時，開普勒第三定律對于軌跡為圓形和直線的運動依然適用：圓形軌跡可以認為中心天體在圓心處，半長軸為軌跡半徑；直線軌跡可以看成無限扁的橢圓軌跡，長軸為物體與星球之間的距離。已知：星球質量為M，在距離星球的距離為r處有一物體，該物體僅在星球引力的作用下運動。星球可視為質點且認為保持靜止，引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．該星球和物體的引力系統中常量
B．要使物體繞星球做勻速圓周運動，則物體的速度為
C．若物體繞星球沿橢圓軌道運動，在靠近星球的過程中動能在減少
D．若物體由靜止開始釋放，則該物體到達星球所經歷的時間為
（2022春 紹興期末）（1）開普勒行星運動第三定律指出，行星繞太陽運動的橢圓軌道的正半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即k，k是一個所有行星都相同的常量，將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式．已知引力常量為G，太陽的質量為Ms．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統（如地月系統）都成立．經測定月地距離為3.84×108m，月球繞地球運動的周期為2.36×106s．試計算地球的質量MB（G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，結果保留一位有效數字）。
（3）開普勒第二定律指出，行星與太陽連線在相同時間內掃過的面積相等．設火星公轉半徑為r1，地球公轉半徑為r2，定義“面積速度”為單位時間內掃過的面積．火星、地球公轉的“面積速度”之比為多大？
命題點二　萬有引力定律的理解和應用
1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
2．天體質量和密度的估算
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G＝mg，故天體質量M＝，
天體的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2023 浙江模擬）新華社酒泉2022年11月30日電，中國第十艘載人飛船在極端嚴寒的西北戈壁星夜奔赴太空，神舟十五號航天員乘組于11月30日清晨入駐“天宮”，與神舟十四號航天員乘組相聚中國人的“太空家園”。已知空間站離地面的高度為h，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，忽略地球自轉。若空間站可視為繞地心做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　　）
A．空間站中的航天員在睡眠區睡眠時，他們相對于地心處于平衡狀態
B．空間站的線速度大小為
C．地球的質量為
D．空間站的周期為
（2023 遼寧）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
（2023 全國）一月球探測器繞月球做周期為T的圓周運動，軌道距月球表面的高度為H。已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的平均密度為（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
（2023 浙江模擬）科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU （太陽到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
（2020 浙江模擬）某星球的自轉周期為T，一個物體在赤道處的重力是F1，在極地處的重力是F2，已知萬有引力常量G，則星球的平均密度可以表示為（　　）
A． B．
C． D．
命題點三　宇宙航行和衛星問題
1．第一宇宙速度
(1)推導方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度，也是人造衛星的最大環繞速度．
2．衛星運行參量的分析
衛星運行參量 相關方程 結論
線速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用萬有引力定律解決衛星運動問題的技巧
(1)一個模型
天體(包括衛星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型．
(2)兩組公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g為天體表面處的重力加速度)
（2022 鎮海區校級開學）在2022年3月23日的“空中課堂”上，宇航員葉光富在距地高約440km的中國空間站進行了水油分離實驗，在太空微重力環境下水油混合物很難自動分離，但葉老師通過使裝有水油混合物的小瓶做圓周運動，實現了水和油的分離。已知地球同步衛星離地高度約為36000km，則下列說法不正確的是（　　）
A．宇航員在空間站受重力近似為零
B．空間站繞地球運動的速度小于7.9km/s
C．空間站繞地球運動的周期小于24h
D．空間站中分離水油混合物的原理和洗衣機脫水的原理類似
（2022春 溫州期中）關于三個宇宙速度，下列說法正確的是（　　）
A．第一宇宙速度大小為7.9km/s
B．繞地球運行的同步衛星的環繞速度必定大于第一宇宙速度
C．第二宇宙速度為11.2km/s，是繞地飛行器最大的環繞速度
D．在地面附近發射的飛行器速度等于或大于第三宇宙速度時，飛行器就能逃出太陽系了
（2021春 上虞區期末）2021年2月10日19時52分，“天問一號”探測器在距火星表面400km的位置瞬間變速，成功被火星捕獲，圍繞火星做運動。已知火星的第一宇宙速度和第二宇宙速度分別為v1和v2，下列說法正確的是（　　）
A．若變速后的“天問一號”探測器做勻速圓周運動，其速度必小于v1
B．若變速后的“天問一號”探測器做勻速圓周運動，其速度可能大于v1
C．若變速后的“天問一號”探測器做橢圓運動，其變速后瞬間速度可能大于v2
D．若變速后的“天問一號”探測器做橢圓運動，其變速后瞬間速度不可能大于v1
（2020春 浙江期中）物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度，第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2v已知某星球半徑是地球半徑R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為（　　）
A． B． C． D．
（2021春 海曙區校級期中）假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，自身球體半徑分別為RA和RB。兩顆行星各自周圍的衛星的軌道半徑的三次方（r3）與運行公轉周期的平方（T2）的關系如圖所示，T0為衛星環繞各自行星表面運行的周期。則（　　）
A．行星A的質量小于行星B的質量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度
D．當兩行星周圍的衛星的運動軌道半徑相同時，行星A的衛星的向心加速度小于行星B的衛星的向心加速度
拓展點　地球同步衛星
同步衛星的六個“一定”
（2023春 杭州期中）如圖所示，三顆人造衛星正在圍繞地球做勻速固周運動，則下列有關說法中正確的是（　　）
A．衛星可能的軌道為a、b、c
B．衛星可能的軌道為a、c
C．同步衛星可能的軌道為a、c
D．同步衛星可能的軌道為a、b
（2022秋 浙江月考）已知萬有引力常量用G表示，地球質量為M，半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉的周期為T，地球同步衛星的軌道半徑為r，下列表達式中不能計算地球同步衛星的向心加速度a的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022 浙江模擬）如圖所示，實線是地球赤道上空的同步衛星軌道，同步衛星壽命終結時，它會被二次變速通過橢圓轉移軌道推到虛線所示同步軌道上空約300公里處的“墳場軌道”。已知地球自轉周期為T，引力常數為G，地球質量為M，根據上面提供信息，下列得到的結論中正確的是（　　）
A．地球的密度為
B．地球同步衛星離開地面高度為
C．衛星從同步軌道轉移到“墳場軌道”需要給衛星二次加速
D．寧波的緯度約為30°，定點在經度與寧波經度相同的同步衛星，晚上從寧波觀察同步衛星與水平面的視角約為30°
（2022春 浙江期中）均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛星能夠實現除地球南北極的少數地區外的“全球通訊”。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉周期為T，則三顆衛星中任意兩顆的距離為（　　）
A．3 B．
C．3 D．3
（2021春 北侖區校級期中）已知地球質量為M，半徑為R，自轉周期為T，地球同步衛星質量為m，引力常量為G，有關同步衛星，下列表述中正確的是（　　）
A．衛星的運行速度可能等于第一宇宙速度
B．衛星距離地面的高度為
C．衛星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D．衛星運行的向心加速度等于地球赤道表面物體的向心加速度
[課時訓練]
一．選擇題（共14小題）
1．（2021 浙江）空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會發生變化。空間站安裝有發動機，可對軌道進行修正。圖中給出了國際空間站在2020.02﹣2020.08期間離地高度隨時間變化的曲線，則空間站（　　）
A．繞地運行速度約為2.0km/s
B．繞地運行速度約為8.0km/s
C．在4月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒
D．在5月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒
2．（2021 浙江）嫦娥五號探測器是我國首個實施月面采樣返回的航天器，由軌道器、返回器、著陸器和上升器等多個部分組成。為等待月面采集的樣品，軌道器與返回器的組合體環月做圓周運動。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2地球質量m1＝6.0×1024kg，月球質量m2＝7.3×1022kg，月地距離r1＝3.8×105km，月球半徑r2＝1.7×103km。當軌道器與返回器的組合體在月球表面上方約200km處做環月勻速圓周運動時，其環繞速度約為（　　）
A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s
3．（2020 浙江）火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示。若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3：2，則火星與地球繞太陽運動的（　　）
A．軌道周長之比為2：3
B．線速度大小之比為：
C．角速度大小之比為2：3
D．向心加速度大小之比為9：4
4．（2023 鎮海區模擬）2022年11月30日5時42分，神舟十五號載人飛船入軌后，成功對接于空間站天和核心艙，整個對接過程歷時約6.5小時。假設神舟十五號飛船在對接前在1軌道做勻速圓周運動，空間站組合體在2軌道做勻速圓周運動，神舟十五號在B點采用噴氣的方法改變速度，從而達到變軌的目的，通過調整，對接穩定后飛船與組合體仍沿2軌道一起做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　　）
A．飛船從A點到B點線速度不變
B．飛船從B點到C點機械能守恒
C．飛船在B點應沿速度反方向噴氣，對接穩定后在2軌道周期小于在1軌道周期
D．飛船在B點應沿速度反方向噴氣，對接穩定后在C點的速度大小小于噴氣前在B點的速度大小
5．（2023 溫州模擬）2022年7月25日，問天實驗艙成功與軌道高度約為430km的天和核心艙完成對接如圖所示，對接后組合體繞地球的運動可視為勻速圓周運動。已知地球半徑R，引力常量G，地球表面重力加速度g，根據題中所給條件，下列說法正確的是（　　）
A．組合體的周期大于24小時
B．可以計算出地球的平均密度
C．組合體的向心加速度小于赤道上物體隨地球自轉的向心加速度
D．若實驗艙內有一單擺裝置，將擺球拉開一個小角度靜止釋放會做簡諧運動
6．（2023 西湖區校級模擬）如圖，地球與月球可以看作雙星系統，它們均繞連線上的C點轉動，在該系統的轉動平面內有兩個拉格朗日點L2、L4，位于這兩個點的衛星能在地球引力和月球引力的共同作用下繞C點做勻速圓周運動，并保持與地球月球相對位置不變，L2點在地月連線的延長線上，L4點與地球球心、月球球心的連線構成一個等邊三角形。我國已發射的“鵲橋”中繼衛星位于L2點附近，它為“嫦娥四號”成功登陸月球背面提供了穩定的通信支持。假設L4點有一顆監測衛星，“鵲橋”中繼衛星視為在L2點。已知地球的質量為月球的81倍，則（　　）
A．地球球心和月球球心到C點的距離之比為81：1
B．地球和月球對監測衛星的引力之比為9：1
C．監測衛星繞C點運行的加速度比月球的大
D．監測衛星繞C點運行的周期比“鵲橋”中繼衛星的大
7．（2023 杭州一模）有兩顆地球人造衛星，其中“墨子”號衛星在距離地面500km高度的圓形軌道上運行，另一顆衛星北斗導航衛星G7，G7屬于地球靜止軌道衛星（高度約為36000km）。關于衛星以下說法中正確的是（　　）
A．這兩顆衛星的運行速度可能大于7.9km/s
B．通過地面控制可以將北斗G7定點于杭州正上方
C．衛星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．衛星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
8．（2022 浙江模擬）2020年9月15日，長征十一號運載火箭在黃海海域將用于科普傳播的視頻遙感衛星——“嗶哩嗶哩視頻衛星”送入預定軌道，該衛星隨后進入距地表約535km的近地軌道后做勻速圓周運動。已知萬有引力常量、地球半徑，則下列說法正確的是（　　）
A．該衛星的軌道屬于地球同步衛星軌道
B．根據題目已知條件，可以估算該衛星的線速度大小
C．根據已知條件可以判斷該衛星所受萬有引力大小
D．該衛星在軌道上的角速度比月亮繞地球的角速度小
9．（2022 浙江模擬）“嫦娥四號”是我國探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛星（稱為“四號星”），主要任務是更加全面、深層次地科學探測月球地貌、資源等方面的信息。如圖所示，若“四號星”在半徑為r的圓周軌道上繞月運行，t時間內通過的弧長為s，已知引力常量為G，月球表面的重力加速度為g月，下列說法正確的是（　　）
A．可算出月球質量為
B．月球的第一宇宙速度為
C．“四號星”的角速度為
D．“四號星”·的周期2π
10．（2022 浙江三模）衛星回收技術是航天技術中的重要組成部分，衛星A沿半徑為19200km的圓軌道繞地球運行，由于服役時間較長現對其進行回收，啟動點火裝置在極短時間內讓衛星減速，然后沿著與地球表面相切的橢圓軌道運行，運行時僅受地球引力，已知地球半徑為6400km。則衛星A制動后回到地球近地點的最短時間約為（　　）（已知地球質量為6×1024kg，萬有引力常量G為6.67×10﹣11N m2/kg2）
A．2.58×103s B．7.16×103s C．9.27×103s D．1.32×104s
11．（2022 溫州三模）有一種新型人造衛星，叫繩系衛星。它是通過一根金屬長繩將衛星固定在其它航天器上，并以此完成一些常規單體航天器無法完成的任務。現有一航天器A，通過一根金屬長繩在其正下方系一顆繩系衛星B，一起在赤道平面內繞地球做自西向東的勻速圓周運動。航天器A、繩系衛星B以及地心始終在同一條直線上。不考慮稀薄的空氣阻力，不考慮繩系衛星與航天器之間的萬有引力，金屬長繩的質量不計，下列說法正確的是（　　）
A．正常運行時，金屬長繩中拉力為零
B．繩系衛星B的線速度大于航天器A的線速度
C．由于存在地磁場，金屬長繩上繩系衛星B端的電勢高于航天器A端的電勢
D．若在繩系衛星B的軌道上存在另一顆獨立衛星C，其角速度大于繩系衛星B的角速度
12．（2022 寧波二模）2021年10月16日6時56分，航天員翟志剛、王亞平、葉光富進駐我國天宮空間站，開啟為期6個月的太空之旅。若空間站繞地球做勻速圓周運動，它與地心的連線在單位時間內掃過的面積為S。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則空間站的軌道半徑為（　　）
A． B．
C． D．
13．（2022 浙江模擬）2013年6月11日17時38分“神舟十號”飛船從酒泉衛星發射中心發射升空，搭載三位航天員飛向太空，在軌飛行了15天，并在飛船上我國首次開展了航天員太空授課活動．“神十”鞏固和優化了“神九”實現的載人交會對接技術．如圖所示，假設“神舟十號”飛船發射后首先進入橢圓軌道，其遠地點P距地心的距離為a，近地點Q距地心的距離為b，經過變軌后轉移到半徑為a的圓軌道上，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉的影響，則（　　）
A．飛船在圓形軌道上運行時，周期為2π
B．飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的速度大于經過近地點的速度
C．飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的速度小于在圓形軌道上運行的速度
D．飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的加速度大于經過近地點的加速度
14．（2021 臺州二模）2020年7月23日，中國首個火星探測器“天問一號”成功升空，要一次性完成“繞、落、巡”三大任務。進入任務使命軌道，開展對火星全球環繞探測，同時為著陸巡視器開展中繼通訊，接著，著陸巡視器進入火星大氣后，通過氣動外形減速、降落傘減速、反推發動機動力減速、多級減速、著陸反沖后，軟著陸在火星表面。若“天問一號”被火星捕獲后，某階段進入環繞火星的橢圓軌道Ⅰ上運行，在“近火點”A制動后，后來進入軌道Ⅱ繞火星做勻速圓周運動。“天問一號”在軌道Ⅰ上的運行周期為T1，經過點A時的速率為v1，在軌道Ⅱ上運行的周期為T2，軌道半徑為R，運行速率為v2。已知火星質量為M，萬有引力常量為G，則（　　）
A．T1＜T2，v1＝v2 B．T1＜T2，v1＞v2
C．T1＞T2，v1＞v2 D．T1＞T2，v1＜v2
二．多選題（共1小題）
（多選）15．（2022 鹿城區校級模擬）某次發射通信衛星，先用火箭將衛星送入一近地圓軌道，然后再適時開動星載火箭，變軌到橢圓軌道運行；然后再一次開動星載火箭，將其送上與地球自轉同步運行的軌道。則（　　）
A．每一次變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛星的機械能增大，動能增大
B．第一次變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛星的機械能增大，第二次衛星的機械減小
C．衛星在同步軌道運行速度一定比在橢圓軌道上運行時的最大速度要小
D．衛星在橢圓軌道運行時通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于同步軌道運動的加速度
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第11講　萬有引力與航天
目錄
[考試標準] 1
[基礎過關] 1
一、開普勒行星運動三定律 1
二、萬有引力定律 2
三、萬有引力理論的成就 2
四、宇宙航行 2
[命題點研究] 2
命題點一　開普勒三定律的理解和應用 2
命題點二　萬有引力定律的理解和應用 6
命題點三　宇宙航行和衛星問題 10
[課時訓練] 18
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
行星的運動 a 1.不要求掌握人類對行星運動規律認識的細節． 2.不要求用開普勒三個定律求解實際問題． 3.不要求掌握太陽與行星間引力表達式的推導方法． 4.不要求計算空心球體與質點間的萬有引力． 5.不要求分析重力隨緯度變化的原因． 6.不要求計算與引力勢能有關的問題.
太陽與行星間的引力 a
萬有引力定律 c
萬有引力理論的成就 c
宇宙航行 c
經典力學的局限性 a
[基礎過關]
一、開普勒行星運動三定律
1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．
2．開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積．
3．開普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等．
二、萬有引力定律
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比．
2．表達式：F＝G.
3．適用條件：萬有引力定律的公式只適用于計算質點間的相互作用．
4．引力常量是由英國物理學家卡文迪許利用扭秤實驗測得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、萬有引力理論的成就
1．預言未知天體
2．計算天體質量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，大小為7.9 km/s，第一宇宙速度是衛星最大的環繞速度，也是發射衛星的最小發射速度．
2．第二宇宙速度是指將衛星發射出去，掙脫地球的束縛所需要的最小發射速度，其大小為11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使發射出去的衛星掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外所需要的最小發射速度，其大小為16.7 km/s.
[命題點研究]
命題點一　開普勒三定律的理解和應用
1．行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理．
2．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動．
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同．該定律只能用在繞同一中心天體運行的星體之間．
（2023 浙江）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1：2：4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（　　）
A．木衛一軌道半徑為
B．木衛二軌道半徑為r
C．周期T與T0之比為
D．木星質量與地球質量之比為
【解答】解：設木衛一、木衛二、木衛三的軌道半徑分別為r1、r2、r3，木衛三周期為T，公轉軌道半徑r3＝nr。
A、根據開普勒第三定律可得：，解得：r1，故A錯誤；
B、根據開普勒第三定律可得：，解得：r2，故B錯誤；
C、由于開普勒第三定律適用于同一個中心天體，不能根據開普勒第三定律計算周期T與T0之比；由于木星和地球質量關系不知道，無法計算T與T0之比，故C錯誤；
D、對于木衛三，根據萬有引力提供向心力，則有：mnr，解得：M木
對于月球繞地球做勻速圓周運動時，有：m′r，解得：M地
所以木星質量與地球質量之比為：，故D正確。
故選：D。
（2022春 越城區校級期中）我國古代人根據天地運行規律來確定四季循環的起點與終點，并劃分為二十四節氣。二十四節氣，代表著地球在公轉軌道上的二十四個不同的位置。如圖所示，從天體物理學可知地球沿橢圓軌道繞太陽運動所處四個位置，分別對應我國的四個節氣。以下說法正確的是（　　）
A．地球繞太陽做勻速率橢圓軌道運動
B．地球從冬至至春分的時間小于地球公轉周期的四分之一
C．地球繞太陽運行方向（正對紙面）是順時針
D．秋分時地球公轉速度最大
【解答】解：A．根據開普勒第二定律可知，近日點速度最大，遠日點速度最小，地球繞太陽做速率變化的橢圓軌道運動，故A錯誤；
B．地球從冬至至春分，即從近日點到遠日點速度逐漸減小，故時間小于地球公轉周期的四分之一，故B正確；
C．地球繞太陽運行方向（正對紙面）是逆時針，故C錯誤；
D．根據開普勒第二定律可知冬至時地球公轉速度最大，故D錯誤。
故選：B。
（2022春 溫州期中）“中國天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠鏡（FAST）。通過FAST測量水星與太陽的視角θ（水星B、太陽S分別與地球A的連線所夾的角），如圖所示。若視角的正弦值最大為a，地球和水星繞太陽的運動均視為勻速圓周運動，則水星與地球的公轉周期的比值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：當視角最大時，地球和水星的連線恰好與水星的運動軌跡相切，設最大視角為θm，
根據幾何關系有，
又根據開普勒第三定律，
解得，故D正確，ABC錯誤；
故選：D。
（2021秋 浙江月考）開普勒第三定律指出：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示橢圓軌道半長軸，T表示公轉周期，比值k是一個對所有行星都相同的常量。同時，開普勒第三定律對于軌跡為圓形和直線的運動依然適用：圓形軌跡可以認為中心天體在圓心處，半長軸為軌跡半徑；直線軌跡可以看成無限扁的橢圓軌跡，長軸為物體與星球之間的距離。已知：星球質量為M，在距離星球的距離為r處有一物體，該物體僅在星球引力的作用下運動。星球可視為質點且認為保持靜止，引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．該星球和物體的引力系統中常量
B．要使物體繞星球做勻速圓周運動，則物體的速度為
C．若物體繞星球沿橢圓軌道運動，在靠近星球的過程中動能在減少
D．若物體由靜止開始釋放，則該物體到達星球所經歷的時間為
【解答】解：AB、假設物體做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律有：
解得：；，故AB錯誤；
C、若物體繞星球沿橢圓軌道運動，在靠近星球的過程中星球引力對物體做正功，物體動能在增加，故C錯誤；
D、假設物體做直線運動，若物體由靜止開始釋放，根據開普勒定律可得：
解得：，故D正確；
故選：D。
（2022春 紹興期末）（1）開普勒行星運動第三定律指出，行星繞太陽運動的橢圓軌道的正半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即k，k是一個所有行星都相同的常量，將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式．已知引力常量為G，太陽的質量為Ms．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統（如地月系統）都成立．經測定月地距離為3.84×108m，月球繞地球運動的周期為2.36×106s．試計算地球的質量MB（G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，結果保留一位有效數字）。
（3）開普勒第二定律指出，行星與太陽連線在相同時間內掃過的面積相等．設火星公轉半徑為r1，地球公轉半徑為r2，定義“面積速度”為單位時間內掃過的面積．火星、地球公轉的“面積速度”之比為多大？
【解答】解：（1）因行星繞太陽做勻速圓周運動，設軌道的半徑為r。
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
根據開普勒第三定律有：
解得：
（2）在月地系統中，設月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T1，根據萬有引力提供向心力有：
解得：
（3）在時間t內，行星與太陽連線掃過的面積為：
根據萬有引力提供向心力有：
解得：
對于不同的公轉半徑r1、r2有：
命題點二　萬有引力定律的理解和應用
1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
2．天體質量和密度的估算
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G＝mg，故天體質量M＝，
天體的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2023 浙江模擬）新華社酒泉2022年11月30日電，中國第十艘載人飛船在極端嚴寒的西北戈壁星夜奔赴太空，神舟十五號航天員乘組于11月30日清晨入駐“天宮”，與神舟十四號航天員乘組相聚中國人的“太空家園”。已知空間站離地面的高度為h，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，忽略地球自轉。若空間站可視為繞地心做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　　）
A．空間站中的航天員在睡眠區睡眠時，他們相對于地心處于平衡狀態
B．空間站的線速度大小為
C．地球的質量為
D．空間站的周期為
【解答】解：A、空間站中的航天員在睡眠區睡眠時，繞地球近似做勻速圓周運動，處于完全失重狀態，由萬有引力提供向心力，所以他們相對于地心處于非平衡狀態，故A錯誤；
B、空間站繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，有；在地球表面上，有，聯立解得空間站的線速度大小為，故B錯誤；
C、在地球表面上，由，可得地球的質量為，故C錯誤；
D、由萬有引力提供向心力，有，結合在地球表面有，可得空間站的周期為，故D正確。
故選：D。
（2023 遼寧）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
【解答】解：對于質量為m的衛星繞中心天體做勻速圓周運動時，設其軌道半徑為r，根據萬有引力提供向心力，則有：mr，解得M
根據密度計算公式可得：ρ，其中V
聯立解得：ρR3
所以有：
即：
其中：k，
解得：（）2，故D正確、ABC錯誤。
故選：D。
（2023 全國）一月球探測器繞月球做周期為T的圓周運動，軌道距月球表面的高度為H。已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的平均密度為（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
【解答】解：月球探測器繞月球做勻速圓周運動，月球對探測器的引力提供向心力，有：Gm（R+H）
解得：M
月球的體積為VπR3
則月球的平均密度ρ（1）3
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2023 浙江模擬）科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU （太陽到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
【解答】解：設地球的質量為m，地球到太陽的距離為r＝1AU，地球的公轉周期為T＝1年；
由萬有引力提供向心力可得：mr，
解得：M；
對于S2受到黑洞的作用，橢圓軌跡半長軸R＝1000AU，
根據圖中數據結合圖象可以得到S2運動的半周期（2002﹣1994）年＝8年，則周期為T′＝16年，
根據開普勒第三定律結合萬有引力公式可以得出：M黑，其中R為S2的軌跡半長軸，
因此有：M黑，代入數據解得：M黑≈4×106M，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2020 浙江模擬）某星球的自轉周期為T，一個物體在赤道處的重力是F1，在極地處的重力是F2，已知萬有引力常量G，則星球的平均密度可以表示為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：設星球質量為M，半徑為R，由于兩極處物體的重力等于星球對物體的萬有引力，即 ①
在赤道上，萬有引力萬有引力分解為重力和隨地自轉的向心力，則有 ②
聯立①②解得 M
因此，星球的平均密度 ．故B正確，ACD錯誤；
故選：B。
命題點三　宇宙航行和衛星問題
1．第一宇宙速度
(1)推導方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度，也是人造衛星的最大環繞速度．
2．衛星運行參量的分析
衛星運行參量 相關方程 結論
線速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用萬有引力定律解決衛星運動問題的技巧
(1)一個模型
天體(包括衛星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型．
(2)兩組公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g為天體表面處的重力加速度)
（2022 鎮海區校級開學）在2022年3月23日的“空中課堂”上，宇航員葉光富在距地高約440km的中國空間站進行了水油分離實驗，在太空微重力環境下水油混合物很難自動分離，但葉老師通過使裝有水油混合物的小瓶做圓周運動，實現了水和油的分離。已知地球同步衛星離地高度約為36000km，則下列說法不正確的是（　　）
A．宇航員在空間站受重力近似為零
B．空間站繞地球運動的速度小于7.9km/s
C．空間站繞地球運動的周期小于24h
D．空間站中分離水油混合物的原理和洗衣機脫水的原理類似
【解答】解：A、宇航員隨空間站繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，所以宇航員在空間站所受重力不為零，故A錯誤；
B、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，是衛星最大的環繞速度，所以空間站繞地球運動的速度小于7.9km/s，故B正確；
C、地球同步衛星的運行周期為24h，空間站的軌道高度小于地球同步衛星的軌道高度。由萬有引力提供向心力有：Gmr，可得T＝2π，所以空間站繞地球運動的周期小于地球同步衛星的運行周期24h，故C正確；
D、水的密度大于油的密度，在做圓周運動時更容易發生離心，所以空間站中分離水油混合物的原理和洗衣機脫水的原理類似，故D正確。
本題選不正確的，
故選：A。
（2022春 溫州期中）關于三個宇宙速度，下列說法正確的是（　　）
A．第一宇宙速度大小為7.9km/s
B．繞地球運行的同步衛星的環繞速度必定大于第一宇宙速度
C．第二宇宙速度為11.2km/s，是繞地飛行器最大的環繞速度
D．在地面附近發射的飛行器速度等于或大于第三宇宙速度時，飛行器就能逃出太陽系了
【解答】解：A、依據第一宇宙速度是飛行器沿地球表面附近做勻速圓周運動時的速度，因此第一宇宙速度是飛行器做圓周運動的最大運行速度，也是飛行器繞地球飛行的最小發射速度，
其值為vm/s≈7.9×103m/s＝7.9km/s，故A錯誤；
B、根據Gm，知軌道半徑越大，速度越小，第一宇宙速度等于近地衛星的速度，軌道半徑等于地球的半徑，所以第一宇宙速度大于地球同步衛星的環繞速度，故B錯誤；
C、第二宇宙速度為11.2km/s，當飛行器的速度大于等于第二宇宙速度時飛行器脫離地球的吸引而進入繞太陽運行的軌道，則第二宇宙速度是永遠離開地球的最小速度，故C錯誤；
D、當飛行器的速度大于等于第三宇宙速度速度16.7km/s時物體將脫離太陽的束縛，故D正確。
故選：D。
（2021春 上虞區期末）2021年2月10日19時52分，“天問一號”探測器在距火星表面400km的位置瞬間變速，成功被火星捕獲，圍繞火星做運動。已知火星的第一宇宙速度和第二宇宙速度分別為v1和v2，下列說法正確的是（　　）
A．若變速后的“天問一號”探測器做勻速圓周運動，其速度必小于v1
B．若變速后的“天問一號”探測器做勻速圓周運動，其速度可能大于v1
C．若變速后的“天問一號”探測器做橢圓運動，其變速后瞬間速度可能大于v2
D．若變速后的“天問一號”探測器做橢圓運動，其變速后瞬間速度不可能大于v1
【解答】解：
AB.火星的第一宇宙速度，是繞火星做圓周運動速度最大值，故若變速后的“天問一號”探測器做勻速圓周運動，其速度必小于v1，故A正確，B錯誤；
C.若變速后的“天問一號”探測器做橢圓運動，其變速后瞬間速度小于v2，故C錯誤；
D.若變速后的“天問一號”探測器做橢圓運動，其變速后瞬間速度大于v1，故D錯誤；
故選：A。
（2020春 浙江期中）物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度，第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2v已知某星球半徑是地球半徑R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設某星球的質量為M，半徑為r，繞其飛行的衛星質量m，
由萬有引力提供向心力得：
解得：v1①
又因它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的。
得：m②
又由于v2v1③
且某星球半徑是地球半徑R的，
由上可解得：v2，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（2021春 海曙區校級期中）假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，自身球體半徑分別為RA和RB。兩顆行星各自周圍的衛星的軌道半徑的三次方（r3）與運行公轉周期的平方（T2）的關系如圖所示，T0為衛星環繞各自行星表面運行的周期。則（　　）
A．行星A的質量小于行星B的質量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度
D．當兩行星周圍的衛星的運動軌道半徑相同時，行星A的衛星的向心加速度小于行星B的衛星的向心加速度
【解答】解：A、根據萬有引力提供向心力，有：m，解得：T，對于環繞行星A表面運行的衛星，有：，對于環繞行星B表面運行的衛星，有：T0，聯立解得：，由圖知，RA＞RB，所以MA＞MB，故A錯誤；
B、A行星質量為：MA＝ρA，B行星的質量為：MB，解得：，解得：ρA＝ρB，故B錯誤；
C、行星的近地衛星的線速度即第一宇宙速度，根據萬有引力提供向心力，有：m，解得：v∝R，因為RA＞RB，所以vA＞vB，故C正確；
D、根據ma可知，a，由于MA＞MB，行星運動的軌道半徑相等，則行星A的衛星的向心加速度大于行星B的衛星的向心加速度，故D錯誤。
故選：C。
拓展點　地球同步衛星
同步衛星的六個“一定”
（2023春 杭州期中）如圖所示，三顆人造衛星正在圍繞地球做勻速固周運動，則下列有關說法中正確的是（　　）
A．衛星可能的軌道為a、b、c
B．衛星可能的軌道為a、c
C．同步衛星可能的軌道為a、c
D．同步衛星可能的軌道為a、b
【解答】解：人造地球衛星靠萬有引力提供向心力，做勻速圓周運動，萬有引力的方向指向地心，所以圓周運動的圓心是地心。
A、軌道b的圓心不在地心，故不可能是衛星軌道，故A錯誤；
B、軌道a、c的圓心在地心，故其可能是衛星的軌道，故B正確；
CD、同步衛星的軌道平面與赤道平面共面，故C不可能是同步衛星軌道，故CD錯誤。
故選：B。
（2022秋 浙江月考）已知萬有引力常量用G表示，地球質量為M，半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉的周期為T，地球同步衛星的軌道半徑為r，下列表達式中不能計算地球同步衛星的向心加速度a的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：
AB.地球同步衛星的軌道半徑為r，周期為T，根據圓周運動向心加速度公式，故A錯誤，B正確；
C.根據地球表面萬有引力等于重力有，Gmg，故GM＝gR2，故，故C正確；
D.根據萬有引力提供向心力有Gma，故向心加速度，故D正確；
本題選不能計算地球同步衛星的向心加速度a的，故選：A。
（2022 浙江模擬）如圖所示，實線是地球赤道上空的同步衛星軌道，同步衛星壽命終結時，它會被二次變速通過橢圓轉移軌道推到虛線所示同步軌道上空約300公里處的“墳場軌道”。已知地球自轉周期為T，引力常數為G，地球質量為M，根據上面提供信息，下列得到的結論中正確的是（　　）
A．地球的密度為
B．地球同步衛星離開地面高度為
C．衛星從同步軌道轉移到“墳場軌道”需要給衛星二次加速
D．寧波的緯度約為30°，定點在經度與寧波經度相同的同步衛星，晚上從寧波觀察同步衛星與水平面的視角約為30°
【解答】解：A、對近地衛星分析，根據萬有引力提供向心力和密度公式可得
又V，GM＝gR2
解得：ρ
地球的密度計算式中周期應是圍繞地球表面作圓周運動衛星的軌道周期，而不是自轉周期，故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力得
解得：r
r為同步衛星軌道半徑，離開地面高度還要減去地球半徑，故B錯誤；
C、衛星從同步軌道轉移到“墳場軌道”需要給衛星二次加速，故C正確；
D、同步衛星離地高度高，從幾何關系知，晚上從寧波觀察同步衛星與水平面的視角肯定大于30°，故D錯誤；
故選：C。
（2022春 浙江期中）均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛星能夠實現除地球南北極的少數地區外的“全球通訊”。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉周期為T，則三顆衛星中任意兩顆的距離為（　　）
A．3 B．
C．3 D．3
【解答】解：設同步衛星的軌道半經為r，根據：Gmg
得：GM＝gR2
萬有引力提供向心力，有：Gmr
由以上兩式得：r
根據題意畫出俯視三顆同步通信衛星的幾何位置圖象：
根據幾何關系得：
s＝2rsin60°
得sr。故ACD錯誤，B正確；
故選：B。
（2021春 北侖區校級期中）已知地球質量為M，半徑為R，自轉周期為T，地球同步衛星質量為m，引力常量為G，有關同步衛星，下列表述中正確的是（　　）
A．衛星的運行速度可能等于第一宇宙速度
B．衛星距離地面的高度為
C．衛星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D．衛星運行的向心加速度等于地球赤道表面物體的向心加速度
【解答】解：A.第一宇宙速度為v1，而同步衛星的速度為v，因此運行速度小于第一宇宙速度，故A錯誤；
B.萬有引力提供向心力，有：
且r＝R+h
解得：hR，故B錯誤；
C.衛星運行時受到的向心力大小是F向ma向，向心加速度：a向；地表重力加速度為g，衛星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C正確；
D.同步衛星與地球赤道表面的物體具有相同的角速度，根據a＝ω2r知，衛星運行的向心加速度大于地球赤道表面物體的向心加速度，故D錯誤；
故選：C。
[課時訓練]
一．選擇題（共14小題）
1．（2021 浙江）空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會發生變化。空間站安裝有發動機，可對軌道進行修正。圖中給出了國際空間站在2020.02﹣2020.08期間離地高度隨時間變化的曲線，則空間站（　　）
A．繞地運行速度約為2.0km/s
B．繞地運行速度約為8.0km/s
C．在4月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒
D．在5月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒
【解答】解：AB、衛星貼近地面做勻速圓周運動的線速度大小設為v1，此速度為第一宇宙速度，即v1＝7.9km/s；
根據萬有引力提供向心力可得：，解得：v17.9km/s；
設該空間站繞地運行速度大小為v2，根據萬有引力提供向心力可得：
，解得：v2
根據圖象可知，空間站距離地面的最小高度約為h＝418km＜R＝6400km，則
v2km/s＝5.58km/s，
所以空間站繞地運行速度5.58km/s＜v2＜7.9km/s，故AB錯誤；
CD、由圖可知，在4月份期間空間站高度進行了軌道修正，即存在發動機做功，則任意兩小時內其機械能不可視為守恒；在5月份期間無外力做功，地球外層的稀薄空氣任意兩小時內對空間站做功很少，可以忽略不計，機械能可視為守恒，故D正確，C錯誤。
故選：D。
2．（2021 浙江）嫦娥五號探測器是我國首個實施月面采樣返回的航天器，由軌道器、返回器、著陸器和上升器等多個部分組成。為等待月面采集的樣品，軌道器與返回器的組合體環月做圓周運動。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2地球質量m1＝6.0×1024kg，月球質量m2＝7.3×1022kg，月地距離r1＝3.8×105km，月球半徑r2＝1.7×103km。當軌道器與返回器的組合體在月球表面上方約200km處做環月勻速圓周運動時，其環繞速度約為（　　）
A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s
【解答】解：組合體在離月球表面距離為r＝r2+h；設組合體質量為m，月球對組合體的萬有引力充當向心力，
根據Gm
可得vm/s＝1.6×103m/s，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
3．（2020 浙江）火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示。若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3：2，則火星與地球繞太陽運動的（　　）
A．軌道周長之比為2：3
B．線速度大小之比為：
C．角速度大小之比為2：3
D．向心加速度大小之比為9：4
【解答】解：A、軌道周長C＝2πr，故軌道周長之比為半徑之比為3：2，故A錯誤；
BCD、行星繞太陽做勻速圓周運動所需的向心力由太陽對其的萬有引力提供得：r，
則v，線速度大小之比為；
ω，角速度大小之比為；
an，向心加速度大小之比為22：32＝4：9；
故BD錯誤，C正確；
故選：C。
4．（2023 鎮海區模擬）2022年11月30日5時42分，神舟十五號載人飛船入軌后，成功對接于空間站天和核心艙，整個對接過程歷時約6.5小時。假設神舟十五號飛船在對接前在1軌道做勻速圓周運動，空間站組合體在2軌道做勻速圓周運動，神舟十五號在B點采用噴氣的方法改變速度，從而達到變軌的目的，通過調整，對接穩定后飛船與組合體仍沿2軌道一起做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　　）
A．飛船從A點到B點線速度不變
B．飛船從B點到C點機械能守恒
C．飛船在B點應沿速度反方向噴氣，對接穩定后在2軌道周期小于在1軌道周期
D．飛船在B點應沿速度反方向噴氣，對接穩定后在C點的速度大小小于噴氣前在B點的速度大小
【解答】解：A．線速度是矢量，既有大小還有方向，飛船從A點到B點線速度方向改變，故A錯誤；
B．根據功能關系，飛船從B點到C點氣體對飛船做正功，機械能增大，故B錯誤；
C．飛船在B點應沿速度反方向噴氣，軌道2的軌道半徑大于軌道1的軌道半徑，根據萬有引力提供向心力：，
對接穩定后在2軌道周期大于在1軌道周期，故C錯誤；
D．根據，
對接穩定后在C點的速度大小小于噴氣前在B點的速度大小，故D正確。
故選：D。
5．（2023 溫州模擬）2022年7月25日，問天實驗艙成功與軌道高度約為430km的天和核心艙完成對接如圖所示，對接后組合體繞地球的運動可視為勻速圓周運動。已知地球半徑R，引力常量G，地球表面重力加速度g，根據題中所給條件，下列說法正確的是（　　）
A．組合體的周期大于24小時
B．可以計算出地球的平均密度
C．組合體的向心加速度小于赤道上物體隨地球自轉的向心加速度
D．若實驗艙內有一單擺裝置，將擺球拉開一個小角度靜止釋放會做簡諧運動
【解答】解：A、衛星繞地球做勻速圓周運動時，根據萬有引力提供向心力，有，解得衛星的運行周期為
由于組合體的軌道高度小于地球同步衛星的軌道高度，所以組合體的周期小于地球同步衛星的周期，即組合體的周期小于24h，故A錯誤；
B、在地球表面上，根據萬有引力等于重力，得
地球的密度為，聯立解得，故B正確；
C、衛星繞地球做勻速圓周運動時，根據萬有引力提供向心力，有，解得衛星的向心加速度為
因為組合體的軌道高度小于地球同步衛星的軌道高度，所以組合體的向心加速度大于地球同步衛星的向心加速度。地球同步衛星與赤道上的物體具有相同的角速度，而地球同步衛星的半徑大于赤道上物體運轉半徑，根據公式，知地球同步衛星的向心加速度大于赤道上物體的向心加速度，則組合體的向心加速度大于赤道上物體的向心加速度，故C錯誤；
D、小球處于完全失重狀態，靜止釋放小球，小球處于漂浮狀態，將無法做簡諧運動，故D錯誤。
故選：B。
6．（2023 西湖區校級模擬）如圖，地球與月球可以看作雙星系統，它們均繞連線上的C點轉動，在該系統的轉動平面內有兩個拉格朗日點L2、L4，位于這兩個點的衛星能在地球引力和月球引力的共同作用下繞C點做勻速圓周運動，并保持與地球月球相對位置不變，L2點在地月連線的延長線上，L4點與地球球心、月球球心的連線構成一個等邊三角形。我國已發射的“鵲橋”中繼衛星位于L2點附近，它為“嫦娥四號”成功登陸月球背面提供了穩定的通信支持。假設L4點有一顆監測衛星，“鵲橋”中繼衛星視為在L2點。已知地球的質量為月球的81倍，則（　　）
A．地球球心和月球球心到C點的距離之比為81：1
B．地球和月球對監測衛星的引力之比為9：1
C．監測衛星繞C點運行的加速度比月球的大
D．監測衛星繞C點運行的周期比“鵲橋”中繼衛星的大
【解答】解：A．設地球球心到C點的距離為r1，月球球心到C點的距離為r2，對地球根據萬有引力提供向心力有
對月球根據萬有引力提供向心力有
聯立解得
則地球球心和月球球心到C點的距離之比為1：81，故A錯誤；
B．設監測衛星的質量為m，由公式
可知，地球和月球對監測衛星的引力之比為等于地球的質量與月球的質量之比即為81：1，故B錯誤；
C．對月球有
對監測衛星，地球對監測衛星的引力，月球對監測衛星的引力，由于兩引力的夾角小于90o，所以兩引力的合力
設監測衛星繞C點運行的加速度為a1，由
F合＝ma1
得
設月球繞C點運行的加速度為a2，根據萬有引力提供向心力有：
解得：
監測衛星繞C點運行的加速度比月球的大，故C正確；
D．在不同的拉格朗日點航天器隨地月系統運動的周期均相同，所以監測衛星繞C點運行的周期與“鵲橋”中繼衛星相同，故D錯誤。
故選：C。
7．（2023 杭州一模）有兩顆地球人造衛星，其中“墨子”號衛星在距離地面500km高度的圓形軌道上運行，另一顆衛星北斗導航衛星G7，G7屬于地球靜止軌道衛星（高度約為36000km）。關于衛星以下說法中正確的是（　　）
A．這兩顆衛星的運行速度可能大于7.9km/s
B．通過地面控制可以將北斗G7定點于杭州正上方
C．衛星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．衛星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
【解答】解：A．第一宇宙速度是繞地球做勻速圓周運動最大的環繞速度，兩顆衛星運行速度均小于7.9km/s，故A錯誤；
B．G7屬于地球靜止軌道衛星，北斗G7只能定點于赤道正上方，故B錯誤；
C．根據萬有引力提供向心力：
r墨＜r北
衛星“墨子”的周期比北斗G7的周期小，故C正確；
D．根據萬有引力提供向心力：
r墨＜r北
衛星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D錯誤。
故選：C。
8．（2022 浙江模擬）2020年9月15日，長征十一號運載火箭在黃海海域將用于科普傳播的視頻遙感衛星——“嗶哩嗶哩視頻衛星”送入預定軌道，該衛星隨后進入距地表約535km的近地軌道后做勻速圓周運動。已知萬有引力常量、地球半徑，則下列說法正確的是（　　）
A．該衛星的軌道屬于地球同步衛星軌道
B．根據題目已知條件，可以估算該衛星的線速度大小
C．根據已知條件可以判斷該衛星所受萬有引力大小
D．該衛星在軌道上的角速度比月亮繞地球的角速度小
【解答】解：AB、衛星運行時萬有引力提供向心力，有Gm，解得：v，結合地球表面上的物體滿足Gmg，可得v，根據題述信息，“嗶哩嗶哩視頻衛星”軌道半徑小于地球同步軌道衛星，所以該衛星的軌道不屬于地球同步衛星軌道，已知萬有引力常量、地球半徑，軌道高度，結合地球表面重力加速度，可以估算該衛星的線速度大小，故A錯誤，B正確；
C、根據萬有引力定律F＝G，結合已知條件，由于該衛星的質量未知，所以無法判斷該衛星所受萬有引力大小，故C錯誤；
D、衛星運行時萬有引力提供向心力，有Gmrω2，解得：ω，“嗶哩嗶哩視頻衛星”軌道半徑小于月亮繞地球運動的軌道半徑，該衛星在軌道上的角速度比月亮繞地球的角速度大，故D錯誤。
故選：B。
9．（2022 浙江模擬）“嫦娥四號”是我國探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛星（稱為“四號星”），主要任務是更加全面、深層次地科學探測月球地貌、資源等方面的信息。如圖所示，若“四號星”在半徑為r的圓周軌道上繞月運行，t時間內通過的弧長為s，已知引力常量為G，月球表面的重力加速度為g月，下列說法正確的是（　　）
A．可算出月球質量為
B．月球的第一宇宙速度為
C．“四號星”的角速度為
D．“四號星”·的周期2π
【解答】A．t時間內通過的弧長為s，則線速度
根據萬有引力提供向心力
解得，月球質量，故A正確；
B．根據
月球的第一宇宙速度為，其中R為月球半徑，故B錯誤；
C．“四號星”的角速度為
根據黃金代換式
解得：，故C錯誤；
D．“四號星”的周期，故D錯誤。
故答案為：A。
10．（2022 浙江三模）衛星回收技術是航天技術中的重要組成部分，衛星A沿半徑為19200km的圓軌道繞地球運行，由于服役時間較長現對其進行回收，啟動點火裝置在極短時間內讓衛星減速，然后沿著與地球表面相切的橢圓軌道運行，運行時僅受地球引力，已知地球半徑為6400km。則衛星A制動后回到地球近地點的最短時間約為（　　）（已知地球質量為6×1024kg，萬有引力常量G為6.67×10﹣11N m2/kg2）
A．2.58×103s B．7.16×103s C．9.27×103s D．1.32×104s
【解答】解：橢圓的軌道半長軸為a，衛星在圓軌道運行時根據萬有引力提供向心力有：mR，根據開普勒第三定律有：
衛星A制動后回到地球近地點的最短時間t
代入數據解得：t＝7.16×103s
故B正確，ACD錯誤；
故選：B。
11．（2022 溫州三模）有一種新型人造衛星，叫繩系衛星。它是通過一根金屬長繩將衛星固定在其它航天器上，并以此完成一些常規單體航天器無法完成的任務。現有一航天器A，通過一根金屬長繩在其正下方系一顆繩系衛星B，一起在赤道平面內繞地球做自西向東的勻速圓周運動。航天器A、繩系衛星B以及地心始終在同一條直線上。不考慮稀薄的空氣阻力，不考慮繩系衛星與航天器之間的萬有引力，金屬長繩的質量不計，下列說法正確的是（　　）
A．正常運行時，金屬長繩中拉力為零
B．繩系衛星B的線速度大于航天器A的線速度
C．由于存在地磁場，金屬長繩上繩系衛星B端的電勢高于航天器A端的電勢
D．若在繩系衛星B的軌道上存在另一顆獨立衛星C，其角速度大于繩系衛星B的角速度
【解答】解：AD.根據m可知v
則若沒有長繩，則A的線速度小于B的線速度，則AB兩點連線不可能總經過地心；若AB用金屬長繩連接，則因AB連線和地心總共線，可知AB之間的長繩拉力肯定不為零，且繩的拉力對A做正功，對B做負功，這樣使得衛星B的角速度小于同軌道上獨立衛星的角速度，故A錯誤，D正確；
B.由題意可知，AB以相同的角速度繞O點轉動，根據v＝ωr可知，繩系衛星B的線速度小于航天器A的線速度，故B錯誤；
C.在赤道處的地磁場由南向北，金屬長繩由西向東切割磁感線，根據右手定則可知，金屬長繩上繩系衛星B端的電勢低于航天器A端的電勢，故C錯誤；
故選：D。
12．（2022 寧波二模）2021年10月16日6時56分，航天員翟志剛、王亞平、葉光富進駐我國天宮空間站，開啟為期6個月的太空之旅。若空間站繞地球做勻速圓周運動，它與地心的連線在單位時間內掃過的面積為S。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則空間站的軌道半徑為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：空間站繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力可知
根據幾何關系可知，衛星與地心連線在單位時間內掃過的面積：S
在地球表面受到的萬有引力等于重力，有mg
聯立解得衛星繞地球的軌道半徑：r，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
13．（2022 浙江模擬）2013年6月11日17時38分“神舟十號”飛船從酒泉衛星發射中心發射升空，搭載三位航天員飛向太空，在軌飛行了15天，并在飛船上我國首次開展了航天員太空授課活動．“神十”鞏固和優化了“神九”實現的載人交會對接技術．如圖所示，假設“神舟十號”飛船發射后首先進入橢圓軌道，其遠地點P距地心的距離為a，近地點Q距地心的距離為b，經過變軌后轉移到半徑為a的圓軌道上，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉的影響，則（　　）
A．飛船在圓形軌道上運行時，周期為2π
B．飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的速度大于經過近地點的速度
C．飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的速度小于在圓形軌道上運行的速度
D．飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的加速度大于經過近地點的加速度
【解答】解：A：由向心力公式：，解得：T，應用黃金代換將：GM＝gR2代入得：T，故A錯誤。
B：飛船在橢圓軌道上由遠地點運行到近地點時，萬有引力做正功，動能增大，所以近地點的速度大于遠地點的速度。故B錯誤。
C：飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點時要變軌到圓軌道上需要加速，故在圓軌道上的速度要大于在橢圓軌道上遠地點的速度。故C正確。
D：飛船在橢圓軌道上運行時，經過遠地點的向心力小于經過近地點的向心力，故經過遠地點的加速度小于經過近地點的加速度，故D錯誤。
故選：C。
14．（2021 臺州二模）2020年7月23日，中國首個火星探測器“天問一號”成功升空，要一次性完成“繞、落、巡”三大任務。進入任務使命軌道，開展對火星全球環繞探測，同時為著陸巡視器開展中繼通訊，接著，著陸巡視器進入火星大氣后，通過氣動外形減速、降落傘減速、反推發動機動力減速、多級減速、著陸反沖后，軟著陸在火星表面。若“天問一號”被火星捕獲后，某階段進入環繞火星的橢圓軌道Ⅰ上運行，在“近火點”A制動后，后來進入軌道Ⅱ繞火星做勻速圓周運動。“天問一號”在軌道Ⅰ上的運行周期為T1，經過點A時的速率為v1，在軌道Ⅱ上運行的周期為T2，軌道半徑為R，運行速率為v2。已知火星質量為M，萬有引力常量為G，則（　　）
A．T1＜T2，v1＝v2 B．T1＜T2，v1＞v2
C．T1＞T2，v1＞v2 D．T1＞T2，v1＜v2
【解答】解：“天問一號”在軌道Ⅰ上做橢圓運動，在軌道Ⅱ上做勻速圓周運動，根據開普勒第三定律可知，，已知軌道Ⅰ的軌道半徑大，則T1＞T2，“天問一號”在軌道Ⅱ上做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力可知，Gm，解得線速度：v，則有v2，根據衛星變軌原理可知，探測器R由軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ需要在A點點火加速，故v1＞v2，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
二．多選題（共1小題）
（多選）15．（2022 鹿城區校級模擬）某次發射通信衛星，先用火箭將衛星送入一近地圓軌道，然后再適時開動星載火箭，變軌到橢圓軌道運行；然后再一次開動星載火箭，將其送上與地球自轉同步運行的軌道。則（　　）
A．每一次變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛星的機械能增大，動能增大
B．第一次變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛星的機械能增大，第二次衛星的機械減小
C．衛星在同步軌道運行速度一定比在橢圓軌道上運行時的最大速度要小
D．衛星在橢圓軌道運行時通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于同步軌道運動的加速度
【解答】解：AB、根據題意可知，發射通信衛星從低軌道向高軌道變軌，需要衛星做離心運動，需要對衛星進行加速，即重力以外的力對衛星做正功，則衛星的機械能增大，動能增大，故A正確，B錯誤；
C、衛星從高軌道進入低軌道，需要衛星做近心運動，根據可知，軌道半徑越小，線速度越大，所以衛星從高軌道進入低軌道，需要衛星進行減速，則衛星在同步軌道運行速度一定比在橢圓軌道上運行時的最大速度要小，故C正確；
D、根據可得，則衛星在橢圓軌道運行時通過橢圓軌道遠地點時的加速度等于同步軌道運動的加速度，故D錯誤。
故選：AC。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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