資源簡介

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第14講　機械能守恒定律
目錄
[基礎過關] 1
一、重力勢能和彈性勢能 1
二、機械能守恒定律 2
[命題點研究] 2
命題點一　機械能守恒的理解和判斷 2
命題點二　機械能守恒的應用 6
[課時訓練] 14
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
重力勢能 c 1.不要求掌握物體做曲線運動時重力做功表達式的推導方法． 2.不要求掌握彈簧彈性勢能的表達式． 3.運用機械能守恒定律進行計算時，不涉及彈性勢能的表達式． 4.不要求用機械能守恒定律求解兩個及兩個以上物體(包括需要確定重心的鏈條、繩子、流體等)的問題.
彈性勢能 b
機械能守恒定律 d
[基礎過關]
一、重力勢能和彈性勢能
1．重力做功與路徑無關，只與初、末位置的高度差有關．
2．重力做功與重力勢能變化的關系：
重力對物體做正功，重力勢能減少；重力對物體做負功，重力勢能增加；物體從位置A到位置B時，重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量，即WG＝－ΔEp.
3．彈力做功與彈性勢能的關系：
彈力對物體做正功，彈性勢能減少，彈力對物體做負功，彈性勢能增加，彈力對物體做的功等于彈性勢能的減少量．
二、機械能守恒定律
1．內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變．
2．表達式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．條件
(1)系統只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力．
(2)系統除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內力和外力，但這些力對系統不做功．
(3)系統內除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內力和外力做功，但這些力做功的代數和為零．
(4)系統跟外界沒有發生機械能的傳遞，系統內外也沒有機械能與其他形式的能發生轉化．
[命題點研究]
命題點一　機械能守恒的理解和判斷
1．利用機械能的定義判斷：
若物體在水平面上勻速運動，則其動能、勢能均不變，機械能不變．若一個物體沿斜面勻速下滑，則其動能不變，重力勢能減少，機械能減少．
2．做功判斷法：若物體系統內只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功或其他力做功的代數和為零，則系統的機械能守恒．
3．能量轉化判斷法：若只有系統內物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統跟外界沒有發生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變成其他形式的能(如沒有內能增加)，則系統的機械能守恒．
（2022秋 浙江月考）蹦床運動深受人們喜愛，如圖為小明同學在杭州某蹦床館，利用傳感器測得蹦床彈力隨時間的變化圖。假設小明僅在豎直方向運動，忽略空氣阻力，依據圖像給出的物理信息，可得（　?。?br/>A．7.5s至8.3s內，運動員先處于失重狀態再處于超重狀態
B．小明的最大加速度為50m/s2
C．小明上升的最大高度為20m
D．小明在整個蹦床過程中機械能守恒
【解答】解：A、7.5s至8.3s內，蹦床彈力由0增加到2400N再減小到0，運動員先處于失重狀態后處于超重狀態再處于失重狀態，故A錯誤；
B、由圖可知，運動員的重力為400N，質量為mkg＝40kg，運動員的加速度最大為amm/s2＝50m/s2，故B正確；
C、由圖可知，運動員在空中時間為T＝7.5s﹣5.5s＝2s，由運動的對稱性可知，下落時間為t＝1s，運動員上升的最高高度為h10×12m＝5m，故C錯誤；
D、小明在整個蹦床過程中，蹦床對小明做功，機械能不守恒，故D錯誤。
故選：B。
（2023 浙江模擬）如圖所示，“蹦極”運動中，運動員身系彈性繩下落，不計空氣阻力．下列有關運動員從彈性繩剛繃緊到最低點的下落過程中的說法正確的是（　　）
A．運動員的加速度一直減小
B．彈性繩的彈性勢能為零時，運動員的動能最大
C．彈性繩的彈性勢能最大時，運動員的動能為零
D．運動員重力勢能的減少量等于彈性繩彈性勢能的增加量
【解答】解：A、運動員從彈性繩剛繃緊到最低點的下落過程中，受到向下的重力和向上的彈力，彈力不斷增大，開始階段，重力大于彈力，合力減小，加速度減小，速度增大。當彈力等于重力時加速度為零。之后，彈力大于重力，合力向上且不斷增大，運動員做減速運動，加速度增大，所以運動員的加速度先減小后增大，速度先增大后減小，彈力等于重力時速度最大，故A錯誤。
B、彈性繩的彈性勢能為零時，彈力為零，運動員的合力向下，速度增大，此時速度不是最大，彈力等于重力時速度最大，故B錯誤。
C、彈性繩的彈性勢能最大時，運動員到達最低點，動能為零，故C正確。
D、對于運動員、地球和蹦極繩組成的系統，只有重力和彈力做功，系統的機械能守恒。則運動員重力勢能的減少量等于彈性繩彈性勢能的增加量與動能增加量之和，故D錯誤。
故選：C。
（2022春 鎮海區校級期中）2022年2月8日中國奧運選手谷愛凌在北京冬季奧運會跳臺滑雪比賽中完美奪冠。跳臺滑雪比賽中的得分主要包括距離得分和姿勢得分，并且得分還需要參考每一跳的風向和風速。下列說法正確的是（　?。?br/>A．在給選手動作姿勢打分時，可以把選手看成質點
B．在給選手跳躍距離打分時，可以把選手看成質點
C．選手在空中運動時，處于完全失重狀態
D．選手在空中運動時，機械能守恒
【解答】解：A、在給選手動作姿勢打分時，選手的形狀和大小不能忽略，所以不能把選手看成質點，故A錯誤；
B、在給選手跳躍距離打分時，選手的形狀和大小可以忽略，可以把選手看成質點，故B正確；
C、選手在空中運動時，除重力外，還受到空氣阻力，加速度不等于g，所以選手并不處于完全失重狀態，故C錯誤；
D、由于空氣阻力對運動員做功，所以其機械能不守恒，故D錯誤。
故選：B。
（2022秋 杭州期中）質量為0.5kg的石塊從h＝10m高處以30°角斜向上方拋出（如圖），初速度v0的大小為5m/s。不計空氣阻力，g取10m/s2，則下列選項正確的是（　　）
A．石塊落地時的速度大小是15m/s
B．石塊拋出到落地的運動過程中機械能不斷減小
C．石塊落地時速度的大小與石塊初速度的仰角有關
D．石塊落地時速度的大小與石塊的拋出時的高度無關
【解答】解：AB、石塊被拋出到落地的過程只有重力做功，機械能守恒，則有mgh，代入數據解得：v＝15m/s，故A正確，B錯誤；
CD、由上分析可知石塊落地時速度的大小與石塊初速度的仰角無關，與拋出時的高度有關，故CD錯誤；
故選：A。
（2021春 拱墅區校級期中）如圖所示，一小孩從公園中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其機械能的變化情況是（　?。?br/>A．重力勢能減小，動能不變，機械能減小
B．重力勢能減小，動能增加，機械能增加
C．重力勢能減小，動能增加，機械能減小
D．重力勢能減小，動能增加，機械能守恒
【解答】解：小孩加速滑下，高度不斷減小，重力做正功，重力勢能減小，速度增大，動能增大。
小孩在下滑過程中與滑梯摩擦生熱，一部分機械能轉化成內能，導致機械能總量減小。
故B正確、ACD錯誤。
故選：C。
（2023 浙江模擬）2022年2月15日，蘇翊鳴在北京冬奧會單板滑雪男子大跳臺比賽中奪得冠軍，成為首位贏得冬奧會單板滑雪金牌的中國運動員。大跳臺主要由助滑道，起跳臺和著陸坡組成，如圖所示，運動員在助滑道下滑后在起跳臺起跳，在空中做拋體運動后落在著陸坡上。某次比賽蘇翊鳴在距離起跳點34m高處從靜止下滑，在空中最高點時距起跳點12.8m，在空中飛躍的總時間為4s，已知起跳臺斜面傾角為37°，蘇翊鳴的質量為70kg，不考慮空氣阻力，g取10m/s2，以下說法正確的是（　?。?br/>A．起跳速度為16m/s
B．在最高點速度為0
C．下滑過程機械能守恒
D．從下滑到著陸重力做功35000J
【解答】解：AB、運動員從起跳臺跳出后做斜上拋運動，有，，解得vy＝16m/s，，所以運動員在最高點的速度為m/s；
運動員的起跳速度為，代入數據解得v，故AB錯誤；
C、下滑過程中需要克服阻力做功，所以機械能不守恒，故C錯誤；
D、運動員從起跳臺起跳到著陸豎直方向的位移為，代入數據解得h2＝16m
所以從下滑到著陸重力做功為W＝mg（h0+h2）＝70×10×（34+16）J＝35000J，故D正確。
故選：D。
命題點二　機械能守恒的應用
1．機械能守恒定律的表達式
2．選用技巧：在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面．
（2023春 杭州期中）如圖甲所示，有一固定光滑斜面體ABC，一物塊在平行于斜面的力F作用下從底端A點沿斜面AB由靜止開始向上運動，該過程中物塊的機械能E隨位移x的變化圖線如圖乙所示，圖線在x1～x2段為平行于x軸的直線。則（　?。?br/>A．力F先減小后增大
B．從E﹣x圖線中不能確定零勢能面位置
C．在x＝x1位置物塊所受力F＝0
D．在0～x1過程中物塊做加速度不斷減小的加速運動
【解答】解：AC．根據功能關系，機械能E的變化是由外力F做功引起；故機械能E隨位移x的變化圖線的斜率反應了外力F的變化，故力F一直減小，在x＝x1位置物塊所受力F＝0，故A錯誤，C正確；
B．初始位置的機械能為0，故初始位置為零勢能面位置，故B錯誤；
D．力F一直減小，根據牛頓第二定律，物塊的加速度先減小，當F＝mgsinθ，加速度為0，后反向增大，故D錯誤；
故選：C。
（2022秋 衢州期末）質量為2kg的物體以初速度v0從固定斜面底端沖上斜面，物體在斜面上運動過程中的t圖像如圖所示，g取10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．此斜面與水平面夾角為30°
B．2s內該物體重力勢能變化的最大值為36J
C．該物體在斜面上運動過程中機械能一定不守恒
D．該物體在斜面上運動過程中合外力沖量為零
【解答】解：A、由勻變速直線運動的位移—時間公式x＝v0tat2變形得：v0at，則t圖像的縱軸截距等于初速度，則初速度為v0＝6m/s。圖像的斜率ka＝﹣3m/s2，則物體的加速度為a＝﹣6m/s2。物體上滑到最高點用時t1s＝1s。由圖可知2s內物體的平均速度為0，知t＝2s末物體回到了出發點，說明斜面是光滑的。設此斜面與水平面夾角為θ，由a＝﹣gsinθ得：sinθ＝0.6，θ＝37°，故A錯誤；
B、初速度大小為v0＝6m/s，初動能為Ek0J＝36J，由機械能守恒知重力勢能變化的最大值為初動能36J，故B正確；
C、由于物體上滑和下滑過程加速度不變，說明斜面光滑，物體運動過程中只有重力做功，其機械能一定守恒，故C錯誤；
D、取沿斜面向下為正方向，由動量定理得物體在斜面上運動過程中合外力沖量I合＝mv0﹣（﹣mv0）＝2mv0，故D錯誤。
故選：B。
（2023 海淀區一模）圖1中過山車可抽象為圖2所示模型：弧形軌道下端與半徑為R的豎直圓軌道平滑相接，B點和C點分別為圓軌道的最低點和最高點。質量為m的小球（可視為質點）從弧形軌道上距B點高4R的A點靜止釋放，先后經過B點和C點，而后沿圓軌道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通過B點時的速度大小vB。
（2）求小球通過C點時，軌道對小球作用力的大小F和方向。
（3）請分析比較小球通過B點和C點時加速度的大小關系。
【解答】解：（1）小球從A到B由機械能守恒定律可得：
4mgR
解得：
（2）小球從A到C由機械能守恒定律可得：
解得小球通過C點時的速度大小
在C點由牛頓第二定律可得：
解得小球通過C點時，軌道對小球作用力的大小F＝3mg
方向豎直向下。
（3）小球在B點的加速度大小為
小球在C點的加速度大小為
所以aB＞aC
答：（1）小球通過B點時的速度大小為。
（2）小球通過C點時，軌道對小球作用力的大小為3mg，方向豎直向下。
（3）小球通過B點和C點時加速度的大小關系為aB＞aC。
（2022秋 松江區期末）如圖，在地面上方的豎直平面內放置一桿狀軌道，AB為粗糙的長直軌道，長為L＝10m，與水平方向的夾角為θ＝37°，BCD、DEF均為半徑為R＝1m的光滑圓弧形軌道，AB與BCD相切于B點，B點離地高度為h＝3m，O1、O2兩圓心等高，C為圓弧形軌道的最低點，E為最高點。一質量為m＝0.2kg的小環套在AB上，自P點由靜止釋放，經t＝2s運動到B點的速度大小為v＝6m/s。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，以地面為零勢能面。求：
（1）小環在AB軌道上受到的摩擦力的大?。?br/>（2）小環過E點時，小環對弧形軌道的作用力；
（3）若改變小環在直桿上釋放點的位置，求小環落地時機械能的可能值；
（4）小環在AB桿上某一區域由靜止釋放時，若小環不會落到地面上，請用能量觀點分析小環的運動過程，并求出最終穩定后小環的機械能。
【解答】解：（1）小環由P→B，根據速度—時間公式得：v＝at
由牛頓第二定律有：mgsinθ﹣f＝ma
聯立解得：f＝0.6N
（2）小環滑入光滑圓弧形軌道，到最高點E，設E點的速度為vE，
小環由B→E，根據機械能守恒定律：﹣mgR（1+cosθ）
代入數據解得：vE＝0m/s
在E點根據牛頓第二定律有：mg＝FN
代入數據得到：FN＝2N
根據牛頓第三定律，小環對E點的壓力為：FN′＝FN＝2N，方向豎直向下；
（3）若小環從離B點高H處滑入光滑圓弧形軌道，恰能通過最高點E，落地的機械能最小，則
Emin＝mg（R+Rcosθ）+mgh
代入數據解得：Emin＝9.6J
小環從最高點滑下時，小環落地時機械能最大
Emax＝mgLsinθ+mgh﹣fL
代入數據解得：Emax＝12J
則小環落地時機械能的可能值為 9.6J＜E≤12J；
（4）根據以上分析，可知，小環自P、B之間由靜止釋放，則小環不能到達E點，不會落到地面上。小環滑過B點后，在弧形軌道上運動，只有重力故功，機械能守恒，再滑回B，滑上斜軌AB，因克服摩擦力做功，小環的機械能逐漸減小，在鈄軌上到達的最高點比釋放點低，小環在斜軌和弧形軌道上來回往復運動，到達的最高點逐斬降低，最終必將在 BCB′（ B′點在弧形軌道上，與B等高）之間做來回往復運動，機械能守恒，故最終穩定后小環的機械能為
E＝mgh
代入數據解得：E＝6J
答：（1）小環在AB軌道上受到的摩擦力的大小為0.6N；
（2）小環過E點時，小環對弧形軌道的作用力為2N，方向豎直向下；
（3）若改變小環在直桿上釋放點的位置，小環落地時機械能的可能為9.6J＜E≤12J；
（4）小環的運動過程見解析，最終穩定后小環的機械能為6J。
拓展點　含彈簧類機械能守恒問題
1．由于彈簧的形變會具有彈性勢能，系統的總動能將發生變化，若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒．
2．在相互作用過程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大．
3．如果系統內每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自然長度時，系統內彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧由靜止釋放)．
（2022春 麗水期末）如圖所示為某彈射游戲裝置，處于豎直平面內的三段光滑管道AB、BC、CDE，其中AB是水平放置直管道，BC是半徑R＝0.8m的四分之一圓弧管道，CDE是半徑r＝0.4m的四分之三圓弧管道，D為管道最高點，出口E點切線水平，長L（可調）摩擦因數為μ＝0.5的粗糙水平軌道EK，與圓弧軌道相連于E點（EK與BC錯開）。已知彈簧的勁度系數k＝400N/m，在彈性限度內彈性勢能EP（x為彈簧的形變量）。游戲過程彈簧均未超出彈性限度，彈射裝置發射的小球可視為質點，質量m＝0.1kg，管道粗細可以忽略，忽略空氣阻力。（計算結果可以用根號表示）
（1）若某次小球發射后剛好能過D點，求小球通過圓弧管道最低點B時對軌道的壓力；
（2）若某次游戲時L＝1.36m，要使小球能從K點射出，則彈簧的形變量至少要多少；
（3）現使彈簧儲存EP＝1.4J的彈性勢能，應調節EK長度L為何值時，小球第一次落地點與E點水平距離最大，并求出最大距離。
【解答】解：（1）小球剛好到達D點時速度為零，小球從B到D過程，由動能定理得：﹣mg（R+r）＝0
在B點，對小球，由牛頓第二定律得：F﹣mg＝m
代入數據解得：F＝4N
由牛頓第三定律可知，小球對軌道的壓力大小F′＝F＝4N，方向豎直向下
（2）小球恰好運動到D點時速度為零，從釋放小球到恰好到達D點過程，
由能量守恒定律得：EPDmg（R+r）
代入數據解得：EPD＝1.2J，xD＝0.02m＝2cm
從釋放小球到小球恰好運動到K點，由能量守恒定律得：mg（R﹣r）+μmgL
代入數據解得：x0＝0.03m＝3cm＜xD，
要使小球能從K點射出，則彈簧的形變量至少為2cm
（3）由于EP＝1.4J＞EPD＝1.2J，小球能通過D點到達EF上
從釋放小球到小球運動到K點過程，由能量守恒定律得：EP＝mg（R﹣r）+μmgL
解得：v
小球離開K后做平拋運動，水平方向：x＝vt，豎直方向：R﹣r
小球落地點與E點的水平距離d＝x+L
解得：d＝L，由數學知識可知：L＝2m時d最大，最大值為2m
答：（1）小球通過圓弧管道最低點B時對軌道的壓力大小是4N，方向豎直向下；
（2）若某次游戲時L＝1.36m，要使小球能從K點射出，則彈簧的形變量至少為2cm；
（3）現使彈簧儲存EP＝1.4J的彈性勢能，應調節EK長度L為2m時，小球第一次落地點與E點水平距離最大，最大距離是2m。
（2022春 樂清市校級期末）如圖所示，固定在豎直平面內的軌道由高為H＝0.8m的平臺，斜面BC，半徑R＝0.8m的豎直圓軌道DFE（軌道在DE處稍微錯開）及傾角為θ＝30°的斜面PM組成，一勁度系數為k＝8N/m的彈簧一端固定在斜面PM的最高點M，其下端距離地面h2＝0.5m。一質量為m＝0.2kg的滑塊（可視為質點）從平臺末端A以速度v0＝2m/s水平飛出，恰好無碰撞的從B點沿斜面向下滑行，B離地高度為h1＝0.35m，已知滑塊與PM斜面間的動摩擦因數為，其余摩擦不計，不計滑塊經軌道轉折點能量損失及空氣阻力，最大靜摩擦力認為等于滑動摩擦力，當彈簧壓縮量為x時，彈簧具有的彈性勢能為EP（或可以用F﹣x圖像下的面積求變力做功）。
（1）求B與A間的水平距離；
（2）滑塊經圓軌道最高點F時軌道對滑塊的壓力；
（3）滑塊沿右側PM斜面第一次到達最高點時彈簧的彈性勢能；
（4）滑塊最終靜止的位置距P端的距離。
【解答】解：（1）滑塊做平拋運動，豎直方向：H﹣h1
水平方向：xAB＝v0t
代入數據解得：xAB＝0.6m≈1.47m
（2）滑塊從拋出到斜面底端C過程，由動能定理得：
代入數據解得：
由C到F過程中，由動能動理有：
在F時，由牛頓第二定律得：
代入數據解得：FN＝0；
（3）設滑塊第一次上滑到最高點時，彈簧的最大壓縮量為x，
由能量守恒定律得：，
彈簧的彈性勢能Ep
代入數據解得：x＝0.5m，Ep＝1J
（4）滑塊第一次在最高點時，因為：mgsinθ+kx＞μmgcosθ，
故滑塊會繼續下滑，設滑塊滑到水平面的速度為v1，
由動能定理得：，
整理得：，故滑塊不能到達圓周軌道圓心等高線；
又：，故再次滑上斜面后不會接觸彈簧，設滑塊再次滑上斜面的最大位移為l，
由動能定理得：，
代入數據解得：l＝0.5m，之后由于mgsinθ＝μmgcosθ，所以滑塊靜止在該位置，即滑塊最終靜止的位置距P的距離為0.5m。
答：（1）B與A間的水平距離是1.47m；
（2）滑塊經圓軌道最高點F時軌道對滑塊的壓力為零；
（3）滑塊沿右側PM斜面第一次到達最高點時彈簧的彈性勢能是1J；
（4）滑塊最終靜止的位置距P端的距離是0.5m。
[課時訓練]
一．選擇題（共10小題）
1．（2023春 余姚市校級期中）如圖所示，質量為m的小球從距桌面h1，高處的A點由靜止釋放，自由下落到地面上的B點，桌面離地高為h2。選擇桌面為參考平面，則小球（　　）
A．在A點時的重力勢能為﹣mgh1
B．在A點時的機械能為mg（h1+h2）
C．在B點時的重力勢能為mgh2
D．在B點時的機械能為mgh1
【解答】解：AB．若選擇桌面為參考平面，A點在參考平面的上方h1處，所以小球在A點時的重力勢能為Ep1＝mgh1
由于小球在A點時動能為零，故機械能為EA＝Ep1＝mgh1
故AB錯誤；
CD．由于B點在參考平面的下方h2處，所以小球在B點的重力勢能為Ep2＝﹣mgh2
小球機械能守恒，在B點的機械能為EB＝EA＝mgh1
故C錯誤，D正確。
故選：D。
2．（2023 溫州三模）中國跳水隊被譽為跳水“夢之隊”。如圖是一位運動員跳水過程的頻閃照片，A為運動員起跳位置，B為運動員重心到達最高位置，C為運動員指尖到達水面位置，空氣阻力不可忽略，下列說法正確的是（　　）
A．在B位置，運動員處于平衡狀態
B．在C位置，運動員的機械能最大
C．運動員入水后，立即做減速運動
D．在A位置，運動員受到跳板的彈力是由于跳板發生形變產生的
【解答】解：A、在B位置，運動員只受重力，合力不為零，處于非平衡狀態，故A錯誤；
B、在運動過程中，空氣阻力對運動員做負功，其機械能不斷減少，所以在C位置，運動員的機械能最小，在A位置，機械能最大，故B錯誤；
C、運動員入水后，受到水的作用力，該作用力先小于重力，后大于重力，則運動員先做加速運動，后做減速運動，故C錯誤；
D、在A位置，由于跳板發生形變，要恢復原狀，所以跳板對運動員產生了彈力，故D正確。
故選：D。
3．（2023春 北侖區校級期中）如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎直立在水平面上，上端放一只小球，用力F將小
球緩慢地壓到D點靜止，彈簧始終處于彈性限度內．突然撤去力F，小球從靜止開始
向上運動，B點是彈簧原長時上端的位置，在C位置時小球所受彈力大小等于重力，
在A位置時小球的速度為零．小球運動過程中，下列說法中正確的是（　?。?br/>A．在B位置小球動能最大
B．D→B位置小球加速度一直減少
C．C→A位置小球重力勢能的增加等于小球動能的減少
D．D→A位置小球重力勢能的增加等于彈簧彈性勢能的減少
【解答】解：A、小球從B至C過程，重力大于彈力，合力向下，小球加速，C到D，重力小于彈力，合力向上，小球減速，故在C點動能最大，故A錯誤
B、D→B位置小球受彈力和重力的作用，由于開始時彈力大于重力，故在上升過程中，合外力先減小后增大，故加速度先減小后增大，故B錯誤；
C、C→A位置小球重力勢能的增加等于小球動能的減少量和彈性勢能的減小量，故C錯誤；
D、AD兩點處的速度均為零，因此D→A位置小球重力勢能的增加等于彈簧彈性勢能的減少量，故D正確。
故選：D。
4．（2023春 余姚市校級期中）某同學在操場上踢足球，足球質量為m，該同學將足球以速度v0從地面上的A點踢起，最高可以到達離地面高度為h的B點位置，從A到B足球克服空氣阻力做的功為W，選地面為零勢能的參考平面，則下列說法中正確的是（　?。?br/>A．足球從A到B機械能守恒
B．該同學對足球做的功等于
C．足球在A點處的機械能為
D．足球在B點處的動能為
【解答】解：A．由題意可知，運動過程中，空氣阻力對足球做負功，則足球從A到B機械能不守恒，故A錯誤；
B．根據題意，設該同學對足球做的功等于W1，由動能定理有
0，故B錯誤；
C．選地面為零勢能面，足球在A點處的機械能為
故C錯誤；
D．由題意，由動能定理有
﹣mgh﹣W＝EkBm
解得
故D正確。
故選：D。
5．（2022秋 諸暨市期末）如圖所示為某同學將籃球投出后空中的拋物線。已知籃球出手的位置為M，最高點的位置為N，剛要入籃筐的位置為P，M位置低于P位置，設M、N、P三個位置的速度大小分別為vM、vN和vP，三個位置對應的水平速度分別為vM1、vN1和vP1，不計籃球所受的空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．三個位置速度大小關系為vM＞vN＞vP
B．三個位置水平速度大小關系為vM1＝vN1＝vP1
C．籃球從M運動到N的時間等于N到P的時間
D．籃球在N的速度方向與所受合外力的方向在同一直線上
【解答】解：ABC．籃球在空中做拋體運動，水平方向做勻速運動，即
vM1＝vN1＝vP1
籃球豎直方向做加速度為g的勻變速運動，豎直方向上有
解得運動時間為
由圖可知，籃球從M運動到N的豎直位移大于N到P的豎直位移，則籃球從M運動到N的時間大于N到P的時間，由于運動過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律可知，籃球在M點的動能最大，在N點的動能最小，則三個位置速度大小關系為vM＞vP＞vN，故AC錯誤，B正確；
D．籃球所受合外力的方向豎直向下，在N點的速度方向水平，故D錯誤。
故選：B。
6．（2023 浙江）一位游客正在體驗蹦極，綁上蹦極專用的橡皮繩后從跳臺縱身而下。游客從跳臺下落直到最低點過程中（　?。?br/>A．彈性勢能減小
B．重力勢能減小
C．機械能保持不變
D．繩一繃緊動能就開始減小
【解答】解：A、繩繃緊前，彈性勢能不變。繩繃緊后，隨著伸長量的增大，彈性勢能增大，故A錯誤；
B、游客從跳臺下落直到最低點過程中，重力一直做正功，重力勢能一直減小，故B正確；
C、繩繃緊前，只有重力做功，游客的機械能保持不變。繩繃緊后，繩對游客做負功，游客的機械能減小，故C錯誤；
D、繩繃緊后，游客受到重力和繩的拉力兩個力作用，繩的拉力先小于重力，后大于重力，游客的合力先向下后向上，先加速運動后做減速運動，動能先增大后減小，當繩的拉力與重力大小相等時動能最大，故D錯誤。
故選：B。
7．（2021秋 浙江期中）2021年7月30日下午，東京奧運會蹦床女子個人網上決賽，中國選手朱雪瑩以56.635分奪冠，為中國體育代表團奪得本屆奧運會第17金，蹦床運動可簡化為球壓縮彈簧的模型，如圖所示。小球從A點靜止下落，到達C點的速度為零，圖中B點為輕彈簧處于原長時的最高點，若空氣阻力可以忽略，下列說法正確的是（　?。?br/>A．小球到達B點后，開始減速
B．小球到達C點時，動能與重力勢能總量最小
C．小球從B點到C點，先做勻加速運動，再做勻減速運動
D．小球在C點時所受重力與彈簧彈力相平衡
【解答】解：A、小球到達B點時，剛與彈簧接觸，所以彈力為零，合力仍向下，小球做加速運動，故A錯誤；
B、到達C點后，速度為零，彈簧壓縮最大，即彈簧彈性勢能最大，動能與重力勢能減少量最大，所以動能與重力勢能總量最小，故B正確；
C、到達B點后，彈力逐漸增大，在F＝mg之前，彈力與重力合力向下，做加速運動，F＝mg之后，彈力與重力合力向上，做減速運動，到C點速度為零，加速度向上最大，故C錯誤；
D、重力與彈力平衡點應在BC之間，故D錯誤。
故選：B。
8．（2022春 拱墅區校級期中）如圖，撐桿跳全過程可分為四個階段：A→B階段，助跑加速；B→C階段，桿彎曲程度增大、人上升；C→D階段，桿彎曲程度減小、人上升；D→E階段，人越過橫桿后下落，整個過程空氣阻力忽略不計。這四個階段的能量變化為（　?。?br/>A．A→B地面對人和桿系統做正功
B．B→C人和桿系統的動能減小量小于重力勢能和彈性勢能增加量
C．C→D人和桿系統的動能減少量小于重力勢能的增加量
D．D→E重力對人所做的功等于人機械能的增加量
【解答】解：A、A→B地面對人和桿系統不做功，人加速過程增加的機械能是通過人體肌肉做功，消耗人體內的化學能，轉化為人的機械能，故A錯誤；
B、B→C人和桿系統的動能減小量等于重力勢能和彈性勢能增加量，故B錯誤；
C、C→D人和桿系統的動能減小和彈性勢能的減少量等于重力勢能的增加量，則人和桿系統的動能減少量小于重力勢能的增加量，故C正確；
D、D→E重力對人所做的功等于人的重力勢能減少量，人的機械能不變，故D錯誤。
故選：C。
9．（2022 杭州一模）姚明是NBA中我國優秀的籃球運動員。在某次比賽罰球中，第一次出手，籃球的初速度方向與豎直方向的夾角α＝60°；第二次出手，籃球的初速度方向與豎直方向的夾角β＝30°；兩次出手的位置在同一豎直線上，結果兩次籃球正好垂直撞擊到籃板同一位置C點。不計空氣阻力，則從籃球出手到運動到點C的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．兩球的初動能相等
B．前后兩次上升的最大高度的比值為1：9
C．在C點時，兩球的機械能相等
D．前后兩次運動時間的比值為：1
【解答】解：B、籃球運動的逆運動是平拋運動，如圖所示。
設投籃處與籃板的水平距離為x，根據做平拋運動的物體任意時刻速度的反向延長線交水平位移的中點，所以有：tan60°，tan30°，從而得到前后兩次上升的最大高度的比值為，故B錯誤；
D、在豎直方向上可以認為是自由落體運動，由y得t，所以前后兩次運動時間的比值為，故D錯誤；
C、水平速度v01，v02，由于上述結論t1t2，那么v01v02，所以撞擊籃板的速度不相等，在C點時，兩球的機械不相等，故C錯誤；
A、出手速度v1 v2，結合上一問結論有：v1＝v2，兩球出手時的動能相等，故A正確。
故選：A。
10．（2022春 拱墅區校級期中）如圖（a），傾角為37°的傳送帶以v＝5m/s的速度逆時針勻速轉動，傳送帶AB之間的距離為20m，質量為m＝1kg的物塊（可視為質點）自A點無初速度放上傳送帶。物塊在傳送帶上運動時，其動能Ek與位移x關系圖像（Ek﹣x）如圖（b）所示，物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。則下列說法中正確的是（　?。?br/>A．物塊與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.25
B．物塊到達傳送帶底端B點時的動能為E0＝25J
C．整個過程中因摩擦而產生的內能為30J
D．若物塊能在傳送帶上留下痕跡，則痕跡的長度為7.5m
【解答】解：AB、由圖（b）所示圖像可知，物體在傳送帶上先做初速度為零的勻加速直線運動，速度與傳送帶速度相等后繼續做勻加速直線運動
物體速度與傳送帶速度相等，即物塊速度v＝5m/s時物體的動能Ek
解得：E0＝50J
物體從放上傳送帶到速度與傳送帶速度相等過程，由動能定理得：mgsinθ×x0+μmgcosθ×x00，
物體從與傳送帶速度相等運動到B端過程，由動能定理得：mgsinθ×15x0﹣μmgcosθ×15x0＝E0，
代入數據解得：x0＝1.25m，μ＝0.5，故AB錯誤；
CD、物塊到達B時的動能E0，解得物塊到達B點時的速度大小v'＝10m/s，物塊剛放在傳送帶上時，由牛頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ＝ma
物塊與傳送帶速度相等后的運動過程，由牛頓第二定律得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma'
代入數據解得：a＝10m/s2，a'＝2m/s2
物塊加速到與傳送帶速度相等需要的時間t1s＝0.5s
物塊從速度與傳送帶速度相等運動到B端需要的時間t2s＝2.5s
物塊加速到與傳送帶速度相等過程物塊的位移x物塊m＝1.25m
傳送帶的位移x傳送帶1＝vt1＝5×0.5m＝2.5m
物塊從與傳送帶速度相等運動到B端過程，物塊的位移x物塊2m＝18.75m
該過程傳送帶的位移x傳送帶2＝vt2＝5×2.5m＝12.5m
物塊加速到與傳送帶速度相等過程在傳送帶上留下劃痕的長度Δx1＝x傳送帶1﹣x物塊1＝2.5m﹣1.25m＝1.25m
從物塊與傳送帶速度相等到物塊運動到B端過程，物塊與傳送帶間痕跡的長度Δx2＝x物塊2﹣x傳送帶2＝18.75m﹣12.5m＝6.25m＞Δx1，
則物塊在傳送帶上留下痕跡的長度Δx＝Δx2＝6.25m
整個過程物塊相對于傳送帶滑行的路程s＝Δx1+Δx2＝1.25m+6.25m＝7.5m
整個過程因摩擦產生的內能E＝μmgscosθ＝0.5×1×10×7.5×0.8J＝30J，故C正確，D錯誤。
故選：C。
二．解答題（共2小題）
11．（2023春 浙江期中）如圖所示，ABCD為固定在豎直平面內的光滑軌道，AB段為水平軌道，BC段為圓心角θ＝37°、半徑為6l的圓弧軌道，CD段是足夠長的平直傾斜軌道，各段軌道均平滑連接。AB段的右側有一緩沖裝置，勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連（提示：輕桿和輕質彈簧均為不計質量的理想模型，受力始終處于平衡狀態），輕桿右端剛好位于槽口，假設輕桿插入槽內所受的阻力與插入深度無關，且大小恒為Ff＝4mg。若將一質量為m的滑塊從C點由靜止釋放，滑塊撞擊彈簧后將導致輕桿向右移動。
（1）若滑塊從C點由靜止釋放，經過圓弧軌道B點時，求滑塊對軌道的壓力的大?。?br/>（2）滑塊撞擊彈簧導致輕桿向右移動時彈簧儲存的彈性勢能；
（3）若輕桿槽內所受的阻力不恒定，其大小Ff隨插入深度x變化滿足關系式，為使輕桿向右移動不超過l，求允許滑塊釋放點離C點的最大距離。
【解答】解：（1）從C到B的過程中，機械能守恒：mg×6l（1﹣cosθ）
根據牛頓第二定律：
由牛頓第三定律可知，小球對軌道的壓力：FN′＝FN
聯立以上解得：FN′mg
（2）小球從C點由靜止釋放到把緩沖桿壓縮，根據動能定理有：mg×6l（1﹣cosθ）﹣Ep﹣4mg 0﹣0
整理得到：
（3）設滑塊釋放點離C點的最大距離為s，阻力變力做功，其做功大小可根據平均阻力計算：Wf l＝2mgl
根據能量守恒定律：mg s sin37°+mg×6l（1﹣cos37°）﹣EP﹣Wf＝0﹣0
變形整理得到：s
答：（1）滑塊對軌道的壓力的大小為；
（2）滑塊撞擊彈簧導致輕桿向右移動時彈簧儲存的彈性勢能為；
（3）允許滑塊釋放點離C點的最大距離為。
12．（2023春 濱江區期中）如圖所示，足夠長的光滑水平桌面左端固定一立柱，質量為m＝0.1kg的小球置于桌面上，它與立柱之間有一壓縮的輕彈簧，輕彈簧與立柱之間栓接與小球不栓接。某時刻釋放小球，它被彈出從桌面右端A點飛出，恰好能沒有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的頂端B點，并沿軌道滑下。圖中右端為固定在豎直面內半徑R＝2m的圓弧軌道，水平軌道CD將傾斜軌道與圓弧軌道連接在一起。已知B點與桌面間的豎直高度差h＝0.45m，傾斜軌道BC長為L＝2.75m，傾角α＝37°，小球與傾斜軌道間的動摩擦因數μ＝0.5；不計水平軌道與圓弧軌道的摩擦與小球經過C點時的能量損失，取g＝10m/s2，求：
（1）被釋放前彈簧的彈性勢能；
（2）小球第一次經過圓弧軌道最低點時對軌道的壓力的大小；
（3）為了讓小球不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道BC，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
【解答】解：（1）豎直方向小球做自由落體運動：，代入數據解得：vy＝3m/s
B點：得：vA＝4m/s
被釋放前彈簧的彈性勢能：Ep，解得Ep＝0.8J
（2）小球在B點的速度：vB解得 vB＝5m/s
B到D由動能定理可得：
代入數據解得：vD＝6m/s
D點：設軌道對小球的支持力為F，則，解得：F＝2.8N
根據牛頓第三定律可知，小球對軌道的壓力為2.8N；
（3）為了讓小物體不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道BC，小球在圓軌道上上滑的最大高度為圓弧軌道右側與其圓心等高的位置。
小球進入圓軌道后，由動能定理可得：，解得：H1＝1.8m
即小球上升高度為1.8m時速度為零，即豎直圓軌道的半徑應該滿足：r 1.8m即可使讓小球不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道BC。
答：（1）被釋放前彈簧的彈性勢能為0.8J，
（2）小球第一次經過圓弧軌道最低點時對軌道的壓力的大小為2.8N，
（3）為了讓小球不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道BC，則豎直圓軌道的半徑r≥1.8m
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第14講　機械能守恒定律
目錄
[基礎過關] 1
一、重力勢能和彈性勢能 1
二、機械能守恒定律 2
[命題點研究] 2
命題點一　機械能守恒的理解和判斷 2
命題點二　機械能守恒的應用 5
[課時訓練] 8
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
重力勢能 c 1.不要求掌握物體做曲線運動時重力做功表達式的推導方法． 2.不要求掌握彈簧彈性勢能的表達式． 3.運用機械能守恒定律進行計算時，不涉及彈性勢能的表達式． 4.不要求用機械能守恒定律求解兩個及兩個以上物體(包括需要確定重心的鏈條、繩子、流體等)的問題.
彈性勢能 b
機械能守恒定律 d
[基礎過關]
一、重力勢能和彈性勢能
1．重力做功與路徑無關，只與初、末位置的高度差有關．
2．重力做功與重力勢能變化的關系：
重力對物體做正功，重力勢能減少；重力對物體做負功，重力勢能增加；物體從位置A到位置B時，重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量，即WG＝－ΔEp.
3．彈力做功與彈性勢能的關系：
彈力對物體做正功，彈性勢能減少，彈力對物體做負功，彈性勢能增加，彈力對物體做的功等于彈性勢能的減少量．
二、機械能守恒定律
1．內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變．
2．表達式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．條件
(1)系統只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力．
(2)系統除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內力和外力，但這些力對系統不做功．
(3)系統內除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內力和外力做功，但這些力做功的代數和為零．
(4)系統跟外界沒有發生機械能的傳遞，系統內外也沒有機械能與其他形式的能發生轉化．
[命題點研究]
命題點一　機械能守恒的理解和判斷
1．利用機械能的定義判斷：
若物體在水平面上勻速運動，則其動能、勢能均不變，機械能不變．若一個物體沿斜面勻速下滑，則其動能不變，重力勢能減少，機械能減少．
2．做功判斷法：若物體系統內只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功或其他力做功的代數和為零，則系統的機械能守恒．
3．能量轉化判斷法：若只有系統內物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統跟外界沒有發生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變成其他形式的能(如沒有內能增加)，則系統的機械能守恒．
（2022秋 浙江月考）蹦床運動深受人們喜愛，如圖為小明同學在杭州某蹦床館，利用傳感器測得蹦床彈力隨時間的變化圖。假設小明僅在豎直方向運動，忽略空氣阻力，依據圖像給出的物理信息，可得（　　）
A．7.5s至8.3s內，運動員先處于失重狀態再處于超重狀態
B．小明的最大加速度為50m/s2
C．小明上升的最大高度為20m
D．小明在整個蹦床過程中機械能守恒
（2023 浙江模擬）如圖所示，“蹦極”運動中，運動員身系彈性繩下落，不計空氣阻力．下列有關運動員從彈性繩剛繃緊到最低點的下落過程中的說法正確的是（　　）
A．運動員的加速度一直減小
B．彈性繩的彈性勢能為零時，運動員的動能最大
C．彈性繩的彈性勢能最大時，運動員的動能為零
D．運動員重力勢能的減少量等于彈性繩彈性勢能的增加量
（2022春 鎮海區校級期中）2022年2月8日中國奧運選手谷愛凌在北京冬季奧運會跳臺滑雪比賽中完美奪冠。跳臺滑雪比賽中的得分主要包括距離得分和姿勢得分，并且得分還需要參考每一跳的風向和風速。下列說法正確的是（　?。?br/>A．在給選手動作姿勢打分時，可以把選手看成質點
B．在給選手跳躍距離打分時，可以把選手看成質點
C．選手在空中運動時，處于完全失重狀態
D．選手在空中運動時，機械能守恒
（2022秋 杭州期中）質量為0.5kg的石塊從h＝10m高處以30°角斜向上方拋出（如圖），初速度v0的大小為5m/s。不計空氣阻力，g取10m/s2，則下列選項正確的是（　　）
A．石塊落地時的速度大小是15m/s
B．石塊拋出到落地的運動過程中機械能不斷減小
C．石塊落地時速度的大小與石塊初速度的仰角有關
D．石塊落地時速度的大小與石塊的拋出時的高度無關
（2021春 拱墅區校級期中）如圖所示，一小孩從公園中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其機械能的變化情況是（　?。?br/>A．重力勢能減小，動能不變，機械能減小
B．重力勢能減小，動能增加，機械能增加
C．重力勢能減小，動能增加，機械能減小
D．重力勢能減小，動能增加，機械能守恒
（2023 浙江模擬）2022年2月15日，蘇翊鳴在北京冬奧會單板滑雪男子大跳臺比賽中奪得冠軍，成為首位贏得冬奧會單板滑雪金牌的中國運動員。大跳臺主要由助滑道，起跳臺和著陸坡組成，如圖所示，運動員在助滑道下滑后在起跳臺起跳，在空中做拋體運動后落在著陸坡上。某次比賽蘇翊鳴在距離起跳點34m高處從靜止下滑，在空中最高點時距起跳點12.8m，在空中飛躍的總時間為4s，已知起跳臺斜面傾角為37°，蘇翊鳴的質量為70kg，不考慮空氣阻力，g取10m/s2，以下說法正確的是（　?。?br/>A．起跳速度為16m/s
B．在最高點速度為0
C．下滑過程機械能守恒
D．從下滑到著陸重力做功35000J
命題點二　機械能守恒的應用
1．機械能守恒定律的表達式
2．選用技巧：在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面．
（2023春 杭州期中）如圖甲所示，有一固定光滑斜面體ABC，一物塊在平行于斜面的力F作用下從底端A點沿斜面AB由靜止開始向上運動，該過程中物塊的機械能E隨位移x的變化圖線如圖乙所示，圖線在x1～x2段為平行于x軸的直線。則（　?。?br/>A．力F先減小后增大
B．從E﹣x圖線中不能確定零勢能面位置
C．在x＝x1位置物塊所受力F＝0
D．在0～x1過程中物塊做加速度不斷減小的加速運動
（2022秋 衢州期末）質量為2kg的物體以初速度v0從固定斜面底端沖上斜面，物體在斜面上運動過程中的t圖像如圖所示，g取10m/s2，下列說法正確的是（　?。?br/>A．此斜面與水平面夾角為30°
B．2s內該物體重力勢能變化的最大值為36J
C．該物體在斜面上運動過程中機械能一定不守恒
D．該物體在斜面上運動過程中合外力沖量為零
（2023 海淀區一模）圖1中過山車可抽象為圖2所示模型：弧形軌道下端與半徑為R的豎直圓軌道平滑相接，B點和C點分別為圓軌道的最低點和最高點。質量為m的小球（可視為質點）從弧形軌道上距B點高4R的A點靜止釋放，先后經過B點和C點，而后沿圓軌道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通過B點時的速度大小vB。
（2）求小球通過C點時，軌道對小球作用力的大小F和方向。
（3）請分析比較小球通過B點和C點時加速度的大小關系。
（2022秋 松江區期末）如圖，在地面上方的豎直平面內放置一桿狀軌道，AB為粗糙的長直軌道，長為L＝10m，與水平方向的夾角為θ＝37°，BCD、DEF均為半徑為R＝1m的光滑圓弧形軌道，AB與BCD相切于B點，B點離地高度為h＝3m，O1、O2兩圓心等高，C為圓弧形軌道的最低點，E為最高點。一質量為m＝0.2kg的小環套在AB上，自P點由靜止釋放，經t＝2s運動到B點的速度大小為v＝6m/s。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，以地面為零勢能面。求：
（1）小環在AB軌道上受到的摩擦力的大?。?br/>（2）小環過E點時，小環對弧形軌道的作用力；
（3）若改變小環在直桿上釋放點的位置，求小環落地時機械能的可能值；
（4）小環在AB桿上某一區域由靜止釋放時，若小環不會落到地面上，請用能量觀點分析小環的運動過程，并求出最終穩定后小環的機械能。
拓展點　含彈簧類機械能守恒問題
1．由于彈簧的形變會具有彈性勢能，系統的總動能將發生變化，若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒．
2．在相互作用過程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大．
3．如果系統內每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自然長度時，系統內彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧由靜止釋放)．
（2022春 麗水期末）如圖所示為某彈射游戲裝置，處于豎直平面內的三段光滑管道AB、BC、CDE，其中AB是水平放置直管道，BC是半徑R＝0.8m的四分之一圓弧管道，CDE是半徑r＝0.4m的四分之三圓弧管道，D為管道最高點，出口E點切線水平，長L（可調）摩擦因數為μ＝0.5的粗糙水平軌道EK，與圓弧軌道相連于E點（EK與BC錯開）。已知彈簧的勁度系數k＝400N/m，在彈性限度內彈性勢能EP（x為彈簧的形變量）。游戲過程彈簧均未超出彈性限度，彈射裝置發射的小球可視為質點，質量m＝0.1kg，管道粗細可以忽略，忽略空氣阻力。（計算結果可以用根號表示）
（1）若某次小球發射后剛好能過D點，求小球通過圓弧管道最低點B時對軌道的壓力；
（2）若某次游戲時L＝1.36m，要使小球能從K點射出，則彈簧的形變量至少要多少；
（3）現使彈簧儲存EP＝1.4J的彈性勢能，應調節EK長度L為何值時，小球第一次落地點與E點水平距離最大，并求出最大距離。
（2022春 樂清市校級期末）如圖所示，固定在豎直平面內的軌道由高為H＝0.8m的平臺，斜面BC，半徑R＝0.8m的豎直圓軌道DFE（軌道在DE處稍微錯開）及傾角為θ＝30°的斜面PM組成，一勁度系數為k＝8N/m的彈簧一端固定在斜面PM的最高點M，其下端距離地面h2＝0.5m。一質量為m＝0.2kg的滑塊（可視為質點）從平臺末端A以速度v0＝2m/s水平飛出，恰好無碰撞的從B點沿斜面向下滑行，B離地高度為h1＝0.35m，已知滑塊與PM斜面間的動摩擦因數為，其余摩擦不計，不計滑塊經軌道轉折點能量損失及空氣阻力，最大靜摩擦力認為等于滑動摩擦力，當彈簧壓縮量為x時，彈簧具有的彈性勢能為EP（或可以用F﹣x圖像下的面積求變力做功）。
（1）求B與A間的水平距離；
（2）滑塊經圓軌道最高點F時軌道對滑塊的壓力；
（3）滑塊沿右側PM斜面第一次到達最高點時彈簧的彈性勢能；
（4）滑塊最終靜止的位置距P端的距離。
[課時訓練]
一．選擇題（共10小題）
1．（2023春 余姚市校級期中）如圖所示，質量為m的小球從距桌面h1，高處的A點由靜止釋放，自由下落到地面上的B點，桌面離地高為h2。選擇桌面為參考平面，則小球（　?。?br/>A．在A點時的重力勢能為﹣mgh1
B．在A點時的機械能為mg（h1+h2）
C．在B點時的重力勢能為mgh2
D．在B點時的機械能為mgh1
2．（2023 溫州三模）中國跳水隊被譽為跳水“夢之隊”。如圖是一位運動員跳水過程的頻閃照片，A為運動員起跳位置，B為運動員重心到達最高位置，C為運動員指尖到達水面位置，空氣阻力不可忽略，下列說法正確的是（　?。?br/>A．在B位置，運動員處于平衡狀態
B．在C位置，運動員的機械能最大
C．運動員入水后，立即做減速運動
D．在A位置，運動員受到跳板的彈力是由于跳板發生形變產生的
3．（2023春 北侖區校級期中）如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎直立在水平面上，上端放一只小球，用力F將小
球緩慢地壓到D點靜止，彈簧始終處于彈性限度內．突然撤去力F，小球從靜止開始
向上運動，B點是彈簧原長時上端的位置，在C位置時小球所受彈力大小等于重力，
在A位置時小球的速度為零．小球運動過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．在B位置小球動能最大
B．D→B位置小球加速度一直減少
C．C→A位置小球重力勢能的增加等于小球動能的減少
D．D→A位置小球重力勢能的增加等于彈簧彈性勢能的減少
4．（2023春 余姚市校級期中）某同學在操場上踢足球，足球質量為m，該同學將足球以速度v0從地面上的A點踢起，最高可以到達離地面高度為h的B點位置，從A到B足球克服空氣阻力做的功為W，選地面為零勢能的參考平面，則下列說法中正確的是（　?。?br/>A．足球從A到B機械能守恒
B．該同學對足球做的功等于
C．足球在A點處的機械能為
D．足球在B點處的動能為
5．（2022秋 諸暨市期末）如圖所示為某同學將籃球投出后空中的拋物線。已知籃球出手的位置為M，最高點的位置為N，剛要入籃筐的位置為P，M位置低于P位置，設M、N、P三個位置的速度大小分別為vM、vN和vP，三個位置對應的水平速度分別為vM1、vN1和vP1，不計籃球所受的空氣阻力。下列說法正確的是（　?。?br/>A．三個位置速度大小關系為vM＞vN＞vP
B．三個位置水平速度大小關系為vM1＝vN1＝vP1
C．籃球從M運動到N的時間等于N到P的時間
D．籃球在N的速度方向與所受合外力的方向在同一直線上
6．（2023 浙江）一位游客正在體驗蹦極，綁上蹦極專用的橡皮繩后從跳臺縱身而下。游客從跳臺下落直到最低點過程中（　　）
A．彈性勢能減小
B．重力勢能減小
C．機械能保持不變
D．繩一繃緊動能就開始減小
7．（2021秋 浙江期中）2021年7月30日下午，東京奧運會蹦床女子個人網上決賽，中國選手朱雪瑩以56.635分奪冠，為中國體育代表團奪得本屆奧運會第17金，蹦床運動可簡化為球壓縮彈簧的模型，如圖所示。小球從A點靜止下落，到達C點的速度為零，圖中B點為輕彈簧處于原長時的最高點，若空氣阻力可以忽略，下列說法正確的是（　　）
A．小球到達B點后，開始減速
B．小球到達C點時，動能與重力勢能總量最小
C．小球從B點到C點，先做勻加速運動，再做勻減速運動
D．小球在C點時所受重力與彈簧彈力相平衡
8．（2022春 拱墅區校級期中）如圖，撐桿跳全過程可分為四個階段：A→B階段，助跑加速；B→C階段，桿彎曲程度增大、人上升；C→D階段，桿彎曲程度減小、人上升；D→E階段，人越過橫桿后下落，整個過程空氣阻力忽略不計。這四個階段的能量變化為（　?。?br/>A．A→B地面對人和桿系統做正功
B．B→C人和桿系統的動能減小量小于重力勢能和彈性勢能增加量
C．C→D人和桿系統的動能減少量小于重力勢能的增加量
D．D→E重力對人所做的功等于人機械能的增加量
9．（2022 杭州一模）姚明是NBA中我國優秀的籃球運動員。在某次比賽罰球中，第一次出手，籃球的初速度方向與豎直方向的夾角α＝60°；第二次出手，籃球的初速度方向與豎直方向的夾角β＝30°；兩次出手的位置在同一豎直線上，結果兩次籃球正好垂直撞擊到籃板同一位置C點。不計空氣阻力，則從籃球出手到運動到點C的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．兩球的初動能相等
B．前后兩次上升的最大高度的比值為1：9
C．在C點時，兩球的機械能相等
D．前后兩次運動時間的比值為：1
10．（2022春 拱墅區校級期中）如圖（a），傾角為37°的傳送帶以v＝5m/s的速度逆時針勻速轉動，傳送帶AB之間的距離為20m，質量為m＝1kg的物塊（可視為質點）自A點無初速度放上傳送帶。物塊在傳送帶上運動時，其動能Ek與位移x關系圖像（Ek﹣x）如圖（b）所示，物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。則下列說法中正確的是（　?。?br/>A．物塊與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.25
B．物塊到達傳送帶底端B點時的動能為E0＝25J
C．整個過程中因摩擦而產生的內能為30J
D．若物塊能在傳送帶上留下痕跡，則痕跡的長度為7.5m
二．解答題（共2小題）
11．（2023春 浙江期中）如圖所示，ABCD為固定在豎直平面內的光滑軌道，AB段為水平軌道，BC段為圓心角θ＝37°、半徑為6l的圓弧軌道，CD段是足夠長的平直傾斜軌道，各段軌道均平滑連接。AB段的右側有一緩沖裝置，勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連（提示：輕桿和輕質彈簧均為不計質量的理想模型，受力始終處于平衡狀態），輕桿右端剛好位于槽口，假設輕桿插入槽內所受的阻力與插入深度無關，且大小恒為Ff＝4mg。若將一質量為m的滑塊從C點由靜止釋放，滑塊撞擊彈簧后將導致輕桿向右移動。
（1）若滑塊從C點由靜止釋放，經過圓弧軌道B點時，求滑塊對軌道的壓力的大??；
（2）滑塊撞擊彈簧導致輕桿向右移動時彈簧儲存的彈性勢能；
（3）若輕桿槽內所受的阻力不恒定，其大小Ff隨插入深度x變化滿足關系式，為使輕桿向右移動不超過l，求允許滑塊釋放點離C點的最大距離。
12．（2023春 濱江區期中）如圖所示，足夠長的光滑水平桌面左端固定一立柱，質量為m＝0.1kg的小球置于桌面上，它與立柱之間有一壓縮的輕彈簧，輕彈簧與立柱之間栓接與小球不栓接。某時刻釋放小球，它被彈出從桌面右端A點飛出，恰好能沒有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的頂端B點，并沿軌道滑下。圖中右端為固定在豎直面內半徑R＝2m的圓弧軌道，水平軌道CD將傾斜軌道與圓弧軌道連接在一起。已知B點與桌面間的豎直高度差h＝0.45m，傾斜軌道BC長為L＝2.75m，傾角α＝37°，小球與傾斜軌道間的動摩擦因數μ＝0.5；不計水平軌道與圓弧軌道的摩擦與小球經過C點時的能量損失，取g＝10m/s2，求：
（1）被釋放前彈簧的彈性勢能；
（2）小球第一次經過圓弧軌道最低點時對軌道的壓力的大?。?br/>（3）為了讓小球不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道BC，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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