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第30講　微專題五 動力學和能量觀點在電磁感應中的應用
目錄
[命題點研究] 1
命題點一　電磁感應中的動力學問題 1
命題點二　電磁感應中動力學和能量觀點的綜合應用 6
[課時訓練] 10
[命題點研究]
命題點一　電磁感應中的動力學問題
1．題型簡述
感應電流在磁場中受到安培力的作用，因此電磁感應問題往往跟力學問題聯系在一起．解決這類問題需要綜合應用電磁感應規律(法拉第電磁感應定律、楞次定律)及力學中的有關規律(共點力的平衡條件、牛頓運動定律、動能定理等)．
2．兩種狀態及處理方法
狀態 特征 處理方法
平衡態 加速度為零 根據平衡條件列式分析
非平衡態 加速度不為零 根據牛頓第二定律進行動態分析或結合功能關系進行分析
3.動態分析的基本思路
解決這類問題的關鍵是通過運動狀態的分析，尋找過程中的臨界狀態，如速度、加速度最大值或最小值的條件．具體思路如下：
（2023春 寧波期中）如圖所示，平行光滑金屬導軌（足夠長）與水平面成37°角傾斜固定，兩導軌間距為1m，上端接一標有“8V，80W”的燈泡，導軌間有方向垂直導軌平面向上、磁感應強度大小B＝1T的勻強磁場，一質量m＝1kg、長度為1m的金屬棒MN，放在兩導軌平面上，且與導軌在同一平面內，現給MN一沿導軌向下的恒力F，MN達到平衡后，小燈泡恰好正常發光。不計導軌和金屬棒MN的電阻，MN沿導軌滑動過程始終與導軌接觸良好且無摩擦。取重力加速度大小g＝10m/s2，下列說法正確的是（　?。?br/>A．金屬棒MN沿導軌運動的過程中通過小燈泡的電流方向為從b到a
B．金屬棒MN平衡時的速度大小為6m/s
C．恒力F的大小為4N
D．金屬棒MN平衡時其受到重力的功率為80W
【解答】解：A、金屬棒MN沿導軌運動的過程中，由右手定則可判斷通過小燈泡的電流方向為從a到b，故A錯誤；
B、由題意結合動生電動勢公式可得：U額＝E＝BLv，解代入數據解得：v＝8m/s，故B錯誤；
C、由受力平衡可得：F+mgsin37°＝FA
又因為安培力：，燈泡電阻：
聯立解得：F＝4N，故C正確；
D、由公式：PG＝mgvsin37°，代入數據解得：PG＝48W，故D錯誤。
故選：C。
（多選）（2022春 浙江月考）如圖所示，有兩根和水平方向成α（α＜90°）角的光滑平行的金屬軌道，上端接有可變電阻R，下端足夠長，空間有垂直于軌道平面向上的勻強磁場，磁感應強度為B，一根質量為m、電阻不計的金屬桿從軌道上由靜止滑下。經過足夠長的時間后，金屬桿的速度會趨近于一個最大速度vm，則（　?。?br/>A．如果B增大，vm將變大
B．如果α變大（仍小于90°），vm將變大
C．如果R變大，vm將變大
D．如果m變小，vm將變大
【解答】解：對金屬棒受力分析，受重力、支持力和安培力（平行導軌平面向上），當棒d加速度為零時，速度達到最大，
根據平衡條件，有：mgsinα﹣FA＝0
其中：E＝BLvm
E＝IR
FA＝BIL
聯立解得，最大速度為：vm①
A．由①式，如果B增大，vm將變小，故A錯誤；
B．由①式，如果α變大，vm將變大，故B正確；
C．由①式，如果R變大，vm將變大，故C正確；
D．由①式，如果m變小，vm將變小，故D錯誤；
故選：BC。
（2023春 杭州期中）如圖所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，電阻不計，導軌間距為l＝1m，左側接一阻值為R＝0.3Ω的電阻。區域cdef內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁場寬度為s＝1m。一質量為m＝1kg、電阻為r＝0.2Ω的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好，受到外力F與金屬棒速度v變化的關系式為F＝0.5v+0.4，從磁場的左邊界由靜止開始運動，測得電阻兩端電壓隨時間均勻增大。
（1）分析并說明該金屬棒在磁場中做何種運動；
（2）求磁感應強度B的大??；
（3）若外力F作用一段時間后撤去，棒運動到ef處時恰好靜止，則外力F作用的時間為多少？
（4）在（3）的情形下，在撤去外力之后金屬棒上產生的焦耳熱。
【解答】解：（1）金屬棒從磁場的左邊界由靜止開始運動，測得電阻兩端電壓隨時間均勻增大，則有U＝kt
設金屬棒的速度為v，則有：
可知金屬棒的速度也隨時間均勻增大，故金屬棒做初速度為零的勻加速直線運動。
（2）當金屬棒速度為v時，感應電動勢為：E＝Blv
感應電流為：
導體棒受到的安培力：F安＝BIl
根據牛頓第二定律可得：F﹣F安＝ma
聯立代入數據可得：0.5v+0.4﹣2B2v＝a
由于金屬棒做勻加速直線運動，則有：0.5v﹣2B2v＝0，a＝0.4m/s2
解得磁感應強度的大小為：B＝0.5T
（3）設外力F作用的時間為t1，則勻加速過程有：v1＝at1
位移為：
撤去力后棒運動到ef處時恰好靜止，根據動量定理可得：
又
由題設條件有：x1+x2＝s
聯立解得：t1＝1s
（4）在（3）的情形下，可知撤去外力時，金屬棒的速度為：v1＝at1＝0.4×1m/s＝0.4m/s
根據能量守恒可知，撤去外力之后回路產生的焦耳熱為：QJ＝0.08J
則撤去外力之后金屬棒上產生的焦耳熱為：Q0.032J
答：（1）金屬棒做初速度為零的勻加速直線運動；
（2）磁感應強度B的大小為0.5T；
（3）棒運動到ef處時恰好靜止，則外力F作用的時間為1s；
（4）撤去外力之后金屬棒上產生的焦耳熱為0.032J。
（2022 湖北模擬）如圖所示，水平面內有兩根金屬導軌MN、PQ平行放置，兩導軌之間的距離L＝1.0m。以虛線OO'為分界線，左側導軌粗糙，空間有水平向左的勻強磁場，磁感應強度大小B1＝1.5T，OO'右側導軌光滑，空間有與水平面成30°的勻強磁場，磁感應強度大小B2＝0.6T。兩根質量均為m＝0.50kg的均勻直金屬桿AB、CD放在兩導軌上，并與導軌垂直且接觸良好，在導軌上接有阻值為R的固定電阻。已知兩金屬桿接入電路的電阻與固定電阻的阻值均為2.0Ω，其余部分電阻忽略不計，重力加速度g取10m/s2。AB桿在水平恒力F1＝2.65N作用下向左勻速運動，CD桿在水平恒力F2的作用下向右以v＝4m/s的速度做勻速運動。求：
（1）水平恒力F2的大小；
（2）金屬桿AB與導軌之間的動摩擦因數μ；
（3）從某一時刻開始計時，在時間t＝5s內桿CD克服安培力做的功。
【解答】解：（1）磁感應強度B2在豎直方向的分量為：B＝B2sin30°＝0.6×0.5T＝0.3T
CD棒切割磁感應線產生的感應電動勢為：E＝BLv＝0.3×1×4V＝1.2V
CD棒為電源，外電阻為R與AB棒的電阻并聯，根據題意可知，AB與CD的電阻均為r＝2.0Ω，電阻R＝2.0Ω。
則電路總電阻為R總＝r，解得：R總＝3Ω
通過CD棒的電流為：IA＝0.4A
對CD，水平方向根據平衡條件可得：F2＝BIL＝0.3×0.4×1N＝0.12N；
（2）通過AB棒的電流為：I10.2A
根據左手定則可知AB棒受到的安培力方向向上，大小為FA＝B1I1L＝1.5×0.2×1N＝0.3N
對AB，水平方向根據平衡條件可得：F1＝μ（mg+FA）
代入數據解得：μ＝0.5；
（3）在t＝5s內CD桿的位移為：x＝vt＝4×5m＝20m
由于CD桿勻速運動，所以CD桿克服摩擦力做的功等于克服安培力做的功，所以有：
WA＝F2x＝0.12×20J＝2.4J。
答：（1）水平恒力F2的大小為0.12N；
（2）金屬桿AB與導軌之間的動摩擦因數為0.5；
（3）從某一時刻開始計時，在時間t＝5s內桿CD克服安培力做的功為2.4J。
命題點二　電磁感應中動力學和能量觀點的綜合應用
1．題型簡述
電磁感應過程的實質是不同形式的能量相互轉化的過程，而能量的轉化是通過安培力做功來實現的．安培力做功的過程，是電能轉化為其他形式的能的過程；外力克服安培力做功的過程，則是其他形式的能轉化為電能的過程．
2．解題的一般步驟
(1)確定研究對象(導體棒或回路)；
(2)弄清電磁感應過程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互轉化；
(3)根據能量守恒定律或功能關系列式求解．
3．求解電能應分清兩類情況
(1)若回路中電流恒定，可以利用電路結構及W＝UIt或Q＝I2Rt直接進行計算．
(2)若電流變化，則
①利用安培力做功求解：電磁感應中產生的電能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：若只有電能與機械能的轉化，則減少的機械能等于產生的電能．
（2022秋 寧波期末）如圖所示，平行金屬導軌固定在斜面上，導軌上下兩端分別連著定值電阻R1和R2，且R1＝R2＝R。勻強磁場垂直于斜面向上，恒力F拉動阻值也為R的金屬桿從靜止開始沿導軌向上滑動，金屬桿與導軌接觸良好，導軌光滑且電阻不計。已知從靜止開始到金屬桿達到最大速度的過程中，恒力F做功為W，金屬桿克服重力做功為 W1，金屬桿克服安培力做功為W2，定值電阻R1上產生的焦耳熱為Q，金屬桿動能的增加量為ΔEk，重力勢能的增加量為ΔEp，則（　?。?br/>A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
【解答】解：兩定值電阻與金屬桿的電阻阻值相等，兩定值電阻并聯，流過每個定值電阻的電流相等，流過金屬桿的電流是流過兩定值電阻的電流之和，定值電阻R1上產生的焦耳熱為Q，根據焦耳定律Q＝I2Rt可知，定值電阻R2上產生的焦耳熱也是Q，金屬桿產生的焦耳熱是Q金屬桿＝4Q，克服安培力做功轉化為焦耳熱，則W2＝Q+Q+4Q＝6Q，克服重力做功轉化為金屬桿的重力勢能，則W1＝ΔEP，拉力做功轉化為金屬桿的動能、重力勢能與系統產生的焦耳熱，系統產生的焦耳熱等于金屬棒克服安培力做的功，由功能關系可知：W＝W2+ΔEk+ΔEp，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2022秋 西湖區期末）如圖所示，足夠長的水平光滑金屬導軌所在空間中，分布著垂直于導軌平面且方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。兩導體棒a、b均垂直于導軌靜止放置，接觸良好。已知導體棒a質量為2m，導體棒b質量為m，長度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計?，F使導體棒a獲得瞬時平行于導軌水平向右的初速度v0。除磁場作用外，兩棒沿導軌方向無其他外力作用，在兩導體棒運動過程中，下列說法正確的是（　　）
A．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動能增加量等于導體棒a的動能減少量
B．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動量改變量與導體棒a的動量改變量相同
C．從開始到最終穩定的全過程中，通過導體棒b的電荷量為
D．從開始到最終穩定的全過程中，兩棒共產生的焦耳熱為
【解答】解：AB．兩棒組成回路，電流相同，故所受安培力合力為零，動量守恒，故任何一段時間內，導體棒b的動量改變量跟導體棒a的動量改變量總是大小相等、方向相反；根據能量守恒定律可知，a的動能減少量等于b的動能增加量與回路中產生的焦耳熱之和，導體棒b的動能增加量小于導體棒a的動能減少量，故A、B錯誤；
CD．a、b兩棒的速度最終相等，設為v，以向右為正方向，根據動量守恒定律可得2mv0＝（2m+m）v
解得：v
對b棒，由動量定理有
解得
根據能量守恒定律，兩棒共產生的焦耳熱為
故D錯誤，C正確。
故選：C。
（多選）（2022秋 滄州期末）如圖所示，兩電阻不計、間距為L的平行金屬導軌由兩部分構成，傾斜導軌光滑，水平導軌粗糙，兩部分銜接在虛線1位置，兩導軌的右端接有電阻值為R的定值電阻，其中水平部分存在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場?，F將一質量為m、阻值為R、長為L，的導體棒由距離水平軌道h高處無初速釋放，經過一段時間導體棒剛好停在虛線2位置，已知虛線1、2之間的距離為d，導體棒與水平導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。導體棒經過銜接處的能量損失不計，導體棒與導軌始終保持垂直且良好的接觸。則下列說法正確的是（　?。?br/>A．定值電阻上產生的焦耳熱為
B．整個過程系統產生的總熱量為mgh﹣μmgd
C．導體棒剛經過虛線1瞬間的加速度大小為
D．導體棒由虛線1到虛線2的時間為
【解答】解：B、設導體棒克服安培力做功為W1、克服摩擦力做功為W2，由動能定理得mgh﹣μmgd﹣W1＝0，則整個過程系統產生的熱量為Q＝μmgd+W1＝mgh，故B錯誤；
A、導體棒克服安培力所做的功為W1＝mgh﹣μmgd，則電路中產生的總總的焦耳熱Q＝W1＝mg（h﹣μd），則定值電阻上產生的焦耳熱為Q'，故A正確；
C、導體棒在下滑過程中，其機械能守恒，由機械能守恒定律得mgh
導體棒進入磁場瞬間的感應電動勢為E＝BLv0＝ma
由閉合電路歐姆定律得I
又F＝BIL
由牛頓第二定律得μmg+F＝ma
解得：aμg
故C錯誤；
D、金屬棒經過磁場通過某截面的電量為qt Δt
根據動量定理﹣BLΔt﹣μmgΔt＝0﹣mv0
解得：Δt
故D正確；
故選：AD。
（2022秋 河南期末）如圖1所示，平行金屬導軌ADCE傾斜固定放置，導軌間距L＝1m，導軌平面與水平面之間的夾角為θ＝37°，導軌下端連接阻值R＝1Ω的電阻。導軌電阻不計，將質量為m、長為1.0m、電阻為r＝2Ω的金屬棒ab垂直放在導軌上，并將其鎖定，金屬棒離導軌下端的距離為6m，導軌處在垂直于導軌平面向上的磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化情況如圖2所示。t＝0時刻，解除金屬棒的鎖定，此時金屬棒剛好不上滑，t＝1s時刻，金屬棒剛好不下滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，導體棒ab沿導軌向下運動到達導軌底端前已達最大速度，導體棒ab與導軌始終接觸良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金屬棒的質量m及金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度vm大??；
（3）從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱。
【解答】解：（1）t＝0時刻，解除金屬棒的鎖定，金屬棒速度為0，回路中的感應電動勢：E16V
金屬棒中感應電流：I1A＝2A
金屬棒受到的安培力：F安1＝B0I1L＝2×2×1N＝4N
方向沿斜面向上，此時金屬棒剛好不上滑，摩擦力方向沿斜面向下，對金屬棒受力分析，在沿斜面方向應有：f+mgsinθ＝F安1
在垂直于斜面方向有：FN＝mgcosθ
而滑動摩擦力：f＝μFN
0～1s內，F安1隨B的減小而減小，f先減小后增大，金屬棒始終靜止不動，t＝1s時刻，金屬棒剛好不下滑，受力分析應有：mgsinθ＝F安2+f
其中：F安2＝B1I1L＝1×2×1N＝2N
聯立解得金屬棒的質量：m＝0.5kg
導軌間的動摩擦因數：μ＝0.25
（2）t＝1s后，金屬棒開始向下做加速度減小的加速運動直至加速度為0，最終做勻速直線運動，因此金屬棒ab沿導軌向下運動有最大速度vm時，加速度為0，由牛頓第二定律有：mgsinθ﹣F安2﹣f＝0
其中：F安2＝B1I2L＝BB
聯立解得：vm＝6m/s
（3）從t＝0時刻至t＝1s時刻，回路中感應電流大小始終為I1，導體棒ab中產生的焦耳熱：Q1rt1＝22×2×1J＝8J
從t＝1時刻至導體棒ab沿導軌向下運動到達導軌底端，根據能量守恒定律有：mgxsinθQ+fx
解得：Q＝3J
根據串聯電路特征可知，此過程中導體棒ab中產生的焦耳熱：Q2J＝2J
從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱：Qr＝Q1+Q2＝8J+2J＝10J
答：（1）金屬棒的質量m為0.5kg，金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ為0.25；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度vm大小為6m/s；
（3）從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱為10J。
[課時訓練]
（2022秋 寧波期末）如圖所示，平行金屬導軌固定在斜面上，導軌上下兩端分別連著定值電阻R1和R2，且R1＝R2＝R。勻強磁場垂直于斜面向上，恒力F拉動阻值也為R的金屬桿從靜止開始沿導軌向上滑動，金屬桿與導軌接觸良好，導軌光滑且電阻不計。已知從靜止開始到金屬桿達到最大速度的過程中，恒力F做功為W，金屬桿克服重力做功為 W1，金屬桿克服安培力做功為W2，定值電阻R1上產生的焦耳熱為Q，金屬桿動能的增加量為ΔEk，重力勢能的增加量為ΔEp，則（　?。?br/>A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
【解答】解：兩定值電阻與金屬桿的電阻阻值相等，兩定值電阻并聯，流過每個定值電阻的電流相等，流過金屬桿的電流是流過兩定值電阻的電流之和，定值電阻R1上產生的焦耳熱為Q，根據焦耳定律Q＝I2Rt可知，定值電阻R2上產生的焦耳熱也是Q，金屬桿產生的焦耳熱是Q金屬桿＝4Q，克服安培力做功轉化為焦耳熱，則W2＝Q+Q+4Q＝6Q，克服重力做功轉化為金屬桿的重力勢能，則W1＝ΔEP，拉力做功轉化為金屬桿的動能、重力勢能與系統產生的焦耳熱，系統產生的焦耳熱等于金屬棒克服安培力做的功，由功能關系可知：W＝W2+ΔEk+ΔEp，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2022秋 西湖區期末）如圖所示，足夠長的水平光滑金屬導軌所在空間中，分布著垂直于導軌平面且方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。兩導體棒a、b均垂直于導軌靜止放置，接觸良好。已知導體棒a質量為2m，導體棒b質量為m，長度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計?，F使導體棒a獲得瞬時平行于導軌水平向右的初速度v0。除磁場作用外，兩棒沿導軌方向無其他外力作用，在兩導體棒運動過程中，下列說法正確的是（　?。?br/>A．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動能增加量等于導體棒a的動能減少量
B．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動量改變量與導體棒a的動量改變量相同
C．從開始到最終穩定的全過程中，通過導體棒b的電荷量為
D．從開始到最終穩定的全過程中，兩棒共產生的焦耳熱為
【解答】解：AB．兩棒組成回路，電流相同，故所受安培力合力為零，動量守恒，故任何一段時間內，導體棒b的動量改變量跟導體棒a的動量改變量總是大小相等、方向相反；根據能量守恒定律可知，a的動能減少量等于b的動能增加量與回路中產生的焦耳熱之和，導體棒b的動能增加量小于導體棒a的動能減少量，故A、B錯誤；
CD．a、b兩棒的速度最終相等，設為v，以向右為正方向，根據動量守恒定律可得2mv0＝（2m+m）v
解得：v
對b棒，由動量定理有
解得
根據能量守恒定律，兩棒共產生的焦耳熱為
故D錯誤，C正確。
故選：C。
（多選）（2022秋 滄州期末）如圖所示，兩電阻不計、間距為L的平行金屬導軌由兩部分構成，傾斜導軌光滑，水平導軌粗糙，兩部分銜接在虛線1位置，兩導軌的右端接有電阻值為R的定值電阻，其中水平部分存在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場。現將一質量為m、阻值為R、長為L，的導體棒由距離水平軌道h高處無初速釋放，經過一段時間導體棒剛好停在虛線2位置，已知虛線1、2之間的距離為d，導體棒與水平導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。導體棒經過銜接處的能量損失不計，導體棒與導軌始終保持垂直且良好的接觸。則下列說法正確的是（　　）
A．定值電阻上產生的焦耳熱為
B．整個過程系統產生的總熱量為mgh﹣μmgd
C．導體棒剛經過虛線1瞬間的加速度大小為
D．導體棒由虛線1到虛線2的時間為
【解答】解：B、設導體棒克服安培力做功為W1、克服摩擦力做功為W2，由動能定理得mgh﹣μmgd﹣W1＝0，則整個過程系統產生的熱量為Q＝μmgd+W1＝mgh，故B錯誤；
A、導體棒克服安培力所做的功為W1＝mgh﹣μmgd，則電路中產生的總總的焦耳熱Q＝W1＝mg（h﹣μd），則定值電阻上產生的焦耳熱為Q'，故A正確；
C、導體棒在下滑過程中，其機械能守恒，由機械能守恒定律得mgh
導體棒進入磁場瞬間的感應電動勢為E＝BLv0＝ma
由閉合電路歐姆定律得I
又F＝BIL
由牛頓第二定律得μmg+F＝ma
解得：aμg
故C錯誤；
D、金屬棒經過磁場通過某截面的電量為qt Δt
根據動量定理﹣BLΔt﹣μmgΔt＝0﹣mv0
解得：Δt
故D正確；
故選：AD。
（2022秋 河南期末）如圖1所示，平行金屬導軌ADCE傾斜固定放置，導軌間距L＝1m，導軌平面與水平面之間的夾角為θ＝37°，導軌下端連接阻值R＝1Ω的電阻。導軌電阻不計，將質量為m、長為1.0m、電阻為r＝2Ω的金屬棒ab垂直放在導軌上，并將其鎖定，金屬棒離導軌下端的距離為6m，導軌處在垂直于導軌平面向上的磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化情況如圖2所示。t＝0時刻，解除金屬棒的鎖定，此時金屬棒剛好不上滑，t＝1s時刻，金屬棒剛好不下滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，導體棒ab沿導軌向下運動到達導軌底端前已達最大速度，導體棒ab與導軌始終接觸良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金屬棒的質量m及金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度vm大小；
（3）從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱。
【解答】解：（1）t＝0時刻，解除金屬棒的鎖定，金屬棒速度為0，回路中的感應電動勢：E16V
金屬棒中感應電流：I1A＝2A
金屬棒受到的安培力：F安1＝B0I1L＝2×2×1N＝4N
方向沿斜面向上，此時金屬棒剛好不上滑，摩擦力方向沿斜面向下，對金屬棒受力分析，在沿斜面方向應有：f+mgsinθ＝F安1
在垂直于斜面方向有：FN＝mgcosθ
而滑動摩擦力：f＝μFN
0～1s內，F安1隨B的減小而減小，f先減小后增大，金屬棒始終靜止不動，t＝1s時刻，金屬棒剛好不下滑，受力分析應有：mgsinθ＝F安2+f
其中：F安2＝B1I1L＝1×2×1N＝2N
聯立解得金屬棒的質量：m＝0.5kg
導軌間的動摩擦因數：μ＝0.25
（2）t＝1s后，金屬棒開始向下做加速度減小的加速運動直至加速度為0，最終做勻速直線運動，因此金屬棒ab沿導軌向下運動有最大速度vm時，加速度為0，由牛頓第二定律有：mgsinθ﹣F安2﹣f＝0
其中：F安2＝B1I2L＝BB
聯立解得：vm＝6m/s
（3）從t＝0時刻至t＝1s時刻，回路中感應電流大小始終為I1，導體棒ab中產生的焦耳熱：Q1rt1＝22×2×1J＝8J
從t＝1時刻至導體棒ab沿導軌向下運動到達導軌底端，根據能量守恒定律有：mgxsinθQ+fx
解得：Q＝3J
根據串聯電路特征可知，此過程中導體棒ab中產生的焦耳熱：Q2J＝2J
從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱：Qr＝Q1+Q2＝8J+2J＝10J
答：（1）金屬棒的質量m為0.5kg，金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ為0.25；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度vm大小為6m/s；
（3）從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱為10J。
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第30講　微專題五 動力學和能量觀點在電磁感應中的應用
目錄
[命題點研究] 1
命題點一　電磁感應中的動力學問題 1
命題點二　電磁感應中動力學和能量觀點的綜合應用 4
[課時訓練] 7
[命題點研究]
命題點一　電磁感應中的動力學問題
1．題型簡述
感應電流在磁場中受到安培力的作用，因此電磁感應問題往往跟力學問題聯系在一起．解決這類問題需要綜合應用電磁感應規律(法拉第電磁感應定律、楞次定律)及力學中的有關規律(共點力的平衡條件、牛頓運動定律、動能定理等)．
2．兩種狀態及處理方法
狀態 特征 處理方法
平衡態 加速度為零 根據平衡條件列式分析
非平衡態 加速度不為零 根據牛頓第二定律進行動態分析或結合功能關系進行分析
3.動態分析的基本思路
解決這類問題的關鍵是通過運動狀態的分析，尋找過程中的臨界狀態，如速度、加速度最大值或最小值的條件．具體思路如下：
（2023春 寧波期中）如圖所示，平行光滑金屬導軌（足夠長）與水平面成37°角傾斜固定，兩導軌間距為1m，上端接一標有“8V，80W”的燈泡，導軌間有方向垂直導軌平面向上、磁感應強度大小B＝1T的勻強磁場，一質量m＝1kg、長度為1m的金屬棒MN，放在兩導軌平面上，且與導軌在同一平面內，現給MN一沿導軌向下的恒力F，MN達到平衡后，小燈泡恰好正常發光。不計導軌和金屬棒MN的電阻，MN沿導軌滑動過程始終與導軌接觸良好且無摩擦。取重力加速度大小g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．金屬棒MN沿導軌運動的過程中通過小燈泡的電流方向為從b到a
B．金屬棒MN平衡時的速度大小為6m/s
C．恒力F的大小為4N
D．金屬棒MN平衡時其受到重力的功率為80W
（多選）（2022春 浙江月考）如圖所示，有兩根和水平方向成α（α＜90°）角的光滑平行的金屬軌道，上端接有可變電阻R，下端足夠長，空間有垂直于軌道平面向上的勻強磁場，磁感應強度為B，一根質量為m、電阻不計的金屬桿從軌道上由靜止滑下。經過足夠長的時間后，金屬桿的速度會趨近于一個最大速度vm，則（　?。?br/>A．如果B增大，vm將變大
B．如果α變大（仍小于90°），vm將變大
C．如果R變大，vm將變大
D．如果m變小，vm將變大
（2023春 杭州期中）如圖所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，電阻不計，導軌間距為l＝1m，左側接一阻值為R＝0.3Ω的電阻。區域cdef內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁場寬度為s＝1m。一質量為m＝1kg、電阻為r＝0.2Ω的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好，受到外力F與金屬棒速度v變化的關系式為F＝0.5v+0.4，從磁場的左邊界由靜止開始運動，測得電阻兩端電壓隨時間均勻增大。
（1）分析并說明該金屬棒在磁場中做何種運動；
（2）求磁感應強度B的大??；
（3）若外力F作用一段時間后撤去，棒運動到ef處時恰好靜止，則外力F作用的時間為多少？
（4）在（3）的情形下，在撤去外力之后金屬棒上產生的焦耳熱。
（2022 湖北模擬）如圖所示，水平面內有兩根金屬導軌MN、PQ平行放置，兩導軌之間的距離L＝1.0m。以虛線OO'為分界線，左側導軌粗糙，空間有水平向左的勻強磁場，磁感應強度大小B1＝1.5T，OO'右側導軌光滑，空間有與水平面成30°的勻強磁場，磁感應強度大小B2＝0.6T。兩根質量均為m＝0.50kg的均勻直金屬桿AB、CD放在兩導軌上，并與導軌垂直且接觸良好，在導軌上接有阻值為R的固定電阻。已知兩金屬桿接入電路的電阻與固定電阻的阻值均為2.0Ω，其余部分電阻忽略不計，重力加速度g取10m/s2。AB桿在水平恒力F1＝2.65N作用下向左勻速運動，CD桿在水平恒力F2的作用下向右以v＝4m/s的速度做勻速運動。求：
（1）水平恒力F2的大??；
（2）金屬桿AB與導軌之間的動摩擦因數μ；
（3）從某一時刻開始計時，在時間t＝5s內桿CD克服安培力做的功。
命題點二　電磁感應中動力學和能量觀點的綜合應用
1．題型簡述
電磁感應過程的實質是不同形式的能量相互轉化的過程，而能量的轉化是通過安培力做功來實現的．安培力做功的過程，是電能轉化為其他形式的能的過程；外力克服安培力做功的過程，則是其他形式的能轉化為電能的過程．
2．解題的一般步驟
(1)確定研究對象(導體棒或回路)；
(2)弄清電磁感應過程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互轉化；
(3)根據能量守恒定律或功能關系列式求解．
3．求解電能應分清兩類情況
(1)若回路中電流恒定，可以利用電路結構及W＝UIt或Q＝I2Rt直接進行計算．
(2)若電流變化，則
①利用安培力做功求解：電磁感應中產生的電能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：若只有電能與機械能的轉化，則減少的機械能等于產生的電能．
（2022秋 寧波期末）如圖所示，平行金屬導軌固定在斜面上，導軌上下兩端分別連著定值電阻R1和R2，且R1＝R2＝R。勻強磁場垂直于斜面向上，恒力F拉動阻值也為R的金屬桿從靜止開始沿導軌向上滑動，金屬桿與導軌接觸良好，導軌光滑且電阻不計。已知從靜止開始到金屬桿達到最大速度的過程中，恒力F做功為W，金屬桿克服重力做功為 W1，金屬桿克服安培力做功為W2，定值電阻R1上產生的焦耳熱為Q，金屬桿動能的增加量為ΔEk，重力勢能的增加量為ΔEp，則（　?。?br/>A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
（2022秋 西湖區期末）如圖所示，足夠長的水平光滑金屬導軌所在空間中，分布著垂直于導軌平面且方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。兩導體棒a、b均垂直于導軌靜止放置，接觸良好。已知導體棒a質量為2m，導體棒b質量為m，長度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計?，F使導體棒a獲得瞬時平行于導軌水平向右的初速度v0。除磁場作用外，兩棒沿導軌方向無其他外力作用，在兩導體棒運動過程中，下列說法正確的是（　?。?br/>A．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動能增加量等于導體棒a的動能減少量
B．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動量改變量與導體棒a的動量改變量相同
C．從開始到最終穩定的全過程中，通過導體棒b的電荷量為
D．從開始到最終穩定的全過程中，兩棒共產生的焦耳熱為
（多選）（2022秋 滄州期末）如圖所示，兩電阻不計、間距為L的平行金屬導軌由兩部分構成，傾斜導軌光滑，水平導軌粗糙，兩部分銜接在虛線1位置，兩導軌的右端接有電阻值為R的定值電阻，其中水平部分存在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場?，F將一質量為m、阻值為R、長為L，的導體棒由距離水平軌道h高處無初速釋放，經過一段時間導體棒剛好停在虛線2位置，已知虛線1、2之間的距離為d，導體棒與水平導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。導體棒經過銜接處的能量損失不計，導體棒與導軌始終保持垂直且良好的接觸。則下列說法正確的是（　?。?br/>A．定值電阻上產生的焦耳熱為
B．整個過程系統產生的總熱量為mgh﹣μmgd
C．導體棒剛經過虛線1瞬間的加速度大小為
D．導體棒由虛線1到虛線2的時間為
（2022秋 河南期末）如圖1所示，平行金屬導軌ADCE傾斜固定放置，導軌間距L＝1m，導軌平面與水平面之間的夾角為θ＝37°，導軌下端連接阻值R＝1Ω的電阻。導軌電阻不計，將質量為m、長為1.0m、電阻為r＝2Ω的金屬棒ab垂直放在導軌上，并將其鎖定，金屬棒離導軌下端的距離為6m，導軌處在垂直于導軌平面向上的磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化情況如圖2所示。t＝0時刻，解除金屬棒的鎖定，此時金屬棒剛好不上滑，t＝1s時刻，金屬棒剛好不下滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，導體棒ab沿導軌向下運動到達導軌底端前已達最大速度，導體棒ab與導軌始終接觸良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金屬棒的質量m及金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度vm大??；
（3）從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱。
[課時訓練]
（2022秋 寧波期末）如圖所示，平行金屬導軌固定在斜面上，導軌上下兩端分別連著定值電阻R1和R2，且R1＝R2＝R。勻強磁場垂直于斜面向上，恒力F拉動阻值也為R的金屬桿從靜止開始沿導軌向上滑動，金屬桿與導軌接觸良好，導軌光滑且電阻不計。已知從靜止開始到金屬桿達到最大速度的過程中，恒力F做功為W，金屬桿克服重力做功為 W1，金屬桿克服安培力做功為W2，定值電阻R1上產生的焦耳熱為Q，金屬桿動能的增加量為ΔEk，重力勢能的增加量為ΔEp，則（　?。?br/>A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
（2022秋 西湖區期末）如圖所示，足夠長的水平光滑金屬導軌所在空間中，分布著垂直于導軌平面且方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。兩導體棒a、b均垂直于導軌靜止放置，接觸良好。已知導體棒a質量為2m，導體棒b質量為m，長度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計?，F使導體棒a獲得瞬時平行于導軌水平向右的初速度v0。除磁場作用外，兩棒沿導軌方向無其他外力作用，在兩導體棒運動過程中，下列說法正確的是（　?。?br/>A．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動能增加量等于導體棒a的動能減少量
B．從開始到最終穩定的任意一段時間內，導體棒b的動量改變量與導體棒a的動量改變量相同
C．從開始到最終穩定的全過程中，通過導體棒b的電荷量為
D．從開始到最終穩定的全過程中，兩棒共產生的焦耳熱為
（多選）（2022秋 滄州期末）如圖所示，兩電阻不計、間距為L的平行金屬導軌由兩部分構成，傾斜導軌光滑，水平導軌粗糙，兩部分銜接在虛線1位置，兩導軌的右端接有電阻值為R的定值電阻，其中水平部分存在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場。現將一質量為m、阻值為R、長為L，的導體棒由距離水平軌道h高處無初速釋放，經過一段時間導體棒剛好停在虛線2位置，已知虛線1、2之間的距離為d，導體棒與水平導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。導體棒經過銜接處的能量損失不計，導體棒與導軌始終保持垂直且良好的接觸。則下列說法正確的是（　?。?br/>A．定值電阻上產生的焦耳熱為
B．整個過程系統產生的總熱量為mgh﹣μmgd
C．導體棒剛經過虛線1瞬間的加速度大小為
D．導體棒由虛線1到虛線2的時間為
（2022秋 河南期末）如圖1所示，平行金屬導軌ADCE傾斜固定放置，導軌間距L＝1m，導軌平面與水平面之間的夾角為θ＝37°，導軌下端連接阻值R＝1Ω的電阻。導軌電阻不計，將質量為m、長為1.0m、電阻為r＝2Ω的金屬棒ab垂直放在導軌上，并將其鎖定，金屬棒離導軌下端的距離為6m，導軌處在垂直于導軌平面向上的磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化情況如圖2所示。t＝0時刻，解除金屬棒的鎖定，此時金屬棒剛好不上滑，t＝1s時刻，金屬棒剛好不下滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，導體棒ab沿導軌向下運動到達導軌底端前已達最大速度，導體棒ab與導軌始終接觸良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金屬棒的質量m及金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度vm大小；
（3）從t＝0時刻至導體棒ab運動到導軌最底端的過程中，導體棒ab中產生的焦耳熱。
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