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第31講　微專題六 動力學(xué)、動量和能量觀點(diǎn)在電學(xué)中的應(yīng)用
目錄
[命題點(diǎn)研究] 1
命題點(diǎn)一　電磁感應(yīng)中的動量和能量的應(yīng)用 1
命題點(diǎn)二　電場、磁場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用 6
[課時訓(xùn)練] 8
[命題點(diǎn)研究]
命題點(diǎn)一　電磁感應(yīng)中的動量和能量的應(yīng)用
感應(yīng)電流在磁場中受到安培力的作用，因此電磁感應(yīng)問題往往跟力學(xué)問題聯(lián)系在一起.解決這類問題需要綜合應(yīng)用電磁感應(yīng)規(guī)律(法拉第電磁感應(yīng)定律、楞次定律)及力學(xué)中的有關(guān)規(guī)律(牛頓運(yùn)動定律、動量守恒定律、動量定理、動能定理等).解決這類問題的方法：
(1)選擇研究對象.即是哪一根導(dǎo)體棒或幾根導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng).
(2)分析其受力情況.安培力既跟電流方向垂直又跟磁場方向垂直.
(3)分析研究對象所受的各力做功情況和合外力情況，選定所要應(yīng)用的物理規(guī)律.
(4)分析研究對象(或系統(tǒng))是否符合動量守恒的條件.
(5)運(yùn)用物理規(guī)律列方程求解.注意：加速度a＝0時，速度v達(dá)到最大值.
類型1　動量定理和功能關(guān)系的應(yīng)用
（2023 岳麓區(qū)校級模擬）光滑絕緣水平桌面上有一邊長為L的矩形線圈abcd，其質(zhì)量為m，其各邊電阻相等，線圈ab邊以速度v進(jìn)入一個有明顯邊界的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，如圖所示，磁場的寬度大于L。當(dāng)線圈全部進(jìn)入磁場區(qū)域時，其動能恰好等于ab邊進(jìn)入磁場前時的一半，求：
（1）ab邊剛進(jìn)入磁場瞬間，a、b兩點(diǎn)的電壓是多少？
（2）判斷線圈能否全部穿出磁場，并敘述理由；
（3）線圈從開始進(jìn)入磁場到完全出磁場的整個過程中安培力對線框做的總功。
（2023 濰坊三模）如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上，兩導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌左側(cè)有兩個開關(guān)S1、S2，S1與一個阻值為R的定值電阻串聯(lián)，S2與一個電容為C的電容器串聯(lián)。導(dǎo)體棒ab垂直于導(dǎo)軌放置，其長度為L、質(zhì)量為m、電阻也為R。整個裝置處于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中。一質(zhì)量為2m的重物通過輕質(zhì)定滑輪用絕緣輕繩與導(dǎo)體棒ab的中點(diǎn)連接，開始時輕繩張緊?，F(xiàn)將S1閉合，S2斷開，使重物由靜止釋放，經(jīng)時間t金屬棒達(dá)到最大速度。已知導(dǎo)軌足夠長，不計導(dǎo)軌電阻，導(dǎo)體棒始終垂直導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好，重物始終未落地，重力加速度為g，不計一切摩擦。求：
（1）導(dǎo)體棒的最大速度；
（2）導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動到剛達(dá)到最大速度時，運(yùn)動的距離；
（3）從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動到剛達(dá)到最大速度時，電阻R中產(chǎn)生的熱量；
（4）導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度后，將S1斷開、S2閉合，同時撤去重物，電容器所帶的最大電荷量。
類型2　動量守恒定律和功能關(guān)系的應(yīng)用
（2023 安康二模）如圖所示，兩光滑傾斜金屬導(dǎo)軌MN、M'N'平行放置，導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌相距L，MM'間連接一個阻值為R的電阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場，磁場區(qū)域的寬度均為d（未畫出），相鄰磁場間的無磁場區(qū)域的寬度均為s。傾斜導(dǎo)軌與間距也為L的水平金屬導(dǎo)軌N′Q、NP通過一小段光滑圓弧金屬軌道連接，水平導(dǎo)軌處于垂直于導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B。一質(zhì)量為m、阻值也為R的導(dǎo)體棒ab跨放在兩導(dǎo)軌上，從磁場區(qū)域Ⅰ上邊界上方某位置由靜止釋放，導(dǎo)體棒在進(jìn)入三個磁場區(qū)域后均做減速運(yùn)動且出磁場時均恰好受力平衡，導(dǎo)體棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑過程中始終垂直于導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)體棒滑到傾斜導(dǎo)軌底端的速度大小為v，進(jìn)入水平導(dǎo)軌運(yùn)動了x距離后停下。導(dǎo)體棒與水平導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，傾斜、水平導(dǎo)軌的電阻均忽略不計，重力加速度大小為g。求：
（1）導(dǎo)體棒ab釋放處距磁場區(qū)域Ⅰ上邊界距離；
（2）導(dǎo)體棒ab從進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅰ瞬間到進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅲ瞬間電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）導(dǎo)體棒ab在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動的時間。
（2021秋 河北期末）如圖甲所示，絕緣水平面上固定著兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌PQ、MN，相距為L＝0.5m，ef右側(cè)導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小如圖乙變化。開始時ab棒和cd棒鎖定在導(dǎo)軌如圖甲位置，ab棒與cd棒平行，ab棒離水平面高度為h＝0.2m，cd棒與ef之間的距離也為L，ab棒的質(zhì)量為m1＝0.2kg，有效電阻R1＝0.05Ω，cd棒的質(zhì)量為m2＝0.1kg，有效電阻為R2＝0.15Ω（設(shè)a、b棒在運(yùn)動過程始終與導(dǎo)軌垂直，兩棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計）。問：
（1）0～1s時間段通過cd棒的電流大小與方向；
（2）假如在1s末，同時解除對ab棒和cd棒的鎖定，穩(wěn)定后ab棒和cd棒將以相同的速度做勻速直線運(yùn)動，試求這一速度；
（3）對ab棒和cd棒從解除鎖定到開始以相同的速度做勻速運(yùn)動，ab棒產(chǎn)生的熱量為多少？
（2023 昆明一模）如圖所示，傾角為θ＝37°的絕緣斜面上固定著兩足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L＝2m，上端連接阻值為R＝0.4Ω的定值電阻，下端開口。粗糙的導(dǎo)體棒a、b恰能靜止在導(dǎo)軌上MN和PQ位置，MN和PQ之間的距離d＝3m。PQ下方存在垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.5T。現(xiàn)使a棒在平行于斜面向下F＝6N的恒力的作用下，從MN位置由靜止開始向下加速運(yùn)動，當(dāng)a棒運(yùn)動到與b棒碰撞前瞬間，撤去力F，a、b兩棒發(fā)生彈性碰撞。已知a棒的質(zhì)量ma＝1kg，電阻Ra＝0.4Ω，b棒的質(zhì)量mb＝3kg，電阻Rb＝0.2Ω，金屬導(dǎo)軌的電阻均不計，兩棒始終與金屬導(dǎo)軌垂直且接觸良好，棒與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）a、b棒碰后瞬間b棒的速度大??；
（2）從b棒開始運(yùn)動到停下的過程中，定值電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）最終a、b棒間的距離。
命題點(diǎn)二　電場、磁場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用
動量與電磁學(xué)知識綜合應(yīng)用類問題的求解與一般的力學(xué)問題求解思路并無差異，只是問題的情景更復(fù)雜多樣；分析清楚物理過程，正確識別物理模型是解決問題的關(guān)鍵.
類型1　電場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用
（2020秋 廣東月考）如圖所示，在絕緣水平面上的P點(diǎn)放置一個質(zhì)量為mA＝0.02kg的帶負(fù)電滑塊A，帶電荷量q＝1.0×10﹣6C，在A的左邊相距l(xiāng)＝0.9m的Q點(diǎn)放置一個不帶電的滑塊B，質(zhì)量為mB＝0.04kg，滑塊B距左邊豎直絕緣墻壁s＝0.15m。在水平面上方空間加一方向水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E＝0.4×105N/C，使A由靜止釋放后向左滑動并與B發(fā)生碰撞，碰撞的時間極短，碰撞后兩滑塊結(jié)合在一起共同運(yùn)動，與墻壁發(fā)生碰撞時沒有機(jī)械能損失，兩滑塊都可以視為質(zhì)點(diǎn)。已知水平面OQ部分粗糙，其余部分光滑，兩滑塊與粗糙水平面OQ間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.50，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g＝10m/s2，求
（1）A經(jīng)過多長時間與B相碰？相碰結(jié)合后的速度是多少？
（2）AB與墻壁碰撞后在水平面上滑行的過程中，離開墻壁的最大距離是多少？
（3）A、B相碰結(jié)合后的運(yùn)動過程中，由于摩擦而產(chǎn)生的熱是多少？通過的總路程是多少？
類型2　磁場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用
（2011秋 昌江區(qū)校級期末）如圖所示，ab、ef是平行地固定在水平絕緣桌面上的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為d．在導(dǎo)軌左端a、c上連有一個阻值為R的電阻，一質(zhì)量為3m，長為d的金屬棒恰能置于導(dǎo)軌上并和導(dǎo)軌良好接觸．起初金屬棒靜止于MN位置，整個裝置處于方向垂直桌面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶電量為q的光滑且絕緣的小球在桌面上從O點(diǎn)（O為導(dǎo)軌上的一點(diǎn)）以與ef成60°斜向右方射向ab，隨后小球直接垂直地打在金屬棒的中點(diǎn)上，并和棒粘合在一起（設(shè)小球與棒之間沒有電荷轉(zhuǎn)移）．小球運(yùn)動過程中不計導(dǎo)軌間電場的影響，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計．求：
（1）小球射入磁場時的出速度υ0；
（2）電阻R上產(chǎn)生的熱量Q和通過的電量△q．
[課時訓(xùn)練]
（2023 溫州模擬）如圖所示，間距L＝2.0m的平行金屬導(dǎo)軌放置在絕緣水平面上，導(dǎo)軌左端連接輸出電流I＝0.5A的恒流源．空間分布兩個寬度分別為和、間距D＝2.0m的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，兩磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B＝0.5T，方向均豎直向下。質(zhì)量m＝0.5kg、電阻為R1的導(dǎo)體棒靜止于區(qū)域Ⅰ左邊界，質(zhì)量m＝0.5kg、邊長為0.5D、電阻R2＝2.0Ω的正方形單匝線框的右邊緊靠區(qū)域Ⅱ左邊界；一豎直固定擋板與區(qū)域Ⅱ的右邊界距離為0.5D。某時刻閉合開關(guān)S，導(dǎo)體棒開始向右運(yùn)動。已知導(dǎo)體棒與線框、線框與豎直擋板之間均發(fā)生彈性碰撞，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸并且相互垂直，不計一切摩擦和空氣阻力。求：
（1）導(dǎo)體棒第一次離開區(qū)域Ⅰ時的速度大小v1；
（2）線框與導(dǎo)體棒從第1次碰撞至它們第2次碰撞過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）線框與導(dǎo)體棒碰撞的次數(shù)n，以及導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的總時間t總。
（2023 金華模擬）如圖所示，長度足夠的兩導(dǎo)軌與水平面成θ角平行放置，間距為d；在導(dǎo)軌所在區(qū)間，存在方向垂直導(dǎo)軌平面、大小為B的勻強(qiáng)磁場；接入兩導(dǎo)軌間的兩個電阻阻值均為R、電容器電容為C和線圈電感為L。一根長也為d、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒擱置在兩導(dǎo)軌上。t＝0時，導(dǎo)體棒靜止釋放，不計摩擦、空氣阻力和其它電阻（不考慮電磁輻射）。（提示：當(dāng)通過線圈的電流隨時間發(fā)生變化時，線圈產(chǎn)生的電動勢大??；當(dāng)線圈中通有電流I時，其儲存的磁能）
（1）t＝0時，接通S1，斷開S2和S3，求棒所能達(dá)到的最大速度vm1；
（2）t＝0時，接通S2，斷開S1和S3，求棒的加速度a；
（3）t＝0時，接通S3，斷開S1和S2，已知棒下滑x0時恰好達(dá)到最大速度，求最大速度vm2以及當(dāng)棒下滑2x0過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q。
（2023 浙江模擬）如圖所示，有一個間距為d＝0.3m的平行光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成θ＝53°放置，通過光滑圓弧絕緣件與另一個光滑的水平金屬導(dǎo)軌平滑對接，其中軌道AA′BB′部分間距為d，軌道BB′DD′部分間距為。在cd棒的下方區(qū)域內(nèi)存在與導(dǎo)軌平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1＝2T的勻強(qiáng)磁場，AA′CC′之間存在豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2＝1T的勻強(qiáng)磁場。導(dǎo)軌的下端接有阻值為R＝2Ω的電阻，在導(dǎo)軌的上端垂直于導(dǎo)軌用鎖定裝置鎖定有一質(zhì)量為m2＝1kg的導(dǎo)體棒cd，長度為L＝0.6m，電阻為r＝4Ω。另有一質(zhì)量為m1＝1kg的導(dǎo)體棒ab垂直于導(dǎo)軌，與cd棒相距x1＝2m，以大小為v0＝8m/s的速度沿導(dǎo)軌向上，經(jīng)過t1＝0.47s，ab棒運(yùn)動到cd棒位置時，鎖定裝置解除cd棒的鎖定，ab棒與cd棒碰撞合在一起繼續(xù)向上，經(jīng)過絕緣件到達(dá)AA′時，在BB′由另一個鎖定裝置鎖定的導(dǎo)體棒ef解除鎖定，導(dǎo)體棒ef質(zhì)量為，之后它們分別在各自軌道運(yùn)動。當(dāng)棒abcd運(yùn)動到BB′時，速度已達(dá)到穩(wěn)定，之后被鎖定裝置鎖住，ef棒再運(yùn)行x3＝20m到達(dá)CC′處。CC′右側(cè)有一根勁度系數(shù)k＝1N/m的輕質(zhì)彈簧水平放置，處于原長，右端固定，左端與一質(zhì)量為的絕緣棒gh（長度為L）拴接（拴接點(diǎn)在棒gh的中點(diǎn)）。最終ef棒沿水平導(dǎo)軌與gh棒發(fā)生碰撞后即刻合在一起，且此后始終做簡諧運(yùn)動。三個導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，不計金屬導(dǎo)軌及其他電阻，且所有導(dǎo)體棒長度，電阻，單位長度的電阻都相等，不計任何摩擦，忽略連接處的能量損失。（重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），求：
（1）ab棒運(yùn)動到cd棒位置時的速度大小以及碰撞后瞬間棒兩端的電勢差大??；
（2）整個運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）ef棒和gh棒碰撞后始終做簡諧運(yùn)動，請以兩棒碰撞第一次速度變?yōu)?時作為計時起點(diǎn)，向右為正方向，寫出該簡諧運(yùn)動的振動方程。（已知彈簧振子振動周期公式，其中m為振子質(zhì)量，k為彈簧勁度系數(shù)?？梢杂肍﹣x圖像下的面積代表力F做的功）
（2023 浙江模擬）如圖，相距為L＝1m的光滑金屬軌道，左側(cè)部分傾斜，傾角為θ＝37°，上端接有阻值為R＝3Ω的電阻，左側(cè)空間存在有垂直于斜面向上的磁場B0＝3T，右側(cè)部分水平，分布著如圖所示的磁場，邊界CD與EF相距s1＝3m，中間分布著豎直向下的磁場，邊界EF與GH相距為s2＝5m，中間分布著豎直向上的磁場，它們的磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B＝2T，左右兩部分在傾斜軌道底端用光滑絕緣材料平滑連接，金屬棒a與b的質(zhì)量都為m＝1kg，長度都為L＝1m，電阻都為R＝3Ω，一開始金屬棒b靜止在邊界EF與GH的中點(diǎn)，金屬棒a從斜面上高度為h＝2m處滑下，到達(dá)斜面底端前已經(jīng)勻速運(yùn)動，此后進(jìn)入水平軌道，發(fā)現(xiàn)金屬棒a到達(dá)邊界EF時已經(jīng)再次勻速。運(yùn)動過程中，兩棒與軌道接觸良好，且始終與軌道垂直，兩棒如果相碰則發(fā)生彈性碰撞。
（1）求斜面上金屬棒a的勻速運(yùn)動速度v0；
（2）當(dāng)棒a到達(dá)邊界EF時，棒b的位移大小xb，以及a棒在CD與EF之間的運(yùn)動時間t1；
（3）求最終穩(wěn)定時兩棒的間距x，以及全過程a棒的總發(fā)熱量。
（2023 浙江二模）如圖所示，間距L＝1m的兩平行光滑金屬導(dǎo)軌，x軸平行導(dǎo)軌，y軸垂直導(dǎo)軌。在x＝0位置左側(cè)有一寬度為d＝0.1m的光滑絕緣薄層（包括x＝0處），隔開左右兩部分電路。在導(dǎo)軌間存在磁場，y軸左側(cè)磁場大小為B1＝2T方向垂直紙面向外，y右側(cè)磁場大小為B2，且滿足B2＝0.5x（T）變化，方向垂直紙面向外，在兩軌道中x軸為坐標(biāo)為x2＝﹣0.5m的位置存在一個彈性裝置，金屬棒與彈性裝置碰撞時瞬間等速彈回，導(dǎo)軌右側(cè)的恒流源始終為電路提供恒定的電流I＝8A（方向如圖中箭頭所示），導(dǎo)軌左側(cè)接一阻值為R1＝3Ω的電阻。阻值為R＝1Ω質(zhì)量為m＝1kg的金屬棒a垂直導(dǎo)軌靜止于x＝0處，與金屬棒a完全相同的金屬棒b垂直導(dǎo)軌靜止于x1＝0.5m處，金屬棒a與金屬棒b發(fā)生彈性碰撞。忽略一切阻力，已知彈簧振子周期公式T＝2π，其中m為振子質(zhì)量，k為回復(fù)力系數(shù)。求：
（1）金屬棒b第一次與金屬棒a碰撞時的速度；
（2）試定性畫出金屬棒a的I﹣t圖像（對時間軸數(shù)值不做要求）；
（3）金屬棒a最終停下位置和整個過程裝置產(chǎn)生的焦耳熱。
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第31講　微專題六 動力學(xué)、動量和能量觀點(diǎn)在電學(xué)中的應(yīng)用
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[命題點(diǎn)研究] 1
命題點(diǎn)一　電磁感應(yīng)中的動量和能量的應(yīng)用 1
命題點(diǎn)二　電場、磁場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用 9
[課時訓(xùn)練] 12
[命題點(diǎn)研究]
命題點(diǎn)一　電磁感應(yīng)中的動量和能量的應(yīng)用
感應(yīng)電流在磁場中受到安培力的作用，因此電磁感應(yīng)問題往往跟力學(xué)問題聯(lián)系在一起.解決這類問題需要綜合應(yīng)用電磁感應(yīng)規(guī)律(法拉第電磁感應(yīng)定律、楞次定律)及力學(xué)中的有關(guān)規(guī)律(牛頓運(yùn)動定律、動量守恒定律、動量定理、動能定理等).解決這類問題的方法：
(1)選擇研究對象.即是哪一根導(dǎo)體棒或幾根導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng).
(2)分析其受力情況.安培力既跟電流方向垂直又跟磁場方向垂直.
(3)分析研究對象所受的各力做功情況和合外力情況，選定所要應(yīng)用的物理規(guī)律.
(4)分析研究對象(或系統(tǒng))是否符合動量守恒的條件.
(5)運(yùn)用物理規(guī)律列方程求解.注意：加速度a＝0時，速度v達(dá)到最大值.
類型1　動量定理和功能關(guān)系的應(yīng)用
（2023 岳麓區(qū)校級模擬）光滑絕緣水平桌面上有一邊長為L的矩形線圈abcd，其質(zhì)量為m，其各邊電阻相等，線圈ab邊以速度v進(jìn)入一個有明顯邊界的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，如圖所示，磁場的寬度大于L。當(dāng)線圈全部進(jìn)入磁場區(qū)域時，其動能恰好等于ab邊進(jìn)入磁場前時的一半，求：
（1）ab邊剛進(jìn)入磁場瞬間，a、b兩點(diǎn)的電壓是多少？
（2）判斷線圈能否全部穿出磁場，并敘述理由；
（3）線圈從開始進(jìn)入磁場到完全出磁場的整個過程中安培力對線框做的總功。
【解答】解：（1）ab邊剛進(jìn)入磁場瞬間，ab邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E＝BLv
a、b兩點(diǎn)的電壓是路端電壓，UEEBLv
（2）假設(shè)線圈能全部穿出磁場，線圈剛?cè)窟M(jìn)入磁場時速度為v1，剛離開磁場時速度為v2。
線圈進(jìn)入磁場的過程，取向右為正方向，由動量定理得
﹣BL t1＝mv1﹣mv
又通過線圈的電荷量q1 t1
線圈離開磁場的過程，取向右為正方向，由動量定理得
﹣BL t2＝mv2﹣mv1
其中 t2＝q2
已知當(dāng)線圈全部進(jìn)入磁場區(qū)域時，其動能恰好等于ab邊進(jìn)入磁場前時的一半，則有mv2
聯(lián)立以上五式解得：v2＝（1）v＞0，所以線圈能全部穿出磁場。
（3）設(shè)線圈從進(jìn)入磁場開始整個過程中安培力對線框做的總功為W。
由動能定理得：
W
解得：W＝（1）mv2
答：（1）ab邊剛進(jìn)入磁場瞬間，a、b兩點(diǎn)的電壓是BLv。
（2）線圈能全部穿出磁場，理由見解析；
（3）線圈從進(jìn)入磁場開始整個過程中安培力對線框做的總功為（1）mv2。
（2023 濰坊三模）如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上，兩導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌左側(cè)有兩個開關(guān)S1、S2，S1與一個阻值為R的定值電阻串聯(lián)，S2與一個電容為C的電容器串聯(lián)。導(dǎo)體棒ab垂直于導(dǎo)軌放置，其長度為L、質(zhì)量為m、電阻也為R。整個裝置處于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中。一質(zhì)量為2m的重物通過輕質(zhì)定滑輪用絕緣輕繩與導(dǎo)體棒ab的中點(diǎn)連接，開始時輕繩張緊。現(xiàn)將S1閉合，S2斷開，使重物由靜止釋放，經(jīng)時間t金屬棒達(dá)到最大速度。已知導(dǎo)軌足夠長，不計導(dǎo)軌電阻，導(dǎo)體棒始終垂直導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好，重物始終未落地，重力加速度為g，不計一切摩擦。求：
（1）導(dǎo)體棒的最大速度；
（2）導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動到剛達(dá)到最大速度時，運(yùn)動的距離；
（3）從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動到剛達(dá)到最大速度時，電阻R中產(chǎn)生的熱量；
（4）導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度后，將S1斷開、S2閉合，同時撤去重物，電容器所帶的最大電荷量。
【解答】解：（1）導(dǎo)體棒速度最大時棒和重物受力平衡，根據(jù)平衡條件可得：2mg＝BIL
其中：I
聯(lián)立解得：vm
（2）對重物和棒根據(jù)動量定理可得：2mgt﹣BLt＝3mvm﹣0
其中：t
聯(lián)立解得：x
（3）根據(jù)功能關(guān)系可得回路中產(chǎn)生的總熱量為：Q＝2mgx
根據(jù)焦耳定律可得電阻R中產(chǎn)生的熱量：QR
聯(lián)立解得：QR
（4）當(dāng)電容器兩端電壓等于導(dǎo)體棒兩端電壓時，回路中沒有感應(yīng)電流，此后導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動，電容器所帶的電荷量最大，設(shè)最后勻速運(yùn)動的速度大小為v，取向右為正方向，根據(jù)動量定理可得：
﹣BLt′＝mv﹣mvm
其中：q＝CBLv
聯(lián)立解得：v
電容器所帶的最大電荷量：q＝CBLv
聯(lián)立解得：q
答：（1）導(dǎo)體棒的最大速度為；
（2）導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動到剛達(dá)到最大速度時，運(yùn)動的距離為；
（3）從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動到剛達(dá)到最大速度時，電阻R中產(chǎn)生的熱量為；
（4）導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度后，將S1斷開、S2閉合，同時撤去重物，電容器所帶的最大電荷量為。
類型2　動量守恒定律和功能關(guān)系的應(yīng)用
（2023 安康二模）如圖所示，兩光滑傾斜金屬導(dǎo)軌MN、M'N'平行放置，導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌相距L，MM'間連接一個阻值為R的電阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場，磁場區(qū)域的寬度均為d（未畫出），相鄰磁場間的無磁場區(qū)域的寬度均為s。傾斜導(dǎo)軌與間距也為L的水平金屬導(dǎo)軌N′Q、NP通過一小段光滑圓弧金屬軌道連接，水平導(dǎo)軌處于垂直于導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B。一質(zhì)量為m、阻值也為R的導(dǎo)體棒ab跨放在兩導(dǎo)軌上，從磁場區(qū)域Ⅰ上邊界上方某位置由靜止釋放，導(dǎo)體棒在進(jìn)入三個磁場區(qū)域后均做減速運(yùn)動且出磁場時均恰好受力平衡，導(dǎo)體棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑過程中始終垂直于導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)體棒滑到傾斜導(dǎo)軌底端的速度大小為v，進(jìn)入水平導(dǎo)軌運(yùn)動了x距離后停下。導(dǎo)體棒與水平導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，傾斜、水平導(dǎo)軌的電阻均忽略不計，重力加速度大小為g。求：
（1）導(dǎo)體棒ab釋放處距磁場區(qū)域Ⅰ上邊界距離；
（2）導(dǎo)體棒ab從進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅰ瞬間到進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅲ瞬間電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）導(dǎo)體棒ab在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動的時間。
【解答】解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒在出磁場時的速度大小為v1，根據(jù)平衡條件可得：mgsinθ＝BIL
其中：I
聯(lián)立解得：v1
設(shè)導(dǎo)體棒ab剛進(jìn)入磁場Ⅱ時的速度大小為v2，在無磁場區(qū)域，導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動，根據(jù)動能定理可得：
mgsinθ s
經(jīng)分析可知，導(dǎo)體棒ab剛進(jìn)入磁場Ⅰ時的速度大小也為v2
導(dǎo)體棒ab由靜止釋放到剛進(jìn)入磁場Ⅰ的過程中，根據(jù)動能定理可得：mgsinθ x0
聯(lián)立解得：x
（2）導(dǎo)體棒ab在進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅰ瞬間和剛進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅱ瞬間速度大小相等，在此過程中根據(jù)能量守恒定律可知電路中產(chǎn)生的熱量為：
Q1＝mg（d+s）sinθ
導(dǎo)體棒ab從進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅰ瞬間到進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅲ瞬間回路中產(chǎn)生的熱量：Q＝2Q1
電阻R產(chǎn)生的熱量為QRQ
解得：QR＝mg（d+s）sinθ
（3）導(dǎo)體棒ab在水平導(dǎo)軌上減速運(yùn)動到停下來，取向右為正方向，由動量定理可得：
﹣2BLt﹣μmgt＝0﹣mv
而：qΔtΔt
解得：t
答：（1）導(dǎo)體棒ab釋放處距磁場區(qū)域Ⅰ上邊界距離為；
（2）導(dǎo)體棒ab從進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅰ瞬間到進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅲ瞬間電阻R產(chǎn)生的熱量為mg（d+s）sinθ；
（3）導(dǎo)體棒ab在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動的時間為。
（2021秋 河北期末）如圖甲所示，絕緣水平面上固定著兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌PQ、MN，相距為L＝0.5m，ef右側(cè)導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小如圖乙變化。開始時ab棒和cd棒鎖定在導(dǎo)軌如圖甲位置，ab棒與cd棒平行，ab棒離水平面高度為h＝0.2m，cd棒與ef之間的距離也為L，ab棒的質(zhì)量為m1＝0.2kg，有效電阻R1＝0.05Ω，cd棒的質(zhì)量為m2＝0.1kg，有效電阻為R2＝0.15Ω（設(shè)a、b棒在運(yùn)動過程始終與導(dǎo)軌垂直，兩棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計）。問：
（1）0～1s時間段通過cd棒的電流大小與方向；
（2）假如在1s末，同時解除對ab棒和cd棒的鎖定，穩(wěn)定后ab棒和cd棒將以相同的速度做勻速直線運(yùn)動，試求這一速度；
（3）對ab棒和cd棒從解除鎖定到開始以相同的速度做勻速運(yùn)動，ab棒產(chǎn)生的熱量為多少？
【解答】解：（1）0～1 s時間內(nèi)，由圖乙可得1T/s
由于磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間均勻增大，穿過回路abdc的磁通量隨時間均勻增加，回路產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動勢，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：
EL2＝1×0.52V＝0.25V
和閉合電路歐姆定律得
IA＝1.25 A
由楞次定律可知，cd棒中電流方向由d→c。
（2）設(shè)穩(wěn)定時兩棒的共同速度為v。
ab棒從高為h處滑下到ef的過程，由動能定理可知
m1ghm1v02
解得：v0＝2m/s
從ab棒剛到ef處至兩棒達(dá)共同速度過程，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，取向右為正方向，由動量守恒定律得
m1v0＝（m1+m2）v
即0.2×2＝（0.1+0.2）v，解得：vm/s。
（3）對ab棒和cd棒從解除鎖定到開始以相同的速度做勻速運(yùn)動過程，由能量守恒可知
m1gh（m1+m2）v2+Q
代入數(shù)據(jù)解得系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量：QJ
由于ab和cd棒串聯(lián)，所以產(chǎn)生的熱量之比等于電阻之比，所以
QabQJJ
答：（1）0～1s時間段通過cd棒的電流大小為1.25 A，方向由d→c；
（2）這一速度為m/s；
（3）對ab棒和cd棒從解除鎖定到開始以相同的速度做勻速運(yùn)動，ab棒產(chǎn)生的熱量為J。
（2023 昆明一模）如圖所示，傾角為θ＝37°的絕緣斜面上固定著兩足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L＝2m，上端連接阻值為R＝0.4Ω的定值電阻，下端開口。粗糙的導(dǎo)體棒a、b恰能靜止在導(dǎo)軌上MN和PQ位置，MN和PQ之間的距離d＝3m。PQ下方存在垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.5T。現(xiàn)使a棒在平行于斜面向下F＝6N的恒力的作用下，從MN位置由靜止開始向下加速運(yùn)動，當(dāng)a棒運(yùn)動到與b棒碰撞前瞬間，撤去力F，a、b兩棒發(fā)生彈性碰撞。已知a棒的質(zhì)量ma＝1kg，電阻Ra＝0.4Ω，b棒的質(zhì)量mb＝3kg，電阻Rb＝0.2Ω，金屬導(dǎo)軌的電阻均不計，兩棒始終與金屬導(dǎo)軌垂直且接觸良好，棒與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）a、b棒碰后瞬間b棒的速度大??；
（2）從b棒開始運(yùn)動到停下的過程中，定值電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）最終a、b棒間的距離。
【解答】解：（1）a棒恰好能靜止在導(dǎo)軌上，設(shè)a棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，根據(jù)平衡條件可得：
μmagcosθ＝magsinθ
解得：μ＝0.75
與b棒碰前a棒沿導(dǎo)軌向下做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)a棒的加速度為a1，對a棒根據(jù)牛頓第二定律可得
F+magsinθ﹣μmagcosθ＝maa1
解得：a＝6m/s2
設(shè)a棒與b棒碰前瞬間的速度大小為v，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律可得：v2＝2a1d
代入數(shù)據(jù)解得：v＝6m/s
a、b棒發(fā)生彈性碰撞，對a、b組成的系統(tǒng)，取沿導(dǎo)軌向下為正方向，根據(jù)動量守恒定律可得：
mav＝mava+mbvb
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：
mav2mamb
聯(lián)立解得：va＝﹣3m/s，vb＝3m/s
（2）設(shè)b棒開始運(yùn)動到停下的過程中電路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q。b棒受到的摩擦力和重力沿斜面向下的分力大小相等，b棒開始運(yùn)動到停下的過程中重力做的功WG與克服摩擦力做的功Wf相等，設(shè)b棒克服安培力做的功為WF安，根據(jù)動能定理可得：
WG﹣Wf﹣WF安＝0mb
克服安培力做的功與電路中產(chǎn)生的焦耳熱相等：WF安＝Q
可得：Q＝13.5J
電阻R和a棒并聯(lián)再和b棒串聯(lián)，可得
QR：Qa：Qb＝1：1：2
聯(lián)立解得：QRQ
代入數(shù)據(jù)解得：QR＝3.375J
（3）設(shè)a棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動的加速度為a2，根據(jù)牛頓第二定律可得
μmagcosθ+magsinθ＝maa2
解得：a2＝12m/s2
設(shè)a棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動的位移為xa，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律可得：2a2xa
解得：xa＝0.375m
設(shè)b棒向下運(yùn)動的位移為xb，對b棒，根據(jù)動量定理可得：
﹣BLt＝0﹣mbvb
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：
又有：xb
聯(lián)立解得：mbvb
其中R總＝R并+RbΩ+0.2Ω＝0.4Ω
聯(lián)立解得：xb＝3.6m
則有：x＝xa+xb
解得：x＝3.975m
答：（1）a、b棒碰后瞬間b棒的速度大小為3m/s；
（2）從b棒開始運(yùn)動到停下的過程中，定值電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為3.375J；
（3）最終a、b棒間的距離為3.975m。
命題點(diǎn)二　電場、磁場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用
動量與電磁學(xué)知識綜合應(yīng)用類問題的求解與一般的力學(xué)問題求解思路并無差異，只是問題的情景更復(fù)雜多樣；分析清楚物理過程，正確識別物理模型是解決問題的關(guān)鍵.
類型1　電場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用
（2020秋 廣東月考）如圖所示，在絕緣水平面上的P點(diǎn)放置一個質(zhì)量為mA＝0.02kg的帶負(fù)電滑塊A，帶電荷量q＝1.0×10﹣6C，在A的左邊相距l(xiāng)＝0.9m的Q點(diǎn)放置一個不帶電的滑塊B，質(zhì)量為mB＝0.04kg，滑塊B距左邊豎直絕緣墻壁s＝0.15m。在水平面上方空間加一方向水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E＝0.4×105N/C，使A由靜止釋放后向左滑動并與B發(fā)生碰撞，碰撞的時間極短，碰撞后兩滑塊結(jié)合在一起共同運(yùn)動，與墻壁發(fā)生碰撞時沒有機(jī)械能損失，兩滑塊都可以視為質(zhì)點(diǎn)。已知水平面OQ部分粗糙，其余部分光滑，兩滑塊與粗糙水平面OQ間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.50，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g＝10m/s2，求
（1）A經(jīng)過多長時間與B相碰？相碰結(jié)合后的速度是多少？
（2）AB與墻壁碰撞后在水平面上滑行的過程中，離開墻壁的最大距離是多少？
（3）A、B相碰結(jié)合后的運(yùn)動過程中，由于摩擦而產(chǎn)生的熱是多少？通過的總路程是多少？
【解答】解：（1）由于OQ部分光滑，滑塊A只在電場力作用下加速運(yùn)動，設(shè)經(jīng)時間t與B相碰，A與B相遇前的速度大小為v1，碰撞后的共同速度大小為v2，
從釋放A到碰撞前瞬間過程，對A，由動能定理得：qEl0
對A，由動量定理得：qEt＝mv1﹣0
代入數(shù)據(jù)解得：t＝0.3s，v1＝6.0m/s
滑塊A、B碰撞的過程中系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量守恒，以向左為正方向，由動量守恒定律得：
mAv1＝（mA+mB）v2，
代入數(shù)據(jù)解得：v2＝2.0m/s
（2）兩滑塊共同運(yùn)動，與墻壁發(fā)生碰撞后返回，第一次速度為零時，兩滑塊離開墻壁的距離最大，設(shè)為L1，在這段過程中，由動能定理得：
﹣qE（L1﹣s）﹣μ（mA+mB）g×2s＝0
代入數(shù)據(jù)解得：L1＝0.225m
（3）由于qE＞μ（mA+mB）g，即電場力大于滑動摩擦力，AB向右速度為零后在電場力的作用下向左運(yùn)動，最終停在墻角O點(diǎn)處，
設(shè)由于摩擦而產(chǎn)生的熱為Q，從兩滑塊碰撞后到最終停止過程，對系統(tǒng)，由能量守恒定律得：Q＝qEs
代入數(shù)據(jù)解得：Q＝0.18J
設(shè)AB第二次與墻壁發(fā)生碰撞后返回，滑塊離開墻壁的最大距離為L2（L2＜L1），假設(shè)L2＜s，在這段過程中，由動能定理得：
qE（L1﹣L2）﹣μ（mA+mB）g（s+L2）＝0﹣0
代入數(shù)據(jù)解得：L2≈0.064m＜s＝0.15m，符合假設(shè)，即AB第二次與墻壁發(fā)生碰撞后返回停在Q點(diǎn)的左側(cè)，以后只在粗糙水平面OQ上運(yùn)動；
設(shè)在粗糙水平面OQ部分運(yùn)動的總路程s1，則：Q＝μ（mA+mB）gs1，
代入數(shù)據(jù)解得：s1＝0.6m
設(shè)AB相碰結(jié)合后的運(yùn)動過程中通過的總路程是s2，
則：s2＝s1+2（L1﹣s）
代入數(shù)據(jù)解得：s2＝0.75m
答：（1）A經(jīng)過0.3s與B相碰，相碰結(jié)合后的速度大小是2.0m/s，方向水平向左。
（2）AB與墻壁碰撞后在水平面上滑行的過程中，離開墻壁的最大距離是0.225m。
（3）A、B相碰結(jié)合后的運(yùn)動過程中，由于摩擦而產(chǎn)生的熱是0.18J，通過的總路程是0.75m。
類型2　磁場中動量和能量觀點(diǎn)的應(yīng)用
（2011秋 昌江區(qū)校級期末）如圖所示，ab、ef是平行地固定在水平絕緣桌面上的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為d．在導(dǎo)軌左端a、c上連有一個阻值為R的電阻，一質(zhì)量為3m，長為d的金屬棒恰能置于導(dǎo)軌上并和導(dǎo)軌良好接觸．起初金屬棒靜止于MN位置，整個裝置處于方向垂直桌面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶電量為q的光滑且絕緣的小球在桌面上從O點(diǎn)（O為導(dǎo)軌上的一點(diǎn)）以與ef成60°斜向右方射向ab，隨后小球直接垂直地打在金屬棒的中點(diǎn)上，并和棒粘合在一起（設(shè)小球與棒之間沒有電荷轉(zhuǎn)移）．小球運(yùn)動過程中不計導(dǎo)軌間電場的影響，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計．求：
（1）小球射入磁場時的出速度υ0；
（2）電阻R上產(chǎn)生的熱量Q和通過的電量△q．
【解答】解：（1）小球入射磁場后將做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)圓周運(yùn)動的半徑為r，其軌跡如圖所示
由幾何知識可知：
解得 ①
小球在磁場中做圓周運(yùn)動：②
由①、②得：③
（2）小球和金屬棒的碰撞過程，由動量守恒定律得：
mυ0＝（m+3m）υ④
金屬棒切割磁感線的過程中，棒和小球的動能轉(zhuǎn)化為電能進(jìn)而轉(zhuǎn)化成焦耳熱：⑤
由③、④、⑤可得：⑥
棒和小球的速度從υ1變?yōu)?的過程中由動量定理有：⑦
又⑧
由③、④、⑦、⑧可得 ⑨
答：（1）小球射入磁場時的出速度；
（2）電阻R上產(chǎn)生的熱量，通過的電量．
[課時訓(xùn)練]
（2023 溫州模擬）如圖所示，間距L＝2.0m的平行金屬導(dǎo)軌放置在絕緣水平面上，導(dǎo)軌左端連接輸出電流I＝0.5A的恒流源．空間分布兩個寬度分別為和、間距D＝2.0m的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，兩磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B＝0.5T，方向均豎直向下。質(zhì)量m＝0.5kg、電阻為R1的導(dǎo)體棒靜止于區(qū)域Ⅰ左邊界，質(zhì)量m＝0.5kg、邊長為0.5D、電阻R2＝2.0Ω的正方形單匝線框的右邊緊靠區(qū)域Ⅱ左邊界；一豎直固定擋板與區(qū)域Ⅱ的右邊界距離為0.5D。某時刻閉合開關(guān)S，導(dǎo)體棒開始向右運(yùn)動。已知導(dǎo)體棒與線框、線框與豎直擋板之間均發(fā)生彈性碰撞，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸并且相互垂直，不計一切摩擦和空氣阻力。求：
（1）導(dǎo)體棒第一次離開區(qū)域Ⅰ時的速度大小v1；
（2）線框與導(dǎo)體棒從第1次碰撞至它們第2次碰撞過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）線框與導(dǎo)體棒碰撞的次數(shù)n，以及導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的總時間t總。
【解答】解：（1）導(dǎo)體棒受到向右的安培力，其大小為：F安＝BIL
解得：F安＝0.5N
對導(dǎo)體棒第一次離開區(qū)域Ⅰ的過程，由動能定理得：
解得：v1＝1.5m/s
（2）棒與線框發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰撞后瞬間兩者速度分別為v1′、v1″，以向右為正方向，由動量守恒和機(jī)械能守恒得：
mv1＝mv1′+mv1″
mv1′2mv1″2
解得：v1′＝0，v1″＝v1＝1.5m/s（質(zhì)量相等，速度交換）
第一次撞后，線框以v1＝1.5m/s速度進(jìn)入磁場Ⅱ，棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)線框右邊從磁場Ⅱ左邊界運(yùn)動到右邊界的過程用時Δt1，末速度為v2，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
，，ΔS1＝0.5D×d2
以向右為正方向，對線框由動量定理得：
﹣B0.5DΔt1＝mv2﹣mv1
解得：v2＝1.4m/s
同理可得，線框左邊從磁場Ⅱ左邊界運(yùn)動到右邊界時線框速度為：v3＝1.3m/s
可知每次線框穿過磁場Ⅱ的過程，速度大小均減少0.2m/s，線框以v3＝1.3m/s與擋板彈性碰撞后，以原速率回再次穿過磁場Ⅱ后的速度大小為v4＝1.1m/s，線框以速度v4與棒第二次相碰，由能量守恒可得：
解得：Q＝0.26J；
（3）線框與導(dǎo)體棒第二次碰后，兩者交換速度，棒以v4＝1.1m/s速度向左運(yùn)動，線框靜止，棒進(jìn)入磁場Ⅰ，所受安培力與原來等大反向，棒作勻減速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律得：
F安＝ma
解得：a＝1m/s2
棒在磁場Ⅰ中的最大位移：
解得：x＝0.605m
棒在磁場Ⅰ中減速到速度為零，然后以加速度a反向加速，以v4＝1.1m/s的速度離開磁場Ⅰ，與線框碰撞且速度交換后，線框通過磁場Ⅱ速度大小減小0.2m/s，與擋板彈性碰撞后，以原速率回再次穿過磁場Ⅱ后的速度大小再減小0.2m/s后，以v5＝0.7m/s的速度大小與棒再相碰。經(jīng)過如此反復(fù)，可知兩者每次碰撞都對應(yīng)速度大小減少0.2m/s，由，可知棒與線框總的碰撞次數(shù)為7次。
棒第首次從磁場Ⅰ左邊界勻加速運(yùn)動到右邊界時間為：s＝1.5s
棒與線框碰后從右向左進(jìn)入磁場Ⅰ的速度均比前一次減小0.4m/s，棒在磁場Ⅰ中勻減速直線運(yùn)動和反向勻加速直線運(yùn)動對稱，可得：
第2次碰后棒在磁場Ⅰ中運(yùn)動的時間分別為：s＝2.2s
同理可得，第4、6次碰后棒在磁場Ⅰ中運(yùn)動的時間分別為：t3s＝1.4s，t4s＝0.6s
導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的總時間t總＝t1+t2+t3+t4
解得：t總＝5.7s。
答：（1）導(dǎo)體棒第一次離開區(qū)域Ⅰ時的速度大小v1為1.5m/s；
（2）線框與導(dǎo)體棒從第1次碰撞至它們第2次碰撞過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱Q為0.26J；
（3）線框與導(dǎo)體棒碰撞的次數(shù)n為7次，以及導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的總時間t總為5.7s。
（2023 金華模擬）如圖所示，長度足夠的兩導(dǎo)軌與水平面成θ角平行放置，間距為d；在導(dǎo)軌所在區(qū)間，存在方向垂直導(dǎo)軌平面、大小為B的勻強(qiáng)磁場；接入兩導(dǎo)軌間的兩個電阻阻值均為R、電容器電容為C和線圈電感為L。一根長也為d、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒擱置在兩導(dǎo)軌上。t＝0時，導(dǎo)體棒靜止釋放，不計摩擦、空氣阻力和其它電阻（不考慮電磁輻射）。（提示：當(dāng)通過線圈的電流隨時間發(fā)生變化時，線圈產(chǎn)生的電動勢大小；當(dāng)線圈中通有電流I時，其儲存的磁能）
（1）t＝0時，接通S1，斷開S2和S3，求棒所能達(dá)到的最大速度vm1；
（2）t＝0時，接通S2，斷開S1和S3，求棒的加速度a；
（3）t＝0時，接通S3，斷開S1和S2，已知棒下滑x0時恰好達(dá)到最大速度，求最大速度vm2以及當(dāng)棒下滑2x0過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q。
【解答】解：（1）當(dāng)棒速度最大時，重力的下滑分力等于安培力：mgsinθ＝BId
此時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：E＝Bdvm1
感應(yīng)電流：
聯(lián)立解得：，方向沿斜面向下。
（2）由牛頓第二定律知：mgsinθ﹣BId＝ma
根據(jù)公式：
代入上式可得：，方向沿斜面向下。
（3）當(dāng)棒速度達(dá)到最大時回路中電流保持不變，電感線圈不再發(fā)生作用，棒接下來做勻速直線運(yùn)動：
整理可得：，方向沿斜面向下。
由能量守恒可知：
其中：
可得：
答：（1）棒所能達(dá)到的最大速度vm1為，方向沿斜面向下；
（2）接通S2，斷開S1和S3，棒的加速度a為，方向沿斜面向下；
（3）最大速度vm2為，方向沿斜面向下。當(dāng)棒下滑2x0過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q為。
（2023 浙江模擬）如圖所示，有一個間距為d＝0.3m的平行光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成θ＝53°放置，通過光滑圓弧絕緣件與另一個光滑的水平金屬導(dǎo)軌平滑對接，其中軌道AA′BB′部分間距為d，軌道BB′DD′部分間距為。在cd棒的下方區(qū)域內(nèi)存在與導(dǎo)軌平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1＝2T的勻強(qiáng)磁場，AA′CC′之間存在豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2＝1T的勻強(qiáng)磁場。導(dǎo)軌的下端接有阻值為R＝2Ω的電阻，在導(dǎo)軌的上端垂直于導(dǎo)軌用鎖定裝置鎖定有一質(zhì)量為m2＝1kg的導(dǎo)體棒cd，長度為L＝0.6m，電阻為r＝4Ω。另有一質(zhì)量為m1＝1kg的導(dǎo)體棒ab垂直于導(dǎo)軌，與cd棒相距x1＝2m，以大小為v0＝8m/s的速度沿導(dǎo)軌向上，經(jīng)過t1＝0.47s，ab棒運(yùn)動到cd棒位置時，鎖定裝置解除cd棒的鎖定，ab棒與cd棒碰撞合在一起繼續(xù)向上，經(jīng)過絕緣件到達(dá)AA′時，在BB′由另一個鎖定裝置鎖定的導(dǎo)體棒ef解除鎖定，導(dǎo)體棒ef質(zhì)量為，之后它們分別在各自軌道運(yùn)動。當(dāng)棒abcd運(yùn)動到BB′時，速度已達(dá)到穩(wěn)定，之后被鎖定裝置鎖住，ef棒再運(yùn)行x3＝20m到達(dá)CC′處。CC′右側(cè)有一根勁度系數(shù)k＝1N/m的輕質(zhì)彈簧水平放置，處于原長，右端固定，左端與一質(zhì)量為的絕緣棒gh（長度為L）拴接（拴接點(diǎn)在棒gh的中點(diǎn)）。最終ef棒沿水平導(dǎo)軌與gh棒發(fā)生碰撞后即刻合在一起，且此后始終做簡諧運(yùn)動。三個導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，不計金屬導(dǎo)軌及其他電阻，且所有導(dǎo)體棒長度，電阻，單位長度的電阻都相等，不計任何摩擦，忽略連接處的能量損失。（重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），求：
（1）ab棒運(yùn)動到cd棒位置時的速度大小以及碰撞后瞬間棒兩端的電勢差大??；
（2）整個運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）ef棒和gh棒碰撞后始終做簡諧運(yùn)動，請以兩棒碰撞第一次速度變?yōu)?時作為計時起點(diǎn)，向右為正方向，寫出該簡諧運(yùn)動的振動方程。（已知彈簧振子振動周期公式，其中m為振子質(zhì)量，k為彈簧勁度系數(shù)?？梢杂肍﹣x圖像下的面積代表力F做的功）
【解答】解：（1）ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，Rcd與R并聯(lián)記為Rcd∥，電路總電阻：R總＝Rcd∥+Rab，
代入可得：R總＝3Ω
對ab棒，由動量定理：﹣m1gsin53°t1﹣B1dq＝m1v1﹣m1v0
解得：v1＝4m/s
ab棒與cd棒碰撞，系統(tǒng)動量守恒：m1v1＝（m1+m2）v2
v2＝2m/s
碰撞后瞬間棒兩端的電勢差大?。篣＝B1Lv2
代入數(shù)據(jù)得：U＝2V
（2）ab棒斜向上運(yùn)動到cd棒處過程中電路產(chǎn)生的焦耳熱，由能量守恒定律：Q1m1gsin53° x1
代入數(shù)據(jù)得：Q1＝8J
ab棒與cd棒碰撞后繼續(xù)斜向上運(yùn)動到AA′處，此時區(qū)域內(nèi)無磁場，故電路中無電流，由動能定理：
代入數(shù)據(jù)解得：v3＝1m/s
ab、cd棒進(jìn)入B2磁場后，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流而做減速運(yùn)動直到BB′處，由動量定理：﹣B2dq'＝（m1+m2）v4﹣（m1+m2）v3
ef棒解鎖后，在安培力的作用下開始加速運(yùn)動并切割磁感線，由動量定理：
最后速度穩(wěn)定時，導(dǎo)體棒中均無電流，所以：
解得：v4＝0.4m/s，v5＝1.2m/s
對ab、cd、ef棒的這一運(yùn)動過程，由能量守恒定律得：Q2
代入數(shù)據(jù)得：Q2＝0.6J
ab、cd棒鎖住后，ef棒繼續(xù)切割磁感線做減速運(yùn)動直到CC′處，由動量定理：，
q″C＝1.2C
代入解得：v6＝0.84m/s
ef棒單獨(dú)運(yùn)動到CC′這一過程，由能量守恒定律：Q30.1224J
故整個運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱：Q＝Q1+Q2+Q3＝8J+0.6J+0.1224J＝8.7224J
（3）ef棒與gh棒發(fā)生碰撞，由動量守恒定律：m3v6＝（m3+m4）v7
代入數(shù)據(jù)得：v7＝0.28m/s
ef、gh棒與彈簧組成的彈簧振子機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律：
解得振幅：A＝0.28m
再由彈簧振子的周期：
代入數(shù)據(jù)解得：T＝（2π）s
由得
故該彈簧振子第一次速度變?yōu)?時作為計時起點(diǎn)，向右為正方向的振動方程：x＝Acos（ωt）
解得振動方程為：x＝（0.28cost）m
答：（1）ab棒運(yùn)動到cd棒位置時的速度大小為4m/s，碰撞后瞬間棒兩端的電勢差大小為2V；
（2）整個運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱為8.7224J；
（3）該簡諧運(yùn)動的振動方程為x＝（0.28cost）m。
（2023 浙江模擬）如圖，相距為L＝1m的光滑金屬軌道，左側(cè)部分傾斜，傾角為θ＝37°，上端接有阻值為R＝3Ω的電阻，左側(cè)空間存在有垂直于斜面向上的磁場B0＝3T，右側(cè)部分水平，分布著如圖所示的磁場，邊界CD與EF相距s1＝3m，中間分布著豎直向下的磁場，邊界EF與GH相距為s2＝5m，中間分布著豎直向上的磁場，它們的磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B＝2T，左右兩部分在傾斜軌道底端用光滑絕緣材料平滑連接，金屬棒a與b的質(zhì)量都為m＝1kg，長度都為L＝1m，電阻都為R＝3Ω，一開始金屬棒b靜止在邊界EF與GH的中點(diǎn)，金屬棒a從斜面上高度為h＝2m處滑下，到達(dá)斜面底端前已經(jīng)勻速運(yùn)動，此后進(jìn)入水平軌道，發(fā)現(xiàn)金屬棒a到達(dá)邊界EF時已經(jīng)再次勻速。運(yùn)動過程中，兩棒與軌道接觸良好，且始終與軌道垂直，兩棒如果相碰則發(fā)生彈性碰撞。
（1）求斜面上金屬棒a的勻速運(yùn)動速度v0；
（2）當(dāng)棒a到達(dá)邊界EF時，棒b的位移大小xb，以及a棒在CD與EF之間的運(yùn)動時間t1；
（3）求最終穩(wěn)定時兩棒的間距x，以及全過程a棒的總發(fā)熱量。
【解答】解：（1）金屬棒a勻速運(yùn)動時受力平衡，根據(jù)平衡條件可得：mgsinθ＝BI1L
其中：I1
解得：v0＝2m/s
（2）再次勻速必有：BLva＝BLvb，且vb方向向左
對a棒，取向右為正方向，根據(jù)動量定理可得：﹣BLt1＝mva﹣ma0
即：mv0﹣mva
對b棒，取向左為正方向，根據(jù)動量定理可得：mvb﹣0
聯(lián)立解得：va＝vb＝1m/s，xa﹣xb＝1.5m
根據(jù)題意可知：xa＝3m，則xb＝1.5m，方向向左；
由于a和b棒的加速度大小始終相等、方向相同，所以a相對于b做勻速直線運(yùn)動，則有：
xa+xb＝v0t1
聯(lián)立解得：t1＝2.25s
（3）此后a棒和b棒都以v＝1m/s的初速度在EF的右側(cè)相向運(yùn)動，兩棒初始相距Δx1＝2.5m﹣1.5m＝1m，并以相同的加速度（加速度不斷減?。p速，如果相碰，各自原速反彈后繼續(xù)以相同的加速度減速，直至兩棒的速度都為零，設(shè)兩棒在此過程中所經(jīng)歷的路程為s1、s2，對任意棒有：
0﹣mv
解得：s1+s2＝1.5m
所以最終兩棒先相向運(yùn)動共1m，背離運(yùn)動共0.5m，則a棒先向右0.5m，后向左0.25m，最后兩棒都在EF的右側(cè)停止，相距為：x＝0.5m
又可知初始a棒的重力勢能在任意階段都是a棒電阻R與另一個等大電阻R的平均消耗為內(nèi)能，故：Qamgh
解得：Qa＝10J
答：（1）斜面上金屬棒a的勻速運(yùn)動速度為2m/s；
（2）當(dāng)棒a到達(dá)邊界EF時，棒b的位移大小為1.5m，a棒在CD與EF之間的運(yùn)動時間為2.25s；
（3）最終穩(wěn)定時兩棒的間距為0.5m，全過程a棒的總發(fā)熱量為10J。
（2023 浙江二模）如圖所示，間距L＝1m的兩平行光滑金屬導(dǎo)軌，x軸平行導(dǎo)軌，y軸垂直導(dǎo)軌。在x＝0位置左側(cè)有一寬度為d＝0.1m的光滑絕緣薄層（包括x＝0處），隔開左右兩部分電路。在導(dǎo)軌間存在磁場，y軸左側(cè)磁場大小為B1＝2T方向垂直紙面向外，y右側(cè)磁場大小為B2，且滿足B2＝0.5x（T）變化，方向垂直紙面向外，在兩軌道中x軸為坐標(biāo)為x2＝﹣0.5m的位置存在一個彈性裝置，金屬棒與彈性裝置碰撞時瞬間等速彈回，導(dǎo)軌右側(cè)的恒流源始終為電路提供恒定的電流I＝8A（方向如圖中箭頭所示），導(dǎo)軌左側(cè)接一阻值為R1＝3Ω的電阻。阻值為R＝1Ω質(zhì)量為m＝1kg的金屬棒a垂直導(dǎo)軌靜止于x＝0處，與金屬棒a完全相同的金屬棒b垂直導(dǎo)軌靜止于x1＝0.5m處，金屬棒a與金屬棒b發(fā)生彈性碰撞。忽略一切阻力，已知彈簧振子周期公式T＝2π，其中m為振子質(zhì)量，k為回復(fù)力系數(shù)。求：
（1）金屬棒b第一次與金屬棒a碰撞時的速度；
（2）試定性畫出金屬棒a的I﹣t圖像（對時間軸數(shù)值不做要求）；
（3）金屬棒a最終停下位置和整個過程裝置產(chǎn)生的焦耳熱。
【解答】解：（1）對b棒受力分析可得B棒受到的安培力大小為：F安＝B2IL＝4x
說明b棒從開始到y(tǒng)軸以y軸為平衡位置做簡諧振動（簡諧振動的四分之一周期）
根據(jù)動能定理可得：W安
根據(jù)簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)可得：W安4×0.52J＝0.5J
聯(lián)立解得：v0＝1m/s
（2）由于a、b質(zhì)量相等故發(fā)生完全彈性碰撞后交換速度，所以碰撞后a棒速度：v1＝1m/s
a棒減速與彈性裝置碰撞后繼續(xù)減速，然后與b棒彈性碰撞，：故對a棒多次動量定理的總和關(guān)系為：
0﹣mv1
解得：x總＝1m
碰撞彈性裝置時的速度為v2，取初速度方向為正方向，根據(jù)動量定理可得：mv2﹣mv1
代入數(shù)據(jù)解得：v2＝0.6m/s
再次回到y(tǒng)軸速度為：v3＝0.2m/s
絕緣薄層到彈性裝置距離0.4m，故在x2區(qū)域內(nèi)運(yùn)動3次。
圖像如下：
（3）由于a、b質(zhì)量相等故發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后a棒速度v1＝1m/s
a棒減速與彈性裝置碰撞后繼續(xù)減速，然后與b棒彈性碰撞，根據(jù)（2）的分析可知，a最后停在y軸左側(cè)0.3m處
根據(jù)能量關(guān)系可得：Q，其中：T＝2ππ
解得：Q＝（48π+0.5）J
答：（1）金屬棒b第一次與金屬棒a碰撞時的速度為1m/s；
（2）見解析；
（3）金屬棒a最終停在y軸左側(cè)0.3m處，整個過程裝置產(chǎn)生的焦耳熱為（48π+0.5）J。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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